“Hosilalarni hisoblash” amaliy darsi. Amaliy dars “hosillarni hisoblash” y funksiyaning hosilasini toping

Dars maqsadlari:

Tarbiyaviy- farqlash formulalarini bilish; farqlash qoidalari;
murakkab funksiyani differentsiallash; hosilaning fizik va geometrik ma'nosi;
funksiya grafigiga teginish tenglamasi.

Rivojlanish - funksiyalarning hosilalarini topa olish; fizik ma’no, geometrik ma’nodan foydalanib masalalar yechish; nuqtadagi funksiya hosilasining qiymatini topish; bajarilgan harakatlarni matematik jihatdan to'g'ri tushuntirish va asoslash.

Ta'lim - mustaqillikni, mas'uliyatni, fikrlashni tarbiyalash.

Darslar davomida

I. Tashkiliy moment.

II. Uy vazifasini tekshirish
(tanaffus paytida maslahatchilar (talabalarni) tekshiradilar va baho qo'yadilar).

III. Maqsadni belgilash va motivatsiya

O'qituvchi o'quvchilarga ushbu dars "Hosilalarni hisoblash" mavzusidagi yakuniy dars ekanligini ma'lum qiladi va ularni o'z maqsadlarini shakllantirishga taklif qiladi.

O‘qituvchi: “Buyuk faylasuf Konfutsiy aytgan edi: “Uch yo‘l bilimga olib boradi: tafakkur yo‘li – eng ezgu yo‘l, taqlid yo‘li – eng oson yo‘l, tajriba yo‘li – eng achchiq yo‘l”. Shunday qilib, bugun sinfda har biringiz ushbu mavzuni bilishning qaysi yo'lida ekanligini aniqlaysiz."

Talabalarga hosilalarni hisoblash bo'yicha bilim va ko'nikmalarini ko'rsatish vazifasi beriladi va ularga dars ishlanmasi beriladi.

I bosqich:"Eslab qoling" kartasi yordamida vazifani bajarish.
(formulalar va farqlash qoidalari bo'yicha bilimlarni tekshirish).

II bosqich: Bilimlarni takrorlash va umumlashtirish bo'yicha og'zaki frontal ish.

III bosqich:"Test prognozi" (ushbu vazifani bajarishda maslahatchilarning yordami maqbuldir).

IV bosqich: Amaliy masala yechimi.

V bosqich: Mustaqil ish

Ishning I, III, V bosqichlari va uy vazifalari baholanadi. Maslahatchilar tekshiradi va natijalarni baholash jadvaliga kiritadi.

Baholash mezonlari: "5"- 19-20 ball;
"4"- 15-18 ball;
"3"- 10-14 ball.

Bilim sari yo'llar

Malumot bilimlarini takrorlash va tuzatish

I bosqich.

Maqsad: formulalar va farqlash qoidalarini bilishni nazorat qilish, o'z-o'zini nazorat qilish

Eslab qoling! F.I. ______________________________________________________
	Hosil


c,c - minuslar t









	f"(x)+ g"(x)
f(x)* g(x)

Ushbu topshiriqning oxirida "Tozuvlar jadvali" yordamida o'z-o'zini tekshirish amalga oshiriladi. Kartalar maslahatchilarga tekshirish uchun topshiriladi (kartalarda tuzatishlar kiritish mumkin emas).

V. Bilimlarni umumlashtirish va tizimlashtirish
II bosqich.

1. Og'zaki frontal ish.

A. Ushbu shart uchun vazifa yarating va uni hal qiling.

1. Funksiyaning t = 3 nuqtadagi hosilasining qiymatini toping.(Javob: 21.)

2. t = 3 nuqtadagi funksiya grafigiga teginish uchun tenglama tuzing (Javob: y = 21x-45.).

3. Harakat qonuni formula bilan berilgan bo‘lsa, t=3c momentdagi jismning tezligi va tezlanishini toping. (Javob: 21 m/s, 16 m/s²).

4. t = 3 nuqtada funksiya grafigiga chizilgan tangensning burchak koeffitsientini toping (Javob: 21.).

5. t = 3 nuqtadagi funksiya grafigiga teginish burchagining tangensini toping va Ox o'qining tangensi bilan musbat yo'nalishi orasidagi burchak turini aniqlang. (Javob: tga, a burchak o'tkir)

B. Funksiyalarning hosilalarini toping

2. III bosqich"Test prognozi"

Ushbu topshiriq yakunida yakuniy javoblar asosida o'z-o'zini tekshirish o'tkaziladi va testlar maslahatchilarga topshiriladi. (kartalarga tuzatishlar kiritish mumkin emas).
Javoblar:


1 variant
Variant 2

Muammoning yechimi

IV bosqich
Ilg'or darajadagi muammoning frontal yechimi (yechim maslahatchilar tomonidan sinf bilan birgalikda amalga oshiriladi).

Vazifa

Qaysi parametr qiymatlarida a funksiya grafigiga teglar

uning X o'qi bilan kesishgan nuqtalarida chizilgan, ular o'rtasida 60 ° burchak hosil qiladi?

Grafik parabola bo'lib, yuqoriga qarab shoxlari X o'qini ikki nuqtada kesib o'tadi (holat a=0 muammoning ma'nosini qoniqtirmaydi):

IX. Xulosa qilish va baholash

1. Savollar: a) Dars maqsadiga erishildimi?
b) Qaysi bosqich eng qiyin bo'lgan?
c) Eng qiziqarlisi nima edi?

2. Maslahatchilar natijalarni e'lon qiladilar (yo'lda talabalar soni va ismlari
taqlid qilish, aks ettirish usullari va tajriba usullari).

Amaliy ish

matematika

1. Funksiya chegarasini topish. Birinchi va ikkinchi ajoyib chegaralardir.

2. Kompleks funktsiyaning hosilasi. Bitta o'zgaruvchining funksiyasini o'rganish va grafiklarni chizish.

3. Test “Funksiyalarni o‘rganishda differentsial hisobni qo‘llash”.

4. Noaniq integrallarni topish. Aniq integrallarni hisoblash.

5. Determinantlarni hisoblash.

6. Chiziqli tenglamalar sistemalarini Kramer usuli yordamida yechish. Nazorat ishi.

7. “To’plamlar” mavzusiga oid masalalar yechish. Mantiqiy algebra formulalari.

8. Tasodifiy hodisalar ehtimolini hisoblash. Umumiy ehtimollik formulasi.

9. Raqamli xarakteristikalarni hisoblash.

10. “Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika asoslari” testi

11. Kompleks sonning trigonometrik shakli.

12. Kompleks sonlar bilan har xil shakldagi amallar.

MATEMATIKA FANIDAN AMALIY ISHLAB CHIQISH USOBIY KO'RSATMALAR.

KURS 2

Amaliy mashg`ulot o`quv jarayonini tashkil etish shakli bo`lib, unda o`quvchilarning topshiriq bo`yicha va o`qituvchi rahbarligida bir yoki bir nechta amaliy ishlarni bajarishlari nazarda tutiladi.

Shunday qilib, matematikadan amaliy mashg'ulotlarda o'quvchilarda muammolarni hal qilish qobiliyati shakllanadi, bu esa kelajakda maxsus fanlar bo'yicha kasbiy muammolarni hal qilishda qo'llanilishi kerak.

Amaliy ishlarni bajarish jarayonida talabalar axborot manbalaridan foydalanish, me’yoriy hujjatlar va o‘quv-metodik materiallar, ma’lumotnomalar bilan ishlash, chizmalar, diagrammalar, jadvallar tuzish, har xil turdagi masalalarni yechish, hisob-kitoblarni amalga oshirish ko‘nikmalarini egallaydilar.

Matematikadan amaliy mashg'ulotlarda yechiladigan masalalar:

1) ma'ruza davomida olingan matematika bo'yicha nazariy bilimlarni kengaytirish va mustahkamlash;

2) o‘quvchilarda matematikadan masalalarni muvaffaqiyatli yechish uchun zarur bo‘lgan amaliy ko‘nikma va malakalarni shakllantirish;

3) o'quvchilarning matematikani o'rganish jarayonida o'z-o'zini tarbiyalash va bilim va ko'nikmalarni takomillashtirishga bo'lgan ehtiyojini rivojlantirish;

4) matematikani o‘rganish jarayonida ijodiy munosabat va tadqiqotchilik yondashuvini shakllantirish;

5) bo'lajak mutaxassisning kasbiy ahamiyatli fazilatlarini va olingan bilimlarni kasbiy sohada qo'llash ko'nikmalarini shakllantirish.

Amaliy dars № 1. Funksiya chegaralarini hisoblash. Birinchi va ikkinchi ajoyib chegaralardir.

Mavzu : Funksiya chegaralarini hisoblash.

Maqsad: matematikaning fundamental sohalari bo'yicha asosiy bilimlarni egallash . Funktsiyalar chegaralarini hisoblash bo'yicha bilimlarni o'zlashtirishni tekshirish. Ushbu mavzu bo'yicha bilimlarni takrorlash va tizimlashtirish.

Vazifalar:

Ijodiy kasbiy fikrlashni rivojlantirish;

Fan tilini egallash, operatsion tushunchalar malakasi;

Muammolarni qo'yish va yechish ko'nikmalarini egallash;

Nazariy va amaliy tayyorgarlikni chuqurlashtirish;

Talabalarning tashabbuskorligi va mustaqilligini rivojlantirish.

Hisoblash ko'nikmalarini mustahkamlash;

Matematik nutq ustida ishlashni davom eting.

Mustaqil ishlash, darslik bilan ishlash, bilimlarni mustaqil egallash malakalarini shakllantirish;

Matn bilan ishlashda asosiy narsani ajratib ko'rsatish qobiliyatini rivojlantirish;

Mustaqil fikrlashni, aqliy operatsiyalarni shakllantirish: taqqoslash, tahlil qilish, sintez qilish, umumlashtirish, analogiya;

Talabalarga bilimlarni chuqurlashtirish va kuchini oshirish, topshiriqlarni bajarish madaniyati bo'yicha tizimli ishlarning rolini ko'rsatish;

Talabalarning ijodiy qobiliyatlarini rivojlantirish.

Amaliy ishlarni ta'minlash:

Amaliy ish uchun uslubiy tavsiyalarning nazariy materiali.

Matematika, – Seriya: Oʻrta kasb-hunar taʼlimi. - Rostov-na-Donu "Feniks", p.

Amaliy darsning borishi.

1.Dars mavzusini shakllantirish, mavzuning o`quv fanining boshqa mavzulari bilan bog`lanishini tushuntirish;

2.Talabalarning darsga tayyorgarligini tekshirish;

3. Haqiqiy darsni mavzu bo'yicha va fanning ish dasturiga muvofiq o'tkazish:

"Funksiyalar chegaralarini hisoblash" mavzusidagi nazariy materialni o'rganish.

Oddiy vazifalarni hal qilish misollarini ko'rib chiqing.

Birinchi va ikkinchi diqqatga sazovor chegaralar yordamida funksiyalar chegaralarini hisoblash bo'yicha mustaqil ishlarni bajarish.

Xavfsizlik savollariga javob bering.

Nazariy ma'lumotlar va uslubiy tavsiyalar

muammoni hal qilish bo'yicha.

1. Nazariy material taqdimoti.

Bir nuqtada funktsiya chegarasini hisoblash uchun sizga kerak bo'ladi:

1) x nimaga moyil bo'lgan x o'zgaruvchisi o'rniga almashtiring.

2) Agar 1) bosqichni tugatgandan so'ng biz https://pandia.ru/text/78/405/images/image003_6.png" width="19" height="22 src=">shaklning noaniqligini olamiz va almashtiramiz. minusli o'q: (x-a).

3) Agar 1-bosqichni tugatgandan so'ng, biz https://pandia.ru/text/78/405/images/image002_13.png" width="18" height="31 src="> shaklidagi noaniqlikni olsak. trigonometrik funktsiyalarning qiymatlari bilan bog'liq bo'lsa, biz birinchi ajoyib chegaradan foydalanishimiz kerak.

Ta'rif. Birinchi ajoyib chegara chegara deb ataladi

https://pandia.ru/text/78/405/images/image007_4.png" alt="$\displaystyle \lim_(x\to0)\dfrac(\sin x)(x)=1. $" width="102" height="52">!}

5) Ta'rif:Ikkinchi ajoyib chegara chegara deb ataladi

Bu chegara bilan berilgan raqam matematik tahlilda ham, matematikaning boshqa sohalarida ham juda muhim rol o'ynaydi. Raqam chaqiriladi natural logarifmlar asosi ( https://pandia.ru/text/78/405/images/image009_4.png" alt="$ e$" width="11" height="14">показывает, что -- иррациональное число, несколько первых десятичных знаков которого таковы:!}

2. O'rganilgan materialni birlashtirish.

1-misol

https://pandia.ru/text/78/405/images/image015_1.png" eni="28" balandligi="30 src=">= -4

Biz 1-qoidadan foydalandik va x o'rniga x nimaga intilishi kerak, ya'ni x=2 ni qo'ydik.

2-misol

https://pandia.ru/text/78/405/images/image017_1.png" width="154" height="32 src=">.png" width="21" height="30 src=">= 5

3-misol

https://pandia.ru/text/78/405/images/image021_1.png" width="199" height="37 src=">.png" width="137" height="35 src=">. png" width="138" height="24 src=">=3+3=6

4-misol

https://pandia.ru/text/78/405/images/image004_7.png" width="22" height="31 src=">.png" width="104" height="46 src=">. png" balandligi="30 src=">

5-misol

https://pandia.ru/text/78/405/images/image032_0.png" eni="61" balandligi="46 src=">.png" balandligi="30 src=">=2

6-misol

https://pandia.ru/text/78/405/images/image036_0.png" width="18" height="28 src=">

3. Bilim, ko'nikma va malakalarni mustahkamlash.

Funksiyalarning chegaralarini hisoblash bo'yicha mustaqil ishlarni bajarish.

Amaliy ish № 1.

Variant 1

Funktsiya chegarasini hisoblang:

1. .

2. .

3. .

10. .

Amaliy ish № 1.

Variant 2

Funktsiya chegarasini hisoblang:

1. .

2. .

3. .

10.

Amaliy ish № 2.

Mavzu : Funktsiyaning hosilasini topish. Bitta o‘zgaruvchining funksiyasini o‘rganish va grafikni tuzish.

Maqsad : Funksiyaning hosilasi tushunchasi, elementar funksiyalarning hosilalari, kompleks funksiyalar, teskari funksiyalarning hosilalarini topish, hosilalar jadvali va differentsiallash qoidalaridan foydalanish, kompleks va teskari funksiya tushunchalari boyicha bilimlarini amalda tekshirish. funksiyalarni o‘rganish uchun hosiladan foydalanish.

Amaliy ishlarni ta'minlash:

Darslik. "Matematika". - M.: Bustard, 2010.

Matematika. M: Forum-Infa 2008.

Amaliy ish variantiga ega individual kartalar.

1. Funksiyaning hosilasini topishga oid nazariy material va misollar.

Ta'rif: f(x) (f"(x)) funksiyaning x nuqtadagi hosilasi argumentning o'sishi nolga moyil bo'lganda, funktsiya o'sishining argument o'sishiga nisbati chegarasi:

https://pandia.ru/text/78/405/images/image061_0.png" width="209 height=235" height="235">

Farqlash qoidalari.

Agar f(x) va g(x) funksiyalar hosilalarga ega bo'lsa, u holda

2. (u+v)′=u′+v′

3. (uv)′=u′v+v′u

4. (C u)′=C u′, bu yerda C=const

5..png" width="49" height="54 src=">

6. Kompleks funktsiyaning hosilasi:

f'(g(x))=f'(g) g'(x)

2. Misollar.

1..png" width="61" height="41 src=">.png" width="20" height="41 src=">.png" width="20" height="41 src="> .png" width="69" height="41 src=">+4).

Funktsiya ikki omilning mahsulotidir: u=https://pandia.ru/text/78/405/images/image071_0.png" width="72" height="41 src=">.png" width="" 64" height="41 src=">.png" width="19" height="41 src=">.png" width="45" height="51 src=">.

Funktsiya ikkita ifodaning ko'rsatkichidir: u=https://pandia.ru/text/78/405/images/image079.png" width="52" height="41 src=">..png" width= "215" " balandligi="57 src=">.png" kengligi="197 balandligi=36" balandligi="36">

Yechim. Kompleks funksiyalarni differentsiallash qoidasi (6-formula) yordamida bu funksiyaning hosilasini topamiz.

5. Agar , keyin

6. y = x 3 – 3x 2 + 5x+ 2. Keling, topamiz y "(–1).

y " = 3x 2 – 6x+ 5. Shuning uchun, y "(–1) = 14.

7. Agar y= jurnal x cos x, Bu y" = (ln x)"cos x+ln x(chunki x) " =1/x∙cos x–ln x gunoh x.

Funktsiya berilgan bo'lsin. Uni o'rganish uchun sizga kerak:

1) Uning ta'rif sohasini toping. Agar bu juda qiyin bo'lmasa, diapazonni topish ham foydalidir. (Biroq, ko'p hollarda, topish masalasi funktsiyaning ekstremal qismi topilguncha qoldiriladi.)

2) Funksiyaning harakatini aniqlashda yordam beradigan umumiy xossalarini aniqlang: funksiya juft yoki toq, davriy bo‘ladimi.

3) Argument aniqlanish sohasining chegara nuqtalariga yaqinlashganda funktsiya qanday harakat qilishini aniqlang, agar shunday chegara nuqtalari mavjud bo'lsa. Agar funktsiyada uzilish nuqtalari mavjud bo'lsa, u holda bu nuqtalar funksiyaning vertikal asimptotalari mavjudligi uchun ham tekshirilishi kerak. Egri asimptotalarni toping.

4) Grafikning koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalarini toping, bu shart bo'yicha funktsiyaning qiymatini oddiygina hisoblashdan iborat:

OX o'qi bilan: y=0;

OY o'qi bilan: x=0.

O'q bilan kesishish nuqtalarini topish murakkab algebraik tenglamani echish zaruratiga olib kelishi mumkin, bu, ehtimol, faqat taxminan amalga oshirilishi mumkin. Funktsiyaning ildizlarini va uzilish nuqtalarini topib, biz ushbu nuqtalar orasidagi intervallarning har birida funktsiyaning ishorasini aniqlashimiz mumkin. Buni intervalning istalgan nuqtasida funksiya qiymatini hisoblash yoki interval usuli yordamida amalga oshirish mumkin.

5) Monotonlik intervallarini toping. Buning uchun hosilani toping va tengsizlikni yeching:

https://pandia.ru/text/78/405/images/image089.png" width="49" height="19 src=">, funksiya kamayib bormoqda.

Monotonlik oraliqlarini topib, biz darhol mahalliy ekstremum nuqtalarini aniqlashimiz mumkin: o'sish pasayish bilan almashtirilgan joyda mahalliy maksimallar va pasayish o'sish bilan almashtirilganda mahalliy minimallar joylashgan.

6) Qavariqlik va botiqlik oraliqlarini topish ikkinchi hosila yordamida amalga oshiriladi..png" width="39" height="19 src="> intervallar bo'yicha:

agar https://pandia.ru/text/78/405/images/image090.png" width="39" height="19 src=">‹0 bo'lsa, funktsiya grafigi egri chizig'i qavariq bo'ladi.

Shu bilan birga, biz burilish nuqtalarini funktsiya qavariqlik yo'nalishini o'zgartiradigan (va uzluksiz) nuqtalar sifatida aniqlaymiz.

7) Grafikning asimptota va qo`shimcha nuqtalar bilan kesishish nuqtalarini topish. Bu nuqta majburiy emas, lekin bunday nuqtalarni topish funktsiya va uning grafigini o'rganishni to'liq va to'liq qiladi.

E'tibor bering, chizma bo'yicha funktsiyalarni o'rganish jarayonida olingan nuqtalarni koordinata o'qlari va grafikdagi nuqtalarni darhol chizish foydalidir. Bu yo'lda grafikning ko'rinishini tushunishga yordam beradi.

3. O'zingiz bajaring:

variant	y funksiyaning hosilasini toping:	variant	y funksiyaning hosilasini toping:
	1.y=6-		1. y=-6- 5.y=
	1. y=-7-1		1. y=-7-1
	1.y=4x-3tgx+6x-8		1.y=-5x+2ctgx+3x-2

Amaliy dars

Mavzu: Sanoatlarni topish. Hosilini funksiyalarni o‘rganish va grafiklarni tuzishda qo‘llash.

Maqsad: Hosilalarni hisoblashni o'zlashtiring, hosila yordamida funktsiyani o'rganishni o'rganing

Ta'lim vositalari: amaliy mashg'ulotlar uchun daftarlar, mavzu bo'yicha taqdimotlar, Internet resurslari.

1. “Hosilalarni hisoblash qoidalari”, “Funksiyaning ekstremumlari”, “Qavariqlik, botiqlik” mavzularidagi nazariy materiallarni ko‘rib chiqing. Burilish nuqtasi."

2. Topshiriqlar namunalarini ko'rib chiqing.

3. No1 test topshirig‘ini bajaring.

Nazorat savollari:

1. Funksiyaning nuqtadagi maksimal (minimal) qiymatini aniqlang. Maksimal (minimal) nuqtaning juda kichik qo'shnisida funktsiyaning o'sish belgisi haqida nima deyish mumkin?

2. Funksiya ekstremumining mavjudligi uchun qanday shartlar zarur? Ularning geometrik ma'nosi nima?

3. Segmentda funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish qoidasi qanday?

4. Intervaldagi egri chiziqning qavariqligini (qavariqligini) aniqlang.

5. Egri chiziqning qavariqlik va botiqlik oraliqlarini topish qoidasi qanday?

6. Egri chiziqning burilish nuqtasi. Uni qanday topish mumkin?

7. Funksiya grafigini qurish algoritmi qanday?

Hosilalarni hisoblash qoidalari

Murakkab funktsiyaning hosilasi.

Agar da=ƒ( Va), u=ph(x), keyin da¢ ( X)=ƒ¢ (i)·ph¢ (X).

Yigʻinning hosilasi.

Agar da(X)=Va(X)+v (X), Bu da¢ (X)=Va¢ (X)+v ¢ (X)

Mahsulotning hosilasi.

Agar y(x)=u(X)· v (X), Bu da¢ = Va¢ · v + u · v ¢ .

Ayniqsa, ( Bilan· Va)¢ =c· Va¢, ya'ni doimiy omil hosila belgisi ostidan chiqariladi. Buni tekshirish oson

(u 2 ) ¢ = 2 u·u ¢ , (u 3 ) ¢ =3u 2 u ¢ , … , (u n ) ¢ =n·u n–1 u ¢ .

Bo'limning hosilasi.

Agar , keyin
.

Hosilalar jadvali

1. (bilan)¢ =0

Murakkab funktsiya uchun: agar u=u(x), Bu:

2. (X)¢ =1

3. (X α )¢ = α · X a–1, A- har qanday haqiqiy raqam.

4. (A X ) ¢ =a X · ln A

5. (jurnal a x) ¢ =

6. (sin x)¢ =cos x

7. (chunki x)¢ = –sin x

8. (tg x)¢ =

9. (ctg x)¢ =

10.

11.

12.

13.

Ko'rib chiqish misollari

1-misol.

y=(3–2 gunoh 5x ) 4 | uchun hosila formulalarini qo'llaymiz Va α ,gunoh u |

y ¢ =4·(3–2·sin5x) 3·(3–2sin5x) ¢ =4·(3–2·sin5x) 3 ·(0–2·cos5x·5) = –40·(3–2·sin5x) 3 .

2-misol.

3-misol.

4-misol.

5-misol.

Funktsiyaning ekstremumi

Ekstremumdagi funktsiyani o'rganish hosilalarning eng muhim qo'llanilishidan biridir. Keling, minimal va maksimallarning ta'rifini va ularni qanday topishni ko'rib chiqaylik.

Funktsiya ƒ( bo'lsin. X) ma'lum to'plam va nuqtada aniqlanadi va differentsiallanadi X 0 uning ichidagi nuqtadir.

Ta'rif. Funktsiya ƒ (X) nuqtada X 0 bor maksimal(minimal), agar nuqtaning bunday qo'shnisi bo'lsa X 0, bu hamma uchun X bu hududdan ƒ (X) < ƒ (X 0 ) (ƒ (X) > ƒ (X 0 )).

Nuqta X Keyin 0 nuqta deb ataladi maksimal(eng kam).

Guruch. 1.

Ikkita maksimal nuqtaga ega bo'lgan funksiya grafigi ko'rsatilgan ( X 1 va X 3) va ikkita minimal ball ( X 2 va X 4) va maksimal qiymat minimaldan kichik bo'lishi mumkin ( ƒ (X 1 ) < ƒ (X 4)). Bu biz funktsiyaning yagonaligini faqat ma'lum bir nuqta yaqinida tavsiflashimizni ta'kidlaydi.

Funktsiyaning maksimal va minimal nuqtalaridagi qiymatlari ekstremal qiymatlar yoki deyiladi ekstremal. Yuqoridagi grafik ekstremum nuqtalari ( X 1 , X 2 , X 3 , X 4) funksiyaning monotonlik intervallarini aniqlang, ularning har birida hosila ma'lum bir belgini saqlab qoladi. Ekstremum nuqtalarda, albatta, hosila nolga tushadi. haqida teorema tuzamiz zarur shart ekstremumning mavjudligi.

Teorema. Agar funktsiya ƒ (X) nuqtada X 0 ekstremumga ega, u holda bu nuqtadagi funktsiyaning hosilasi nolga teng, ya'ni ƒ¢ ( X 0)=0.

Darhol ta'kidlaymizki, bu shart etarli emas, ya'ni qarama-qarshi gap har doim ham to'g'ri emas. Tenglikdan ƒ ¢ ( X 0)= 0 bu nuqtada degani emas X 0 ekstremum mavjud.

Bu funksiya bilan bir misol bilan tasdiqlangan ƒ (X)=x 3 .

Biz topamiz ƒ ¢ ( X)= 3X 2 . Shu nuqtada X=0 ƒ ¢ (0)=0 . Lekin siz xohlagancha nuqtaga yaqin X=0 topamiz X> 0, qayerda ƒ (X)=x 3 > 0, topamiz X< 0, где ¦ (X)=X 3 < 0. Т. е. не существует какая-либо малая окрестность точки X=0, hamma uchun qaerda X nuqtadagi funktsiya qiymati X=0 eng katta yoki eng kichik bo'ladi. Shuning uchun nuqta X=0 ekstremum nuqta emas.

Biror kishi boshqacha bahslashishi mumkin. hosiladan beri ƒ ¢ (x)=3x 2 , keyin funksiya ƒ(x)=x 3 har qanday haqiqiy x uchun ortib boradi va ekstremalga ega emas.

Kerakli ekstremum shart qondiriladigan nuqtalar (ƒ ¢ (x)=0) chaqiriladi tanqidiy .

Shubhasiz, ƒ nuqtalarda funksiya grafigiga teginish ¢ (x)=0, x o'qiga parallel Ox .

Etarli holat ekstremum quyidagi teoremalarda berilgan.

Teorema 1. Agar X 0 funktsiyaning kritik nuqtasi bo'lib, undan o'tganda hosila belgisini o'zgartiradi X 0 ekstremum nuqta, ya'ni hosila ishorani ortiqcha dan minusga o'zgartirsa, u maksimal nuqta, minusdan ortiqcha ishorani o'zgartirsa, u minimal nuqta hisoblanadi.

E'tibor bering, agar hosila belgisini o'zgartirmasa, nuqtada ekstremum yo'q. Birinchi hosiladan foydalanib ekstremumni o'rganish qoidasi maktab kursidan ma'lum. Ba'zan ikkinchi hosiladan foydalanib, ekstremum uchun etarli shartni shakllantirish qulayroqdir.

Funktsiya ƒ( bo'lsin. X) ba'zi sohalarda ikki marta differentsiallanadi (ya'ni ƒ( X) bor ƒ¢ ( X) Va ƒ ¢¢ ( X)).

Teorema 2. Agar X 0 - funktsiyaning kritik nuqtasi ƒ(x) va ƒ ¢¢ (X 0 ) > 0 , Bu X 0 - minimal nuqta, agar ƒ ¢¢ (X 0 ) < 0, то X 0 - maksimal nuqta.

Ikkinchi hosiladan foydalanib, funksiya grafigining qavariq yoki botiqligi aniqlanadi.

Qavariqlik, botiqlik. Burilish nuqtasi.

Egri chiziq y=ƒ(X) deyiladi qavariqth quyida uning birontasi tangens

ƒ ¢¢ ( X) < 0.

Egri chiziq y=ƒ(X) deyiladi botiq intervalda, agar egri chiziqning barcha nuqtalari yotsa yuqoriroq uning birontasi tangens bu intervalda. Keyin bu intervalda

ƒ ¢¢(x) > 0

Ta'rif. Burilish nuqtasi Egri chiziq - bir tomonda egri chiziq qavariq, ikkinchi tomondan esa botiq bo'lgan nuqta.

Burilish nuqtasida ƒ ¢¢ ( X)=0.

Demak, ikkinchi hosilaning belgisi (shuningdek, funksiyaning o'zi va birinchi hosilasining belgisi) funksiya grafigining xususiyatlarini ko'rsatadi. Keling, ularga yana qaraylik.

Agar hamma uchun X oraliqda ( A, b) ƒ (X) > 0 (ƒ (X) < 0), u holda grafik x o'qi ustida (pastda) yotadi.

Agar hamma uchun X oraliqda ( A, b) ƒ ¢ ( X) > 0 (ƒ ¢ ( X) < 0), то функция на (A, b) ortadi (kamayadi).

Agar hamma uchun X oraliqda ( A, b) ƒ ¢¢ ( X) > 0 (ƒ ¢¢ ( X) < 0), то график на (A, b) botiq (qavariq).

Tenglama ƒ( X)=0 funksiyaning “nollari”ni, ya’ni grafikning Ox o‘qi bilan kesishish nuqtalarini belgilaydi.

Tenglama ƒ ¢ ( X)=0 kritik nuqtalarni belgilaydi.

Tenglama ƒ ¢¢ ( X)=0 mumkin bo'lgan burilish nuqtalarini belgilaydi.

Funktsiyani o'rganish sxemasi

Funktsiyani o'rganish uchun ƒ (X) va reja tuzish y=ƒ(X) topilishi kerak:

1) funktsiyani aniqlash sohasi va grafikning koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtasi;

2) monotonlik intervallari;

3) ekstremal nuqtalar va ushbu nuqtalardagi funktsiya qiymatlari;

4) grafikning qavariqlik va botiqlik intervallari;

5) grafikning burilish nuqtalari;

6) Dekart koordinatalari tizimida barcha olingan nuqtalarni (ba'zan grafikni aniqlashtirish uchun qo'shimcha nuqtalar olinadi) va grafikning o'zini qurish.

Segmentdagi funksiyaning eng kichik va eng katta qiymatlari

Optimallashtirish usulining ba'zi muammolarini hal qilishda ma'lum bir segmentda funktsiyaning eng kichik yoki eng katta qiymatlarini topa olish muhimdir. Funktsiya bu qiymatlarga kritik nuqtalarda yoki segmentning oxirida erishadi.

Qidiruv sxemasi funktsiyaning eng kichik va eng katta qiymatlari ƒ (X) segmentida [ A, b].

1. Funktsiyaning hosilasini toping ƒ ¢ ( X).

2. Tenglamadan kritik nuqtalarni toping ƒ ¢ ( X)=0.

3. Ushbu segmentga tegishli bo'lgan muhim nuqtalarni tanlang [ A, b] va funksiya qiymatini toping ƒ (X) har bir shunday nuqtada.

4. Funksiya qiymatlarini hisoblang ƒ (X) segment oxirida: ƒ( A) va ƒ( b).

5. Olingan funksiya qiymatlaridan eng katta (eng katta) va eng kichik (eng kichik)ni tanlang.

2-misol.

Funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini toping ƒ(x)=X 3 -9x 2 +24x–10 segmentida.

1. ƒ ¢ ( X)= 3X 2 – 9·2 X 2 + 24.

2. ƒ ¢ ( X)=0, 3(X 2 –6X+8)=0, X 1 =2, X 2 =4.

3. x 2 =4 nuqta segmentga tegishli emas. Shuning uchun funksiya qiymatini faqat nuqtada hisoblaymiz X 1 =2

ƒ(2)=2 3 –9·2 2 +24·2–10=10.

4. Segment oxiridagi funksiya qiymatlari: ƒ(0)= –10, ƒ(3)=3 3 –9·3 2 +24·3–10, ƒ(3)=8.

5. Olingan qiymatlar:

ƒ(2)=10, ƒ(0)= –10, ƒ(3)=8.

Eng yuqori qiymat 10 ga teng va nuqtada erishiladi X=2. Eng kichigi -10 ga teng va nuqtada erishiladi X=0.

3-misol.

Egri chiziqning qavariqlik va botiqlik oraliqlarini va burilish nuqtalarini toping y=x+36X 2 –2X 3 –X 4 .

Ushbu funktsiyaning ta'rif sohasi barcha haqiqiy sonlar to'plamidir, ya'ni. XЄ(–∞, +∞).

Keling, ikkinchi hosilani topamiz.

da¢ =1+72 X–6X 2 –4X 3 .

da¢¢ =72–12 X–12X 2 = –12(X 2 +X–6).

Tenglamadan. da¢¢ =0 burilish nuqtasining abtsissasini olamiz:

–12(X 2 +X–6)=0 X 1 = –3; X 2 =2.

Keling, belgini aniqlaylik da¢¢ intervallarda

(–∞; –3), (–3; 2), (2, +∞).

(–∞, –3)

(–3; 2)

(2; +∞)

da¢¢

egri shakli

qavariq

burilish

botiq

burilish

qavariq

Burilish nuqtalarining ordinatalarini topamiz:

da(–3)=726; M 1 (–3; 726) – burilish nuqtasi

da(2)=114; M 2 (2; 114) – burilish nuqtasi.

(–3; 2) oraliqda egri chiziq botiq. (–∞; –3) va (2; +∞) oraliqlarida – qavariq.

Topshiriqlar namunalari

Vazifa № 1.

Funksiyaning uzilish nuqtalarini toping va grafigini chizing

Funktsiya ƒ (X) barcha real uchun belgilangan X va ko'rsatilgan intervallarning har birida uzluksiz bo'ladi: (–∞; –1), [–1; 0], (0, +∞). Funktsiyani ko'rib chiqaylik ƒ (X) nuqtalarda uzluksizlik uchun X= –1 va X=0.

Buning uchun biz ushbu nuqtalarning har birida bir tomonlama chegaralarni topamiz.

Bir tomonlama chegaralar boshqacha bo'lgani uchun, keyin X = –1 – birinchi turdagi uzilish nuqtasi.

Bir tomonlama chegaralar teng, ya'ni x=0 nuqtada funksiyaning chegarasi mavjud va

Keling, ushbu chegarani nuqtadagi funktsiya qiymati bilan taqqoslaylik:

Chunki
keyin ichkariga x=0 da ƒ(x) funksiya uzluksiz.

ƒ funksiyasini chizamiz (X), sharti bilan; inobatga olgan holda

1)
- to'g'ri chiziq tenglamasi;

2)
– yuqori yarim doira tenglamasi
markazi boshda va radius birlikka teng, sharti bilan -1 £ X£ 0 tenglamasi
chorak doirani belgilaydi.

3) uchun X > 0 bo'lsa, grafik tenglama bilan berilgan
. Bu egri chiziqning Ox o'qi bilan kesishish nuqtalarini tenglamadan topamiz
x > 0 uchun. x= π n, Qayerda n =1, 2, 3, 4,

Guruch. 2.

Vazifa № 2.

Chiziqning tangenslari uchun tenglamalarni yozing
nuqtalarda X=0 va X=4. Tangenslarning kesishish nuqtasini va ular orasidagi burchakni toping. Chizma qiling.

Chiziqga teguvchi tenglama y=ƒ(x) kabi ko'rinadi

Qayerda da 0 =ƒ( X 0).

Shu nuqtada X=0 da(0)=ƒ(0)=5.

da¢ =ƒ ¢ (X)=X–3 ƒ¢ (0)= –3.

M 1 (0, 5) shaklga ega y– 5= –3(X–0) yoki

y= –3X+5.

Shu nuqtada X=4 da(4)=ƒ(4)=1. ƒ¢ (4)=4–3=1.

Bir nuqtadagi tangens tenglamasi M 2 (4, 1) shaklga ega y– 1=X-4 yoki

y=x–3.

Tizimni yechish orqali tangenslarning kesishish nuqtasini olamiz

Kesishish nuqtasi M 3 (2, –1).

Burchak φ teglar orasidagi formuladan topamiz:

Qayerda k 1 = –3; k 2 =1 – tangenslarning burchak koeffitsientlari.

Burchak φ =arctg 2.

Keling, bu qatorni quraylik
– nuqtasida tepasi bo‘lgan parabola X=3, chunki da¢ =0 da X=3. Biz topamiz
. Nuqta M 4 (3; ) parabolaning tepasi.

R

hisoblanadi. 3.

Vazifa № 3.

Funktsiyani o'rganing
va uni tuzing.

1. Bu funksiya polinom (qavslarni ochishingiz mumkin, biz uchinchi darajali ko'phadni olamiz), shuning uchun u har qanday uchun aniqlangan, uzluksiz va differentsialdir. X.

2. Hosilni topamiz.

Tenglamadan. da¢ =0 kritik nuqtalarni topamiz: 3 X·( X–2)=0, X 1 =0, X 2 =2.

Keling, ularni kashf qilaylik.

(–∞, 0)

(0; 2)

(2; +∞)

da ¢

3. Demak, funksiya (–∞, 0) va (2, +∞) oraliqlarda ortadi, (0; 2) oraliqda kamayadi, x=0 da maksimalga, x=2 da minimalga ega bo‘ladi:

da maksimal = da(0)=4; da min = da(2)=0.

4. Ikkinchi hosilani topamiz.

da¢¢ = 6·( X-1).

Bu yerda egri chiziq qavariq da¢¢ < 0, т. е. 6·(X–1) < 0, X < 1.

Qaerda egri chiziq botiq bo'ladi da¢¢ > 0, ya'ni. X > 1.

Demak, (–∞, 1) oraliqda egri chiziq qavariq; va (1, +∞) oraliqda u botiq bo'ladi.

5. Tenglamadan burilish nuqtasini topamiz da¢¢ =0. Shunday qilib, X=1 – burilish nuqtasining abtsissasi, chunki bu nuqta egri chiziqning qavariqlik va botiqlik oraliqlarini ajratib turadi. Burilish nuqtasi ordinatasi: da(1)=2.

Funksiya grafigi da=(X+1)·( X–2) 2 Ox o'qini kesishadi da=0, ya'ni qachon X= –1 va X=2;

da Oy o'qini kesib o'tadi X=0, ya'ni qachon da=4. Biz uchta ochko oldik: (–1; 0), (2; 0), (0; 4). Olingan barcha nuqtalarni jadvalga kiritamiz, ularga qo'shnilarini qo'shamiz.

–2

–1