Tenglamalar tizimi yoki arifmetik munosabatlar kabi yoki geometrik shakllar, yoki ikkalasining kombinatsiyasi, matematika yordamida o'rganish haqiqiy dunyo ob'ektining ma'lum bir xossalari to'plamining xususiyatlariga oid savollarga javob berishi kerak, asosiy qonuniyatlarni tavsiflovchi matematik munosabatlar, tenglamalar, tengsizliklar to'plami sifatida. o'rganilayotgan jarayon, ob'ekt yoki tizimga xos.

Avtomatlashtirilgan boshqaruv tizimlarida boshqaruvchining ishlash algoritmini aniqlash uchun matematik modeldan foydalaniladi. Ushbu algoritm boshqaruv maqsadiga erishish uchun masterdagi o'zgarishlarga qarab boshqaruv harakatini qanday o'zgartirish kerakligini aniqlaydi.

Model tasnifi

Modellarning rasmiy tasnifi

Modellarning rasmiy tasnifi ishlatiladigan matematik vositalarning tasnifiga asoslanadi. Ko'pincha dixotomiyalar shaklida qurilgan. Masalan, dixotomiyalarning mashhur to'plamlaridan biri:

va hokazo. Har bir tuzilgan model chiziqli yoki chiziqli bo'lmagan, deterministik yoki stokastik, ... Tabiiyki, aralash tiplar ham mumkin: bir jihatdan konsentrlangan (parametrlar bo'yicha), boshqasida taqsimlangan va hokazo.

Ob'ektni tasvirlash usuliga ko'ra tasniflash

Rasmiy tasniflash bilan bir qatorda, modellar ob'ektni ifodalash usuli bilan farqlanadi:

• Strukturaviy yoki funktsional modellar

Fandagi namunaviy gipotezalarni bir marta va umuman isbotlab bo'lmaydi, biz faqat tajriba natijasida ularni rad etish yoki rad etmaslik haqida gapirishimiz mumkin.

Agar birinchi turdagi model qurilgan bo'lsa, demak u vaqtincha haqiqat sifatida qabul qilinadi va boshqa muammolarga e'tibor qaratish mumkin. Biroq, bu tadqiqot nuqtasi bo'lishi mumkin emas, balki faqat vaqtinchalik pauza: birinchi turdagi modelning holati faqat vaqtinchalik bo'lishi mumkin.

Fenomenologik model

Ikkinchi tur - fenomenologik model ( "Biz o'zimizni xuddi shunday tutamiz ..."), hodisani tavsiflash mexanizmini o'z ichiga oladi, garchi bu mexanizm etarlicha ishonarli bo'lmasa-da, mavjud ma'lumotlar bilan etarli darajada tasdiqlana olmasa yoki mavjud nazariyalar va ob'ekt haqida to'plangan bilimlarga mos kelmaydi. Shuning uchun fenomenologik modellar vaqtinchalik echimlar maqomiga ega. Javob hali ham noma'lum va "haqiqiy mexanizmlarni" qidirish davom etishi kerak deb ishoniladi. Peierls, masalan, ikkinchi tur sifatida elementar zarrachalarning kaloriya modeli va kvark modelini o'z ichiga oladi.

Tadqiqotda modelning roli vaqt o'tishi bilan o'zgarishi mumkin va yangi ma'lumotlar va nazariyalar fenomenologik modellarni tasdiqlashi va ular gipoteza maqomiga ko'tarilishi mumkin. Xuddi shunday, yangi bilimlar asta-sekin birinchi turdagi gipoteza modellari bilan ziddiyatli bo'lishi mumkin va ular ikkinchisiga tarjima qilinishi mumkin. Shunday qilib, kvark modeli asta-sekin gipotezalar toifasiga o'tadi; fizikada atomizm vaqtinchalik yechim sifatida paydo bo'ldi, ammo tarix davomida u birinchi turga aylandi. Ammo efir modellari 1-turdan 2-toifaga o'tdi va endi fandan tashqarida.

Modellarni qurishda soddalashtirish g'oyasi juda mashhur. Ammo soddalashtirish turli shakllarda keladi. Peierls modellashtirishda uch xil soddalashtirishni aniqlaydi.

Taxminlash

Uchinchi turdagi modellar - bu taxminlar ( "Biz juda katta yoki juda kichik narsani hisoblaymiz"). Agar o'rganilayotgan tizimni tavsiflovchi tenglamalarni qurish mumkin bo'lsa, bu ularni hatto kompyuter yordamida ham yechish mumkin degani emas. Bu holda umumiy qabul qilingan texnika - bu taxminiylikdan foydalanish (3-toifa modellar). Ular orasida chiziqli javob modellari. Tenglamalar chiziqli tenglamalar bilan almashtiriladi. Standart misol - Ohm qonuni.

Fikrlash tajribasi

m x ¨ = − k x (\displaystyle m(\ddot (x))=-kx),

Qayerda x ¨ (\displaystyle (\ddot (x))) ning ikkinchi hosilasini bildiradi x (\displaystyle x) vaqt bo'yicha: x ¨ = d 2 x d t 2 (\displaystyle (\ddot (x))=(\frac (d^(2)x)(dt^(2)))).

Olingan tenglama ko'rib chiqilayotgan fizik tizimning matematik modelini tavsiflaydi. Ushbu model "garmonik osilator" deb ataladi.

Rasmiy tasnifga ko'ra, bu model chiziqli, deterministik, dinamik, konsentrlangan, uzluksizdir. Uni qurish jarayonida biz ko'plab taxminlarni (tashqi kuchlarning yo'qligi, ishqalanishning yo'qligi, og'ishlarning kichikligi va boshqalar haqida) qildik, ular haqiqatda bajarilmasligi mumkin.

Haqiqatga kelsak, bu ko'pincha 4-toifa modeldir soddalashtirish(“Aniqlik uchun baʼzi tafsilotlarni oʻtkazib yuboramiz”), chunki baʼzi muhim universal xususiyatlar (masalan, tarqalish) oʻtkazib yuborilgan. Ba'zi bir taxminlarga ko'ra (aytaylik, yukning muvozanatdan og'ishi kichik ishqalanish bilan, juda ko'p vaqt va boshqa ma'lum shartlarga bog'liq bo'lsa-da), bunday model haqiqiy mexanik tizimni juda yaxshi tasvirlaydi, chunki bekor qilingan omillar xulq-atvoriga ahamiyatsiz ta'sir qiladi. Biroq, ushbu omillarning ayrimlarini hisobga olgan holda modelni takomillashtirish mumkin. Bu kengroq (yana cheklangan bo'lsa ham) qo'llanilishi mumkin bo'lgan yangi modelga olib keladi.

Biroq, modelni takomillashtirishda uning matematik tadqiqotining murakkabligi sezilarli darajada oshishi va modelni deyarli foydasiz qilishi mumkin. Ko'pincha oddiyroq model haqiqiy tizimni murakkabroq (va rasmiy ravishda "to'g'riroq")ga qaraganda yaxshiroq va chuqurroq o'rganish imkonini beradi.

Agar biz garmonik osilator modelini fizikadan uzoq ob'ektlarga qo'llasak, uning substantiv holati boshqacha bo'lishi mumkin. Masalan, ushbu modelni biologik populyatsiyalarga qo'llashda uni 6-turga kiritish kerak analogiya("Faqat ba'zi xususiyatlarni hisobga olamiz").

Qattiq va yumshoq modellar

Garmonik osilator "qattiq" deb ataladigan modelga misoldir. U haqiqiy jismoniy tizimni kuchli ideallashtirish natijasida olinadi. Garmonik osilatorning xususiyatlari kichik tebranishlar bilan sifat jihatidan o'zgaradi. Misol uchun, agar siz o'ng tomonga kichik atama qo'shsangiz − e x ˙ (\displaystyle -\varepsilon (\nuqta (x)))(ishqalanish) ( e > 0 (\displaystyle \varepsilon >0)- ba'zi bir kichik parametr), agar biz qo'shimcha atama belgisini o'zgartirsak, biz eksponensial ravishda so'yilgan tebranishlarni olamiz. (e x ˙) (\displaystyle (\varepsilon (\nuqta (x)))) keyin ishqalanish nasosga aylanadi va tebranishlar amplitudasi eksponent ravishda ortadi.

Qattiq modelning qo'llanilishi masalasini hal qilish uchun biz e'tiborsiz qoldirgan omillar qanchalik muhimligini tushunishimiz kerak. Qattiqning kichik buzilishi natijasida olingan yumshoq modellarni o'rganish kerak. Garmonik osilator uchun ular, masalan, quyidagi tenglama bilan berilishi mumkin:

m x ¨ = − k x + e f (x , x ˙) (\displaystyle m(\ddot (x))=-kx+\varepsilon f(x,(\nuqta (x)))).

Bu yerga f (x , x ˙) (\displaystyle f(x,(\nuqta (x))))- ishqalanish kuchini yoki bahorning qattiqlik koeffitsientining uning cho'zilish darajasiga bog'liqligini hisobga oladigan ba'zi funksiya. Aniq funktsiya shakli f (\displaystyle f) Bizni hozir qiziqtirmayapmiz.

Agar yumshoq modelning xatti-harakati qattiq modelning xatti-harakatidan tubdan farq qilmasligini isbotlasak (bezovta qiluvchi omillarning aniq turidan qat'i nazar, agar ular etarlicha kichik bo'lsa), muammo qattiq modelni o'rganishga qisqaradi. Aks holda, qattiq modelni o'rganish natijasida olingan natijalarni qo'llash qo'shimcha tadqiqotlarni talab qiladi.

Agar tizim kichik buzilishlar ostida o'zining sifatli harakatini saqlab qolsa, u tizimli barqaror deyiladi. Garmonik osilator tizimli ravishda beqaror (qo'pol bo'lmagan) tizimga misoldir. Biroq, bu model cheklangan vaqt oralig'idagi jarayonlarni o'rganish uchun ishlatilishi mumkin.

Modellarning ko'p qirraliligi

Eng muhim matematik modellar odatda muhim xususiyatga ega ko'p qirralilik: Bir xil matematik model orqali tubdan farq qiladigan real hodisalarni tasvirlash mumkin. Masalan, garmonik osilator nafaqat prujinadagi yukning harakatini, balki boshqa tebranish jarayonlarini ham tasvirlaydi, ko'pincha butunlay boshqacha xarakterga ega: mayatnikning kichik tebranishlari, suyuqlik darajasidagi tebranishlar. U (\displaystyle U)-shaklidagi idish yoki tebranish pallasida oqim kuchining o'zgarishi. Shunday qilib, bitta matematik modelni o'rganish orqali biz u tomonidan tasvirlangan hodisalarning butun sinfini darhol o'rganamiz. Ilmiy bilimlarning turli segmentlarida matematik modellar bilan ifodalangan qonunlarning ana shu izomorfizmi Lyudvig fon Bertalanffini “umumiy tizimlar nazariyasini” yaratishga ilhomlantirdi.

Matematik modellashtirishning bevosita va teskari masalalari

Matematik modellashtirish bilan bog'liq ko'plab muammolar mavjud. Birinchidan, siz modellashtirilgan ob'ektning asosiy diagrammasini ishlab chiqishingiz kerak, uni ushbu fanning idealizatsiyasi doirasida ko'paytirishingiz kerak. Shunday qilib, poezd vagoni turli xil materiallardan plitalar va murakkabroq jismlar tizimiga aylanadi, har bir material uning standart mexanik idealizatsiyasi (zichlik, elastik modullar, standart mustahkamlik xususiyatlari) sifatida belgilanadi, shundan so'ng tenglamalar tuziladi, yo'l davomida ba'zilari tafsilotlar ahamiyatsiz deb tashlanadi, hisob-kitoblar amalga oshiriladi, o'lchovlar bilan solishtiriladi, model takomillashtiriladi va hokazo. Biroq, matematik modellashtirish texnologiyalarini ishlab chiqish uchun ushbu jarayonni uning asosiy tarkibiy qismlariga ajratish foydalidir.

An'anaga ko'ra, matematik modellar bilan bog'liq muammolarning ikkita asosiy sinfi mavjud: to'g'ridan-to'g'ri va teskari.

To'g'ridan-to'g'ri vazifa: modelning tuzilishi va uning barcha parametrlari ma'lum deb hisoblanadi, asosiy vazifa ob'ekt haqida foydali bilimlarni olish uchun modelni o'rganishdir. Ko'prik qanday statik yukga bardosh beradi? U dinamik yukga qanday munosabatda bo'ladi (masalan, askarlarning yurishiga yoki turli tezlikda poezdning o'tishiga), samolyot tovush to'sig'ini qanday engib o'tadi, tebranishdan yiqilib tushadimi - bu to'g'ridan-to'g'ri muammoning odatiy misollari. To'g'ri to'g'ridan-to'g'ri muammoni qo'yish (to'g'ri savol berish) alohida mahorat talab qiladi. Agar to'g'ri savollar berilmasa, ko'prik qulashi mumkin, hatto uning xatti-harakati uchun yaxshi model qurilgan bo'lsa ham. Shunday qilib, 1879 yilda Buyuk Britaniyada Firth of Tay bo'ylab metall temir yo'l ko'prigi qulab tushdi, uning dizaynerlari ko'prikning modelini qurdilar, uni foydali yukning ta'siri uchun 20 martalik xavfsizlik koeffitsienti uchun hisoblab chiqdilar, ammo bu haqda unutdilar. o'sha joylarda shamollar doimo esib turadi. Va bir yarim yildan keyin u qulab tushdi.

Eng oddiy holatda (masalan, bitta osilator tenglamasi) to'g'ridan-to'g'ri muammo juda oddiy va bu tenglamaning aniq yechimiga qisqartiradi.

Teskari muammo: ko'plab mumkin bo'lgan modellar ma'lum, ob'ekt haqida qo'shimcha ma'lumotlar asosida ma'lum bir model tanlanishi kerak. Ko'pincha, modelning tuzilishi ma'lum va ba'zi noma'lum parametrlarni aniqlash kerak. Qo'shimcha ma'lumotlar qo'shimcha empirik ma'lumotlardan yoki ob'ektga qo'yiladigan talablardan iborat bo'lishi mumkin ( dizayn muammosi). Qo'shimcha ma'lumotlar teskari masalani hal qilish jarayonidan qat'iy nazar kelishi mumkin ( passiv kuzatish) yoki yechim davomida maxsus rejalashtirilgan tajriba natijasi bo'lishi ( faol kuzatuv).

Mavjud ma'lumotlardan to'liq foydalanish bilan teskari masalani mohirona hal qilishning birinchi misollaridan biri bu Nyutonning ishqalanish kuchlarini kuzatilgan zaif tebranishlardan tiklash usuli edi.

Yana bir misol - matematik statistika. Ushbu fanning vazifasi ommaviy tasodifiy hodisalarning ehtimollik modellarini qurish uchun kuzatish va eksperimental ma'lumotlarni qayd qilish, tavsiflash va tahlil qilish usullarini ishlab chiqishdan iborat. Ya'ni, mumkin bo'lgan modellar to'plami ehtimollik modellari bilan cheklangan. Muayyan vazifalarda modellar to'plami ko'proq cheklangan.

Kompyuter simulyatsiya tizimlari

Matematik modellashtirishni qo'llab-quvvatlash uchun kompyuter matematikasi tizimlari ishlab chiqilgan, masalan, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim va boshqalar. Ular oddiy va murakkab jarayonlar va qurilmalarning rasmiy va blokli modellarini yaratishga va model parametrlarini osongina o'zgartirishga imkon beradi. modellashtirish. Blok modellari bloklar bilan ifodalanadi (ko'pincha grafik), ularning to'plami va ulanishi model diagrammasi bilan belgilanadi.

Qo'shimcha misollar

Maltus modeli

Maltus tomonidan taklif qilingan modelga ko'ra, o'sish sur'ati hozirgi aholi soniga mutanosib, ya'ni differentsial tenglama bilan tavsiflanadi:

x ˙ = a x (\displaystyle (\nuqta (x))=\alfa x),

Qayerda a (\displaystyle \alpha)- tug'ilish va o'lim o'rtasidagi farq bilan belgilanadigan ma'lum bir parametr. Bu tenglamaning yechimi eksponensial funktsiyadir x (t) = x 0 e a t (\displaystyle x(t)=x_(0)e^(\alfa t)). Agar tug'ilish darajasi o'lim darajasidan oshsa ( a > 0 (\displaystyle \alpha >0)), aholi soni cheksiz va juda tez o'sib bormoqda. Aslida, bu cheklangan resurslar tufayli sodir bo'lishi mumkin emas. Aholining ma'lum bir tanqidiy hajmiga erishilganda, model adekvat bo'lishni to'xtatadi, chunki u cheklangan resurslarni hisobga olmaydi. Maltus modelining takomillashtirilishi Verhulst differentsial tenglamasi bilan tavsiflangan logistik model bo'lishi mumkin:

x ˙ = a (1 - x x s) x (\displaystyle (\nuqta (x))=\alfa \left(1-(\frac (x)(x_(s)))\o'ng)x),

bu erda tug'ilish darajasi o'lim darajasi bilan to'liq qoplanadigan "muvozanat" populyatsiya hajmi. Bunday modeldagi aholi soni muvozanat qiymatiga intiladi x s (\displaystyle x_(s)), va bu xatti-harakatlar tizimli barqarordir.

Yirtqich-o'lja tizimi

Aytaylik, ma'lum bir hududda ikki turdagi hayvonlar yashaydi: quyonlar (o'simliklar bilan oziqlanadi) va tulkilar (quyonlar). Quyonlar soni bo'lsin x (\displaystyle x), tulkilar soni y (\displaystyle y). Maltus modelidan quyonlarning tulkilar tomonidan eyishini hisobga olish uchun zarur tuzatishlar kiritib, biz quyidagi tizimga erishamiz: modellar Tovoqlar - Volterra:

( x ˙ = (a − c y) x y ˙ = (− b + d x) y (\displaystyle (\begin(holatlar)(\dot (x))=(\alpha -cy)x\\(\dot (y) ))=(-\beta +dx)y\end(holatlar)))

Ushbu tizimning xatti-harakati tizimli ravishda barqaror emas: model parametrlarining kichik o'zgarishi (masalan, quyonlarga zarur bo'lgan cheklangan resurslarni hisobga olgan holda) xatti-harakatlarning sifat jihatidan o'zgarishiga olib kelishi mumkin.

Muayyan parametr qiymatlari uchun bu tizim quyonlar va tulkilar soni doimiy bo'lganda muvozanat holatiga ega. Bu holatdan chetga chiqish quyonlar va tulkilar sonining asta-sekin o'zgarishiga olib keladi.

Muvozanat holatidan har qanday kichik og'ish halokatli oqibatlarga olib keladigan, turlardan birining butunlay yo'q bo'lib ketishiga olib keladigan vaziyatning teskarisi ham mumkin. Volterra - Trats modeli ushbu stsenariylarning qaysi biri amalga oshirilayotganligi haqidagi savolga javob bermaydi: bu erda qo'shimcha tadqiqotlar talab etiladi.

Shuningdek qarang

Eslatmalar

1. "Haqiqatning matematik tasviri" (Encyclopedia Britanica)
2. Novik I.B., Kibernetik modellashtirishning falsafiy masalalari haqida. M., Bilim, 1964 yil.
3. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Tizimlarni modellashtirish: Proc. universitetlar uchun - 3-nashr, qayta ko'rib chiqilgan. va qo'shimcha - M .: Yuqori. maktab, 2001. - 343 b. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarskiy A. A., Mixaylov A. P. Matematik modellashtirish. G'oyalar. Usullari. Misollar. - 2-nashr, rev. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X.
5. Myshkis A. D., Matematik modellar nazariyasi elementlari. - 3-nashr, rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 ISBN 978-5-484-00953-4 bilan
6. Sevostyanov, A. G. Texnologik jarayonlarni modellashtirish: darslik / A. G. Sevostyanov, P. A. Sevostyanov. - M .: Nur va Oziq-ovqat sanoati, 1984. - 344 b.
7. Rotach V.Ya. Avtomatik boshqaruv nazariyasi. - 1-chi. - M .: ZAO "MPEI nashriyoti", 2008. - P. 333. - 9 b. - ISBN 978-5-383-00326-8.
8. Ko'p miqyosli hodisalar uchun modelni qisqartirish va qo'pol donli yondashuvlar(inglizcha). Springer, Komplekslik seriyasi, Berlin-Heidelberg-Nyu-York, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4. 2013-yil 18-iyunda olindi. Arxivlangan 2013-yil 18-iyun.
9. “Nazariya qanday matematik apparatlar - chiziqli yoki chiziqli bo'lmagan - va qanday chiziqli yoki chiziqli bo'lmagan matematik modellardan foydalanishiga qarab chiziqli yoki chiziqli bo'lmagan deb hisoblanadi. ...ikkinchisini inkor etmasdan. Zamonaviy fizik, agar u nochiziqlilik kabi muhim ob'ektning ta'rifini qayta yaratishga to'g'ri kelsa, ehtimol boshqacha harakat qiladi va ikkita qarama-qarshilikning eng muhimi va keng tarqalgani sifatida chiziqlilikka ustunlik berib, chiziqlilikni "yo'q" deb belgilaydi. nochiziqlilik”. Danilov Yu.A., Nochiziqli dinamikadan ma'ruzalar. Boshlang'ich kirish. "Sinergetika: o'tmishdan kelajakka" seriyasi. 2-nashr. - M.: URSS, 2006. - 208 b. ISBN 5-484-00183-8
10. “Chekli sonli oddiy differensial tenglamalar bilan modellashtirilgan dinamik tizimlar konsentrlangan yoki nuqtali tizimlar deyiladi. Ular chekli o'lchovli fazali fazo yordamida tasvirlangan va cheklangan miqdordagi erkinlik darajasi bilan tavsiflanadi. Turli xil sharoitlarda bir xil tizimni konsentratsiyalangan yoki taqsimlangan deb hisoblash mumkin. Taqsimlangan tizimlarning matematik modellari differensial tenglamalar qisman hosilalarda, integral tenglamalarda yoki kechiktirilgan argumentli oddiy tenglamalarda. Tarqalgan tizimning erkinlik darajalari soni cheksizdir va uning holatini aniqlash uchun cheksiz miqdordagi ma'lumotlar talab qilinadi.
    Anishchenko V. S., Dinamik tizimlar, Soros ta'lim jurnali, 1997, No 11, bet. 77-84.
11. “S tizimida o‘rganilayotgan jarayonlarning xususiyatiga ko‘ra, modellashtirishning barcha turlarini deterministik va stokastik, statik va dinamik, diskret, uzluksiz va diskret-uzluksiz turlarga bo‘lish mumkin. Deterministik modellashtirish deterministik jarayonlarni, ya'ni hech qanday tasodifiy ta'sirlarning yo'qligi taxmin qilinadigan jarayonlarni aks ettiradi; stokastik modellashtirish ehtimollik jarayonlari va hodisalarini tasvirlaydi. ... Statik modellashtirish ob'ektning vaqtning istalgan nuqtasida harakatini tasvirlash uchun xizmat qiladi va dinamik modellash ob'ektning vaqt ichida harakatini aks ettiradi. Diskret modellashtirish diskret deb taxmin qilinadigan jarayonlarni tavsiflash uchun ishlatiladi, mos ravishda uzluksiz modellashtirish tizimlardagi uzluksiz jarayonlarni aks ettirishga imkon beradi va diskret-uzluksiz modellash diskret va uzluksiz jarayonlarning mavjudligini ajratib ko'rsatishni istagan holatlar uchun qo'llaniladi. ”
    Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Tizimlarni modellashtirish: Proc. universitetlar uchun - 3-nashr, qayta ko'rib chiqilgan. va qo'shimcha - M .: Yuqori. maktab, 2001. - 343 b. ISBN 5-06-003860-2
12. Odatda, matematik model modellashtirilgan ob'ektning tuzilishini (qurilmasini), tadqiqot maqsadlari uchun muhim bo'lgan ushbu ob'ekt tarkibiy qismlarining xususiyatlari va munosabatlarini aks ettiradi; bunday model tizimli deb ataladi. Agar model faqat ob'ekt qanday ishlashini - masalan, tashqi ta'sirlarga qanday munosabatda bo'lishini aks ettirsa, u funktsional yoki majoziy ma'noda qora quti deb ataladi. Birlashtirilgan modellar ham mumkin. Myshkis A. D., Matematik modellar nazariyasi elementlari. - 3-nashr, rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 b.

Matematik modellashtirish nazariyasi uchun modellashtirish maqsadini bilish va modellashtirish ob'ektini matematik shaklda ifodalash kerak. "Model" so'zi lotincha modus (nusxa, rasm, kontur) dan olingan. Modellashtirishning eng oddiy va aniq namunasi geografik va topografik xaritalardir. Modellar kimyoda strukturaviy formulalardir. Model bilish vositasi sifatida o'rtasida turadi mantiqiy fikrlash va o'rganilayotgan jarayon yoki hodisa.

Modellashtirish - bu qandaydir A ob'ektni boshqa ob'ekt B bilan almashtirishdir. O'zgartirilgan ob'ekt asl, almashtirilgan ob'ekt model deb ataladi. Shunday qilib, model asl nusxaning o'rnini bosadi. O'zgartirish maqsadiga qarab, bir xil asl nusxaning modeli boshqacha bo'lishi mumkin. Fan va texnikada modellashtirishning asosiy maqsadi asl nusxani uning soddaroq modelidan foydalanib o‘rganishdir. Bir ob'ektni boshqasi bilan almashtirish ular o'rtasida ma'lum bir o'xshashlik yoki o'xshashlik mavjud bo'lgandagina ma'noga ega bo'ladi.

Matematik model - bu ob'ektlar, tushunchalar, tizimlar yoki jarayonlarning matematik atamalarda ifodalangan taxminiy tasviri. Modellashtiriladigan ob'ektlar, tushunchalar, tizimlar yoki jarayonlar modellashtirish ob'ektlari (OM) deb ataladi.

Barcha ob'ektlar va hodisalar ozmi-ko'pmi o'zaro bog'langan, ammo modellashtirish jarayonida o'zaro bog'liqliklarning aksariyati e'tibordan chetda qoladi va modellashtirish ob'ekti alohida tizim sifatida qaraladi. Agar modellashtirish ob'ekti alohida tizim sifatida belgilansa, u holda tashqi muhit bilan kerakli aloqalarni tanlashni ta'minlovchi selektivlik tamoyilini joriy qilish kerak. Masalan, elektron sxemalarni modellashtirishda tashqi muhit bilan termal, akustik, optik va mexanik o'zaro ta'sirlar e'tiborga olinmaydi va faqat elektr o'zgaruvchilari hisobga olinadi. Selektivlik printsipi tizimga xatolik kiritadi, ya'ni model va modellashtirilgan ob'ektning xatti-harakatlaridagi farq. Keyingi muhim modellash omili - bu tizimdagi kirish va chiqish o'zgaruvchilarini bog'laydigan sabablar printsipi.

Tizimni miqdoriy baholash uchun "davlat" tushunchasi kiritiladi. Masalan, elektron kontaktlarning zanglashiga olib keladigan holati ma'lum bir vaqtda elektron kontaktlarning zanglashiga olib keladigan kuchlanish va oqim qiymatlarini anglatadi.

Matematik modelni analitik tarzda olishda ko'pincha taniqli toifalar qo'llaniladi: qonunlar, tuzilmalar va parametrlar.

Agar har qanday y o'zgaruvchisi boshqa x o'zgaruvchiga bog'liq bo'lsa, u holda birinchi miqdor ikkinchisining funktsiyasidir. Bu bog`liqlik y = f(x) yoki y = y(x) ko`rinishda yoziladi. Bu belgida x o'zgaruvchisi argument deb ataladi. Funktsiyaning muhim xarakteristikasi uning hosilasi bo'lib, uni topish jarayoni differentsiatsiya deb ataladi. Matematik qoidalarga ko'ra noma'lum funktsiyani, uning hosilalari va argumentlarini bog'laydigan tenglamalar differensial deb ataladi. Berilgan hosiladan funktsiyaning o'zini topish imkonini beruvchi differentsiatsiyaga teskari jarayon integrasiya deb ataladi.

Funktsiya argument - vaqtga bog'liq bo'lgan yo'l bo'lgan maxsus holatni ko'rib chiqaylik. U holda yo'lning vaqtga nisbatan hosilasi tezlik, tezlikning hosilasi (yoki yo'lning ikkinchi hosilasi) tezlanishdir. Agar, masalan, tezlik ma'lum bo'lsa, u holda ma'lum vaqt ichida harakatlanayotganda tananing bosib o'tgan yo'lini topish uchun integratsiyadan foydalaniladi. Agar faqat tezlanish ma'lum bo'lsa, u holda yo'lni topish uchun integratsiya operatsiyasi ikki marta bajariladi. Bunda birinchi integral hisoblangandan keyin tezlik ma'lum bo'ladi.

Matematik modellarni yaratishning yakuniy maqsadi o'zgaruvchilar o'rtasida funktsional bog'liqlikni o'rnatishdir. Har bir aniq model uchun funktsional bog'liqlik qat'iy belgilangan shaklga ega bo'lishi mumkin. Qurilma simulyatsiya qilinganda, uning kirish qismi x y signalini oladi va chiqish signali y paydo bo'ladi, ulanish jadval shaklida yozilishi mumkin. Buning uchun kirish va chiqish signallaridagi o'zgarishlarning butun diapazoni ma'lum miqdordagi bo'limlarga bo'linadi. Kirish signalining o'zgarishi diapazonining har bir bo'limi chiqish signalining o'zgarishi diapazonining ma'lum bir qismiga mos keladi. Bir nechta kirish va bir nechta chiqishlar mavjud bo'lgan murakkab tizimlarda analitik bog'liqliklar differentsial tenglamalar tizimlari bilan ifodalanadi.

* Qonunlar odatda Kirxhoff va Nyuton qonunlari kabi muayyan sohalar uchun tuzilgan. Ushbu qonunlarni tizimga qo'llash odatda bizning e'tiborimizni fan va texnologiyaning yagona sohasiga qaratadi. Elektr tizimini tahlil qilish uchun Kirchhoff qonunlari va Maksvell tenglamalaridan foydalanib, tadqiqotchi tizimdagi boshqa (masalan, issiqlik) jarayonlarni e'tiborsiz qoldiradi.

Matematik modelni yaratish tizimda mavjud bo'lgan elementlar va ularning munosabatlarini bilishni talab qiladi. Matematik modelning parametrlari (MM) tenglamalar tizimiga kiritilganlardir turli xil imkoniyatlar. Ushbu koeffitsientlar tenglamalar va chegara shartlari bilan birgalikda to'liq MM ni tashkil qiladi.

Har qanday matematik modelni quyidagilar natijasida olish mumkin: 1) hodisani bevosita kuzatish, uni bevosita o'rganish va tushunish (modellar fenomenologik); 2) ba'zi bir umumiy modeldan maxsus holat sifatida yangi model olinganda qandaydir deduksiya jarayoni (bunday modellar asimptotik deb ataladi); 3) yangi model elementar modellarning tabiiy umumlashtirishi bo'lsa (bunday modellar kompozit yoki ansambl modellar deb ataladi) induksiyaning ba'zi jarayoni.

Barcha tizimlar vaqt va makonda mavjud. Matematik jihatdan, bu vaqt va uchta fazoviy o'zgaruvchilarni mustaqil o'zgaruvchilar deb hisoblash mumkinligini anglatadi.

Matematik modellarni uzluksiz yoki diskret shaklda taqdim etilgan mustaqil o'zgaruvchilar sifatida foydalanishga asoslangan tasniflashning ko'plab belgilari mavjud; MM quyidagicha tasniflanadi:

1) taqsimlangan parametrlarga ega modellar (barcha mustaqil o'zgaruvchilar uzluksiz shaklda olinadi);

2) birlashtirilgan parametrlarga ega modellar (barcha mustaqil fazoviy o'zgaruvchilar diskret, vaqt o'zgaruvchisi esa uzluksiz);

3) diskret parametrlarga ega modellar (barcha mustaqil o'zgaruvchilar diskret shaklda olinadi).

Shaklda. 3.10 a... modellarning taxminiy tasnifini ko'rsatadi. Barcha modellarni haqiqiy va idealga bo'lish mumkin (3.10-rasm, a). Ushbu bobda faqat o'z mazmuniga ko'ra ob'ektiv (real voqelikni aks ettiruvchi), lekin shakli sub'ektiv bo'lgan va undan tashqarida mavjud bo'lolmaydigan ideal modellar muhokama qilinadi. Ideal modellar faqat inson bilimida mavjud va mantiq qonunlari asosida ishlaydi. Mantiqiy modellarga turli xil imzolangan modellar kiradi. Har qanday ramziy modelni yaratishda muhim nuqta - bu rasmiylashtirish protsedurasi (formulalar, alifbolar, sanoq tizimlari).

Hozirgi vaqtda fan va texnikaning bir qator sohalarida model tushunchasi klassik fizika ruhida, vizual, masalan, mexanik tizim sifatida emas, balki ruhda talqin qilinmoqda. zamonaviy bosqich bilim mavhum mantiqiy-matematik struktura sifatida.

Zamonaviy modellashtirishda mavhum mantiqiy modellarning bilishdagi roli ortib borishi bilan bir qatorda kibernetik funksional axborot modellarining keng qo‘llanilishi bilan bog‘liq yana bir tendentsiya mavjud.

Kibernetik modellashtirishning o'ziga xosligi shundan iboratki, model va simulyatsiya qilingan ob'ektning ob'ektiv o'xshashligi faqat ularning funktsiyalari, qo'llanilish sohalari va tashqi muhit bilan bog'liqligiga taalluqlidir. Kibernetik jarayonlarni o'rganishga axborot yondashuvining asosini abstraktsiya tashkil etadi.

Keling, CAD LSI da sodir bo'ladigan modellarni ko'rib chiqaylik: strukturaviy, funktsional, geometrik, ramziy, aqliy, analitik, raqamli va simulyatsiya.

Strukturaviy modellar ob'ekt yoki tizim elementlarining tarkibini, ularning kosmosdagi joylashishini va munosabatlarini, ya'ni tizimning tuzilishini takrorlaydi. Strukturaviy modellar ham real (tartiblar) va ideal (masalan, mashinasozlik chizmalari, bosilgan elektron platalar topologiyasi va IC topologiyasi) bo‘lishi mumkin.

Funktsional modellar faqat originalning o'zini tutish usulini, uning tashqi muhitga funktsional bog'liqligini taqlid qiladi. Eng tipik misol - "qora quti" kontseptsiyasi asosida qurilgan modellar.

Ushbu modellarda asl nusxaning ishlashini uning mazmuni va tuzilishidan butunlay abstraktsiyalash, matematik munosabat yordamida turli kirish va chiqish miqdorlarini bog'lash mumkin.

Guruch. 3.10. Modellarning umumiy tasnifi (a), shuningdek, to'liq masshtabli (b), fizik (c), haqiqiy matematik (d), vizual (e), ramziy (f), ideal matematik (g) modellar

Geometrik modellar faqat ob'ektning tuzilishini aks ettiradi va dizayn bilan bog'liq holda katta ahamiyatga ega elektron tizimlar. Geometrik o'xshashlik asosida qurilgan ushbu modellar ob'ektlarni optimal joylashtirish, bosilgan elektron platalar va integral mikrosxemalar ustida iz qo'yish bilan bog'liq muammolarni hal qilish imkonini beradi.

Belgilar modellari belgilarning (belgilarning) tartiblangan yozuvidir. Belgilar bir-biri bilan jismoniy qonunlarga ko'ra emas, balki ma'lum bir bilim sohasida o'rnatilgan qoidalarga yoki ular aytganidek, belgilarning tabiatiga ko'ra o'zaro ta'sir qiladi. Ikonik modellar hozir juda keng tarqalgan. Deyarli barcha bilim sohalari - tilshunoslik, dasturlash, elektronika va boshqa ko'plab sohalar modellarni tavsiflash uchun o'ziga xos simvolizmni ishlab chiqdi. Bular dasturlar, sxemalar va boshqalar.

Aqliy modellar hissiy idrok etish va mavhum fikrlash faoliyati mahsulidir. Aqliy modellarga Bor atomining mashhur sayyoraviy modeli kiradi. Bu modellarni etkazish uchun ular og'zaki yoki ramziy tavsif shaklida taqdim etiladi, ya'ni aqliy modellar turli xil belgilar tizimlari shaklida qayd etilishi mumkin.

Analitik modellar kerakli miqdorlarning o'rganilayotgan hodisani tavsiflovchi parametrlar va o'zgaruvchilarga aniq bog'liqligini olish imkonini beradi. Matematik munosabatning analitik yechimi ob'ektning umumlashtirilgan tavsifidir

Raqamli modellar kerakli miqdorlarning qiymatlarini tegishli usullarni qo'llash natijasida olinishi mumkinligi bilan tavsiflanadi. raqamli usullar. Barcha raqamli usullar kerakli miqdorlar to'g'risida faqat shaxsiy ma'lumotlarni olish imkonini beradi, chunki ularni amalga oshirish uchun ular matematik munosabatlarga kiritilgan barcha parametrlarning aniq qiymatlarini ko'rsatishni talab qiladi. Har bir kerakli qiymat uchun matematik modelni o'ziga xos tarzda o'zgartirish va tegishli raqamli protsedurani qo'llash kerak.

Simulyatsiya modellari kompyuterda modellashtirish algoritmlari (dasturlari) ko'rinishida amalga oshiriladi, ular chiqish o'zgaruvchilari qiymatlarini hisoblash va kirish o'zgaruvchilari, parametrlari va parametrlarining berilgan qiymatlari uchun modelning yangi holatini aniqlashga imkon beradi. modelning dastlabki holati. Simulyatsiya modellashtirish, raqamli modellashtirishdan farqli o'laroq, modellashtirish algoritmining modellashtirish natijasida olinishi kerak bo'lgan ma'lumotlar turidan mustaqilligi bilan tavsiflanadi. O'zgaruvchilar, parametrlar, tenglamalar va tengsizliklar orqali mavhum matematik shaklda ifodalanadigan matematik model juda universal, moslashuvchan va samaralidir.

MM quyidagi elementlarni o'z ichiga oladi: o'zgaruvchilar (bog'liq va mustaqil); konstantalar yoki belgilangan parametrlar (o'zgaruvchilar orasidagi bog'lanish darajasini aniqlash); matematik ifodalar (o‘zgaruvchilar va parametrlarni birlashtirgan tenglamalar va/yoki tengsizliklar); mantiqiy ifodalar (matematik modeldagi turli cheklovlarni belgilash); ma'lumot (harf-raqamli va grafik).

Matematik modellar quyidagi mezonlarga ko'ra tasniflanadi: 1) vaqt bo'yicha modellarning xatti-harakati; 2) matematik modelni tashkil etuvchi kiritilgan ma’lumotlar, parametrlar va ifodalar turlari; 3) matematik modelning tuzilishi; 4) ishlatiladigan matematik apparat turi.

Integral mikrosxemalarga kelsak, quyidagi tasnifni taklif qilish mumkin.

Integral mikrosxemalar xossalarining xarakteriga ko'ra matematik modellar funksional va strukturaga bo'linadi.

Funktsional modellar ob'ektning ishlash jarayonlarini aks ettiradi, bu modellar tenglamalar tizimi shakliga ega.

Bir qator loyihalash masalalarini echishda faqat loyihalashtirilgan ob'ektning strukturaviy xususiyatlarini aks ettiruvchi matematik modellar keng qo'llaniladi; bunday strukturaviy modellar matritsalar, grafiklar, vektorlar ro'yxati va ekspress shaklida bo'lishi mumkin o'zaro tartibga solish kosmosdagi elementlar, o'tkazgichlar ko'rinishidagi to'g'ridan-to'g'ri bog'lanishning mavjudligi va boshqalar Strukturaviy modellar ob'ektdagi fizik jarayonlarning o'ziga xos xususiyatlaridan mavhumlanib, strukturaviy sintez muammolarini rasmiylashtirish va hal qilish mumkin bo'lgan hollarda qo'llaniladi.

Guruch. 3.11. Inverterning strukturaviy modeli = u. d.)

Olish usuliga ko`ra funksional matematik modellar nazariy va formalga bo`linadi.

Nazariy modellar fizik qonuniyatlarni o‘rganish asosida olinadi, tenglamalar tuzilishi va modellar parametrlari aniq fizik asosga ega.

Rasmiy modellar haqiqiy ob'ektning qora quti sifatidagi xususiyatlarini hisobga olgan holda olinadi.

Nazariy yondashuv turli xil ish rejimlari va tashqi parametrlarning keng doiradagi o'zgarishlari uchun amal qiladigan ko'proq universal modellarni olish imkonini beradi.

Tasniflashdagi bir qator xususiyatlar matematik modelni tashkil etuvchi tenglamalar xususiyatlari bilan bog'liq; Tenglamalarning chiziqli yoki chiziqli bo'lmaganligiga qarab modellar chiziqli va chiziqli bo'lmaganlarga bo'linadi.

O'zgaruvchan qiymatlar to'plamining kuchiga qarab, modellar uzluksiz va diskretga bo'linadi (3.12-rasm).

Uzluksiz modellarda ularda paydo bo'ladigan o'zgaruvchi uzluksiz yoki bo'lakcha uzluksizdir.

Diskret modellardagi o'zgaruvchilar diskret miqdorlar bo'lib, ularning to'plamini sanash mumkin.

Guruch. 3.12. Uzluksiz va diskret o'zgaruvchilar

Chiqish, ichki va tashqi parametrlar o'rtasidagi bog'liqlik shakliga asoslanib, tenglamalar tizimi ko'rinishidagi modellar va chiqish parametrlarining ichki va tashqi parametrlarga aniq bog'liqligi ko'rinishidagi modellar ajratiladi. Ulardan birinchisi algoritmik, ikkinchisi esa analitik deb ataladi.

Model tenglamalari loyihalash obyektidagi jarayonlarning inertsiyasini hisobga olishiga qarab dinamik va statik modellar farqlanadi.

Model va simulyatsiya tushunchasi.

Keng ma'noda model- bu uning o'rnini bosuvchi yoki vakili sifatida foydalaniladigan har qanday hajm, jarayon yoki hodisaning har qanday tasviri, aqliy analogi yoki belgilangan tasviri, tavsifi, diagrammasi, chizmasi, xaritasi va boshqalar. Ob'ekt, jarayon yoki hodisaning o'zi ushbu modelning asli deb ataladi.

Modellashtirish - bu har qanday ob'ekt yoki ob'ektlar tizimini ularning modellarini qurish va o'rganish orqali o'rganishdir. Bu xususiyatlarni aniqlash yoki aniqlashtirish va yangi qurilgan ob'ektlarni qurish usullarini ratsionalizatsiya qilish uchun modellardan foydalanish.

Har qanday ilmiy tadqiqot usuli modellashtirish g'oyasiga asoslanadi, nazariy usullarda har xil turdagi ramziy, mavhum modellar, eksperimental usullarda esa mavzu modellari qo'llaniladi.

Tadqiqot davomida murakkab real hodisa qandaydir soddalashtirilgan nusxa yoki diagramma bilan almashtiriladi, ba'zida bunday nusxa faqat keyingi uchrashuvda kerakli hodisani eslab qolish va tanib olish uchun xizmat qiladi. Ba'zan tuzilgan diagramma ba'zi muhim xususiyatlarni aks ettiradi, hodisaning mexanizmini tushunishga imkon beradi va uning o'zgarishini taxmin qilish imkonini beradi. Turli xil modellar bir xil hodisaga mos kelishi mumkin.

Tadqiqotchining vazifasi hodisaning mohiyatini va jarayonning borishini bashorat qilishdir.

Ba'zan shunday bo'ladiki, ob'ekt mavjud, ammo u bilan tajribalar qimmatga tushadi yoki jiddiy ekologik oqibatlarga olib keladi. Bunday jarayonlar haqidagi bilimlar modellar yordamida olinadi.

Muhim jihat shundaki, fanning o'zi bir aniq hodisani emas, balki bog'liq hodisalarning keng sinfini o'rganishni o'z ichiga oladi. U qonunlar deb ataladigan ba'zi umumiy kategorik bayonotlarni shakllantirish zarurligini nazarda tutadi. Tabiiyki, bunday formula bilan ko'plab tafsilotlar e'tiborga olinmaydi. Naqshni aniqroq aniqlash uchun ular ongli ravishda qo'pollashtirish, ideallashtirish va chizmachilikka o'tadilar, ya'ni ular hodisaning o'zini emas, balki uning ko'proq yoki kamroq aniq nusxasini yoki modelini o'rganadilar. Barcha qonunlar modellar to'g'risidagi qonunlardir va shuning uchun vaqt o'tishi bilan ba'zilari ajablanarli emas ilmiy nazariyalar yaroqsiz deb hisoblanadi. Bu ilm-fanning qulashiga olib kelmaydi, chunki bir model boshqasi bilan almashtirildi zamonaviyroq.

Fanda matematik modellar, qurilish materiallari va ushbu modellarning asboblari - matematik tushunchalar alohida rol o'ynaydi. Ular ming yillar davomida to'planib, takomillashgan. Zamonaviy matematika tadqiqotning juda kuchli va universal vositalarini taqdim etadi. Matematikadagi deyarli har bir tushuncha, son tushunchasidan boshlab har bir matematik obyekt matematik modeldir. O'rganilayotgan ob'ekt yoki hodisaning matematik modelini qurishda, bir tomondan, ob'ekt haqida ko'proq yoki kamroq to'liq ma'lumotni o'z ichiga olgan, boshqa tomondan, matematik rasmiylashtirishga imkon beradigan xususiyatlar, xususiyatlar va tafsilotlar aniqlanadi. Matematik rasmiylashtirish ob'ektning xususiyatlari va tafsilotlarini mos keladigan adekvat matematik tushunchalar: raqamlar, funktsiyalar, matritsalar va boshqalar bilan bog'lash mumkinligini anglatadi. Keyin o'rganilayotgan ob'ektda uning alohida qismlari va komponentlari o'rtasida topilgan va taxmin qilingan bog'lanishlar va munosabatlar matematik munosabatlar yordamida yozilishi mumkin: tenglik, tengsizlik, tenglamalar. Natijada o‘rganilayotgan jarayon yoki hodisaning matematik tavsifi, ya’ni uning matematik modeli hosil bo‘ladi.

Matematik modelni o'rganish har doim o'rganilayotgan ob'ektlardagi muayyan harakatlar qoidalari bilan bog'liq. Ushbu qoidalar sabablar va oqibatlar o'rtasidagi munosabatlarni aks ettiradi.

Matematik modelni yaratish har qanday tizimni tadqiq qilish yoki loyihalashning markaziy bosqichidir. Ob'ektning barcha keyingi tahlillari modelning sifatiga bog'liq. Modelni yaratish rasmiy protsedura emas. Bu ko'p jihatdan tadqiqotchiga, uning tajribasi va didiga bog'liq va har doim ma'lum bir eksperimental materialga asoslanadi. Model etarlicha aniq, adekvat va foydalanish uchun qulay bo'lishi kerak.

Matematik modellashtirish.

Matematik modellarning tasnifi.

Matematik modellar bo'lishi mumkindeterministik Va stokastik .

Aniqlash model va ob'ekt yoki hodisani tavsiflovchi o'zgaruvchilar o'rtasida yakkama-yakka muvofiqlik o'rnatiladigan modellardir.

Ushbu yondashuv ob'ektlarning ishlash mexanizmini bilishga asoslanadi. Ko'pincha modellashtirilayotgan ob'ekt murakkab va uning mexanizmini ochish juda ko'p mehnat va vaqt talab qilishi mumkin. Bunday holda, quyidagicha davom eting: tajribalar asl nusxada o'tkaziladi, natijalar qayta ishlanadi va simulyatsiya qilingan ob'ektning mexanizmi va nazariyasiga kirmasdan, usullardan foydalaniladi. matematik statistika va ehtimollik nazariyalari, ob'ektni tavsiflovchi o'zgaruvchilar o'rtasidagi aloqalarni o'rnatish. Bunday holda siz olasizstokastik model . IN stokastik model, o'zgaruvchilar o'rtasidagi munosabatlar tasodifiy, ba'zan esa fundamentaldir. Ko'p sonli omillarning ta'siri, ularning kombinatsiyasi ob'ekt yoki hodisani tavsiflovchi tasodifiy o'zgaruvchilar to'plamiga olib keladi. Rejimlarning tabiatiga ko'ra, modelstatistik Va dinamik.

Statistikmodelvaqt o'tishi bilan parametrlarning o'zgarishini hisobga olmagan holda barqaror holatda modellashtirilgan ob'ektning asosiy o'zgaruvchilari o'rtasidagi munosabatlar tavsifini o'z ichiga oladi.

IN dinamikmodellarbir rejimdan ikkinchi rejimga o'tishda modellashtirilgan ob'ektning asosiy o'zgaruvchilari o'rtasidagi munosabatlar tasvirlangan.

Modellar mavjud diskret Va davomiy, shuningdek aralashgan turi. IN davomiy o'zgaruvchilar ma'lum bir oraliqdan qiymatlarni oladidiskreto'zgaruvchilar izolyatsiya qilingan qiymatlarni oladi.

Chiziqli modellar- modelni chiziqli ravishda tavsiflovchi barcha funktsiyalar va munosabatlar o'zgaruvchilarga bog'liq vachiziqli emasaks holda.

Matematik modellashtirish.

Talablar , p taqdim etildi modellarga.

1. Ko'p qirralilik- real ob'ektning o'rganilayotgan xususiyatlarini modelda aks ettirishning to'liqligini tavsiflaydi.

1. Adekvatlik - ob'ektning kerakli xususiyatlarini berilgandan yuqori bo'lmagan xato bilan aks ettirish qobiliyati.
2. Aniqlik haqiqiy ob'ekt xususiyatlarining qiymatlari va modellar yordamida olingan ushbu xususiyatlarning qiymatlari o'rtasidagi kelishuv darajasi bilan baholanadi.
3. Iqtisodiy - kompyuter xotirasi resurslari va uni amalga oshirish va ishlatish uchun sarflangan vaqt bilan belgilanadi.

Matematik modellashtirish.

Modellashtirishning asosiy bosqichlari.

1. Muammoning bayoni.

Tahlil maqsadi va unga erishish yo'llarini aniqlash va o'rganilayotgan muammoga umumiy yondashuvni ishlab chiqish. Bu bosqichda vazifaning mohiyatini chuqur anglash talab etiladi. Ba'zan muammoni to'g'ri qo'yish uni hal qilishdan kam emas. Sahnalashtirish rasmiy jarayon emas, umumiy qoidalar yo'q.

2. Nazariy asoslarni o'rganish va asl ob'ekt haqida ma'lumot to'plash.

Ushbu bosqichda tegishli nazariya tanlanadi yoki ishlab chiqiladi. Agar u mavjud bo'lmasa, ob'ektni tavsiflovchi o'zgaruvchilar o'rtasida sabab-oqibat munosabatlari o'rnatiladi. Kirish va chiqish ma'lumotlari aniqlanadi va soddalashtiruvchi taxminlar amalga oshiriladi.

3. Rasmiylashtirish.

U belgilar tizimini tanlash va ulardan foydalanib, ob'ektning tarkibiy qismlari o'rtasidagi munosabatlarni matematik ifodalar shaklida yozishdan iborat. Ob'ektning natijaviy matematik modeli tasniflanishi mumkin bo'lgan muammolar sinfi o'rnatiladi. Ushbu bosqichda ba'zi parametrlarning qiymatlari hali aniqlanmagan bo'lishi mumkin.

4. Yechim usulini tanlash.

Ushbu bosqichda modellarning yakuniy parametrlari ob'ektning ish sharoitlarini hisobga olgan holda o'rnatiladi. Olingan matematik masala uchun yechish usuli tanlanadi yoki maxsus usul ishlab chiqiladi. Usulni tanlashda foydalanuvchining bilimi, uning afzalliklari va ishlab chiquvchining afzalliklari hisobga olinadi.

5. Modelni amalga oshirish.

Algoritm ishlab chiqilgach, dastur yoziladi, u tuzatiladi, sinovdan o'tkaziladi va kerakli muammoning echimi olinadi.

6. Qabul qilingan axborotni tahlil qilish.

Olingan va kutilgan yechimlar solishtiriladi, modellashtirish xatosi nazorat qilinadi.

7. Haqiqiy ob'ektning mosligini tekshirish.

Modeldan olingan natijalar solishtiriladiyoki ob'ekt haqida mavjud bo'lgan ma'lumotlar bilan, yoki tajriba o'tkaziladi va uning natijalari hisoblanganlar bilan taqqoslanadi.

Modellashtirish jarayoni iterativdir. Bosqichlarning qoniqarsiz natijalari bo'lsa 6. yoki 7. oldingi bosqichlardan biriga qaytish amalga oshiriladi, bu muvaffaqiyatsiz modelni ishlab chiqishga olib kelishi mumkin edi. Ushbu bosqich va undan keyingi barcha bosqichlar takomillashtiriladi va modelni bunday takomillashtirish maqbul natijalar olinmaguncha sodir bo'ladi.

Matematik model - bu har qanday sinf hodisalari yoki real dunyo ob'ektlarining matematika tilidagi taxminiy tavsifi. Modellashtirishning asosiy maqsadi ushbu ob'ektlarni o'rganish va kelajakdagi kuzatishlar natijalarini bashorat qilishdir. Biroq, modellashtirish ham atrofimizdagi dunyoni tushunish usuli bo'lib, uni boshqarishga imkon beradi.

Matematik modellashtirish va u bilan bog'liq kompyuter tajribasi to'liq miqyosli eksperiment u yoki bu sabablarga ko'ra imkonsiz yoki qiyin bo'lgan hollarda ajralmas hisoblanadi. Misol uchun, tarixda "agar nima bo'lardi" ni tekshirish uchun tabiiy eksperimentni o'rnatish mumkin emas, u yoki bu kosmologik nazariyaning to'g'riligini tekshirish mumkin emas. Vabo kabi kasallikning tarqalishi bilan tajriba o'tkazish yoki uning oqibatlarini o'rganish uchun yadro portlashini amalga oshirish mumkin, ammo oqilona bo'lishi dargumon. Biroq, bularning barchasini kompyuterda birinchi navbatda o'rganilayotgan hodisalarning matematik modellarini qurish orqali amalga oshirish mumkin.

1.1.2 2. Matematik modellashtirishning asosiy bosqichlari

1) Model qurish. Bu bosqichda ba'zi "matematik bo'lmagan" ob'ekt ko'rsatilgan - tabiiy hodisa, loyiha, iqtisodiy reja, ishlab chiqarish jarayoni va boshqalar. Bunday holda, qoida tariqasida, vaziyatni aniq tasvirlash qiyin. Birinchidan, hodisaning asosiy belgilari va ular o'rtasidagi sifat darajasidagi aloqalar aniqlanadi. So`ngra topilgan sifat bog`liqliklari matematika tilida shakllantiriladi, ya`ni matematik model quriladi. Bu modellashtirishning eng qiyin bosqichidir.

2) Model olib boradigan matematik masalani yechish. Bu bosqichda masalani EHMda yechishning algoritmlari va son usullarini ishlab chiqishga katta e’tibor beriladi, ular yordamida natijani kerakli aniqlikda va maqbul vaqt ichida topish mumkin.

3) Matematik modeldan olingan natijalarni talqin qilish.Matematika tilidagi modeldan olingan natijalar sohada qabul qilingan tilda izohlanadi.

4) Modelning mosligini tekshirish.Bu bosqichda eksperimental natijalar modelning nazariy natijalariga ma'lum bir aniqlik doirasida mos kelishi aniqlanadi.

5) Modelni o'zgartirish.Ushbu bosqichda yoki model haqiqatga ko'proq adekvat bo'lishi uchun murakkablashadi yoki amaliy jihatdan maqbul echimga erishish uchun soddalashtiriladi.

1.1.3 3. Model tasnifi

Modellarni turli mezonlarga ko'ra tasniflash mumkin. Masalan, hal qilinayotgan muammolarning tabiatiga ko'ra, modellarni funktsional va tizimli bo'lish mumkin. Birinchi holda, hodisa yoki ob'ektni tavsiflovchi barcha miqdorlar miqdoriy jihatdan ifodalanadi. Bundan tashqari, ularning ba'zilari mustaqil o'zgaruvchilar, boshqalari esa bu miqdorlarning funktsiyalari sifatida qaraladi. Matematik model odatda ko'rib chiqilayotgan miqdorlar orasidagi miqdoriy munosabatlarni o'rnatadigan har xil turdagi (differensial, algebraik va boshqalar) tenglamalar tizimidir. Ikkinchi holda, model alohida qismlardan tashkil topgan murakkab ob'ektning tuzilishini tavsiflaydi, ular orasida ma'lum bog'lanishlar mavjud. Odatda, bu aloqalarni miqdoriy jihatdan aniqlab bo'lmaydi. Bunday modellarni qurish uchun grafiklar nazariyasidan foydalanish qulay. Grafik - bu matematik ob'ekt bo'lib, u tekislikdagi yoki fazodagi nuqtalar (cho'qqilar) to'plamini ifodalaydi, ularning ba'zilari chiziqlar (qirralar) bilan bog'lanadi.

Dastlabki ma'lumotlar va natijalarning tabiatiga ko'ra, bashorat qilish modellarini deterministik va ehtimollik-statistik modellarga bo'lish mumkin. Birinchi turdagi modellar aniq, aniq bashorat qiladi. Ikkinchi turdagi modellar asoslanadi statistik ma'lumotlar, va ularning yordami bilan olingan bashoratlar ehtimollik xususiyatiga ega.

MATEMATIK MODELLASH VA UMUMIY KOMPYUTERLASHTIRISH YOKI SIMULYATSIYA MODELLARI

Hozir, mamlakatda deyarli universal kompyuterlashtirish amalga oshirilayotgan bir paytda, biz turli kasb egalarining "Agar biz kompyuterni joriy qilsak, barcha muammolar darhol hal qilinadi" degan gaplarini eshitamiz. Bu nuqtai nazar mutlaqo noto'g'ri, kompyuterlarning o'zlari, ma'lum jarayonlarning matematik modellarisiz, hech narsa qila olmaydi va faqat universal kompyuterlashtirishni orzu qilish mumkin.

Yuqoridagilarni qo'llab-quvvatlash uchun biz modellashtirish, shu jumladan matematik modellashtirish zarurligini asoslashga va uning inson bilishi va o'zgarishidagi afzalliklarini ochib berishga harakat qilamiz. tashqi dunyo, keling, mavjud kamchiliklarni aniqlaymiz va ... simulyatsiya modellashtirishga o'tamiz, ya'ni. kompyuter yordamida modellashtirish. Lekin hammasi joyida.

Avvalo, savolga javob beraylik: model nima?

Model - bu bilish (o'rganish) jarayonida ushbu tadqiqot uchun muhim bo'lgan ba'zi tipik xususiyatlarni saqlagan holda asl nusxani almashtiradigan moddiy yoki aqliy tasvirlangan ob'ekt.

Haqiqiy ob'ektga qaraganda yaxshi qurilgan model tadqiqot uchun qulayroqdir. Masalan, mamlakat iqtisodiyoti bilan tajribalar ta'lim maqsadlari, bu erda modelsiz qilolmaysiz.

Aytilganlarni umumlashtirib, biz savolga javob berishimiz mumkin: modellar nima uchun? Uchun

• ob'ekt qanday ishlashini tushunish (uning tuzilishi, xususiyatlari, rivojlanish qonunlari, tashqi dunyo bilan o'zaro ta'siri).
• ob'ektni (jarayonni) boshqarishni o'rganish va eng yaxshi strategiyalarni aniqlash
• ob'ektga ta'sir qilish oqibatlarini bashorat qilish.

Har qanday modelning ijobiy tomoni nimada? Bu ob'ekt haqida yangi bilimlarni olish imkonini beradi, lekin, afsuski, u yoki bu darajada to'liq emas.

Modelmatematik usullar yordamida matematika tilida tuzilgan matematik model deyiladi.

Uni qurishning boshlang'ich nuqtasi odatda ba'zi muammolar, masalan, iqtisodiy. Ham tavsiflovchi, ham optimallashtiruvchi matematiklar keng tarqalgan bo'lib, ular turlicha xarakterlanadi iqtisodiy jarayonlar va hodisalar, masalan:

• resurslarni taqsimlash
• oqilona kesish
• transport
• korxonalarni birlashtirish
• tarmoqni rejalashtirish.

Matematik model qanday tuzilgan?

• Birinchidan, tadqiqotning maqsadi va mavzusi shakllantiriladi.
• Ikkinchidan, ushbu maqsadga mos keladigan eng muhim xususiyatlar ta'kidlangan.
• Uchinchidan, model elementlari orasidagi munosabatlar og'zaki tasvirlangan.
• Keyinchalik, munosabatlar rasmiylashtiriladi.
• Va matematik model yordamida hisob-kitob qilinadi va natijada olingan yechim tahlil qilinadi.

Ushbu algoritmdan foydalanib, siz har qanday optimallashtirish muammosini, shu jumladan multikriteriyalarni, ya'ni. bir emas, balki bir nechta maqsadlar, jumladan, qarama-qarshi maqsadlar ko'zlangan.

Keling, misol keltiraylik. Nazariya navbat- navbatda turish muammosi. Ikki omilni muvozanatlash kerak - xizmat ko'rsatish moslamalarini saqlash xarajatlari va navbatda turish xarajatlari. Modelning rasmiy tavsifini tuzgandan so'ng, hisob-kitoblar analitik va hisoblash usullari yordamida amalga oshiriladi. Agar model yaxshi bo'lsa, uning yordami bilan topilgan javoblar modellashtirish tizimiga mos keladi, agar u yomon bo'lsa, uni yaxshilash va almashtirish kerak. Adekvatlik mezoni amaliyotdir.

Optimallashtirish modellari, shu jumladan ko'p mezonli modellar umumiy xususiyatga ega - maqsad (yoki bir nechta maqsadlar) ma'lum, unga erishish uchun ko'pincha murakkab tizimlar bilan shug'ullanish kerak bo'ladi, bu erda gap optimallashtirish muammolarini hal qilish haqida emas, balki o'rganish va bashorat qilish bilan bog'liq. tanlangan boshqaruv strategiyalariga qarab davlatlar. Va bu erda biz oldingi rejani amalga oshirishdagi qiyinchiliklarga duch keldik. Ular quyidagichadir:

• murakkab tizim elementlar orasidagi ko'plab aloqalarni o'z ichiga oladi
• Haqiqiy tizimga tasodifiy omillar ta'sir qiladi, ularni analitik hisobga olish mumkin emas
• Asl nusxani model bilan solishtirish imkoniyati faqat matematik apparatdan foydalanishning boshida va keyin mavjud, chunki oraliq natijalar real tizimda o'xshashi bo'lmasligi mumkin.

Murakkab tizimlarni o'rganishda yuzaga keladigan sanab o'tilgan qiyinchiliklar tufayli amaliyot yanada moslashuvchan usulni talab qildi va u paydo bo'ldi - "Simyujatsion modellashtirish".

Odatda, simulyatsiya modeli deganda alohida tizim bloklarining ishlashi va ular o'rtasidagi o'zaro ta'sir qoidalarini tavsiflovchi kompyuter dasturlari to'plami tushuniladi. Foydalanish tasodifiy o'zgaruvchilar simulyatsiya tizimi (kompyuterda) va undan keyin takroriy tajribalar o'tkazish zarurligini keltirib chiqaradi statistik tahlil olingan natijalar. Simulyatsiya modellaridan foydalanishning juda keng tarqalgan misoli MONTE KARLO usuli yordamida navbat masalasini hal qilishdir.

Shunday qilib, simulyatsiya tizimi bilan ishlash kompyuterda o'tkaziladigan tajribadir. Qanday afzalliklari bor?

– Matematik modellarga qaraganda real tizimga ko‘proq yaqinlik;

– Blok printsipi har bir blokni umumiy tizimga kiritishdan oldin tekshirish imkonini beradi;

- Oddiy matematik munosabatlar bilan tasvirlab bo'lmaydigan murakkabroq tabiatdagi bog'liqliklardan foydalanish.

Ro'yxatdagi afzalliklar kamchiliklarni aniqlaydi

- simulyatsiya modelini yaratish uzoqroq, qiyinroq va qimmatroq;

- simulyatsiya tizimi bilan ishlash uchun sizda sinfga mos kompyuter bo'lishi kerak;

- foydalanuvchi va simulyatsiya modeli (interfeys) o'rtasidagi o'zaro aloqa juda murakkab, qulay va yaxshi ma'lum bo'lmasligi kerak;

-imitatsion modelni yaratish matematik modellashtirishdan ko‘ra real jarayonni chuqurroq o‘rganishni talab qiladi.

Savol tug'iladi: simulyatsiya modellashtirish optimallashtirish usullarini almashtira oladimi? Yo'q, lekin bu ularni qulay tarzda to'ldiradi. Simulyatsiya modeli - bu boshqarishni optimallashtirish uchun ma'lum bir algoritmni amalga oshiradigan dastur bo'lib, uni optimallashtirish muammosi birinchi marta hal qilinadi.

Demak, na kompyuter, na matematik model, na uni o'rganish algoritmining o'zi yetarli darajada murakkab masalani hal qila olmaydi. Ammo ular birgalikda atrofimizdagi dunyoni tushunishga va uni inson manfaatlariga muvofiq boshqarishga imkon beradigan kuchni ifodalaydi.

1.2 Model tasnifi

1.2.1 Vaqt omili va foydalanish sohasini hisobga olgan holda tasniflash (Makarova N.A.) Statik model - Bu ob'ekt haqidagi ma'lumotlarning bir martalik suratiga o'xshaydi (bitta so'rov natijasi) Dinamik model - imkon beradi vaqt o'tishi bilan ob'ektdagi o'zgarishlarni ko'rish (Klinikada karta) Modellar ham bo'yicha tasniflanishi mumkin ular qaysi bilim sohasiga tegishli?(biologik, tarixiy, atrof-muhit va boshqalar) Yuqoriga qaytish

1.2.2 Foydalanish sohasi bo'yicha tasniflash (Makarova N.A.) Tarbiyaviy- ingl qo'llanmalar, simulyatorlar oh, yig'layotganlar dasturlari Tajribali modellar - qisqartirilgan nusxalar (shamol tunnelidagi mashina) Ilmiy va texnik sinxofazotron, elektron jihozlarni sinovdan o'tkazish uchun stend O'yin- iqtisodiy, sport, biznes o'yinlari Taqlid - Yo'q Ular shunchaki haqiqatni aks ettiradi, lekin unga taqlid qiladi (dorilar sichqonlarda sinovdan o'tkaziladi, maktablarda tajribalar o'tkaziladi va hokazo. Ushbu modellashtirish usuli deyiladi. sinov va xato Yuqoriga qaytish

1.2.3 Taqdimot usuli bo'yicha tasniflash Makarov N.A.) Material modellar - aks holda mavzu deb atash mumkin. Ular geometrik va jismoniy xususiyatlar original va har doim haqiqiy timsolga ega Ma `lumot modellarga ruxsat berilmaydi teging yoki ko'ring. Ular faqat ma'lumotlarga asoslanadi .Va axborot model - ob'ekt, jarayon, hodisaning xossalari va holatlarini, shuningdek, tashqi dunyo bilan munosabatlarini tavsiflovchi ma'lumotlar to'plami. Og'zaki model - aqliy yoki og'zaki shakldagi axborot modeli. Ikonik model-ma'lumot belgilar bilan ifodalangan model , ya'ni.. har qanday rasmiy til yordamida. Kompyuter modeli - m Dasturiy ta'minot muhiti yordamida amalga oshirilgan model.

1.2.4 "Yer informatikasi" kitobida keltirilgan modellarning tasnifi (Gein A.G.)) “...bu yerda oddiy ko‘ringan vazifa bor: Qoraqum cho‘lini bosib o‘tish uchun qancha vaqt ketadi? Javob, albatta transport turiga bog'liq. Agar sayohat qilish tuyalar, keyin bir muddat kerak bo'ladi, agar siz mashinada borsangiz boshqa, samolyotda uchsangiz uchinchi. Va eng muhimi, sayohatni rejalashtirish uchun turli modellar talab qilinadi. Birinchi holda, kerakli modelni memuarlardan topish mumkin mashhur tadqiqotchilar cho'llar: axir, bu erda siz vohalar va tuya yo'llari haqida ma'lumotsiz qilolmaysiz. Ikkinchi holda, yo'l atlasidagi ma'lumotlar almashtirib bo'lmaydi. Uchinchidan, siz parvoz jadvalidan foydalanishingiz mumkin. Ushbu uchta model bir-biridan farq qiladi - xotiralar, atlas va jadval - va ma'lumot taqdimotining tabiati. Birinchi holda, model axborotning og'zaki tavsifi bilan ifodalanadi (tavsif modeli), ikkinchisida - hayotdan olingan fotosurat kabi (to'liq o'lchamli model), uchinchisida - belgilarni o'z ichiga olgan jadval: ketish va kelish vaqtlari, haftaning kuni, chipta narxi (belgi modeli deb ataladigan) Biroq, bu bo'linish juda o'zboshimchalik bilan amalga oshiriladi - memuarlarda siz xaritalar va diagrammalarni (to'liq masshtabli model elementlarini) topishingiz mumkin, xaritalarda belgilar (ramziy model elementlari), jadvalda belgilarning dekodlanishi (elementlar) mavjud. tavsiflovchi model). Shunday qilib, modellarning bu tasnifi ... bizning fikrimizcha, samarasiz" Menimcha, bu parcha tasviriy (ajoyib til va taqdimot uslubi) va xuddi Xeynning barcha kitoblariga xos bo'lgan Sokratik ta'lim uslubini namoyish etadi (Hamma buni shunday deb o'ylaydi. Men sizga to'liq qo'shilaman, lekin agar diqqat bilan qarasangiz ...). Bunday kitoblarda aniq ta'riflar tizimini topish juda qiyin (u muallif tomonidan mo'ljallanmagan). N.A. tomonidan tahrir qilingan darslikda. Makarova boshqacha yondashuvni namoyish etadi - tushunchalarning ta'riflari aniq ta'kidlangan va biroz statik.

1.2.5 A.I.Bochkin tomonidan qo'llanmada keltirilgan modellarning tasnifi G'ayrioddiy darajada ko'p sonli tasniflash usullari mavjud .P olib keling faqat ba'zi eng taniqli asoslar va belgilari: diskretlik Va uzluksizlik, matritsa va skalyar modellar, statik va dinamik modellar, analitik va axborot modellari, predmetli va obrazli-belgili modellar, katta masshtabli va masshtabsiz... Har bir belgi ma'lum beradi modelning ham, simulyatsiya qilingan voqelikning ham xususiyatlari haqida bilim. Belgi tugallangan yoki yaqinlashib kelayotgan modellashtirish usuli haqida ishora bo'lib xizmat qilishi mumkin. Diskretlik va davomiylik Diskretlik - kompyuter modellarining xarakterli xususiyati .Hammasidan keyin; axiyri kompyuter juda ko'p sonli bo'lsa-da, cheklangan holatda bo'lishi mumkin. Shuning uchun, ob'ekt uzluksiz (vaqt) bo'lsa ham, modelda u sakrashlarda o'zgaradi. Buni ko'rib chiqish mumkin edi davomiylik kompyuter turi bo'lmagan modellarning belgisi. Imkoniyat va determinizm . Ishonchsizlik, baxtsiz hodisa dastlab qarshi chiqdi kompyuter dunyosi: Qayta ishga tushirilgan algoritm o'zini takrorlashi va bir xil natijalarni berishi kerak. Ammo tasodifiy jarayonlarni simulyatsiya qilish uchun psevdor tasodifiy sonlar sensorlari ishlatiladi. Tasodifiylikni deterministik masalalarga kiritish kuchli va qiziqarli modellarga olib keladi (Tasodifiy otish orqali maydonni hisoblash). Matritsalik - skalarlik. Parametrlarning mavjudligi matritsa model bilan solishtirganda uning kattaroq murakkabligini va, ehtimol, aniqligini ko'rsatadi skalyar. Misol uchun, agar mamlakat aholisining barcha yosh guruhlarini aniqlamasak, uning o'zgarishini bir butun sifatida hisobga olsak, biz skalyar modelga ega bo'lamiz (masalan, Maltus modeli), agar biz uni ajratib olsak, biz matritsani olamiz (jins. -yosh) modeli. Urushdan keyin tug'ilishning o'zgarishini tushuntirishga imkon bergan matritsa modeli edi. Statik dinamik. Modelning bu xususiyatlari odatda real ob'ektning xususiyatlari bilan oldindan belgilanadi. Bu erda tanlash erkinligi yo'q. Shunchaki statik model sari qadam bo'lishi mumkin dinamik, yoki ba'zi model o'zgaruvchilari hozircha o'zgarmagan deb hisoblanishi mumkin. Masalan, sun'iy yo'ldosh Yer atrofida harakat qiladi, uning harakatiga Oy ta'sir qiladi. Agar sun'iy yo'ldoshning aylanishi paytida Oyni harakatsiz deb hisoblasak, biz oddiyroq modelga ega bo'lamiz. Analitik modellar. Jarayonlarning tavsifi analitik tarzda, formulalar va tenglamalar. Ammo grafik yaratishga urinayotganda, funktsiya qiymatlari va argumentlar jadvallariga ega bo'lish qulayroqdir. Simulyatsiya modellari. Taqlid modellar uzoq vaqt oldin paydo bo'lgan kemalar, ko'priklar va boshqalarning masshtabli nusxalari ko'rinishida uzoq vaqt oldin paydo bo'lgan, ammo yaqinda kompyuterlar bilan bog'liq holda ko'rib chiqilmoqda. Qanday bog'langanligini bilish model elementlarini analitik va mantiqiy jihatdan ma’lum munosabatlar va tenglamalar tizimini yechish emas, balki xotira elementlari orasidagi bog‘lanishlarni hisobga olgan holda real tizimni kompyuter xotirasida ko‘rsatish osonroq. Axborot modellari. Ma `lumot Modellar odatda matematik, aniqrog'i algoritmiklarga qarama-qarshi qo'yiladi. Bu erda ma'lumotlar hajmining algoritmlarga nisbati muhim ahamiyatga ega. Agar ko'proq ma'lumot bo'lsa yoki u muhimroq bo'lsa, bizda axborot modeli mavjud, aks holda - matematik. Mavzu modellari. Bu birinchi navbatda bolalar modeli - o'yinchoq. Ikonik modellar. Bu, birinchi navbatda, inson ongidagi namunadir: obrazli, agar grafik tasvirlar ustunlik qilsa va ramziy, agar ko'proq so'zlar va/yoki raqamlar bo'lsa. Tasviriy belgilar modellari kompyuterda qurilgan. Masshtabli modellar. TO keng ko'lamli modellar - ob'ekt (xarita) shaklini takrorlaydigan mavzu yoki tasviriy modellar.

Ob'ektning rivojlanish dinamikasini, uning elementlari va turli holatlarining munosabatlarining ichki mohiyatini loyihalash jarayonida faqat dinamik analogiya printsipidan foydalanadigan modellar yordamida, ya'ni matematika yordamida kuzatish mumkin. modellar.

Matematik model o‘rganilayotgan jarayon yoki hodisani tavsiflovchi matematik munosabatlar tizimidir. Matematik modelni tuzish uchun siz har qanday matematik vositalardan - to'plam nazariyasidan, matematik mantiqdan, differentsial yoki integral tenglamalar tilidan foydalanishingiz mumkin. Matematik modelni tuzish jarayoni deyiladi matematik modellashtirish. Boshqa turdagi modellar singari, matematik model ham muammoni soddalashtirilgan shaklda ifodalaydi va faqat berilgan ob'ekt yoki jarayon uchun eng muhim bo'lgan xususiyatlar va naqshlarni tavsiflaydi. Matematik model ko'p qirrali bo'lishga imkon beradi miqdoriy tahlil. Dastlabki ma'lumotlarni, mezonlarni, cheklovlarni o'zgartirib, har safar berilgan sharoitlarda optimal echimni olishingiz va aniqlashingiz mumkin. keyingi yo'nalish qidirmoq.

Matematik modellarni yaratish ularni ishlab chiquvchilardan rasmiy mantiqiy usullarni bilishdan tashqari, asosiy g'oyalar va qoidalarni qat'iy shakllantirish, shuningdek, etarli miqdordagi ishonchli faktlarni aniqlash uchun o'rganilayotgan ob'ektni chuqur tahlil qilishni talab qiladi. statistik va normativ ma'lumotlar.

Shuni ta'kidlash kerakki, hozirda foydalanilayotgan barcha matematik modellar tegishli buyruq beruvchi. Retseptiv modellarni ishlab chiqishdan maqsad yechim topish yo'nalishini ko'rsatish, shu bilan birga ishlab chiqish maqsadi tasvirlab berish modellar insonning haqiqiy fikrlash jarayonlarining aksidir.

Matematikaning yordami bilan o'rganilayotgan ob'ekt yoki jarayon bo'yicha faqat ba'zi sonli ma'lumotlarni olish mumkin, degan nuqtai nazar juda keng tarqalgan. “Albatta, ko‘pgina matematik fanlar yakuniy raqamli natija olishga qaratilgan. Ammo matematik usullarni faqat raqam olish muammosiga qisqartirish matematikani cheksiz qashshoqlash, bugungi kunda tadqiqotchilar qo'lida bo'lgan o'sha qudratli qurolning imkoniyatlarini qashshoqlash demakdir...

U yoki bu xususiy tilda yozilgan matematik model (masalan, differentsial tenglamalar) aks ettiradi ma'lum xususiyatlar haqiqiy jismoniy jarayonlar. Matematik modellarni tahlil qilish natijasida biz, birinchi navbatda, o'rganilayotgan jarayonlarning xususiyatlari haqida sifatli g'oyalarni olamiz, ketma-ket holatlarning dinamik qatorini aniqlaydigan qonuniyatlarni o'rnatamiz va jarayonning borishini bashorat qilish imkoniyatiga ega bo'lamiz. va uning miqdoriy xususiyatlarini aniqlang”.

Matematik modellar ko'plab taniqli modellashtirish usullarida qo'llaniladi. Ular orasida ob'ektning statik va dinamik holatini tavsiflovchi modellarni ishlab chiqish, optimallashtirish modellari mavjud.

Ob'ektning statik va dinamik holatini tavsiflovchi matematik modellarga an'anaviy strukturaviy hisoblashning turli usullari misol bo'lishi mumkin. Matematik amallar (algoritm) ketma-ketligi ko'rinishida taqdim etilgan hisoblash jarayoni ma'lum bir tuzilmani hisoblash uchun matematik model tuzilganligini aytishga imkon beradi.

IN optimallashtirish Modellar uchta elementni o'z ichiga oladi:

Qabul qilingan sifat mezonini aks ettiruvchi ob'ektiv funktsiya;

sozlanishi parametrlar;

O'rnatilgan cheklovlar.

Bu elementlarning barchasi matematik tarzda tenglamalar, mantiqiy shartlar va boshqalar shaklida tasvirlanishi kerak. Optimallashtirish masalasini yechish - belgilangan cheklovlarga rioya qilgan holda maqsad funksiyasining minimal (maksimal) qiymatini topish jarayonidir. Agar maqsad funksiyasi ekstremal qiymatga yetsa, yechim natijasi optimal hisoblanadi.

Optimallashtirish modeliga misol sanoat binolarini muqobil loyihalash usulida "ulanish uzunligi" mezonining matematik tavsifi.

Maqsad funktsiyasi barcha funktsional ulanishlarning umumiy vaznli uzunligini aks ettiradi, ular minimal bo'lishi kerak:

element bilan bog'lanishning og'irlik qiymati qayerda;

– elementlar orasidagi ulanish uzunligi;

- joylashtirilgan elementlarning umumiy soni.

Binolarning joylashtirilgan elementlarining maydonlari dizayn echimining barcha variantlarida teng bo'lganligi sababli, variantlar bir-biridan faqat elementlar orasidagi turli masofalarda va ularning bir-biriga nisbatan joylashuvida farqlanadi. Binobarin, bu holda sozlanishi parametrlar zamin rejalariga joylashtirilgan elementlarning koordinatalari hisoblanadi.

Elementlarning joylashishiga (rejada oldindan belgilangan joyda, tashqi perimetrda, bir-birining ustiga va hokazo) va ulanishlar uzunligiga (elementlar orasidagi ulanishlar uzunligi qat'iy belgilangan, minimal) cheklovlar qo'yiladi. yoki qiymatlarning maksimal chegaralari ko'rsatilgan, o'zgarish chegaralari ko'rsatilgan qiymatlar) rasmiy ravishda yoziladi.

Agar ushbu variant uchun hisoblangan maqsad funktsiyasining qiymati minimal bo'lsa, variant optimal hisoblanadi (ushbu mezon bo'yicha).

Turli xil matematik modellar - iqtisodiy-matematik model- aloqa modelini ifodalaydi iqtisodiy xususiyatlar va tizim parametrlari.

Sanoat binolarini muqobil loyihalashning yuqorida qayd etilgan usulida xarajat mezonlarining matematik tavsifi iqtisodiy-matematik modellarga misol bo'la oladi. Matematik statistika usullarini qo'llash asosida olingan matematik modellar bir qavatli va ko'p qavatli sanoat binolarining ramkasi, poydevori, tuproq ishlari va ularning balandligi, yuk ko'taruvchi inshootlarning kengligi va qadamiga bog'liqligini aks ettiradi.

Qaror qabul qilishda tasodifiy omillarning ta'sirini hisobga olish usuliga ko'ra, matematik modellar deterministik va ehtimolliklarga bo'linadi. Deterministik model tizimning ishlashi jarayonida tasodifiy omillarning ta'sirini hisobga olmaydi va ishlash naqshlarining analitik tasviriga asoslanadi. Ehtimoliy (stokastik) model tizimning ishlashi davomida tasodifiy omillarning ta'sirini hisobga oladi va statistik, ya'ni. ommaviy hodisalarni miqdoriy baholash, ularning nochiziqliligini, dinamikasini, turli taqsimot qonunlari bilan tavsiflangan tasodifiy buzilishlarni hisobga olish imkonini beradi.

Yuqoridagi misollardan foydalanib aytishimiz mumkinki, “bog’lanishlar uzunligi” mezonini tavsiflovchi matematik model deterministik modellarga, “xarajatlar” mezonlari guruhini tavsiflovchi matematik modellar esa ehtimolli modellarga tegishli.

Lingvistik, semantik va axborot modellari

Matematik modellar aniq afzalliklarga ega, chunki muammoning aspektlarini miqdoriy jihatdan aniqlash maqsadlarning ustuvorligi haqida aniq tasavvur beradi. Mutaxassis har doim tegishli raqamli ma'lumotlarni taqdim etish orqali ma'lum bir qarorning qabul qilinishini oqlay olishi muhimdir. Biroq, to'liq matematik tavsif loyiha faoliyati mumkin emas, shuning uchun arxitektura va qurilish dizaynining dastlabki bosqichida hal qilingan muammolarning aksariyati tegishli yomon tuzilgan.

Yarim tuzilgan masalalarning xususiyatlaridan biri ularda qo'llaniladigan mezonlarning og'zaki tavsifidir. Tabiiy tilda tasvirlangan mezonlarni kiritish (bunday mezonlar deyiladi lingvistik), optimal dizayn echimlarini topish uchun kamroq murakkab usullardan foydalanish imkonini beradi. Bunday mezonlarni hisobga olgan holda, dizayner maqsadlarning tanish, shubhasiz ifodalari asosida qaror qabul qiladi.

Muammoning barcha jihatlarini mazmunli tavsiflash, bir tomondan, uni hal qilish jarayoniga tizimlashtirishni kiritadi, ikkinchi tomondan, matematikaning tegishli sohalarini o'rganmasdan, o'z kasbiy muammolarini ko'proq hal qila oladigan mutaxassislarning ishini sezilarli darajada osonlashtiradi. oqilona. Shaklda. 5.2 berilgan lingvistik model, nonvoyxona uchun turli xil tartib variantlarida tabiiy shamollatish uchun sharoit yaratish imkoniyatlarini tavsiflash.

Muammoni mazmunli tavsiflashning boshqa afzalliklari quyidagilardan iborat:

Dizayn yechimining samaradorligini belgilaydigan barcha mezonlarni tavsiflash qobiliyati. Shu bilan birga, tavsifga murakkab tushunchalar kiritilishi va mutaxassisning nuqtai nazariga miqdoriy, o'lchanadigan omillar bilan bir qatorda sifatli, o'lchanmaydigan omillar ham kiritilishi muhimdir. Shunday qilib, qaror qabul qilish vaqtida barcha sub'ektiv va ob'ektiv ma'lumotlardan foydalaniladi;

Guruch. 5.2 Lingvistik model ko'rinishidagi "shamollatish" mezonining mazmuni tavsifi

Olingan ma'lumotlarning ishonchliligini ta'minlaydigan mutaxassislar tomonidan qabul qilingan formulalar asosida ushbu mezon variantlarida maqsadga erishish darajasini aniq baholash qobiliyati;

Qabul qilingan qarorlarning barcha oqibatlari to'g'risida to'liq ma'lumotga ega bo'lmaganligi, shuningdek, bashoratli ma'lumotlar bilan bog'liq noaniqlikni hisobga olish qobiliyati.

O'rganilayotgan ob'ektni tasvirlash uchun tabiiy tildan foydalanadigan modellarga semantik modellar ham kiradi.

Semantik model- ob'ektning turli tarkibiy qismlari, tomonlari, xususiyatlari o'rtasidagi o'zaro bog'liqlik (yaqinlik) darajasini aks ettiruvchi bunday tasvir mavjud. O‘zaro bog‘liqlik nisbiy fazoviy joylashishni emas, balki ma’nodagi bog‘lanishni bildiradi.

Shunday qilib, semantik ma'noda, tabiiy yorug'lik koeffitsienti va shaffof to'siqlarning yorug'lik maydoni o'rtasidagi munosabat deraza teshiklari va devorning qo'shni ko'r qismlari o'rtasidagi munosabatlarga qaraganda yaqinroq bo'ladi.

Bog'lanish munosabatlari to'plami ob'ektda tanlangan har bir element va umuman ob'ekt nimani anglatishini ko'rsatadi. Shu bilan birga, semantik model ob'ektdagi turli tomonlarning bog'liqlik darajasidan tashqari, tushunchalar mazmunini ham aks ettiradi. Elementar modellar tabiiy tilda ifodalangan tushunchalardir.

Semantik modellarni qurish tamoyillarga asoslanadi, unga ko'ra tushunchalar va aloqalar modeldan foydalanishning butun vaqti davomida o'zgarmaydi; bir tushunchaning mazmuni boshqasiga o'tmaydi; ikki tushuncha o'rtasidagi bog'lanishlar ularga nisbatan teng va yo'naltirilmagan o'zaro ta'sirga ega.

Har bir model tahlili umumiy sifatga ega model elementlarini tanlashga qaratilgan. Bu faqat to'g'ridan-to'g'ri ulanishlarni hisobga oladigan algoritmni qurish uchun asos beradi. Modelni yo'naltirilmagan grafikga o'tkazishda har bir elementdan faqat bir marta foydalanib, bir elementdan ikkinchisiga harakatni kuzatuvchi ikkita element o'rtasida yo'l topiladi. Elementlarning paydo bo'lish tartibi ikki elementning ketma-ketligi deb ataladi. Ketma-ketliklar turli uzunliklarga ega bo'lishi mumkin. Ularning eng qisqasi element munosabatlari deb ataladi. Ikki elementning ketma-ketligi ular o'rtasida to'g'ridan-to'g'ri bog'liqlik mavjud bo'lsa ham mavjud, ammo bu holda hech qanday aloqa yo'q.

Semantik modelga misol sifatida biz aloqa aloqalari bilan birga kvartiraning tartibini tavsifini beramiz. Kontseptsiya - bu kvartiraning binolari. To'g'ridan-to'g'ri ulanish ikkita xonaning funktsional ulanishini anglatadi, masalan, eshik orqali (5.1-jadvalga qarang).

Modelni yo'naltirilmagan grafik ko'rinishiga o'tkazish bizga elementlar ketma-ketligini olish imkonini beradi (5.3-rasm).

2-element (hammom) va 6-element (kiler) o'rtasida tuzilgan ketma-ketlikning misollari jadvalda keltirilgan. 5.2. Jadvaldan ko'rinib turibdiki, 3-ketma bu ikki elementning munosabatini ifodalaydi.

5.1-jadval

Kvartira tartibining tavsifi

Guruch. 5.3 Yo'naltirilmagan grafik ko'rinishidagi rejalashtirish yechimining tavsifi

Matematik model nima?

Matematik model tushunchasi.

Matematik model juda oddiy tushunchadir. Va juda muhim. Matematika va real hayotni bog'laydigan matematik modellardir.

Gapirmoqda oddiy tilda, matematik model - har qanday vaziyatning matematik tavsifi. Va tamom. Model ibtidoiy bo'lishi mumkin yoki u juda murakkab bo'lishi mumkin. Vaziyat qanday bo'lishidan qat'iy nazar, model shunday.)

Har qanday holatda (takrorlayman - har qanday!) biror narsani sanash va hisoblash kerak bo'lgan holatda - biz matematik modellashtirish bilan shug'ullanamiz. Garchi biz bunga shubha qilmasak ham.)

P = 2 CB + 3 CM

Ushbu yozuv bizning xaridlarimiz xarajatlarining matematik modeli bo'ladi. Modelda qadoqlash rangi, yaroqlilik muddati, kassirlarning xushmuomalaligi va boshqalar hisobga olinmaydi. Shuning uchun u model, haqiqiy xarid emas. Ammo xarajatlar, ya'ni. bizga nima kerak- aniq bilib olamiz. Agar model to'g'ri bo'lsa, albatta.

Matematik model nima ekanligini tasavvur qilish foydali, ammo bu etarli emas. Eng muhimi, bu modellarni qurish imkoniyatiga ega bo'lishdir.

Masalaning matematik modelini tuzish (konstruksiya qilish).

Matematik model yaratish deganda masala shartlarini matematik shaklga o‘tkazish tushuniladi. Bular. so'zlarni tenglama, formula, tengsizlik va hokazolarga aylantirish. Bundan tashqari, uni shunday aylantiringki, bu matematikaga to'liq mos keladi asl matn. Aks holda, biz bizga noma'lum bo'lgan boshqa muammoning matematik modeliga ega bo'lamiz.)

Aniqroq aytganda, sizga kerak

Dunyoda cheksiz ko'p vazifalar mavjud. Shuning uchun, matematik modelni tuzish bo'yicha aniq bosqichma-bosqich ko'rsatmalarni taklif qiling har qanday vazifalarni bajarish mumkin emas.

Ammo siz e'tibor berishingiz kerak bo'lgan uchta asosiy nuqta bor.

1. Har qanday muammo matnni o'z ichiga oladi, g'alati.) Bu matn, qoida tariqasida, o'z ichiga oladi aniq, ochiq ma'lumot. Raqamlar, qiymatlar va boshqalar.

2. Har qanday muammo bor yashirin ma'lumotlar. Bu sizning boshingizda qo'shimcha bilimlarni o'z ichiga olgan matn. Ularsiz hech qanday yo'l yo'q. Bundan tashqari, matematik ma'lumotlar ko'pincha oddiy so'zlar orqasida yashiringan va ... o'tgan e'tibor sirpanadi.

3. Har qanday topshiriq berilishi kerak ma'lumotlarning bir-biri bilan bog'lanishi. Bu bog'lanish oddiy matnda (bir narsaga teng) berilishi mumkin yoki oddiy so'zlar orqasida yashirin bo'lishi mumkin. Ammo oddiy va aniq faktlar ko'pincha e'tibordan chetda qoladi. Va model hech qanday tarzda kompilyatsiya qilinmaydi.

Men darhol aytaman: ushbu uchta fikrni qo'llash uchun siz muammoni (va diqqat bilan!) Bir necha marta o'qib chiqishingiz kerak. Odatiy narsa.

Va endi - misollar.

Oddiy muammodan boshlaylik:

Petrovich baliq ovidan qaytib keldi va g'urur bilan o'z ovini oilasiga taqdim etdi. Yaqindan o'rganib chiqqach, 8 ta baliq shimoliy dengizlardan kelgani, barcha baliqlarning 20 foizi janubiy dengizlardan kelgani va Petrovich baliq ovlagan mahalliy daryodan bittasi ham kelmagani ma'lum bo'ldi. Petrovich dengiz mahsulotlari do'konida qancha baliq sotib oldi?

Bu so'zlarning barchasini qandaydir tenglamaga aylantirish kerak. Buning uchun sizga kerak, takrorlayman, masaladagi barcha ma'lumotlar o'rtasida matematik aloqani o'rnatish.

Qayerdan boshlash kerak? Birinchidan, keling, vazifadan barcha ma'lumotlarni chiqaramiz. Keling, tartibda boshlaylik:

Keling, birinchi nuqtaga e'tibor qarataylik.

Qaysi biri shu yerda? aniq matematik ma'lumotlar? 8 baliq va 20%. Ko'p emas, lekin bizga ko'p narsa kerak emas.)

Keling, ikkinchi nuqtaga e'tibor qarataylik.

qidirmoqdalar yashirin ma `lumot. Bu yerda. Bu so'zlar: "Barcha baliqlarning 20 foizi". Bu erda siz qanday foizlar va ular qanday hisoblanganligini tushunishingiz kerak. Aks holda, muammoni hal qilib bo'lmaydi. Aynan shu narsa. qo'shimcha ma'lumot, bu sizning boshingizda bo'lishi kerak.

Shuningdek bor matematik butunlay ko'rinmaydigan ma'lumotlar. Bu vazifa savoli: "Qancha baliq sotib oldim...” Bu ham raqam. Va usiz hech qanday model shakllanmaydi. Shuning uchun, keling, bu raqamni harf bilan belgilaymiz "X". Biz hali x nimaga teng ekanligini bilmaymiz, ammo bu belgi biz uchun juda foydali bo'ladi. X uchun nima olish va uni qanday hal qilish haqida batafsil ma'lumot darsda yozilgan Matematikadagi muammolarni qanday hal qilish kerak? Keling, darhol yozamiz:

x dona - baliqlarning umumiy soni.

Bizning muammomizda janubiy baliqlar foiz sifatida berilgan. Biz ularni qismlarga aylantirishimiz kerak. Nima uchun? Keyin nima har qanday model muammosi tuzilishi kerak bir xil turdagi miqdorda. Parchalar - shuning uchun hamma narsa bo'laklarga bo'linadi. Agar berilgan bo'lsa, aytaylik, soatlar va daqiqalar, biz hamma narsani bitta narsaga aylantiramiz - faqat soatlar yoki faqat daqiqalar. Bu nima bo'lishi muhim emas. Bu muhim barcha qiymatlar bir xil turdagi edi.

Keling, ma'lumotni oshkor qilishga qaytaylik. Kim manfaat nimaligini bilmasa, uni hech qachon oshkor etmaydi, ha... Lekin kim bilsa, darrov aytadiki, bu yerda qiziqish umumiy soni baliq beriladi. Va biz bu raqamni bilmaymiz. Hech narsa ishlamaydi!

Biz baliqlarning umumiy sonini (bo'laklarda!) yozishimiz bejiz emas. "X" tayinlangan. Janubiy baliqlarni bo'laklarga bo'lib sanab bo'lmaydi, lekin biz ularni yozib olamizmi? Mana bunday:

0,2 x dona - janubiy dengizlardan baliqlar soni.

Endi biz vazifadan barcha ma'lumotlarni yuklab oldik. Ham ochiq, ham yashirin.

Uchinchi nuqtaga e'tibor qarataylik.

qidirmoqdalar matematik bog'lanish vazifa ma'lumotlari o'rtasida. Bu aloqa shunchalik oddiyki, ko'pchilik buni sezmaydi ... Bu tez-tez sodir bo'ladi. Bu erda to'plangan ma'lumotlarni qoziqqa yozib qo'yish va nima ekanligini ko'rish foydali bo'ladi.

Bizda nima bor? Yemoq 8 dona shimoliy baliq, 0,2 x dona- janubiy baliq va x baliq- jami. Ushbu ma'lumotlarni qandaydir tarzda bir-biriga bog'lash mumkinmi? Ha oson! Baliqlarning umumiy soni teng janubiy va shimoliy yig'indisi! Xo'sh, kim o'ylagan edi ...) Shunday qilib, biz buni yozamiz:

x = 8 + 0,2x

Bu tenglama muammomizning matematik modeli.

E'tibor bering, bu muammoda Bizdan hech narsa yig'ish so'ralmaydi! Janubiy va shimoliy baliqlarning yig'indisi bizga umumiy sonni berishini o'zimiz anglab yetdik. Bu narsa shunchalik ravshanki, u e'tiborga olinmaydi. Ammo bu dalilsiz matematik model yaratib bo'lmaydi. Mana bunday.

Endi siz ushbu tenglamani yechish uchun matematikaning to'liq kuchidan foydalanishingiz mumkin). Aynan shuning uchun matematik model tuzilgan. Ushbu chiziqli tenglamani yechib, javobni olamiz.

Javob: x=10

Keling, boshqa muammoning matematik modelini yaratamiz:

Ular Petrovichdan so'rashdi: "Pulingiz ko'pmi?" Petrovich yig'lay boshladi va javob berdi: "Ha, ozgina. Agar men pulning yarmini, qolganini yarmini sarf qilsam, menda faqat bitta qop pul qoladi ..." Petrovichda qancha pul bor ?

Yana nuqtama-nuqta ishlaymiz.

1. Biz aniq ma'lumotni qidirmoqdamiz. Siz uni darhol topa olmaysiz! Aniq ma'lumot bitta pul sumkasi. Boshqa yarmi ham bor ... Xo'sh, biz buni ikkinchi xatboshida ko'rib chiqamiz.

2. Biz yashirin ma'lumotni qidiramiz. Bular yarmi. Nima? Juda aniq emas. Biz ko'proq qidiramiz. Yana bitta savol bor: — Petrovichda qancha pul bor? Keling, pul miqdorini harf bilan belgilaymiz "X":

X- hamma pul

Va yana muammoni o'qiymiz. Petrovich buni allaqachon bilgan X pul. Bu erda yarmi ishlaydi! Biz yozamiz:

0,5 x- pulning yarmi.

Qolganlari ham yarmi bo'ladi, ya'ni. 0,5 x. Va yarmining yarmini quyidagicha yozish mumkin:

0,5 0,5 x = 0,25x- qolganlarning yarmi.

Endi barcha yashirin ma'lumotlar oshkor bo'ldi va qayd etildi.

3. Biz yozib olingan ma'lumotlar o'rtasidagi aloqani qidiramiz. Bu erda siz Petrovichning azobini o'qib, uni matematik tarzda yozishingiz mumkin):

Agar men pulning yarmini sarf qilsam...

Keling, ushbu jarayonni yozib olaylik. Hamma pul - X. Yarim - 0,5 x. Sarflash - olib qo'yish. Bu ibora yozuvga aylanadi:

x - 0,5 x

Ha, qolgan yarmi ...

Qolganlarning yana yarmini ayiraylik:

x - 0,5 x - 0,25x

keyin menda faqat bitta qop pul qoladi...

Va bu erda biz tenglikni topdik! Barcha ayirmalardan so'ng bitta qop pul qoladi:

x - 0,5 x - 0,25x = 1

Mana, matematik model! Bu yana chiziqli tenglama, biz uni yechib, olamiz:

Ko'rib chiqish uchun savol. To'rt nima? Rubl, dollar, yuan? Va bizning matematik modelimizda pul qanday birliklarda yozilgan? Qoplarda! Bu to'rtta degan ma'noni anglatadi sumka Petrovichdan pul. Yaxshi ham.)

Vazifalar, albatta, oddiy. Bu, ayniqsa, matematik modelni tuzishning mohiyatini tushunish uchun. Ba'zi vazifalar ko'proq ma'lumotlarni o'z ichiga olishi mumkin, ularda yo'qolib ketish oson. Bu ko'pincha deb atalmish sodir bo'ladi. malaka vazifalari. So'zlar va raqamlar to'plamidan matematik tarkibni qanday olish mumkinligi misollar bilan ko'rsatilgan

Yana bir eslatma. Klassik maktab muammolarida (hovuzni to'ldiradigan quvurlar, bir joyda suzuvchi qayiqlar va boshqalar) barcha ma'lumotlar, qoida tariqasida, juda ehtiyotkorlik bilan tanlanadi. Ikkita qoida mavjud:
- muammoni hal qilish uchun etarli ma'lumot mavjud;
- Muammoda keraksiz ma'lumot yo'q.

Bu ishora. Agar matematik modelda foydalanilmagan qiymat qolsa, xatolik bor yoki yo'qligini o'ylab ko'ring. Agar etarli ma'lumot bo'lmasa, barcha yashirin ma'lumotlar aniqlanmagan va qayd etilmagan.

Qobiliyatda va boshqalarda hayotiy vazifalar bu qoidalarga qat'iy rioya qilinmaydi. Hech qanday ma'lumot yo'q. Ammo bunday muammolarni ham hal qilish mumkin. Agar, albatta, klassiklar ustida mashq qilsangiz.)

Agar sizga bu sayt yoqsa...

Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)

Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. Keling, o'rganamiz - qiziqish bilan!)

Funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.