Masalalarda paralelogramma. Paralelogramma, uchburchak, trapesiya maydonini qanday topish mumkin Paralelogrammaning markaz chizig'i orqali maydonini qanday topish mumkin

Evklid geometriyasida nuqta va to'g'ri chiziq tekisliklar nazariyasining asosiy elementlari bo'lgani kabi, parallelogram ham qavariq to'rtburchaklarning asosiy figuralaridan biridir. Undan, xuddi to'pning iplari kabi, "to'rtburchaklar", "kvadrat", "romb" va boshqa geometrik miqdorlar tushunchalari oqadi.

Bilan aloqada

Paralelogramma ta'rifi

qavariq to'rtburchak, har bir jufti parallel bo'lgan segmentlardan iborat bo'lib, geometriyada parallelogramma sifatida tanilgan.

Klassik parallelogramma qanday ko'rinishda bo'lishi to'rtburchak ABCD bilan tasvirlangan. Tomonlar asoslar (AB, BC, CD va AD), har qanday cho‘qqidan shu cho‘qqiga qarama-qarshi tomonga o‘tkazilgan perpendikulyar balandlik (BE va BF), AC va BD chiziqlari diagonallar deyiladi.

Diqqat! Kvadrat, romb va to'rtburchaklar parallelogrammning maxsus holatlaridir.

Tomonlar va burchaklar: munosabatlarning xususiyatlari

Asosiy xususiyatlar, umuman olganda, belgilashning o'zi tomonidan oldindan belgilanadi, ular teorema bilan isbotlangan. Bu xususiyatlar quyidagilardan iborat:

1. Qarama-qarshi tomonlar juftlikda bir xil.
2. Bir-biriga qarama-qarshi burchaklar juftlikda tengdir.

Isbot: ABCD to‘rtburchakni AC to‘g‘ri chiziqqa bo‘lish natijasida olingan ∆ABC va ∆ADC ni ko‘rib chiqaylik. ∠BCA=∠CAD va ∠BAC=∠ACD, chunki AC ular uchun umumiydir (mos ravishda BC||AD va AB||CD uchun vertikal burchaklar). Bundan kelib chiqadi: ∆ABC = ∆ADC (uchburchaklar tengligining ikkinchi belgisi).

∆ABC dagi AB va BC segmentlari ∆ADC da CD va AD chiziqlariga juft holda mos keladi, bu ularning bir xil ekanligini bildiradi: AB = CD, BC = AD. Shunday qilib, ∠B ∠D ga mos keladi va ular tengdir. Chunki ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, ular ham juftlik bilan bir xil, u holda ∠A = ∠C. Mulk isbotlangan.

Shakl diagonallarining xarakteristikalari

Asosiy xususiyat parallelogrammaning ushbu chiziqlari: kesishish nuqtasi ularni yarmiga bo'ladi.

Isbot: ABCD rasmining AC va BD diagonallarining kesishish nuqtasi bo‘lsin. Ular ikkita mutanosib uchburchak hosil qiladi - ∆ABE va ∆CDE.

AB=CD, chunki ular qarama-qarshidir. Chiziqlar va sekantlarga ko'ra, ∠ABE = ∠CDE va ​​∠BAE = ∠DCE.

Tenglikning ikkinchi mezoni bo'yicha ∆ABE = ∆CDE. Demak, ∆ABE va ∆CDE elementlari: AE = CE, BE = DE va ​​shu bilan birga ular AC va BD ning proporsional qismlaridir. Mulk isbotlangan.

Qo'shni burchaklarning xususiyatlari

Qo'shni tomonlarning burchaklari yig'indisi 180 ° ga teng, Ular parallel chiziqlar va ko'ndalang bir xil tomonda yotadi beri. ABCD to'rtburchak uchun:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Bissektrisaning xossalari:

1. , bir tomonga tushirilgan, perpendikulyar;
2. qarama-qarshi cho'qqilarning parallel bissektrisalari bor;
3. bissektrisa chizish orqali olingan uchburchak teng yon tomonli bo'ladi.

Teorema yordamida parallelogrammning xarakterli belgilarini aniqlash

Ushbu raqamning xarakteristikalari uning asosiy teoremasidan kelib chiqadi, unda quyidagilar ko'rsatilgan: to'rtburchak parallelogramm deb hisoblanadi uning diagonallari kesishgan taqdirda va bu nuqta ularni teng segmentlarga ajratadi.

Isbot: ABCD to'rtburchakning AC va BD chiziqlari ya'ni kesishsin. ∠AED = ∠BEC va AE+CE=AC BE+DE=BD boʻlgani uchun ∆AED = ∆BEC (uchburchaklar tengligining birinchi mezoni boʻyicha). Ya'ni, ∠EAD = ∠ECB. Ular, shuningdek, AD va BC chiziqlari uchun AC sekantning ichki ko'ndalang burchaklaridir. Shunday qilib, parallelizm ta'rifi bo'yicha - AD || Miloddan avvalgi BC va CD chiziqlarining ham xuddi shunday xossasi olingan. Teorema isbotlangan.

Shaklning maydonini hisoblash

Ushbu raqamning maydoni bir necha usullar bilan topiladi eng oddiylaridan biri: balandlikni va u chizilgan poydevorni ko'paytirish.

Isbot: B va C cho'qqilardan BE va CF perpendikulyarlarini o'tkazing. ∆ABE va ∆DCF teng, chunki AB = CD va BE = CF. ABCD o'lchami bo'yicha EBCF to'rtburchakka teng, chunki ular mutanosib raqamlardan iborat: S ABE va S EBCD, shuningdek S DCF va S EBCD. Bundan kelib chiqadiki, bu hudud geometrik shakl to'rtburchak bilan bir xil tarzda joylashgan:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Aniqlash uchun umumiy formula Paralelogrammaning maydoni balandlik bilan belgilanadi hb, va yon tomoni - b. Mos ravishda:

Hududni topishning boshqa usullari

Hududni hisoblash parallelogrammning yon tomonlari va burchak orqali, ular hosil qiladi, ikkinchi ma'lum usuldir.

,

Spr-ma - maydon;

a va b uning tomonlari

a - a va b segmentlari orasidagi burchak.

Bu usul amalda birinchisiga asoslangan, ammo noma'lum bo'lsa. har doim uzib qo'yadi to'g'ri uchburchak, uning parametrlari trigonometrik identifikatsiyalar orqali topilgan, ya'ni. Munosabatni o'zgartirib, biz . Birinchi usulning tenglamasida biz balandlikni ushbu mahsulot bilan almashtiramiz va ushbu formulaning haqiqiyligini isbotlaymiz.

Paralelogramma va burchakning diagonallari orqali, ular kesishganda yaratadigan, siz maydonni ham topishingiz mumkin.

Isbot: AC va BD to'rtta uchburchak hosil qilish uchun kesishadi: ABE, BEC, CDE va ​​AED. Ularning yig'indisi ushbu to'rtburchakning maydoniga teng.

Bularning har birining maydonini ∆ ifoda bilan topish mumkin, bunda a=BE, b=AE, ∠g =∠AEB. dan beri, hisob-kitoblar bitta sinus qiymatidan foydalanadi. Ya'ni . AE+CE=AC= d 1 va BE+DE=BD= d 2 bo‘lgani uchun maydon formulasi quyidagicha kamayadi:

.

Vektor algebrasida qo'llanilishi

Ushbu to'rtburchakning tarkibiy qismlarining xususiyatlari vektor algebrasida, ya'ni ikkita vektorni qo'shishda qo'llanilishini topdi. Paralelogramma qoidasi shuni bildiradi vektorlar berilgan bo'lsaVaYo'qkollinear bo'lsa, unda ularning yig'indisi bu raqamning diagonaliga teng bo'ladi, ularning asoslari ushbu vektorlarga mos keladi.

Isbot: o'zboshimchalik bilan tanlangan boshidan - ya'ni. - vektorlarni qurish va . Keyinchalik, OA va OB segmentlari tomonlar bo'lgan OASV parallelogrammasini quramiz. Shunday qilib, OS vektor yoki yig'indida yotadi.

Paralelogramma parametrlarini hisoblash formulalari

Shaxslar quyidagi shartlarda beriladi:

1. a va b, a - tomonlar va ular orasidagi burchak;
2. d 1 va d 2, g - diagonallar va ularning kesishish nuqtasida;
3. h a va h b - a va b tomonlarga tushirilgan balandliklar;

Parametr	Formula
Yon tomonlarini topish
diagonallar bo'ylab va ular orasidagi burchakning kosinusu
diagonallar va tomonlar bo'ylab
balandlik va qarama-qarshi cho'qqi orqali
Diagonallarning uzunligini topish
yon tomonlarida va ular orasidagi cho'qqining kattaligi
yon tomonlar va diagonallardan biri bo'ylab	 Xulosa Paralelogramma geometriyaning asosiy ko'rsatkichlaridan biri sifatida hayotda, masalan, qurilishda uchastkaning maydonini yoki boshqa o'lchovlarni hisoblashda qo'llaniladi. Shuning uchun, haqida bilim o'ziga xos xususiyatlar va uning turli parametrlarini hisoblash usullari hayotning istalgan vaqtida foydali bo'lishi mumkin.

Paralelogramma nima? Parallelogramma qarama-qarshi tomonlari juft bo'lib parallel bo'lgan to'rtburchakdir.

1. Parallelogrammaning maydoni quyidagi formula bilan hisoblanadi:

\[ \LARGE S = a \cdot h_(a)\]

Qayerda:
a - parallelogrammning tomoni,
h a – bu tomonga chizilgan balandlik.

2. Agar parallelogrammaning qo‘shni ikki tomonining uzunliklari va ular orasidagi burchak ma’lum bo‘lsa, parallelogrammning maydoni quyidagi formula bo‘yicha hisoblanadi:

\[ \LARGE S = a \cdot b \cdot sin(\alpha) \]

3. Agar parallelogrammning diagonallari berilgan va ular orasidagi burchak ma'lum bo'lsa, parallelogrammning maydoni quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

\[ \LOG S = \frac(1)(2) \cdot d_(1) \cdot d_(2) \cdot sin(\alpha) \]

Paralelogrammaning xossalari

Paralelogrammada qarama-qarshi tomonlar teng: \(AB = CD\), \(BC = AD\)

Paralelogrammada qarama-qarshi burchaklar teng: \(\ burchak A = \ burchak C \), \ (\ burchak B = \ burchak D \)

Paralelogrammaning kesishish nuqtasidagi diagonallari yarmiga bo'lingan \(AO = OC\) , \(BO = OD\)

Paralelogrammaning diagonali uni ikkita teng uchburchakka ajratadi.

Bir tomoniga tutashgan parallelogramm burchaklarining yig'indisi 180 o ga teng:

\(\burchak A + \burchak B = 180^(o)\), \(\B burchak + \burchak C = 180^(o)\)

\(\ burchak C + \ burchak D = 180^(o)\), \(\D burchak + \burchak A = 180^(o)\)

Paralelogrammaning diagonallari va tomonlari quyidagi munosabat bilan bog'lanadi:

\(d_(1)^(2) + d_(2)^2 = 2a^(2) + 2b^(2) \)

Paralelogrammada balandliklar orasidagi burchak uning o'tkir burchagiga teng: \(\angle K B H =\angle A\) .

Parallelogrammaning bir tomoniga tutashgan burchaklarning bissektrisalari oʻzaro perpendikulyar.

Parallelogrammaning qarama-qarshi ikki burchagining bissektrisalari parallel.

Parallelogramma belgilari

To'rtburchak parallelogramm bo'ladi, agar:

\(AB = CD\) va \(AB || CD\)

\(AB = CD\) va \(BC = AD\)

\(AO = OC\) va \(BO = OD\)

\(\ burchak A = \ burchak C \) va \ (\ burchak B = \ burchak D \)

Paralelogramma ta'rifi

Paralelogramma qarama-qarshi tomonlari teng va parallel bo'lgan to'rtburchakdir.

Onlayn kalkulyator

Parallelogrammada bir oz bor foydali xususiyatlar, bu raqam bilan bog'liq muammolarni hal qilishni soddalashtiradi. Masalan, xossalardan biri shundaki, parallelogrammaning qarama-qarshi burchaklari tengdir.

Keling, oddiy misollarni yechish orqali bir nechta usul va formulalarni ko'rib chiqaylik.

Paralelogrammning asosi va balandligiga asoslangan maydoni uchun formula

Hududni topishning bu usuli, ehtimol, eng oddiy va sodda usullardan biridir, chunki u bir nechta istisnolardan tashqari, uchburchakning maydonini topish formulasi bilan deyarli bir xil. Birinchidan, raqamlardan foydalanmasdan umumlashtirilgan holatni ko'rib chiqaylik.

Asosli ixtiyoriy parallelogramma berilsin a a a, tomoni b b b va balandligi h h h, bizning bazamizga olib borildi. Keyin bu parallelogrammning maydoni formulasi:

S = a ⋅ h S=a\cdot h S=a ⋅h

A a a- tayanch;
h h h- balandlik.

Keling, oddiy masalalarni hal qilishni mashq qilish uchun bitta oson masalani ko'rib chiqaylik.

Parallelogrammaning asosi 10 (sm) va balandligi 5 (sm) bo'lgan maydonni toping.

Yechim

A = 10 a=10 a =1 0
h = 5 h=5 h =5

Biz uni formulamizga almashtiramiz. Biz olamiz:
S = 10 ⋅ 5 = 50 S=10\cdot 5=50S=1 0 ⋅ 5 = 5 0 (kv.ga qarang)

Javob: 50 (kv.ga qarang)

Ikki tomon va ular orasidagi burchakka asoslangan parallelogramm maydoni uchun formula

Bunday holda, kerakli qiymat quyidagicha topiladi:

S = a ⋅ b ⋅ sin ⁡ (a) S=a\cdot b\cdot\sin(\alfa)S=a ⋅b ⋅gunoh(a)

A, b a, b a, b- parallelogrammning tomonlari;
a\alfa α - tomonlar orasidagi burchak a a a Va b b b.

Endi boshqa misolni yechamiz va yuqorida tavsiflangan formuladan foydalanamiz.

Agar tomoni ma'lum bo'lsa, parallelogrammning maydonini toping a a a, bu asos va uzunligi 20 (sm) va perimetri bo'lgan p p p, son jihatdan 100 (sm) ga teng, qo'shni tomonlar orasidagi burchak ( a a a Va b b b) 30 darajaga teng.

Yechim

A = 20 a=20 a =2 0
p = 100 p = 100 p =1 0 0
a = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

Javobni topish uchun biz bu to'rtburchakning faqat ikkinchi tomonini bilamiz. Keling, uni topamiz. Paralelogrammaning perimetri quyidagi formula bilan aniqlanadi:
p = a + a + b + b p=a+a+b+b p =a +a +b+b
100 = 20 + 20 + b + b 100=20+20+b+b1 0 0 = 2 0 + 2 0 + b+b
100 = 40 + 2b 100=40+2b 1 0 0 = 4 0 + 2 b
60 = 2b 60=2b 6 0 = 2 b
b = 30 b=30 b =3 0

Eng qiyin narsa tugadi, qolgan narsa bizning qadriyatlarimizni tomonlar va ular orasidagi burchak bilan almashtirishdir:
S = 20 ⋅ 30 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 300 S=20\cdot 30\cdot\sin(30^(\circ))=300S=2 0 ⋅ 3 0 ⋅ gunoh (3 0 ∘ ) = 3 0 0 (kv.ga qarang)

Javob: 300 (kv.ga qarang)

Diagonallar va ular orasidagi burchakka asoslangan parallelogramm maydoni uchun formula

S = 1 2 ⋅ D ⋅ d ⋅ sin ⁡ (a) S=\frac(1)(2)\cdot D\cdot d\cdot\sin(\alfa)S=2 1 ​ ⋅ D⋅d⋅gunoh(a)

D D D- katta diagonal;
d d d- kichik diagonal;
a\alfa α - diagonallar orasidagi o'tkir burchak.

10 (sm) va 5 (sm) ga teng parallelogrammaning diagonallari berilgan. Ularning orasidagi burchak 30 daraja. Uning maydonini hisoblang.

Yechim

D=10 D=10 D=1 0
d = 5 d=5 d =5
a = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 12,5 S=\frac(1)(2)\cdot 10 \cdot 5 \cdot\sin(30^(\circ))=12,5S=2 1 ​ ⋅ 1 0 ⋅ 5 ⋅ gunoh (3 0 ∘ ) = 1 2 . 5 (kv.ga qarang)

Parallelogrammaning maydonini qanday topishni o'rganishdan oldin, parallelogramm nima ekanligini va uning balandligi nima ekanligini eslab qolishimiz kerak. Parallelogramma qarama-qarshi tomonlari juft parallel (parallel chiziqlar ustida yotgan) boʻlgan toʻrtburchakdir. Qarama-qarshi tomondagi ixtiyoriy nuqtadan shu tomonni o'z ichiga olgan chiziqqa o'tkazilgan perpendikulyar parallelogramm balandligi deyiladi.

Kvadrat, to'rtburchak va romb parallelogrammning maxsus holatlaridir.

Paralelogrammning maydoni (S) bilan belgilanadi.

Parallelogrammaning maydonini topish uchun formulalar

S=a*h, bu yerda a asos, h asosga chizilgan balandlik.

S=a*b*sina, bu yerda a va b asoslar, a esa a va b asoslar orasidagi burchak.

S =p*r, bu erda p - yarim perimetr, r - parallelogramma ichiga chizilgan aylananing radiusi.

a va b vektorlari tomonidan hosil qilingan parallelogrammning maydoni berilgan vektorlar mahsulotining moduliga teng, xususan:

1-misolni ko'rib chiqamiz: Tomoni 7 sm va balandligi 3 sm bo'lgan parallelogramma berilgan.Parallelogrammaning maydonini qanday topish mumkin, bizga yechim uchun formula kerak.

Shunday qilib, S= 7x3. S=21. Javob: 21 sm 2.

2-misolni ko'rib chiqing: Berilgan asoslar 6 va 7 sm, shuningdek, 60 graduslik asoslar orasidagi burchak berilgan. Parallelogrammaning maydonini qanday topish mumkin? Yechish uchun formuladan foydalaniladi:

Shunday qilib, avval burchakning sinusini topamiz. Sinus 60 = 0,5, mos ravishda S = 6*7*0,5=21 Javob: 21 sm 2.

Umid qilamanki, ushbu misollar sizga muammolarni hal qilishda yordam beradi. Va esda tutingki, asosiysi formulalarni bilish va ehtiyotkorlikdir

Ushbu mavzu bo'yicha muammolarni hal qilishda, bundan mustasno asosiy xususiyatlar parallelogramma va mos keladigan formulalar, siz quyidagilarni eslab qolishingiz va qo'llashingiz mumkin:

1. Paralelogrammaning ichki burchagining bissektrisasi undan teng yonli uchburchakni kesib tashlaydi
2. Paralelogrammaning bir tomoniga tutashgan ichki burchaklarning bissektrisalari oʻzaro perpendikulyar.
3. Paralelogrammaning qarama-qarshi ichki burchaklaridan keladigan bissektrisalar bir-biriga parallel yoki bir xil to'g'ri chiziqda yotadi.
4. Paralelogramma diagonallari kvadratlari yig'indisi uning tomonlari kvadratlari yig'indisiga teng.
5. Parallelogrammaning maydoni diagonallar va ular orasidagi burchak sinusining yarmiga teng.

Keling, ushbu xususiyatlardan foydalaniladigan muammolarni ko'rib chiqaylik.

Vazifa 1.

ABCD parallelogrammasining C burchagining bissektrisasi AD tomonini M nuqtada va AB tomonining A nuqtadan keyingi davomi E nuqtada kesishadi.Agar AE = 4, DM = 3 bo‘lsa, parallelogrammaning perimetrini toping.

Yechim.

1. CMD uchburchagi teng yon tomonli. (1-modda). Shuning uchun CD = MD = 3 sm.

2. EAM uchburchagi teng yon tomonli.
Shuning uchun AE = AM = 4 sm.

3. AD = AM + MD = 7 sm.

4. Perimetri ABCD = 20 sm.

Javob. 20 sm.

Vazifa 2.

Diagonallar ABCD qavariq to'rtburchakda chizilgan. Ma'lumki, ABD, ACD, BCD uchburchaklarning maydonlari tengdir. Bu to'rtburchak parallelogramm ekanligini isbotlang.

Yechim.

1. ABD uchburchakning balandligi BE, ACD uchburchakning balandligi CF bo‘lsin. Masala shartlariga ko'ra, uchburchaklarning yuzlari teng va ular umumiy AD asosiga ega bo'lganligi sababli, bu uchburchaklarning balandliklari teng bo'ladi. BE = CF.

2. BE, CF AD ga perpendikulyar. B va C nuqtalar AD to'g'ri chiziqqa nisbatan bir tomonda joylashgan. BE = CF. Shuning uchun BC to'g'ri chiziq || A.D. (*)

3. ACD uchburchakning balandligi AL, BCD uchburchakning balandligi BK bo‘lsin. Masala shartlariga ko'ra, uchburchaklarning maydonlari teng va ular umumiy CD asosiga ega bo'lganligi sababli, bu uchburchaklarning balandliklari teng bo'ladi. AL = BK.

4. AL va BK CD ga perpendikulyar. B va A nuqtalari CD to'g'ri chiziqqa nisbatan bir tomonda joylashgan. AL = BK. Shuning uchun AB || to'g'ri chiziq CD (**)

5. (*), (**) shartlardan ABCD parallelogramm ekanligi kelib chiqadi.

Javob. Tasdiqlangan. ABCD - parallelogramm.

Vazifa 3.

ABCD parallelogrammasining BC va CD tomonlarida BM va HD segmentlari O nuqtada kesishishi uchun mos ravishda M va H nuqtalar belgilangan;<ВМD = 95 о,