Funktsiya chegarasi. Qo'g'irchoqlar uchun cheklovlarni qanday hal qilish mumkin? 1 chegaralarni hisoblash

Birinchi ajoyib chegara quyidagi tenglikdir:

\begin(tenglama)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(tenglama)

$\alpha\to(0)$ uchun bizda $\sin\alpha\to(0)$ borligi sababli, ular birinchi ajoyib chegara $\frac(0)(0)$ shaklidagi noaniqlikni ochib berishini aytishadi. Umuman olganda, (1) formulada $\alpha$ o'zgaruvchisi o'rniga har qanday ifodani sinus belgisi ostida va maxrajda joylashtirish mumkin, agar ikkita shart bajarilsa:

1. Sinus belgisi ostidagi va maxrajdagi iboralar bir vaqtning o'zida nolga moyil bo'ladi, ya'ni. $\frac(0)(0)$ shaklidagi noaniqlik mavjud.
2. Sinus belgisi ostidagi va maxrajdagi ifodalar bir xil.

Birinchi ajoyib chegaradan olingan xulosalar ham tez-tez ishlatiladi:

\begin(tenglama) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(tenglama) \begin(tenglama) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(tenglama) \begin(tenglama) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(tenglama)

Ushbu sahifada o'n bitta misol echilgan. 1-misol (2)-(4) formulalarni isbotlashga bag'ishlangan. № 2, № 3, 4 va 5-sonli misollar batafsil sharhlar bilan echimlarni o'z ichiga oladi. 6-10-sonli misollar deyarli hech qanday izohsiz yechimlarni o'z ichiga oladi, chunki oldingi misollarda batafsil tushuntirishlar berilgan. Yechim birozdan foydalanadi trigonometrik formulalar buni topish mumkin.

mavjudligini ta'kidlayman trigonometrik funktsiyalar noaniqlik bilan birgalikda $\frac (0) (0)$ hali birinchi ajoyib chegaraning majburiy qo'llanilishini anglatmaydi. Ba'zan oddiy trigonometrik o'zgarishlar etarli - masalan, qarang.

Misol № 1

$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha) ekanligini isbotlang. (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

a) $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$ ekan, u holda:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\o'ng| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

Chunki $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ va $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , Bu:

$$ \lim_(\alfa\to (0))\frac(\sin(\alfa))(\alpha\cos(\alfa)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alfa\to (0)) \ frac (\ sin (\ alfa)) (\ alfa)) (\ displaystyle \ lim_ (\ alfa \ to (0)) \ cos (\ alfa)) =\ frac (1) (1) =1. $$

b) $\alpha=\sin(y)$ o'zgartirish kiritamiz. $\sin(0)=0$ ekan, $\alpha\to(0)$ shartidan bizda $y\to(0)$ bo'ladi. Bundan tashqari, $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$ boʻlgan nol mahallasi mavjud, shuning uchun:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\o'ng| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ tengligi isbotlangan.

c) $\alpha=\tg(y)$ o'rnini bosamiz. $\tg(0)=0$ ekan, $\alpha\to(0)$ va $y\to(0)$ shartlari ekvivalentdir. Bundan tashqari, $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$ bo'lgan nol qo'shnisi mavjud, shuning uchun a) nuqta natijalariga asoslanib, biz quyidagilarga ega bo'lamiz:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\o'ng| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ tengligi isbotlangan.

a), b), c) tengliklari ko'pincha birinchi ajoyib chegara bilan birga ishlatiladi.

Misol № 2

Limitni hisoblang $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) ( x+7))$.

$\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ va $\lim_( x \to (2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, ya'ni. va kasrning numeratori ham, maxraji ham bir vaqtning o'zida nolga moyil bo'lsa, u holda bu erda biz $\frac(0)(0)$ ko'rinishidagi noaniqlik bilan shug'ullanamiz, ya'ni. bajarildi. Bundan tashqari, sinus belgisi ostidagi va maxrajdagi iboralar bir-biriga mos kelishi aniq (ya'ni, va qanoatlantiriladi):

Shunday qilib, sahifaning boshida sanab o'tilgan ikkala shart ham bajariladi. Bundan kelib chiqadiki, formula qo'llaniladi, ya'ni. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\o'ng))(\frac(x^2-4)(x+ 7) ))=1$.

Javob: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\o'ng))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.

Misol № 3

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$ toping.

$\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ va $\lim_(x\to(0))x=0$ boʻlgani uchun biz $\frac shaklidagi noaniqlik bilan ishlaymiz. (0 )(0)$, ya'ni. bajarildi. Biroq, sinus belgisi ostidagi va maxrajdagi iboralar bir-biriga mos kelmaydi. Bu yerda siz maxrajdagi ifodani kerakli shaklga moslashtirishingiz kerak. Bizga $9x$ ifodasi maxrajda bo'lishi kerak, shunda u haqiqatga aylanadi. Aslini olganda, bizda maxrajda $9$ koeffitsienti yetishmayapti, uni kiritish unchalik qiyin emas — maxrajdagi ifodani $9$ ga koʻpaytirish kifoya. Tabiiyki, ko'paytirishni $9 $ ga qoplash uchun siz darhol $9 $ ga bo'lishingiz kerak bo'ladi:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\o'ng| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin) (9x))(9x)$$

Endi maxrajdagi va sinus belgisi ostidagi iboralar mos keladi. $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ chegarasi uchun ikkala shart ham qondiriladi. Shuning uchun, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. Va bu shuni anglatadiki:

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

Javob: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

Misol № 4

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$ toping.

$\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ va $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$ boʻlgani uchun bu yerda biz shaklning noaniqligi bilan shugʻullanamiz. $\frac(0)(0)$. Biroq, birinchi ajoyib chegaraning shakli buziladi. $\sin(5x)$ ni oʻz ichiga olgan hisoblagichga $5x$ maxraj kerak boʻladi. Bunday vaziyatda eng oson yo'li hisoblagichni $5x$ ga bo'lish va darhol $5x$ ga ko'paytirishdir. Bundan tashqari, biz $\tg(8x)$ ni $8x$ ga ko'paytiruvchi va bo'luvchi maxraj bilan shunga o'xshash amalni bajaramiz:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\o'ng| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

$x$ ga kamaytirsak va $\frac(5)(8)$ doimiysini chegara belgisidan tashqariga olsak, biz quyidagilarni olamiz:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

E'tibor bering, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ birinchi ajoyib chegara uchun talablarni to'liq qondiradi. $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ topish uchun quyidagi formula qo'llaniladi:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to) (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Javob: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

Misol № 5

$\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$ toping.

$\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (esda tutingki, $\cos(0)=1$) va $\ lim_(x\to(0))x^2=0$ bo'lsa, biz $\frac(0)(0)$ ko'rinishidagi noaniqlik bilan shug'ullanamiz. Shu bilan birga, birinchi ajoyib chegarani qo'llash uchun siz numeratordagi kosinusdan xalos bo'lishingiz kerak, sinuslarga (formulani qo'llash uchun) yoki tangenslarga (keyin formulani qo'llash uchun) o'tishingiz kerak. Buni quyidagi o'zgartirish orqali amalga oshirish mumkin:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\o'ng)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

Keling, chegaraga qaytaylik:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\o'ng| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\chap(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\o'ng) $$

$\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ kasr allaqachon birinchi ajoyib chegara uchun zarur bo'lgan shaklga yaqin. Keling, $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ kasr bilan biroz ishlaylik, uni birinchi ajoyib chegaraga moslashtiramiz (hisob qilaylik, hisob va sinus ostidagi ifodalar mos kelishi kerak):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\o'ng)^2$$

Keling, ushbu chegaraga qaytaylik:

$$ \lim_(x\to(0))\chap(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\o'ng) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\o'ng)^2\o'ng)=\\ =25\cdot\lim_(x\to() 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\o'ng)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$

Javob: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

Misol № 6

$\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$ chegarasini toping.

$\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ va $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$ ekan, keyin biz $\frac(0)(0)$ noaniqlik bilan ishlaymiz. Keling, buni birinchi ajoyib chegara yordamida ochib beraylik. Buning uchun kosinuslardan sinuslarga o'tamiz. $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$ ekan, u holda:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

Berilgan chegaradagi sinuslarga o'tsak, biz quyidagilarga ega bo'lamiz:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\o'ng| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\) frac(\sin(3x))(3x)\o'ng)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\o'ng)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\chap(\frac(\sin(3x))(3x)\o'ng)^2)(\displaystyle\lim_(x) \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Javob: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

Misol № 7

$\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ limitini $\alpha\neq ga qarab hisoblang \ beta$.

Batafsil tushuntirishlar avvalroq berilgan edi, lekin bu erda yana $\frac(0)(0)$ noaniqlik borligini ta'kidlaymiz. Formuladan foydalanib, kosinuslardan sinuslarga o‘tamiz

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

Ushbu formuladan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\o'ng| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta) )(2)\o'ng)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\o'ng))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac) (\alfa-\beta)(2)\o'ng))(x)\o'ng)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\o'ng))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\o'ng))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\o'ng)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\o'ng))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \ frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\o'ng))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alfa^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alfa^2)(2). $$

Javob: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alfa(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alfa^2)(2)$.

Misol № 8

$\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$ chegarasini toping.

$\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (esda tutingki, $\sin(0)=\tg(0)=0$) va $\ lim_(x\to(0))x^3=0$ bo'lsa, bu erda biz $\frac(0)(0)$ ko'rinishidagi noaniqlik bilan shug'ullanamiz. Keling, uni quyidagicha taqsimlaymiz:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\o'ng| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\o'ng))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \ frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\o‘ng)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\o‘ng) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1) ) =\frac(1)(2). $$

Javob: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

Misol № 9

$\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$ chegarasini toping.

$\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ va $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, u holda $\frac(0)(0)$ ko'rinishida noaniqlik mavjud. Uni kengaytirishga o'tishdan oldin, o'zgaruvchining yangi o'zgaruvchisi nolga moyil bo'ladigan tarzda o'zgartirishni amalga oshirish qulay (formulalarda $\alpha o'zgaruvchisi \dan 0$gacha bo'lganligiga e'tibor bering). Eng oson yo'li $t=x-3$ o'zgaruvchisini kiritishdir. Biroq, keyingi o'zgarishlarning qulayligi uchun (bu foydani quyidagi yechim jarayonida ko'rish mumkin) quyidagi almashtirishni amalga oshirishga arziydi: $t=\frac(x-3)(2)$. Shuni ta'kidlash kerakki, ikkala almashtirish ham tegishli Ushbu holatda, faqat ikkinchi almashtirish sizga kasrlar bilan kamroq ishlash imkonini beradi. $x\to(3)$ bo'lgani uchun, keyin $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\chap|\frac (0)(0)\o'ng| =\left|\begin(hizalangan)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(hizalangan)\o'ng| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to (0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin) (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\o'ng) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Javob: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

Misol № 10

Chegarani toping $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2)$.

Yana bir bor biz $\frac(0)(0)$ noaniqlik bilan shug'ullanamiz. Uni kengaytirishga o'tishdan oldin, o'zgaruvchining yangi o'zgaruvchisi nolga moyil bo'ladigan tarzda o'zgartirishni amalga oshirish qulay (formulalarda o'zgaruvchi $\alpha\to(0)$ ekanligini unutmang). Eng oson yo'li $t=\frac(\pi)(2)-x$ o'zgaruvchisini kiritishdir. $x\to\frac(\pi)(2)$ ekan, keyin $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\o'ng)^2) =\left|\frac(0)(0)\right| =\left|\begin(hizalangan)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(hizalangan)\o'ng| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\o'ng))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\o'ng)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$

Javob: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\o'ng)^2) =\frac(1)(2)$.

Misol № 11

$\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2) chegaralarini toping \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

Bunday holda biz birinchi ajoyib chegaradan foydalanishimiz shart emas. Iltimos, birinchi va ikkinchi chegaralarda faqat trigonometrik funktsiyalar va raqamlar mavjudligini unutmang. Ko'pincha bunday turdagi misollarda chegara belgisi ostida joylashgan ifodani soddalashtirish mumkin. Bundan tashqari, yuqorida aytib o'tilgan soddalashtirish va ayrim omillarni kamaytirishdan keyin noaniqlik yo'qoladi. Men bu misolni faqat bitta maqsad uchun keltirdim: chegara belgisi ostida trigonometrik funktsiyalarning mavjudligi birinchi ajoyib chegaradan foydalanishni anglatmasligini ko'rsatish.

Chunki $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (esda tutingki, $\sin\frac(\pi)(2)=1$) va $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (sizga eslatib o'tamanki, $\cos\frac(\pi)(2)=0$), keyin bizda bor $\frac(0)(0)$ shaklining noaniqligi bilan shug'ullanish. Biroq, bu biz birinchi ajoyib chegaradan foydalanishimiz kerak degani emas. Noaniqlikni aniqlash uchun $\cos^2x=1-\sin^2x$ ekanligini hisobga olish kifoya:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\o'ng| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

Demidovichning yechim kitobida (No 475) xuddi shunday yechim mavjud. Ikkinchi chegaraga kelsak, ushbu bo'limdagi oldingi misollarda bo'lgani kabi, bizda $\frac(0)(0)$ shaklidagi noaniqlik mavjud. Nima uchun paydo bo'ladi? Buning sababi $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ va $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Biz ushbu qiymatlardan hisob va maxrajdagi ifodalarni o'zgartirish uchun foydalanamiz. Bizning harakatlarimizdan maqsad - son va maxrajdagi yig'indini ko'paytma sifatida yozish. Aytgancha, ko'pincha shunga o'xshash turdagi o'zgaruvchini o'zgartirish qulay bo'lib, yangi o'zgaruvchi nolga moyil bo'ladi (masalan, ushbu sahifadagi № 9 yoki 10-sonli misollarga qarang). Biroq, bu misolda almashtirishning ma'nosi yo'q, garchi agar xohlasangiz, $t=x-\frac(2\pi)(3)$ o'zgaruvchisini almashtirishni amalga oshirish qiyin emas.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\o'ng )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\chap(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\o'ng))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin) \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac) (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3) ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\o'ng))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac) (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3) ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3) ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\o'ng)\cdot\left( -\ frac (1) (2) \ o'ng)) =-\ frac (4) (\ sqrt (3)). $$

Ko'rib turganingizdek, biz birinchi ajoyib chegarani qo'llashimiz shart emas edi. Albatta, agar xohlasangiz, buni qilishingiz mumkin (quyidagi eslatmaga qarang), lekin bu shart emas.

Birinchi ajoyib chegara yordamida qanday yechim bor? ko'rsatish\yashirish

Birinchi ajoyib chegaradan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\o'ng))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi) )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ o'ng))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\ frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\o'ng) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\o'ng)\cdot\left(-\frac(1)(2)\o'ng)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

Javob: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.

Cheklovlarni qanday topishni o'rganmoqchi bo'lganlar uchun ushbu maqolada biz bu haqda sizga aytib beramiz. Biz nazariyani chuqur o'rganmaymiz, odatda o'qituvchilar uni ma'ruzalarda berishadi. Shunday qilib, "zerikarli nazariya" daftaringizga yozib qo'yilishi kerak. Agar bunday bo'lmasa, siz kutubxonadan olingan darsliklarni o'qishingiz mumkin. ta'lim muassasasi yoki boshqa Internet manbalarida.

Demak, chegara tushunchasi oliy matematikani o‘rganishda, ayniqsa integral hisobiga duch kelganingizda va chegara va integral o‘rtasidagi bog‘liqlikni tushunganingizda juda muhimdir. Joriy materialda biz ko'rib chiqamiz oddiy misollar, shuningdek, ularni hal qilish usullari.

Yechimlarga misollar

Shakl noaniqligi bilan nima qilish kerak: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Oxirgi ikki misoldagi chegarani cheksizlikka suramiz va noaniqlikni ko'rib chiqamiz: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Limitlarni hisoblash algoritmi

Shunday qilib, keling, misollarni qisqacha umumlashtiramiz va chegaralarni echish algoritmini tuzamiz:

1. X nuqtani chegara belgisidan keyingi ifodaga almashtiring. Agar ma'lum bir son yoki cheksizlik olingan bo'lsa, u holda chegara butunlay hal qilinadi. Aks holda, bizda noaniqlik bor: "nol nolga bo'lingan" yoki "cheksizlikka bo'lingan cheksizlik" va ko'rsatmalarning keyingi bosqichlariga o'ting.
2. "Nolning nolga bo'linishi" noaniqligini bartaraf qilish uchun siz numerator va denominatorni faktorga kiritishingiz kerak. Shunga o'xshashlarni kamaytiring. Chegara belgisi ostidagi ifodaga x nuqtasini almashtiring.
3. Agar noaniqlik "cheksizlikka bo'lingan cheksizlik" bo'lsa, u holda biz sonni ham, x maxrajini ham eng katta darajada chiqaramiz. Biz X harflarini qisqartiramiz. Biz chegara ostidagi x qiymatlarini qolgan ifodaga almashtiramiz.

Ushbu maqolada siz kursda tez-tez ishlatiladigan chegaralarni echish asoslarini bilib oldingiz. Matematik tahlil. Albatta, bu imtihonchilar tomonidan taklif qilinadigan barcha turdagi muammolar emas, balki faqat eng oddiy chegaralardir. Boshqa turdagi topshiriqlar haqida keyingi maqolalarda gaplashamiz, lekin oldinga siljish uchun avval ushbu saboqni o'rganishingiz kerak. Keling, agar ildizlar, darajalar mavjud bo'lsa, nima qilish kerakligini muhokama qilaylik, cheksiz kichik ekvivalent funktsiyalarni, ajoyib chegaralarni, L'Hopital qoidasini o'rganamiz.

Agar siz chegaralarni o'zingiz aniqlay olmasangiz, vahima qo'ymang. Biz har doim yordam berishdan xursandmiz!

Funktsiya chegarasi- raqam a ba'zi o'zgaruvchan miqdorning chegarasi bo'ladi, agar uning o'zgarishi jarayonida bu o'zgaruvchan miqdor cheksiz yaqinlashsa. a.

Yoki boshqacha aytganda, raqam A funksiyaning chegarasi hisoblanadi y = f(x) nuqtada x 0, agar funktsiyani aniqlash sohasi nuqtalarining har qanday ketma-ketligi uchun , teng emas x 0, va qaysi bir nuqtaga yaqinlashadi x 0 (lim x n = x0), mos keladigan funktsiya qiymatlari ketma-ketligi raqamga yaqinlashadi A.

Cheksizlikka intiluvchi argument berilganda chegarasi teng bo‘lgan funksiya grafigi L:

Ma'nosi A hisoblanadi funksiyaning chegarasi (chegara qiymati). f(x) nuqtada x 0 har qanday nuqtalar ketma-ketligi uchun ga yaqinlashadi x 0, lekin o'z ichiga olmaydi x 0 uning elementlaridan biri sifatida (ya'ni teshilgan yaqin joyda x 0), funksiya qiymatlari ketma-ketligi ga yaqinlashadi A.

Koshi funksiyasining chegarasi.

Ma'nosi A bo'ladi funksiya chegarasi f(x) nuqtada x 0 agar oldindan olingan har qanday salbiy bo'lmagan raqam uchun ε tegishli manfiy bo'lmagan son topiladi δ = δ(ε) har bir dalil uchun shunday x, shartni qondirish 0 < | x - x0 | < δ , tengsizlik qanoatlantiriladi | f(x)A |< ε .

Agar siz chegaraning mohiyatini va uni topishning asosiy qoidalarini tushunsangiz, bu juda oddiy bo'ladi. Funktsiyaning chegarasi nima f (x) da x uchun intilish a teng A, shunday yozilgan:

Bundan tashqari, o'zgaruvchi moyil bo'lgan qiymat x, nafaqat son, balki cheksizlik (∞), ba'zan +∞ yoki -∞ bo'lishi mumkin yoki umuman chegara bo'lmasligi mumkin.

Qanday qilib tushunish uchun funktsiya chegaralarini toping, yechimlar misollarini ko'rib chiqish yaxshidir.

Funktsiyaning chegaralarini topish kerak f (x) = 1/x da:

x→ 2, x→ 0, x→ ∞.

Keling, birinchi chegaraga yechim topaylik. Buning uchun siz shunchaki almashtirishingiz mumkin x u moyil bo'lgan raqam, ya'ni. 2, biz olamiz:

Funksiyaning ikkinchi chegarasini topamiz. Bu erda o'rniga sof 0 qo'ying x mumkin emas, chunki Siz 0 ga bo'la olmaysiz. Ammo biz nolga yaqin qiymatlarni olishimiz mumkin, masalan, 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 va boshqalar va funksiya qiymati f (x) ortadi: 100; 1000; 10000; 100 000 va boshqalar. Shunday qilib, qachon ekanligini tushunish mumkin x→ 0 chegara belgisi ostida bo'lgan funksiyaning qiymati cheksiz ortadi, ya'ni. cheksizlik sari intiling. Bu degani:

Uchinchi chegara haqida. Oldingi holatda bo'lgani kabi bir xil vaziyatni almashtirish mumkin emas ∞ uning eng sof shaklida. Biz cheksiz o'sish holatini ko'rib chiqishimiz kerak x. Biz 1000 ni birma-bir almashtiramiz; 10000; 100000 va shunga o'xshash, biz funktsiyaning qiymatiga egamiz f (x) = 1/x kamayadi: 0,001; 0,0001; 0,00001; va hokazo, nolga moyil. Shunung uchun:

Funktsiyaning chegarasini hisoblash kerak

Ikkinchi misolni echishni boshlasak, biz noaniqlikni ko'ramiz. Bu erdan biz hisoblagich va maxrajning eng yuqori darajasini topamiz - bu x 3, biz uni pay va maxrajdagi qavslardan chiqaramiz va keyin uni quyidagicha qisqartiramiz:

Javob

Birinchi qadam bu chegarani topish, o'rniga 1 qiymatini qo'ying x, natijada noaniqlik yuzaga keladi. Buni yechish uchun, keling, numeratorni faktorlarga ajratamiz va buni kvadrat tenglamaning ildizlarini topish usuli yordamida bajaramiz. x 2 + 2x - 3:

D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4

x 1,2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.

Shunday qilib, raqam quyidagicha bo'ladi:

Javob

Bu uning o'ziga xos qiymatining ta'rifi yoki funktsiya tushadigan ma'lum bir hudud, chegara bilan cheklangan.

Cheklovlarni hal qilish uchun quyidagi qoidalarga amal qiling:

Mohiyatni va asosiy narsani tushunib, chegarani yechish qoidalari, siz ularni qanday hal qilish haqida asosiy tushunchaga ega bo'lasiz.

Odatda ikkinchi ajoyib chegara ushbu shaklda yoziladi:

\begin(tenglama) \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\o'ng)^x=e\end(tenglama)

Tenglikning (1) o'ng tomonida ko'rsatilgan $e$ soni irratsionaldir. Bu raqamning taxminiy qiymati: $e\approx(2(,)718281828459045)$. Agar $t=\frac(1)(x)$ almashtirsak, formula (1)ni quyidagicha qayta yozish mumkin:

\begin(tenglama) \lim_(t\to(0))\biggl(1+t\biggr)^(\frac(1)(t))=e\end(tenglama)

Birinchi diqqatga sazovor chegaraga kelsak, formula (1)dagi $x$ oʻzgaruvchisi oʻrnida yoki (2) formuladagi $t$ oʻzgaruvchisi oʻrniga qaysi ifoda turishi muhim emas. Asosiysi, ikkita shartni bajarish:

1. Darajaning asosi (ya'ni, (1) va (2) formulalarning qavs ichidagi ifodasi) birlikka moyil bo'lishi kerak;
2. Ko'rsatkich (ya'ni (1) formulada $x$ yoki (2) formulada $\frac(1)(t)$) cheksizlikka moyil bo'lishi kerak.

Ikkinchi ajoyib chegara $1^\infty$ noaniqligini ochib berishi aytiladi. E'tibor bering, (1) formulada biz qaysi cheksizlik ($+\infty$ yoki $-\infty$) haqida ketayotganini aniqlamaymiz. Ushbu holatlarning har qandayida (1) formula to'g'ri. (2) formulada $t$ o'zgaruvchisi chapda ham, o'ngda ham nolga moyil bo'lishi mumkin.

Shuni ta'kidlaymanki, ikkinchi ajoyib chegaradan bir nechta foydali oqibatlar ham bor. Ikkinchi ajoyib chegaradan foydalanish misollari, shuningdek, uning oqibatlari standart standart hisob-kitoblar va testlarni tuzuvchilar orasida juda mashhur.

Misol № 1

$\lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7)$ chegarasini hisoblang.

Darhol ta'kidlaymizki, daraja asosi (ya'ni $\frac(3x+1)(3x-5)$) birlikka intiladi:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(3x+1)(3x-5)=\left|\frac(\infty)(\infty)\o'ng| =\lim_(x\to\infty)\frac(3+\frac(1)(x))(3-\frac(5)(x)) =\frac(3+0)(3-0) = 1. $$

Bu holda, ko'rsatkich (ifoda $4x+7$) cheksizlikka intiladi, ya'ni. $\lim_(x\to\infty)(4x+7)=\infty$.

Darajaning asosi birlikka intiladi, ko'rsatkich cheksizlikka intiladi, ya'ni. biz $1^\infty$ noaniqlik bilan shug'ullanmoqdamiz. Ushbu noaniqlikni aniqlash uchun formulani qo'llaymiz. Formulaning quvvati negizida $1+\frac(1)(x)$ ifodasi va biz ko'rib chiqayotgan misolda quvvatning asosi: $\frac(3x+1)(3x-) 5)$. Shuning uchun birinchi harakat $\frac(3x+1)(3x-5)$ ifodasini $1+\frac(1)(x)$ shakliga rasmiy moslashtirish bo'ladi. Birinchidan, bittasini qo'shing va ayiring:

$$ \lim_(x\to\infty)\chap(\frac(3x+1)(3x-5)\o'ng)^(4x+7) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\chap(1+\frac(3x+1)(3x-5)-1\o'ng)^(4x+7) $$

Shuni yodda tutingki, siz shunchaki birlik qo'sha olmaysiz. Agar biz bitta qo'shishga majbur bo'lsak, butun ifodaning qiymatini o'zgartirmaslik uchun uni ayirishimiz kerak. Yechimni davom ettirish uchun biz buni hisobga olamiz

$$ \frac(3x+1)(3x-5)-1 =\frac(3x+1)(3x-5)-\frac(3x-5)(3x-5) =\frac(3x+1- 3x+5)(3x-5) =\frac(6)(3x-5). $$

$\frac(3x+1)(3x-5)-1=\frac(6)(3x-5)$ ekan, u holda:

$$ \lim_(x\to\infty)\chap(1+ \frac(3x+1)(3x-5)-1\o'ng)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\ chap(1+\frac(6)(3x-5)\o'ng)^(4x+7) $$

Keling, sozlashni davom ettiramiz. Formulaning $1+\frac(1)(x)$ ifodasida kasrning ayiruvchisi 1 ga, bizning $1+\frac(6)(3x-5)$ ifodaimizda esa hisob 6$ ga teng. Hisoblagichda $1$ olish uchun quyidagi konvertatsiya yordamida $6$ ni maxrajga tushiring:

$$ 1+\frac(6)(3x-5) =1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6)) $$

Shunday qilib,

$$ \lim_(x\to\infty)\chap(1+\frac(6)(3x-5)\o'ng)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\chap(1+) \frac(1)(\frac(3x-5)(6))\o'ng)^(4x+7) $$

Shunday qilib, darajaning asosi, ya'ni. $1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))$, formulada talab qilinadigan $1+\frac(1)(x)$ shakliga moslashtirilgan. Endi ko'rsatkich bilan ishlashni boshlaymiz. E'tibor bering, formulada ko'rsatkichlar va maxrajdagi ifodalar bir xil:

Bu bizning misolimizda daraja va maxrajni qisqartirish kerakligini anglatadi bir xil shakl. Ko'rsatkichdagi $\frac(3x-5)(6)$ ifodasini olish uchun ko'rsatkichni shu kasrga ko'paytirish kifoya. Tabiiyki, bunday ko'paytirishni qoplash uchun siz darhol o'zaro kasr bilan ko'paytirishingiz kerak bo'ladi, ya'ni. tomonidan $\frac(6)(3x-5)$. Shunday qilib, bizda:

$$ \lim_(x\to\infty)\chap(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\o'ng)^(4x+7) =\lim_(x\to\ infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\o'ng)^(\frac(3x-5)(6)\cdot\frac(6)(3x-5 )\cdot(4x+7)) =\lim_(x\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\o'ng)^(\ frac(3x-5)(6))\o'ng)^(\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)) $$

Darajada joylashgan $\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)$ kasr chegarasini alohida ko'rib chiqamiz:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5) =\left|\frac(\infty)(\infty)\o'ng| =\lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot\chap(4+\frac(7)(x)\o'ng))(3-\frac(5)(x)) =6\cdot\ frac(4)(3) =8. $$

Javob: $\lim_(x\to(0))\biggl(\cos(2x)\biggr)^(\frac(1)(\sin^2(3x)))=e^(-\frac(2) (9))$.

Misol № 4

$\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)$ chegarasini toping.

$x>0$ uchun bizda $\ln(x+1)-\ln(x)=\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)$ bor, keyin:

$$ \lim_(x\to+\infty)x\chap(\ln(x+1)-\ln(x)\o'ng) =\lim_(x\to+\infty)\chap(x\cdot\ln\ chap (\ frac (x + 1) (x) \ o'ng) \ o'ng) $$

$\frac(x+1)(x)$ kasrni $\frac(x+1)(x)=1+\frac(1)(x)$ kasrlar yig‘indisiga kengaytirsak, biz quyidagilarni olamiz:

$$ \lim_(x\to+\infty)\chap(x\cdot\ln\chap(\frac(x+1)(x)\o'ng)\o'ng) =\lim_(x\to+\infty)\chap (x\cdot\ln\left(1+\frac(1)(x)\o'ng)\o'ng) =\lim_(x\to+\infty)\chap(\ln\left(\frac(x+1)) (x)\o'ng)^x\o'ng) =\ln(e) =1. $$

Javob: $\lim_(x\to+\infty)x\chap(\ln(x+1)-\ln(x)\o'ng)=1$.

Misol № 5

$\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))$ chegarasini toping.

Chunki $\lim_(x\to(2))(3x-5)=6-5=1$ va $\lim_(x\to(2))\frac(2x)(x^2-4)= \ infty$ bo'lsa, biz $1^\infty$ shaklidagi noaniqlik bilan shug'ullanamiz. Batafsil tushuntirishlar 2-misolda keltirilgan, ammo bu erda biz o'zimizni cheklaymiz qisqa yechim. $t=x-2$ almashtirishni amalga oshirsak, biz quyidagilarni olamiz:

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\chap|\begin(hizalangan)&t=x-2 ;\;x=t+2\\&t\to(0)\end(hizalangan)\o'ng| =\lim_(t\to(0))\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(2t+4)(t^2+4t))=\\ =\lim_(t\to(0)) )\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t)\cdot 3t\cdot\frac(2t+4)(t^2+4t)) =\lim_(t\to(0) )\left(\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t))\right)^(\frac(6\cdot(t+2))(t+4)) =e^ 3. $$

Ushbu misolni o'zgartirishdan foydalanib, boshqa yo'l bilan hal qilishingiz mumkin: $t=\frac(1)(x-2)$. Albatta, javob bir xil bo'ladi:

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\left|\begin(hizalangan)&t=\frac( 1)(x-2);\;x=\frac(2t+1)(t)\\&t\to\infty\end(hizalangan)\o'ng| =\lim_(t\to\infty)\chap(1+\frac(3)(t)\o'ng)^(t\cdot\frac(4t+2)(4t+1))=\\ =\lim_ (t\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(t)(3))\o'ng)^(\frac(t)(3)\cdot\frac(3)(t) \cdot\frac(t\cdot(4t+2))(4t+1)) =\lim_(t\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(t)( 3))\o‘ng)^(\frac(t)(3))\o‘ng)^(\frac(6\cdot(2t+1))(4t+1)) =e^3. $$

Javob: $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))=e^3$.

Misol № 6

$\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) $ chegarasini toping.

$\frac(2x^2+3)(2x^2-4)$ ifodasi $x\to\infty$ shartida nimaga moyilligini bilib olaylik:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(2x^2+3)(2x^2-4) =\left|\frac(\infty)(\infty)\o'ng| =\lim_(x\to\infty)\frac(2+\frac(3)(x^2))(2-\frac(4)(x^2)) =\frac(2+0)(2 -0)=1. $$

Shunday qilib, berilgan chegarada biz $1^\infty$ shaklidagi noaniqlik bilan shug'ullanamiz, uni ikkinchi ajoyib chegara yordamida aniqlaymiz:

$$ \lim_(x\to\infty)\chap(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\o'ng)^(3x) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\chap(1+\frac(2x^2+3)(2x^2-4)-1\o'ng)^(3x)=\\ =\lim_(x\to) \infty)\left(1+\frac(7)(2x^2-4)\o'ng)^(3x) =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac) (2x^2-4)(7))\o'ng)^(3x)=\\ =\lim_(x\to\infty)\chap(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4) )(7))\o‘ng)^(\frac(2x^2-4)(7)\cdot\frac(7)(2x^2-4)\cdot 3x) =\lim_(x\to\infty) \left(\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4)(7))\right)^(\frac(2x^2-4)(7))\o'ng)^( \frac(21x)(2x^2-4)) =e^0 =1. $$

Javob: $\lim_(x\to\infty)\chap(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\o'ng)^(3x)=1$.

Limitlar barcha matematika talabalariga juda ko'p muammolarni keltirib chiqaradi. Cheklovni hal qilish uchun, ba'zida siz juda ko'p hiyla-nayranglardan foydalanishingiz va turli xil echim usullaridan ma'lum bir misol uchun mos keladiganini tanlashingiz kerak.

Ushbu maqolada biz sizning imkoniyatlaringiz chegaralarini tushunishga yoki nazorat chegaralarini tushunishga yordam bermaymiz, lekin biz savolga javob berishga harakat qilamiz: chegaralarni qanday tushunish kerak. oliy matematika? Tushunish tajriba bilan birga keladi, shuning uchun biz bir nechtasini beramiz batafsil misollar tushuntirishlar bilan chegaralar yechimlari.

Matematikada limit tushunchasi

Birinchi savol: bu chegara nima va nimaning chegarasi? Raqamli ketma-ketliklar va funksiyalarning chegaralari haqida gapirish mumkin. Bizni funktsiyaning chegarasi tushunchasi qiziqtiradi, chunki o'quvchilar ko'p uchraydigan narsa. Lekin birinchi - eng ko'p umumiy ta'rif chegara:

Aytaylik, o'zgaruvchan qiymat bor. Agar o'zgarish jarayonida bu qiymat cheksiz ravishda ma'lum bir raqamga yaqinlashsa a , Bu a - bu qiymatning chegarasi.

Muayyan intervalda aniqlangan funksiya uchun f(x)=y bunday raqam chegara deb ataladi A , bu funksiya qachonga intiladi X , ma'lum bir nuqtaga moyil A . Nuqta A funksiya aniqlangan intervalga tegishli.

Bu og'ir tuyuladi, lekin u juda oddiy yozilgan:

Lim- ingliz tilidan chegara- chegara.

Chegarani aniqlashning geometrik tushuntirishi ham mavjud, ammo bu erda biz nazariyani chuqur o'rganmaymiz, chunki biz masalaning nazariy tomoniga emas, balki amaliy tomoniga ko'proq qiziqamiz. Buni aytganda X ba'zi qiymatga intiladi, bu o'zgaruvchining raqam qiymatini olmasligini, lekin unga cheksiz yaqinlashishini bildiradi.

beraylik aniq misol. Vazifa chegarani topishdir.

Ushbu misolni hal qilish uchun biz qiymatni almashtiramiz x=3 funksiyaga aylanadi. Biz olamiz:

Aytgancha, agar siz matritsalar bo'yicha asosiy operatsiyalarga qiziqsangiz, o'qing alohida maqola bu mavzu haqida.

Misollarda X har qanday qiymatga moyil bo'lishi mumkin. Bu har qanday raqam yoki cheksizlik bo'lishi mumkin. Mana bir misol qachon X cheksizlikka intiladi:

Intuitiv ravishda, maxrajdagi raqam qanchalik katta bo'lsa, funktsiya shunchalik kichikroq qiymatga ega bo'ladi. Shunday qilib, cheksiz o'sish bilan X ma'nosi 1/x kamayadi va nolga yaqinlashadi.

Ko'rib turganingizdek, chegarani hal qilish uchun siz faqat funktsiyaga intiladigan qiymatni almashtirishingiz kerak. X . Biroq, bu eng oddiy holat. Ko'pincha chegarani topish unchalik aniq emas. Chegaralar ichida turning noaniqliklari mavjud 0/0 yoki cheksizlik/cheksizlik . Bunday hollarda nima qilish kerak? Fokuslarga murojaat qiling!

Ichidagi noaniqliklar

Infinity/infinity shaklining noaniqligi

Cheklov bo'lsin:

Funktsiyada cheksizlikni almashtirishga harakat qilsak, biz sonda ham, maxrajda ham cheksizlikka ega bo'lamiz. Umuman olganda, bunday noaniqliklarni hal qilishda san'atning ma'lum bir elementi borligini aytish kerak: siz noaniqlik yo'qolishi uchun funktsiyani qanday o'zgartirishingiz mumkinligini payqashingiz kerak. Bizning holatlarimizda biz hisoblagich va maxrajni ajratamiz X oliy darajadagi. Nima bo'ladi?

Yuqorida muhokama qilingan misoldan bilamizki, maxrajda x ni o'z ichiga olgan atamalar nolga moyil bo'ladi. Keyin chegaraning yechimi:

Turi noaniqliklarini hal qilish uchun cheksizlik/cheksizlik son va maxrajni ga bo'ling X eng yuqori darajada.

Aytmoqchi! O'quvchilarimiz uchun endi 10% chegirma mavjud har qanday ish turi

Boshqa turdagi noaniqlik: 0/0

Har doimgidek, funktsiyaga qiymatlarni almashtirish x=-1 beradi 0 son va maxrajda. Bir oz ko'proq diqqat bilan qarang va buni bizning numeratorimizda ko'rasiz kvadrat tenglama. Keling, ildizlarni topamiz va yozamiz:

Keling, kamaytiramiz va olamiz:

Shunday qilib, agar siz noaniqlik turiga duch kelsangiz 0/0 – son va maxrajni ko‘paytiruvchi.

Misollarni echishni osonlashtirish uchun biz ba'zi funktsiyalar chegaralari bilan jadvalni taqdim etamiz:

L'Hopital qoidasi ichida

Ikkala turdagi noaniqlikni bartaraf etishning yana bir kuchli usuli. Usulning mohiyati nimada?

Agar chegarada noaniqlik mavjud bo'lsa, noaniqlik yo'qolguncha pay va maxrajning hosilasini oling.

L'Hopital qoidasi quyidagicha ko'rinadi:

Muhim nuqta : ayiruvchi va maxrajning hosilalari boʻluvchi va ayiruvchi oʻrniga turish chegarasi mavjud boʻlishi kerak.

Va endi - haqiqiy misol:

Oddiy noaniqlik mavjud 0/0 . Numerator va maxrajning hosilalarini olaylik:

Voila, noaniqlik tez va oqlangan tarzda hal qilinadi.

Umid qilamizki, siz ushbu ma'lumotni amalda qo'llay olasiz va "Oliy matematikada chegaralarni qanday hal qilish kerak" degan savolga javob topasiz. Agar siz ketma-ketlik chegarasini yoki nuqtadagi funktsiya chegarasini hisoblashingiz kerak bo'lsa va bu ish uchun mutlaqo vaqt yo'q bo'lsa, tez va batafsil yechim uchun professional talabalar xizmatiga murojaat qiling.