Funktsiya chegarasi cheksizlik ta'rifiga teng. Funktsiya chegarasi
(x) x nuqtada 0
:
,
Agar
1) x nuqtaning shunday teshilgan qo'shnisi bor 0
2) har qanday ketma-ketlik uchun (xn), x ga yaqinlashish 0
:
, uning elementlari mahallaga tegishli,
keyingi ketma-ketlik (f(xn)) ga birlashadi:
.
Bu erda x 0 a esa chekli sonlar yoki cheksizlikdagi nuqtalar bo‘lishi mumkin. Mahalla ikki tomonlama yoki bir tomonlama bo'lishi mumkin.
.
Funktsiya chegarasining ikkinchi ta'rifi (Koshi bo'yicha)
a soni f funksiyaning chegarasi deyiladi (x) x nuqtada 0
:
,
Agar
1) x nuqtaning shunday teshilgan qo'shnisi bor 0
, bunda funksiya aniqlanadi;
2) har qanday musbat son e uchun > 0
d e shunday raqam mavjud > 0
, e ga qarab, teshilgan d e ga tegishli barcha x uchun x nuqtaning qo'shnisi 0
:
,
funktsiya qiymatlari f (x) a nuqtaning e-mahallasiga tegishli:
.
X ball 0 a esa chekli sonlar yoki cheksizlikdagi nuqtalar bo‘lishi mumkin. Mahalla ham ikki tomonlama yoki bir tomonlama bo'lishi mumkin.
Keling, mavjudlik va universallikning mantiqiy belgilaridan foydalanib, ushbu ta'rifni yozamiz:
.
Ushbu ta'rifda uchlari bir xil masofada joylashgan mahallalar qo'llaniladi. Ekvivalent ta'rif nuqtalarning ixtiyoriy qo'shnilari yordamida berilishi mumkin.
O'zboshimchalik bilan qo'shnilar yordamida ta'rif
a soni f funksiyaning chegarasi deyiladi (x) x nuqtada 0
:
,
Agar
1) x nuqtaning shunday teshilgan qo'shnisi bor 0
, bunda funksiya aniqlanadi;
2) har qanday mahalla U uchun (a) a nuqtaning x nuqtasining shunday teshilgan qo'shnisi bor 0
bu x nuqtaning teshilgan qo'shnisiga tegishli barcha x uchun 0
:
,
funktsiya qiymatlari f (x) U mahallasiga tegishli (a) a nuqtalari:
.
Borliq va universallikning mantiqiy belgilaridan foydalanib, bu ta’rifni quyidagicha yozish mumkin:
.
Bir tomonlama va ikki tomonlama chegaralar
Yuqoridagi ta'riflar universaldir, chunki ular har qanday turdagi mahalla uchun ishlatilishi mumkin. Agar biz oxirgi nuqtaning chap qirrali teshilgan qo'shnisi sifatida foydalansak, biz chap tomonli chegaraning ta'rifini olamiz. Agar biz cheksizlikdagi nuqtaning qo'shniligini qo'shni sifatida ishlatsak, cheksizlikdagi chegara ta'rifini olamiz.
Geyne chegarasini aniqlash uchun bu ga yaqinlashuvchi ixtiyoriy ketma-ketlikka qo'shimcha cheklov qo'yilganligidan kelib chiqadi: uning elementlari nuqtaning mos keladigan teshilgan qo'shnisiga tegishli bo'lishi kerak.
Koshi chegarasini aniqlash uchun har bir holatda nuqta qo'shnisining tegishli ta'riflaridan foydalangan holda ifodalarni va tengsizliklarga aylantirish kerak.
"Nuqtaning qo'shnisi" ga qarang.
Bu a nuqtani aniqlash funksiyaning chegarasi emas
Ko'pincha a nuqtasi funksiyaning chegarasi emas, degan shartdan foydalanish kerak bo'ladi. Keling, yuqoridagi ta'riflarga inkorlar tuzamiz. Ularda f funksiyasi deb faraz qilamiz (x) x nuqtaning ba'zi bir teshilgan qo'shnisida aniqlanadi 0 . a va x nuqtalari 0 chekli sonlar yoki cheksiz masofali bo'lishi mumkin. Quyida aytilganlarning barchasi ikki tomonlama va bir tomonlama chegaralarga taalluqlidir.
Geynega ko'ra.
Raqam a emas funktsiya chegarasi f (x) x nuqtada 0
:
,
agar bunday ketma-ketlik mavjud bo'lsa (xn), x ga yaqinlashish 0
:
,
uning elementlari mahallaga tegishli bo'lsa,
ketma-ketligi qanday (f(xn)) ga yaqinlashmaydi:
.
.
Koshiga ko'ra.
Raqam a emas funktsiya chegarasi f (x) x nuqtada 0
:
,
agar shunday ijobiy raqam bo'lsa e > 0
, shuning uchun har qanday musbat d soni uchun > 0
, x nuqtasining teshilgan d-mahallasiga tegishli x mavjud. 0
:
,
funktsiyaning qiymati f (x) a nuqtaning e-mahallasiga tegishli emas:
.
.
Albatta, agar a nuqta funksiyaning chegarasi bo'lmasa, bu uning chegarasi bo'lishi mumkin emas degani emas. Cheklov bo'lishi mumkin, lekin u a ga teng emas. Funktsiya nuqtaning teshilgan qo'shnisida aniqlangan bo'lishi ham mumkin, lekin chegarasi yo'q.
Funktsiya f(x) = sin(1/x) x → 0 kabi chegarasi yo'q.
Misol uchun, funktsiya da belgilangan, lekin hech qanday chegara yo'q. Buni isbotlash uchun keling, ketma-ketlikni olaylik. Bir nuqtaga yaqinlashadi 0
: . Chunki, keyin.
Keling, ketma-ketlikni olaylik. Shuningdek, u nuqtaga yaqinlashadi 0
: . Lekin o'shandan beri.
U holda chegara hech qanday a soniga teng bo'lishi mumkin emas. Darhaqiqat, uchun , qaysi bilan ketma-ketlik bor. Shuning uchun, nolga teng bo'lmagan har qanday raqam chegara emas. Ammo bu ham chegara emas, chunki ketma-ketlik mavjud.
Limitning Geyne va Koshi ta'riflarining ekvivalentligi
Teorema
Funksiya chegarasining Geyn va Koshi ta’riflari ekvivalentdir.
Isbot
Isbotda biz funktsiya nuqtaning ba'zi bir teshilgan qo'shnisida (cheklangan yoki cheksizlikda) aniqlangan deb faraz qilamiz. A nuqtasi ham chekli yoki cheksiz bo'lishi mumkin.
Geynning isboti ⇒ Koshining isboti
Birinchi ta'rifga ko'ra (Geyne bo'yicha) funktsiya nuqtada a chegarasiga ega bo'lsin. Ya'ni nuqta qo'shnisiga tegishli bo'lgan va chegaraga ega bo'lgan har qanday ketma-ketlik uchun
(1)
,
ketma-ketlikning chegarasi:
(2)
.
Funktsiyaning bir nuqtada Koshi chegarasi borligini ko'rsataylik. Ya'ni, hamma uchun hamma uchun nimadir bor.
Buning aksini faraz qilaylik. (1) va (2) shartlar bajarilsin, lekin funksiya Koshi chegarasiga ega emas. Ya'ni, har kim uchun mavjud bo'lgan narsa bor, shuning uchun
.
ni olaylik, bu yerda n natural son. Keyin mavjud va
.
Shunday qilib, ga yaqinlashuvchi ketma-ketlikni tuzdik, lekin ketma-ketlikning chegarasi a ga teng emas. Bu teorema shartlariga ziddir.
Birinchi qism isbotlangan.
Koshining isboti ⇒ Geynning isboti
Funksiya ikkinchi ta'rifga ko'ra (Koshi bo'yicha) nuqtada a chegarasiga ega bo'lsin. Ya'ni, har kim uchun bu mavjud
(3)
Barcha uchun .
Funktsiyaning Geynega ko'ra nuqtada a chegarasi borligini ko'rsataylik.
Keling, ixtiyoriy raqamni olaylik. Koshi ta'rifiga ko'ra, raqam mavjud, shuning uchun (3) o'rinli.
Teshilgan mahallaga tegishli va ga yaqinlashuvchi ixtiyoriy ketma-ketlikni olaylik. Konvergent ketma-ketlikning ta'rifiga ko'ra, har qanday kishi uchun bu mavjud
da .
Keyin (3) dan shunday keladi
da .
Chunki bu har kimga tegishli
.
Teorema isbotlangan.
Adabiyotlar:
L.D. Kudryavtsev. Matematik tahlil kursi. 1-jild. Moskva, 2003 yil.
Ta'rif 1. Mayli E- cheksiz son. Agar biron bir mahalla to'plamning nuqtalarini o'z ichiga olsa E, nuqtadan farq qiladi A, Bu A chaqirdi yakuniy to'plam nuqtasi E.
Ta'rif 2. (Genrix Geyne (1821-1881)). Funktsiyaga ruxsat bering 
to'plamda aniqlanadi X Va 
A chaqirdi chegara
funktsiyalari 
nuqtada 
(yoki qachon 
, agar argument qiymatlarining har qanday ketma-ketligi uchun 
, ga yaqinlashish 
, funktsiya qiymatlarining mos keladigan ketma-ketligi raqamga yaqinlashadi A. Ular yozadilar: 
.
Misollar. 1) Funktsiya 
ga teng chegaraga ega Bilan, raqamlar chizig'ining istalgan nuqtasida.
Darhaqiqat, har qanday nuqta uchun 
va argument qiymatlarining har qanday ketma-ketligi 
, ga yaqinlashish 
va boshqa raqamlardan iborat 
, funktsiya qiymatlarining mos keladigan ketma-ketligi shaklga ega 
, va biz bilamizki, bu ketma-ketlik ga yaqinlashadi Bilan. Shunung uchun 
.
2) Funktsiya uchun 
.
Bu aniq, chunki agar 
, keyin 
.
3) Dirixle funktsiyasi 
hech qanday nuqtada chegarasi yo'q.
Haqiqatan ham, ruxsat bering 
Va 
, va hammasi 
- ratsional sonlar. Keyin 
Barcha uchun n, Shunung uchun 
. Agar 
va tamom 
ular irratsional sonlardir 
Barcha uchun n, Shunung uchun 
. 2-ta'rifning shartlari qoniqtirilmaganligini ko'ramiz 
mavjud emas.
4)
.
Haqiqatan ham, keling, ixtiyoriy ketma-ketlikni olaylik 
, ga yaqinlashish
soni 2. Keyin . Q.E.D.
Ta'rif 3. (Koshi (1789-1857)). Funktsiyaga ruxsat bering 
to'plamda aniqlanadi X Va 
bu to'plamning chegara nuqtasidir. Raqam A chaqirdi chegara
funktsiyalari 
nuqtada 
(yoki qachon 
, agar mavjud bo'lsa 
bo'ladi 
, shunday qilib, argumentning barcha qiymatlari uchun X, tengsizlikni qondirish
,
tengsizlik haqiqatdir
.
Ular yozadilar: 
.
Koshining ta'rifi mahallalar yordamida ham berilishi mumkin, agar shuni ta'kidlasak, a:
funksiyasiga ruxsat bering 
to'plamda aniqlanadi X Va 
bu to'plamning chegara nuqtasidir. Raqam A chegara deb ataladi
funktsiyalari 
nuqtada 
, agar mavjud bo'lsa 
- nuqta qo'shnisi A 
teshilgani bor 
- nuqta qo'shnisi 
,shu kabi 
.
Ushbu ta'rifni chizma bilan tasvirlash foydalidir.
Misol 5.
.
Haqiqatan ham, olaylik 
tasodifiy va toping 
, hamma uchun shunday X, tengsizlikni qondirish 
tengsizlik mavjud 
. Oxirgi tengsizlik tengsizlikka teng 
, shuning uchun biz olish uchun etarli ekanligini ko'ramiz 
. Bayonot isbotlangan.
Yarmarka
Teorema 1. Geyne va Koshi bo'yicha funksiya limitining ta'riflari ekvivalentdir.
Isbot. 1) Mayli 
Koshiga ko'ra. Xuddi shu son Geynega ko'ra chegara ekanligini isbotlaylik.
Keling, olamiz 
o'zboshimchalik bilan. 3-ta'rifga ko'ra mavjud 
, hamma uchun shunday 
tengsizlik mavjud 
. Mayli 
– shunday ixtiyoriy ketma-ketlik 
da 
. Keyin raqam bor N hamma uchun shunday 
tengsizlik mavjud 
, Shunung uchun 
Barcha uchun 
, ya'ni. 
Geynega ko'ra.
2) Keling 
Geynega ko'ra. Keling, buni isbotlaylik 
va Koshiga ko'ra.
Keling, buning aksini faraz qilaylik, ya'ni. Nima 
Koshiga ko'ra. Keyin bor 
har kim uchun shunday 
bo'ladi 
,
Va 
. Ketma-ketlikni ko'rib chiqing 
. Belgilanganlar uchun 
va har qanday n mavjud 
Va 
. Bu shuni anglatadiki 
, Garchi 
, ya'ni. raqam A chegara emas 
nuqtada 
Geynega ko'ra. Biz qarama-qarshilikni qo'lga kiritdik, bu bayonotni tasdiqlaydi. Teorema isbotlangan.
Teorema 2 (chegaraning o'ziga xosligi bo'yicha). Agar biror nuqtada funktsiya chegarasi mavjud bo'lsa 
, keyin u yagona.
Isbot. Agar Geyne bo'yicha chegara aniqlangan bo'lsa, unda uning o'ziga xosligi ketma-ketlik chegarasining yagonaligidan kelib chiqadi. Agar chegara Koshi bo'yicha aniqlangan bo'lsa, uning o'ziga xosligi Koshi va Geyne bo'yicha chegara ta'riflarining ekvivalentligidan kelib chiqadi. Teorema isbotlangan.
Ketma-ketliklar uchun Koshi mezoniga o'xshab, funktsiya chegarasining mavjudligi uchun Koshi mezoni amal qiladi. Uni shakllantirishdan oldin, keling
Ta'rif 4. Funktsiya deb aytishadi 
nuqtadagi Koshi shartini qanoatlantiradi 
, agar mavjud bo'lsa 
mavjud 
, shu kabi 
Va 
, tengsizlik amal qiladi 
.
Teorema 3 (Chekning mavjudligi uchun Koshi mezoni). Funktsiyani bajarish uchun 
nuqtada bor edi 
chekli chegara, bu nuqtada funksiya Koshi shartini qondirishi zarur va etarli.
Isbot.Zaruriyat. Mayli 
. Biz buni isbotlashimiz kerak 
nuqtada qanoatlantiradi 
Koshi holati.
Keling, olamiz 
o'zboshimchalik bilan va qo'yish 
. Cheklov ta'rifi bo'yicha 
mavjud 
, har qanday qiymatlar uchun shunday 
, tengsizliklarni qondirish 
Va 
, tengsizliklar qanoatlantiriladi 
Va 
. Keyin
Ehtiyoj isbotlangan.
Adekvatlik. Funktsiyaga ruxsat bering 
nuqtada qanoatlantiradi 
Koshi holati. Biz bu nuqtada borligini isbotlashimiz kerak 
yakuniy chegara.
Keling, olamiz 
o'zboshimchalik bilan. Ta'rifga ko'ra 4 ta mavjud 
, shundayki, tengsizliklardan 
,
shunga amal qiladi 
- bu berilgan.
Avval buni har qanday ketma-ketlik uchun ko'rsatamiz 
, ga yaqinlashish 
, ketma-ketlik 
funksiya qiymatlari yaqinlashadi. Haqiqatan ham, agar 
, keyin, ketma-ketlik chegarasining ta'rifi tufayli, berilgan uchun 
raqam bor N, har qanday uchun shunday 
Va 
. Chunki 
nuqtada 
Koshi shartini qanoatlantiradi, bizda bor 
. Keyin, ketma-ketliklar uchun Koshi mezoniga ko'ra, ketma-ketlik 
birlashadi. Keling, bunday ketma-ketliklarning barchasini ko'rsatamiz 
bir xil chegaraga yaqinlashadi. Keling, buning aksini faraz qilaylik, ya'ni. ketma-ketliklar nima 
Va 
,
,
, shu kabi. Keling, ketma-ketlikni ko'rib chiqaylik. ga yaqinlashishi aniq 
, shuning uchun yuqorida isbotlanganidek, ketma-ketlik yaqinlashadi, bu mumkin emas, chunki pastki ketma-ketliklar 
Va 
turli chegaralarga ega 
Va 
. Olingan qarama-qarshilik shundan dalolat beradi 
=
. Shuning uchun, Geynning ta'rifiga ko'ra, funktsiya nuqtada mavjud 
yakuniy chegara. Yetarlilik va demak, teorema isbotlangan.
Funktsiya y = f (x) qonun (qoida) boʻlib, unga koʻra X toʻplamning har bir x elementi Y toʻplamning bir va faqat bitta y elementi bilan bogʻlanadi.
X element ∈ X chaqirdi funktsiya argumenti yoki mustaqil o'zgaruvchi.
Y elementi ∈ Y chaqirdi funktsiya qiymati yoki qaram o'zgaruvchi.
X to'plami deyiladi funksiya sohasi.
Elementlar to'plami y ∈ Y X to'plamida oldingi tasvirlarga ega bo'lgan , deyiladi maydon yoki funksiya qiymatlari to‘plami.
Haqiqiy funktsiya chaqiriladi yuqoridan cheklangan (pastdan), agar tengsizlik hamma uchun amal qiladigan M soni bo'lsa:
.
Raqamli funksiya chaqiriladi cheklangan, agar M raqami bo'lsa, hamma uchun:
.
Yuqori chekka yoki aniq yuqori chegara Haqiqiy funktsiya uning qiymatlari oralig'ini yuqoridan cheklaydigan eng kichik raqam deb ataladi. Ya'ni, bu s soni bo'lib, u uchun, har bir kishi uchun va har bir kishi uchun, funktsiya qiymati s' dan ortiq bo'lgan argument mavjud: .
Funktsiyaning yuqori chegarasi quyidagicha belgilanishi mumkin:
.
Mos ravishda pastki cheti yoki aniq pastki chegara Haqiqiy funktsiya qiymatlar oralig'ini pastdan cheklaydigan eng katta raqam deb ataladi. Ya'ni, bu i soni bo'lib, uning uchun hamma uchun va har bir kishi uchun funktsiya qiymati i' dan kichik bo'lgan argument mavjud: .
Funktsiyaning infimumini quyidagicha belgilash mumkin:
.
Funksiya chegarasini aniqlash
Koshi bo'yicha funksiya chegarasini aniqlash
Oxirgi nuqtalarda funksiyaning chekli chegaralari
Funktsiya oxirgi nuqtaning ba'zi qo'shnilarida aniqlansin, nuqtaning o'zi bundan mustasno. bir nuqtada, agar biron bir uchun ga qarab shunday narsa borki, barcha x uchun tengsizlik amal qiladi.
.
Funksiya chegarasi quyidagicha belgilanadi:
.
Yoki da.
Borliq va universallikning mantiqiy belgilaridan foydalanib, funksiya chegarasining ta’rifini quyidagicha yozish mumkin:
.
Bir tomonlama chegaralar.
Bir nuqtada chap chegara (chap tomon chegarasi):
.
Bir nuqtada o'ng chegara (o'ng chegara):
.
Chap va o'ng chegaralar ko'pincha quyidagicha belgilanadi:
;
.
Funksiyaning cheksizlik nuqtalaridagi chekli chegaralari
Cheksizlik nuqtalaridagi chegaralar xuddi shunday tarzda aniqlanadi.
.
.
.
Ular ko'pincha shunday nomlanadi:
;
;
.
Nuqta qo‘shnisi tushunchasidan foydalanish
Agar nuqtaning teshilgan qo'shnisi tushunchasini kiritadigan bo'lsak, u holda biz chekli va cheksiz uzoq nuqtalardagi funksiyaning chekli chegarasining yagona ta'rifini berishimiz mumkin:
.
Bu erda oxirgi nuqtalar uchun
;
;
.
Cheksizlikdagi nuqtalarning har qanday qo'shnisi teshiladi:
;
;
.
Cheksiz funksiya chegaralari
Ta'rif
Funktsiya nuqtaning ba'zi bir teshilgan qo'shnisida (cheklangan yoki cheksizda) aniqlansin. Funktsiya chegarasi f (x) x → x sifatida 0
cheksizlikka teng, agar har qanday ixtiyoriy katta son uchun M > 0
, d M raqami mavjud > 0
, M ga qarab, nuqtaning teshilgan d M - qo'shnisiga tegishli barcha x uchun: , quyidagi tengsizlik bajariladi:
.
Cheksiz chegara quyidagicha ifodalanadi:
.
Yoki da.
Borliq va universallikning mantiqiy belgilaridan foydalanib, funksiyaning cheksiz chegarasini aniqlashni quyidagicha yozish mumkin:
.
Siz va ga teng bo'lgan ba'zi belgilarning cheksiz chegaralarining ta'riflarini ham kiritishingiz mumkin:
.
.
Funksiya chegarasining universal ta'rifi
Nuqtaning qo‘shnisi tushunchasidan foydalanib, funksiyaning chekli va cheksiz chegarasining universal ta’rifini berishimiz mumkin, bu ham chekli (ikki tomonlama va bir tomonlama) va cheksiz uzoq nuqtalar uchun ham amal qiladi:
.
Geyne bo'yicha funksiya chegarasini aniqlash
Funktsiya ba'zi X to'plamda aniqlansin:.
a soni funksiyaning chegarasi deyiladi nuqtada:
,
agar x ga yaqinlashuvchi har qanday ketma-ketlik uchun 0
:
,
Elementlari X to'plamga tegishli: ,
.
Keling, mavjudlik va universallikning mantiqiy belgilaridan foydalanib, ushbu ta'rifni yozamiz:
.
Agar x nuqtaning chap qirrali qo'shnisini X to'plam sifatida olsak 0 , keyin chap chegaraning ta'rifini olamiz. Agar u o'ng qo'li bo'lsa, biz to'g'ri chegaraning ta'rifini olamiz. Agar cheksizlikdagi nuqtaning qo‘shniligini X to‘plam sifatida olsak, funksiyaning cheksizlikdagi chegarasi ta’rifini olamiz.
Teorema
Funktsiya chegarasining Koshi va Geyn ta'riflari ekvivalentdir.
Isbot
Funksiya chegarasining xossalari va teoremalari
Bundan tashqari, ko'rib chiqilayotgan funksiyalar nuqtaning tegishli qo'shnisida aniqlangan deb faraz qilamiz, bu chekli son yoki belgilardan biri: . Bundan tashqari, bir tomonlama chegara nuqtasi bo'lishi mumkin, ya'ni shakl yoki . Mahalla ikki tomonlama chegara uchun ikki tomonlama va bir tomonlama chegara uchun bir tomonlama.
Asosiy xususiyatlar
Agar funktsiyaning qiymatlari f (x) x nuqtalarning cheklangan sonini o'zgartiring (yoki aniqlanmagan qilib qo'ying). 1, x 2, x 3, ... x n, u holda bu o'zgarish ixtiyoriy x nuqtasida funktsiya chegarasining mavjudligi va qiymatiga ta'sir qilmaydi. 0 .
Agar chekli chegara mavjud bo'lsa, u holda x nuqtaning teshilgan qo'shnisi mavjud 0
, buning ustiga f funktsiya (x) cheklangan:
.
Funktsiya x nuqtada bo'lsin 0
chekli noldan farqli chegara:
.
Keyin, oraliqdan har qanday c soni uchun x nuqtasining shunday teshilgan qo'shnisi mavjud 0
, nima uchun ,
, Agar;
, Agar .
Agar nuqtaning ba'zi bir teshilgan mahallasida , doimiy bo'lsa, u holda .
Agar cheklangan chegaralar mavjud bo'lsa va x nuqtasining ba'zi teshilgan qo'shnilarida 0
,
Bu .
Agar , va nuqtaning ba'zi mahallalarida
,
Bu .
Xususan, bir nuqtaning ba'zi bir mahallasida bo'lsa
,
keyin agar , keyin va ;
agar , keyin va.
Agar x nuqtaning ba'zi bir teshilgan mahallasida bo'lsa 0
:
,
va chekli (yoki ma'lum bir belgining cheksiz) teng chegaralari mavjud:
, Bu
.
Asosiy xususiyatlarning dalillari sahifada keltirilgan
«Funksiya chegaralarining asosiy xossalari».
Funksiya chegarasining arifmetik xossalari
Vazifalar va nuqtaning ba'zi teshilgan mahallasida aniqlansin. Va chekli chegaralar bo'lsin:
Va .
Va C doimiy, ya'ni berilgan son bo'lsin. Keyin
;
;
;
, Agar .
Agar, keyin.
Arifmetik xususiyatlarning isbotlari sahifada keltirilgan
“Funksiya chegaralarining arifmetik xossalari”.
Funksiya chegarasining mavjudligi uchun Koshi mezoni
Teorema
Cheklangan yoki cheksizlik x nuqtasining ba'zi bir teshilgan qo'shnisida aniqlangan funktsiya uchun 0
, bu nuqtada cheklangan chegarasi bor edi, bu har qanday e uchun zarur va etarli > 0
x nuqtaning shunday teshilgan mahallasi bor edi 0
, har qanday nuqta va bu qoʻshnilik uchun quyidagi tengsizlik amal qiladi:
.
Murakkab funktsiya chegarasi
Kompleks funktsiya chegarasi haqidagi teorema
Funktsiya chegaraga ega bo'lsin va nuqtaning teshilgan qo'shnisini nuqtaning teshilgan qo'shnisiga ko'rsating. Funktsiya shu mahallada aniqlansin va uning chegarasi bo'lsin.
Mana oxirgi yoki cheksiz uzoq nuqtalar: . Mahallalar va ularning tegishli chegaralari ikki tomonlama yoki bir tomonlama bo'lishi mumkin.
U holda murakkab funksiyaning chegarasi mavjud va u quyidagilarga teng:
.
Murakkab funktsiyaning chegara teoremasi funktsiya nuqtada aniqlanmagan yoki chegaradan farqli qiymatga ega bo'lganda qo'llaniladi. Ushbu teoremani qo'llash uchun funktsiya qiymatlari to'plamida nuqta bo'lmagan nuqtaning teshilgan qo'shnisi bo'lishi kerak:
.
Agar funktsiya nuqtada uzluksiz bo'lsa, u holda chegara belgisi uzluksiz funktsiya argumentiga qo'llanilishi mumkin:
.
Quyida ushbu holatga mos keladigan teorema keltirilgan.
Funksiyaning uzluksiz funksiya chegarasi haqidagi teorema
g funktsiyaning chegarasi bo'lsin (t) t → t sifatida 0
, va u x ga teng 0
:
.
Mana t nuqtasi 0
chekli yoki cheksiz masofali bo'lishi mumkin: .
Va f funktsiyasi bo'lsin (x) x nuqtada uzluksizdir 0
.
U holda f kompleks funksiyaning chegarasi mavjud (g(t)), va u f ga teng (x0):
.
Teoremalarning isbotlari sahifada keltirilgan
“Kompleks funksiyaning chegarasi va uzluksizligi”.
Cheksiz kichik va cheksiz katta funksiyalar
Cheksiz kichik funktsiyalar
Ta'rif
Agar funktsiya cheksiz kichik deyiladi
.
Yig'indi, farq va mahsulot da chekli sonli cheksiz kichik funksiyalar da cheksiz kichik funksiyadir.
Chegaralangan funksiya mahsuloti nuqtaning ba'zi bir teshilgan qo'shnisi bo'yicha cheksiz kichik funktsiya - da cheksiz kichik funktsiyadir.
Funktsiyaning chekli chegarasi bo'lishi uchun bu zarur va etarli
,
da cheksiz kichik funksiya qayerda.
“Cheksiz kichik funksiyalarning xossalari”.
Cheksiz katta funksiyalar
Ta'rif
Agar funktsiya cheksiz katta deyiladi
.
Nuqtaning ba'zi bir teshilgan qo'shnisidagi chegaralangan funktsiyaning yig'indisi yoki farqi va cheksiz katta funktsiya - da cheksiz katta funktsiyadir.
Agar funktsiya uchun cheksiz katta bo'lsa va funksiya nuqtaning ba'zi bir teshilgan qo'shnisi bilan chegaralangan bo'lsa, u holda
.
Agar funktsiya nuqtaning ba'zi bir teshilgan qo'shnisida tengsizlikni qanoatlantirsa:
,
va funksiya quyidagi hollarda cheksiz kichikdir:
, va (nuqtaning ba'zi teshilgan mahallasida), keyin
.
Xususiyatlarning dalillari bo'limda keltirilgan
“Cheksiz katta funksiyalarning xossalari”.
Cheksiz katta va cheksiz kichik funktsiyalar o'rtasidagi bog'liqlik
Oldingi ikkita xususiyatdan cheksiz katta va cheksiz kichik funktsiyalar o'rtasidagi bog'liqlik kelib chiqadi.
Agar funktsiya da cheksiz katta bo'lsa, u holda funksiya cheksiz kichik bo'ladi.
Agar funktsiya va uchun cheksiz kichik bo'lsa, u holda funktsiya uchun cheksiz katta bo'ladi.
Cheksiz kichik va cheksiz katta funktsiya o'rtasidagi munosabat ramziy ravishda ifodalanishi mumkin:
,
.
Agar cheksiz kichik funktsiya ning ma'lum bir belgisiga ega bo'lsa, ya'ni nuqtaning biron bir teshilgan qo'shnisida ijobiy (yoki manfiy) bo'lsa, bu faktni quyidagicha ifodalash mumkin:
.
Xuddi shu tarzda, agar cheksiz katta funktsiyaning ma'lum bir belgisi bo'lsa, ular yozadilar:
.
Shunda cheksiz kichik va cheksiz katta funksiyalar o‘rtasidagi ramziy bog‘lanishni quyidagi munosabatlar bilan to‘ldirish mumkin:
,
,
,
.
Cheksizlik belgilari bilan bog'liq qo'shimcha formulalarni sahifada topish mumkin
“Cheksizlikdagi nuqtalar va ularning xossalari”.
Monoton funksiyalarning chegaralari
Ta'rif
X haqiqiy sonlar to'plamida aniqlangan funktsiya deyiladi qat'iy ortib bormoqda, agar hamma uchun quyidagi tengsizlik amal qilsa:
.
Shunga ko'ra, uchun qat'iy kamayadi funktsiya uchun quyidagi tengsizlik amal qiladi:
.
Uchun kamaymaydigan:
.
Uchun oshmaydigan:
.
Bundan kelib chiqadiki, qat'iy ortib boruvchi funktsiya ham kamaymaydi. Qattiq kamayuvchi funktsiya ham ortib bormaydi.
Funktsiya chaqiriladi monoton, agar u kamaymaydigan yoki o'smaydigan bo'lsa.
Teorema
Funktsiya oraliqda kamaymasin.
Agar u yuqorida M soni bilan chegaralangan bo'lsa: u holda chekli chegara mavjud. Agar yuqoridan cheklanmagan bo'lsa, unda .
Agar u pastdan m soni bilan chegaralangan bo'lsa: u holda chekli chegara mavjud. Agar pastdan cheklanmagan bo'lsa, unda .
Agar a va b nuqtalar cheksizlikda bo'lsa, u holda ifodalarda chegara belgilari shuni anglatadi.
Bu teoremani yanada ixchamroq shakllantirish mumkin.
Funktsiya oraliqda kamaymasin. Keyin a va b nuqtalarida bir tomonlama chegaralar mavjud:
;
.
O'smaydigan funksiya uchun ham xuddi shunday teorema.
Funktsiya oraliqda ortmasin. Keyin bir tomonlama cheklovlar mavjud:
;
.
Teoremaning isboti sahifada keltirilgan
“Monotonik funksiyalarning chegaralari”.
Adabiyotlar:
L.D. Kudryavtsev. Matematik tahlil kursi. 1-jild. Moskva, 2003 yil.
SM. Nikolskiy. Matematik tahlil kursi. 1-jild. Moskva, 1983 yil.
Limitlar barcha matematika talabalariga juda ko'p muammolarni keltirib chiqaradi. Cheklovni hal qilish uchun, ba'zida siz juda ko'p hiyla-nayranglardan foydalanishingiz va turli xil echim usullaridan ma'lum bir misol uchun mos keladiganini tanlashingiz kerak.
Ushbu maqolada biz sizning imkoniyatlaringiz chegaralarini tushunishga yoki nazorat chegaralarini tushunishga yordam bermaymiz, lekin biz savolga javob berishga harakat qilamiz: oliy matematikada chegaralarni qanday tushunish kerak? Tushunish tajriba bilan birga keladi, shuning uchun biz tushuntirishlar bilan chegaralarni hal qilishning bir nechta batafsil misollarini keltiramiz.
Matematikada limit tushunchasi
Birinchi savol: bu chegara nima va nimaning chegarasi? Raqamli ketma-ketliklar va funksiyalarning chegaralari haqida gapirish mumkin. Bizni funktsiyaning chegarasi tushunchasi qiziqtiradi, chunki o'quvchilar ko'p uchraydigan narsa. Lekin birinchi navbatda, chegaraning eng umumiy ta'rifi:
Aytaylik, o'zgaruvchan qiymat bor. Agar o'zgarish jarayonida bu qiymat cheksiz ravishda ma'lum bir raqamga yaqinlashsa a , Bu a - bu qiymatning chegarasi.
Muayyan intervalda aniqlangan funksiya uchun f(x)=y bunday raqam chegara deb ataladi A , bu funksiya qachonga intiladi X , ma'lum bir nuqtaga moyil A . Nuqta A funksiya aniqlangan intervalga tegishli.
Bu og'ir tuyuladi, lekin u juda oddiy yozilgan:
Lim- ingliz tilidan chegara- chegara.
Chegarani aniqlashning geometrik tushuntirishi ham mavjud, ammo bu erda biz nazariyani chuqur o'rganmaymiz, chunki biz masalaning nazariy tomoniga emas, balki amaliy tomoniga ko'proq qiziqamiz. Buni aytganda X ba'zi qiymatga intiladi, bu o'zgaruvchining raqam qiymatini olmasligini, lekin unga cheksiz yaqinlashishini bildiradi.
Keling, aniq bir misol keltiraylik. Vazifa chegarani topishdir.
Ushbu misolni hal qilish uchun biz qiymatni almashtiramiz x=3 funksiyaga aylanadi. Biz olamiz:
Aytgancha, agar siz qiziqsangiz, ushbu mavzu bo'yicha alohida maqolani o'qing.
Misollarda X har qanday qiymatga moyil bo'lishi mumkin. Bu har qanday raqam yoki cheksizlik bo'lishi mumkin. Mana bir misol qachon X cheksizlikka intiladi:
Intuitiv ravishda, maxrajdagi raqam qanchalik katta bo'lsa, funktsiya shunchalik kichikroq qiymatga ega bo'ladi. Shunday qilib, cheksiz o'sish bilan X ma'nosi 1/x kamayadi va nolga yaqinlashadi.
Ko'rib turganingizdek, chegarani hal qilish uchun siz faqat funktsiyaga intiladigan qiymatni almashtirishingiz kerak. X . Biroq, bu eng oddiy holat. Ko'pincha chegarani topish unchalik aniq emas. Chegaralar ichida turning noaniqliklari mavjud 0/0 yoki cheksizlik/cheksizlik . Bunday hollarda nima qilish kerak? Fokuslarga murojaat qiling!
Ichidagi noaniqliklar
Infinity/infinity shaklining noaniqligi
Cheklov bo'lsin:
Funktsiyada cheksizlikni almashtirishga harakat qilsak, biz sonda ham, maxrajda ham cheksizlikka ega bo'lamiz. Umuman olganda, bunday noaniqliklarni hal qilishda san'atning ma'lum bir elementi borligini aytish kerak: siz noaniqlik yo'qolishi uchun funktsiyani qanday o'zgartirishingiz mumkinligini payqashingiz kerak. Bizning holatlarimizda biz hisoblagich va maxrajni ajratamiz X oliy darajadagi. Nima bo'ladi?
Yuqorida muhokama qilingan misoldan bilamizki, maxrajda x ni o'z ichiga olgan atamalar nolga moyil bo'ladi. Keyin chegaraning yechimi:
Turi noaniqliklarini hal qilish uchun cheksizlik/cheksizlik son va maxrajni ga bo'ling X eng yuqori darajada.
Aytmoqchi! O'quvchilarimiz uchun endi 10% chegirma mavjud
Boshqa turdagi noaniqlik: 0/0
Har doimgidek, funktsiyaga qiymatlarni almashtirish x=-1 beradi 0 son va maxrajda. Biroz diqqat bilan qarasangiz, hisoblagichda kvadrat tenglama borligini sezasiz. Keling, ildizlarni topamiz va yozamiz:
Keling, kamaytiramiz va olamiz:
Shunday qilib, agar siz noaniqlik turiga duch kelsangiz 0/0 – son va maxrajni ko‘paytiruvchi.
Misollarni echishni osonlashtirish uchun biz ba'zi funktsiyalar chegaralari bilan jadvalni taqdim etamiz:
L'Hopital qoidasi ichida
Ikkala turdagi noaniqlikni bartaraf etishning yana bir kuchli usuli. Usulning mohiyati nimada?
Agar chegarada noaniqlik mavjud bo'lsa, noaniqlik yo'qolguncha pay va maxrajning hosilasini oling.
L'Hopital qoidasi quyidagicha ko'rinadi:
Muhim nuqta : ayiruvchi va maxrajning hosilalari boʻluvchi va ayiruvchi oʻrniga turish chegarasi mavjud boʻlishi kerak.
Va endi - haqiqiy misol:
Oddiy noaniqlik mavjud 0/0 . Numerator va maxrajning hosilalarini olaylik:
Voila, noaniqlik tez va oqlangan tarzda hal qilinadi.
Umid qilamizki, siz ushbu ma'lumotni amalda qo'llay olasiz va "Oliy matematikada chegaralarni qanday hal qilish kerak" degan savolga javob topasiz. Agar siz ketma-ketlik chegarasini yoki nuqtadagi funktsiya chegarasini hisoblashingiz kerak bo'lsa va bu ish uchun mutlaqo vaqt yo'q bo'lsa, tez va batafsil yechim uchun professional talabalar xizmatiga murojaat qiling.
Bu erda biz ketma-ketlikning chekli chegarasining ta'rifini ko'rib chiqamiz. Ketma-ketlikning cheksizlikka yaqinlashish holati "Cheksiz katta ketma-ketlikning ta'rifi" sahifasida muhokama qilinadi.
Ta'rif.
(xn), agar har qanday ijobiy raqam e bo'lsa > 0
e ga bog'liq holda N e natural son mavjud bo'lib, barcha natural sonlar uchun n > N e tengsizlik bo'ladi.
| x n - a|< ε
.
Ketma-ketlik chegarasi quyidagicha belgilanadi:
.
Yoki da.
Tengsizlikni o'zgartiramiz:
;
;
.
Ochiq interval (a - e, a + e) deyiladi e - a nuqtaning qo'shnisi.
Cheklovga ega bo'lgan ketma-ketlik deyiladi konvergent ketma-ketlik. Shuningdek, ketma-ketligi aytiladi birlashadi a ga. Cheklanmagan ketma-ketlik deyiladi turlicha.
Ta'rifdan kelib chiqadiki, agar ketma-ketlik a chegarasiga ega bo'lsa, biz tanlagan a nuqtaning qaysi e-qo'shnisi bo'lishidan qat'iy nazar, undan tashqarida ketma-ketlikning faqat cheklangan soni bo'lishi mumkin yoki umuman bo'lmasligi mumkin (bo'sh to'plam). . Va har qanday e-mahalla cheksiz sonli elementlarni o'z ichiga oladi. Haqiqatan ham, ma'lum bir e sonini berganimizdan so'ng, biz raqamga ega bo'lamiz. Shunday qilib, raqamlar bilan ketma-ketlikning barcha elementlari, ta'rifiga ko'ra, a nuqtaning e - qo'shnisida joylashgan. Birinchi elementlar har qanday joyda joylashgan bo'lishi mumkin. Ya'ni, e-mahalladan tashqarida elementlardan ortiq bo'lishi mumkin emas - ya'ni chekli son.
Shuni ham ta'kidlaymizki, farq monoton ravishda nolga moyil bo'lishi shart emas, ya'ni har doim kamayishi kerak. U monoton bo'lmagan holda nolga moyil bo'lishi mumkin: u mahalliy maksimallarga ega bo'lgan ortishi yoki kamayishi mumkin. Biroq, bu maksimallar, n ortishi bilan, nolga moyil bo'lishi kerak (ehtimol monoton emas).
Borliq va universallikning mantiqiy belgilaridan foydalanib, chegara ta’rifini quyidagicha yozish mumkin:
(1)
.
A ekanligini aniqlash chegara emas
Endi a soni ketma-ketlikning chegarasi emasligi haqidagi qarama-qarshi gapni ko'rib chiqing.
Raqam a ketma-ketlikning chegarasi emas, agar shunday bo'lsa, har qanday natural n soni uchun shunday natural m mavjud > n, Nima
.
Bu gapni mantiqiy belgilar yordamida yozamiz.
(2)
.
Bayonot a raqami ketma-ketlikning chegarasi emas, shuni anglatadiki
siz shunday e - a nuqtaning qo'shnisini tanlashingiz mumkin, uning tashqarisida ketma-ketlikning cheksiz sonli elementlari bo'ladi..
Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik. Umumiy elementli ketma-ketlik berilsin
(3)
Nuqtaning har qanday qo'shnisi cheksiz sonli elementlarni o'z ichiga oladi. Biroq, bu nuqta ketma-ketlikning chegarasi emas, chunki nuqtaning har qanday qo'shnisi ham cheksiz sonli elementlarni o'z ichiga oladi. Keling, e - nuqtaning e = bo'lgan qo'shnisini olaylik 1
. Bu interval bo'ladi (-1, +1)
. Juft n ga ega bo'lgan birinchi elementdan tashqari barcha elementlar ushbu intervalga tegishli. Lekin toq n bo'lgan barcha elementlar bu oraliqdan tashqarida, chunki ular x n tengsizlikni qanoatlantiradi > 2
. Toq elementlarning soni cheksiz bo'lgani uchun, tanlangan mahalladan tashqarida cheksiz sonli elementlar bo'ladi. Shuning uchun nuqta ketma-ketlikning chegarasi emas.
Endi biz (2) bayonotiga qat'iy rioya qilgan holda buni ko'rsatamiz. Nuqta (3) ketma-ketlikning chegarasi emas, chunki har qanday natural n uchun tengsizlik o'rinli bo'lgan g'alati nuqta mavjud bo'ladi.
.
Har qanday a nuqta bu ketma-ketlikning chegarasi bo'la olmasligini ham ko'rsatish mumkin. Biz har doim a nuqtaning 0-nuqtasini ham, 2-nuqtasini ham o'z ichiga olmaydi e - qo'shniligini tanlashimiz mumkin. Va keyin tanlangan mahalladan tashqarida ketma-ketlikning cheksiz sonli elementlari bo'ladi.
Ekvivalent ta'rif
E - mahalla tushunchasini kengaytirsak, ketma-ketlik chegarasining ekvivalent ta'rifini berishimiz mumkin. Agar e-mahalla oʻrniga a nuqtaning istalgan qoʻshnisi boʻlsa, biz ekvivalent taʼrifni olamiz.
Nuqtaning qo'shniligini aniqlash
A nuqtasining qo'shnisi bu nuqtani o'z ichiga olgan har qanday ochiq interval deyiladi. Matematik jihatdan mahalla quyidagicha aniqlanadi: , bu yerda e 1
va e 2
- ixtiyoriy ijobiy sonlar.
Keyin chegaraning ta'rifi quyidagicha bo'ladi.
Ketma-ketlik chegarasining ekvivalent ta'rifi
a soni ketma-ketlikning chegarasi deyiladi, agar uning biron-bir qo'shnisi uchun N natural soni mavjud bo'lsa, raqamlar bilan ketma-ketlikning barcha elementlari shu qo'shnichilikka tegishli bo'ladi.
Ushbu ta'rif kengaytirilgan shaklda ham taqdim etilishi mumkin.
a soni ketma-ketlikning chegarasi deyiladi, agar har qanday musbat sonlar uchun N natural soni mavjud bo'lsa va shunga qarab tengsizliklar barcha natural sonlar uchun amal qiladi.
.
Ta'riflarning ekvivalentligini isbotlash
Yuqorida keltirilgan ketma-ketlik chegarasining ikkita ta'rifi ekvivalent ekanligini isbotlaylik.
Birinchi ta'rifga ko'ra a soni ketma-ketlikning chegarasi bo'lsin. Bu shuni anglatadiki, har qanday musbat e soni uchun quyidagi tengsizliklar bajariladigan funktsiya mavjud:
(4)
da .
Ikkinchi ta'rif bilan a soni ketma-ketlikning chegarasi ekanligini ko'rsatamiz. Ya'ni, har qanday musbat sonlar uchun e bo'ladigan shunday funksiya borligini ko'rsatishimiz kerak 1
va e 2
quyidagi tengsizliklar qanoatlantiriladi:
(5)
da .
Keling, ikkita ijobiy raqamga ega bo'lamiz: e 1
va e 2
. Ularning eng kichigi e bo'lsin: . Keyin; ; . Buni (5) da ishlatamiz:
.
Lekin tengsizliklar uchun qanoatlantiriladi. U holda (5) tengsizliklar uchun ham bajariladi.
Ya'ni, har qanday musbat e sonlar uchun (5) tengsizliklar qanoatlantiriladigan funksiya topdik. 1
va e 2
.
Birinchi qism isbotlangan.
Endi a soni ikkinchi ta'rifga ko'ra ketma-ketlikning chegarasi bo'lsin. Bu shuni anglatadiki, har qanday musbat sonlar uchun e bo'ladigan funksiya mavjud 1
va e 2
quyidagi tengsizliklar qanoatlantiriladi:
(5)
da .
Birinchi ta'rif bo'yicha a soni ketma-ketlikning chegarasi ekanligini ko'rsatamiz. Buning uchun siz qo'yishingiz kerak. Keyin quyidagi tengsizliklar bajarilganda:
.
Bu bilan birinchi ta'rifga mos keladi.
Ta'riflarning ekvivalentligi isbotlangan.
Misollar
Bu erda biz berilgan a soni ketma-ketlikning chegarasi ekanligini isbotlashimiz kerak bo'lgan bir nechta misollarni ko'rib chiqamiz. Bunday holda, siz ixtiyoriy musbat e sonini ko'rsatishingiz va e ning N funktsiyasini belgilashingiz kerak, shunda tengsizlik .
1-misol
Buni isbotlang.
(1)
.
Bizning holatda;
.
.
Tengsizliklar xossalaridan foydalanamiz. Keyin agar va bo'lsa, keyin
.
.
Keyin
da .
Bu raqam berilgan ketma-ketlikning chegarasi ekanligini anglatadi:
.
2-misol
Ketma-ketlik chegarasining ta'rifidan foydalanib, buni isbotlang
.
Keling, ketma-ketlik chegarasining ta'rifini yozamiz:
(1)
.
Bizning holatda,;
.
Ijobiy raqamlarni kiriting va:
.
Tengsizliklar xossalaridan foydalanamiz. Keyin agar va bo'lsa, keyin
.
Ya'ni, har qanday musbat uchun biz har qanday natural sondan katta yoki teng olishimiz mumkin:
.
Keyin
da .
.
3-misol
.
Biz belgini kiritamiz, .
Keling, farqni o'zgartiramiz:
.
Tabiiy n uchun = 1, 2, 3, ...
bizda ... bor:
.
Keling, ketma-ketlik chegarasining ta'rifini yozamiz:
(1)
.
Ijobiy raqamlarni kiriting va:
.
Keyin agar va bo'lsa, keyin
.
Ya'ni, har qanday musbat uchun biz har qanday natural sondan katta yoki teng olishimiz mumkin:
.
Qayerda
da .
Bu raqam ketma-ketlikning chegarasi ekanligini anglatadi:
.
4-misol
Ketma-ketlik chegarasining ta'rifidan foydalanib, buni isbotlang
.
Keling, ketma-ketlik chegarasining ta'rifini yozamiz:
(1)
.
Bizning holatda,;
.
Ijobiy raqamlarni kiriting va:
.
Keyin agar va bo'lsa, keyin
.
Ya'ni, har qanday musbat uchun biz har qanday natural sondan katta yoki teng olishimiz mumkin:
.
Keyin
da .
Bu raqam ketma-ketlikning chegarasi ekanligini anglatadi:
.
Adabiyotlar:
L.D. Kudryavtsev. Matematik tahlil kursi. 1-jild. Moskva, 2003 yil.
SM. Nikolskiy. Matematik tahlil kursi. 1-jild. Moskva, 1983 yil.
Yuklanmoqda...