Differensial tenglamaning tartibi va uning yechimi, Koshi masalasi. Uchinchi tartibli differensial tenglamalarning chiziqli tizimlarini yechish algoritmi Doimiy koeffitsientli chiziqli bir jinsli tenglamalar.
Ushbu tenglama uchun bizda:
; (5.22)
. (5.23)
Oxirgi determinant 3 > 0 shartni beradi. 0 > 0, 1 > 0 va 3 > 0 uchun D 2 > 0 sharti faqat 2 > 0 uchun bajarilishi mumkin.
Binobarin, uchinchi tartibli tenglama uchun xarakterli tenglamaning barcha koeffitsientlarining musbatligi endi yetarli emas. Shuningdek, a 1 a 2 > a 0 a 3 koeffitsientlari o'rtasida ma'lum munosabatni bajarish talab qilinadi.
4. To‘rtinchi tartibli tenglama
Yuqorida aytilganlarga o'xshab, to'rtinchi tartibli tenglama uchun barcha koeffitsientlarning ijobiyligiga qo'shimcha ravishda quyidagi shart bajarilishi kerakligini olishimiz mumkin:
Algebraik mezonlarning, shu jumladan Hurvits mezonlarining muhim kamchiliklari shundaki, yuqori tartibli tenglamalar uchun eng yaxshi holatda avtomatik boshqaruv tizimining barqaror yoki beqaror ekanligiga javob olish mumkin. Bundan tashqari, beqaror tizim bo'lsa, mezon uni barqaror qilish uchun tizim parametrlarini qanday o'zgartirish kerakligiga javob bermaydi. Bu holat muhandislik amaliyotida qulayroq bo'lgan boshqa mezonlarni izlashga olib keldi.
5.3. Mixaylov barqarorlik mezoni
Xarakteristik polinom bo'lgan xarakteristik tenglamaning (5.7) chap tomonini alohida ko'rib chiqamiz.
Bu ko‘phadga sof xayoliy qiymatni p = j almashtiramiz, bunda xarakterli yechimning sof xayoliy ildiziga mos keladigan tebranishlarning burchak chastotasini ifodalaydi. Bunday holda biz xarakterli kompleksni olamiz
bu erda haqiqiy qism chastotaning teng kuchlarini o'z ichiga oladi
va xayoliy - g'alati darajalar chastotalar
E
Guruch. 5.4. Mixaylovning godografiyasi
Amalda Mixaylov egri chizig'i nuqtama-nuqta quriladi va chastotasining turli qiymatlari ko'rsatilgan va (5.28), (5.29) formulalar yordamida U() va V() hisoblanadi. Hisoblash natijalari jadvalda jamlangan. 5.1.
5.1-jadval
Mixaylov egri chizig'ini qurish
Ushbu jadval yordamida egri chiziqning o'zi tuziladi (5.4-rasm).
Chastotasi noldan cheksizga o‘zgarganda D(j) vektorining aylanish burchagi qandayga teng bo‘lishi kerakligini aniqlaymiz. Buning uchun xarakterli ko'phadni omillar ko'paytmasi sifatida yozamiz
bu yerda 1 – n xarakteristik tenglamaning ildizlari.
Xarakteristik vektorni quyidagicha ifodalash mumkin:
Har bir qavs kompleks sonni ifodalaydi. Demak, D(j) mahsulotdir murakkab sonlar. Ko'paytirishda kompleks sonlarning argumentlari qo'shiladi. Demak, D(j) vektorning hosil bo'lgan burilish burchagi bo'ladi summasiga teng chastota noldan cheksizgacha o'zgarganda individual omillarning aylanish burchaklari (5.31)
Keling, (5.31) dagi har bir atamani alohida belgilaylik. Muammoni umumlashtirish uchun ko'rib chiqing har xil turlari ildizlar.
1. Ba'zi bir ildiz, masalan, 1 bo'lsin haqiqiy va salbiy , ya'ni 1 = – 1 . Bu ildiz orqali aniqlangan (5.31) ifodadagi omil ( 1 + j) ko'rinishga ega bo'ladi. Chastotaning noldan cheksizgacha o'zgarishi bilan kompleks tekislikda ushbu vektorning godografini tuzamiz (5.5-rasm, A). = 0 bo'lganda, haqiqiy qism U= 1, tasavvur qismi esa V= 0 bo'ladi. Bu haqiqiy o'qda yotgan A nuqtaga to'g'ri keladi. 0 da vektor shunday o'zgaradiki, uning haqiqiy qismi baribir ga, xayoliy qismi esa V = (grafikdagi B nuqta) ga teng bo'ladi. Chastota cheksizlikka oshgani sayin vektor cheksizlikka boradi va vektorning oxiri doimo A nuqtadan o'tuvchi vertikal to'g'ri chiziqda qoladi va vektor soat miliga teskari yo'nalishda aylanadi.
Guruch. 5.5. Haqiqiy ildizlar
Olingan vektorning burilish burchagi 1 = +( / 2).
2. Endi ildiz 1 bo'lsin haqiqiy va ijobiy , ya'ni 1 = + 1.U holda bu ildiz bilan aniqlangan (5.31) koeffitsienti (– 1 + j) ko'rinishga ega bo'ladi. Shunga o'xshash konstruktsiyalar (5.5-rasm, b) hosil bo'lgan burilish burchagi 1 = –( / 2) bo'lishini ko'rsating. Minus belgisi vektorning soat yo'nalishi bo'yicha aylanishini ko'rsatadi.
3. Ikki konjugat ildiz, masalan, 2 va 3 boʻlsin. manfiy real qismli kompleks , ya'ni 2;3 = –±j. Xuddi shunday, (5.31) ifodadagi omillar, bu ildizlar bilan aniqlanadi, (–j + j)( + j + j) ko'rinishga ega bo'ladi.
= 0 bo'lganda, ikkita vektorning boshlang'ich pozitsiyalari A 1 va A 2 nuqtalar bilan aniqlanadi (5.6-rasm, A). Birinchi vektor real o'qga nisbatan soat yo'nalishi bo'yicha arctg( / ) ga teng burchak bilan, ikkinchi vektor esa xuddi shu burchakka soat miliga teskari yo'nalishda aylantiriladi. ning noldan cheksizgacha bosqichma-bosqich o'sishi bilan ikkala vektorning uchlari cheksizlikka ko'tariladi va ikkala vektor oxir-oqibat xayoliy o'q bilan birlashadi.
Natijada birinchi vektorning burilish burchagi 2 = ( / 2) + ga teng. Natijada ikkinchi vektorning aylanish burchagi 3 = ( / 2) –. Mahsulotga (–j + j)( + j + j) mos vektor 2 + 3 = 2 / 2 = burchak bo'ylab aylanadi.
Guruch. 5.6. Murakkab ildizlar
4. Ular bir xil bo'lsin murakkab ildizlar ijobiy haqiqiy qismga ega , ya'ni 2;3 = +±j.
Qurilishni ilgari ko'rib chiqilgan holatga o'xshash tarzda amalga oshirish (5.6-rasm, b), natijada burilish burchagi 2 + 3 = –2 / 2 = – ni olamiz.
Shunday qilib, xarakteristik tenglamada musbat haqiqiy qismga ega f ildizlari bo'lsa, bu ildizlar qanday bo'lishidan qat'i nazar (haqiqiy yoki murakkab), ular -f ( / 2) ga teng aylanish burchaklarining yig'indisiga mos keladi. Manfiy haqiqiy qismlarga ega bo'lgan xarakterli tenglamaning barcha boshqa (n - f) ildizlari + (n - f) ( / 2) ga teng aylanish burchaklarining yig'indisiga mos keladi. Natijada (5.32) formula bo'yicha chastota noldan cheksizga o'zgarganda D(j) vektorining umumiy burilish burchagi ko'rinishga ega bo'ladi.
= (n – f)( / 2) –f( / 2) = n ( / 2) –f . (5.33)
Ushbu ifoda Mixaylov egri chizig'ining shakli va xarakterli tenglama ildizlarining haqiqiy qismlarining belgilari o'rtasidagi kerakli aloqani aniqlaydi. 1936 yilda A.V. Mixaylov quyidagi barqarorlik mezonini shakllantirdi chiziqli tizimlar har qanday buyurtma.
n-tartibli sistemaning barqarorligi uchun D(j) vektorining boʻlishi zarur va yetarli ), o'zgartirilganda, Mixaylov egri chizig'ini tavsiflash noldan cheksizgacha aylanish burchagiga ega edi = n ( / 2).
Ushbu formula to'g'ridan-to'g'ri (5.33) dan kelib chiqadi. Tizim barqaror bo'lishi uchun barcha ildizlar chap yarim tekislikda yotishi kerak. Bu yerdan kerakli natijaviy vektor aylanish burchagi aniqlanadi.
Mixaylov barqarorlik mezoni quyidagicha tuzilgan: chiziqli ACS barqarorligi uchun Mixaylov godografi chastota noldan cheksizgacha o'zgarganda, ijobiy yarim tekislikdan boshlab va koordinatalarning kelib chiqishini kesib o'tmasdan, kompleksning qancha kvadrantlarini ketma-ket kesishishi zarur va etarli. sistemaning xarakteristik tenglamasining ko'phadning tartibi sifatida tekislik.
HAQIDA
Guruch. 5.7. Chidamli ATS
Barqaror tizim uchun Mixaylov egri chizig'i kompleks tekislikning ketma-ket n kvadrantidan o'tadi.
Har uch turdagi barqarorlik chegaralarining mavjudligini Mixaylov egri chizig'idan quyidagicha aniqlash mumkin.
Barqarorlik chegarasi mavjudligida birinchi turi (nol ildiz) xarakterli ko'phadning n = 0 bo'sh hadi yo'q va Mixaylov egri chizig'i boshlang'ichni tark etadi (5.9-rasm, egri 1).
|
Guruch. 5.8. Barqaror ATS |
Guruch. 5.9. Barqarorlik chegaralari |
Barqarorlik chegarasida ikkinchi turi (tebranish barqarorligi chegarasi) p = j 0 o‘rniga qo‘yilganda xarakteristik tenglamaning chap tomoni, ya’ni xarakterli ko‘phad yo‘qoladi.
D(j 0) = X( 0) + Y( 0) = 0. (5.34)
Bu ikkita tenglikni nazarda tutadi: X( 0) = 0; Y( 0) = 0. Demak, Mixaylov egri chizig’idagi = 0 nuqta koordinatalar boshiga to’g’ri keladi (5.9-rasm, 2-egri chiziq). Bunda 0 qiymati tizimning so'nmagan tebranishlarining chastotasi hisoblanadi.
Barqarorlik chegarasi uchun uchinchi turi (cheksiz ildiz) Mixaylov egri chizig'ining oxiri cheksizlik orqali bir kvadrantdan ikkinchisiga tashlanadi (5.9-rasm, egri 3). Bunda xarakteristik polinomning a 0 koeffitsienti (5.7) nol qiymatdan o'tib, belgisini ortiqcha dan minusga o'zgartiradi.
Yechish mumkin bo'lgan yuqori tartibli oddiy differensial tenglamalarning (DE) asosiy turlari sanab o'tilgan. Ularni hal qilish usullari qisqacha ko'rsatilgan. Yechim usullari va misollarining batafsil tavsifi bilan sahifalarga havolalar berilgan.
TarkibShuningdek qarang: Birinchi tartibli differensial tenglamalar
Birinchi tartibli chiziqli qisman differensial tenglamalar
Buyurtmani qisqartirishga imkon beruvchi yuqori tartibli differensial tenglamalar
To'g'ridan-to'g'ri integrallash yo'li bilan yechilgan tenglamalar
Quyidagi differentsial tenglamani ko'rib chiqing:
.
Biz n marta integratsiya qilamiz.
;
;
va hokazo. Siz formuladan ham foydalanishingiz mumkin:
.
To'g'ridan-to'g'ri echilishi mumkin bo'lgan differensial tenglamalarga qarang integratsiya > > >
y bog'liq o'zgaruvchini aniq o'z ichiga olmaydi tenglamalar
O'zgartirish tenglamaning tartibini bittaga pasaytiradi. Bu erda dan funksiya mavjud.
Funktsiyani aniq o'z ichiga olmaydigan yuqori tartibli differensial tenglamalarga qarang > > >
X mustaqil o'zgaruvchini aniq o'z ichiga olmagan tenglamalar
.
ning funktsiyasi deb hisoblaymiz. Keyin
.
Xuddi shunday, boshqa hosilalar uchun. Natijada tenglamaning tartibi bittaga qisqaradi.
Aniq o'zgaruvchiga ega bo'lmagan yuqori tartibli differensial tenglamalarga qarang > > >
Y, y', y', ... ga nisbatan bir jinsli tenglamalar.
Ushbu tenglamani yechish uchun biz almashtirishni amalga oshiramiz
,
ning funksiyasi qayerda. Keyin
.
Biz xuddi shunday tarzda hosilalarni o'zgartiramiz va hokazo. Natijada tenglamaning tartibi bittaga qisqaradi.
Funksiya va uning hosilalari boʻyicha bir hil boʻlgan yuqori tartibli differensial tenglamalarga qarang > > >
Yuqori tartibli chiziqli differensial tenglamalar
Keling, ko'rib chiqaylik n-tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglama:
(1)
,
mustaqil o'zgaruvchining funktsiyalari qayerda. Bu tenglamaning n ta chiziqli mustaqil yechimi bo‘lsin. Keyin umumiy qaror(1) tenglama quyidagi ko'rinishga ega:
(2)
,
ixtiyoriy konstantalar qayerda. Funktsiyalarning o'zi yechimlarning asosiy tizimini tashkil qiladi.
Asosiy yechim tizimi n-tartibli chiziqli bir jinsli tenglamaning n ta chiziqli mustaqil yechimi bu tenglamaning.
Keling, ko'rib chiqaylik n-tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglama:
.
Bu tenglamaning muayyan (har qanday) yechimi bo'lsin. Keyin umumiy yechim quyidagi shaklga ega:
,
bu yerda (1) bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi.
Doimiy koeffitsientli va ularga qaytariladigan chiziqli differensial tenglamalar
Doimiy koeffitsientli chiziqli bir jinsli tenglamalar
Bu shakldagi tenglamalar:
(3)
.
Mana haqiqiy raqamlar. Bu tenglamaning umumiy yechimini topish uchun fundamental yechimlar sistemasini tashkil etuvchi n ta chiziqli mustaqil yechim topishimiz kerak. Keyin umumiy yechim (2) formula bilan aniqlanadi:
(2)
.
Biz shaklda yechim izlayapmiz. olamiz xarakterli tenglama:
(4)
.
Agar bu tenglama mavjud bo'lsa turli xil ildizlar, u holda asosiy echimlar tizimi ko'rinishga ega:
.
Agar mavjud bo'lsa murakkab ildiz
,
keyin murakkab konjugat ildiz ham mavjud. Bu ikki ildiz yechimlarga mos keladi va , biz ularni murakkab yechimlar o'rniga fundamental tizimga kiritamiz va.
Ko'p ildizlar ko'paytmalar chiziqli mustaqil yechimlarga mos keladi:.
Murakkab ildizlarning ko'pligi ko'plik va ularning murakkab konjugat qiymatlari chiziqli mustaqil echimlarga mos keladi:
.
Maxsus bir jinsli bo'lmagan qismli chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamalar
Keling, ko'rib chiqaylik shakl tenglamasi
,
s darajali polinomlar qayerda 1
va s 2
; - doimiy.
Avval (3) bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini qidiramiz. Agar xarakteristik tenglama (4) ildizni o'z ichiga olmaydi, keyin biz quyidagi shaklda ma'lum bir yechim izlaymiz:
,
Qayerda
;
;
s - s ning eng kattasi 1
va s 2
.
Agar xarakteristik tenglama (4) ildizi bor ko'plik, keyin biz quyidagi shaklda ma'lum bir yechim izlaymiz:
.
Shundan so'ng biz umumiy yechimni olamiz:
.
Doimiy koeffitsientli chiziqli bir jinsli tenglamalar
Bu erda uchta mumkin bo'lgan yechim mavjud.
1)
Bernoulli usuli.
Birinchidan, biz bir jinsli tenglamaning nolga teng bo'lmagan har qanday yechimini topamiz
.
Keyin almashtirishni amalga oshiramiz
,
bu yerda x o‘zgaruvchining funksiyasi. Biz u uchun differensial tenglamani olamiz, u faqat x ga nisbatan u ning hosilalarini o'z ichiga oladi. O'zgartirishni amalga oshirib, biz n tenglamani olamiz - 1
- buyurtma.
2)
Chiziqli almashtirish usuli.
Keling, almashtirishni amalga oshiramiz
,
bu yerda (4) xarakteristik tenglamaning ildizlaridan biri. Natijada, tartibning doimiy koeffitsientlari bilan chiziqli bir hil bo'lmagan tenglamani olamiz. Ushbu almashtirishni izchil qo'llagan holda, biz dastlabki tenglamani birinchi tartibli tenglamaga keltiramiz.
3)
Lagranj konstantalarini o'zgartirish usuli.
Bu usulda birinchi navbatda (3) bir jinsli tenglamani yechamiz. Uning yechimi quyidagicha ko'rinadi:
(2)
.
Bundan tashqari, konstantalar x o'zgaruvchining funksiyalari deb faraz qilamiz. Keyin asl tenglamaning yechimi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:
,
noma'lum funktsiyalar qayerda. Dastlabki tenglamani almashtirib, ba'zi cheklovlar qo'yib, biz funksiyalar turini topishimiz mumkin bo'lgan tenglamalarni olamiz.
Eyler tenglamasi
ga tushadi chiziqli tenglama doimiy almashtirish koeffitsientlari bilan:
.
Biroq, Eyler tenglamasini yechish uchun bunday almashtirishni amalga oshirishning hojati yo'q. Bir hil tenglamaning yechimini darhol shaklda izlashingiz mumkin
.
Natijada, biz doimiy koeffitsientli tenglama bilan bir xil qoidalarga ega bo'lamiz, unda o'zgaruvchining o'rniga siz almashtirishingiz kerak .
Adabiyotlar:
V.V. Stepanov, Differensial tenglamalar kursi, "LKI", 2015 yil.
N.M. Gyunter, R.O. Kuzmin, Oliy matematika bo'yicha muammolar to'plami, "Lan", 2003 yil.
Oddiy differentsial tenglama mustaqil oʻzgaruvchini, bu oʻzgaruvchining nomaʼlum funksiyasini va uning turli tartibli hosilalarini (yoki differentsiallarini) bogʻlovchi tenglamadir.
Tartibda; ... uchun differensial tenglama undagi eng yuqori hosila tartibi deyiladi.
Oddiylardan tashqari, qisman differensial tenglamalar ham o'rganiladi. Bular mustaqil o'zgaruvchilarga tegishli tenglamalar, bu o'zgaruvchilarning noma'lum funksiyasi va bir xil o'zgaruvchilarga nisbatan uning qisman hosilalari. Lekin biz faqat ko'rib chiqamiz oddiy differensial tenglamalar va shuning uchun qisqalik uchun biz "oddiy" so'zini o'tkazib yuboramiz.
Differensial tenglamalarga misollar:
(1) 
;
(3) 
;
(4) 
;
(1) tenglama to'rtinchi tartibli, tenglama (2) uchinchi tartib, (3) va (4) tenglamalar ikkinchi tartib, (5) tenglama birinchi tartibli.
Differensial tenglama n th tartib aniq funktsiyani o'z ichiga olishi shart emas, birinchisidan boshlab uning barcha hosilalari. n-tartib va mustaqil o'zgaruvchi. Unda ma'lum tartiblarning hosilalari, funksiya yoki mustaqil o'zgaruvchi aniq bo'lmasligi mumkin.
Masalan, (1) tenglamada aniq uchinchi va ikkinchi tartibli hosilalar, shuningdek, funksiya mavjud emas; (2) tenglamada - ikkinchi tartibli hosila va funksiya; (4) tenglamada - mustaqil o'zgaruvchi; (5) tenglamada - funksiyalar. Faqat (3) tenglama aniq barcha hosilalarni, funktsiyani va mustaqil o'zgaruvchini o'z ichiga oladi.
Differensial tenglamani yechish har bir funksiya chaqiriladi y = f(x), tenglamaga almashtirilganda u identifikatsiyaga aylanadi.
Differensial tenglamaning yechimini topish jarayoni uning deyiladi integratsiya.
1-misol. Differensial tenglamaning yechimini toping.
Yechim. Keling, ushbu tenglamani shaklda yozamiz. Yechim uning hosilasidan funktsiyani topishdir. Asl funktsiya, integral hisobdan ma'lumki, uchun antiderivativ hisoblanadi, ya'ni.
Bu shunday bu differentsial tenglamaning yechimi . Unda o'zgarish C, biz turli xil echimlarni olamiz. Birinchi tartibli differensial tenglamaning cheksiz ko'p yechimlari borligini aniqladik.
Differensial tenglamaning umumiy yechimi n th tartib - uning yechimi, noma'lum funktsiyaga nisbatan aniq ifodalangan va o'z ichiga olgan n mustaqil ixtiyoriy konstantalar, ya'ni.
1-misoldagi differentsial tenglamaning yechimi umumiydir.
Differensial tenglamaning qisman yechimi ixtiyoriy konstantalarga maxsus raqamli qiymatlar berilgan yechim deyiladi.
2-misol. Differensial tenglamaning umumiy yechimini va maxsus yechimini toping 
.
Yechim. Keling, tenglamaning ikkala tomonini differentsial tenglama tartibiga teng bo'lgan bir necha marta integrallaymiz.
,
.
Natijada biz umumiy yechim oldik -
berilgan uchinchi tartibli differensial tenglamaning.
Keling, belgilangan sharoitlarda ma'lum bir yechim topamiz. Buning uchun ixtiyoriy koeffitsientlar o'rniga ularning qiymatlarini almashtiring va oling
.
Agar differensial tenglamaga qo'shimcha ravishda boshlang'ich shart shaklda berilgan bo'lsa, unda bunday masala deyiladi. Cauchy muammosi . Qiymatlarni va tenglamaning umumiy yechimiga almashtiring va ixtiyoriy doimiyning qiymatini toping C, va keyin topilgan qiymat uchun tenglamaning ma'lum bir yechimi C. Bu Koshi muammosining yechimi.
3-misol. 1-misol mavzusidagi differensial tenglama uchun Koshi masalasini yeching.
Yechim. Keling, boshlang'ich shartdagi qiymatlarni umumiy yechimga almashtiramiz y = 3, x= 1. Biz olamiz
Ushbu birinchi tartibli differensial tenglama uchun Koshi muammosining yechimini yozamiz:
Differensial tenglamalarni, hatto eng oddiylarini ham yechish yaxshi integratsiya va hosilaviy ko'nikmalarni, jumladan, murakkab funktsiyalarni talab qiladi. Buni quyidagi misolda ko‘rish mumkin.
4-misol. Differensial tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechim. Tenglama shunday shaklda yozilganki, siz darhol ikkala tomonni birlashtira olasiz.
.
O'zgaruvchini o'zgartirish (almashtirish) orqali integratsiya usulini qo'llaymiz. Shunday bo'lsin.
Qabul qilish talab qilinadi dx va endi - diqqat - biz buni murakkab funktsiyani farqlash qoidalariga muvofiq qilamiz, chunki x va bor murakkab funktsiya("olma" - qazib olish kvadrat ildiz yoki xuddi shu narsa - "bir yarim" kuchini oshirish va "qiyma" - bu ildiz ostidagi ifoda):
Biz integralni topamiz:
O'zgaruvchiga qaytish x, biz olamiz:
.
Bu birinchi darajali differensial tenglamaning umumiy yechimidir.
Faqat oldingi bo'limlardagi ko'nikmalar emas oliy matematika differensial tenglamalarni yechishda, balki boshlang'ich, ya'ni maktab matematikasidan ko'nikmalar ham talab qilinadi. Yuqorida aytib o'tilganidek, har qanday tartibli differentsial tenglamada mustaqil o'zgaruvchi, ya'ni o'zgaruvchi bo'lmasligi mumkin. x. Maktabdan unutilmagan nisbatlar haqidagi bilimlar (ammo, kimga qarab) bu muammoni hal qilishga yordam beradi. Bu keyingi misol.
Ushbu maqolada nima sodir bo'layotganini chuqurroq tushunish uchun siz o'qishingiz mumkin.Uchinchi tartibli differensial tenglamalarning bir jinsli tizimini ko'rib chiqaylik
Bu yerda x(t), y(t), z(t) (a, b) oraliqda kerakli funksiyalar, ij (i, j =1, 2, 3) esa haqiqiy sonlardir.
Dastlabki tizimni matritsa shaklida yozamiz
,
Qayerda 
Biz shakldagi asl tizimga yechim izlaymiz
,
Qayerda 
, C 1, C 2, C 3 ixtiyoriy konstantalardir.
Yechimlarning asosiy tizimini topish uchun xarakteristik tenglama deb ataladigan narsani echishingiz kerak 
Bu tenglama uchinchi tartibli algebraik tenglama, shuning uchun uning 3 ta ildizi bor. Quyidagi holatlar mumkin:
1. Ildizlar (xususiy qiymatlar) haqiqiy va aniq.
2. Ildizlar (o'z qiymatlari) orasida murakkab konjugatlar bor, keling
- haqiqiy ildiz
=
3. Ildizlar (xususiy qiymatlar) haqiqiydir. Ildizlardan biri ko'p.
Ushbu holatlarning har birida qanday harakat qilish kerakligini aniqlash uchun bizga kerak bo'ladi:
Teorema 1.
A matritsaning juft-juft alohida xos qiymatlari va ularning mos keladigan xos vektorlari bo'lsin. Keyin
asl tizimga yechimlarning asosiy tizimini shakllantirish.
Izoh
.
A matritsaning haqiqiy xos qiymati (xarakteristik tenglamaning haqiqiy ildizi) va mos keladigan xos vektor bo'lsin.
= - A matritsasining murakkab xos qiymatlari, - mos keladigan - xos vektor. Keyin
(Re - haqiqiy qism, Im - xayoliy qism)
asl tizimga yechimlarning asosiy tizimini shakllantirish. (ya'ni va = birgalikda ko'rib chiqiladi)
Teorema 3.
Ko‘paytmaning xarakteristik tenglamasining ildizi bo‘lsin 2. U holda asl sistemaning 2 ta chiziqli mustaqil ko‘rinishdagi yechimlari bo‘ladi. 
,
bu yerda , vektor konstantalari. Agar ko'paytma 3 ga teng bo'lsa, u holda shaklning 3 ta chiziqli mustaqil yechimlari mavjud
.
Vektorlar (*) va (**) yechimlarni dastlabki sistemaga qo‘yish orqali topiladi.
(*) va (**) ko'rinishdagi echimlarni topish usulini yaxshiroq tushunish uchun quyidagi odatiy misollarga qarang.
Endi yuqoridagi holatlarning har birini batafsil ko'rib chiqamiz.
1. Yechim algoritmi bir hil tizimlar xarakteristik tenglamaning har xil haqiqiy ildizlari holatida uchinchi tartibli differensial tenglamalar.
Tizimni hisobga olgan holda
1) Biz xarakteristik tenglama tuzamiz
- ushbu tenglamaning 9 ildizining haqiqiy va aniq xos qiymatlari).
2) Biz qayerda quramiz 
3) Biz qayerda quramiz
- ga mos keladigan A matritsaning xos vektori, ya'ni. - har qanday tizimli yechim 
4) Biz qayerda quramiz
- ga mos keladigan A matritsaning xos vektori, ya'ni. - har qanday tizimli yechim 
5)
yechimlarning asosiy tizimini tashkil etadi. Keyin asl tizimning umumiy yechimini shaklda yozamiz
,
bu yerda C 1, C 2, C 3 ixtiyoriy konstantalar,
,
yoki koordinatali shaklda 
Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik:
1-misol.
2) toping 
3) topamiz 
4) Vektor funktsiyalari 
yoki koordinata yozuvida 
2-misol.
1) Biz xarakteristik tenglamani tuzamiz va yechamiz: 
2) toping 
3) topamiz 
4) Toping 
5) Vektor funktsiyalari 
asosiy tizimni tashkil qiladi. Umumiy yechim shaklga ega 
yoki koordinata yozuvida 
2. Xarakteristik tenglamaning murakkab konjugat ildizlari holatida uchinchi tartibli differensial tenglamalarning bir jinsli tizimlarini yechish algoritmi.
- haqiqiy ildiz,
2) Biz qayerda quramiz
 |
3) Biz quramiz
| - ga mos keladigan A matritsaning xos vektori, ya'ni. tizimni qondiradi |  |
Bu erda Re haqiqiy qismdir
Im - xayoliy qism
4) yechimlarning asosiy tizimini tashkil qiladi. Keyin asl tizimning umumiy yechimini yozamiz:
, Qayerda
C 1, C 2, C 3 ixtiyoriy konstantalardir.
1-misol.
1) Xarakteristik tenglamani tuzing va yeching 
2) Biz qurmoqdamiz
3) Biz quramiz
, Qayerda
Birinchi tenglamani 2 ga kamaytiramiz. Keyin ikkinchi tenglamaga 2i ga ko'paytirilgan birinchi tenglamani qo'shing va uchinchi tenglamadan birinchisini 2 ga ko'paytiring. 
Keyinchalik 
Demak, 
4) - yechimlarning fundamental tizimi. Dastlabki tizimning umumiy yechimini yozamiz: 
2-misol.
1) Xarakteristik tenglamani tuzamiz va yechamiz 
2) Biz qurmoqdamiz
(ya'ni, va birgalikda ko'rib chiqiladi), qaerda
Ikkinchi tenglamani (1-i) ga ko'paytiring va 2 ga kamaytiring. 
Demak, 
3)
Asl tizimning umumiy yechimi
yoki 
2. Xarakteristik tenglamaning ko'p ildizli holatida uchinchi tartibli differensial tenglamalarning bir jinsli tizimlarini yechish algoritmi.
Xarakteristik tenglamani tuzamiz va yechamiz
Ikkita mumkin bo'lgan holatlar mavjud: 
a) 1) holatni ko'rib chiqing
| - ga mos keladigan A matritsaning xos vektori, ya'ni tizimni qanoatlantiradi. | |
2) 3-teoremaga murojaat qilaylik, shundan kelib chiqadiki, shaklning ikkita chiziqli mustaqil yechimlari mavjud. 
,
bu yerda , doimiy vektorlar. Keling, ularni qabul qilaylik.
3) - yechimlarning fundamental tizimi. Keyin asl tizimning umumiy yechimini yozamiz:
b holatini ko'rib chiqing):
1) 3-teoremaga murojaat qilaylik, shundan kelib chiqadiki, shaklning uchta chiziqli mustaqil yechimlari mavjud.
,
bu yerda , , doimiy vektorlar. Keling, ularni qabul qilaylik.
2) - yechimlarning fundamental tizimi. Keyin asl tizimning umumiy yechimini yozamiz.
(*) shaklidagi yechimlarni qanday topishni yaxshiroq tushunish uchun bir nechta tipik misollarni ko'rib chiqing.
1-misol.
Biz xarakteristik tenglamani tuzamiz va yechamiz: 
Bizda a) holat bor
1) Biz quramiz 
, Qayerda
Ikkinchi tenglamadan birinchisini ayiramiz:
? Uchinchi qator ikkinchisiga o'xshaydi, biz uni kesib tashlaymiz. Birinchi tenglamadan ikkinchisini ayiring: 
2) = 1 (2 ning ko'pligi)
T.3 ga ko'ra, bu ildiz shaklning ikkita chiziqli mustaqil echimiga mos kelishi kerak .
Keling, barcha chiziqli mustaqil echimlarni topishga harakat qilaylik, ya'ni. shakldagi yechimlar
.
Bunday vektor, agar xos vektor =1 ga to'g'ri keladigan bo'lsa, yechim bo'ladi, ya'ni.
, yoki 
, ikkinchi va uchinchi qatorlar birinchisiga o'xshash, ularni tashqariga tashlang. 
Tizim bitta tenglamaga qisqartirildi. Binobarin, ikkita bepul noma'lum mavjud, masalan, va. Avval ularga 1, 0 qiymatlarini beramiz; keyin 0, 1 qiymatlari. Biz quyidagi echimlarni olamiz: 
.
Demak, 
.
3) - yechimlarning fundamental tizimi. Asl tizimning umumiy yechimini yozish qoladi: 
. .. Shunday qilib, X 3 ni ushbu sistemaga almashtiramiz shaklning faqat bitta yechimi mavjud: Uchinchi qatorni kesib tashlang (u ikkinchisiga o'xshaydi). Tizim har qanday v uchun izchil (echimga ega). c=1 bo'lsin. 
yoki 
Yuklanmoqda...