Qoldiq dispersiya formulasi ekonometriyasi. Yechim va tahlil. Modelning aniqligini baholash yoki yaqinlashuvni baholash

Statistikada dispersiya dan kvadratik xarakteristikaning individual qiymatlari sifatida topiladi. Dastlabki ma'lumotlarga qarab, u oddiy va og'irlikdagi dispersiya formulalari yordamida aniqlanadi:

1. (guruhlanmagan ma'lumotlar uchun) quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

2. O‘lchangan dispersiya (variatsion qatorlar uchun):

Bu erda n - chastota (X omilining takrorlanishi)

Dispersiyani topishga misol

Ushbu sahifada dispersiyani topishning standart namunasi tasvirlangan, siz uni topish uchun boshqa muammolarni ham ko'rishingiz mumkin

Misol 1. Quyidagi ma'lumotlar 20 ta sirtqi talabalar guruhi uchun mavjud. Xarakteristikani taqsimlashning intervalli qatorini qurish, xarakteristikaning o'rtacha qiymatini hisoblash va uning tarqalishini o'rganish kerak.

Keling, intervalli guruhlashni tuzamiz. Formula yordamida interval oralig'ini aniqlaymiz:

bu erda X max - guruhlash xarakteristikasining maksimal qiymati;
X min – guruhlash xarakteristikasining minimal qiymati;
n - intervallar soni:

Biz n=5 ni qabul qilamiz. Qadam: h = (192 - 159)/ 5 = 6,6

Keling, intervalli guruhlashni yarataylik

Keyingi hisob-kitoblar uchun biz yordamchi jadval tuzamiz:

X'i - intervalning o'rtasi. (masalan, oraliqning o'rtasi 159 - 165,6 = 162,3)

O'rtacha og'irlikdagi arifmetik formuladan foydalanib, talabalarning o'rtacha balandligini aniqlaymiz:

Formula yordamida dispersiyani aniqlaymiz:

Dispersiya formulasini quyidagicha o'zgartirish mumkin:

Bu formuladan shunday xulosa kelib chiqadi dispersiya ga teng variantlar kvadratlarining o'rtacha va kvadrat va o'rtacha o'rtasidagi farq.

Variatsiya qatoridagi dispersiya momentlar usuli yordamida teng oraliqlar bilan dispersiyaning ikkinchi xossasidan foydalanib (barcha variantlarni oraliq qiymatiga bo'lish) quyidagi tarzda hisoblash mumkin. Dispersiyani aniqlash Quyidagi formuladan foydalangan holda momentlar usuli yordamida hisoblangan , kamroq mehnat talab qiladi:

bu erda i - intervalning qiymati;
A - an'anaviy nol, buning uchun eng yuqori chastotali intervalning o'rtasidan foydalanish qulay;
m1 - birinchi tartibli momentning kvadrati;
m2 - ikkinchi tartib momenti

(agar statistik populyatsiyada xarakteristika shunday o'zgarsa, faqat ikkita bir-birini istisno qiladigan variant mavjud bo'lsa, unda bunday o'zgaruvchanlik alternativ deb ataladi) formuladan foydalanib hisoblash mumkin:

Ushbu dispersiya formulasiga q = 1- p ni qo'yib, biz quyidagilarni olamiz:

Variantlar turlari

Jami farq Bu o'zgaruvchanlikni keltirib chiqaradigan barcha omillar ta'siri ostida butun populyatsiyadagi xarakteristikaning o'zgarishini o'lchaydi. Bu x xarakteristikasining individual qiymatlari x ning umumiy o'rtacha qiymatidan og'ishlarining o'rtacha kvadratiga teng va oddiy dispersiya yoki vaznli dispersiya sifatida aniqlanishi mumkin.

tasodifiy o'zgarishlarni tavsiflaydi, ya'ni. hisobga olinmagan omillar ta'siridan kelib chiqqan va guruhning asosini tashkil etuvchi omil-atributga bog'liq bo'lmagan o'zgaruvchanlikning bir qismi. Bunday dispersiya X guruhidagi atributning individual qiymatlari guruhning o'rtacha arifmetik qiymatidan og'ishlarining o'rtacha kvadratiga teng bo'lib, oddiy dispersiya yoki vaznli dispersiya sifatida hisoblanishi mumkin.

Shunday qilib, guruh ichidagi tafovut ko'rsatkichlari guruh ichidagi xususiyatning o'zgarishi va quyidagi formula bilan aniqlanadi:

bu erda xi - guruhning o'rtacha ko'rsatkichi;
ni - guruhdagi birliklar soni.

Masalan, ishchilar malakasining ustaxonadagi mehnat unumdorligi darajasiga ta'sirini o'rganish vazifasini bajarishda aniqlanishi kerak bo'lgan guruh ichidagi tafovutlar har bir guruhda barcha mumkin bo'lgan omillar (uskunaning texnik holati, jihozlarning mavjudligi) tufayli ishlab chiqarish hajmining o'zgarishini ko'rsatadi. asboblar va materiallar, ishchilarning yoshi, mehnat zichligi va boshqalar.), malaka toifasidagi farqlar bundan mustasno (bir guruh ichida barcha ishchilar bir xil malakaga ega).

Guruh ichidagi dispersiyalarning o'rtacha qiymati tasodifiy, ya'ni guruhlash omilidan tashqari barcha boshqa omillar ta'siri ostida yuzaga kelgan o'zgarishlarning bir qismini aks ettiradi. U quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

Guruhning asosini tashkil etuvchi omil-belgining ta'siri bilan bog'liq bo'lgan natijaviy belgining tizimli o'zgarishini tavsiflaydi. U umumiy o'rtacha qiymatdan guruh vositalarining og'ishlarining o'rtacha kvadratiga teng. Guruhlararo dispersiya quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

Statistikaga dispersiya qo'shish qoidasi

Ga binoan Variatsiyalarni qo'shish qoidasi umumiy dispersiya guruh ichidagi va guruhlararo dispersiyalarning o‘rtacha yig‘indisiga teng:

Ushbu qoidaning ma'nosi barcha omillar ta'sirida yuzaga keladigan umumiy dispersiya boshqa barcha omillar ta'sirida yuzaga keladigan dispersiya va guruhlash omili tufayli yuzaga keladigan dispersiya yig'indisiga teng bo'lishidir.

Dispersiyalarni qo'shish formulasidan foydalanib, siz ikkita ma'lum dispersiyadan uchinchi noma'lum dispersiyani aniqlashingiz mumkin, shuningdek, guruhlash xarakteristikasi ta'sirining kuchini baholashingiz mumkin.

Dispersiya xususiyatlari

1. Agar xarakteristikaning barcha qiymatlari bir xil doimiy miqdorga kamaytirilsa (ko'paytirilsa), dispersiya o'zgarmaydi.
2. Agar xarakteristikaning barcha qiymatlari bir xil n marta kamaytirilsa (o'stirilsa), u holda dispersiya mos ravishda n ^ 2 marta kamayadi (ortadi).

1. Korrelyatsiya-regressiya tahlilining mohiyati va uning vazifalari.

2. Regressiya ta’rifi va uning turlari.

3. Model spetsifikatsiyasining xususiyatlari. Tasodifiy o'zgaruvchining mavjudligi sabablari.

4. Juftlashgan regressiyani tanlash usullari.

5. Eng kichik kvadratlar usuli.

6. Ulanishning zichligi va mustahkamligini o'lchash ko'rsatkichlari.

7. Statistik ahamiyatga ega bo'lgan baholar.

8. y o'zgaruvchining taxmin qilingan qiymati va prognozning ishonch oraliqlari.

1. Korrelyatsiya-regressiya tahlilining mohiyati va uning vazifalari. Iqtisodiy hodisalar juda xilma-xil bo'lib, bu jarayon va hodisalarning muayyan xususiyatlarini aks ettiruvchi va o'zaro bog'liq bo'lgan o'zgarishlarga duchor bo'lgan ko'plab xususiyatlar bilan tavsiflanadi. Ba'zi hollarda xususiyatlar o'rtasidagi bog'liqlik juda yaqin bo'lib chiqadi (masalan, xodimning soatlik ishlab chiqarishi va uning ish haqi), boshqa hollarda esa bunday munosabatlar umuman ifodalanmaydi yoki juda zaif (masalan, jins talabalar va ularning akademik ko'rsatkichlari). Bu xususiyatlar o'rtasidagi bog'liqlik qanchalik yaqin bo'lsa, qabul qilingan qarorlar qanchalik to'g'ri bo'ladi.

Hodisalar va ularning xususiyatlari o'rtasida ikki xil bog'liqlik mavjud:

funktsional (deterministik, sababiy) bog'liqlik . U bitta o'zgaruvchining har bir qiymatini boshqa o'zgaruvchining qat'iy belgilangan qiymati bilan bog'laydigan formula shaklida ko'rsatilgan (tasodifiy omillarning ta'siri e'tiborga olinmaydi). Boshqa so'zlar bilan aytganda, funktsional bog'liqlik x mustaqil o'zgaruvchining har bir qiymati y bog'liq o'zgaruvchining aniq belgilangan qiymatiga mos keladigan munosabatdir. Iqtisodiyotda o'zgaruvchilar orasidagi funktsional munosabatlar umumiy qoidadan istisno hisoblanadi;

statistik (stokastik, deterministik bo'lmagan) bog'liqlik - bu tasodifiy omillar ta'sirida bo'lgan o'zgaruvchilarning aloqasi, ya'ni. Bu x mustaqil o'zgaruvchining har bir qiymati y bog'liq o'zgaruvchining qiymatlari to'plamiga mos keladigan munosabatdir va y qanday qiymat olishi oldindan ma'lum emas.

Statistik bog'liqlikning alohida holati korrelyatsiya bog'liqligidir.

Korrelyatsiyaga bog'liqlik mustaqil x oʻzgaruvchining har bir qiymati y bogʻliq oʻzgaruvchining maʼlum bir matematik kutilishiga (oʻrtacha qiymati) mos keladigan munosabatdir.

Korrelyatsiya bog'liqligi "to'liq bo'lmagan" bog'liqlik bo'lib, u har bir alohida holatda emas, balki faqat ko'p sonli holatlar uchun o'rtacha qiymatlarda paydo bo'ladi. Masalan, ma'lumki, xodimning malakasini oshirish mehnat unumdorligini oshirishga olib keladi. Ushbu bayonot ko'pincha amalda tasdiqlanadi, lekin shunga o'xshash jarayon bilan shug'ullanadigan bir xil toifadagi / darajadagi ikki yoki undan ortiq ishchi bir xil mehnat unumdorligiga ega bo'lishini anglatmaydi.

Korrelyatsiya bog'liqligi korrelyatsiya va regressiya tahlili usullari yordamida o'rganiladi.

Korrelyatsiya va regressiya tahlili o'zgaruvchilar orasidagi bog'lanishning yaqinligini, yo'nalishini va bu bog'lanish shaklini o'rnatishga imkon beradi, ya'ni. uning analitik ifodasi.

Korrelyatsiya tahlilining asosiy vazifasi juftlik bog‘lanishda ikki belgi o‘rtasidagi va ko‘p omilli bog‘lanishda samarali va bir necha omilli belgilar orasidagi bog‘lanish yaqinligini miqdoriy jihatdan aniqlash va o‘rnatilgan bog‘lanishning ishonchliligini statistik baholashdan iborat.

2. Regressiya ta’rifi va uning turlari. Regressiya tahlili ekonometrikaning asosiy matematik va statistik qurolidir. Regressiya Miqdorning o'rtacha qiymatining (y) boshqa miqdorga yoki bir nechta miqdorga (x i) bog'liqligini chaqirish odatiy holdir.

Regressiya tenglamasiga kiritilgan omillar soniga qarab, oddiy (juftlangan) va ko'p regressiyani ajratish odatiy holdir.

Oddiy (juftlik) regressiya - qaram (tushuntirilgan) o'zgaruvchining o'rtacha qiymati y bitta mustaqil (tushuntiruvchi) o'zgaruvchining funksiyasi sifatida qaraladigan model. Bilvosita, juft regressiya quyidagi shaklning modelidir:

Aniq:

,

Bu erda a va b - regressiya koeffitsientlarining taxminlari.

Ko'p regressiya - qaram (tushuntirilgan) o'zgaruvchining o'rtacha qiymati y bir nechta mustaqil (tushuntiruvchi) o'zgaruvchilar x 1, x 2, ... x n funktsiyasi sifatida qaraladigan model. Bilvosita, juft regressiya quyidagi shaklning modelidir:

.

Aniq:

bu erda a va b 1, b 2, b n - regressiya koeffitsientlarining taxminlari.

Xodimning ish haqining uning yoshiga, ma'lumotiga, malakasiga, ish stajiga, sohaga va boshqalarga bog'liqligi bunday modelga misol bo'ladi.

Bog'liqlik shakliga kelsak, quyidagilar mavjud:

chiziqli regressiya;

nochiziqli regressiya, bu mos keladigan nochiziqli funktsiya bilan ifodalangan omillar o'rtasida chiziqli bo'lmagan munosabatlar mavjudligini nazarda tutadi. Ko'pincha, tashqi ko'rinishida chiziqli bo'lmagan modellar chiziqli shaklga tushirilishi mumkin, bu ularni chiziqli deb tasniflash imkonini beradi.

3. Model spetsifikatsiyasining xususiyatlari. Tasodifiy o'zgaruvchining mavjudligi sabablari. Har qanday ekonometrik tadqiqot shundan boshlanadi model spetsifikatsiyalari , ya'ni. o'zgaruvchilar o'rtasidagi munosabatlarning tegishli nazariyasiga asoslangan model turini shakllantirishdan.

Avvalo, samarali atributga ta'sir qiluvchi omillarning barcha qatoridan eng muhim ta'sir qiluvchi omillarni aniqlash kerak. Agar tushuntirish o'zgaruvchisi sifatida foydalaniladigan dominant omil mavjud bo'lsa, juftlik regressiyasi etarli. Oddiy regressiya tenglamasi ikkita o'zgaruvchi o'rtasidagi munosabatlarni tavsiflaydi, bu o'zini faqat kuzatishlar jami uchun o'rtacha ma'lum bir naqsh sifatida namoyon qiladi. Regressiya tenglamasida korrelyatsiya munosabati mos keladigan matematik funksiya bilan ifodalangan funksional bog`liqlik ko`rinishida ifodalanadi. Deyarli har bir alohida holatda y qiymati ikkita shartdan iborat:

,

bu erda y - natijada olingan xarakteristikaning haqiqiy qiymati;

– regressiya tenglamasi asosida topilgan natijaviy xarakteristikaning nazariy qiymati;

- regressiya tenglamasi yordamida topilgan nazariy qiymatdan olingan xarakteristikaning haqiqiy qiymatining og'ishini tavsiflovchi tasodifiy o'zgaruvchi.

Tasodifiy qiymat buzilish deb ham ataladi. U modelda hisobga olinmagan omillarning ta'sirini, tasodifiy xatolarni va o'lchash xususiyatlarini o'z ichiga oladi. Modeldagi tasodifiy o'zgaruvchining mavjudligi uchta manba tomonidan yaratiladi:

model spetsifikatsiyasi,

manba ma'lumotlarining tanlangan tabiati,

o'zgaruvchilarni o'lchash xususiyatlari.

Spetsifikatsiyadagi xatolar nafaqat ma'lum bir matematik funktsiyani noto'g'ri tanlashni, balki regressiya tenglamasidagi har qanday muhim omilni kam baholashni ham o'z ichiga oladi (juftlik o'rniga juftlashgan regressiyadan foydalanish).

Spetsifikatsiya xatolari bilan bir qatorda, tanlab olishda xatolar ham paydo bo'lishi mumkin, chunki tadqiqotchi ko'pincha xususiyatlar o'rtasidagi munosabatlar naqshlarini o'rnatishda namunaviy ma'lumotlar bilan shug'ullanadi. Tanlab olish xatolari, odatda, iqtisodiy jarayonlarni o'rganishda sodir bo'ladigan dastlabki statistik populyatsiyadagi ma'lumotlarning heterojenligi tufayli ham yuzaga keladi. Agar populyatsiya heterojen bo'lsa, regressiya tenglamasi amaliy ma'noga ega emas. Yaxshi natijaga erishish uchun o'rganilayotgan xususiyatlarning anomal qiymatlari bo'lgan birliklar odatda populyatsiyadan chiqariladi. Shunga qaramay, regressiya natijalari namunaviy xususiyatlarni ifodalaydi. Manba ma'lumotlari

Biroq, regressiya usullarini amaliy qo'llashda eng katta xavf o'lchash xatolaridir. Agar spetsifikatsiya xatolarini model shaklini o'zgartirish (matematik formulaning bir turi) yo'li bilan kamaytirish mumkin bo'lsa va tanlab olish xatolarini dastlabki ma'lumotlar hajmini oshirish orqali kamaytirish mumkin bo'lsa, o'lchash xatolari xarakteristikalar o'rtasidagi bog'liqlikni aniqlash uchun barcha harakatlarni amalda bekor qiladi.

4. Juftlashgan regressiyani tanlash usullari. O'lchov xatolari minimallashtirilgan deb hisoblasak, ekonometrik tadqiqotlarning asosiy e'tibori modelni spetsifikatsiya qilish xatolariga qaratilgan. Juft regressiyada matematik funksiya turini tanlash
uchta usulda amalga oshirilishi mumkin:

grafik;

analitik, ya'ni. o'rganilayotgan munosabatlar nazariyasiga asoslanib;

eksperimental.

Ikki xususiyat o'rtasidagi munosabatni o'rganishda grafik usuli regressiya tenglamasining turini tanlash juda aniq. U korrelyatsiya maydoniga asoslanadi. Munosabatlar miqdorini aniqlashda qo'llaniladigan egri chiziqlarning asosiy turlari

Ikki o'zgaruvchi o'rtasidagi munosabatni tavsiflash uchun matematik funktsiyalar sinfi juda keng; boshqa turdagi egri chiziqlar ham qo'llaniladi.

Analitik usul regressiya tenglamasining turini tanlash o'rganilayotgan belgilarning bog'lanishining moddiy xususiyatini o'rganishga, shuningdek, bog'lanish xarakterini vizual baholashga asoslanadi. Bular. agar soliq progressivligi va byudjet daromadlari o'rtasidagi bog'liqlikni ko'rsatadigan Laffer egri chizig'i haqida gapiradigan bo'lsak, u holda biz parabolik egri chiziq haqida gapiramiz va mikrotahlilda izokvantlar giperbolalardir.

Ekonometriya iqtisodiy hodisa va jarayonlarning oʻzaro aloqadorligini miqdoriy ifodalashni taʼminlovchi fandir. Hozirgi vaqtda quyidagi ekonometriya muammolarining yechimlari onlayn tarzda mavjud:

Tahlilning korrelyatsion-regressiya usuli

Assotsiatsiyaning parametrik bo'lmagan o'lchovlari

Tasodifiy komponentning geteroskedastistligi

Avtokorrelyatsiya

1. Vaqt seriyalari darajalarining avtokorrelyatsiyasi. Korrelogramma qurish bilan avtokorrelyatsiyani tekshirish;

Ekspert tadqiqotlarini o'tkazishning ekonometrik usullari

1. Dispersiyani tahlil qilish usulidan foydalanib, omilning ob'ekt sifatiga ta'siri haqidagi nol gipotezani sinab ko'ring.

Olingan yechim Word formatida taqdim etiladi. Yechimdan so'ng darhol Excel-da shablonni yuklab olish uchun havola mavjud bo'lib, bu barcha olingan ko'rsatkichlarni tekshirish imkonini beradi. Agar topshiriq Excelda hal qilishni talab qilsa, Excelda statistik funktsiyalardan foydalanishingiz mumkin.

Vaqt seriyasining komponentlari

1. Analytical Smoothing xizmatidan vaqt seriyasini (to'g'ri chiziq bo'ylab) analitik tekislash va trend tenglamasi parametrlarini topish uchun foydalanish mumkin. Buning uchun siz manba ma'lumotlarining miqdorini ko'rsatishingiz kerak. Agar juda ko'p ma'lumotlar bo'lsa, uni Excel-dan joylashtirishingiz mumkin.
2. Trend tenglama parametrlarini hisoblash.
   Trend funksiyasi turini tanlashda siz chekli farq usulidan foydalanishingiz mumkin. Agar umumiy tendentsiya ikkinchi tartibli parabola bilan ifodalansa, ikkinchi tartibli doimiy chekli farqlarni olamiz. Agar o'sish sur'atlari taxminan doimiy bo'lsa, u holda tekislash uchun eksponensial funktsiyadan foydalaniladi.
   Tenglama shaklini tanlashda siz mavjud bo'lgan ma'lumotlar miqdoridan harakat qilishingiz kerak. Tenglama qancha ko'p parametrlarni o'z ichiga olgan bo'lsa, baholashning ishonchliligi darajasidagi kuzatishlar shunchalik ko'p bo'lishi kerak.
3. Harakatlanuvchi o'rtacha usuli yordamida tekislash. Foydalanish

Faraz qilaylik, biz bu taxminlarni topdik va tenglamani yozishimiz mumkin:

ŷ = a + bX,

Qayerda A- regressiya konstantasi, regressiya chizig'ining o'q bilan kesishish nuqtasi OY;

b- regressiya koeffitsienti, munosabatlarni tavsiflovchi regressiya chizig'ining qiyaligi DY¤DX;

ŷ - izohlangan o'zgaruvchining nazariy qiymati.

Juftlik regressiyasida ma'lumki, matematik model turini tanlash uchta usulda amalga oshirilishi mumkin:

1. Grafika.

2. Analitik.

3. Eksperimental.

Kuzatilgan qiymatlarni tavsiflovchi funksiyani tanlash uchun grafik usuldan foydalanish mumkin. Manba ma'lumotlari koordinata tekisligida chiziladi. Faktor xarakteristikasining qiymatlari abtsissa o'qida, natijada olingan xarakteristikaning qiymatlari esa ordinat o'qida chiziladi. Nuqtalarning joylashuvi ulanishning taxminiy shaklini ko'rsatadi. Qoida tariqasida, bu munosabatlar egri chiziqli. Agar bu chiziqning egri chizig'i kichik bo'lsa, biz to'g'ri chiziqli bog'lanishning mavjudligi haqidagi farazni qabul qilishimiz mumkin.

Keling, iste'mol funktsiyasini tarqalish diagrammasi sifatida tasvirlaymiz. Buning uchun koordinatalar sistemasida abtsissalar o'qi bo'yicha daromad qiymatini, ordinatalar o'qi bo'yicha esa shartli mahsulot iste'mol qilish xarajatlarini chizamiz. "Daromad - iste'mol xarajatlari" qiymatlari to'plamiga mos keladigan nuqtalarning joylashishi munosabatlarning taxminiy shaklini ko'rsatadi (1-rasm).

Vizual ravishda, diagrammaga asoslanib, eng yaxshi qaramlikni aniq aniqlash deyarli mumkin emas.

Keling, tanlangan funksiyaning parametrlarini baholashga o'tamiz a Va b eng kichik kvadratlar usuli.

Baholash muammosini minimalni topishning "klassik" muammosiga qisqartirish mumkin. O'zgaruvchilar endi baholardir A Va b taklif qilingan ulanishning noma'lum parametrlari da Va X. Har qanday funktsiyaning eng kichik qiymatini topish uchun birinchi tartibli qisman hosilalarni topish kerak. Keyin ularning har birini nolga tenglashtiring va hosil bo'lgan tenglamalar tizimini o'zgaruvchilarga nisbatan yeching. Bizning holatda, bunday funktsiya kvadrat og'ishlarning yig'indisidir - S, va o'zgaruvchilar A Va b. Ya'ni, = 0 va = 0 ni topib, hosil bo'lgan tenglamalar tizimini ga nisbatan yechishimiz kerak A Va b.

Eng kichik kvadratlar usulidan foydalanib, birlashtiruvchi tenglama ko'rinishga ega deb faraz qilib, parametr baholarini chiqaramiz. ŷ = a + bX. Keyin funksiya S kabi ko'rinadi

. Funktsiyani farqlash S tomonidan A ga nisbatan differensiallash orqali birinchi normal tenglamani olamiz b- ikkinchi normal tenglama. , ,

Tegishli o'zgarishlardan so'ng biz quyidagilarni olamiz:

(*)

Oddiy tenglamalar tizimini qurish uchun soddalashtirilgan qoidalar mavjud. Keling, ularni chiziqli funktsiyaga qo'llaymiz:

1) Tenglamaning har bir a'zosini ko'paytiring ŷ = a + bX birinchi parametr uchun koeffitsient bo'yicha ( A), ya'ni bitta tomonidan.

2) Har bir o'zgaruvchidan oldin yig'indi belgisini qo'yamiz.

3) Tenglamaning erkin hadini ga ko'paytiring n.

4) Birinchi normal tenglamani olamiz

5) Asl tenglamaning har bir hadini ikkinchi parametr koeffitsientiga ko'paytiring ( b), ya'ni yoqilgan X.

6) Har bir o'zgaruvchidan oldin yig'indi belgisini qo'yamiz.

7) Ikkinchi normal tenglamani olamiz

Ushbu qoidalardan foydalanib, har qanday chiziqli funktsiya uchun normal tenglamalar tizimi tuziladi. Qoidalar birinchi marta ingliz iqtisodchisi R.Pearl tomonidan tuzilgan.

Tenglamalar parametrlari quyidagi formulalar yordamida hisoblanadi:

, ,

Keling, 1-jadvaldagi dastlabki ma'lumotlardan foydalanib, normal tenglamalar tizimini (*) quramiz va uni noma'lumlarga nisbatan yechamiz. A Va b:

1677=11*a+4950*ba = -3309

790 400=4950*a+2 502 500*bb = 7,6923

Regressiya tenglamasi:

ŷ = -3309 + 7,6923 x ,

A mahsulot iste'molining haqiqiy va taxminiy xarajatlarini solishtiramiz (2-jadval).

2-jadval Tovarlarni iste'mol qilish xarajatlarining haqiqiy va taxminiy qiymatlarini taqqoslash A chiziqli munosabat bilan:

Guruh raqami	Iste'mol xarajatlari tovarlar A		Haqiqiy xarajatlarning hisoblanganlardan chetga chiqishi
	haqiqiy(lar)	turar-joy	mutlaq (y – ŷ)
1	120	-1770,54	1890,54
2	129	-1385,92	1514,92
3	135	-1001,31	1136,31
4	140	-616,45	756,45
5	145	-232,08	377,08
6	151	152,53	-1,53
7	155	537,15	-382,15
8	160	921,76	-761,76
9	171	1306,38	-1135,38
10	182	1690,99	-1508,99
11	189	2075,61	-1886,61
Jami	-	-	0

Olingan funktsiyaning grafigini tuzamiz ŷ va haqiqiy qiymatlar (y) va hisoblangan qiymatlardan foydalangan holda tarqalish sxemasi ( ŷ) .

Xususiyatlar o'rtasidagi bog'liqlik korrelyatsion bo'lganligi sababli hisoblangan qiymatlar haqiqiy qiymatlardan chetga chiqadi.

Korrelyatsiya koeffitsienti munosabatlarning yaqinligining o'lchovi sifatida ishlatiladi:

=

1-jadvaldagi dastlabki ma'lumotlardan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

σ x =158;

σ y = 20,76;

r = 0,990.

Chiziqli korrelyatsiya koeffitsienti minus 1 dan plyus 1 gacha bo'lgan har qanday qiymatni olishi mumkin. Mutlaq qiymatdagi korrelyatsiya koeffitsienti 1 ga qanchalik yaqin bo'lsa, xarakteristikalar o'rtasidagi munosabatlar shunchalik yaqin bo'ladi. Chiziqli korrelyatsiya koeffitsientining belgisi munosabatlarning yo'nalishini ko'rsatadi - to'g'ridan-to'g'ri bog'liqlik ortiqcha belgisiga, teskari munosabat esa minus belgisiga mos keladi.

Xulosa: qadriyatlar o'rtasidagi munosabat X va tegishli qiymatlar da

yaqin, bevosita qaramlik.

Bizning misolimizda d = 0,9801

Bu mahsulot tannarxining o'zgarishini anglatadi A 98,01% daromadning o'zgarishi bilan izohlanishi mumkin.

Qolgan 1,99% quyidagilardan kelib chiqishi mumkin:

1) etarli darajada yaxshi tanlanmagan aloqa shakli;

2) boshqa hisobga olinmagan omillarning bog'liq o'zgaruvchiga ta'siri.

Gipotezalarni statistik tekshirish.

Biz regressiya koeffitsienti statistik jihatdan ahamiyatsiz degan nol gipotezani ilgari surdik:

H 0 : b = 0.

Regressiya koeffitsientining statistik ahamiyati yordamida tekshiriladi t- Talabaning t-testi. Buning uchun birinchi navbatda kvadratlarning qoldiq yig'indisini aniqlang

s 2 ost= å (y i – ŷ i) 2

s 2 ost = 1,3689.

va uning standart og'ishi

s = 0,39. se ( b ) = 0,018.

Haqiqiy qiymat t-Regressiya koeffitsienti uchun talaba testi:

.

t b = 427,35.

Qiymati |t b |>t cr (95% ahamiyatlilik darajasi uchun t cr =2,26) regressiya koeffitsientining noldan farq qilishi (tegishli ahamiyatga egalik darajasida) va demak, ta’sirning mavjudligi haqida xulosa chiqarishga imkon beradi. (ulanish) X Va u.

Xulosa: haqiqiy qiymat t-Talabaning t-testi jadval qiymatidan oshib ketgan, ya’ni nol gipoteza rad etilgan va 95% ehtimollik bilan regressiya koeffitsientining statistik ahamiyati haqidagi muqobil gipoteza qabul qilingan.

[b– t cr *se( b), b+ t cr *se( b)]- b uchun 95% ishonch oralig'i.

Ishonch oralig'i parametrning haqiqiy qiymatini qamrab oladi b berilgan ehtimollik bilan (bu holda 95%).

7,6516 < b < 7,7329.

Korrelyatsiya va aniqlash koeffitsientlarining statistik ahamiyatini tekshirishga o'tamiz:

r = 0,990;

d = r 2 = 0,9801.

Biz regressiya tenglamasi umuman statistik jihatdan ahamiyatsiz degan nol gipotezani ilgari surdik:

H 0 : r 2 = 0.

Tuzilgan regressiya modelining statistik ahamiyatini baholash umumiy holda amalga oshiriladi. F-Fisher mezoni. Haqiqiy qiymat F-parametrlarda chiziqli juftlangan regressiya tenglamasining mezonlari quyidagicha aniqlanadi:

bu yerda s 2 omil - nazariy qiymatlar uchun dispersiya ŷ (variatsiya tushuntirilgan);

s 2 dam - kvadratlarning qoldiq yig'indisi;

r 2 - determinatsiya koeffitsienti.

Haqiqiy qiymat F- Fisher mezoni:

F f = 443,26

Xulosa: biz nol gipotezani rad qilamiz va 95% ehtimollik bilan regressiya tenglamasining statistik ahamiyati haqidagi muqobil gipotezani qabul qilamiz.

X omili (bir mehnatga layoqatli odamning kuniga o'rtacha yashash darajasi) va natijada y (o'rtacha kunlik ish haqi) o'rtasidagi korrelyatsiya bog'liqligi. Chiziqli regressiya tenglamasining parametrlari, regressiya koeffitsientining iqtisodiy talqini.

y=f(x)+E,y t =f(x) – nazariy funksiya, E=y-y t

y t =a+bx – o'rtacha kunlik ish haqining (y) mehnatga layoqatli bir kishining kuniga o'rtacha yashash darajasiga bog'liqligi (x)

a+b =

a +b =

b=
- regressiya koeffitsienti.

Bu mehnatga layoqatli bir kishining (X) kuniga jon boshiga to‘g‘ri keladigan yashash minimumi 1 birlikka oshganda o‘rtacha ish haqi (Y) necha birlik o‘zgarishini ko‘rsatadi.

b=
= 0,937837482

Demak, jon boshiga bir kunlik mehnatga layoqatli kishining o‘rtacha yashash minimumi (x) 1 birlikka oshishi bilan o‘rtacha kunlik ish haqi o‘rtacha 0,937 birlikka oshadi.

a= -b , a=135,4166667-0,937837482 86,75=54,05926511

3) Variatsiya koeffitsienti

Variatsiya koeffitsienti SV ning o'rtacha qiymatining qanday nisbati uning o'rtacha tarqalishini ko'rsatadi.

y x = dx/x = 0,144982838, y y = dy/y = 0,105751299

4) Korrelyatsiya koeffitsienti

Korrelyatsiya koeffitsienti bir kunlik mehnatga layoqatli kishining jon boshiga oʻrtacha yashash darajasi va oʻrtacha kunlik ish haqi oʻrtasidagi chiziqli bogʻliqlikning yaqinligini baholash uchun ishlatiladi.

rxy = b dx/dy = 0,823674909, chunki rxy ˃0, u holda o'zgaruvchilar orasidagi korrelyatsiya to'g'ridan-to'g'ri deyiladi

Bularning barchasi o'rtacha kunlik ish haqining bir kunlik mehnatga layoqatli kishining jon boshiga o'rtacha yashash darajasiga bog'liqligini ko'rsatadi.

5) Determinatsiya koeffitsienti

Determinatsiya koeffitsienti chiziqli regressiya tenglamalarining moslik sifatini baholash uchun ishlatiladi.

Determinatsiya koeffitsienti samarali atributning umumiy dispersiyasidagi regressiya bilan izohlanadigan samarali atribut Y (o'rtacha kunlik ish haqi) dispersiyasining ulushini tavsiflaydi.

R 2 xy = (∑(y t - y o'rtacha) 2) / (∑(y - y o'rtacha) 2) = 0,678440355, 0,5< R 2 < 0,7 ,

Bu shuni anglatadiki, ulanishning mustahkamligi sezilarli, yuqoriga yaqin va regressiya tenglamasi yaxshi tanlangan.

6) Modelning aniqligini baholash yoki yaqinlashtirishni baholash.

=1/n ∑ b(y i - y t)/y i n 100% - o'rtacha yaqinlashish xatosi.

5-7% dan kam xato modelning yaxshi mosligini ko'rsatadi.

Agar xato 10% dan katta bo'lsa, siz boshqa turdagi model tenglamasini tanlash haqida o'ylashingiz kerak.

Taxminan xato =0,015379395 100%=1,53%, bu modelning asl ma’lumotlarga mosligini ko’rsatadi

7) Dispersiya sxemasini tahlil qilish.

∑(y - y avg) 2 =∑(y t - y avg) 2 +∑(y i - y t) 2 n – kuzatishlar soni, m – x o‘zgaruvchisi uchun parametrlar soni

Variant komponentlari	Kvadratlar yig'indisi	Erkinlik darajalari soni	Erkinlik darajasi bo'yicha tarqalish
	∑(y - y o'rtacha) 2		S 2 jami =(∑(y - y oʻrtacha) 2)/(n-1)
Faktorial	∑(y t - y av) 2		S 2 fakt =(∑(y t - y av) 2)/m
Qoldiq	∑(y i - y t) 2		S 2 dam =(∑(y i - y t) 2)/ (n-m-1)

Dispersiyani tahlil qilish
Komponentlar	Kvadratlar yig'indisi	Erkinlik darajalari soni	Dispersiya
umumiy
faktorial
qoldiq

8) Modelning muvofiqligini tekshirishF-Fisher mezoni (a=0,05).

Umuman olganda regressiya tenglamasining statistik ahamiyatini baholash quyidagi usullar yordamida amalga oshiriladi.F-Fisher mezoni.

H 0 – regressiya tenglamasining statistik ahamiyati haqidagi gipoteza.

H 1 – regressiya tenglamasining statistik ahamiyati.

F hisoblangan erkinlik darajasi uchun hisoblangan omil va qoldiq dispersiyalarning qiymatlari nisbati asosida aniqlanadi.

F hisoblangan = S 2 fakt / S 2 dam = ((∑(y t - y av) 2)/m) / (∑(y i - y t) 2)/ (n-m-1)) =1669,585177 / 79,13314895 = 21,098429

F jadvalli - berilgan erkinlik darajalari bilan tasodifiy omillar ta'sirida shakllanishi mumkin bo'lgan mezonning maksimal mumkin bo'lgan qiymati, ya'ni. TO 1 = m, TO 2 = n- m-1 va ahamiyatlilik darajasi a (a=0,05)

F jadvali (0,05; 1; n-2), F jadvali (0,05; 1; 10), F jadvali = 4,964602701

AgarF stol < F hisoblash , keyin gipotezaH 0 taxminiy xususiyatlarning tasodifiy tabiati rad etiladi va ularning statistik ahamiyati va regressiya tenglamasining ishonchliligi tan olinadi. Aks holdaH 0 rad etilmaydi va regressiya tenglamasining statistik ahamiyatsizligi va ishonchsizligi tan olinadi. Bizning holatda F jadvali< F расч, следовательно признаётся статистическая значимость и надёжность уравнения регрессии.

9) Regressiya va korrelyatsiya koeffitsientlarining statistik ahamiyatini baholash.t-Talabaning t-testi (a=0,05).

Koeffitsientning ahamiyatini baholash. regressiya., t – talaba mezoni.B parametrining statistik ahamiyatini tekshiramiz.

Gipoteza H 0: b=0, t b (hisob) = b b/ m b, m b = S dam / (d x)
), bu erda n - kuzatishlar soni

m b = 79,13314895 / (12,57726123)
) = 0,204174979

t b (hisoblangan) = 0,937837482 / 0,204174979 = 4,593302697

t jadvali - berilgan erkinlik darajalari (K=n-2) va ahamiyatlilik darajasi a (a=0,05) bo'lgan tasodifiy omillar ta'sirida mezonning mumkin bo'lgan maksimal qiymati. t jadvali = 2.2281, Agar t (hisob) > t jadval bo'lsa, H 0 gipotezasi rad etiladi va tenglama parametrlarining ahamiyati tan olinadi.

Bizning holatda, t b (hisoblangan) > t jadvali, shuning uchun H 0 gipotezasi rad etiladi va b parametrining statistik ahamiyati tan olinadi.

a parametrining statistik ahamiyatini tekshiramiz. Gipoteza H 0: a=0 t a (hisoblangan) = a a/ m a

m a = (S dam
)/(n d x), m a = (79.13314895
)/(12 12,57726123)= 17,89736655, t a (hisoblangan) = 54,05926511 / 17,89736655=3,020515055

t a (hisoblangan) > t jadvali shuning uchun H 0 gipotezasi rad etiladi va a parametrining statistik ahamiyati tan olinadi.

Korrelyatsiyaning ahamiyatini baholash. Korrelyatsiya koeffitsientining statistik ahamiyatini tekshiramiz.

mrxy =
, mrxy =
=0,179320842, trxy = 0,823674909/ 0,179320842 = 4,593302697

tr = t b, tr > t jadvali, shuning uchun korrelyatsiya koeffitsientining statistik ahamiyati tan olinadi.