Muntazam to'rtburchak piramidaning lateral yuzasi: formulalar va misollar. Piramidaning lateral yuzasini qanday topish mumkin Piramidaning lateral yuzasi yig'indisiga teng

ko'p qirrali figura bo'lib, uning asosi ko'pburchak bo'lib, qolgan yuzlar umumiy uchi bo'lgan uchburchaklar bilan ifodalanadi.

Agar asos kvadrat bo'lsa, u holda piramida deyiladi to'rtburchak, agar uchburchak bo'lsa - keyin uchburchak. Piramidaning balandligi uning tepasidan poydevorga perpendikulyar ravishda chiziladi. Bundan tashqari, maydonni hisoblash uchun ishlatiladi apotema– yon yuzining balandligi, uning tepasidan tushirilgan.
Piramidaning lateral yuzasining maydoni formulasi uning lateral yuzlarining bir-biriga teng bo'lgan maydonlarining yig'indisidir. Biroq, bu hisoblash usuli juda kam qo'llaniladi. Asosan, piramidaning maydoni poydevor va apotema perimetri orqali hisoblanadi:

Keling, piramidaning lateral yuzasi maydonini hisoblash misolini ko'rib chiqaylik.

Piramida ABCDE asosi va F tepasi bilan berilgan bo'lsin. AB =BC =CD =DE =EA =3 sm.Apotema a =5 sm.Piramidaning lateral yuzasining maydonini toping.
Keling, perimetrni topamiz. Poydevorning barcha qirralari teng bo'lganligi sababli, beshburchakning perimetri quyidagilarga teng bo'ladi:
Endi siz piramidaning lateral maydonini topishingiz mumkin:

Muntazam uchburchak piramidaning maydoni

Muntazam uchburchak piramida bir tekis uchburchak joylashgan asosdan va maydoni teng bo'lgan uchta yon yuzdan iborat.
Oddiy uchburchak piramidaning lateral sirt maydoni uchun formulani turli usullar bilan hisoblash mumkin. Siz perimetr va apotem yordamida odatiy hisoblash formulasini qo'llashingiz mumkin yoki bitta yuzning maydonini topib, uni uchga ko'paytirishingiz mumkin. Piramidaning yuzi uchburchak bo'lganligi sababli, biz uchburchakning maydoni uchun formulani qo'llaymiz. Buning uchun apotem va taglikning uzunligi kerak bo'ladi. Oddiy uchburchak piramidaning lateral sirt maydonini hisoblash misolini ko'rib chiqaylik.

Apotemi a = 4 sm va asos yuzi b = 2 sm bo'lgan piramida berilgan. Piramidaning lateral yuzasi maydonini toping.
Birinchidan, yon yuzlardan birining maydonini toping. IN Ushbu holatda U bo'ladi:
Qiymatlarni formulaga almashtiring:
Oddiy piramidada barcha tomonlar bir xil bo'lganligi sababli, piramidaning yon yuzasining maydoni uchta yuzning maydonlarining yig'indisiga teng bo'ladi. Mos ravishda:

Kesilgan piramidaning maydoni

Kesilgan Piramida - bu piramida va uning kesimi poydevorga parallel bo'lgan ko'pburchak.
Kesilgan piramidaning lateral sirt maydoni uchun formula juda oddiy. Maydoni asoslar va apotema perimetrlari yig'indisining yarmining ko'paytmasiga teng:

Piramidaning ta'rifi

Piramida koʻpburchak boʻlib, asosi koʻpburchak, yuzlari uchburchaklardir.

Onlayn kalkulyator

Piramidaning ba'zi tarkibiy qismlarining ta'rifiga to'xtalib o'tishga arziydi.

U, boshqa ko'pburchaklar kabi qovurg'alar. Ular bir nuqtaga yaqinlashadilar yuqori piramidalar. U ixtiyoriy ko'pburchakga asoslangan bo'lishi mumkin. Chet chaqirdi geometrik shakl, taglikning yon tomonlaridan biri va ikkita eng yaqin qovurg'a tomonidan hosil qilingan. Bizning holatlarimizda bu uchburchak. Balandligi piramida - uning asosi joylashgan tekislikdan ko'pburchakning yuqori qismigacha bo'lgan masofa. Muntazam piramida uchun ham tushuncha mavjud apotemalar- bu piramidaning tepasidan poydevoriga tushgan perpendikulyar.

Piramidalarning turlari

Piramidalarning 3 turi mavjud:

1. To'rtburchak- har qanday chekka asos bilan to'g'ri burchak hosil qiladigan biri.
2. To'g'ri- uning asosi muntazam geometrik figura, ko'pburchakning o'zi esa asos markazining proyeksiyasidir.
3. Tetraedr- uchburchaklardan tashkil topgan piramida. Bundan tashqari, ularning har biri asos sifatida olinishi mumkin.

Piramida sirtining formulasi

Piramidaning umumiy sirt maydonini topish uchun siz lateral yuzaning maydoni va poydevorning maydonini qo'shishingiz kerak.

Eng oddiy holat oddiy piramidaning ishi, shuning uchun biz u bilan shug'ullanamiz. Keling, bunday piramidaning umumiy sirtini hisoblaylik. Yon sirt maydoni:

S tomoni = 1 2 ⋅ l ⋅ p S_(\matn(tomon))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot pS tomoni​ = 2 1 ​ ⋅ l ⋅p

Ll l- piramidaning apothemi;
p p p- piramida poydevorining perimetri.

Piramidaning umumiy yuzasi:

S = S tomoni + S asosiy S=S_(\matn(tomon))+S_(\matn(asosiy))S=S tomoni​ + S Asosiy​

S tomoni S_(\matn(tomon)) S tomoni​ - piramidaning lateral yuzasi maydoni;
S asosiy S_(\matn(asosiy)) S Asosiy​ - piramida poydevorining maydoni.

Muammoni hal qilish misoli.

Uchburchak piramidaning umumiy maydonini toping, agar uning apotemi 8 (sm) bo'lsa va poydevorida tomoni 3 (sm) bo'lgan teng tomonli uchburchak bo'lsa.

Yechim

L = 8 l=8 l =8
a = 3 a=3 a =3

Keling, poydevorning perimetrini topamiz. Chunki asos tomoni bilan teng tomonli uchburchakdir a a a, keyin uning perimetri p p p(barcha tomonlar yig'indisi):

P = a + a + a = 3 ⋅ a = 3 ⋅ 3 = 9 p=a+a+a=3\cdot a=3\cdot 3=9p =a+a+a =3 ⋅ a =3 ⋅ 3 = 9

Keyin piramidaning lateral maydoni:

S tomoni = 1 2 ⋅ l ⋅ p = 1 2 ⋅ 8 ⋅ 9 = 36 S_(\text(yon))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot p=\frac(1)(2) \cdot 8\cdot 9=36S tomoni​ = 2 1 ​ ⋅ l ⋅p =2 1 ​ ⋅ 8 ⋅ 9 = 3 6 (kv.ga qarang)

Endi piramida asosining maydonini, ya'ni uchburchakning maydonini topamiz. Bizning holatda, uchburchak teng tomonli va uning maydoni quyidagi formula yordamida hisoblanishi mumkin:

S asosiy = 3 ⋅ a 2 4 S_(\matn(asosiy))=\frac(\sqrt(3)\cdot a^2)(4)S Asosiy​ = 4 3 ​ ⋅ a 2 ​

A a a- uchburchakning yon tomoni.

Biz olamiz:

S main = 3 ⋅ a 2 4 = 3 ⋅ 3 2 4 ≈ 3,9 S_(\text(basic))=\frac(\sqrt(3)\cdot a^2)(4)=\frac(\sqrt(3) )\cdot 3^2)(4)\taxminan 3,9S Asosiy​ = 4 3 ​ ⋅ a 2 ​ = 4 3 ​ ⋅ 3 2 ​ ≈ 3 . 9 (kv.ga qarang)

Umumiy maydoni:

S = S tomoni + S asosiy ≈ 36 + 3,9 = 39,9 S=S_(\matn(tomon))+S_(\matn(asosiy))\taxminan36+3,9=39,9S=S tomoni​ + S Asosiy​ ≈ 3 6 + 3 . 9 = 3 9 . 9 (kv.ga qarang)

Javob: 39,9 sm kv.

Yana bir misol, biroz murakkabroq.

Piramidaning asosi maydoni 36 (sm2) bo'lgan kvadratdir. Ko'pburchakning apothemi asosning yon tomonidan 3 marta katta a a a. Ushbu rasmning umumiy sirt maydonini toping.

Yechim

S to'rtlik = 36 S _ (\ matn (to'rtlik)) = 36S to'rt​ = 3 6
l = 3 ⋅ a l=3\cdot a l =3 ⋅ a

Keling, asosning tomonini, ya'ni kvadratning tomonini topamiz. Uning maydoni va yon uzunligi bog'liq:

S kvad = a 2 S_(\text(to'rt))=a^2S to'rt​ = a 2
36 = a 2 36=a^2 3 6 = a 2
a = 6 a=6 a =6

Piramida asosining perimetri (ya’ni kvadratning perimetri) topilsin:

P = a + a + a + a = 4 ⋅ a = 4 ⋅ 6 = 24 p=a+a+a+a=4\cdot a=4\cdot 6=24p =a+a+a+a =4 ⋅ a =4 ⋅ 6 = 2 4

Apotema uzunligini topamiz:

L = 3 ⋅ a = 3 ⋅ 6 = 18 l=3\cdot a=3\cdot 6=18l =3 ⋅ a =3 ⋅ 6 = 1 8

Bizning holatda:

S to'rtlik = S asosiy S_ (\ matn (to'rtlik)) = S _ (\ matn (asosiy))S to'rt​ = S Asosiy​

Qolgan narsa - lateral yuzaning maydonini topish. Formulaga ko'ra:

S tomoni = 1 2 ⋅ l ⋅ p = 1 2 ⋅ 18 ⋅ 24 = 216 S_(\text(yon))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot p=\frac(1)(2) \cdot 18\cdot 24=216S tomoni​ = 2 1 ​ ⋅ l ⋅p =2 1 ​ ⋅ 1 8 ⋅ 2 4 = 2 1 6 (kv.ga qarang)

Umumiy maydoni:

$S=S^{\text{tomoni + SAsosiy = 2 1 6 + 3 6 = 2 5 2 (kv.ga qarang)}}$

Javob: 252 sm kv.

Oddiy uchburchak piramidada SABC R- qovurg'aning o'rtasi AB, S- yuqori.
Ma'lumki SR = 6, va lateral sirt maydoni teng 36 .
Segment uzunligini toping Miloddan avvalgi.

Keling, rasm chizamiz. Muntazam piramidada yon tomonlari teng yonli uchburchaklardir.

Chiziq segmenti S.R.- median bazaga tushirildi va shuning uchun yon yuzning balandligi.

Muntazam uchburchak piramidaning lateral yuzasi maydonlar yig'indisiga teng
uchta teng yon yuzlar S tomoni = 3 S ABS. Bu yerdan S ABS = 36: 3 = 12- yuzning maydoni.

Uchburchakning maydoni uning poydevori va balandligi ko'paytmasining yarmiga teng
S ABS = 0,5 AB SR. Maydon va balandlikni bilib, biz taglikning yon tomonini topamiz AB = BC.
12 = 0,5 AB 6
12 = 3 AB
AB = 4

Javob: 4

Muammoga boshqa tomondan yondashishingiz mumkin. Asosiy tomoniga yo'l qo'ying AB = BC = a.
Keyin yuzning maydoni S ABS = 0,5 AB SR = 0,5 a 6 = 3a.

Uchta yuzning har birining maydoni teng 3a, uchta yuzning maydoni teng 9a.
Muammoning shartlariga ko'ra, piramidaning lateral yuzasining maydoni 36 ga teng.
S tomoni = 9a = 36.
Bu yerdan a = 4.

Ushbu geometrik shakl va uning xususiyatlari haqidagi savollarni o'rganishdan oldin, ba'zi atamalarni tushunishingiz kerak. Inson piramida haqida eshitsa, Misrdagi ulkan binolarni tasavvur qiladi. Eng oddiylari shunday ko'rinadi. Ammo ular sodir bo'ladi turli xil turlari va shakllar, ya'ni geometrik shakllar uchun hisoblash formulasi boshqacha bo'ladi.

Shakl turlari

Piramida - geometrik shakl, bir nechta yuzlarni bildiruvchi va ifodalovchi. Aslini olganda, bu bir xil ko'pburchak bo'lib, uning poydevorida ko'pburchak yotadi va yon tomonlarida bir nuqtada - tepada tutashadigan uchburchaklar mavjud. Rasm ikkita asosiy turga bo'linadi:

• to'g'ri;
• kesilgan.

Birinchi holda, asos muntazam ko'pburchakdir. Bu erda barcha lateral yuzalar tengdir o'zlari va figuraning o'zi o'rtasida perfektsionistning ko'zini quvontiradi.

Ikkinchi holda, ikkita tayanch mavjud - eng pastki qismida katta va yuqori o'rtasida kichik, asosiyning shaklini takrorlaydi. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, kesilgan piramida ko'pburchak bo'lib, kesma asosga parallel ravishda hosil bo'ladi.

Shartlar va belgilar

Asosiy shartlar:

• Muntazam (teng tomonli) uchburchak- uchta teng burchak va teng tomonlarga ega bo'lgan figura. Bunday holda, barcha burchaklar 60 daraja. Shakl oddiy ko'pburchaklarning eng oddiyidir. Agar bu raqam poydevorda bo'lsa, unda bunday ko'pburchak muntazam uchburchak deb ataladi. Agar asos kvadrat bo'lsa, piramida oddiy to'rtburchak piramida deb ataladi.
• Vertex– qirralarning tutashgan eng yuqori nuqtasi. Cho'qqining balandligi piramidaning cho'qqisidan poydevorigacha cho'zilgan to'g'ri chiziq orqali hosil bo'ladi.
• Chet– ko‘pburchak tekisliklaridan biri. U uchburchakli piramida holatida uchburchak shaklida yoki trapezoid shaklida bo'lishi mumkin. kesilgan piramida.
• Bo'lim – tekis shakl, parchalanish natijasida hosil bo'lgan. Uni bo'lim bilan aralashtirib yubormaslik kerak, chunki bo'lim bo'lim orqasida nima borligini ham ko'rsatadi.
• Apothem- piramidaning tepasidan poydevorigacha chizilgan segment. Bundan tashqari, ikkinchi balandlik nuqtasi joylashgan yuzning balandligi. Bu ta'rif faqat oddiy ko'pburchak uchun amal qiladi. Misol uchun, agar bu kesilgan piramida bo'lmasa, unda yuz uchburchak bo'ladi. Bunday holda, bu uchburchakning balandligi apothemga aylanadi.

Hudud formulalari

Piramidaning lateral sirt maydonini toping har qanday turdagi bir necha usulda amalga oshirilishi mumkin. Agar raqam nosimmetrik bo'lmasa va turli tomonlari bo'lgan ko'pburchak bo'lsa, unda bu holda umumiy sirt maydonini barcha sirtlarning umumiyligi orqali hisoblash osonroq bo'ladi. Boshqacha qilib aytganda, siz har bir yuzning maydonini hisoblashingiz va ularni bir-biriga qo'shishingiz kerak.

Qaysi parametrlar ma'lum bo'lganiga qarab, kvadrat, trapezoid, o'zboshimchalik bilan to'rtburchak va boshqalarni hisoblash uchun formulalar talab qilinishi mumkin. Turli holatlarda formulalarning o'zi farqlari ham bo‘ladi.

Oddiy raqam bo'lsa, maydonni topish ancha oson. Faqat bir nechta asosiy parametrlarni bilish kifoya. Ko'pgina hollarda, bunday raqamlar uchun hisob-kitoblar maxsus talab qilinadi. Shuning uchun tegishli formulalar quyida keltirilgan. Aks holda, siz hamma narsani bir necha sahifaga yozishingiz kerak bo'ladi, bu sizni chalkashtirib yuboradi.

Hisoblash uchun asosiy formula Oddiy piramidaning lateral yuzasi quyidagi shaklga ega bo'ladi:

S=½ Pa (P - asosning perimetri va apotema)

Keling, bitta misolni ko'rib chiqaylik. Ko'pburchakning asosi A1, A2, A3, A4, A5 segmentlari bo'lib, ularning barchasi 10 sm ga teng.Apotem 5 sm ga teng bo'lsin.Avval perimetrni topish kerak. Bazaning barcha besh yuzi bir xil bo'lganligi sababli, uni quyidagicha topishingiz mumkin: P = 5 * 10 = 50 sm.Keyin, biz asosiy formulani qo'llaymiz: S = ½ * 50 * 5 = 125 sm kvadrat.

Muntazam uchburchak piramidaning lateral yuzasi hisoblash eng oson. Formula quyidagicha ko'rinadi:

S =½* ab *3, bu erda a - apotema, b - asosning yuzi. Bu erda uchta omil taglikning yuzlari sonini, birinchi qism esa yon yuzaning maydonini bildiradi. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik. Apotemli 5 sm va asos cheti 8 sm bo'lgan rasm berilgan.Hisoblaymiz: S = 1/2*5*8*3=60 sm kvadrat.

Kesilgan piramidaning lateral yuzasi Hisoblash biroz qiyinroq. Formula quyidagicha ko'rinadi: S =1/2*(p_01+ p_02)*a, bu erda p_01 va p_02 asoslarning perimetrlari va apotemdir. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik. Aytaylik, to'rtburchak figura uchun asoslar tomonlarining o'lchamlari 3 va 6 sm, apotem esa 4 sm.

Bu yerda, avvalo, asoslarning perimetrlarini topish kerak: r_01 =3*4=12 sm; r_02=6*4=24 sm.Qiymatlarni asosiy formulaga almashtirish qoladi va biz quyidagilarni olamiz: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 sm kvadrat.

Shunday qilib, har qanday murakkablikdagi oddiy piramidaning lateral sirt maydonini topishingiz mumkin. Siz ehtiyot bo'lishingiz va chalkashmasligingiz kerak bu hisoblar butun ko'pburchakning umumiy maydoni bilan. Va agar siz hali ham buni qilishingiz kerak bo'lsa, shunchaki ko'pburchakning eng katta poydevorining maydonini hisoblang va uni ko'pburchakning lateral yuzasi maydoniga qo'shing.

Video

Ushbu video sizga turli xil piramidalarning lateral sirtini qanday topish haqida ma'lumotni birlashtirishga yordam beradi.

Piramida- ko'pburchaklar va uchburchaklardan hosil bo'lgan ko'pburchakning poydevorida yotadigan va uning yuzlari bo'lgan navlaridan biri.

Bundan tashqari, piramidaning tepasida (ya'ni, bir nuqtada) barcha yuzlar birlashtirilgan.

Piramidaning maydonini hisoblash uchun uning lateral yuzasi bir nechta uchburchaklardan iborat ekanligini aniqlash kerak. Va biz ulardan foydalanib, ularning hududlarini osongina topishimiz mumkin

turli formulalar. Uchburchaklar haqida qanday ma'lumotlarni bilishimizga qarab, biz ularning maydonini qidiramiz.

Biz uchburchaklar maydonini topish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ba'zi formulalarni sanab o'tamiz:

1. S = (a*h)/2 . Bunday holda, biz uchburchakning balandligini bilamiz h , bu yon tomonga tushiriladi a .
2. S = a*b*sinb . Mana uchburchakning tomonlari a , b , va ular orasidagi burchak β .
3. S = (r*(a + b + c))/2 . Mana uchburchakning tomonlari a, b, c . Uchburchak ichiga chizilgan aylananing radiusi r .
4. S = (a*b*c)/4*R . Uchburchak atrofida aylana radiusi R .
5. S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R . Ushbu formula faqat uchburchak to'g'ri burchakli bo'lganda qo'llanilishi kerak.
6. S = (a²*√3)/4 . Ushbu formulani teng tomonli uchburchakka qo'llaymiz.

Piramidamizning yuzlari bo'lgan barcha uchburchaklarning maydonlarini hisoblagandan keyingina uning lateral yuzasining maydonini hisoblashimiz mumkin. Buning uchun yuqoridagi formulalardan foydalanamiz.

Piramidaning lateral yuzasining maydonini hisoblash uchun hech qanday qiyinchiliklar yuzaga kelmaydi: siz barcha uchburchaklar maydonlarining yig'indisini topishingiz kerak. Buni formula bilan ifodalaymiz:

Sp = Ssi

Bu yerga Si birinchi uchburchakning maydoni, va S P - piramidaning lateral yuzasi maydoni.

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik. Muntazam piramidani hisobga olsak, uning lateral yuzlari bir nechta teng qirrali uchburchaklardan tashkil topgan,

« Geometriya aqliy qobiliyatimizni charxlash uchun eng kuchli vositadir».

Galileo Galiley.

kvadrat esa piramidaning asosidir. Bundan tashqari, piramidaning chetining uzunligi 17 sm. Maydonni topamiz bu piramidaning lateral yuzasi.

Biz shunday fikr yuritamiz: biz bilamizki, piramidaning yuzlari uchburchaklar, ular teng tomonli. Ushbu piramidaning chekka uzunligi qancha ekanligini ham bilamiz. Bundan kelib chiqadiki, barcha uchburchaklar teng tomonlarga ega va ularning uzunligi 17 sm.

Ushbu uchburchaklarning har birining maydonini hisoblash uchun siz quyidagi formuladan foydalanishingiz mumkin:

S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 sm²

Shunday qilib, biz kvadrat piramidaning tagida joylashganligini bilganimiz sababli, bizda to'rtta teng qirrali uchburchak borligi ayon bo'ladi. Bu shuni anglatadiki, piramidaning lateral yuzasi maydoni yordamida osongina hisoblash mumkin quyidagi formula: 125,137 sm² * 4 = 500,548 sm²

Bizning javobimiz quyidagicha: 500,548 sm² - bu piramidaning lateral yuzasining maydoni.