Koordinata o'qlari bo'yicha proyeksiyaning ta'rifi. Kuchning o'qga proyeksiyasi. Kuchlarning vektor yig'indisining o'qga proyeksiyasi. Vektor proyeksiyalarining tasnifi

A. A nuqtaning PQ o'qiga proyeksiyasi (4-rasm) berilgan nuqtadan berilgan o'qqa tushirilgan perpendikulyarning a asosidir. Biz proyeksiya qiladigan o'q proyeksiya o'qi deb ataladi.

b. Ikki o'q va vektor A B berilsin, rasmda ko'rsatilgan. 5.

Boshlanishi bu vektorning boshi, oxiri esa oxirining proyeksiyasi bo'lgan vektorga A B vektorining PQ o'qiga proyeksiyasi deyiladi.Bu shunday yoziladi;

Ba'zida PQ indikatori pastki qismida yozilmaydi, bu PQ dan tashqari uni loyihalash mumkin bo'lgan boshqa operatsion tizim bo'lmagan hollarda amalga oshiriladi.

Bilan. Teorema I. Bir o'qda yotgan vektorlarning kattaliklari ularning istalgan o'qqa proyeksiyalarining kattaliklari bilan bog'liq.

6-rasmda ko'rsatilgan o'qlar va vektorlar berilsin.Uchburchaklarning o'xshashligidan vektorlarning uzunliklari ularning proyeksiyalarining uzunliklari sifatida bog'liqligi aniq bo'ladi, ya'ni.

Chizmadagi vektorlar turli yo'nalishlarga yo'naltirilganligi sababli, ularning kattaliklari har xil belgilarga ega, shuning uchun

Shubhasiz, prognozlarning kattaligi ham turli xil belgilarga ega:

(2) ni (3) ni (1) ga almashtirsak, olamiz

Belgilarni o'zgartirib, biz olamiz

Agar vektorlar teng yo'naltirilgan bo'lsa, u holda ularning proyeksiyalari ham bir xil yo'nalishda bo'ladi; (2) va (3) formulalarda minus belgilari bo'lmaydi. (2) va (3) ni tenglikka (1) almashtirsak, biz darhol tenglikni (4) olamiz. Demak, teorema barcha holatlar uchun isbotlangan.

d. II teorema. Vektorning har qanday o'qqa proyeksiyasining kattaligi vektorning kattaligi proyeksiyalar o'qi bilan vektor o'qi orasidagi burchakning kosinusiga ko'paytirilganga teng.O'qlar vektor sifatida berilgan bo'lsin, rasmda ko'rsatilgan. . 7. Uning o'qi bilan bir xil yo'nalishga ega bo'lgan vektorni, masalan, o'qlarning kesishgan nuqtasidan grafigini tuzamiz. Uning uzunligi birga teng bo'lsin. Keyin uning kattaligi

Proyeksiya o'qga vektor - vektorning bu o'qga skalyar proyeksiyasini va bu o'qning birlik vektorini ko'paytirish yo'li bilan olingan vektor. Masalan, agar x - skalyar proyeksiya vektor A X o'qiga, keyin esa x i- uning bu o'qqa vektor proyeksiyasi.

belgilaylik vektor proyeksiyasi vektorning o'zi bilan bir xil, lekin vektor proyeksiya qilingan o'qning indeksi bilan. Demak, vektorning vektor proyeksiyasi A X o'qida biz belgilaymiz A x ( semiz vektorni va eksa nomining pastki belgisini bildiruvchi harf) yoki (vektorni bildiruvchi qalin bo'lmagan harf, lekin tepada o'q (!) va o'q nomining pastki belgisi).

Skalyar proyeksiya eksa boshiga vektor deyiladi raqam, uning mutlaq qiymati vektorning boshlang'ich nuqtasi va oxirgi nuqtasi proektsiyalari orasiga o'ralgan o'q segmentining uzunligiga (tanlangan shkala bo'yicha) teng. Odatda ifoda o'rniga skalyar proyeksiya ular shunchaki aytadilar - proyeksiya. Proyeksiya proyeksiyalangan vektor bilan bir xil harf bilan (oddiy, qalin bo'lmagan yozuvda), bu vektor proyeksiya qilinadigan o'q nomining pastki indeksi (qoida tariqasida) bilan belgilanadi. Masalan, vektor X o'qiga proyeksiyalansa A, u holda uning proyeksiyasi x bilan belgilanadi. Xuddi shu vektorni boshqa o'qqa proyeksiya qilganda, agar o'q Y bo'lsa, uning proyeksiyasi y bilan belgilanadi.

Proyeksiyani hisoblash uchun vektor o'qda (masalan, X o'qi) boshlang'ich nuqtaning koordinatasini uning oxirgi nuqtasi koordinatasidan ayirish kerak, ya'ni
a x = x k - x n.
Vektorning o'qga proyeksiyasi sondir. Bundan tashqari, agar x k qiymati x n qiymatidan katta bo'lsa, proyeksiya ijobiy bo'lishi mumkin,

manfiy, agar x k qiymati x n qiymatidan kichik bo'lsa

va nolga teng, agar x k teng x n bo'lsa.

Vektorning o'qga proyeksiyasini vektorning moduli va bu o'q bilan qilgan burchagini bilish orqali ham topish mumkin.

Rasmdan a x = a Cos a ekanligi ayon bo'ladi

ya'ni vektorning o'qga proyeksiyasi vektor moduli va o'q yo'nalishi orasidagi burchak kosinusining ko'paytmasiga teng. vektor yo'nalishi. Agar burchak o'tkir bo'lsa, u holda
Cos a > 0 va a x > 0, agar o'tmas bo'lsa, u holda o'tmas burchakning kosinasi manfiy bo'ladi va vektorning o'qqa proyeksiyasi ham manfiy bo'ladi.

O'qdan soat miliga teskari yo'nalishda o'lchangan burchaklar musbat, eksa bo'ylab o'lchangan burchaklar esa salbiy hisoblanadi. Biroq, kosinus juft funktsiya bo'lgani uchun, ya'ni Cos a = Cos (− a), proyeksiyalarni hisoblashda burchaklarni soat yo'nalishi bo'yicha ham, soat miliga teskari yo'nalishda ham hisoblash mumkin.

Vektorning o'qga proyeksiyasini topish uchun bu vektorning modulini o'qning yo'nalishi va vektor yo'nalishi orasidagi burchakning kosinusiga ko'paytirish kerak.

Vektor koordinatalari— tanlangan koordinatalar tizimidagi bazis vektorlarining yagona mumkin bo'lgan chiziqli birikmasining berilgan vektorga teng koeffitsientlari.

vektorning koordinatalari qayerda.

Skalyar mahsulot vektorlar

Vektorlarning skalyar mahsuloti[- chekli o'lchovli vektor maydoni ko'paytirilayotgan bir xil komponentlar mahsuloti yig'indisi sifatida aniqlanadi vektorlar.

Masalan, S.p.v. a = (a 1 , ..., a n) Va b = (b 1 , ..., b n):

(a , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n

Javob:

Proyeksiya xususiyatlari:

Vektor proyeksiyasining xossalari

Mulk 1.

Ikki vektor yig'indisining o'qga proyeksiyasi vektorlarning bir o'qga proyeksiyalari yig'indisiga teng:

Bu xususiyat vektorlar yig'indisining proyeksiyasini ularning proyeksiyalari yig'indisi bilan almashtirishga imkon beradi va aksincha.

Mulk 2. Agar vektor l soniga ko'paytirilsa, uning o'qga proyeksiyasi ham shu raqamga ko'paytiriladi:

Mulk 3.

Vektorning l o'qiga proyeksiyasi vektor moduli va vektor va o'q orasidagi burchak kosinusining ko'paytmasiga teng:

Orth o'qi. Koordinata birlik vektorlarida vektorning parchalanishi. Vektor koordinatalari. Koordinata xususiyatlari

Javob:

O'qlarning birlik vektorlari.

To'rtburchaklar koordinatalar tizimi (har qanday o'lchamdagi) koordinata o'qlari bilan tekislangan birlik vektorlari to'plami bilan ham tavsiflanadi. Birlik vektorlari soni koordinata tizimining o'lchamiga teng va ularning barchasi bir-biriga perpendikulyar.

Uch o'lchovli holatda, odatda birlik vektorlari belgilanadi

Va Ok belgilari va ulardan ham foydalanish mumkin.

Bundan tashqari, o'ng qo'lda koordinatalar tizimi bo'lsa, quyidagi formulalar vektorlarning vektor mahsulotlari bilan:

Koordinata birlik vektorlarida vektorning parchalanishi.

Koordinata o'qining birlik vektori bilan, o'qlar bilan, o'qlar bilan belgilanadi (1-rasm).

Tekislikda joylashgan har qanday vektor uchun quyidagi kengayish sodir bo'ladi:

Agar vektor fazoda joylashgan bo'lsa, u holda koordinata o'qlarining birlik vektorlarida kengayish quyidagi shaklga ega bo'ladi:

Vektor koordinatalari:

Vektorning koordinatalarini hisoblash uchun uning A boshining koordinatalarini (x1; y1) va B oxirining koordinatalarini (x2; y2) bilib, oxiri koordinatalaridan boshining koordinatalarini ayirish kerak: ( x2 – x1; y2 – y1).

Koordinatalarning xossalari.

Koordinata chizig'ini koordinata chizig'i O nuqtada va birlik vektor i ko'rib chiqaylik. Keyin bu chiziqdagi har qanday a vektor uchun: a = eksa.

A soni a vektorning koordinata o'qidagi koordinatasi deb ataladi.

Mulk 1. O'qga vektorlarni qo'shganda, ularning koordinatalari qo'shiladi.

Mulk 2. Vektor songa ko'paytirilsa, uning koordinatasi shu raqamga ko'paytiriladi.

Vektorlarning nuqta mahsuloti. Xususiyatlari.

Javob:

Ikki nolga teng bo'lmagan vektorlarning skalyar ko'paytmasi sondir

bu vektorlarning mahsulotiga va ular orasidagi burchakning kosinusiga teng.

Xususiyatlari:

1. Skayar ko‘paytma almashinish xususiyatiga ega: ab=ba

Skalyar mahsulot koordinata birliklari vektorlari. Koordinatalari bilan belgilangan vektorlarning skalyar mahsulotini aniqlash.

Javob:

Birlik vektorlarning nuqta mahsuloti (×).

(X)	I	J	K
I
J
K

Koordinatalari bilan belgilangan vektorlarning skalyar mahsulotini aniqlash.

Ikki vektorning koordinatalari bilan berilgan skalyar mahsulotini formula yordamida hisoblash mumkin

Ikki vektorning oʻzaro koʻpaytmasi. Vektorli mahsulotning xossalari.

Javob:

Agar uchinchi vektorning oxiridan boshlab birinchi vektordan ikkinchisiga aylanish soat sohasi farqli o'laroq amalga oshirilsa, uchta koplanar bo'lmagan vektor o'ng qo'lli uchlikni hosil qiladi. Agar soat yo'nalishi bo'yicha, keyin chapga, agar yo'q bo'lsa, qarama-qarshi yo'nalishda ( u "tutqichlar" bilan qanday ko'rsatganini ko'rsating)

Vektorning o'zaro mahsuloti A vektorga b vektor deb ataladi qaysidan:

1. Vektorlarga perpendikulyar A Va b

2. Uzunligi bor, soni maydoniga teng ustida shakllangan parallelogramm a Va b vektorlar

3. Vektorlar, a, b, Va c vektorlarning o'ng tomonli uchligini hosil qiladi

Xususiyatlari:

Koordinata birlik vektorlarining vektor mahsuloti. Koordinatalari bilan belgilangan vektorlarning vektor mahsulotini aniqlash.

Javob:

Koordinata birlik vektorlarining vektor mahsuloti.

Koordinatalari bilan belgilangan vektorlarning vektor mahsulotini aniqlash.

a = (x1; y1; z1) va b = (x2; y2; z2) vektorlar O, i, j, k to‘rtburchak dekart koordinata sistemasidagi koordinatalari bo‘yicha berilgan bo‘lsin, i, j, k uchligi esa. o'ng qo'l.

a va b ni bazis vektorlarga kengaytiramiz:

a = x 1 i + y 1 j + z 1 k, b = x 2 i + y 2 j + z 2 k.

Vektor mahsulotining xususiyatlaridan foydalanib, biz olamiz

[A; b] = =

= x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 1 z 2 +

+ y 1 x 2 + y 1 y 2 + y 1 z 2 +

+ z 1 x 2 + z 1 y 2 + z 1 z 2. (1)

Vektor mahsulotining ta'rifi bo'yicha biz topamiz

= 0, = k, = - j,

= - k, = 0, = i,

= j, = - i. = 0.

Ushbu tengliklarni hisobga olgan holda (1) formulani quyidagicha yozish mumkin:

[A; b] = x 1 y 2 k - x 1 z 2 j - y 1 x 2 k + y 1 z 2 i + z 1 x 2 j - z 1 y 2 i

[A; b] = (y 1 z 2 - z 1 y 2) i + (z 1 x 2 - x 1 z 2) j + (x 1 y 2 - y 1 x 2) k. (2)

Formula (2) koordinatalari bilan belgilangan ikkita vektorning vektor mahsuloti uchun ifodani beradi.

Olingan formula mashaqqatli.Determinant belgilaridan foydalanib, uni yodlash uchun qulayroq bo‘lgan boshqa ko‘rinishda yozishingiz mumkin:

Odatda formula (3) qisqaroq yoziladi:

Birinchidan, nima ekanligini eslaylik koordinata o'qi, nuqtaning o'qga proyeksiyasi Va o'qdagi nuqtaning koordinatalari.

Koordinata o'qi- Bu qandaydir yo'nalish berilgan to'g'ri chiziq. Siz uni cheksiz katta modulli vektor sifatida tasavvur qilishingiz mumkin.

Koordinata o'qi ba'zi harf bilan belgilanadi: X, Y, Z, s, t... Odatda o'qda nuqta tanlanadi (o'zboshimchalik bilan), u koordinata deb ataladi va qoida tariqasida O harfi bilan belgilanadi. Shu nuqtadan bizni qiziqtirgan boshqa nuqtalargacha bo'lgan masofalar o'lchanadi.

Nuqtaning o'qga proyeksiyasi- bu nuqtadan bu o'qqa tushirilgan perpendikulyarning asosi (8-rasm). Ya'ni, nuqtaning o'qga proyeksiyasi nuqtadir.

O'qdagi nuqta koordinatasi- bu mutlaq qiymati o'qning boshi va nuqtaning ushbu o'qqa proyeksiyasi o'rtasida joylashgan o'q segmentining uzunligiga (tanlangan shkala bo'yicha) teng bo'lgan raqam. Bu raqam, agar nuqtaning proyeksiyasi o'z boshidan o'q yo'nalishi bo'yicha joylashgan bo'lsa, ortiqcha belgisi bilan va qarama-qarshi yo'nalishda bo'lsa, minus belgisi bilan olinadi.

Vektorning o'qga skalyar proyeksiyasi- Bu raqam, uning mutlaq qiymati vektorning boshlang'ich nuqtasi va oxirgi nuqtasi proektsiyalari orasiga o'ralgan o'q segmentining uzunligiga (tanlangan shkala bo'yicha) teng. Muhim! Odatda ifoda o'rniga vektorning o'qga skalyar proyeksiyasi ular shunchaki aytadilar - vektorning o'qga proyeksiyasi, ya'ni so'z skalyar tushirildi. Vektor proyeksiyasi proyeksiyalangan vektor bilan bir xil harf bilan (oddiy, qalin bo'lmagan yozuvda), bu vektor proyeksiya qilinadigan o'q nomining pastki (qoida tariqasida) indeksi bilan belgilanadi. Masalan, vektor X o'qiga proyeksiyalansa A, u holda uning proyeksiyasi x bilan belgilanadi. Xuddi shu vektorni boshqa o'qqa, aytaylik, Y o'qiga proyeksiya qilganda, uning proyeksiyasi a y bilan belgilanadi (9-rasm).

Hisoblash uchun vektorning o'qga proyeksiyasi(masalan, X o'qi), boshlang'ich nuqtaning koordinatasini uning oxirgi nuqtasi koordinatasidan ayirish kerak, ya'ni

a x = x k - x n.

Biz eslashimiz kerak: vektorning o'qga skalyar proyeksiyasi (yoki oddiygina, vektorning o'qga proyeksiyasi) sondir (vektor emas)! Bundan tashqari, agar x k qiymati x n qiymatidan katta bo'lsa, proyeksiya ijobiy bo'lishi mumkin, agar x k qiymati x n qiymatidan kichik bo'lsa salbiy va x k x n ga teng bo'lsa, nolga teng bo'lishi mumkin (10-rasm).

Vektorning o'qga proyeksiyasini vektorning moduli va bu o'q bilan qilgan burchagini bilish orqali ham topish mumkin.

11-rasmdan a x = a Cos a ekanligi ayon bo'ladi

Ya'ni vektorning o'qga proyeksiyasi vektor moduli va burchak kosinusining ko'paytmasiga teng. eksa yo'nalishi va vektor yo'nalishi o'rtasida. Agar burchak o'tkir bo'lsa, u holda Cos a > 0 va a x > 0, agar u o'tmas bo'lsa, u holda o'tmas burchakning kosinasi manfiy bo'ladi va vektorning o'qqa proyeksiyasi ham manfiy bo'ladi.

Masalalarni yechishda proyeksiyalarning quyidagi xossalari ko'pincha qo'llaniladi: agar

A = b + c +…+ d, keyin a x = b x + c x +…+ d x (boshqa o'qlarga o'xshash),

a= m b, keyin a x = mb x (boshqa o'qlar uchun ham xuddi shunday).

a x = a Cos a formulasi bo'ladi juda tez-tez muammolarni hal qilishda yuzaga keladi, shuning uchun siz buni albatta bilishingiz kerak. Proyeksiyani aniqlash qoidasini bilishingiz kerak yurakdan!

Eslab qoling!

Vektorning o'qga proyeksiyasini topish uchun bu vektorning modulini o'qning yo'nalishi va vektor yo'nalishi orasidagi burchakning kosinusiga ko'paytirish kerak.

Yana bir bor - yurakdan!

Harakatning vektor tavsifi foydalidir, chunki bitta rasmda siz har doim turli xil vektorlarni tasvirlashingiz va ko'zlaringiz oldida harakatning vizual "rasmini" olishingiz mumkin. Biroq, vektorlar bilan operatsiyalarni bajarish uchun har safar o'lchagich va transportyordan foydalanish juda ko'p mehnat talab qiladi. Shuning uchun, bu harakatlar ijobiy va bilan harakatlarga kamayadi manfiy raqamlar– vektorlarning proyeksiyalari.

Vektorning o'qga proyeksiyasi proyeksiyalangan vektor moduli va vektor yo'nalishlari va tanlangan koordinata o'qi orasidagi burchak kosinusining mahsulotiga teng bo'lgan skalyar miqdor deb ataladi.

Chap chizmada moduli 50 km bo'lgan siljish vektori va uning yo'nalishi ko'rsatilgan to'g'ri burchak X o'qi yo'nalishi bilan 150°. Ta'rifdan foydalanib, X o'qi bo'yicha siljish proyeksiyasini topamiz:

sx = s cos(a) = 50 km cos(150°) = –43 km

O'qlar orasidagi burchak 90 ° bo'lganligi sababli, harakat yo'nalishi Y o'qi yo'nalishi bilan 60 ° o'tkir burchak hosil qilishini hisoblash oson. Ta'rifdan foydalanib, biz Y o'qi bo'yicha siljish proyeksiyasini topamiz:

sy = s cos(b) = 50 km cos(60°) = +25 km

Ko'rib turganingizdek, agar vektorning yo'nalishi o'qning yo'nalishi bilan o'tkir burchak hosil qilsa, proyeksiya ijobiy bo'ladi; agar vektorning yo'nalishi o'qning yo'nalishi bilan o'tmas burchak hosil qilsa, proyeksiya manfiy bo'ladi.

To'g'ri chizmada tezlik vektori ko'rsatilgan, uning moduli 5 m/s, yo'nalishi X o'qi yo'nalishi bilan 30 ° burchak hosil qiladi.Proyeksiyalarni topamiz:

yx = y · cos(a) = 5 m/s · cos( 30°) = +4,3 m/s
yy = y · cos(b) = 5 m/s · cos( 120°) = –2,5 m/s

Agar proyeksiyalangan vektorlar tanlangan o'qlarga parallel yoki perpendikulyar bo'lsa, vektorlarning o'qlarga proyeksiyalarini topish ancha oson bo'ladi. E'tibor bering, parallellik holati uchun ikkita variant mumkin: vektor o'qga yo'naltirilgan va vektor o'qga qarama-qarshidir va perpendikulyarlik holati uchun faqat bitta variant mavjud.

O'qqa perpendikulyar vektorning proyeksiyasi har doim nolga teng (chap chizmada sy va ay, o'ngdagi chizmada sx va yx ga qarang). Haqiqatan ham, o'qga perpendikulyar vektor uchun u bilan o'q o'rtasidagi burchak 90 ° ga teng, shuning uchun kosinus nolga teng, ya'ni proyeksiya nolga teng.

O'q bilan ko'p yo'nalishli vektorning proyeksiyasi musbat va uning mutlaq qiymatiga teng, masalan, sx = +s (chap chizmaga qarang). Darhaqiqat, o'q bilan ko'p yo'nalishli vektor uchun u bilan o'q o'rtasidagi burchak nolga teng, uning kosinasi "+1", ya'ni proyeksiya vektor uzunligiga teng: sx = x – xo = + s .

O'qga qarama-qarshi vektorning proyeksiyasi manfiy va uning moduliga minus belgisi bilan teng, masalan, sy = –s (o'ngdagi rasmga qarang). Darhaqiqat, o'qga qarama-qarshi bo'lgan vektor uchun u bilan o'q o'rtasidagi burchak 180 ° ga teng va uning kosinasi "-1", ya'ni proyeksiya manfiy belgi bilan olingan vektor uzunligiga teng: sy. = y – yo = –s .

Ikkala chizmaning o'ng tomonida vektorlar koordinata o'qlaridan biriga parallel va ikkinchisiga perpendikulyar bo'lgan boshqa holatlar ko'rsatilgan. Biz sizni bu holatlarda ham oldingi bandlarda tuzilgan qoidalarga rioya qilinganligiga ishonch hosil qilishingizni taklif qilamiz.