Nima uchun 1 n seriyasi ajralib chiqadi? Seriya yig'indisi. Ba'zi qisman yig'indi qiymatlari
Seriyaning yaqinlashuvini tekshirishning bir necha usullari mavjud. Birinchidan, siz shunchaki ketma-ketliklarning yig'indisini topishingiz mumkin. Agar natijada biz chekli sonni olsak, unda bu qator yaqinlashadi. Masalan, chunki
keyin qator yaqinlashadi. Agar biz ketma-ketliklarning yig'indisini topa olmasak, seriyaning yaqinlashuvini tekshirish uchun boshqa usullardan foydalanishimiz kerak.
Shunday usullardan biri d'Alembert belgisi
bu yerda va navbati bilan qatorning n va (n+1) hadlari bo‘lib, yaqinlashish D ning qiymati bilan aniqlanadi: Agar D< 1 - ряд сходится, если D >
Misol tariqasida, biz d'Alember testi yordamida qatorning yaqinlashuvini o'rganamiz. Birinchidan, va uchun ifodalarni yozamiz. Endi tegishli chegarani topamiz:
Chunki, d'Alembert testiga ko'ra, seriyalar birlashadi.
Seriyaning yaqinlashuvini tekshirishning yana bir usuli radikal Koshi belgisi, u quyidagicha yoziladi:
bu yerda qatorning n-chi hadi va yaqinlashuv, d'Alember testidagi kabi, D qiymati bilan aniqlanadi: Agar D< 1 - ряд сходится, если D >1 - farqlanadi. D = 1 bo'lsa, bu belgi javob bermaydi va qo'shimcha tadqiqotlar o'tkazish kerak.
Misol tariqasida, radikal Koshi testi yordamida qatorning yaqinlashuvini o'rganamiz. Birinchidan, uchun ifodani yozamiz. Endi tegishli chegarani topamiz:
Till="15625/64>1"> dan boshlab, radikal Koshi testiga ko'ra, seriyalar ajralib chiqadi.
Shuni ta'kidlash kerakki, sanab o'tilganlar bilan bir qatorda, integral Koshi testi, Raabe testi va boshqalar kabi qatorlarni yaqinlashtirishning boshqa belgilari ham mavjud.
Bizning onlayn kalkulyator, Wolfram Alpha tizimi asosida qurilgan, seriyaning yaqinlashuvini sinab ko'rish imkonini beradi. Bundan tashqari, agar kalkulyator ketma-ketlik yig'indisi sifatida ma'lum bir raqamni ishlab chiqarsa, u holda seriya yaqinlashadi. Aks holda, siz "Series konvergentsiya testi" bandiga e'tibor berishingiz kerak. Agar "ketma birlashadi" iborasi mavjud bo'lsa, u holda qator yaqinlashadi. Agar "seriya farqlanadi" iborasi mavjud bo'lsa, unda ketma-ket ajraladi.
Quyida “Seriyali konvergentsiya testi” bandining barcha mumkin boʻlgan maʼnolarining tarjimasi keltirilgan:
| Matn yoqilgan Ingliz tili | Rus tilida matn |
|---|---|
| Garmonik seriyalar testiga ko'ra, seriyalar ajralib chiqadi. | O'rganilayotgan qatorni garmonik qator bilan solishtirganda, asl qator farqlanadi. |
| Nisbatan test o'z ichiga oladi. | D'Alember testi qatorning yaqinlashuvi haqida javob bera olmaydi. |
| Ildiz testi o'z ichiga oladi. | Radikal Koshi testi seriyaning yaqinlashuvi haqida javob bera olmaydi. |
| Taqqoslash testi orqali seriyalar yaqinlashadi. | Taqqoslash uchun, seriyalar birlashadi |
| Nisbatan test orqali qatorlar yaqinlashadi. | D'Alember testiga ko'ra, ketma-ketlik yaqinlashadi |
| Limit testiga ko'ra, seriyalar ajralib chiqadi. | title=" N->oo uchun qatorning n-chi hadi chegarasi nolga teng emas yoki mavjud emasligiga asoslanadi."> , или указанный предел не существует, сделан вывод о том, что ряд расходится. !} |
Harmonik seriyalar- cheksiz sonli hadlardan tashkil topgan yig'indi, ketma-ket sonlarning o'zaro nisbati. tabiiy diapazon :
∑ k = 1 ∞ 1 k = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ + 1 k + ⋯ (\displaystyle \sum _(k=1)^(\mathcal (\infty ))(\frac (1) )(k))=1+(\frac (1)(2))+(\frac (1)(3))+(\frac (1)(4))+\cdots +(\frac (1) (k))+\cdots).Entsiklopedik YouTube
1 / 5
✪ Raqamlar seriyasi. Asosiy tushunchalar - bezbotvy
✪ Garmonik qatorlar ajralish isboti
✪ Raqamlar seriyasi-9. Dirixle qatorining konvergentsiyasi va divergensiyasi
✪ №1 maslahat. Mat. tahlil. Trigonometrik sistemada Furye qatorlari. Eng oddiy xususiyatlar
✪ MARTALAR. Ko‘rib chiqish
Subtitrlar
Seriyaning birinchi n ta hadi yig‘indisi
Seriyaning alohida a'zolari nolga moyil bo'ladi, lekin ularning yig'indisi farq qiladi. nth qisman miqdor Garmonik qatorning s n soni n-garmonik son deyiladi:
s n = ∑ k = 1 n 1 k = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ + 1 n (\displaystyle s_(n)=\sum _(k=1)^(n)(\frac (1) )(k))=1+(\frac (1)(2))+(\frac (1)(3))+(\frac (1)(4))+\cdots +(\frac (1) (n)))Ba'zi qisman yig'indi qiymatlari
| s 1 = 1 s 2 = 3 2 = 1 , 5 s 3 = 11 6 ≈ 1,833 s 4 = 25 12 ≈ 2,083 s 5 = 137 60 ≈ 2,283 (\displaystyle (\)&s&s(1) \\\\s_(2)&=&(\frac (3)(2))&=&1(,)5\\\\s_(3)&=&(\frac (11)(6))& \taxminan &1(,)833\\\\s_(4)&=&(\frac (25)(12))&\taxminan &2(,)083\\\\s_(5)&=&(\frac (137)(60))&\taxminan &2(,)283\end(matritsa))) | s 6 = 49 20 = 2.45 s 7 = 363.140 ≈ 2.593 s 8 = 761.280 ≈ 2.718 s 10 3 ≈ 7.484 s 10 6 ≈ 14.39 (\s 6 ≈ 14.39 (\s 6 ≈ 14.39) rac (49 )(20))&=&2(,)45\\\\s_(7)&=&(\frac (363)(140))&\taxminan &2(,)593\\\\s_ (8)& =&(\frac (761)(280))&\taxminan &2(,)718\\\\s_(10^(3))&\taxminan &7(,)484\\\\s_( 10^(6) ))&\taxminan &14(,)393\end(matritsa))) |
Eyler formulasi
Qachon qiymat e n → 0 (\displaystyle \varepsilon _(n)\o‘ng ko‘rsatkich 0), shuning uchun, katta uchun n (\displaystyle n):
s n ≈ ln (n) + g (\displaystyle s_(n)\taxminan \ln(n)+\gamma )- birinchisining yig'indisi uchun Eyler formulasi n (\displaystyle n) garmonik qator a'zolari.| n (\displaystyle n) | s n = ∑ k = 1 n 1 k (\displaystyle s_(n)=\sum _(k=1)^(n)(\frac (1)(k))) | ln (n) + g (\displaystyle \ln(n)+\gamma ) | e n (\displaystyle \varepsilon _(n)), (%) |
| 10 | 2,93 | 2,88 | 1,7 |
| 25 | 3,82 | 3,80 | 0,5 |
Garmonik qatorning qisman yig'indisi uchun aniqroq asimptotik formula:
s n ≍ ln (n) + g + 1 2 n - 1 12 n 2 + 1 120 n 4 - 1 252 n 6 ⋯ = ln (n) + g + 1 2 n - ∑ k = 12 2 k n 2 k (\displaystyle s_(n)\asymp \ln(n)+\gamma +(\frac (1)(2n))-(\frac (1)(12n^(2))))+(\ frac (1)(120n^(4)))-(\frac (1)(252n^(6)))\nuqta =\ln(n)+\gamma +(\frac (1)(2n))- \sum _(k=1)^(\infty )(\frac (B_(2k))(2k\,n^(2k)))), Qayerda B 2 k (\displaystyle B_(2k)) - Bernoulli raqamlari.Bu seriya farqlanadi, lekin uning hisob-kitoblarida xatolik hech qachon birinchi bekor qilingan atamaning yarmidan oshmaydi.
Qisman summalarning son-nazariy xossalari
∀ n > 1 s n ∉ N (\displaystyle \forall n>1\;\;\;\;s_(n)\notin \mathbb (N) )
Seriyalarning farqlanishi
S n → ∞ (\displaystyle s_(n)\o‘ng ko‘rsatkich \infty ) da n → ∞ (\displaystyle n\o‘ng ko‘rsatkich \infty )
Garmonik qator ajraladi juda sekin (qisman yig'indi 100 dan oshishi uchun seriyaning taxminan 10 43 elementi kerak bo'ladi).
Garmonik qatorning divergentsiyasini uni bilan solishtirish orqali ko'rsatish mumkin teleskopik qator :
v n = ln (n + 1) - ln n = ln (1 + 1 n) ∼ + ∞ 1 n (\displaystyle v_(n)=\ln(n+1)-\ln n=\ln \ left(1+(\frac (1)(n))\right)(\ underset (+\infty )(\sim ))(\frac (1)(n))),uning qisman yig'indisi aniq:
∑ i = 1 n − 1 v i = ln n ∼ s n (\displaystyle \sum _(i=1)^(n-1)v_(i)=\ln n\sim s_(n)).Oresmening isboti
Ajralish isboti atamalarni quyidagi tarzda guruhlash orqali tuzilishi mumkin:
∑ k = 1 ∞ 1 k = 1 + [ 1 2 ] + [ 1 3 + 1 4 ] + [ 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 ] + [ 1 9 + ⋯ ] + ⋯ > 1 + [ 1 2 ] + [ 1 4 + 1 4 ] + [ 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 ] + [ 1 16 + ⋯ ] + ⋯ = 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + ⋯. (\displaystyle (\begin(hizalangan)\sum _(k=1)^(\infty )(\frac (1)(k))&()=1+\chap[(\frac (1)(2) )\right]+\left[(\frac (1)(3))+(\frac (1)(4))\right]+\left[(\frac (1)(5))+(\frac (1)(6))+(\frac (1)(7))+(\frac (1)(8))\o'ng]+\chap[(\frac (1)(9))+\cdots \ o'ng]+\cdots \\&()>1+\chap[(\frac (1)(2))\o'ng]+\left[(\frac (1)(4))+(\frac (1) (4))\o'ng]+\left[(\frac (1)(8))+(\frac (1)(8))+(\frac (1)(8))+(\frac (1) (8))\o'ng]+\left[(\frac (1)(16))+\cdots \o'ng]+\cdots \\&()=1+\ (\frac (1)(2))\ \ \ +\ to'rt (\ frac (1) (2)) \ \ to'rt +\ \ qquad \ to'rt (\ frac (1) (2)) \ qquad \ \ to'rt \ +\ to'rt \ \ (\ frac (1) )(2))\ \quad +\ \cdots .\end(hizalangan)))Oxirgi qator aniq farq qiladi. Bu dalil o'rta asr olimidan keladi Nikolay Orem(taxminan 1350).
Farqlanishning muqobil isboti
Biz o'quvchini ushbu dalilning noto'g'riligini tekshirishga taklif qilamiz
O'rtasidagi farq n (\displaystyle n) th garmonik son va natural logarifm n (\displaystyle n) ga yaqinlashadi Eyler-Mascheroni doimiysi.
Har xil garmonik sonlar orasidagi farq hech qachon butun songa teng bo'lmaydi va garmonik sondan tashqari hech kim H 1 = 1 (\displaystyle H_(1)=1), butun son emas.
Tegishli seriyalar
Dirixlet seriyasi
Umumiy garmonik qator (yoki Dirichlet yonida) qator deyiladi
∑ k = 1 ∞ 1 k a = 1 + 1 2 a + 1 3 a + 1 4 a + ⋯ + 1 k a + ⋯ (\displaystyle \sum _(k=1)^(\infty )(\frac () 1)(k^(\alpha )))=1+(\frac (1)(2^(\alpha )))+(\frac (1)(3^(\alpha )))+(\frac () 1)(4^(\alpha )))+\cdots +(\frac (1)(k^(\alpha )))+\cdots ).Umumlashtirilgan garmonik qatorlar da farqlanadi a ⩽ 1 (\displaystyle \alpha \leqslant 1) va da birlashadi a > 1 (\displaystyle \alpha >1) .
Tartibning umumlashgan garmonik qatorlari yig'indisi a (\displaystyle \alpha) qiymatiga teng Riemann zeta funktsiyalari :
∑ k = 1 ∞ 1 k a = z (a) (\displaystyle \sum _(k=1)^(\infty )(\frac (1)(k^(\alpha )))=\zeta (\alpha) ))Juft sonlar uchun bu qiymat orqali aniq ifodalanadi Pi, Masalan, z (2) = p 2 6 (\displaystyle \zeta (2)=(\frac (\pi ^(2))(6))), va allaqachon a=3 uchun uning qiymati analitik jihatdan noma'lum.
Garmonik qatorlarning divergentsiyasining yana bir misoli munosabat bo'lishi mumkin z (1 + 1 n) ∼ n (\displaystyle \zeta (1+(\frac (1)(n)))\sim n) . Shuning uchun ular bunday qator 1 ehtimolga ega va qatorlar yig'indisi deb aytishadi tasodifiy qiymat qiziqarli xususiyatlar bilan. Masalan, ehtimollik-zichlik-funksiya, +2 yoki -2 nuqtalarda hisoblangan qiymat quyidagi qiymatga ega:
0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7 642 …,⅛ dan 10 −42 dan kam farq qiladi.
"Yupqalashtirilgan" garmonik qator
Kempner seriyasi (inglizcha)Agar maxrajlarida 9 raqami bo'lmagan faqat atamalar qoladigan garmonik qatorni ko'rib chiqsak, qolgan yig'indi raqamga yaqinlashadi.<80 . Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно заключать о сходимости исходного гармонического ряда, так как с ростом разрядов в числе n (\displaystyle n), "yupqalashtirilgan" qatorlar yig'indisi uchun kamroq va kamroq shartlar olinadi. Ya'ni, oxir-oqibat, garmonik qatorlar yig'indisini tashkil etuvchi atamalarning katta qismi yuqoridan chegaralangan geometrik progressiyadan oshmaslik uchun o'chiriladi.
Ushbu maqola mashqlar va vazifalarni tahlil qilishda foydali bo'lishi mumkin bo'lgan tuzilgan va batafsil ma'lumotlarni taqdim etadi. Biz raqamlar qatori mavzusini ko'rib chiqamiz.
Ushbu maqola asosiy ta'riflar va tushunchalar bilan boshlanadi. Keyinchalik, biz standart variantlardan foydalanamiz va asosiy formulalarni o'rganamiz. Materialni mustahkamlash uchun maqolada asosiy misollar va vazifalar berilgan.
Asosiy tezislar
Birinchidan, tizimni tasavvur qilaylik: a 1 , a 2 . . . , a n ,. . . , bu yerda a k ∈ R, k = 1, 2. . . .
Masalan, 6, 3, - 3 2, 3 4, 3 8, - 3 16, kabi raqamlarni olaylik. . . .
Ta'rif 1
Raqamlar qatori ∑ a k k = 1 ∞ = a 1 + a 2 + hadlar yig'indisidir. . . + a n +. . . .
Ta'rifni yaxshiroq tushunish uchun q = - 0 bo'lgan ushbu holatni ko'rib chiqing. 5: 8 - 4 + 2 - 1 + 1 2 - 1 4 +. . . = ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k .
Ta'rif 2
a k umumiy yoki k –chi seriyasining a'zosi.
Bu shunday ko'rinadi - 16 · - 1 2 k.
Ta'rif 3
Seriyalarning qisman yig'indisi shunga o'xshash narsa ko'rinadi S n = a 1 + a 2 + . . . + a n , unda n- har qanday raqam. S n nth qator yig'indisi.
Masalan, ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k S 4 = 8 - 4 + 2 - 1 = 5 ga teng.
S 1 , S 2 ,. . . , S n, . . . cheksiz sonlar ketma-ketligini hosil qiladi.
Bir qator uchun nth yig'indi S n = a 1 · (1 - q n) 1 - q = 8 · 1 - - 1 2 n 1 - - 1 2 = 16 3 · 1 - - 1 2 n formula bo'yicha topiladi. Biz qisman yig'indilarning quyidagi ketma-ketligini ishlatamiz: 8, 4, 6, 5, . . . , 16 3 · 1 - - 1 2 n,. . . .
Ta'rif 4
∑ k = 1 ∞ a k qator konvergent ketma-ketlik chekli chegaraga ega bo'lganda S = lim S n n → + ∞ . Agar chegara bo'lmasa yoki ketma-ketlik cheksiz bo'lsa, u holda ∑ k = 1 ∞ a k qator deyiladi. turlicha.
Ta'rif 5
Konvergent qator yig'indisi∑ k = 1 ∞ a k - ketma-ketlikning chegarasi ∑ k = 1 ∞ a k = lim S n n → + ∞ = S.
Bu misolda lim S n n → + ∞ = lim 16 3 t → + ∞ · 1 - 1 2 n = 16 3 · lim n → + ∞ 1 - - 1 2 n = 16 3 , qator ∑ k = 1 ∞ ( - 16) · - 1 2 k yaqinlashadi. Yig'indi 16 3 ga teng: ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k = 16 3 .
1-misol
Divergent qatorlarga maxraji birdan katta bo'lgan geometrik progressiyaning yig'indisi misol bo'la oladi: 1 + 2 + 4 + 8 +. . . + 2 n - 1 +. . . = ∑ k = 1 ∞ 2 k - 1.
n-chi qisman yig'indi S n = a 1 (1 - q n) 1 - q = 1 (1 - 2 n) 1 - 2 = 2 n - 1 bilan berilgan va qisman yig'indilarning chegarasi cheksizdir: lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ (2 n - 1) = + ∞ .
Divergent sonlar qatoriga yana bir misol ∑ k = 1 ∞ 5 = 5 + 5 + ko'rinishdagi yig'indidir. . . . Bunday holda, n-chi qisman yig'indini Sn = 5n sifatida hisoblash mumkin. Qisman yig'indilarning chegarasi cheksiz lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ 5 n = + ∞.
Ta'rif 6
∑ k = 1 ∞ = 1 + 1 2 + 1 3 + bilan bir xil shakldagi yig'indi. . . + 1 n +. . . - Bu garmonik raqamlar seriyasi.
Ta'rif 7
Yig'indi ∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s +. . . + 1 n s + . . . , Qayerda s– haqiqiy son, umumlashgan garmonik sonlar qatori.
Yuqorida muhokama qilingan ta'riflar sizga ko'pgina misollar va muammolarni hal qilishga yordam beradi.
Ta'riflarni to'ldirish uchun ma'lum tenglamalarni isbotlash kerak.
- ∑ k = 1 ∞ 1 k – divergent.
Biz teskari usuldan foydalanamiz. Agar u yaqinlashsa, chegara cheklangan. Tenglamani lim n → + ∞ S n = S va lim n → + ∞ S 2 n = S shaklida yozishimiz mumkin. Muayyan harakatlardan keyin l i m n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 tengligini olamiz.
qarshi,
S 2 n - S n = 1 + 1 2 + 1 3 +. . . + 1 n + 1 n + 1 + 1 n + 2 +. . . + 1 2 n - - 1 + 1 2 + 1 3 +. . . + 1 n = 1 n + 1 + 1 n + 2 +. . . + 1 2 n
Quyidagi tengsizliklar o‘rinli: 1 n + 1 > 1 2 n, 1 n + 1 > 1 2 n, . . . , 1 2 n - 1 > 1 2 n. Biz S 2 n - S n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + ni olamiz. . . + 1 2 n > 1 2 n + 1 2 n +. . . + 1 2 n = n 2 n = 1 2. S 2 n - S n > 1 2 ifodasi lim n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 ga erishilmasligini bildiradi. Seriya turlicha.
- b 1 + b 1 q + b 1 q 2 +. . . + b 1 q n +. . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 q k - 1
Raqamlar ketma-ketligi yig'indisi q da yaqinlashishini tasdiqlash kerak< 1 , и расходится при q ≥ 1 .
Yuqoridagi ta'riflarga ko'ra, miqdor n atamalar S n = b 1 · (q n - 1) q - 1 formulasi bo'yicha aniqlanadi.
Agar q< 1 верно
lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · q n - 1 q - 1 = b 1 · lim n → + ∞ q n q - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 · 0 - 1 q - 1 = b 1 q - 1
Biz sonlar qatorining yaqinlashishini isbotladik.
q = 1 b 1 + b 1 + b 1 + uchun. . . ∑ k = 1 ∞ b 1. Yig'indilarni S n = b 1 · n formulasi yordamida topish mumkin, chegara cheksiz lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · n = ∞. Taqdim etilgan versiyada seriyalar ajralib turadi.
Agar q = - 1, keyin qator b 1 - b 1 + b 1 - kabi ko'rinadi. . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 (- 1) k + 1 . Qisman summalar toq uchun S n = b 1 ga o'xshaydi n, va juftlik uchun S n = 0 n. Ushbu ishni ko'rib chiqqach, biz hech qanday chegara yo'qligiga va ketma-ketlik divergentligiga ishonch hosil qilamiz.
q > 1 uchun lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · (q n - 1) q - 1 = b 1 · lim n → + ∞ q n q - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 · ∞ - 1 q - 1 = ∞
Biz raqamlar qatori bir-biridan farq qilishini isbotladik.
- ∑ k = 1 ∞ 1 k s qator yaqinlashadi, agar s > 1 va agar s ≤ 1 bo'lsa, ajralib chiqadi.
Uchun s = 1 biz ∑ k = 1 ∞ 1 k ni olamiz, qator uzoqlashadi.
Qachon s< 1 получаем 1 k s ≥ 1 k для k,natural son. Seriya divergent ∑ k = 1 ∞ 1 k bo'lgani uchun chegara yo'q. Shundan keyin ∑ k = 1 ∞ 1 k s ketma-ketlik chegaralanmagan. Biz tanlangan qator qachon farqlanadi, degan xulosaga keldik s< 1 .
∑ k = 1 ∞ 1 k s qatorning yaqinlashishiga dalil keltirish kerak. s > 1.
S 2 n - 1 - S n - 1 ni tasavvur qilaylik:
S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 + 1 2 s + 1 3 s +. . . + 1 (n - 1) s + 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s - - 1 + 1 2 s + 1 3 s + . . . + 1 (n - 1) s = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s
Faraz qilaylik, 1 (n + 1) s< 1 n s , 1 (n + 2) s < 1 n s , . . . , 1 (2 n - 1) s < 1 n s , тогда S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s < < 1 n s + 1 n s + . . . + 1 n s = n n s = 1 n s - 1
Tabiiy va hatto n = 2 bo'lgan sonlar uchun tenglamani tasavvur qilaylik: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 3 - S 1 = 1 2 s + 1 3 s.< 1 2 s - 1 n = 4: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 7 - S 3 = 1 4 s + 1 5 s + 1 6 s + 1 7 s < 1 4 s - 1 = 1 2 s - 1 2 n = 8: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 15 - S 7 = 1 8 s + 1 9 s + . . . + 1 15 s < 1 8 s - 1 = 1 2 s - 1 3 . . .
Biz olamiz:
∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + 1 4 s +. . . + 1 7 s + 1 8 s + . . . + 1 15 s +. . . = = 1 + S 3 - S 1 + S 7 - S 3 + S 15 + S 7 +. . .< < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . .
Ifodasi 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 +. . . q = 1 2 s - 1 geometrik progressiyaning yig'indisidir. Dastlabki ma'lumotlarga ko'ra s > 1, keyin 0< q < 1 . Получаем, ∑ k = 1 ∞ < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . = 1 1 - q = 1 1 - 1 2 s - 1 . Последовательность ряда при s > 1 ortadi va 1 1 - 1 2 s - 1 dan yuqoridan cheklanadi. Tasavvur qilaylik, chegara bor va qator yaqinlashuvchi ∑ k = 1 ∞ 1 k s .
Ta'rif 8
Seriya ∑ k = 1 ∞ a k u holda ijobiydir, agar uning a'zolari > 0 a k > 0 bo'lsa, k = 1, 2,. . . .
Seriya ∑ k = 1 ∞ b k signal beruvchi, agar raqamlarning belgilari boshqacha bo'lsa. Bu misol ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · a k yoki ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 · a k , bu erda a k > 0, k = 1, 2,. . . .
Seriya ∑ k = 1 ∞ b k muqobil, chunki u ko'p sonlarni o'z ichiga oladi, salbiy va ijobiy.
Ikkinchi variant seriyasi uchinchi variantning alohida holatidir.
Quyida har bir holat uchun misollar keltirilgan:
6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . . 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . .
Uchinchi variant uchun siz mutlaq va shartli yaqinlashuvni ham aniqlashingiz mumkin.
Ta'rif 9
∑ k = 1 ∞ b k qatori ∑ k = 1 ∞ b k ham yaqinlashuvchi deb hisoblangan holatda mutlaqo yaqinlashuvchidir.
Keling, bir nechta odatiy variantlarni batafsil ko'rib chiqaylik.
2-misol
Agar qatorlar 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 + bo'lsa. . . va 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 +. . . konvergent sifatida aniqlanadi, u holda 6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + deb taxmin qilish to'g'ri bo'ladi. . .
Ta'rif 10
O‘zgaruvchan ∑ k = 1 ∞ b k qator shartli yaqinlashuvchi hisoblanadi, agar ∑ k = 1 ∞ b k divergent bo‘lsa, ∑ k = 1 ∞ b k qator esa yaqinlashuvchi hisoblanadi.
3-misol
∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + variantini batafsil ko'rib chiqamiz. . . . Mutlaq qiymatlardan tashkil topgan ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = ∑ k = 1 ∞ 1 k qator divergent sifatida aniqlanadi. Bu variant konvergent hisoblanadi, chunki uni aniqlash oson. Bu misoldan biz ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + qatorini bilib olamiz. . . shartli konvergent hisoblanadi.
Konvergent qatorlarning xususiyatlari
Keling, ayrim holatlar uchun xususiyatlarni tahlil qilaylik
- Agar ∑ k = 1 ∞ a k yaqinlashsa, u holda ∑ k = m + 1 ∞ a k qator ham yaqinlashuvchi hisoblanadi. Bu holda qator ekanligini ta'kidlash mumkin m atamalar ham konvergent hisoblanadi. Agar ∑ k = m + 1 ∞ a k ga bir nechta son qo'shsak, natijada olingan natija ham yaqinlashuvchi bo'ladi.
- Agar ∑ k = 1 ∞ a k yaqinlashadi va yig'indi = S, u holda ∑ k = 1 ∞ A · a k, ∑ k = 1 ∞ A · a k = A · S qatorlari ham yaqinlashadi, bunda A-doimiy.
- Agar ∑ k = 1 ∞ a k va ∑ k = 1 ∞ b k yaqinlashuvchi bo‘lsa, yig‘indilar A Va B ham, u holda ∑ k = 1 ∞ a k + b k va ∑ k = 1 ∞ a k - b k qatorlari ham yaqinlashadi. Miqdorlar teng bo'ladi A+B Va A - B mos ravishda.
Qator ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 ga yaqinlashishini aniqlang.
∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 = ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 ifodani o‘zgartiramiz. ∑ k = 1 ∞ 1 k 4 3 qator yaqinlashuvchi hisoblanadi, chunki ∑ k = 1 ∞ 1 k s qator qachon yaqinlashadi s > 1. Ikkinchi xususiyatga ko'ra, ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 .
5-misol
∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 qator yaqinlashishini aniqlang.
Keling, asl nusxani ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + n n 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + ∑ n = 1 ∞1 ni o‘zgartiramiz.
Biz ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 va ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 yig‘indisini olamiz. Har bir qator xossaga ko'ra konvergent hisoblanadi. Shunday qilib, ketma-ketlik yaqinlashganda, asl nusxa ham o'zgaradi.
6-misol
1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + qatorlari yaqinlashish yoki yaqinlashmasligini hisoblang. . . va miqdorini hisoblang.
Keling, asl versiyani kengaytiramiz:
1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 +. . . = = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 +. . . - 2 · 3 + 1 + 1 3 + 1 9 +. . . = = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 · ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2
Har bir qator yaqinlashadi, chunki u sonlar qatorining a'zolaridan biridir. Uchinchi xususiyatga ko'ra, biz dastlabki versiyaning ham konvergent ekanligini hisoblashimiz mumkin. Yig'indini hisoblaymiz: qatorning birinchi hadi ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1, maxraj esa = 0. 5, undan keyin, ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1 1 - 0. 5 = 2. Birinchi had ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3, kamayib borayotgan sonlar qatorining maxraji esa = 1 3 ga teng. Biz quyidagilarni olamiz: ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 1 - 1 3 = 9 2 .
1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + yig'indisini aniqlash uchun yuqorida olingan ifodalardan foydalanamiz. . . = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 2 - 2 9 2 = - 7
Seriyaning yaqinlashishini aniqlash uchun zaruriy shart
Ta'rif 11Agar ∑ k = 1 ∞ a k qator yaqinlashuvchi bo'lsa, uning chegarasi kth term = 0: lim k → + ∞ a k = 0 .
Har qanday variantni tekshiradigan bo'lsak, ajralmas holat haqida unutmasligimiz kerak. Agar u bajarilmasa, seriyalar ajralib chiqadi. Agar lim k → + ∞ a k ≠ 0 bo‘lsa, qator divergent hisoblanadi.
Vaziyat muhim, ammo etarli emasligini aniqlashtirish kerak. Agar lim k → + ∞ a k = 0 tengligi bajarilsa, bu ∑ k = 1 ∞ a k ning yaqinlashuvchi ekanligini kafolatlamaydi.
Keling, misol keltiraylik. ∑ k = 1 ∞ 1 k garmonik qator uchun shart bajariladi lim k → + ∞ 1 k = 0, lekin qator baribir ajralib turadi.
7-misol
∑ n = 1 ∞ n 2 1 + n yaqinlashuvni aniqlang.
lim n → + ∞ n 2 1 + n = lim n → + ∞ n 2 n 2 1 n 2 + 1 n = lim n → + ∞ 1 1 n 2 + 1 n shartning bajarilishi uchun dastlabki ifodani tekshirib ko‘ramiz. = 1 + 0 + 0 = + ∞ ≠ 0
Cheklash nth a'zo 0 ga teng emas. Biz bu seriyaning bir-biridan farq qilishini isbotladik.
Ijobiy qatorning yaqinlashuvini qanday aniqlash mumkin.
Agar siz doimo ushbu xususiyatlardan foydalansangiz, siz doimiy ravishda chegaralarni hisoblashingiz kerak bo'ladi. Ushbu bo'lim sizga misollar va muammolarni hal qilishda qiyinchiliklardan qochishga yordam beradi. Musbat qatorning yaqinlashuvini aniqlash uchun ma'lum bir shart mavjud.
∑ k = 1 ∞ a k, a k > 0 ∀ k = 1, 2, 3, musbat belgining yaqinlashuvi uchun. . . summalarning cheklangan ketma-ketligini aniqlash kerak.
Seriyalarni qanday taqqoslash mumkin
Seriyalarni taqqoslashning bir qancha belgilari mavjud. Yaqinlashuvi aniqlanishi taklif qilingan qatorni yaqinlashuvi ma’lum bo‘lgan qatorlar bilan solishtiramiz.
Birinchi belgi
∑ k = 1 ∞ a k va ∑ k = 1 ∞ b k musbat ishorali qatorlardir. a k ≤ b k tengsizlik uchun amal qiladi k = 1, 2, 3, ... Bundan kelib chiqadiki, ∑ k = 1 ∞ b k qatordan ∑ k = 1 ∞ a k ni olishimiz mumkin. ∑ k = 1 ∞ a k divergent bo'lgani uchun ∑ k = 1 ∞ b k qatorni divergent sifatida aniqlash mumkin.
Ushbu qoida doimo tenglamalarni echish uchun ishlatiladi va yaqinlashuvni aniqlashga yordam beradigan jiddiy argumentdir. Qiyinchilik shundaki, har bir holatda taqqoslash uchun mos misolni topish mumkin emas. Ko'pincha, ketma-ketlik indikator printsipiga ko'ra tanlanadi kth had son va maxrajning darajalarini ayirish natijasiga teng bo'ladi kth seriyasining a'zosi. Faraz qilaylik, a k = k 2 + 3 4 k 2 + 5 bo‘lsa, farq teng bo‘ladi. 2 – 3 = - 1 . IN Ushbu holatda bilan qatorni solishtirish uchun ekanligini aniqlash mumkin k-chi muddatli b k = k - 1 = 1 k, bu harmonikdir.
Olingan materialni birlashtirish uchun biz bir nechta odatiy variantlarni batafsil ko'rib chiqamiz.
8-misol
∑ k = 1 ∞ 1 k - 1 2 qator nima ekanligini aniqlang.
Limit = 0 lim k → + ∞ 1 k - 1 2 = 0 bo'lgani uchun biz bajardik. zarur shart. Tengsizlik adolatli bo'ladi 1 k< 1 k - 1 2 для k, bu tabiiydir. Oldingi paragraflardan biz ∑ k = 1 ∞ 1 k garmonik qator divergent ekanligini bilib oldik. Birinchi mezonga ko'ra, asl nusxaning farqli ekanligini isbotlash mumkin.
9-misol
Ketmalarning yaqinlashuvchi yoki divergentligini aniqlang ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 .
Bu misolda zarur shart bajarilgan, chunki lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 = 0. Biz uni 1 k 3 + 3 k - 1 tengsizlik sifatida ifodalaymiz< 1 k 3 для любого значения k. ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 qator yaqinlashadi, chunki garmonik qator ∑ k = 1 ∞ 1 k s uchun yaqinlashadi. s > 1. Birinchi mezonga ko'ra, raqamlar qatori yaqinlashuvchi degan xulosaga kelishimiz mumkin.
10-misol
∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) qator nima ekanligini aniqlang. lim k → + ∞ 1 k ln (ln k) = 1 + ∞ + ∞ = 0.
Ushbu parametrda siz kerakli shartning bajarilishini belgilashingiz mumkin. Taqqoslash uchun qatorni belgilaymiz. Masalan, ∑ k = 1 ∞ 1 k s. Darajaning nima ekanligini aniqlash uchun ketma-ketlikni ko'rib chiqing (ln (ln k)), k = 3, 4, 5. . . . Ketma-ket a'zolar ln (ln 3) , ln (ln 4) , ln (ln 5) , . . . cheksizgacha ortadi. Tenglamani tahlil qilib, shuni ta'kidlashimiz mumkinki, qiymat sifatida N = 1619, keyin ketma-ketlik shartlari > 2 ga teng. Bu ketma-ketlik uchun 1 k ln (ln k) tengsizlik to'g'ri bo'ladi< 1 k 2 . Ряд ∑ k = N ∞ 1 k 2 сходится согласно первому признаку, так как ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 тоже сходящийся. Отметим, что согласно первому признаку ряд ∑ k = N ∞ 1 k ln (ln k) сходящийся. Можно сделать вывод, что ряд ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) также сходящийся.
Ikkinchi belgi
∑ k = 1 ∞ a k va ∑ k = 1 ∞ b k musbat sonlar qatori deb faraz qilaylik.
Agar lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ bo‘lsa, u holda ∑ k = 1 ∞ b k qator yaqinlashadi va ∑ k = 1 ∞ a k ham yaqinlashadi.
Agar lim k → + ∞ a k b k ≠ 0 bo‘lsa, u holda ∑ k = 1 ∞ b k qator ajratilganligi sababli, ∑ k = 1 ∞ a k ham ayirboshlanadi.
Agar lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ va lim k → + ∞ a k b k ≠ 0 bo‘lsa, qatorning yaqinlashuvi yoki divergentsiyasi boshqasining yaqinlashishi yoki divergensiyasini bildiradi.
∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 ni ikkinchi belgi yordamida ko'rib chiqing. Taqqoslash uchun ∑ k = 1 ∞ b k ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 yaqinlashuvchi qatorni olamiz. Limitni aniqlaymiz: lim k → + ∞ a k b k = lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 1 k 3 = lim k → + ∞ k 3 k 3 + 3 k - 1 = 1
Ikkinchi mezonga ko'ra, ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 yaqinlashuvchi qator asl nusxaning ham yaqinlashishini bildirishini aniqlash mumkin.
11-misol
∑ n = 1 ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 qator nima ekanligini aniqlang.
Ushbu versiyada qanoatlantiriladigan lim k → ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 = 0 zarur shartni tahlil qilaylik. Ikkinchi mezonga ko'ra, ∑ k = 1 ∞ 1 k qatorni oling. Biz chegarani qidiramiz: lim k → + ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 1 k = lim k → + ∞ k 3 + 3 k 4 k 3 + 5 = 1 4
Yuqoridagi tezislarga ko'ra, divergent qator asl qatorning divergentsiyasini keltirib chiqaradi.
Uchinchi belgi
Taqqoslashning uchinchi belgisini ko'rib chiqaylik.
∑ k = 1 ∞ a k va _ ∑ k = 1 ∞ b k musbat son qator deb faraz qilaylik. Agar ma'lum a k + 1 a k ≤ b k + 1 b k uchun shart bajarilsa, bu qatorning yaqinlashuvi ∑ k = 1 ∞ b k ∑ k = 1 ∞ a k qator ham yaqinlashuvchi ekanligini bildiradi. Divergent qator ∑ k = 1 ∞ a k divergentsiyani ∑ k = 1 ∞ b k.
D'Alembert belgisi
Tasavvur qilaylik, ∑ k = 1 ∞ a k musbat sonlar qatori. Agar lim k → + ∞ a k + 1 a k bo‘lsa< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k + 1 a k >1, keyin divergent.
Eslatma 1
Agar chegara cheksiz bo'lsa, D'Alember testi haqiqiydir.
Agar lim k → + ∞ a k + 1 a k = - ∞ bo‘lsa, qator yaqinlashuvchi, agar lim k → ∞ a k + 1 a k = + ∞ bo‘lsa, u divergent hisoblanadi.
Agar lim k → + ∞ a k + 1 a k = 1 bo‘lsa, u holda d'Alember belgisi yordam bermaydi va yana bir qancha tadqiqotlar talab etiladi.
12-misol
D’Alember mezoni yordamida qator yaqinlashuvchi yoki divergent ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 2 k ekanligini aniqlang.
Kerakli yaqinlashuv sharti bajarilganligini tekshirish kerak. Limitni L'Hopital qoidasi yordamida hisoblaymiz: lim k → + ∞ 2 k + 1 2 k = ∞ ∞ = lim k → + ∞ 2 k + 1 " 2 k " = lim k → + ∞ 2 2 k ln 2 = 2 + ∞ ln 2 = 0
Shart bajarilganligini ko'rishimiz mumkin. D'Alember testidan foydalanamiz: lim k → + ∞ = lim k → + ∞ 2 (k + 1) + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k = 1 2 lim k → + ∞ 2 k + 3 2 k + 1 = 12< 1
Seriya konvergent hisoblanadi.
13-misol
Qatlamning divergent ∑ k = 1 ∞ k k k ekanligini aniqlang! .
Qatorning divergensiyasini aniqlash uchun d'Alember testidan foydalanamiz: lim k → + ∞ a k + 1 a k = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 (k + 1) ! k k k! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 · k ! k k · (k + 1) ! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 k k · (k + 1) = = lim k → + ∞ (k + 1) k k k = lim k → + ∞ k + 1 k k = lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e > 1
Shuning uchun seriyalar bir-biridan farq qiladi.
Radikal Koshi belgisi
∑ k = 1 ∞ a k musbat ishorali qator deb faraz qilaylik. Agar lim k → + ∞ a k k bo‘lsa< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k k >1, keyin divergent.
Eslatma 2
Agar lim k → + ∞ a k k = 1 bo'lsa, bu belgi hech qanday ma'lumot bermaydi - qo'shimcha tahlil talab qilinadi.
Bu xususiyatni aniqlash oson bo'lgan misollarda foydalanish mumkin. Raqamlar qatorining a'zosi ko'rsatkichli daraja ifodasi bo'lsa, holat odatiy bo'ladi.
Qabul qilingan ma'lumotlarni birlashtirish uchun bir nechta tipik misollarni ko'rib chiqaylik.
14-misol
∑ k = 1 ∞ 1 (2 k + 1) k musbat ishorali qator yaqinlashuvchi yoki yo‘qligini aniqlang.
Kerakli shart bajarilgan deb hisoblanadi, chunki lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k = 1 + ∞ + ∞ = 0.
Yuqorida muhokama qilingan mezonga ko'ra, biz lim k → + ∞ a k k = lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k k = lim k → + ∞ 1 2 k + 1 = 0 ni olamiz.< 1 . Данный ряд является сходимым.
15-misol
∑ k = 1 ∞ 1 3 k · 1 + 1 k k 2 sonlar qatori yaqinlashadimi?
Biz oldingi bandda tasvirlangan xususiyatdan foydalanamiz lim k → + ∞ 1 3 k 1 + 1 k k 2 k = 1 3 lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e 3< 1 , следовательно, числовой ряд сходится.
Integral Koshi testi
∑ k = 1 ∞ a k musbat ishorali qator deb faraz qilaylik. Uzluksiz argument funktsiyasini belgilash kerak y = f(x), bu n = f (n) bilan mos keladi. Agar y = f(x) noldan katta, uzilmaydi va [ a ga kamayadi; + ∞) , bu erda a ≥ 1
Keyin har holda noto'g'ri integral∫ a + ∞ f (x) d x yaqinlashuvchi, u holda ko'rib chiqilayotgan qator ham yaqinlashuvchi bo'ladi. Agar u farqlansa, ko'rib chiqilayotgan misolda qator ham ajralib chiqadi.
Funksiyaning kamayib borayotganini tekshirishda oldingi darslarda o‘tilgan materialdan foydalanishingiz mumkin.
16-misol
Konvergentsiya uchun ∑ k = 2 ∞ 1 k · ln k misolini ko'rib chiqing.
lim k → + ∞ 1 k · ln k = 1 + ∞ = 0 bo'lgani uchun qatorning yaqinlashuv sharti bajarilgan deb hisoblanadi. y = 1 x ln x deb hisoblaymiz. U noldan katta, uzilmaydi va [ 2 ga kamayadi; + ∞) . Birinchi ikki nuqta aniq ma'lum, ammo uchinchisini batafsilroq muhokama qilish kerak. Hosilani toping: y " = 1 x · ln x " = x · ln x " x · ln x 2 = ln x + x · 1 x x · ln x 2 = - ln x + 1 x · ln x 2. Bu noldan kichik [ 2 ; + ∞).Bu funksiya kamayib borayotgan tezisni isbotlaydi.
Aslida, y = 1 x ln x funktsiyasi biz yuqorida ko'rib chiqilgan printsipning xususiyatlariga mos keladi. Undan foydalanamiz: ∫ 2 + ∞ d x x · ln x = lim A → + ∞ ∫ 2 A d (ln x) ln x = lim A → + ∞ ln (ln x) 2 A = = lim A → + ∞ (ln) ( ln A) - ln (ln 2)) = ln (ln (+ ∞)) - ln (ln 2) = + ∞
Olingan natijalarga ko'ra, asl misol farqlanadi, chunki noto'g'ri integral divergent hisoblanadi.
17-misol
∑ k = 1 ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 qatorning yaqinlashuvini isbotlang.
lim k → + ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 = 1 + ∞ = 0 bo'lgani uchun shart bajarilgan deb hisoblanadi.
k = 4 dan boshlab, to'g'ri ifoda 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3< 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .
Agar ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 qator yaqinlashuvchi deb hisoblansa, u holda taqqoslash tamoyillaridan biriga ko'ra, ∑ k = 4 ∞ 1 (10) qatorga teng bo'ladi. k - 9) ( ln (5 k + 8)) 3 ham yaqinlashuvchi hisoblanadi. Shu tarzda biz asl ifodaning ham konvergent ekanligini aniqlashimiz mumkin.
Isbotga o'tamiz: ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .
y = 1 5 x + 8 (ln (5 x + 8)) 3 funksiya noldan katta bo lgani uchun u uzilmaydi va [ 4 ga kamayadi; + ∞) . Biz oldingi paragrafda tasvirlangan xususiyatdan foydalanamiz:
∫ 4 + ∞ d x (5 x + 8) (l n (5 x + 8)) 3 = lim A → + ∞ ∫ 4 A d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = = 1 5 lim A → + ∞ ∫ 4 A d (ln (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = - 1 10 lim A → + ∞ 1 (ln (5 x + 8)) 2 | 4 A = = - 1 10 lim A → + ∞ 1 (ln (5 A + 8)) 2 - 1 (ln (5 4 + 8)) 2 = = - 1 10 1 + ∞ - 1 (ln 28) 2 = 1 10 · ln 28 2
Olingan konvergent qatorda ∫ 4 + ∞ d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3, ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k +) ekanligini aniqlashimiz mumkin. 8 )) 3 ham yaqinlashadi.
Raabe belgisi
∑ k = 1 ∞ a k musbat sonlar qatori deb faraz qilaylik.
Agar lim k → + ∞ k · a k a k + 1 bo‘lsa< 1 , то ряд расходится, если lim k → + ∞ k · a k a k + 1 - 1 >1, keyin u birlashadi.
Agar yuqorida tavsiflangan usullar ko'rinadigan natijalarni bermasa, ushbu aniqlash usulidan foydalanish mumkin.
Mutlaq konvergentsiyani o'rganish
Tadqiqot uchun ∑ k = 1 ∞ b k ni olamiz. Biz ∑ k = 1 ∞ b k musbat belgidan foydalanamiz. Biz yuqorida tavsiflangan har qanday mos xususiyatlardan foydalanishimiz mumkin. Agar ∑ k = 1 ∞ b k qator yaqinlashsa, asl qator absolyut yaqinlashadi.
18-misol
∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 qatorni yaqinlashuv uchun ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 = ∑ k = 1 ∞ 1 3 k qatorini o‘rganing. 3 + 2 k - 1.
Shart bajariladi lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 = 1 + ∞ = 0 . ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 2 dan foydalanamiz va ikkinchi belgidan foydalanamiz: lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 1 k 3 2 = 1 3 .
∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 qator yaqinlashadi. Asl seriya ham mutlaqo konvergentdir.
O'zgaruvchan qatorlarning divergentsiyasi
Agar ∑ k = 1 ∞ b k qator divergent bo'lsa, u holda mos keladigan o'zgaruvchan ∑ k = 1 ∞ b k qator yo divergent yoki shartli yaqinlashuvchi bo'ladi.
∑ k = 1 ∞ b k modullaridan ajralishdan ∑ k = 1 ∞ b k haqida xulosa chiqarishga faqat d'Alember testi va Koshining radikal testi yordam beradi. ∑ k = 1 ∞ b k qator ham zarur yaqinlashuv sharti bajarilmasa, ya'ni lim k → ∞ + b k ≠ 0 bo'lsa, ajralib chiqadi.
19-misol
Divergensiyani tekshirish 1 7, 2 7 2, - 6 7 3, 24 7 4, 120 7 5 - 720 7 6,. . . .
Modul kth atama b k = k shaklida ifodalanadi! 7 k.
∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k qatorni tekshiramiz! d'Alember mezoni yordamida yaqinlashish uchun 7 k: lim k → + ∞ b k + 1 b k = lim k → + ∞ (k + 1) ! 7 k + 1 k! 7 k = 1 7 · lim k → + ∞ (k + 1) = + ∞ .
∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k! 7 k asl nusxadagi kabi farqlanadi.
20-misol
∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) konvergent hisoblanadi.
Kerakli shartni ko'rib chiqamiz lim k → + ∞ b k = lim k → + ∞ k 2 + 1 ln (k + 1) = ∞ ∞ = lim k → + ∞ = k 2 + 1 " (ln (k + 1)) " = = lim k → + ∞ 2 k 1 k + 1 = lim k → + ∞ 2 k (k + 1) = + ∞ . Shart bajarilmagan, shuning uchun ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) qator farqlanadi. Limit L'Hopital qoidasi yordamida hisoblab chiqilgan.
Shartli yaqinlashish mezonlari
Leybnits testi
Ta'rif 12Agar o'zgaruvchan qator shartlarining qiymatlari kamaysa b 1 > b 2 > b 3 > . . . > . . . va modul chegarasi = 0 sifatida k → + ∞, keyin ∑ k = 1 ∞ b k qator yaqinlashadi.
17-misol
Konvergentsiya uchun ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) ni hisobga oling.
Seriya ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) shaklida ifodalanadi. Kerakli shart bajariladi: lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 . lim k → + ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) 1 k = lim k → + ∞ 2 k + 1 5 (k + 1) = 2 5 ikkinchi taqqoslash mezoni bo‘yicha ∑ k = 1 ∞ 1 k ni ko‘rib chiqaylik.
∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) farqlanishini topamiz. ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) qatori Leybnits mezoniga muvofiq yaqinlashadi: ketma-ketlik 2 1 + 1 5 1 1 1 + 1 = 3 10, 2 2 + 1 5 · 2 · (2 + 1) = 5 30 , 2 · 3 + 1 5 · 3 · 3 + 1 , . . . kamayadi va lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 bo'ladi.
Seriya shartli ravishda yaqinlashadi.
Abel-Dirichlet testi
Ta'rif 13∑ k = 1 + ∞ u k · v k yaqinlashadi, agar ( u k ) oshmasa va ∑ k = 1 + ∞ v k ketma-ketlik chegaralangan bo'lsa.
17-misol
1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 + ni o'rganing. . . konvergentsiya uchun.
Tasavvur qilaylik
1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 +. . . = 1 1 + 1 2 (- 3) + 1 3 2 + 1 4 1 + 1 5 (- 3) + 1 6 = ∑ k = 1 ∞ u k v k
Bu erda (u k) = 1, 1 2, 1 3, . . . ortib bormaydi va ketma-ketlik (v k) = 1, - 3, 2, 1, - 3, 2,. . . cheklangan (S k) = 1, - 2, 0, 1, - 2, 0,. . . . Seriya birlashadi.
Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing
Keling, bir qator raqamlarning yig'indisini topamiz. Agar siz uni topa olmasangiz, tizim ma'lum bir aniqlik bilan ketma-ketlik yig'indisini hisoblab chiqadi.
Seriyali konvergentsiya
Ushbu kalkulyator ketma-ket yaqinlashish yoki yo'qligini aniqlashi mumkin, shuningdek, yaqinlashuvning qaysi belgilari ishlayotgan va qaysi biri ishlamasligini ko'rsatadi.
Quvvat qatorlarining yaqinlashuvini aniqlashni ham biladi.
Seriyaning grafigi ham tuziladi, unda siz qatorning yaqinlashish tezligini (yoki divergensiyani) ko'rishingiz mumkin.
Ifodalar va funksiyalarni kiritish qoidalari
Ifodalar funktsiyalardan iborat bo'lishi mumkin (belgilar alifbo tartibida berilgan): mutlaq(x)
Mutlaq qiymat x
(modul x yoki |x|)
arccos(x) Funktsiya - yoy kosinus x arccosh(x) dan yoy kosinus giperbolik x arcsin(x) Arcsine dan x arcsinh(x) dan arksinus giperbolik x arktan(x) Funktsiya - ning arttangensi x arctgh(x) dan arktangens giperbolik x e e taxminan 2,7 ga teng bo'lgan raqam Exp(x) Funktsiya - ko'rsatkichi x(sifatida e^x)
log(x) yoki ln(x) ning natural logarifmi x
(Olish uchun log7(x), log(x)/log(7) kiritishingiz kerak (yoki, masalan, uchun log10(x)=log (x)/log (10)) pi Raqam "Pi" dir, bu taxminan 3,14 ga teng gunoh(x) Funktsiya - sinus x cos(x) Funktsiya - kosinus x sinh(x) Funktsiya - dan sinus giperbolik x cosh(x) Funktsiya - dan kosinus giperbolik x sqrt(x) Funktsiya - Kvadrat ildiz dan x sqr(x) yoki x^2 Funktsiya - Kvadrat x tan(x) Funktsiya - dan tangens x tgh(x) Funktsiya - tangent giperbolik dan x cbrt(x) Funktsiya - kub ildizi x
Ifodalarda quyidagi amallardan foydalanish mumkin: Haqiqiy raqamlar sifatida kiriting 7.5
, Yo'q 7,5
2*x- ko'paytirish 3/x- bo'linish x^3- eksponentatsiya x+7- qo'shimcha x - 6- ayirish
Boshqa xususiyatlar: qavat(x) Funktsiya - yaxlitlash x pastga (misol qavat(4,5)==4,0) shift(x) Funktsiya - yaxlitlash x yuqoriga (misol shift(4,5)==5,0) belgisi(x) Funktsiya - Belgi x erf(x) Xato funktsiyasi (yoki ehtimollik integrali) laplace(x) Laplas funktsiyasi
Yuklanmoqda...