Hosila vositalari bilan operatsiyalar. Hosila nima?Hosila funksiyaning ta'rifi va ma'nosi. Funktsiyaning nuqtadagi hosilasi uchun umumiy belgilar

Hosila tushunchasi

Funktsiyaga ruxsat bering f(x) ma'lum bir intervalda aniqlanadi X. Keling, nuqtadagi argumentning qiymatini beraylik x 0 X ixtiyoriy o'sish Δ x shuning uchun nuqta x 0 + Δ x ga ham tegishli edi X. Keyin tegishli f(x) funksiyaning ortishi D bo'ladi da = f(x 0 + Δ x) - f(x 0).

Ta'rif 1. f(x) funksiyaning hosilasi nuqtada x 0 funktsiyaning bu nuqtadagi o'sishining D dagi argumentning o'sishiga nisbati chegarasi deyiladi. x 0 (agar bu chegara mavjud bo'lsa).

Funktsiyaning hosilasini belgilash uchun biz belgilardan foydalanamiz y" (x 0) yoki f"(x 0):

Agar biror nuqtada x 0 chegara (4.1) cheksizdir:

keyin shunday deyishadi x 0 funktsiyasi f(x) bor cheksiz hosila.

Agar funktsiya f(x) to‘plamning har bir nuqtasida hosilaga ega X, keyin hosila f"(x) argumentning funksiyasi hamdir X, da belgilangan X.

Hosilning geometrik ma'nosi

Hosilning geometrik ma’nosini aniqlashtirish uchun funksiya grafigiga berilgan nuqtadagi teginishini aniqlashimiz kerak.

Ta'rif 2. Tangent funksiya grafigiga y = f(x) nuqtada M sekantning chegaraviy pozitsiyasi deb ataladi MN, nuqta qachon N nuqtaga intiladi M egri chiziq bo'ylab f(x).

Nuqtaga ruxsat bering M egri chiziqda f(x) argumentning qiymatiga mos keladi x 0, va nuqta N- argument qiymati x 0 + Δ x(4.1-rasm). Tangensning ta'rifidan kelib chiqadiki, uning bir nuqtada mavjudligi x 0 tangensning o'qga moyillik burchagiga teng bo'lgan chegara bo'lishi kerak. Oh. Uchburchakdan M.N.A. shunga amal qiladi

Funktsiyaning hosilasi bo'lsa f(x) nuqtada x 0 mavjud bo'lsa, (4.1) ga ko'ra olamiz

Bundan aniq xulosa kelib chiqadiki hosila f"(x 0) y funksiya grafigiga tegishning burchak koeffitsientiga (Ox o'qining musbat yo'nalishiga moyillik burchagi tangensi) teng. = f(x) V nuqta M(x 0, f(x 0)). Bunda tangensning burchagi (4.2) formuladan aniqlanadi:

Hosilning fizik ma'nosi

Faraz qilaylik, funksiya l = f(t) to‘g‘ri chiziqdagi moddiy nuqtaning harakat qonunini yo‘lga bog‘liqlik sifatida tavsiflaydi l vaqtdan boshlab t. Keyin farq D l = f (t +Δ t) - f(t) - D vaqt oralig'ida bosib o'tgan yo'l t, va nisbati D l/Δ t- vaqt bo'yicha o'rtacha tezlik D t. Keyin chegara aniqlanadi oniy nuqta tezligi bir vaqtning o'zida t vaqtga nisbatan yo'lning hosilasi sifatida.

Muayyan ma'noda funktsiyaning hosilasi da = f(x) funktsiyaning o'zgarish tezligi sifatida ham talqin qilinishi mumkin: qiymat qanchalik katta bo'lsa f"(x), tangensning egri chiziqqa moyillik burchagi qanchalik katta bo'lsa, grafik shunchalik tik bo'ladi. f(x) va funksiya tezroq o'sadi.

O'ng va chap hosilalar

Funksiyaning bir tomonlama chegaralari tushunchalari bilan oʻxshashlik yoʻli bilan funksiyaning nuqtadagi oʻng va chap hosilalari tushunchalari kiritiladi.

Ta'rif 3. O'ng (chap) funktsiyaning hosilasi da = f(x) nuqtada x 0 D uchun (4.1) munosabatning o'ng (chap) chegarasi deyiladi x 0, agar bu chegara mavjud bo'lsa.

Bir tomonlama hosilalarni ko'rsatish uchun quyidagi simvolizm qo'llaniladi:

Agar funktsiya f(x) nuqtada mavjud x 0 hosila, keyin bu nuqtada bir-biriga mos keladigan chap va o'ng hosilalarga ega.

Bir-biriga teng bo'lmagan nuqtada bir tomonlama hosilalarga ega bo'lgan funksiyaga misol keltiramiz. Bu f(x) = |x|. Haqiqatan ham, nuqtada x = 0 bizda ... bor f' +(0) = 1, f" -(0) = -1 (4.2-rasm) va f' +(0) ≠ f’ -(0), ya'ni. funktsiyaning hosilasi yo'q X = 0.

Funktsiyaning hosilasini topish operatsiyasi deyiladi farqlash; nuqtada hosilasi bo'lgan funksiya deyiladi farqlanishi mumkin.

Funktsiyaning nuqtadagi differentsialligi va uzluksizligi o'rtasidagi bog'liqlik quyidagi teorema bilan belgilanadi.

1-TEOREMA . Agar funktsiya x 0 nuqtada differentsiallanadigan bo'lsa, u holda bu nuqtada uzluksizdir.

Buning aksi to'g'ri emas: funktsiya f(x), bir nuqtada uzluksiz, bu nuqtada hosilaga ega bo'lmasligi mumkin. Bunday misol funktsiyadir da = |x|; u bir nuqtada uzluksizdir x= 0, lekin hozirda hosilasi yo'q.

Demak, funksiyaning differentsialligi talabi uzluksizlik talabidan kuchliroqdir, chunki ikkinchisi avtomatik ravishda birinchisidan kelib chiqadi.

Berilgan nuqtadagi funksiya grafigiga teginish tenglamasi

3.9-bo'limda aytilganidek, nuqtadan o'tadigan chiziq tenglamasi M(x 0, y 0) qiyalik bilan k kabi ko'rinadi

Funktsiya berilgan bo'lsin da = f(x). Keyin bir nuqtada uning hosilasi beri M(x 0, y 0) nuqtadagi bu funksiya grafigiga tegishning qiyaligi M, u holda funksiya grafigiga teginish tenglamasi kelib chiqadi f(x) bu nuqtada shakl mavjud

$y = f(x)$ funktsiyaning berilgan nuqtadagi hosilasi $x_0$ funktsiya o'sishining uning argumentining mos keladigan o'sishiga nisbati chegarasi, agar u nolga moyil bo'lsa:

$f"(x_0)=(lim)↙(△x→0)(△f(x_0))/(△x)$

Differentsiatsiya - hosilani topish operatsiyasi.

Ayrim elementar funksiyalarning hosilalari jadvali

Farqlashning asosiy qoidalari

1. Yig‘indining hosilasi (farq) hosilalari yig‘indisiga (farq) teng.

$(f(x) ± g(x))"= f"(x)±g"(x)$

$f(x)=3x^5-cosx+(1)/(x)$ funksiyaning hosilasini toping.

Yig'indining hosilasi (farq) hosilalarning yig'indisiga (farqiga) teng.

$f"(x) = (3x^5)"-(cos x)" + ((1)/(x))" = 15x^4 + sinx - (1)/(x^2)$

2. Mahsulotning hosilasi

$(f(x) g(x)"= f"(x) g(x)+ f(x) g(x)"$

$f(x)=4x cosx$ hosilasini toping

$f"(x)=(4x)"·cosx+4x·(cosx)"=4·cosx-4x·sinx$

3. Bo‘lakning hosilasi

$((f(x))/(g(x)))"=(f"(x) g(x)-f(x) g(x)")/(g^2(x)) $

$f(x)=(5x^5)/(e^x)$ hosilasini toping

$f"(x)=((5x^5)"·e^x-5x^5·(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4·e^x- 5x^5 e^x)/((e^x)^2)$

4. Murakkab funktsiyaning hosilasi tashqi funktsiyaning hosilasi bilan ichki funktsiya hosilasining hosilasiga teng.

$f(g(x))"=f"(g(x)) g"(x)$

$f"(x)=cos"(5x)·(5x)"=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$

Hosilning fizik ma'nosi

Agar moddiy nuqta to'g'ri chiziqli harakat qilsa va uning koordinatasi $x(t)$ qonuniga ko'ra vaqtga qarab o'zgarsa, u holda bu nuqtaning oniy tezligi funksiya hosilasiga teng bo'ladi.

Nuqta $x(t)= 1,5t^2-3t + 7$ qonuniga muvofiq koordinata chizig‘i bo‘ylab harakatlanadi, bu yerda $x(t)$ $t$ vaqtdagi koordinatadir. Vaqtning qaysi nuqtasida nuqta tezligi $12$ ga teng bo'ladi?

1. Tezlik $x(t)$ hosilasidir, shuning uchun berilgan funksiyaning hosilasini topamiz.

$v(t) = x"(t) = 1,5 2t -3 = 3t -3$

2. Vaqtning qaysi nuqtasida $t$ tezligi $12$ ga teng bo'lganini topish uchun tenglama tuzamiz va yechamiz:

Hosilning geometrik ma'nosi

Eslatib o'tamiz, koordinata o'qlariga parallel bo'lmagan to'g'ri chiziq tenglamasini $y = kx + b$ ko'rinishda yozish mumkin, bu erda $k$ - to'g'ri chiziqning qiyaligi. $k$ koeffitsienti to'g'ri chiziq bilan $Ox$ o'qining musbat yo'nalishi orasidagi qiyalik burchagi tangensiga teng.

$f(x)$ funksiyaning $x_0$ nuqtadagi hosilasi ushbu nuqtadagi grafaga teginishning $k$ qiyaligiga teng:

Shunday qilib, biz umumiy tenglikni yaratishimiz mumkin:

$f"(x_0) = k = tana$

Rasmda $f(x)$ funksiyasiga teginish ortib boradi, shuning uchun $k > 0$ koeffitsienti. $k > 0$ boʻlgani uchun $f"(x_0) = tana > 0$. Tangens va $Ox$ musbat yoʻnalishi orasidagi $a$ burchak oʻtkirdir.

Rasmda $f(x)$ funksiyasiga teginish kamayadi, shuning uchun $k koeffitsienti< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

Rasmda $f(x)$ funksiyasining tangensi $Ox$ o'qiga parallel, shuning uchun koeffitsient $k = 0$, demak, $f"(x_0) = tan a = 0$. $x_0$ nuqtasi, bunda $f "(x_0) = 0$, chaqiriladi ekstremum.

Rasmda $y=f(x)$ funksiyaning grafigi va $x_0$ abscissasi bilan nuqtada chizilgan ushbu grafikga teginish ko'rsatilgan. $f(x)$ funksiyasi hosilasining $x_0$ nuqtasidagi qiymatini toping.

Grafikning tangensi ortadi, shuning uchun $f"(x_0) = tan a > 0$

$f"(x_0)$ ni topish uchun $Ox$ o'qining tangensi va musbat yo'nalishi orasidagi qiyalik burchagi tangensini topamiz. Buning uchun $ABC$ uchburchakka teginish quramiz.

$BAC$ burchak tangensini topamiz. (To'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchakning tangensi qarama-qarshi tomonning qo'shni tomonga nisbati.)

$tg BAC = (BC)/(AC) = (3)/(12)= (1)/(4)=$0,25

$f"(x_0) = tg BAC = 0,25$

Javob: $0,25$

Losmalar ortib boruvchi va kamayuvchi funksiyalar oraliqlarini topish uchun ham ishlatiladi:

Agar intervalda $f"(x) > 0$ bo'lsa, u holda $f(x)$ funksiyasi bu oraliqda ortib bormoqda.

Agar $f"(x)< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

Rasmda $y = f(x)$ funksiyaning grafigi ko'rsatilgan. $x_1,x_2,x_3...x_7$ nuqtalar orasidan funktsiyaning hosilasi manfiy bo'lgan nuqtalarni toping.

Bunga javoban ushbu nuqtalar sonini yozing.

Reja:

1. Funksiyaning hosilasi

2. Differensial funksiya

3. Differensial hisoblashni funksiyalarni o‘rganishda qo‘llash

Bitta o‘zgaruvchili funksiyaning hosilasi

Funktsiya ma'lum bir intervalda aniqlansin. Argumentga o'sish sur'atini beramiz: , keyin funktsiya o'sishni oladi. Bu nisbatning chegarasini topamiz. Agar bu chegara mavjud bo'lsa, u funktsiyaning hosilasi deyiladi. Funktsiyaning hosilasi bir nechta belgilarga ega: . Baʼzan hosila yozuvida hosila qaysi oʻzgaruvchiga nisbatan olinganligini koʻrsatuvchi indeks qoʻllaniladi.

Ta'rif. Funktsiyaning bir nuqtadagi hosilasi argumentning o'sishi nolga moyil bo'lganda (agar bu chegara mavjud bo'lsa) funktsiya o'sishining argument o'sishiga nisbati chegarasidir:

Ta'rif. Intervalning har bir nuqtasida hosilasi bo'lgan funksiya deyiladi farqlanishi mumkin bu oraliqda.

Ta'rif. Funktsiyaning hosilasini topish operatsiyasi deyiladi farqlash.

Funksiya hosilasining nuqtadagi qiymati quyidagi belgilardan biri bilan belgilanadi: .

Misol. Funksiyaning ixtiyoriy nuqtadagi hosilasini toping.

Yechim. Biz qiymatga o'sish beramiz. Funktsiyaning nuqtadagi o'sishini topamiz: . Keling, munosabatlarni yarataylik. Keling, chegaraga o'tamiz: . Shunday qilib, .

Hosilning mexanik ma'nosi. Chunki yoki, ya'ni. vaqt lahzasida moddiy nuqtaning to'g'ri chiziqli harakati tezligi vaqtga nisbatan yo'lning hosilasidir. Bu hosilaning mexanik ma'nosi .

Agar funktsiya har qanday fizik jarayonni tavsiflasa, hosila bu jarayonning sodir bo'lish tezligidir. Bu hosilaning jismoniy ma'nosi .

Hosilning geometrik ma'nosi. Bir nuqtada vertikal bo'lmagan tangensga ega bo'lgan uzluksiz egri chiziqning grafigini ko'rib chiqing. Uning burchak koeffitsientini topamiz, bu erda o'q bilan teginish burchagi. Buning uchun nuqta va grafik orqali sekant chiziq chiziladi (1-rasm).

Sekant va o'q orasidagi burchakni - bilan belgilaymiz. Rasmda sekantning burchak koeffitsienti teng ekanligini ko'rsatadi

Qachonki, funktsiyaning uzluksizligi tufayli o'sish ham nolga intiladi; shuning uchun nuqta egri chiziq bo'ylab nuqtaga cheksiz yaqinlashadi va sekant nuqta atrofida aylanib, tangensga aylanadi. Burchak, ya'ni. . Demak, , demak, tangensning qiyaligi ga teng.

Tangensning egri chiziqqa qiyaligi

Bu tenglikni quyidagi shaklda qayta yozamiz: , ya'ni. nuqtadagi hosila abtsissasi teng bo'lgan nuqtadagi funksiya grafigiga teginish qiyaligiga teng. Bu hosilaning geometrik ma'nosi .

Agar teginish nuqtasi koordinatalariga ega bo'lsa (2-rasm), teginishning burchak koeffitsienti quyidagilarga teng: .

Berilgan nuqtadan ma'lum yo'nalishda o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega.

Keyin tangens tenglamasi shaklida yoziladi: .

Ta'rif. Aloqa nuqtasida tangensga perpendikulyar to'g'ri chiziq deyiladi egri chiziqqa normal.

Normalning burchak koeffitsienti teng: (chunki normal tangensga perpendikulyar).

Oddiy tenglama quyidagi shaklga ega:, Agar .

Topilgan qiymatlarni almashtirib, biz tangens tenglamalarni olamiz, ya'ni. .

Oddiy tenglama: yoki .

Agar funktsiya nuqtada chekli hosilaga ega bo'lsa, u shu nuqtada differensiallanadi. Agar funktsiya oraliqning har bir nuqtasida differentsiallanadigan bo'lsa, u o'sha oraliqda differentsiallanadi.

6.1 teorema Agar funktsiya qaysidir nuqtada differentsiallanadigan bo'lsa, u erda uzluksizdir.

Qarama-qarshi teorema to'g'ri emas. Uzluksiz funktsiyaning hosilasi bo'lmasligi mumkin.

Misol. Funksiya oraliqda uzluksizdir (3-rasm).

Yechim.

Ushbu funktsiyaning hosilasi quyidagilarga teng:

Bir nuqtada - funktsiyani differentsiallash mumkin emas.

Izoh. Amalda, ko'pincha murakkab funktsiyalarning hosilalarini topishga to'g'ri keladi. Shuning uchun, differentsiatsiya formulalari jadvalida argument oraliq argument bilan almashtiriladi.

Hosilalar jadvali

Doimiy

Quvvat funktsiyasi:

2) xususan;

Eksponensial funktsiya:

3) xususan;

Logarifmik funktsiya:

4) xususan;

Trigonometrik funktsiyalar:

Teskari trigonometrik funksiyalar , , , :

Funksiyani differentsiallash uning hosilasini topish, ya'ni chegarani hisoblashni bildiradi: . Biroq, ko'p hollarda chegarani aniqlash mashaqqatli vazifadir.

Agar siz asosiy elementar funktsiyalarning hosilalarini bilsangiz va ushbu funktsiyalar bo'yicha arifmetik amallar natijalarini farqlash qoidalarini bilsangiz, maktab kursidan yaxshi ma'lum bo'lgan hosilalarni aniqlash qoidalariga muvofiq har qanday elementar funktsiyalarning hosilalarini osongina topishingiz mumkin. .

Funktsiyalar va ma'lum bir oraliqda ikkita differentsiallanuvchi funktsiya bo'lsin.

6.2 teorema Ikki funktsiya yig'indisining (farqining) hosilasi ushbu funksiyalarning hosilalari yig'indisiga (farqiga) teng: .

Teorema har qanday chekli hadlar uchun amal qiladi.

Misol. Funktsiyaning hosilasini toping.

Yechim.

6.3 teorema Ikki funktsiya hosilasining hosilasi birinchi koeffitsientning hosilasi va ikkinchi ko'paytmaning birinchi koeffitsienti va ikkinchisining hosilasi ko'paytmasiga teng: .

Misol. Funktsiyaning hosilasini toping .

Yechim.

6.4 teorema Ikki funktsiya bo'limining hosilasi, agar kasrga teng bo'lsa, uning soni kasrning maxraji va hosilasi va kasrning hosilasi va kasrning hosilasi o'rtasidagi ayirma bo'lsa; maxraj esa oldingi maxrajning kvadrati: .

Misol. Funktsiyaning hosilasini toping .

Yechim. .

Murakkab funktsiyaning hosilasini topish uchun ushbu funktsiyaning oraliq argumentga nisbatan hosilasini mustaqil argumentga nisbatan oraliq argumentning hosilasiga ko'paytirish kerak.

Agar bir nechta oraliq argumentlar mavjud bo'lsa, bu qoida o'z kuchida qoladi. Demak, agar , , , bo'lsa

Keling va, keyin - oraliq argumentli va mustaqil argumentli kompleks funktsiya.

6.5 teorema Agar funktsiyaning nuqtada hosilasi bo'lsa va funktsiyaning tegishli nuqtasida hosilasi bo'lsa, u holda kompleks funktsiya nuqtada hosilasi bo'lib, formula bo'yicha topiladi. , tenglama bilan berilgan funksiyaning hosilasini toping: .

Yechim. Funktsiya bilvosita ko'rsatilgan. ga nisbatan tenglamani farqlaylik, buni eslaylik: . Keyin topamiz: .

Funksiya nuqtada va uning ba'zi qo'shnilarida aniqlansin. Argumentga shunday o'sish beraylikki, nuqta funktsiyani aniqlash sohasiga to'g'ri keladi. Shundan so'ng funktsiya oshiriladi.

TA'RIF. Funktsiyaning nuqtadagi hosilasi bu nuqtadagi funktsiya o'sishining argumentning o'sishiga nisbati chegarasi deb ataladi, at (agar bu chegara mavjud bo'lsa va cheklangan bo'lsa), ya'ni.

Belgilang: ,,,.

Funktsiyaning o'ngdagi nuqtadagi hosilasi (chap) chaqirdi

(agar bu chegara mavjud bo'lsa va cheklangan bo'lsa).

Belgilangan: , – o‘ngdagi nuqtada hosila,

, chapdagi nuqtadagi hosiladir.

Shubhasiz, quyidagi teorema to'g'ri.

TEOREMA. Funktsiya nuqtada hosilaga ega bo'ladi, agar shu nuqtada funksiyaning o'ng va chap tomonidagi hosilalari mavjud bo'lsa va bir-biriga teng bo'lsa. Bundan tashqari

Quyidagi teorema funktsiyaning bir nuqtada hosilasi mavjudligi bilan funksiyaning shu nuqtadagi uzluksizligi o'rtasidagi bog'liqlikni o'rnatadi.

TEOREMA (funksiyaning bir nuqtada hosilasi mavjudligining zaruriy sharti). Agar funktsiya nuqtada hosilaga ega bo'lsa, u holda bu nuqtadagi funktsiya uzluksizdir.

ISLOV

U mavjud bo'lsin. Keyin

,

qaerda cheksiz kichik.

Izoh

funktsiyaning hosilasi va belgilang

funktsiyani farqlash .

GEOMETRIK VA Jismoniy manosi

1) Hosilning fizik ma'nosi. Agar funktsiya va uning argumenti fizik miqdorlar bo'lsa, hosila o'zgaruvchining nuqtadagi o'zgaruvchiga nisbatan o'zgarish tezligidir. Misol uchun, agar vaqt nuqtasi bosib o'tgan masofa bo'lsa, uning hosilasi vaqt momentidagi tezlikdir. Agar bir lahzada o'tkazgichning kesishmasidan oqib o'tadigan elektr miqdori bo'lsa, u holda bir vaqtning o'zida elektr miqdorining o'zgarish tezligi, ya'ni. bir vaqtning o'zida joriy kuch.

2) Hosilning geometrik ma'nosi.

Qandaydir egri chiziq bo'lsin, egri chiziqdagi nuqta bo'lsin.

Eng kamida ikkita nuqtani kesib o'tuvchi har qanday to'g'ri chiziq deyiladi sekant .

Bir nuqtadagi egri chiziqqa tangens Agar nuqta egri chiziq bo'ylab harakatlansa, sekantning chegara holati deb ataladi.

Ta'rifdan ko'rinib turibdiki, agar egri chiziqqa tegish nuqtada mavjud bo'lsa, u yagonadir.

Egri chiziqni (ya'ni, funktsiya grafigini) ko'rib chiqing. Bir nuqtada vertikal bo'lmagan tangensga ega bo'lsin. Uning tenglamasi: (nuqtadan o'tuvchi va burchak koeffitsientiga ega bo'lgan to'g'ri chiziq tenglamasi).

Nishabning ta'rifi bo'yicha

to'g'ri chiziqning o'qqa moyillik burchagi qayerda.

Sekantning o'qga moyillik burchagi bo'lsin, bu erda. Chunki tangens, keyin qachon

Demak,

Shunday qilib, biz buni oldik – nuqtadagi funksiya grafigiga tegishning burchak koeffitsienti(nuqtadagi funksiya hosilasining geometrik ma'nosi). Shuning uchun bir nuqtadagi egri chiziqqa teginish tenglamasini shaklda yozish mumkin

Izoh . Nuqtadagi egri chiziqqa chizilgan tangensga perpendikulyar nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq deyiladi nuqtadagi egri chiziqqa normal . Perpendikulyar to'g'ri chiziqlarning burchak koeffitsientlari o'zaro bog'liqlik bilan bog'liq bo'lganligi sababli, bir nuqtadagi egri chiziqning normal tenglamasi ko'rinishga ega bo'ladi.

, Agar .

Agar bo'lsa, u holda nuqtadagi egri chiziqqa tegish ko'rinishga ega bo'ladi

va normal.

TANGENT VA NORMAL TENGLAMALAR

Tangens tenglamasi

Funktsiya tenglama bilan berilgan bo'lsin y=f(x), tenglamani yozishingiz kerak tangens nuqtada x 0. Hosila ta’rifidan:

y/(x)=limD x→0Δ yΔ x

Δ y=f(x+Δ x)−f(x).

Tenglama tangens funktsiya grafigiga: y=kx+b (k,b=const). Hosilning geometrik ma'nosidan: f/(x 0)=tgα= k Chunki x 0 va f(x 0)∈ to'g'ri chiziq, keyin tenglama tangens quyidagicha yoziladi: y−f(x 0)=f/(x 0)(x−x 0), yoki

y=f/(x 0)· x+f(x 0)−f/(x 0)· x 0.

Oddiy tenglama

Oddiy- ga perpendikulyar tangens(rasmga qarang). Shu asosda:

tgβ= tg(2p−a)= ctg a=1 tg a=1 f/(x 0)

Chunki normalning qiyalik burchagi b1 burchak bo'lsa, bizda:

tg b1= tg(π−β)=− tg b=−1 f/(x).

nuqta ( x 0,f(x 0))∈ normal, tenglama quyidagi shaklni oladi:

y−f(x 0)=−1f/(x 0)(x−x 0).

ISLOV

U mavjud bo'lsin. Keyin

,

qaerda cheksiz kichik.

Lekin bu uning bir nuqtada uzluksiz ekanligini bildiradi (uzluksizlikning geometrik ta'rifiga qarang). ∎

Izoh . Funktsiyaning nuqtadagi uzluksizligi bu funksiyaning hosilasining nuqtada mavjudligi uchun yetarli shart emas. Masalan, funktsiya uzluksiz, lekin nuqtada hosilasi yo'q. Haqiqatan ham,

va shuning uchun mavjud emas.

Shubhasiz, yozishmalar ba'zi bir to'plamda aniqlangan funktsiyadir. Uni chaqirishadi funktsiyaning hosilasi va belgilang

Funksiyaning hosila funksiyasini topish operatsiyasi deyiladi funktsiyani farqlash .

Yig'indi va ayirmaning hosilasi

Bizga hosilalari ma’lum f(x) va g(x) funksiyalar berilsin. Misol uchun, siz yuqorida muhokama qilingan elementar funktsiyalarni olishingiz mumkin. Keyin ushbu funktsiyalarning yig'indisi va farqining hosilasini topishingiz mumkin:

(f + g) ' = f ' + g '

(f − g)’ = f ’ − g ’

Demak, ikki funktsiya yig‘indisining (farqining) hosilasi hosilalarning yig‘indisiga (farqiga) teng. Ko'proq shartlar bo'lishi mumkin. Masalan, (f + g + h)' = f' + g' + h'.

Qat'iy aytganda, algebrada "ayirish" tushunchasi yo'q. "Salbiy element" tushunchasi mavjud. Shuning uchun f - g farqini f + (−1) g yig'indisi sifatida qayta yozish mumkin va keyin faqat bitta formula qoladi - yig'indining hosilasi.

Koordinata tekisligida xOy funktsiya grafigini ko'rib chiqing y=f(x). Keling, nuqtani aniqlaylik M(x 0 ; f (x 0)). Keling, abtsissa qo'shamiz x 0 oshirish Dx. Biz yangi abscissa olamiz x 0 +Dx. Bu nuqtaning abscissasidir N, va ordinata teng bo'ladi f (x 0 +Dx). Abtsissaning o'zgarishi ordinataning o'zgarishiga olib keldi. Bu o'zgarish funktsiya o'sishi deb ataladi va belgilanadi dy.

Dy=f (x 0 +Dx) - f (x 0). Nuqtalar orqali M Va N sekant chizamiz MN, bu burchak hosil qiladi φ ijobiy o'q yo'nalishi bilan Oh. Burchakning tangensini aniqlaymiz φ to'g'ri burchakli uchburchakdan MPN.

Mayli Dx nolga intiladi. Keyin sekant MN tangens pozitsiyasini egallashga moyil bo'ladi MT, va burchak φ burchakka aylanadi α . Demak, burchak tangensi α burchak tangensining cheklovchi qiymati φ :

Funktsiya o'sishining argument o'sishiga nisbati chegarasi, agar ikkinchisi nolga moyil bo'lsa, berilgan nuqtada funktsiyaning hosilasi deyiladi:

Hosilning geometrik ma'nosi funktsiyaning berilgan nuqtadagi son hosilasi shu nuqta orqali oʻtkazilgan egri chiziqqa va oʻqning musbat yoʻnalishiga oʻtkazilgan tangens hosil qilgan burchak tangensiga teng ekanligida yotadi. Oh:

Misollar.

1. Argumentning o'sish va y= funksiyasining o'sish qismini toping x 2, agar argumentning boshlang'ich qiymati teng bo'lsa 4 va yangi - 4,01 .

Yechim.

Yangi argument qiymati x=x 0 +Dx. Keling, ma'lumotlarni almashtiramiz: 4.01=4+Dx, demak, argumentning o'sishi. Dx=4,01-4=0,01. Funktsiyaning o'sishi, ta'rifiga ko'ra, funktsiyaning yangi va oldingi qiymatlari o'rtasidagi farqga teng, ya'ni. Dy=f (x 0 +Dx) - f (x 0). Chunki bizda funktsiya mavjud y=x2, Bu du=(x 0 +Dx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Dx+(Dx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Dx+(Dx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Javob: argument ortishi Dx=0,01; funktsiyaning o'sishi du=0,0801.

Funktsiya o'sishi boshqacha tarzda topilishi mumkin: dy=y (x 0 +Dx) -y (x 0)=y(4,01) -y(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.

2. Funksiya grafigiga teginish burchagini toping y=f(x) nuqtada x 0, Agar f "(x 0) = 1.

Yechim.

Hosilning teginish nuqtasidagi qiymati x 0 va tangens burchak tangensining qiymati (hosilning geometrik ma'nosi). Bizda ... bor: f "(x 0) = tana = 1 → a = 45°, chunki tg45°=1.

Javob: bu funksiyaning grafigiga tegish Ox o'qining musbat yo'nalishi ga teng bo'lgan burchak hosil qiladi 45°.

3. Funktsiyaning hosilasi formulasini chiqaring y=x n.

Differentsiatsiya funksiyaning hosilasini topish harakatidir.

Hosilalarni topishda, hosila darajasi uchun formulani olganimiz kabi, hosila ta'rifi asosida olingan formulalardan foydalaning: (x n)" = nx n-1.

Bu formulalar.

Hosilalar jadvali Og'zaki formulalarni talaffuz qilish orqali eslab qolish osonroq bo'ladi:

1. Doimiy miqdorning hosilasi nolga teng.

2. X tub birga teng.

3. Doimiy koeffitsient hosila belgisidan chiqarilishi mumkin.

4. Darajaning hosilasi shu daraja ko'rsatkichining bir xil asosga ega bo'lgan daraja ko'paytmasiga teng, lekin ko'rsatkich bitta kam.

5. Ildizning hosilasi ikkita teng ildizga bo'lingan birga teng.

6. X ga bo'lingan birning hosilasi minus bir bo'lingan x kvadratga teng.

7. Sinusning hosilasi kosinusga teng.

8. Kosinusning hosilasi minus sinusga teng.

9. Tangensning hosilasi kosinusning kvadratiga bo'lingan biriga teng.

10. Kotangentning hosilasi sinus kvadratiga bo'lingan minus birga teng.

Biz o'rgatamiz farqlash qoidalari.

1. Algebraik yig‘indining hosilasi atamalar hosilalarining algebraik yig‘indisiga teng.

2. Mahsulotning hosilasi birinchi omilning hosilasi va ikkinchisining hosilasi va birinchi omilning hosilasi va ikkinchisining hosilasi ko'paytmasiga teng.

3. “y” ning “ve” ga bo‘lingan hosilasi kasrga teng bo‘lib, bunda ayiruvchi “y tub sonini “ve”ga ko‘paytiruvchi minus “y”ni ve tubiga ko‘paytiruvchi”, maxraji “ve kvadrat” bo‘ladi.

4. Formulaning alohida holati 3.