Yuqori tartibli hosilalar

Ushbu darsda biz yuqori tartibli hosilalarni qanday topishni, shuningdek yozishni o'rganamiz umumiy formula"n" hosilasi. Bundan tashqari, bunday lotin uchun Leybnits formulasi va ommabop talabga ko'ra, yuqori tartibli hosilalar yashirin funksiya. Men darhol mini-testdan o'tishni maslahat beraman:

Mana funksiya: va bu erda uning birinchi hosilasi:

Agar sizda ushbu misol bo'yicha biron bir qiyinchilik/chalkashlik bo'lsa, iltimos, mening kursimning ikkita asosiy maqolasidan boshlang: hosilani qanday topish mumkin? Va Murakkab funktsiyaning hosilasi. Elementar hosilalarni o'zlashtirgandan so'ng, men sizga darsni o'qishni tavsiya qilaman Losmalar bilan eng oddiy muammolar, xususan, biz ko'rib chiqdik ikkinchi hosila.

Ikkinchi hosila birinchi hosilaning hosilasi ekanligini taxmin qilish qiyin emas:

Asosan, ikkinchi hosila allaqachon yuqori tartibli hosila hisoblanadi.

Xuddi shunday: uchinchi hosila ikkinchi hosilaning hosilasidir:

To'rtinchi hosila uchinchi hosilaning hosilasidir:

Beshinchi hosila: , va yuqori darajadagi barcha hosilalar ham nolga teng bo'lishi aniq:

Rim raqamlashdan tashqari, amalda ko'pincha quyidagi belgilar qo'llaniladi:
, “n” tartibli hosilasi bilan belgilanadi. Bunday holda, ustun belgisi qavs ichiga olinishi kerak– hosilani “y” dan daraja jihatidan farqlash.

Ba'zan siz shunga o'xshash narsani ko'rasiz: – mos ravishda uchinchi, to‘rtinchi, beshinchi, ..., “n-chi” hosilalari.

Qo'rquv va shubhasiz oldinga:

1-misol

Funktsiya berilgan. Toping.

Yechim: nima deysiz ... - to'rtinchi lotin uchun davom eting :)

Endi to'rtta zarba qo'yish odatiy hol emas, shuning uchun biz raqamli indekslarga o'tamiz:

Javob:

Xo'sh, endi bu savol haqida o'ylab ko'raylik: agar shart 4-chi emas, balki, masalan, 20-chi hosilani topishni talab qilsa nima qilish kerak? Agar lotin uchun 3-4-5 (maksimal 6-7) kattalik tartibida, yechim juda tez rasmiylashtiriladi, keyin biz tez orada yuqori darajadagi hosilalarga "olmaymiz". Aslida, 20 qatorni yozmang! Bunday vaziyatda siz topilgan bir nechta hosilalarni tahlil qilishingiz, naqshni ko'rishingiz va "n-chi" hosila uchun formula yaratishingiz kerak. Shunday qilib, 1-misolda shuni tushunish osonki, har bir keyingi farqlash bilan ko'rsatkich oldida qo'shimcha "uch" paydo bo'ladi va har qanday bosqichda "uch" darajasi "uch" soniga teng bo'ladi. hosila, shuning uchun:

Ixtiyoriy natural son qayerda.

Va haqiqatan ham, agar bo'lsa, unda aniq 1-chi hosila olinadi: , agar – keyin 2-chi: va hokazo. Shunday qilib, yigirmanchi lotin bir zumda aniqlanadi: - va "kilometr uzunlikdagi varaqlar" yo'q!

O'z-o'zidan isinish:

2-misol

Funksiyalarni toping. Buyurtma hosilasini yozing

Yechim va javob dars oxirida.

Tetiklantiruvchi isinishdan keyin biz ko'proq narsani ko'rib chiqamiz murakkab misollar, unda biz yuqoridagi yechim algoritmini ishlab chiqamiz. Dars bilan tanishishga muvaffaq bo'lganlar uchun Ketma-ketlik chegarasi, bu biroz osonroq bo'ladi:

3-misol

Funktsiyani toping.

Yechim: vaziyatni aniqlashtirish uchun keling, bir nechta hosilalarni topamiz:

Olingan raqamlarni ko'paytirishga shoshilmayapmiz! ;-)


Balki bu yetarlidir. ...Hatto biroz oshib ketdim.

Keyingi qadam "n-chi" lotin uchun formulani yaratish uchun eng yaxshisidir (agar shart buni talab qilmasa, siz qoralama bilan olishingiz mumkin). Buning uchun biz olingan natijalarni ko'rib chiqamiz va har bir keyingi hosila olingan naqshlarni aniqlaymiz.

Birinchidan, ular bir-birini almashtiradilar. Hizalamani ta'minlaydi "miltillovchi chiroq", va birinchi hosila ijobiy bo'lgani uchun, quyidagi omil umumiy formulaga kiradi: . Ekvivalent variant ham ishlaydi, lekin shaxsan men optimist sifatida ortiqcha belgisini yaxshi ko'raman =)

Ikkinchidan, numeratorda "shamollanadi" faktorial, va u lotin raqamdan bir birlik orqada qoladi:

Uchinchidan, numeratordagi "ikki" ning kuchi ortadi, bu lotin soniga teng. Denominatorning darajasi haqida ham shunday deyish mumkin. Nihoyat:

Tekshirish uchun keling, bir nechta “en” qiymatlarini almashtiramiz, masalan, va:

Ajoyib, endi xato qilish shunchaki gunohdir:

Javob:

uchun oddiyroq funksiya mustaqil qaror:

4-misol

Funksiyalarni toping.

Va yana qiziqarli muammo:

5-misol

Funksiyalarni toping.

Jarayonni yana bir bor takrorlaymiz:

1) Avval biz bir nechta hosilalarni topamiz. Naqshlarni ushlash uchun odatda uch yoki to'rtta etarli.

2) Keyin men qilishni qat'iy tavsiya qilaman (hech bo'lmaganda qoralama shaklida)"n-chi" lotin - bu sizni xatolardan himoya qilish uchun kafolatlangan. Lekin siz usiz qila olasiz, ya'ni. aqliy baholang va darhol yozing, masalan, yigirmanchi yoki sakkizinchi lotin. Bundan tashqari, ba'zi odamlar odatda og'zaki ravishda ushbu muammolarni hal qilishga qodir. Biroq, esda tutingki, "tezkor" usullar juda qiyin va xavfsizroq bo'lish yaxshiroqdir.

3) Yakuniy bosqichda biz "n-chi" lotinni tekshiramiz - bir juft "n" qiymatni (afzalroq qo'shni) olib, almashtirishni amalga oshiramiz. Va ilgari topilgan barcha hosilalarni tekshirish yanada ishonchli. Keyin biz uni kerakli qiymatga almashtiramiz, masalan, yoki va natijani diqqat bilan taraymiz.

Tez yechim Dars oxirida 4 va 5 misollar.

Ba'zi vazifalarda muammolarni oldini olish uchun siz funktsiyada ozgina sehr qilishingiz kerak:

6-misol

Yechim: Men taklif qilingan funktsiyani umuman farqlashni xohlamayman, chunki bu "yomon" kasrga olib keladi, bu keyingi hosilalarni topishni ancha qiyinlashtiradi.

Shu munosabat bilan, dastlabki o'zgarishlarni amalga oshirish tavsiya etiladi: biz foydalanamiz kvadrat farq formulasi Va logarifm xossasi :

Bu butunlay boshqa masala:

Va eski do'stlar:

Menimcha, hamma narsa ko'rib chiqilmoqda. E'tibor bering, 2-kasr o'zgaruvchan belgidir, lekin birinchi kasr emas. Buyurtma hosilasini tuzamiz:

Boshqaruv:

Xo'sh, go'zallik uchun qavs ichidan faktorialni chiqaramiz:

Javob:

Qiziqarli vazifa Mustaqil yechim uchun:

7-misol

Funksiyaning tartibli hosila formulasini yozing

Va endi, hatto italyan mafiyasi ham hasad qiladigan o'zaro kafolatlar haqida:

8-misol

Funktsiya berilgan. Toping

Nuqtadagi o'n sakkizinchi hosila. Shunchaki.

Yechim: birinchi navbatda, siz topishingiz kerak. Boring:

Biz sinus bilan boshladik va sinus bilan yakunlandik. Keyinchalik farqlash bilan bu tsikl cheksiz davom etishi aniq va quyidagi savol tug'iladi: o'n sakkizinchi lotinga "olish" ning eng yaxshi usuli qanday?

"Havaskor" usuli: o'ngdagi ustunga keyingi hosilalarning raqamlarini tezda yozing:

Shunday qilib:

Ammo lotinning tartibi juda katta bo'lmasa, bu ishlaydi. Agar siz, aytaylik, yuzinchi hosilani topishingiz kerak bo'lsa, unda siz 4 ga bo'linishni ishlatishingiz kerak. Yuz 4 ga qoldiqsiz bo'linadi va bunday sonlar pastki qatorda joylashganligini ko'rish oson, shuning uchun: .

Aytgancha, 18-chi lotin ham shunga o'xshash fikrlardan aniqlanishi mumkin:
Ikkinchi qatorda 4 ga, qolgan 2 ga bo'linadigan raqamlar mavjud.

Boshqa, ko'proq akademik usul asoslangan sinus davriyligi Va kamaytirish formulalari. Biz sinusning "n-chi" hosilasi uchun tayyor formuladan foydalanamiz , unda kerakli raqam shunchaki almashtiriladi. Masalan:
(kamaytirish formulasi ) ;
(kamaytirish formulasi )

Bizning holatda:

(1) Chunki sinus davriy funktsiya davr bilan , keyin argumentni og'riqsiz ravishda 4 ta davr (ya'ni) "bo'shatish" mumkin.

Ikki funktsiya mahsulotining tartibli hosilasini quyidagi formula yordamida topish mumkin:

Ayniqsa:

Hech narsani maxsus eslab qolishning hojati yo'q, chunki siz qanchalik ko'p formulalarni bilsangiz, shunchalik kam tushunasiz. Bu bilan tanishish ancha foydalidir Nyuton binomiali, chunki Leybnits formulasi unga juda va juda o'xshash. Xo'sh, 7 yoki undan yuqori buyurtmalarning hosilasini oladigan omadlilar (bu haqiqatan ham dargumon), buni qilishga majbur bo'ladi. Biroq, navbat kelganda kombinatorika- keyin siz hali ham kerak =)

Funktsiyaning uchinchi hosilasi topilsin. Biz Leybnits formulasidan foydalanamiz:

IN Ushbu holatda: . Og'zaki so'zlarni aytish oson:

Endi almashtirishni diqqat bilan va EHTIYOT bilan bajaring va natijani soddalashtiring:

Javob:

Mustaqil hal qilish uchun shunga o'xshash vazifa:

11-misol

Xususiyatlarni toping

Agar oldingi misolda "boshqa" yechim hali ham Leybnits formulasi bilan raqobatlashgan bo'lsa, unda bu erda haqiqatan ham yoqimsiz bo'ladi. Va bundan ham yoqimsiz - yuqori darajadagi lotin bo'lsa:

12-misol

Belgilangan tartibning hosilasini toping

Yechim: birinchi va muhim eslatma shundaki, siz bunday qaror qabul qilishingiz shart emas =) =)

Funksiyalarni yozamiz va 5-tartibga qadar hosilalarini topamiz. O'ylaymanki, o'ng ustunning hosilalari siz uchun og'zaki bo'lib qoldi:

Chap ustunda "tirik" hosilalar tezda "tugadi" va bu juda yaxshi - Leybnits formulasidagi uchta atama nolga qaytariladi:

Haqida maqolada paydo bo'lgan dilemma haqida yana bir bor to'xtalib o'taman murakkab hosilalar: Natijani soddalashtirishim kerakmi? Asos sifatida, siz buni shunday qoldirishingiz mumkin - o'qituvchiga tekshirish yanada osonroq bo'ladi. Ammo u qarorning yakunlanishini talab qilishi mumkin. Boshqa tomondan, o'z tashabbusi bilan soddalashtirish algebraik xatolar bilan to'la. Biroq, bizda "ibtidoiy" tarzda olingan javob bor =) (boshidagi havolaga qarang) va bu to'g'ri deb umid qilaman:

Ajoyib, hammasi birga keldi.

Javob:

Mustaqil yechim uchun baxtli vazifa:

13-misol

Funktsiya uchun:
a) to'g'ridan-to'g'ri farqlash yo'li bilan toping;
b) Leybnits formulasidan foydalanib toping;
c) hisoblash.

Yo'q, men umuman sadist emasman - bu erda "a" nuqtasi juda oddiy =)

Ammo jiddiy ravishda, ketma-ket farqlash orqali "to'g'ridan-to'g'ri" yechim ham "yashash huquqiga" ega - ba'zi hollarda uning murakkabligi Leybnits formulasini qo'llash murakkabligi bilan taqqoslanadi. Agar mos deb hisoblasangiz, foydalaning - bu topshiriqni bajarmaslik uchun sabab bo'lishi dargumon.

Dars oxirida qisqacha yechim va javob.

Yakuniy paragrafni ko'tarish uchun siz qobiliyatga ega bo'lishingiz kerak yashirin funktsiyalarni farqlash:

Bilvosita ko'rsatilgan funksiyalarning yuqori tartibli hosilalari

Ko'pchiligimiz hayotimizning uzoq soatlari, kunlari va haftalarini o'qishga sarfladik doiralar, parabolalar, giperbola- va ba'zida bu hatto haqiqiy jazo kabi tuyulardi. Shunday ekan, keling, qasos olaylik va ularni to'g'ri farqlaylik!

Keling, "maktab" parabolasidan boshlaylik kanonik pozitsiya:

14-misol

Tenglama berilgan. Toping.

Yechim: Birinchi qadam tanish:

Funksiya va uning hosilasi bilvosita ifodalanganligi masalaning mohiyatini o‘zgartirmaydi, ikkinchi hosila 1-hosilning hosilasidir:

Biroq, o'yin qoidalari mavjud: odatda 2 va undan yuqori darajadagi lotinlar ifodalanadi faqat "X" va "Y" orqali. Shunday qilib, hosil bo'lgan ikkinchi hosilaga : ni almashtiramiz:

Uchinchi hosila ikkinchi hosilaning hosilasidir:

Xuddi shunday, keling, almashtiramiz:

Javob:

"Maktab" giperbolasi kanonik pozitsiya- Uchun mustaqil ish:

15-misol

Tenglama berilgan. Toping.

Takror aytamanki, ikkinchi hosila va natija faqat “x”/“y” orqali ifodalanishi kerak!

Dars oxirida qisqacha yechim va javob.

Bolalar hazillaridan so'ng, keling, nemis pornografiyasini ko'rib chiqaylik, keling, kattalar misollarini ko'rib chiqaylik, ulardan yana bir muhim yechimni bilib olamiz:

16-misol

Ellips o'zi.

Yechim: birinchi hosilani topamiz:

Endi to'xtab, keyingi fikrni tahlil qilaylik: endi biz kasrni farqlashimiz kerak, bu esa umuman yoqimli emas. Bunday holda, bu, albatta, oddiy, ammo haqiqiy hayot muammolarida bunday sovg'alar juda oz va juda uzoqdir. Qiyin lotinni topmaslikning bir yo'li bormi? Mavjud! Biz tenglamani olamiz va 1-chi hosilani topishda bo'lgani kabi bir xil texnikadan foydalanamiz - biz ikkala tomonga zarbalarni "osib qo'yamiz":

Ikkinchi hosila faqat va shaklida ifodalanishi kerak, shuning uchun hozir (hoziroq) 1-chi lotindan qutulish qulay. Buning uchun hosil bo'lgan tenglamani almashtiring:

Keraksiz texnik qiyinchiliklarga yo'l qo'ymaslik uchun ikkala qismni ham ko'paytiramiz:

Va faqat oxirgi bosqichda biz kasrni shakllantiramiz:

Endi biz asl tenglamani ko'rib chiqamiz va olingan natijani soddalashtirish mumkinligini ko'ramiz:

Javob:

Istalgan nuqtada ikkinchi hosilaning qiymatini qanday topish mumkin (bu, albatta, ellipsga tegishli), masalan, nuqtada ? Juda oson! Bu motiv haqida darsda allaqachon duch kelgan normal tenglama: ifodaga 2-chi hosilani almashtirishingiz kerak :

Albatta, har uch holatda ham aniq olish mumkin belgilangan funktsiyalar va ularni farqlang, lekin keyin ildizlarni o'z ichiga olgan ikkita funktsiya bilan ishlashga aqliy tayyor bo'ling. Menimcha, yechimni "noto'g'ri" amalga oshirish qulayroqdir.

O'zingiz hal qilish uchun yakuniy misol:

17-misol

Bevosita belgilangan funksiyani toping

Leybnits formulasi berilgan n-chi hisoblar ikki funksiya hosilasining hosilasi. Uning isboti ikki xilda keltiriladi. n-tartibli hosilani hisoblash misoli ko'rib chiqiladi.

Tarkib

Shuningdek qarang: Ikki funktsiyaning hosilasi

Leybnits formulasi

Leybnits formulasidan foydalanib, ikkita funktsiya mahsulotining n-tartibli hosilasini hisoblash mumkin. Bu shunday ko'rinadi:
(1) ,
Qayerda
- binomial koeffitsientlar.

Binam koeffitsientlari - bu binomning kuchlarda kengayish koeffitsientlari va:
.
Shuningdek, raqam n dan k gacha bo'lgan birikmalar sonidir.

Leybnits formulasining isboti

Ikki funktsiya hosilasining hosilasi formulasini qo'llaymiz:
(2) .
(2) formulani quyidagi shaklda qayta yozamiz:
.
Ya'ni, bir funktsiya x o'zgaruvchiga, ikkinchisi esa y o'zgaruvchiga bog'liq deb hisoblaymiz. Hisoblash oxirida biz taxmin qilamiz. Keyin oldingi formulani quyidagicha yozish mumkin:
(3) .
Hosila shartlar yig'indisiga teng bo'lgani uchun va har bir atama ikkita funktsiyaning mahsuloti bo'lganligi sababli, yuqori darajadagi hosilalarni hisoblash uchun (3) qoidani izchil qo'llash mumkin.

Keyin n-tartibli hosila uchun bizda:

.
Buni hisobga olib, biz Leybnits formulasini olamiz:
(1) .

Induksiya bilan isbotlash

Matematik induksiya usuli yordamida Leybnits formulasining isbotini keltiramiz.

Leybnits formulasini yana bir bor yozamiz:
(4) .
n = 1 uchun bizda:
.
Bu ikki funktsiya hosilasining hosilasi formulasi. U adolatli.

Faraz qilaylik, (4) formula n-tartibli hosila uchun o‘rinli. n+ hosilasi uchun amal qilishini isbotlaylik 1 -chi tartib.

Keling, farqlaylik (4):
;



.
Shunday qilib, biz topdik:
(5) .

(5) ni almashtiramiz va shuni hisobga olamiz:

.
Bu (4) formulaning n+ hosilasi uchun bir xil ko'rinishga ega ekanligini ko'rsatadi 1 -chi tartib.

Demak, (4) formula n = uchun amal qiladi 1 . Ba'zi n = m soniga mos keladi degan farazdan u n = m + uchun amal qiladi, degan xulosa kelib chiqadi. 1 .
Leybnits formulasi isbotlangan.

Misol

Funktsiyaning n-chi hosilasini hisoblang
.

Leybnits formulasini qo‘llaymiz
(2) .
Bizning holatda
;
.

Sanoat jadvalidan bizda:
.
Biz trigonometrik funktsiyalarning xususiyatlarini qo'llaymiz:
.
Keyin
.
Bu shuni ko'rsatadiki, sinus funktsiyaning differentsiatsiyasi uning ga siljishiga olib keladi. Keyin
.

Funktsiyaning hosilalarini topish.
;
;
;
, .

Chunki uchun, u holda Leybnits formulasida faqat birinchi uchta had nolga teng emas. Binom koeffitsientlarini topish.
;
.

Leybnits formulasiga ko'ra bizda:

.

Shuningdek qarang:

Amaliy masalalarni yechish integralni hisoblashdan kelib chiqadi, lekin buni har doim ham aniq bajarish mumkin emas. Ba'zan ma'lum bir integralning qiymatini ma'lum darajada aniqlik bilan bilish kerak, masalan, minginchigacha.

Muayyan integralning taxminiy qiymatini kerakli aniqlik bilan topish kerak bo'lganda muammolar mavjud, keyin Simposniy usuli, trapezoidlar va to'rtburchaklar kabi raqamli integratsiya qo'llaniladi. Hamma holatlar uni ma'lum bir aniqlik bilan hisoblashimizga imkon bermaydi.

Ushbu maqola Nyuton-Leybnits formulasini qo'llashni o'rganadi. Bu aniq integralni aniq hisoblash uchun zarur. Beriladi batafsil misollar, o'zgaruvchining aniq integraldagi o'zgarishlari hisobga olinadi va qismlar bo'yicha integrallashda aniq integralning qiymatlarini topamiz.

Nyuton-Leybnits formulasi

Ta'rif 1

y = y (x) funksiya [ a oraliqdan uzluksiz bo'lganda; b ] , va F (x) bu segment funksiyasining antiderivativlaridan biri, u holda Nyuton-Leybnits formulasi adolatli hisoblanadi. Buni shunday yozamiz: ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a) .

Bu formula ko'rib chiqing integral hisobining asosiy formulasi.

Ushbu formulani isbotlash uchun mavjud o'zgaruvchan yuqori chegarasi bo'lgan integral tushunchasidan foydalanish kerak.

y = f (x) funksiya [ a oraliqdan uzluksiz bo'lganda; b ], keyin argumentning qiymati x ∈ a; b , integral esa ∫ a x f (t) d t ko'rinishga ega va yuqori chegaraning funksiyasi hisoblanadi. Funktsiyaning yozuvini olish kerak ∫ a x f (t) d t = P (x) , u uzluksiz va ∫ a x f (t) d t " = P " (x) = ko'rinishdagi tengsizlik bo'ladi. f (x) buning uchun amal qiladi.

PH (x) funktsiyaning o'sishi ∆ x argumentining o'sishiga to'g'ri kelishini aniqlaylik, aniq integralning beshinchi asosiy xususiyatidan foydalanish kerak va biz olamiz

P (x + ∆ x) - P x = ∫ a x + ∆ x f (t) d t - ∫ a x f (t) d t = = ∫ a x + ∆ x f (t) d t = f (c) x + ∆ x - x = f (c) ∆ x

bu erda c ∈ x qiymati; x + ∆ x.

Tenglikni P (x + ∆ x) - PH (x) ∆ x = f (c) ko'rinishida tuzamiz. Funktsiya hosilasining ta'rifi bilan chegaraga ∆ x → 0 bo'lishi kerak, keyin P "(x) = f (x) ko'rinishdagi formulani olamiz. Biz P (x) ekanligini topamiz. [a;b] da joylashgan y = f (x) ko'rinishdagi funksiya uchun antiderivativlardan biri. Aks holda ifoda yozilishi mumkin.

F (x) = PH (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C, bu erda C qiymati doimiy.

Aniq integralning birinchi xossasidan foydalanib F (a) ni hisoblaymiz. Keyin biz buni olamiz

F (a) = P (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C, demak, C = F (a) ni olamiz. Natija F (b) ni hisoblashda qo'llaniladi va biz quyidagilarni olamiz:

F (b) = P (b) + C = ∫ a b f (t) d t + C = ∫ a b f (t) d t + F (a), boshqacha aytganda, F (b) = ∫ a b f (t) d t + F (a) . Tenglik Nyuton-Leybnits formulasi bilan isbotlangan ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a) .

Funktsiyaning o'sishini F x a b = F (b) - F (a) deb olamiz. Belgilanishdan foydalanib, Nyuton-Leybnits formulasi ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) ko'rinishini oladi.

Formulani qo'llash uchun y = f (x) integrali funksiyasining [ a segmentidan y = F (x) ga qarshi hosilalaridan birini bilish kerak; b ], ushbu segmentdan antiderivativning o'sishini hisoblang. Keling, Nyuton-Leybnits formulasi yordamida hisob-kitoblarning bir nechta misollarini ko'rib chiqaylik.

1-misol

Aniq integral ∫ 1 3 x 2 d x ni Nyuton-Leybnits formulasidan foydalanib hisoblang.

Yechim

y = x 2 ko rinishdagi integrasiya [ 1 ” oralig idan uzluksiz ekanligini hisobga oling; 3 ] bo'lsa, u bu oraliqda integrallanadi. Jadvalga ko'ra noaniq integrallar y = x 2 funktsiyasi x ning barcha haqiqiy qiymatlari uchun antiderivativlar to'plamiga ega ekanligini ko'ramiz, bu x ∈ 1 ni anglatadi; 3 F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C shaklida yoziladi. C = 0 bo'lgan antiderivativni olish kerak, keyin biz F (x) = x 3 3 ni olamiz.

Biz Nyuton-Leybnits formulasidan foydalanamiz va aniq integralni hisoblash ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3 ko'rinishda ekanligini aniqlaymiz.

Javob:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3

2-misol

Nyuton-Leybnits formulasi yordamida aniq integral ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x ni hisoblang.

Yechim

Berilgan funksiya [ - 1 dan uzluksiz; 2 ], ya'ni u integrallash mumkin. Noaniq integralning ∫ x · e x 2 + 1 d x qiymatini differensial belgi ostida yig'ish usuli yordamida topish kerak, keyin ∫ x · e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d ( ni olamiz) x 2 + 1) = 1 2 e x 2 + 1 + C.

Demak, bizda y = x · e x 2 + 1 funksiyaning barcha x, x ∈ - 1 uchun o'rinli bo'lgan antiderivativlar to'plami mavjud; 2.

C = 0 da antiderivativni olish va Nyuton-Leybnits formulasini qo'llash kerak. Keyin shaklning ifodasini olamiz

∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Javob:∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

3-misol

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x va ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x integrallarini hisoblang.

Yechim

Segment - 4; - 1 2 integral belgisi ostidagi funksiya uzluksiz ekanligini, ya’ni integrallanishini bildiradi. Bu yerdan y = 4 x 3 + 2 x 2 funksiyaning anti hosilalari to'plamini topamiz. Biz buni tushunamiz

∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C

F (x) = 2 x 2 - 2 x antiderivativni olish kerak, keyin Nyuton-Leybnits formulasini qo'llagan holda, biz hisoblab chiqiladigan integralni olamiz:

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28

Biz ikkinchi integralni hisoblashga o'tamiz.

Segmentdan [- 1; 1 ] bizda integratsiya funksiyasi cheklanmagan deb hisoblanadi, chunki lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , shundan kelib chiqadiki, zaruriy shart segmentdan integratsiyalashuv. U holda F (x) = 2 x 2 - 2 x [ - 1 oraliqdan y = 4 x 3 + 2 x 2 uchun antiderivativ emas; 1 ], chunki O nuqta segmentga tegishli, ammo ta'rif sohasiga kiritilmagan. Demak, [ - 1 oraliqdan y = 4 x 3 + 2 x 2 funksiya uchun aniq Riman va Nyuton-Leybnits integrali mavjud; 1].

Javob: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = - 28 ,[ - 1 oraliqdan y = 4 x 3 + 2 x 2 funksiya uchun aniq Riman va Nyuton-Leybnits integrali mavjud; 1].

Nyuton-Leybnits formulasini qo'llashdan oldin aniq integral mavjudligi haqida aniq ma'lumotga ega bo'lishingiz kerak.

Aniq integraldagi o'zgaruvchini o'zgartirish

y = f (x) funksiya aniqlangan va [ a oraliqdan uzluksiz bo'lganda; b], keyin mavjud to'plam [a; b] a segmentida aniqlangan x = g (z) funksiya qiymatlari diapazoni deb hisoblanadi; b mavjud uzluksiz hosila bilan, bu erda g (a) = a va g b = b, bundan ∫ a b f (x) d x = ∫ a b f (g (z)) g " (z) d z ekanligini olamiz.

Bu formula ∫ a b f (x) d x integralini hisoblash kerak bo'lganda qo'llaniladi, bu erda noaniq integral ∫ f (x) d x ko'rinishga ega bo'lsa, biz almashtirish usuli yordamida hisoblaymiz.

4-misol

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x ko'rinishdagi aniq integralini hisoblang.

Yechim

Integratsiya funksiyasi integrallash oralig'ida uzluksiz hisoblanadi, ya'ni aniq integral mavjud. 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2 yozuvini keltiramiz. X = 9 qiymati z = 2 9 - 9 = 9 = 3 ekanligini bildiradi va x = 18 uchun z = 2 18 - 9 = 27 = 3 3 ni olamiz, keyin g a = g (3) = 9, g b = g 3 3 = 18. Olingan qiymatlarni ∫ a b f (x) d x = ∫ a b f (g (z)) g " (z) d z formulasiga almashtirganda, biz buni olamiz

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z 2 + 9 2 " d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z d z = ∫3 3 3 2 z 2 + 9 d z

Noaniq integrallar jadvaliga ko'ra, bizda 2 z 2 + 9 funksiyaning anti hosilalaridan biri 2 3 a r c t g z 3 qiymatini oladi. Keyin, Nyuton-Leybnits formulasini qo'llaganimizda, biz buni olamiz

∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 - a r c 3 a r c t g 3 - a r c 3 = 1 p -3 8

Topilma ∫ a b f (x) d x = ∫ a b f (g (z)) · g " (z) d z formulasidan foydalanmasdan ham amalga oshirilishi mumkin edi.

Agar almashtirish usulidan foydalansak ∫ 1 x 2 x - 9 d x ko'rinishdagi integraldan foydalansak, u holda ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C natijaga kelishimiz mumkin.

Bu yerdan Nyuton-Leybnits formulasi yordamida hisob-kitoblarni amalga oshiramiz va aniq integralni hisoblaymiz. Biz buni tushunamiz

∫ 9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 18 - 9 3 - a r c t g 2 9 - 9 3 = = 2 3 a r c a tr g = = = 2 3 a r c a tr c = 3 - p 3 - = p 18

Natijalar bir xil edi.

Javob: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = p 18

Aniq integralni hisoblashda qismlar bo'yicha integrallash

Agar segmentda [ a ; b ] u (x) va v (x) funktsiyalari aniqlangan va uzluksiz, keyin ularning birinchi tartibli hosilalari v " (x) · u (x) integrallanishi mumkin, shuning uchun bu segmentdan integrallanuvchi funksiya uchun u " (x) · v ( x) tenglik ∫ a b v " (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u " (x) · v (x) d x to'g'ri.

Keyin formuladan foydalanish mumkin, ∫ a b f (x) d x integralini hisoblash kerak, ∫ f (x) d x esa uni qismlar bo'yicha integrallash yordamida izlash kerak edi.

5-misol

Aniq integral ∫ - p 2 3 p 2 x · sin x 3 + p 6 d x ni hisoblang.

Yechim

x · sin x 3 + p 6 funksiyasi - p 2 oraliqda integrallanadi; 3 p 2, bu uzluksizligini bildiradi.

u (x) = x, keyin d (v (x)) = v " (x) d x = sin x 3 + p 6 d x, va d (u (x)) = u " (x) d x = d x, va v (x) = - 3 cos p 3 + p 6 . ∫ a b v "(x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u " (x) · v (x) d x formulasidan biz shuni olamiz

∫ - p 2 3 p 2 x · sin x 3 + p 6 d x = - 3 x · cos x 3 + p 6 - p 2 3 p 2 - ∫ - p 2 3 p 2 - 3 cos x 3 + p 6 d x = = - 3 · 3 p 2 · cos p 2 + p 6 - - 3 · - p 2 · cos - p 6 + p 6 + 9 sin x 3 + p 6 - p 2 3 p 2 = 9 p 4 - 3 p 2 + 9 sin p 2 + p 6 - sin - p 6 + p 6 = 9 p 4 - 3 p 2 + 9 3 2 = 3 p 4 + 9 3 2

Misolni boshqa yo'l bilan hal qilish mumkin.

Nyuton-Leybnits formulasidan foydalanib, qismlar bo‘yicha integrallash orqali x · sin x 3 + p 6 funksiyaning anti hosilalari to‘plamini toping:

∫ x · sin x x 3 + p 6 d x = u = x , d v = sin x 3 + p 6 d x ⇒ d u = d x , v = - 3 cos x 3 + p 6 = = - 3 cos x 3 + p 6 + 3 ∫ cos x 3 + p 6 d x = = - 3 x cos x 3 + p 6 + 9 sin x 3 + p 6 + C ⇒ ∫ - p 2 3 p 2 x sin x 3 + p 6 d x = - 3 cos x 3 + p 6 + 9 sincos x 3 + p 6 - - - 3 - p 2 cos - p 6 + p 6 + 9 sin - p 6 + p 6 = = 9 p 4 + 9 3 2 - 3 p 2 - 0 = 3 p 4 + 9 3 2

Javob: ∫ x · sin x x 3 + p 6 d x = 3 p 4 + 9 3 2

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing