Doimiy raqam A chaqirdi chegara ketma-ketliklar(x n ), agar har qanday ixtiyoriy kichik musbat son uchunε > 0 barcha qiymatlarga ega bo'lgan N soni mavjud x n, buning uchun n>N, tengsizlikni qanoatlantiring

|x n - a|< ε. (6.1)

Uni quyidagicha yozing: yoki x n → a.

Tengsizlik (6.1) ekvivalent ikki tomonlama tengsizlik

a- e< x n < a + ε, (6.2)

bu degani nuqtalar x n, ba'zi n>N sonidan boshlab, interval ichida yoting (a- e, a+ e ), ya'ni. har qanday kichikga tushingε - nuqta qo'shnisi A.

Limitga ega ketma-ketlik deyiladi konvergent, aks holda - turlicha.

Funksiya chegarasi tushunchasi ketma-ketlik chegarasi tushunchasini umumlashtirishdir, chunki ketma-ketlik chegarasi butun son argumentining x n = f(n) funksiyasining chegarasi sifatida qaralishi mumkin. n.

f(x) funksiya berilgan bo'lsin a - chegara nuqtasi bu funktsiyani aniqlash sohasi D(f), ya'ni. shunday nuqta, har qanday qo'shnisi D(f) to'plamining nuqtalarini o'z ichiga oladi a. Nuqta a D(f) to‘plamga tegishli bo‘lishi mumkin yoki bo‘lmasligi mumkin.

Ta'rif 1.A doimiy soni deyiladi chegara funktsiyalari f(x) da x→a, agar argument qiymatlarining har qanday ketma-ketligi (x n) uchun bo'lsa A, mos keladigan ketma-ketliklar (f(x n)) bir xil A chegarasiga ega.

Ushbu ta'rif deyiladi Geynega ko'ra funktsiya chegarasini belgilash orqali, yoki " ketma-ket tilda”.

Ta'rif 2. A doimiy soni deyiladi chegara funktsiyalari f(x) da x→a, agar, ixtiyoriy kichik musbat sonni ko'rsatish orqali e, bunday d ni topish mumkin>0 (e ga qarab), bu hamma uchun x, ichida yotgane-raqamning mahallalari A, ya'ni. Uchun x, tengsizlikni qondirish
0 < x-a< ε , f(x) funksiyaning qiymatlari yotadie-A sonining mahallasi, ya'ni.|f(x)-A|< ε.

Ushbu ta'rif deyiladi Koshi bo'yicha funktsiya chegarasini aniqlash orqali, yoki “e - d tilida “.

1 va 2 ta'riflar ekvivalentdir. Agar f(x) funksiyasi x → bo'lsaa bor chegara, A ga teng, bu shaklda yoziladi

. (6.3)

Ketma-ketlik (f(x n)) har qanday yaqinlashish usuli uchun cheksiz ortib borayotgan (yoki kamaygan) taqdirda x sizning chegarangizga A, u holda f(x) funksiyasi borligini aytamiz cheksiz chegara, va uni quyidagi shaklda yozing:

Chegarasi nolga teng bo'lgan o'zgaruvchi (ya'ni ketma-ketlik yoki funksiya) chaqiriladi cheksiz kichik.

Chegarasi cheksizlikka teng bo'lgan o'zgaruvchi deyiladi cheksiz katta.

Amalda chegarani topish uchun quyidagi teoremalardan foydalaniladi.

Teorema 1 . Agar har bir chegara mavjud bo'lsa

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Izoh. 0/0 kabi ifodalar, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - noaniq, masalan, ikkita cheksiz kichik yoki cheksiz katta miqdorlarning nisbati va bu turdagi chegarani topish "noaniqliklarni ochish" deb ataladi.

Teorema 2. (6.7)

bular. Doimiy ko'rsatkichli quvvatga asoslangan chegaraga borish mumkin, xususan, ;

(6.8)

(6.9)

Teorema 3.

(6.10)

(6.11)

Qayerda e » 2.7 - natural logarifm asosi. (6.10) va (6.11) formulalar birinchi deb ataladi ajoyib chegara va ikkinchi ajoyib chegara.

(6.11) formulaning oqibatlari amalda ham qo'llaniladi:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

xususan chegara,

Agar x → a va bir vaqtning o'zida x > a, keyin x yozing→a + 0. Agar, xususan, a = 0 bo'lsa, 0+0 belgisi o'rniga +0 yozing. Xuddi shunday, agar x→a va bir vaqtning o'zida x a-0. Raqamlar va shunga mos ravishda chaqiriladi to'g'ri chegara Va chap chegara funktsiyalari f(x) nuqtada A. f(x) funksiyaning x→ sifatida chegarasi bo'lishi uchuna buning uchun zarur va yetarli . f(x) funksiya chaqiriladi davomiy nuqtada chegara bo'lsa x 0

. (6.15)

Shart (6.15) quyidagicha qayta yozilishi mumkin:

,

ya'ni funksiya belgisi ostidagi chegaraga o'tish, agar u berilgan nuqtada uzluksiz bo'lsa, mumkin.

Agar (6.15) tenglik buzilgan bo'lsa, unda biz aytamiz da x = x o funktsiyasi f(x) Unda bor bo'shliq y = 1/x funktsiyasini ko'rib chiqaylik. Ushbu funktsiyani aniqlash sohasi to'plamdir R, x = 0 dan tashqari x = 0 nuqta D(f) to'plamining chegara nuqtasidir, chunki uning har qanday qo'shnisida, ya'ni. 0 nuqtasini o'z ichiga olgan har qanday ochiq oraliqda D(f) nuqtalari mavjud, lekin uning o'zi bu to'plamga tegishli emas. f(x o)= f(0) qiymati aniqlanmagan, shuning uchun x o = 0 nuqtada funksiya uzilishga ega.

f(x) funksiya chaqiriladi nuqtada o'ngda uzluksiz x o chegarasi bo'lsa

,

Va nuqtada chapda uzluksiz x o, chegara bo'lsa

.

Funktsiyaning nuqtadagi uzluksizligi x o bu nuqtada ham o'ngga, ham chapga uning uzluksizligiga teng.

Funktsiya bir nuqtada uzluksiz bo'lishi uchun x o, masalan, o'ng tomonda, birinchidan, chekli chegara bo'lishi kerak, ikkinchidan, bu chegara f(x o) ga teng bo'lishi kerak. Shuning uchun, agar bu ikki shartdan kamida bittasi bajarilmasa, u holda funktsiya uzilishga ega bo'ladi.

1. Agar chegara mavjud bo'lsa va f(x o ga teng bo'lmasa), ular shunday deyishadi funktsiyasi f(x) nuqtada x o bor birinchi turdagi yorilish, yoki sakrash.

2. Agar chegara bo'lsa+∞ yoki -∞ yoki mavjud emas, keyin ular buni aytadilar nuqta x o funktsiya uzilishga ega ikkinchi tur.

Masalan, y = krovat x at x→ +0 +∞ ga teng chegaraga ega, bu x=0 nuqtada ikkinchi turdagi uzilishga ega ekanligini bildiradi. Funktsiya y = E(x) (ning butun qismi x) butun abstsissali nuqtalarda birinchi turdagi uzilishlar yoki sakrashlar mavjud.

Intervalning har bir nuqtasida uzluksiz bo'lgan funksiya chaqiriladi davomiy V . Uzluksiz funksiya qattiq egri chiziq bilan ifodalanadi.

Ba'zi bir miqdorning uzluksiz o'sishi bilan bog'liq ko'plab muammolar ikkinchi ajoyib chegaraga olib keladi. Bunday vazifalarga, masalan, quyidagilar kiradi: konlarning murakkab foiz qonuni bo'yicha o'sishi, mamlakat aholisining ko'payishi, radioaktiv moddalarning parchalanishi, bakteriyalarning ko'payishi va boshqalar.

Keling, ko'rib chiqaylik Ya. I. Perelmanning misoli, raqamning talqinini berish e Murakkab foizlar muammosida. Raqam e chegarasi bor . Jamg'arma kassalarida har yili asosiy kapitalga foizli pul qo'shiladi. Agar qo'shilish tez-tez amalga oshirilsa, kapital tezroq o'sib boradi, chunki foizlarni shakllantirishda katta miqdor ishtirok etadi. Keling, sof nazariy, juda soddalashtirilgan misolni olaylik. 100 denier bankka qo'yilsin. birliklar yillik 100% asosida. Agar foizli pul asosiy kapitalga faqat bir yildan so'ng qo'shilsa, bu muddatga kelib 100 den. birliklar 200 pul birligiga aylanadi. Keling, 100 dengizchi nimaga aylanishini ko'rib chiqaylik. birlik, agar foizli pul har olti oyda asosiy kapitalga qo'shilsa. Olti oydan keyin 100 den. birliklar 100 ga oshadi× 1,5 = 150, va yana olti oydan keyin - 150 da× 1,5 = 225 (den. birlik). Agar qo'shilish har 1/3 yilda amalga oshirilsa, bir yildan keyin 100 den. birliklar 100 ga aylanadi× (1 +1/3) 3" 237 (den. birlik). Biz foizli pulni 0,1 yilga, 0,01 yilga, 0,001 yilga va hokazolarni qo'shish shartlarini oshiramiz. Keyin 100 dendan. birliklar bir yildan keyin shunday bo'ladi:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (den. birlik),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (den. birlik),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (den. birlik).

Foizlarni qo'shish shartlarini cheksiz qisqartirish bilan to'plangan kapital cheksiz ravishda o'smaydi, balki taxminan 271 ga teng bo'lgan ma'lum chegaraga yaqinlashadi. Yillik 100% stavkada qo'yilgan kapital, hatto hisoblangan foizlar bo'lsa ham, 2,71 baravardan ko'proqqa ko'payishi mumkin emas. chegarasi tufayli poytaxtga har soniya qo'shildi

3.1-misol.Sonlar ketma-ketligi chegarasining taʼrifidan foydalanib, x n =(n-1)/n ketma-ketlikning 1 ga teng chegarasi borligini isbotlang.

Yechim.Nima bo'lganda ham buni isbotlashimiz kerakε > 0, nima bo'lishidan qat'iy nazar, u uchun N natural soni borki, hamma n N uchun tengsizlik bajariladi.|x n -1|< ε.

Har qanday e > 0 ni olaylik. Chunki ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, u holda N ni topish uchun 1/n tengsizlikni yechish kifoya.< e. Demak, n>1/ e va shuning uchun N ni 1/ ning butun qismi sifatida qabul qilish mumkin. e , N = E (1/ e ). Shu bilan biz chegara ekanligini isbotladik.

3-misol.2 . Umumiy had bilan berilgan ketma-ketlikning chegarasini toping .

Yechim.Yig‘indi teoremasining chegarasini qo‘llaymiz va har bir hadning chegarasini topamiz. Qachon n→ ∞ har bir atamaning pay va maxraji cheksizlikka intiladi va biz qism chegarasi teoremasini bevosita qo'llay olmaymiz. Shuning uchun birinchi navbatda biz o'zgartiramiz x n, birinchi hadning sonini va maxrajini ga bo'lish n 2, ikkinchisi esa n. So'ngra, qismning chegarasi va yig'indi teoremasining chegarasini qo'llagan holda, biz topamiz:

.

3.3-misol. . Toping.

Yechim. .

Bu yerda biz daraja chegarasi teoremasidan foydalandik: daraja chegarasi asos chegarasining darajasiga teng.

3-misol.4 . toping ( ).

Yechim.Farq teoremasining chegarasini qo'llash mumkin emas, chunki bizda shaklning noaniqligi bor ∞-∞ . Umumiy atama formulasini o'zgartiramiz:

.

3-misol.5 . f(x)=2 1/x funksiya berilgan. Hech qanday chegara yo'qligini isbotlang.

Yechim.Ketma-ket orqali funksiya chegarasining 1 ta’rifidan foydalanamiz. 0 ga yaqinlashuvchi ketma-ketlikni ( x n ) olaylik, ya'ni. f(x n)= qiymati turli ketma-ketliklar uchun turlicha harakat qilishini ko'rsatamiz. x n = 1/n bo'lsin. Shubhasiz, keyin chegara Keling, shunday qilib tanlaylik x n umumiy atama x n = -1/n bo'lgan ketma-ketlik, shuningdek, nolga moyil. Shuning uchun hech qanday chegara yo'q.

3-misol.6 . Hech qanday chegara yo'qligini isbotlang.

Yechim.x 1 , x 2 ,..., x n ,... qaysi uchun ketma-ketlik boʻlsin
. (f(x n)) = (sin x n) ketma-ketligi turli x n → ∞ uchun qanday harakat qiladi

Agar x n = p n bo'lsa, sin x n = sin p hamma uchun n = 0 n va chegara Agar
x n =2 p n+ p /2, keyin sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = hamma uchun 1 n va shuning uchun chegara. Demak, u mavjud emas.

Onlayn chegaralarni hisoblash uchun vidjet

Yuqori oynada sin(x)/x o'rniga limitini topmoqchi bo'lgan funksiyani kiriting. Pastki oynada x ga moyil bo'lgan raqamni kiriting va Hisoblash tugmasini bosing, kerakli chegarani oling. Va agar natija oynasida yuqori o'ng burchakdagi Qadamlarni ko'rsatish tugmachasini bossangiz, siz batafsil echimga ega bo'lasiz.

Funksiyalarni kiritish qoidalari: sqrt(x) - kvadrat ildiz, cbrt(x) - kub ildiz, exp(x) - ko'rsatkich, ln(x) - natural logarifm, sin(x) - sinus, cos(x) - kosinus, tan (x) - tangens, kot(x) - kotangens, arksin(x) - arksinus, arccos(x) - arkkosin, arktan(x) - arktangens. Belgilari: * ko'paytirish, / bo'lish, ^ ko'rsatkich, o'rniga cheksizlik Cheksizlik. Misol: funksiya sqrt(tan(x/2)) sifatida kiritiladi.

Funktsiya y = f (x) qonun (qoida) boʻlib, unga koʻra X toʻplamning har bir x elementi Y toʻplamning bir va faqat bitta y elementi bilan bogʻlanadi.

X element ∈ X chaqirdi funktsiya argumenti yoki mustaqil o'zgaruvchi.
Y elementi ∈ Y chaqirdi funktsiya qiymati yoki qaram o'zgaruvchi.

X to'plami deyiladi funksiya sohasi.
Elementlar to'plami y ∈ Y X to'plamida oldingi tasvirlarga ega bo'lgan , deyiladi maydon yoki funksiya qiymatlari to‘plami.

Haqiqiy funktsiya chaqiriladi yuqoridan cheklangan (pastdan), agar tengsizlik hamma uchun amal qiladigan M soni bo'lsa:
.
Raqamli funksiya chaqiriladi cheklangan, agar M raqami bo'lsa, hamma uchun:
.

Yuqori chekka yoki aniq yuqori chegara Haqiqiy funktsiya uning qiymatlari oralig'ini yuqoridan cheklaydigan eng kichik raqam deb ataladi. Ya'ni, bu s soni bo'lib, u uchun, har bir kishi uchun va har bir kishi uchun, funktsiya qiymati s' dan ortiq bo'lgan argument mavjud: .
Funktsiyaning yuqori chegarasi quyidagicha belgilanishi mumkin:
.

Mos ravishda pastki cheti yoki aniq pastki chegara Haqiqiy funktsiya qiymatlar oralig'ini pastdan cheklaydigan eng katta raqam deb ataladi. Ya'ni, bu i soni bo'lib, uning uchun hamma uchun va har bir kishi uchun funktsiya qiymati i' dan kichik bo'lgan argument mavjud: .
Funktsiyaning infimumini quyidagicha belgilash mumkin:
.

Funksiya chegarasini aniqlash

Koshi bo'yicha funksiya chegarasini aniqlash

Oxirgi nuqtalarda funksiyaning chekli chegaralari

Funktsiya oxirgi nuqtaning ba'zi qo'shnilarida aniqlansin, nuqtaning o'zi bundan mustasno. bir nuqtada, agar biron bir uchun ga qarab shunday narsa borki, barcha x uchun tengsizlik amal qiladi.
.
Funksiya chegarasi quyidagicha belgilanadi:
.
Yoki da.

Borliq va universallikning mantiqiy belgilaridan foydalanib, funksiya chegarasining ta’rifini quyidagicha yozish mumkin:
.

Bir tomonlama chegaralar.
Bir nuqtada chap chegara (chap tomon chegarasi):
.
Bir nuqtada o'ng chegara (o'ng chegara):
.
Chap va o'ng chegaralar ko'pincha quyidagicha belgilanadi:
; .

Funksiyaning cheksizlik nuqtalaridagi chekli chegaralari

Cheksizlik nuqtalaridagi chegaralar xuddi shunday tarzda aniqlanadi.
.
.
.
Ular ko'pincha shunday nomlanadi:
; ; .

Nuqta qo‘shnisi tushunchasidan foydalanish

Agar nuqtaning teshilgan qo'shnisi tushunchasini kiritadigan bo'lsak, u holda biz chekli va cheksiz uzoq nuqtalardagi funksiyaning chekli chegarasining yagona ta'rifini berishimiz mumkin:
.
Bu erda oxirgi nuqtalar uchun
; ;
.
Cheksizlikdagi nuqtalarning har qanday qo'shnisi teshiladi:
; ; .

Cheksiz funksiya chegaralari

Ta'rif
Funktsiya nuqtaning ba'zi bir teshilgan qo'shnisida (cheklangan yoki cheksizda) aniqlansin. Funktsiya chegarasi f (x) x → x sifatida 0 cheksizlikka teng, agar har qanday ixtiyoriy katta son uchun M > 0 , d M raqami mavjud > 0 , M ga qarab, nuqtaning teshilgan d M - qo'shnisiga tegishli barcha x uchun: , quyidagi tengsizlik bajariladi:
.
Cheksiz chegara quyidagicha ifodalanadi:
.
Yoki da.

Borliq va universallikning mantiqiy belgilaridan foydalanib, funksiyaning cheksiz chegarasini aniqlashni quyidagicha yozish mumkin:
.

Siz va ga teng bo'lgan ba'zi belgilarning cheksiz chegaralarining ta'riflarini ham kiritishingiz mumkin:
.
.

Funksiya chegarasining universal ta'rifi

Nuqtaning qo‘shnisi tushunchasidan foydalanib, funksiyaning chekli va cheksiz chegarasining universal ta’rifini berishimiz mumkin, bu ham chekli (ikki tomonlama va bir tomonlama) va cheksiz uzoq nuqtalar uchun ham amal qiladi:
.

Geyne bo'yicha funksiya chegarasini aniqlash

Funktsiya ba'zi X to'plamda aniqlansin:.
a soni funksiyaning chegarasi deyiladi nuqtada:
,
agar x ga yaqinlashuvchi har qanday ketma-ketlik uchun 0 :
,
Elementlari X to'plamga tegishli: ,
.

Keling, mavjudlik va universallikning mantiqiy belgilaridan foydalanib, ushbu ta'rifni yozamiz:
.

Agar x nuqtaning chap qirrali qo'shnisini X to'plam sifatida olsak 0 , keyin chap chegaraning ta'rifini olamiz. Agar u o'ng qo'li bo'lsa, biz to'g'ri chegaraning ta'rifini olamiz. Agar cheksizlikdagi nuqtaning qo‘shniligini X to‘plam sifatida olsak, funksiyaning cheksizlikdagi chegarasi ta’rifini olamiz.

Teorema
Funktsiya chegarasining Koshi va Geyn ta'riflari ekvivalentdir.
Isbot

Funksiya chegarasining xossalari va teoremalari

Bundan tashqari, ko'rib chiqilayotgan funksiyalar nuqtaning tegishli qo'shnisida aniqlangan deb faraz qilamiz, bu chekli son yoki belgilardan biri: . Bundan tashqari, bir tomonlama chegara nuqtasi bo'lishi mumkin, ya'ni shakl yoki . Mahalla ikki tomonlama chegara uchun ikki tomonlama va bir tomonlama chegara uchun bir tomonlama.

Asosiy xususiyatlar

Agar funktsiyaning qiymatlari f (x) x nuqtalarning cheklangan sonini o'zgartiring (yoki aniqlanmagan qilib qo'ying). 1, x 2, x 3, ... x n, u holda bu o'zgarish ixtiyoriy x nuqtasida funktsiya chegarasining mavjudligi va qiymatiga ta'sir qilmaydi. 0 .

Agar chekli chegara mavjud bo'lsa, u holda x nuqtaning teshilgan qo'shnisi mavjud 0 , buning ustiga f funktsiya (x) cheklangan:
.

Funktsiya x nuqtada bo'lsin 0 chekli noldan farqli chegara:
.
Keyin, oraliqdan har qanday c soni uchun x nuqtasining shunday teshilgan qo'shnisi mavjud 0 , nima uchun ,
, Agar;
, Agar .

Agar nuqtaning ba'zi bir teshilgan mahallasida , doimiy bo'lsa, u holda .

Agar cheklangan chegaralar mavjud bo'lsa va x nuqtasining ba'zi teshilgan qo'shnilarida 0
,
Bu .

Agar , va nuqtaning ba'zi mahallalarida
,
Bu .
Xususan, bir nuqtaning ba'zi bir mahallasida bo'lsa
,
keyin agar , keyin va ;
agar , keyin va.

Agar x nuqtaning ba'zi bir teshilgan mahallasida bo'lsa 0 :
,
va chekli (yoki ma'lum bir belgining cheksiz) teng chegaralari mavjud:
, Bu
.

Asosiy xususiyatlarning dalillari sahifada keltirilgan
«Funksiya chegaralarining asosiy xossalari».

Funksiya chegarasining arifmetik xossalari

Vazifalar va nuqtaning ba'zi teshilgan mahallasida aniqlansin. Va chekli chegaralar bo'lsin:
Va .
Va C doimiy, ya'ni berilgan son bo'lsin. Keyin
;
;
;
, Agar .

Agar, keyin.

Arifmetik xususiyatlarning isbotlari sahifada keltirilgan
“Funksiya chegaralarining arifmetik xossalari”.

Funksiya chegarasining mavjudligi uchun Koshi mezoni

Teorema
Cheklangan yoki cheksizlik x nuqtasining ba'zi bir teshilgan qo'shnisida aniqlangan funktsiya uchun 0 , bu nuqtada cheklangan chegarasi bor edi, bu har qanday e uchun zarur va etarli > 0 x nuqtaning shunday teshilgan mahallasi bor edi 0 , har qanday nuqta va bu qoʻshnilik uchun quyidagi tengsizlik amal qiladi:
.

Murakkab funktsiya chegarasi

Limit teoremasi murakkab funktsiya
Funktsiya chegaraga ega bo'lsin va nuqtaning teshilgan qo'shnisini nuqtaning teshilgan qo'shnisiga ko'rsating. Funktsiya shu mahallada aniqlansin va uning chegarasi bo'lsin.
Mana oxirgi yoki cheksiz uzoq nuqtalar: . Mahallalar va ularning tegishli chegaralari ikki tomonlama yoki bir tomonlama bo'lishi mumkin.
U holda murakkab funksiyaning chegarasi mavjud va u quyidagilarga teng:
.

Murakkab funktsiyaning chegara teoremasi funktsiya nuqtada aniqlanmagan yoki chegaradan farqli qiymatga ega bo'lganda qo'llaniladi. Ushbu teoremani qo'llash uchun funktsiya qiymatlari to'plamida nuqta bo'lmagan nuqtaning teshilgan qo'shnisi bo'lishi kerak:
.

Agar funktsiya nuqtada uzluksiz bo'lsa, u holda chegara belgisi argumentga qo'llanilishi mumkin doimiy funktsiya:
.
Quyida ushbu holatga mos keladigan teorema keltirilgan.

Funksiyaning uzluksiz funksiya chegarasi haqidagi teorema
g funktsiyaning chegarasi bo'lsin (t) t → t sifatida 0 , va u x ga teng 0 :
.
Mana t nuqtasi 0 chekli yoki cheksiz masofali bo'lishi mumkin: .
Va f funktsiyasi bo'lsin (x) x nuqtada uzluksizdir 0 .
U holda f kompleks funksiyaning chegarasi mavjud (g(t)), va u f ga teng (x0):
.

Teoremalarning isbotlari sahifada keltirilgan
“Kompleks funksiyaning chegarasi va uzluksizligi”.

Cheksiz kichik va cheksiz katta funksiyalar

Cheksiz kichik funktsiyalar

Ta'rif
Agar funktsiya cheksiz kichik deyiladi
.

Yig'indi, farq va mahsulot da chekli sonli cheksiz kichik funksiyalar da cheksiz kichik funksiyadir.

Chegaralangan funksiya mahsuloti nuqtaning ba'zi bir teshilgan qo'shnisi bo'yicha cheksiz kichik funktsiya - da cheksiz kichik funktsiyadir.

Funktsiyaning chekli chegarasi bo'lishi uchun bu zarur va etarli
,
da cheksiz kichik funksiya qayerda.

“Cheksiz kichik funksiyalarning xossalari”.

Cheksiz katta funksiyalar

Ta'rif
Agar funktsiya cheksiz katta deyiladi
.

Nuqtaning ba'zi bir teshilgan qo'shnisidagi chegaralangan funktsiyaning yig'indisi yoki farqi va cheksiz katta funktsiya - da cheksiz katta funktsiyadir.

Agar funktsiya uchun cheksiz katta bo'lsa va funksiya nuqtaning ba'zi bir teshilgan qo'shnisi bilan chegaralangan bo'lsa, u holda
.

Agar funktsiya nuqtaning ba'zi bir teshilgan qo'shnisida tengsizlikni qanoatlantirsa:
,
va funksiya quyidagi hollarda cheksiz kichikdir:
, va (nuqtaning ba'zi teshilgan mahallasida), keyin
.

Xususiyatlarning dalillari bo'limda keltirilgan
“Cheksiz katta funksiyalarning xossalari”.

Cheksiz katta va cheksiz kichik funktsiyalar o'rtasidagi bog'liqlik

Oldingi ikkita xususiyatdan cheksiz katta va cheksiz kichik funktsiyalar o'rtasidagi bog'liqlik kelib chiqadi.

Agar funktsiya da cheksiz katta bo'lsa, u holda funksiya cheksiz kichik bo'ladi.

Agar funktsiya va uchun cheksiz kichik bo'lsa, u holda funktsiya uchun cheksiz katta bo'ladi.

Cheksiz kichik va cheksiz katta funktsiya o'rtasidagi munosabat ramziy ravishda ifodalanishi mumkin:
, .

Agar cheksiz kichik funktsiya ning ma'lum bir belgisiga ega bo'lsa, ya'ni nuqtaning biron bir teshilgan qo'shnisida ijobiy (yoki manfiy) bo'lsa, bu faktni quyidagicha ifodalash mumkin:
.
Xuddi shu tarzda, agar cheksiz katta funktsiyaning ma'lum bir belgisi bo'lsa, ular yozadilar:
.

Shunda cheksiz kichik va cheksiz katta funksiyalar o‘rtasidagi ramziy bog‘lanishni quyidagi munosabatlar bilan to‘ldirish mumkin:
, ,
, .

Cheksizlik belgilari bilan bog'liq qo'shimcha formulalarni sahifada topish mumkin
“Cheksizlikdagi nuqtalar va ularning xossalari”.

Monoton funksiyalarning chegaralari

Ta'rif
X haqiqiy sonlar to'plamida aniqlangan funktsiya deyiladi qat'iy ortib bormoqda, agar hamma uchun quyidagi tengsizlik amal qilsa:
.
Shunga ko'ra, uchun qat'iy kamayadi funktsiya uchun quyidagi tengsizlik amal qiladi:
.
Uchun kamaymaydigan:
.
Uchun oshmaydigan:
.

Bundan kelib chiqadiki, qat'iy ortib boruvchi funktsiya ham kamaymaydi. Qattiq kamayuvchi funktsiya ham ortib bormaydi.

Funktsiya chaqiriladi monoton, agar u kamaymaydigan yoki o'smaydigan bo'lsa.

Teorema
Funktsiya oraliqda kamaymasin.
Agar u yuqorida M soni bilan chegaralangan bo'lsa: u holda chekli chegara mavjud. Agar yuqoridan cheklanmagan bo'lsa, unda .
Agar u pastdan m soni bilan chegaralangan bo'lsa: u holda chekli chegara mavjud. Agar pastdan cheklanmagan bo'lsa, unda .

Agar a va b nuqtalar cheksizlikda bo'lsa, u holda ifodalarda chegara belgilari shuni anglatadi.
Bu teoremani yanada ixchamroq shakllantirish mumkin.

Funktsiya oraliqda kamaymasin. Keyin a va b nuqtalarida bir tomonlama chegaralar mavjud:
;
.

O'smaydigan funksiya uchun ham xuddi shunday teorema.

Funktsiya oraliqda ortmasin. Keyin bir tomonlama cheklovlar mavjud:
;
.

Teoremaning isboti sahifada keltirilgan
“Monotonik funksiyalarning chegaralari”.

Adabiyotlar:
L.D. Kudryavtsev. Matematik tahlil kursi. 1-jild. Moskva, 2003 yil.
SM. Nikolskiy. Matematik tahlil kursi. 1-jild. Moskva, 1983 yil.

Limitlar nazariyasi matematik analizning tarmoqlaridan biridir. Limitlarni yechish masalasi juda keng, chunki limitlarni yechishning o'nlab usullari mavjud har xil turlari. Bu yoki boshqa chegarani hal qilishga imkon beruvchi o'nlab nuances va fokuslar mavjud. Shunga qaramay, biz hali ham amalda eng ko'p uchraydigan cheklovlarning asosiy turlarini tushunishga harakat qilamiz.

Keling, chegara tushunchasidan boshlaylik. Lekin birinchi navbatda, qisqacha tarixiy ma'lumot. 19-asrda fransuz Ogustin Lui Koshi yashagan, u matematik tahlilga asos solgan va qat'iy ta'riflar bergan, ayniqsa chegara ta'rifini bergan. Aytish kerakki, xuddi shu Koshi barcha fizika va matematika talabalarining dahshatli tushida bo'lgan, bo'ladi va bo'ladi, chunki u matematik tahlilning juda ko'p sonli teoremalarini isbotlagan va har bir teorema boshqasidan ko'ra jirkanchroqdir. Shu munosabat bilan biz chegaraning qat'iy ta'rifini ko'rib chiqmaymiz, lekin ikkita narsani qilishga harakat qilamiz:

1. Cheklov nima ekanligini tushunib oling.
2. Limitlarning asosiy turlarini yechishni o'rganing.

Ba'zi ilmiy asossiz tushuntirishlar uchun uzr so'rayman, material hatto choynak uchun ham tushunarli bo'lishi muhim, bu aslida loyihaning vazifasidir.

Xo'sh, chegara nima?

Va nega shaggy buviga faqat bir misol....

Har qanday chegara uch qismdan iborat:

1) Taniqli chegara belgisi.
2) Limit belgisi ostidagi yozuvlar, in Ushbu holatda. Yozuvda "X birga moyil" deb yozilgan. Ko'pincha - aniq, garchi amalda "X" o'rniga boshqa o'zgaruvchilar mavjud. Amaliy topshiriqlarda bittaning o'rni mutlaqo har qanday raqam bo'lishi mumkin, shuningdek cheksizlik ().
3) Chegara belgisi ostida funksiyalar, bu holda .

Kirishning o'zi shunday o'qiydi: "funktsiyaning chegarasi x birlikka intiladi."

Keling, keyingi muhim savolni ko'rib chiqaylik - "x" iborasi nimani anglatadi? intiladi biriga"? Va "harakat qilish" nimani anglatadi?
Chegara tushunchasi, ta’bir joiz bo‘lsa, tushunchadir. dinamik. Keling, ketma-ketlikni tuzamiz: avval , keyin , , …, , ….
Ya'ni, "x intiladi biriga” deganda shunday tushunilishi kerak: “x” izchil ravishda qiymatlarni oladi qaysi birlik yondoshuvi unga cheksiz yaqin va amalda mos keladi.

Yuqoridagi misolni qanday hal qilish mumkin? Yuqoridagilarga asoslanib, chegara belgisi ostidagi funktsiyaga bittasini almashtirish kifoya:

Shunday qilib, birinchi qoida: Har qanday chegara berilganda, avval biz raqamni funktsiyaga ulashga harakat qilamiz.

Biz eng oddiy chegarani ko'rib chiqdik, lekin ular amalda ham sodir bo'ladi va juda kam emas!

Cheksizlik bilan misol:

Keling, nima ekanligini aniqlaylik? Bu chegarasiz ko'payganda, ya'ni: birinchi, keyin, keyin, keyin va hokazo ad infinitum.

Bu vaqtda funksiya bilan nima sodir bo'ladi?
, , , …

Demak: agar , u holda funksiya minus cheksizlikka intiladi:

Taxminan aytganda, bizning birinchi qoidamizga ko'ra, "X" o'rniga biz cheksizlikni funktsiyaga almashtiramiz va javobni olamiz.

Cheksizlik bilan boshqa misol:

Yana biz cheksizlikka ko'tarilishni boshlaymiz va funktsiyaning harakatiga qaraymiz:

Xulosa: funksiya chegarasiz ortganda:

Va yana bir qator misollar:

Iltimos, quyidagilarni o'zingiz uchun aqliy tahlil qilishga harakat qiling va chegaralarning eng oddiy turlarini eslang:

, , , , , , , , ,
Agar biror joyda shubhangiz bo'lsa, siz kalkulyatorni olib, biroz mashq qilishingiz mumkin.
Bunday holda, ketma-ketlikni qurishga harakat qiling, , . Agar , keyin , ,.

Eslatma: to'g'ridan-to'g'ri aytganda, bir nechta raqamlar ketma-ketligini qurishning bunday yondashuvi noto'g'ri, ammo eng oddiy misollarni tushunish uchun bu juda mos keladi.

Quyidagi narsaga ham e'tibor bering. Yuqorida katta raqam yoki hatto million bilan chegara berilgan bo'lsa ham: , hammasi bir xil bo'ladi , chunki ertami-kechmi "X" shunday ulkan qiymatlarni oladiki, ular bilan solishtirganda million haqiqiy mikrob bo'ladi.

Yuqoridagilardan nimani eslash va tushunish kerak?

1) Har qanday chegara berilganda, avval biz raqamni funktsiyaga almashtirishga harakat qilamiz.

2) Siz eng oddiy chegaralarni tushunishingiz va darhol hal qilishingiz kerak, masalan, , va hokazo.

Endi biz chegaralar guruhini ko'rib chiqamiz qachon va funktsiya soni va maxraji ko'phadlardan iborat bo'lgan kasrdir

Misol:

Limitni hisoblash

Bizning qoidamizga ko'ra, biz cheksizlikni funktsiyaga almashtirishga harakat qilamiz. Biz tepada nimani olamiz? Cheksizlik. Va quyida nima sodir bo'ladi? Shuningdek, cheksizlik. Shunday qilib, bizda turlarning noaniqligi deb ataladigan narsa bor. Biror kishi shunday deb o'ylashi mumkin va javob tayyor, lekin umumiy holatda bu umuman emas va biz hozir ko'rib chiqamiz.

Ushbu turdagi chegaralarni qanday hal qilish mumkin?

Avval biz numeratorga qaraymiz va eng yuqori quvvatni topamiz:

Numeratordagi etakchi kuch ikkitadir.

Endi biz maxrajga qaraymiz va uni eng yuqori quvvatga ham topamiz:

Maxrajning eng yuqori darajasi ikkitadir.

Keyin hisob va maxrajning eng yuqori kuchini tanlaymiz: bu misolda ular bir xil va ikkitaga teng.

Demak, yechish usuli quyidagicha: noaniqlikni ochish uchun pay va maxrajni eng yuqori quvvatga bo‘lish kerak.

Mana, javob, va umuman cheksizlik emas.

Qarorni ishlab chiqishda nima muhim?

Birinchidan, agar mavjud bo'lsa, noaniqlikni ko'rsatamiz.

Ikkinchidan, oraliq tushuntirishlar uchun yechimni to'xtatish tavsiya etiladi. Men odatda belgidan foydalanaman, u hech qanday matematik ma'noga ega emas, lekin oraliq tushuntirish uchun yechim to'xtatilganligini anglatadi.

Uchinchidan, chegarada qaerga ketayotganini belgilash tavsiya etiladi. Ish qo'lda chizilgan bo'lsa, buni shunday qilish qulayroqdir:

Eslatmalar uchun oddiy qalamdan foydalanish yaxshidir.

Albatta, siz bularning hech birini qilishingiz shart emas, lekin keyin, ehtimol, o'qituvchi yechimdagi kamchiliklarni ko'rsatadi yoki topshiriq bo'yicha qo'shimcha savollar berishni boshlaydi. Sizga kerakmi?

2-misol

Chegarani toping
Yana pay va maxrajda biz eng yuqori darajada topamiz:

Numeratorda maksimal daraja: 3
Maxrajdagi maksimal daraja: 4
Tanlang eng buyuk qiymat, bu holda to'rtta.
Bizning algoritmimizga ko'ra, noaniqlikni aniqlash uchun biz pay va maxrajni ga ajratamiz.
To'liq topshiriq quyidagicha ko'rinishi mumkin:

Numerator va maxrajni ga bo'ling

3-misol

Chegarani toping
Numeratordagi "X" ning maksimal darajasi: 2
Maxrajdagi "X" ning maksimal darajasi: 1 (shunday yozish mumkin)
Noaniqlikni aniqlash uchun pay va maxrajni ga bo'lish kerak. Yakuniy yechim quyidagicha ko'rinishi mumkin:

Numerator va maxrajni ga bo'ling

Belgilanish nolga bo'linishni anglatmaydi (nolga bo'lish mumkin emas), lekin cheksiz kichik songa bo'lish.

Shunday qilib, turlarning noaniqligini ochib, biz qila olamiz yakuniy raqam, nol yoki cheksizlik.

Turi va ularni yechish usuli noaniqligi bilan chegaralar

Keyingi chegaralar guruhi hozirgina ko'rib chiqilgan chegaralarga biroz o'xshaydi: hisoblagich va maxrajda polinomlar mavjud, ammo "x" endi cheksizlikka emas, balki chekli son.

4-misol

Cheklovni hal qilish
Birinchidan, kasrda -1 ni almashtirishga harakat qilaylik:

Bunday holda, noaniqlik deb ataladigan narsa olinadi.

Umumiy qoida : agar sanoq va maxrajda ko'phadlar bo'lsa va shaklda noaniqlik mavjud bo'lsa, uni oshkor qilish son va maxrajni koeffitsientga kiritishingiz kerak.

Buning uchun ko'pincha kvadrat tenglamani echishingiz va/yoki qisqartirilgan ko'paytirish formulalaridan foydalanishingiz kerak. Agar bu narsalar unutilgan bo'lsa, sahifaga tashrif buyuring Matematik formulalar va jadvallar va tekshiring uslubiy material Issiq formulalar maktab kursi matematiklar. Aytgancha, uni chop etish yaxshidir, bu juda tez-tez talab qilinadi va ma'lumot qog'ozdan yaxshiroq so'riladi.

Shunday qilib, keling, chegaramizni hal qilaylik

Numerator va maxrajni ko‘paytiring

Numeratorni faktorlarga ajratish uchun kvadrat tenglamani yechish kerak:

Avval diskriminantni topamiz:

Va uning kvadrat ildizi: .

Agar diskriminant katta bo'lsa, masalan, 361, biz kalkulyatordan foydalanamiz, ekstraktsiya funktsiyasi kvadrat ildiz eng oddiy kalkulyatorda mavjud.

! Agar ildiz to'liq chiqarib olinmasa (vergul bilan kasr son olinadi), ehtimol diskriminant noto'g'ri hisoblangan yoki topshiriqda matn terish xatosi bo'lgan.

Keyin biz ildizlarni topamiz:

Shunday qilib:

Hammasi. Numerator faktorlarga ajratiladi.

Denominator. Denominator allaqachon eng oddiy omil bo'lib, uni soddalashtirishning hech qanday usuli yo'q.

Shubhasiz, uni qisqartirish mumkin:

Endi chegara belgisi ostida qolgan ifodaga -1 ni almashtiramiz:

Tabiiyki, ichida sinov ishi, test yoki imtihon paytida yechim hech qachon bunday batafsil yozilmaydi. Yakuniy versiyada dizayn quyidagicha ko'rinishi kerak:

Numeratorni koeffitsientlarga ajratamiz.

5-misol

Limitni hisoblash

Birinchidan, yechimning "tugatish" versiyasi

Ayrim va maxrajni koeffitsientga ajratamiz.

Hisoblagich:
Denominator:



,

Bu misolda nima muhim?
Birinchidan, siz numerator qanday ochilishini yaxshi tushunishingiz kerak, avval biz qavs ichidan 2 tasini oldik, keyin kvadratlar farqi uchun formuladan foydalandik. Bu siz bilishingiz va ko'rishingiz kerak bo'lgan formuladir.

Limitlarni yechish usullari. Noaniqliklar.
Funktsiyaning o'sish tartibi. O'zgartirish usuli

4-misol

Chegarani toping

Bu uchun oddiyroq misol mustaqil qaror. Taklif etilgan misolda yana noaniqlik (ko'proq yuqori tartib ildizdan balandligi).

Agar "x" "minus cheksizlik" ga moyil bo'lsa

Ushbu maqolada uzoq vaqtdan beri "minus cheksizlik" ning tasavvuri mavjud. Polinomlar bilan chegaralarni ko'rib chiqaylik. Yechish tamoyillari va usullari, bir qator nuanslar bundan mustasno, darsning birinchi qismida bo'lgani kabi bir xil bo'ladi.

Keling, amaliy vazifalarni hal qilish uchun zarur bo'lgan 4 ta hiylani ko'rib chiqaylik:

1) Limitni hisoblang

Limitning qiymati faqat muddatga bog'liq, chunki u o'sishning eng yuqori tartibiga ega. Agar , keyin moduli cheksiz katta manfiy raqam EVV darajaga, bu holda - to'rtinchisida, "ortiqcha cheksizlik" ga teng: . Doimiy ("ikki") ijobiy, Shunung uchun:

2) Limitni hisoblang

Mana yana oliy daraja hatto, Shunung uchun: . Ammo uning oldida "minus" bor ( salbiy doimiy -1), shuning uchun:

3) Limitni hisoblang

Cheklangan qiymat faqat ga bog'liq. Maktabdan eslaganingizdek, "minus" g'alati daraja ostidan "sakrab chiqadi", shuning uchun moduli cheksiz katta manfiy sonni ODD quvvatga"minus cheksizlik" ga teng, bu holda: .
Doimiy ("to'rt") ijobiy, degani:

4) Limitni hisoblang

Qishloqdagi birinchi yigit yana bor g'alati daraja, qo'shimcha ravishda, ko'kragida salbiy doimiy, bu degani: Shunday qilib:
.

5-misol

Chegarani toping

Yuqoridagi fikrlardan foydalanib, biz bu erda noaniqlik bor degan xulosaga kelamiz. Numerator va maxraj bir xil o'sish tartibida, ya'ni chegarada natija chekli son bo'ladi. Keling, barcha qovurilganlarni tashlab, javobni bilib olaylik:

Yechim ahamiyatsiz:

6-misol

Chegarani toping

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. To'liq yechim va javob dars oxirida.

Va endi, ehtimol, eng nozik holatlar:

7-misol

Chegarani toping

Etakchi shartlarni ko'rib chiqsak, biz bu erda noaniqlik bor degan xulosaga kelamiz. Numerator maxrajga qaraganda yuqori o'sish tartibiga ega, shuning uchun biz darhol chegara cheksizlikka teng deb aytishimiz mumkin. Lekin qanday cheksizlik, "ortiqcha" yoki "minus"? Texnika bir xil - keling, hisob va maxrajdagi kichik narsalardan xalos bo'laylik:

Biz qaror qilamiz:

Numerator va maxrajni ga bo'ling

15-misol

Chegarani toping

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. Dars oxirida yakuniy dizaynning taxminiy namunasi.

O'zgaruvchilarni almashtirish mavzusida yana bir nechta qiziqarli misollar:

16-misol

Chegarani toping

Birlikni chegaraga almashtirishda noaniqlik olinadi. O'zgaruvchini o'zgartirish allaqachon o'zini ko'rsatadi, lekin avval biz formuladan foydalanib tangensni o'zgartiramiz. Darhaqiqat, nega bizga tangens kerak?

E'tibor bering, shuning uchun. Agar u to'liq aniq bo'lmasa, sinus qiymatlariga qarang trigonometrik jadval. Shunday qilib, biz darhol multiplikatordan xalos bo'lamiz, qo'shimcha ravishda biz 0: 0 ko'proq tanish noaniqlikni olamiz. Bizning chegaramiz nolga moyil bo'lsa yaxshi bo'lardi.

Keling, almashtiramiz:

Agar , keyin

Kosinus ostida bizda "x" bor, bu ham "te" orqali ifodalanishi kerak.
O'zgartirishdan biz ifodalaymiz: .

Biz yechimni yakunlaymiz:

(1) Biz almashtirishni amalga oshiramiz

(2) Kosinus ostidagi qavslarni oching.

(4) Tashkil etish birinchi ajoyib chegara, hisoblagichni va o'zaro sonni sun'iy ravishda ko'paytiring.

Mustaqil yechim uchun vazifa:

17-misol

Chegarani toping

To'liq yechim va javob dars oxirida.

Bu ularning sinfidagi oddiy vazifalar edi, amalda hamma narsa yomonroq bo'lishi mumkin va bundan tashqari kamaytirish formulalari, siz turli xil foydalanishingiz kerak trigonometrik formulalar, shuningdek, boshqa fokuslar. "Kompleks chegaralar" maqolasida men bir nechta haqiqiy misollarni ko'rib chiqdim =)

Bayram arafasida biz yana bir umumiy noaniqlik bilan vaziyatga aniqlik kiritamiz:

"Cheksizlik kuchiga bir" noaniqlikni yo'q qilish

Bu noaniqlik "xizmat qilinadi" ikkinchi ajoyib chegara, va o'sha darsning ikkinchi qismida biz ko'p hollarda amaliyotda uchraydigan standart echimlar misollarini batafsil ko'rib chiqdik. Endi eksponentlar bilan rasm tugallanadi, bundan tashqari, darsning yakuniy vazifalari "noto'g'ri" chegaralarga bag'ishlangan bo'lib, unda 2-ajoyib chegarani qo'llash kerak deb o'ylaydi, garchi bu umuman bo'lmasa ham. hol.

2-ajoyib chegara uchun ikkita ishlaydigan formulaning kamchiligi shundaki, argument "ortiqcha cheksizlik" yoki nolga moyil bo'lishi kerak. Ammo argument boshqa raqamga moyil bo'lsa-chi?

Universal formula yordamga keladi (bu aslida ikkinchi ajoyib chegaraning natijasidir):

Noaniqlikni quyidagi formula yordamida bartaraf etish mumkin:

Bir joyda men kvadrat qavslar nimani anglatishini allaqachon tushuntirdim deb o'ylayman. Hech qanday maxsus narsa yo'q, qavslar faqat qavslardir. Ular odatda matematik belgilarni aniqroq ta'kidlash uchun ishlatiladi.

Keling, formulaning asosiy nuqtalarini ajratib ko'rsatamiz:

1) Bu haqida faqat noaniqlik haqida va boshqa hech narsa.

2) "x" argumenti moyil bo'lishi mumkin ixtiyoriy qiymat(va nafaqat nolga yoki), xususan, "minus cheksizlikka" yoki har kim chekli son.

Ushbu formuladan foydalanib, siz darsdagi barcha misollarni echishingiz mumkin. Ajoyib chegaralar, bu 2-e'tiborli chegaraga tegishli. Masalan, chegarani hisoblaymiz:

Ushbu holatda , va formula bo'yicha :

To'g'ri, men buni qilishni tavsiya etmayman, an'anaga ko'ra, agar uni qo'llash mumkin bo'lsa, hali ham yechimning "odatiy" dizaynidan foydalanish kerak. Biroq formuladan foydalanib tekshirish juda qulay 2-ajoyib chegaraga "klassik" misollar.

Cheklovlarni qanday topishni o'rganmoqchi bo'lganlar uchun ushbu maqolada biz bu haqda sizga aytib beramiz. Biz nazariyani chuqur o'rganmaymiz, odatda o'qituvchilar uni ma'ruzalarda berishadi. Shunday qilib, "zerikarli nazariya" daftaringizga yozib qo'yilishi kerak. Agar bunday bo'lmasa, siz kutubxonadan olingan darsliklarni o'qishingiz mumkin. ta'lim muassasasi yoki boshqa Internet manbalarida.

Shunday qilib, kursni o'rganishda chegara tushunchasi juda muhimdir oliy matematika, ayniqsa integral hisobiga duch kelganingizda va chegara va integral o'rtasidagi munosabatni tushunganingizda. Joriy materialda biz ko'rib chiqamiz oddiy misollar, shuningdek, ularni hal qilish usullari.

Yechimlarga misollar

1-misol

Hisoblang a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $

Yechim

a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Odamlar ko'pincha bizga ushbu chegaralarni ularni hal qilishda yordam so'rab yuborishadi. Biz ularni alohida misol sifatida ajratib ko'rsatishga qaror qildik va bu chegaralarni qoida tariqasida faqat eslab qolish kerakligini tushuntirishga qaror qildik. Agar muammoingizni hal qila olmasangiz, uni bizga yuboring. Biz batafsil yechimni taqdim etamiz. Hisoblash jarayonini ko'rishingiz va ma'lumot olishingiz mumkin. Bu sizga o'qituvchingizdan o'z vaqtida baho olishingizga yordam beradi!

Javob

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1) )(x) = 0 $$

Shakl noaniqligi bilan nima qilish kerak: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

3-misol

$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $ yeching.

Yechim

Har doimgidek, biz $ x $ qiymatini chegara belgisi ostidagi ifodaga almashtirishdan boshlaymiz. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0)$$ Endi nima bo'ladi? Oxirida nima bo'lishi kerak? Bu noaniqlik bo'lgani uchun, bu hali javob emas va biz hisoblashni davom ettiramiz. Numeratorlarda ko‘phad mavjud bo‘lgani uchun uni maktabdan hammaga tanish bo‘lgan $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$ formulasi yordamida faktorlarga ajratamiz. Esingizdami? Ajoyib! Endi davom eting va uni qo'shiq bilan ishlating :) Biz $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ sonini topamiz Yuqoridagi o'zgarishlarni hisobga olgan holda hal qilishni davom ettiramiz: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1) ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

Javob

$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Oxirgi ikki misoldagi chegarani cheksizlikka suramiz va noaniqlikni ko'rib chiqamiz: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

5-misol

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $ hisoblang

Yechim

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Nima qilsa bo'ladi? Nima qilishim kerak? Vahima qo'ymang, chunki imkonsiz narsa mumkin. Numeratorda ham, maxrajdagi ham x ni chiqarib, keyin uni qisqartirish kerak. Shundan so'ng, chegarani hisoblashga harakat qiling. Kel urinib ko'ramiz... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ 2-misoldagi ta'rifdan foydalanib va ​​cheksizlikni x o'rniga qo'yib, biz quyidagilarni olamiz: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty))))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

Javob

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Limitlarni hisoblash algoritmi

Shunday qilib, keling, misollarni qisqacha umumlashtiramiz va chegaralarni echish algoritmini tuzamiz:

1. X nuqtani chegara belgisidan keyingi ifodaga almashtiring. Agar ma'lum bir son yoki cheksizlik olingan bo'lsa, u holda chegara butunlay hal qilinadi. Aks holda, bizda noaniqlik bor: "nol nolga bo'lingan" yoki "cheksizlikka bo'lingan cheksizlik" va ko'rsatmalarning keyingi bosqichlariga o'ting.
2. "Nolning nolga bo'linishi" noaniqligini bartaraf qilish uchun siz numerator va denominatorni faktorga kiritishingiz kerak. Shunga o'xshashlarni kamaytiring. Chegara belgisi ostidagi ifodaga x nuqtasini almashtiring.
3. Agar noaniqlik "cheksizlikka bo'lingan cheksizlik" bo'lsa, u holda biz sonni ham, x maxrajini ham eng katta darajada chiqaramiz. Biz X harflarini qisqartiramiz. Biz chegara ostidagi x qiymatlarini qolgan ifodaga almashtiramiz.

Ushbu maqolada siz kursda tez-tez ishlatiladigan chegaralarni echish asoslarini bilib oldingiz. Matematik tahlil. Albatta, bu imtihonchilar tomonidan taklif qilinadigan barcha turdagi muammolar emas, balki faqat eng oddiy chegaralardir. Boshqa turdagi topshiriqlar haqida keyingi maqolalarda gaplashamiz, lekin oldinga siljish uchun avval ushbu saboqni o'rganishingiz kerak. Keling, agar ildizlar, darajalar mavjud bo'lsa, nima qilish kerakligini muhokama qilaylik, cheksiz kichik ekvivalent funktsiyalarni, ajoyib chegaralarni, L'Hopital qoidasini o'rganamiz.

Agar siz chegaralarni o'zingiz aniqlay olmasangiz, vahima qo'ymang. Biz har doim yordam berishdan xursandmiz!