Bir hil matritsa. Bir hil bo'laklarning eritmasi. Chiziqli tenglamalar sistemalarini yechish

Chiziqli tizim deyiladi bir hil , agar uning barcha erkin shartlari 0 ga teng bo'lsa.

Matritsa shaklida bir hil sistema yoziladi:
.

Bir hil tizim (2) har doim izchil . Shubhasiz, raqamlar to'plami
,
, …,
tizimning har bir tenglamasini qanoatlantiradi. Yechim
chaqirdi nol yoki ahamiyatsiz qaror. Shunday qilib, bir hil sistema har doim nol yechimga ega.

Qaysi sharoitlarda bir jinsli sistema (2) nolga teng bo‘lmagan (trivial bo‘lmagan) yechimlarga ega bo‘ladi?

1.3 teorema Bir hil tizim (2) nolga teng bo'lmagan yechimlarga ega agar va faqat daraja bo'lsa r uning asosiy matritsasi kamroq noma'lum n .

Tizim (2) - noaniq
.

Xulosa 1. Agar tenglamalar soni m bir hil tizim kamroq o'zgaruvchilarga ega
, keyin tizim noaniq va ko'p nolga teng bo'lmagan echimlarga ega.

Xulosa 2. Kvadrat bir jinsli tizim
bu sistemaning asosiy matritsasi bo'lsa va qachon nolga teng bo'lmagan yechimlarga ega degeneratsiya, ya'ni. aniqlovchi
.

Aks holda, determinant bo'lsa
, kvadrat bir jinsli sistemaga ega yagona narsa nol yechim
.

Tizimning darajasi bo'lsin (2)
ya’ni (2) sistema notrivial yechimlarga ega.

Mayli Va - ushbu tizimning alohida echimlari, ya'ni.
Va
.

Gomogen sistema eritmalarining xossalari

Haqiqatan ham, .

Haqiqatan ham, .

1) va 2) xossalarini birlashtirib aytishimiz mumkin, agar

…,
- bir jinsli sistemaning yechimlari (2), u holda ularning har qanday chiziqli birikmasi ham uning yechimi hisoblanadi. Bu yerga
- ixtiyoriy haqiqiy sonlar.

Topish mumkin
chiziqli mustaqil qisman yechimlar bir hil tizim (2), uning yordamida siz ushbu tizimning boshqa har qanday maxsus yechimini olishingiz mumkin, ya'ni. tizimning umumiy yechimini oling (2).

Ta'rif 2.2 Jamiyat
chiziqli mustaqil qisman yechimlar

…,
(2) sistemaning har bir yechimi ularning chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi mumkin bo'lgan bir hil sistema (2) deyiladi. asosiy yechimlar tizimi Bir hil tizimning (FSR) (2).

Mayli

…,
asosiy yechimlar sistemasi bo'lsa, u holda bir jinsli sistemaning (2) umumiy yechimi quyidagicha ifodalanishi mumkin:

Qayerda

.

Izoh. FSRni olish uchun siz shaxsiy echimlarni topishingiz kerak

…,
, bitta erkin o'zgaruvchiga o'z navbatida "1" qiymatini, qolgan barcha erkin o'zgaruvchilarga esa "0" qiymatini beradi.

olamiz ,, …,- FSR.

Misol. Bir jinsli tenglamalar sistemasining umumiy yechimi va asosiy yechimlar tizimini toping:

Yechim. Keling, tizimning oxirgi tenglamasini birinchi o'ringa qo'ygan holda tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz va uni bosqichma-bosqich shaklga keltiramiz. Tenglamalarning o'ng tomonlari elementar o'zgartirishlar natijasida o'zgarmasligi sababli, nol qolganda, ustun

yozilmasligi mumkin.

̴
̴
̴

Tizim darajasi qayerda
- o'zgaruvchilar soni. Tizim noaniq va ko'plab echimlarga ega.

O'zgaruvchilar uchun asosiy minor
nolga teng bo'lmagan:
tanlang
asosiy o'zgaruvchilar sifatida, qolganlari
- erkin o'zgaruvchilar (har qanday haqiqiy qiymatlarni qabul qilish).

Zanjirdagi oxirgi matritsa bosqichma-bosqich tenglamalar tizimiga mos keladi:

(3)

Keling, asosiy o'zgaruvchilarni ifodalaylik
erkin o'zgaruvchilar orqali
(Gauss usulining teskarisi).

Oxirgi tenglamadan biz ifodalaymiz :
va uni birinchi tenglamaga almashtiring. Biz olamiz. Qavslarni ochamiz, o'xshashlarini beramiz va ifodalaymiz :
.

Ishonish
,
,
, Qayerda
, yozaylik

- tizimning umumiy yechimi.

Keling, asosiy echimlar tizimini topamiz

,,.

U holda bir jinsli sistemaning umumiy yechimini quyidagicha yozish mumkin:

Izoh. FSR, avvalo, tizimning umumiy yechimini topmasdan, boshqa yo'l bilan topilishi mumkin edi. Buning uchun hosil bo'lgan bosqichli tizimni (3) deb faraz qilgan holda, uch marta yechish kerak edi :
; Uchun :
; Uchun :
.

Tizim m chiziqli tenglamalar c n noma'lumlar deb ataladi chiziqli bir jinslilar tizimi tenglamalar, agar barcha erkin shartlar nolga teng bo'lsa. Bunday tizim quyidagicha ko'rinadi:

Qayerda va ij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) - berilgan raqamlar; x i- noma'lum.

Chiziqli bir hil tenglamalar tizimi har doim izchil bo'ladi, chunki r(A) = r(). U har doim kamida nolga ega ( ahamiyatsiz) eritma (0; 0; …; 0).

Keling, qanday sharoitlarda bir jinsli tizimlar nolga teng bo'lmagan echimlarga ega ekanligini ko'rib chiqaylik.

Teorema 1. Chiziqli bir hil tenglamalar tizimi, agar uning asosiy matritsasining darajasi bo'lsa, nolga teng bo'lmagan echimlarga ega bo'ladi. r kamroq noma'lum n, ya'ni. r < n.

□ 1). Chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemasi nolga teng bo'lmagan yechimga ega bo'lsin. Daraja matritsaning o'lchamidan oshmasligi sababli, aniqki, r ≤ n. Mayli r = n. Keyin kichik o'lchamlardan biri n n noldan farq qiladi. Shuning uchun tegishli chiziqli tenglamalar tizimi yagona yechimga ega: ... Bu arzimas echimlardan boshqa hech qanday yechim yo'qligini anglatadi. Shunday qilib, agar ahamiyatsiz bo'lmagan yechim mavjud bo'lsa, unda r < n.

2). Mayli r < n. Keyin bir hil sistema izchil bo'lib, noaniq bo'ladi. Bu uning cheksiz ko'p echimlarga ega ekanligini anglatadi, ya'ni. nolga teng bo'lmagan yechimlarga ega. ■

Bir hil tizimni ko'rib chiqing n chiziqli tenglamalar c n noma'lum:

(2)

Teorema 2. Bir hil tizim n chiziqli tenglamalar c n noma'lumlar (2) ning determinanti nolga teng bo'lgandagina nolga teng bo'lmagan yechimlarga ega bo'ladi: = 0.

□ Agar sistema (2) nolga teng bo'lmagan yechimga ega bo'lsa, u holda = 0. Chunki sistemada faqat bitta nol yechim mavjud bo'lganda. Agar = 0 bo'lsa, unda daraja r tizimning asosiy matritsasi noma'lumlar sonidan kamroq, ya'ni. r < n. Va shuning uchun tizim cheksiz ko'p echimlarga ega, ya'ni. nolga teng bo'lmagan yechimlarga ega. ■

(1) sistemaning yechimini belgilaymiz. X 1 = k 1 , X 2 = k 2 , …, x n = k n ip sifatida .

Chiziqli bir jinsli tenglamalar tizimining yechimlari quyidagi xususiyatlarga ega:

1. Agar chiziq (1) sistemaning yechimi bo’lsa, u holda chiziq (1) sistemaning yechimi bo’ladi.

2. Agar chiziqlar va (1) sistemaning yechimlari, keyin har qanday qiymatlar uchun Bilan 1 va Bilan 2 ularning chiziqli birikmasi ham (1) sistemaning yechimidir.

Ushbu xususiyatlarning haqiqiyligini tizim tenglamalariga to'g'ridan-to'g'ri almashtirish orqali tekshirish mumkin.

Tuzilgan xossalardan kelib chiqadiki, chiziqli bir hil tenglamalar sistemasi yechimlarining har qanday chiziqli birikmasi ham ushbu sistemaning yechimi hisoblanadi.

Chiziqli mustaqil yechimlar tizimi e 1 , e 2 , …, e r chaqirdi asosiy, agar (1) sistemaning har bir yechimi bu yechimlarning chiziqli birikmasi bo'lsa e 1 , e 2 , …, e r.

Teorema 3. Agar daraja r chiziqli bir hil tenglamalar tizimining o'zgaruvchilari uchun koeffitsientlar matritsalari (1) o'zgaruvchilar sonidan kamroq n, u holda (1) tizimning har qanday fundamental yechimlari tizimidan iborat n–r qarorlar.

Shunung uchun umumiy qaror chiziqli bir hil tenglamalar tizimi (1) quyidagi ko'rinishga ega:

Qayerda e 1 , e 2 , …, e r- tizimni hal qilishning har qanday fundamental tizimi (9), Bilan 1 , Bilan 2 , …, bilan p- ixtiyoriy raqamlar; R = n–r.

Teorema 4. Tizimning umumiy yechimi m chiziqli tenglamalar c n noma'lumlar tegishli chiziqli bir jinsli tenglamalar tizimining umumiy yechimi (1) va ushbu tizimning ixtiyoriy xususiy yechimi (1) yig'indisiga teng.

Misol. Tizimni hal qiling

Yechim. Ushbu tizim uchun m = n= 3. Aniqlovchi

2-teoremaga ko'ra, tizim faqat arzimas yechimga ega: x = y = z = 0.

Misol. 1) Tizimning umumiy va xususiy yechimlarini toping

2) Yechimlarning asosiy tizimini toping.

Yechim. 1) Ushbu tizim uchun m = n= 3. Aniqlovchi

2-teoremaga ko'ra, tizim nolga teng bo'lmagan echimlarga ega.

Chunki tizimda faqat bitta mustaqil tenglama mavjud

x + y – 4z = 0,

keyin undan ifodalaymiz x =4z- y. Cheksiz ko'p echimlarni qayerdan olamiz: (4 z- y, y, z) - bu tizimning umumiy yechimi.

Da z= 1, y= -1, biz bitta aniq echimni olamiz: (5, -1, 1). Qo'yish z= 3, y= 2, biz ikkinchi maxsus yechimni olamiz: (10, 2, 3) va hokazo.

2) Umumiy yechimda (4 z- y, y, z) o'zgaruvchilar y Va z bepul va o'zgaruvchan X- ularga bog'liq. Yechimlarning asosiy tizimini topish uchun keling, erkin o'zgaruvchilarga qiymatlarni belgilaymiz: birinchi y = 1, z= 0, keyin y = 0, z= 1. Eritmalarning fundamental tizimini tashkil etuvchi qisman (-1, 1, 0), (4, 0, 1) yechimlarni olamiz.

Tasvirlar:

Guruch. 1 Chiziqli tenglamalar sistemalarining tasnifi

Guruch. 2 Chiziqli tenglamalar tizimini o'rganish

Taqdimotlar:

· Yechim SLAE_matrix usuli

· SLAE_Cramer usuli yechimi

· Yechim SLAE_Gauss usuli

· Matematik masalalarni yechish uchun paketlar Mathematica, MathCad: chiziqli tenglamalar sistemalarining analitik va sonli yechimlarini izlash

Nazorat savollari:

1. Chiziqli tenglamani aniqlang

2. U qanday turdagi tizimga o'xshaydi? m bilan chiziqli tenglamalar n noma'lum?

3. Chiziqli tenglamalarni yechish tizimlari nima deyiladi?

4. Qanday tizimlar ekvivalent deb ataladi?

5. Qaysi tizim mos kelmaydigan deb ataladi?

6. Qanday sistema bo'g'in deb ataladi?

7. Qaysi sistema aniq deyiladi?

8. Qaysi sistema noaniq deb ataladi

9. Chiziqli tenglamalar sistemalarining elementar o'zgarishlarini sanab bering

10. Matritsalarning elementar o‘zgarishlarini sanab o‘ting

11. Chiziqli tenglamalar sistemasiga elementar o‘zgartirishlarni qo‘llash haqida teorema tuzing.

12. Matritsa usuli yordamida qanday tizimlarni yechish mumkin?

13. Qanday tizimlarni Kramer usuli bilan yechish mumkin?

14. Gauss usuli bilan qanday tizimlarni yechish mumkin?

15. Gauss usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yechishda yuzaga keladigan 3 ta mumkin bo‘lgan holatlarni sanab o‘ting.

16. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning matritsa usulini aytib bering

17. Chiziqli tenglamalar tizimini yechish uchun Kramer usulini aytib bering

18. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish uchun Gauss usulini aytib bering

19. Qaysi tizimlarni teskari matritsa yordamida yechish mumkin?

20. Chiziqli tenglamalar sistemalarini Kramer usuli yordamida yechishda yuzaga kelishi mumkin bo‘lgan 3 ta holatni sanab o‘ting.

Adabiyot:

1. Iqtisodchilar uchun oliy matematika: Universitetlar uchun darslik / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, M.N.Fridman. Ed. N.Sh. Kremer. – M.: BIRLIK, 2005. – 471 b.

2. Iqtisodchilar uchun oliy matematikaning umumiy kursi: Darslik. / Ed. IN VA. Ermakova. –M.: INFRA-M, 2006. – 655 b.

3. Iqtisodchilar uchun oliy matematikadan masalalar to‘plami: Darslik / Tahririyati V.I. Ermakova. M.: INFRA-M, 2006. – 574 b.

4. Gmurman V. E. Ehtimollar nazariyasi va magmatik statistika masalalarini yechish bo‘yicha qo‘llanma. - M.: Oliy maktab, 2005. – 400 b.

5. Gmurman. V.E. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika. - M.: Oliy maktab, 2005 yil.

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Mashqlar va masalalarda oliy matematika. 1-qism, 2. – M.: Oniks 21-asr: Tinchlik va taʼlim, 2005. – 304 b. 1-qism; – 416 b. 2-qism.

7. Iqtisodiyotda matematika: Darslik: 2 qismdan iborat / A.S. Solodovnikov, V.A. Babaytsev, A.V. Brailov, I.G. Shandara. – M.: Moliya va statistika, 2006 yil.

8. Shipachev V.S. Oliy matematika: talabalar uchun darslik. universitetlar - M.: Oliy maktab, 2007. - 479 b.

Tegishli ma'lumotlar.

Chiziqli algebraik tenglamalarning bir jinsli tizimlari

Darslarning bir qismi sifatida Gauss usuli Va Umumiy yechim bilan mos kelmaydigan tizimlar/tizimlar ko‘rib chiqdik chiziqli tenglamalarning bir jinsli bo'lmagan tizimlari, Qayerda bepul a'zo(odatda o'ng tomonda) kamida bitta tenglamalardan noldan farq qilgan.
Va endi, yaxshi isinishdan keyin matritsa darajasi, biz texnikani jilolashni davom ettiramiz elementar transformatsiyalar yoqilgan chiziqli tenglamalarning bir jinsli tizimi.
Birinchi xatboshilarga asoslanib, material zerikarli va o'rtacha ko'rinishi mumkin, ammo bu taassurot aldamchi. Texnikalarni yanada rivojlantirishdan tashqari, juda ko'p yangi ma'lumotlar bo'ladi, shuning uchun ushbu maqoladagi misollarni e'tiborsiz qoldirmaslikka harakat qiling.

Chiziqli tenglamalarning bir jinsli tizimi nima?

Javob o'zini ko'rsatadi. Chiziqli tenglamalar tizimi, agar erkin muddat bo'lsa, bir hil bo'ladi hamma sistemaning tenglamasi nolga teng. Masalan:

Bu mutlaqo aniq bir hil tizim har doim izchil bo'ladi, ya'ni uning har doim yechimi bor. Va, birinchi navbatda, sizning ko'zingizga tushadigan narsa bu so'zdir ahamiyatsiz yechim . Arzimas, sifatdoshning ma'nosini umuman tushunmaydiganlar uchun ko'z-ko'z qilmasdan, degan ma'noni anglatadi. Akademik emas, albatta, lekin tushunarli =) ...Nega butani aylanib o'tish kerak, keling, ushbu tizimda boshqa echimlar bor yoki yo'qligini bilib olaylik:

1-misol

Yechim: bir jinsli sistemani yechish uchun yozish kerak tizim matritsasi elementar transformatsiyalar yordamida uni bosqichma-bosqich shaklga keltiring. E'tibor bering, bu erda vertikal chiziq va bo'sh shartlarning nol ustunini yozishning hojati yo'q - axir, siz nol bilan nima qilsangiz ham, ular nol bo'lib qoladi:

(1) Birinchi qator ikkinchi qatorga qo'shildi, -2 ga ko'paytirildi. Birinchi qator uchinchi qatorga qo'shildi, -3 ga ko'paytirildi.

(2) Ikkinchi qator uchinchi qatorga qo'shildi, -1 ga ko'paytirildi.

Uchinchi qatorni 3 ga bo'lish unchalik ma'noga ega emas.

Elementar transformatsiyalar natijasida ekvivalent bir hil sistema olinadi , va Gauss usulining teskari usulidan foydalanib, yechimning yagona ekanligini tekshirish oson.

Javob:

Keling, aniq mezonni shakllantiramiz: chiziqli tenglamalarning bir jinsli tizimi mavjud shunchaki arzimas yechim, Agar tizim matritsasi darajasi(bu holda 3) o'zgaruvchilar soniga teng (bu holda - 3 dona).

Keling, radiomizni elementar o'zgarishlar to'lqiniga qizdiramiz va sozlaymiz:

2-misol

Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasini yeching

Maqoladan Matritsaning darajasini qanday topish mumkin? Bir vaqtning o'zida matritsa sonlarini kamaytirishning ratsional texnikasini eslaylik. Aks holda, siz katta va tez-tez tishlaydigan baliqlarni kesishingiz kerak bo'ladi. Dars oxiridagi topshiriqning taxminiy namunasi.

Nollar yaxshi va qulaydir, lekin amalda tizim matritsasining satrlari bo'lganda holat ancha keng tarqalgan chiziqli bog'liq. Va keyin umumiy yechimning paydo bo'lishi muqarrar:

3-misol

Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasini yeching

Yechim: tizimning matritsasini yozamiz va elementar transformatsiyalardan foydalanib, uni bosqichma-bosqich shaklga keltiramiz. Birinchi harakat nafaqat bitta qiymatni olishga, balki birinchi ustundagi raqamlarni kamaytirishga qaratilgan:

(1) Birinchi qatorga uchinchi qator qo'shildi, -1 ga ko'paytirildi. Uchinchi qator ikkinchi qatorga qo'shildi, -2 ga ko'paytirildi. Yuqori chap tomonda men "minus" bilan birlik oldim, bu ko'pincha keyingi o'zgarishlar uchun qulayroqdir.

(2) Birinchi ikkita satr bir xil, ulardan biri o'chirildi. Rostini aytsam, men yechimni talab qilmadim - bu shunday bo'ldi. Agar siz o'zgartirishlarni shablon shaklida amalga oshirsangiz, u holda chiziqli bog'liqlik chiziqlar biroz keyinroq ochilgan bo'lardi.

(3) Ikkinchi qator uchinchi qatorga qo'shildi, 3 ga ko'paytirildi.

(4) Birinchi qatorning belgisi o'zgartirildi.

Elementar transformatsiyalar natijasida ekvivalent tizim olindi:

Algoritm xuddi shunday ishlaydi heterojen tizimlar. "Qadamlarda o'tirgan" o'zgaruvchilar asosiy hisoblanadi, "qadam" ni olmagan o'zgaruvchi bepul.

Keling, asosiy o'zgaruvchilarni erkin o'zgaruvchi orqali ifodalaymiz:

Javob: umumiy qaror:

Arzimas yechim umumiy formulaga kiritilgan va uni alohida yozish kerak emas.

Tekshirish odatdagi sxema bo'yicha ham amalga oshiriladi: natijada olingan umumiy yechim tizimning har bir tenglamasining chap tomoniga almashtirilishi va barcha almashtirishlar uchun qonuniy nol olinishi kerak.

Buni tinch va osoyishta yakunlash mumkin edi, lekin bir hil tenglamalar tizimining yechimi ko'pincha ifodalanishi kerak. vektor shaklida yordamida asosiy yechimlar tizimi. Iltimos, hozircha bu haqda unuting analitik geometriya, chunki endi men maqolada biroz ochgan umumiy algebraik ma'nodagi vektorlar haqida gaplashamiz. matritsa darajasi. Terminologiyani porlashning hojati yo'q, hamma narsa juda oddiy.

Keling, ko'rib chiqaylik bir hil tizim n o‘zgaruvchili m chiziqli tenglamalar:

(15)

Bir jinsli chiziqli tenglamalar tizimi doimo izchil bo'ladi, chunki u har doim nol (arzimas) yechimga ega (0,0,…,0).

Agar (15) sistemada m=n va bo'lsa, sistemada Kramer teoremasi va formulalaridan kelib chiqadigan faqat nol yechim mavjud.

Teorema 1. Bir hil tizim (15) agar uning matritsasining darajasi o'zgaruvchilar sonidan kam bo'lsa, noan'anaviy yechimga ega bo'ladi, ya'ni. . r(A)< n.

Isbot. (15) sistemaning notrivial yechimining mavjudligi tizim matritsasi ustunlarining chiziqli bog'liqligiga teng (ya'ni, x 1, x 2,..., x n raqamlari mavjud, hammasi nolga teng emas, shundayki (15) tengliklari to'g'ri).

Bazis minor teoremasiga ko'ra, matritsaning ustunlari chiziqli bog'liq  bo'lsa, bu matritsaning barcha ustunlari asosiy bo'lmaganda, ya'ni.  matritsaning bazis minorining r tartibi uning ustunlarining n sonidan kichik bo'lganda. Va boshqalar.

Natija. Kvadratli bir jinsli sistemada |A|=0 bo'lganda trivial bo'lmagan  yechimlari mavjud.

Teorema 2. Agar x (1), x (2),..., x (s) ustunlar bir jinsli AX = 0 sistemaning yechimlari bo‘lsa, ularning har qanday chiziqli birikmasi ham shu sistemaning yechimi hisoblanadi.

Isbot. Yechimlarning har qanday kombinatsiyasini ko'rib chiqing:

Keyin AX=A()===0. va boshqalar.

Xulosa 1. Agar bir hil sistema notrivial yechimga ega bo'lsa, unda cheksiz ko'p yechimlar mavjud.

Bu. Ax = 0 sistemaning x (1), x (2),..., x (s) yechimlarini topish kerak, shunda bu sistemaning boshqa har qanday yechimi ularning chiziqli birikmasi va ko’rinishida ifodalanadi. , bundan tashqari, o'ziga xos tarzda.

Ta'rif. Ax=0 sistemaning x (1), x (2),..., x (k) chiziqli mustaqil yechimlarining k=n-r (n - sistemadagi noma’lumlar soni, r=rg A) tizimi deyiladi. asosiy yechimlar tizimi bu tizim.

Teorema 3. n ta noma'lum va r=rg A bo'lgan bir jinsli Ax=0 sistema berilsin.U holda bu sistemaning k=n-r yechimlari x (1), x (2),..., x (k) to'plami mavjud bo'lib, a hosil qiladi. asosiy yechimlar tizimi.

Isbot. Umumiylikni yo'qotmasdan, biz A matritsaning asosiy minorini yuqori chap burchakda joylashgan deb taxmin qilishimiz mumkin. Keyin, bazis minor teoremasiga ko'ra, A matritsasining qolgan qatorlari bazis qatorlarining chiziqli birikmalaridir. Bu shuni anglatadiki, agar x 1, x 2,…, x n qiymatlari birinchi r tenglamani qanoatlantirsa, ya'ni. bazis minor satrlariga mos keladigan tenglamalar), keyin ular boshqa tenglamalarni ham qanoatlantiradi. Binobarin, (r+1)-dan boshlab barcha tenglamalarni bekor qilsak, tizim yechimlari to'plami o'zgarmaydi. Biz tizimni olamiz:

X r +1 , x r +2 ,…, x n erkin nomaʼlumlarni oʻng tomonga siljiymiz, asosiylarini esa x 1 , x 2 ,…, x r chap tomonda qoldiraylik:

(16)

Chunki bu holda barcha b i =0, keyin formulalar o'rniga

c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r ((13), olamiz:

c j =-(c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r (13)

Agar x r +1 , x r +2 ,…, x n erkin nomaʼlumlarni ixtiyoriy qiymatlarga qoʻysak, u holda asosiy nomaʼlumlarga nisbatan yagona yechim mavjud boʻlgan yagona boʻlmagan matritsaga ega kvadrat SLAE ni olamiz. Shunday qilib, bir hil SLAE ning har qanday eritmasi x r +1, x r +2,…, x n erkin noma'lumlarning qiymatlari bilan yagona aniqlanadi. Erkin noma'lumlar qiymatlarining quyidagi k=n-r qatorini ko'rib chiqing:

1, =0, ….,=0,

1, =0, ….,=0, (17)

………………………………………………

1, =0, ….,=0,

(Serial raqami qavs ichida ustun belgisi bilan ko'rsatilgan va qiymatlar qatori ustunlar shaklida yoziladi. Har bir seriyada =1, agar i=j bo'lsa va =0 bo'lsa, ij.

Erkin noma'lumlar qiymatlarining i-chi qatori ,,...,asosiy noma'lumlar qiymatlariga o'ziga xos tarzda mos keladi. Erkin va asosiy noma'lumlarning qiymatlari birgalikda tizimga yechim beradi (17).

E i =,i=1,2,…,k ustunlari (18) ekanligini ko'rsatamiz.

yechimlarning asosiy tizimini tashkil qiladi.

Chunki Bu ustunlar konstruktsiyasi bo'yicha Ax=0 bir jinsli sistemaning yechimlari bo'lib, ularning soni k ga teng bo'lsa, u holda yechimlarning chiziqli mustaqilligini isbotlash qoladi (16). Yechimlarning chiziqli birikmasi bo'lsin e 1 , e 2 ,…, e k(x (1) , x (2) ,…, x (k)), nol ustunga teng:

 1 e 1 +  2 e 2 +…+  k e k ( 1 X (1) + 2 X(2) +…+ k X(k) = 0)

U holda bu tenglikning chap tomoni r+1,r+2,...,n sonli komponentlari nolga teng bo'lgan ustundir. Lekin (r+1)-chi komponent  1 1+ 2 0+…+ k 0= 1 ga teng. Xuddi shunday (r+2)-chi komponent  2 ,… ga, k-komponent  k ga teng. Shuning uchun  1 =  2 = …= k =0, bu yechimlarning chiziqli mustaqilligini bildiradi e 1 , e 2 ,…, e k ( x (1) , x (2) ,…, x (k)).

Tuzilgan asosiy yechimlar tizimi (18) deyiladi normal. (13) formulaga ko'ra u quyidagi ko'rinishga ega:

(20)

Xulosa 2. Mayli e 1 , e 2 ,…, e k-bir jinsli sistema eritmalarining normal fundamental sistemasi, u holda barcha eritmalar to‘plamini quyidagi formula bilan tasvirlash mumkin:

x=c 1 e 1 +s 2 e 2 +…+s k e k (21)

bu yerda s 1,s 2,…,s k – ixtiyoriy qiymatlarni qabul qilish.

Isbot. 2-teoremaga binoan (19) ustun Ax=0 bir jinsli sistemaning yechimidir. Bu tizimning har qanday yechimini (17) ko'rinishda ifodalash mumkinligini isbotlash qoladi. Ustunni ko'rib chiqing X=y r +1 e 1 +…+y n e k. Bu ustun r+1,...,n sonli elementlardagi y ustuni bilan mos tushadi va (16) ning yechimi hisoblanadi. Shuning uchun ustunlar X Va da mos keladi, chunki (16) tizimning yechimlari uning x r +1 ,…,x n erkin nomaʼlumlari va ustunlari qiymatlari toʻplami bilan yagona aniqlanadi. da Va X bu to'plamlar bir xil. Demak, da=X= y r +1 e 1 +…+y n e k, ya'ni. yechim da ustunlarning chiziqli birikmasidir e 1 ,…,y n normal FSR. Va boshqalar.

Tasdiqlangan bayonot nafaqat oddiy FSR uchun, balki bir hil SLAE ning ixtiyoriy FSR uchun ham to'g'ri.

X=c 1 X 1 + c 2 X 2 +…+s n - r X n - r - umumiy qaror chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemalari

Bu erda X 1, X 2,…, X n - r - har qanday fundamental yechimlar tizimi,

c 1 ,c 2 ,…,c n - r ixtiyoriy sonlar.

Misol. (78-bet)

Keling, bir hil bo'lmagan SLAE yechimlari o'rtasida bog'lanishni o'rnatamiz (1) va mos keladigan bir hil SLAE (15)

Teorema 4. Bir jinsli sistema (1) va mos keladigan bir jinsli sistema (15) ning har qanday yechimlari yig’indisi (1) sistemaning yechimidir.

Isbot. Agar c 1 ,…,c n (1) sistemaning yechimi, d 1 ,…,d n esa (15) sistemaning yechimi bo‘lsa, u holda c noma’lum sonlarni istalgan (masalan, i-chi) tenglamaga almashtirish. sistema (1) 1 +d 1 ,…,c n +d n , biz quyidagilarni olamiz:

B i +0=b i h.t.d.

Teorema 5. Bir jinsli sistemaning (1) ikkita ixtiyoriy yechimlari orasidagi farq bir jinsli sistemaning (15) yechimidir.

Isbot. Agar c 1 ,…,c n va c 1 ,…,c n (1) sistemaning yechimlari bo‘lsa, u holda c noma’lum sonlarni sistemaning istalgan (masalan, i-chi) tenglamasiga almashtirish (1) ) 1 -s 1 ,…,c n -s n , hosil bo‘ladi:

B i -b i =0 p.t.d.

Tasdiqlangan teoremalardan kelib chiqadiki, n ta o'zgaruvchiga ega m chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemasining umumiy yechimi mos keladigan bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining umumiy yechimi (15) va ma'lum bir yechimning ixtiyoriy soni yig'indisiga teng. bu tizim (15).

X neod. =X jami bitta +X tez-tez bir necha marta (22)

Bir jinsli bo'lmagan sistemaning muayyan yechimi sifatida, agar formulalarda c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i, r +1)-…-c n M j bo'lsa, olingan eritmani olish tabiiydir. (a in)) j=1,2,…,r ((13) barcha c r +1 ,…,c n sonlarni nolga tenglashtiring, ya’ni.

X 0 =(,…,,0,0,…,0) (23)

Ushbu maxsus yechimni umumiy yechimga qo'shish X=c 1 X 1 + c 2 X 2 +…+s n - r X n - r Tegishli bir hil tizim, biz quyidagilarni olamiz:

X neod. =X 0 +C 1 X 1 +C 2 X 2 +…+S n - r X n - r (24)

Ikki o'zgaruvchiga ega ikkita tenglama tizimini ko'rib chiqing:

unda koeffitsientlarning kamida bittasi a ij 0.

Yechish uchun birinchi tenglamani 22 ga, ikkinchisini (-a 12) ga ko‘paytirish va ularni qo‘shish orqali x 2 ni yo‘q qilamiz: Birinchi tenglamani (-a 21) ga, ikkinchisini esa 11 ga ko‘paytirish orqali x 1 ni yo‘q qilamiz. va ularni qo'shish: Qavs ichidagi ifoda aniqlovchi hisoblanadi

Belgilangan holda ,, u holda tizim quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:, ya'ni, agar, u holda tizim yagona yechimga ega:,.

Agar D=0, va (yoki) bo'lsa, sistema mos kelmaydi, chunki ko'rinishga keltiriladi Agar D=D 1 =D 2 =0 bo'lsa, sistema noaniq, chunki shaklga qisqartiriladi

1-misol. Tizim uchun umumiy yechim va ba'zi fundamental yechimlar tizimini toping

Yechim kalkulyator yordamida toping. Yechish algoritmi chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamalar tizimlari bilan bir xil.
Faqat qatorlar bilan ishlagan holda, biz matritsaning darajasi, bazis minorini topamiz; Biz qaram va erkin noma'lumlarni e'lon qilamiz va umumiy yechim topamiz.

Birinchi va ikkinchi qatorlar proportsionaldir, keling, ulardan birini kesib o'tamiz:

.
Bog'liq o'zgaruvchilar - x 2, x 3, x 5, bepul - x 1, x 4. Birinchi 10x 5 = 0 tenglamasidan biz x 5 = 0 ni topamiz, u holda
; .
Umumiy yechim:

Biz (n-r) yechimlardan iborat fundamental yechimlar tizimini topamiz. Bizning holatimizda n=5, r=3, demak, asosiy yechimlar sistemasi ikkita yechimdan iborat bo‘lib, bu yechimlar chiziqli mustaqil bo‘lishi kerak. Qatorlar chiziqli mustaqil bo'lishi uchun satrlar elementlaridan tuzilgan matritsaning darajasi qatorlar soniga teng bo'lishi zarur va etarli, ya'ni 2. Erkin noma'lumlarni x 1 va berish kifoya. Ikkinchi tartibli determinant satrlaridan x 4 qiymatlari nolga teng emas va x 2 , x 3 , x 5 ni hisoblang. Nolga teng bo'lmagan eng oddiy determinant.
Shunday qilib, birinchi yechim: , ikkinchi - .
Ushbu ikkita qaror asosiy qarorlar tizimini tashkil qiladi. E'tibor bering, asosiy tizim noyob emas (siz xohlaganingizcha noldan farqli determinantlarni yaratishingiz mumkin).

2-misol. Sistemaning umumiy yechimi va asosiy yechimlar tizimini toping
Yechim.



,
shundan kelib chiqadiki, matritsaning darajasi 3 va noma'lumlar soniga teng. Bu shuni anglatadiki, tizimda bepul noma'lumlar yo'q va shuning uchun o'ziga xos echim bor - ahamiyatsiz.

Mashq qilish. Chiziqli tenglamalar tizimini o'rganing va yechish.
4-misol

Mashq qilish. Har bir tizimning umumiy va xususiy yechimlarini toping.
Yechim. Tizimning asosiy matritsasini yozamiz:

5	-2	9	-4	-1
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Matritsani uchburchak shaklga keltiramiz. Biz faqat satrlar bilan ishlaymiz, chunki matritsa qatorini noldan boshqa raqamga ko'paytirish va uni tizim uchun boshqa qatorga qo'shish tenglamani bir xil raqamga ko'paytirishni va uni boshqa tenglama bilan qo'shishni anglatadi, bu esa tenglamaning echimini o'zgartirmaydi. tizimi.
2-qatorni (-5) ga ko'paytiring. 1-chi qatorga 2-qatorni qo'shamiz:

0	-22	-1	-14	24
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6

2-qatorni (6) ga ko'paytiramiz. 3-qatorni (-1) ga ko'paytiring. 2-qatorga 3-qatorni qo'shamiz:
Keling, matritsaning darajasini topamiz.

0	22	1	14	-24
6	2	11	-2	-6
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Tanlangan minor eng yuqori tartibga ega (mumkin bo'lgan kichiklar) va nolga teng emas (u teskari diagonaldagi elementlarning mahsulotiga teng), shuning uchun rang (A) = 2.
Bu kichik asosiy hisoblanadi. U x 1 , x 2 nomaʼlumlar uchun koeffitsientlarni oʻz ichiga oladi, yaʼni x 1 , x 2 nomaʼlumlar bogʻliq (asosiy), x 3, x 4, x 5 esa erkindir.
Matritsani o'zgartiramiz, chap tomonda faqat minor bazisni qoldiramiz.

0	22	14	-1	-24
6	2	-2	-11	-6
x 1	x 2	x 4	x 3	x 5

Ushbu matritsaning koeffitsientlari bo'lgan tizim asl tizimga teng va quyidagi shaklga ega:
22x 2 = 14x 4 - x 3 - 24x 5
6x 1 + 2x 2 = - 2x 4 - 11x 3 - 6x 5
Noma'lumlarni yo'q qilish usulidan foydalanib, biz topamiz ahamiyatsiz yechim:
Biz x 3, x 4, x 5 bo'sh bo'lganlar orqali x 1, x 2 bog'liq o'zgaruvchilarni ifodalovchi munosabatlarni oldik, ya'ni topdik. umumiy qaror:
x 2 = 0,64x 4 - 0,0455x 3 - 1,09x 5
x 1 = - 0,55x 4 - 1,82x 3 - 0,64x 5
Biz (n-r) yechimlardan iborat fundamental yechimlar tizimini topamiz.
Bizning holatimizda n=5, r=2, demak, asosiy yechimlar sistemasi 3 ta yechimdan iborat bo‘lib, bu yechimlar chiziqli mustaqil bo‘lishi kerak.
Qatorlar chiziqli mustaqil bo'lishi uchun qator elementlaridan tashkil topgan matritsaning darajasi qatorlar soniga teng, ya'ni 3 bo'lishi zarur va etarli.
3-tartibli determinantning satrlaridan nolga teng bo'lmagan erkin noma'lumlar x 3 , x 4 , x 5 qiymatlarini berish va x 1 , x 2 ni hisoblash kifoya.
Nolga teng bo'lmagan eng oddiy determinant - bu identifikatsiya matritsasi.

1	0	0
0	1	0
0	0	1

Vazifa. Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi yechimlarining asosiy to‘plamini toping.