Taqdimot: proporsional segmentlar, o'xshash uchburchaklar ta'rifi. Taqdimot "O'xshash uchburchaklar ta'rifi". Qaysi segmentlar proportsional deyiladi?

SHUNDAY UCHBURCHLAR

MBOU 14-sonli gimnaziya

Matematika oʻqituvchisi: E.D. Lazarev

Proportsional segmentlar

Munosabat AB va CD segmentlari ularning uzunliklarining nisbati deb ataladi, ya'ni.

AB va CD segmentlari mutanosib segmentlari A 1 B 1 va C 1 D 1, agar

O'xshash uchburchaklar ta'rifi

Ikkita uchburchak deyiladi o'xshash agar ularning burchaklari mos ravishda teng bo'lsa va bir uchburchakning tomonlari ikkinchisining o'xshash tomonlariga proportsional bo'lsa.

Uchburchaklarning o'xshash tomonlari nisbatiga teng bo'lgan k soni deyiladi o'xshashlik koeffitsienti

B 1

A 1

C 1

O'xshash uchburchaklar maydonlarining nisbati

Ikki o'xshash uchburchaklar maydonlarining nisbati kvadrat o'xshashlik koeffitsienti

Uchburchakning bissektrisasi qarama-qarshi tomonni uchburchakning qo'shni tomonlariga proportsional bo'laklarga ajratadi.

B 1

A 1

C 1

I

Agar bitta uchburchakning ikkita burchagi mos ravishda boshqa uchburchakning ikkita burchagiga teng bo'lsa, bunday uchburchaklar o'xshashdir.

 ABC,  A 1 B 1 C 1,

 A =  A 1 ,  B =  B 1

Isbot qiling:

 ABC  A 1 B 1 C 1

B 1

A 1

C 1

Uchburchaklarning o'xshashlik belgilari

II uchburchak o'xshashlik testi

Agar bir uchburchakning ikki tomoni boshqa uchburchakning ikki tomoniga proporsional bo'lsa va bu tomonlar orasidagi burchaklar teng bo'lsa, bunday uchburchaklar o'xshashdir.

 ABC,  A 1 B 1 C 1,

Isbot qiling:

 ABC  A 1 B 1 C 1

B 1

A 1

C 1

Uchburchaklarning o'xshashlik belgilari

III uchburchak o'xshashlik testi

Agar bitta uchburchakning uch tomoni boshqa uchburchakning uch tomoniga proporsional bo'lsa, bunday uchburchaklar o'xshashdir.

 ABC,  A 1 B 1 C 1,

Isbot qiling:

 ABC  A 1 B 1 C 1

B 1

A 1

C 1

Uchburchakning o'rta chizig'i

Uchburchakning o'rta chizig'i ikki tomonning o'rta nuqtalarini bog'laydigan segmentdir.

Uchburchakning o'rta chizig'i

tomonlaridan biriga parallel

va bu tomonning yarmiga teng

 ABC, MN – markaziy chiziq

Isbot qiling:

MN  AC, MN = AC

Uchburchakning medianalari bir nuqtada kesishadi, bu nuqta har bir medianani 2:1 nisbatda bo'linadi, cho'qqidan sanaladi.

A 1

C 1

B 1

Muammoni hal qilishda o'xshashlikni qo'llash

To'g'ri burchakli uchburchakning balandligi uchburchakni ikkita o'xshash to'g'ri burchakli uchburchakka ajratadi, ularning har biri berilgan uchburchakka o'xshaydi.

 ABC  ACD,

Teoremani isbotlashga o'xshashlikni qo'llash

1. To‘g‘ri burchak uchidan chizilgan to‘g‘ri burchakli uchburchakning balandligi shu balandlikka gipotenuza bo‘linadigan segmentlar orasidagi o‘rtacha proporsionaldir.

Teoremani isbotlashga o'xshashlikni qo'llash

2. To'g'ri burchakli uchburchakning oyog'i - gipotenuza bilan gipotenuzaning oyog'i o'rtasida joylashgan segmenti va to'g'ri burchakning tepasidan tortib olingan balandlik o'rtasidagi o'rtacha proporsionaldir.

"O'xshash uchburchaklar ta'rifi" taqdimoti 8-sinfda geometriya darsida yangi tushunchani - uchburchaklarning o'xshashligini kiritish bosqichini o'z ichiga oladi. O'xshashlik tushunchasi qurilgan segmentlarning mutanosibligi tushunchasini aniqlab bo'lgach, talabalar ular uchun juda murakkab bo'lgan materialni - o'xshashlikni ko'rib chiqishga kirishadilar. Taqdimot yordamida o'qituvchi tushuntirish jarayonida o'quvchilarda o'rganilayotgan mavzu - uchburchaklarning o'xshashligi haqida aniq tushunchani shakllantiradi, matematik nutqdan foydalanish ko'nikmalarini rivojlantirishni davom ettiradi va o'rganilgan tushunchani qo'llash ko'nikmalarini rivojlantiradi. amaliy muammolarni hal qilish.

1-2 slaydlar ("O'xshash uchburchaklar ta'rifi" taqdimoti mavzusi, misollar)

Uchburchaklarning o'xshashlik xususiyatini tushuntirish uchun taqdimot quyidagi vositalardan foydalanadi:

• asosiy tushunchalarni qizil rangda ta'kidlash;
• materialni tushuntirishda ta'rif va ravshanlikni aniqlashtirish uchun grafik qismning animatsion qurilishi;
• mavzu bo'yicha asosiy algebraik ifodalarni ramkalash;
• o'rganilayotgan tushunchaning amaliy ma'nosini tushunish uchun rasmlardan foydalanish.

Bunday namoyish sizga materialni chuqurroq tushunishga va uni eslab qolishni osonlashtirishga imkon beradi.

Taqdimot konturlari bo'yicha o'xshash geometrik figuralar qurilgan ob'ektlarning namoyishi bilan boshlanadi. Masalan, futbol va qo‘l to‘pi to‘plari, turli o‘lchamdagi naqshli plastinkalar. Ob'ektlarning o'ng tomonida bir-biriga o'xshash figuralarning konturlari - katta va kichik kvadrat, katta va kichik doira tasvirlangan.

slaydlar 3-4 (o'xshash uchburchaklar ta'rifi)

Talabani ma'lum tushunchani amaliy qo'llash orqali o'rganish bilan tanishtiradigan bunday namoyish juda samarali bo'lib, darsning muhim maqsadlaridan biri - o'rganilayotgan mavzu bo'yicha o'quvchining tushunchasini mustahkamlashga yordam beradi.

Keyingi slaydda o'xshashlik tushunchasi ABC va A1B1C1 ikkita qurilgan uchburchaklar yordamida uning tarkibiy qismlariga ajratiladi. Animatsiyadan foydalanib, asta-sekin mos keladigan burchaklar teng deb belgilanadi. Tegishli burchaklar xuddi shu tarzda belgilanadi - A va A1 bir yarim doira, B va B1 ikkita, C va C1 uchta. Ushbu uchburchaklar teng burchakka ega ekanligini hisobga olib, ularning mos tomonlari o'xshash deb ataladi. Bu ifoda kelajakda geometrik masalalarni yechishda qo‘llanilishi kerak, shuning uchun ifoda yashil rang bilan ajratib ko‘rsatiladi, bu esa uni eslab qolish va kelajakda foydalanish zarurligini bildiradi.

5-slayd (veb-sayt)

Endi biz burchaklarning mos keladigan tengligi va o'xshash tomonlarning proportsionalligi bilan uchburchaklarning o'xshashligi ta'rifini shakllantirishimiz mumkin. Keyinchalik, uchburchaklarning o'xshashligi shartlarining algebraik tasviri ko'rsatiladi - burchaklarning tengligi va barcha uch tomonning proportsionalligi. Tomonlarning mutanosiblik sharti yodlash uchun ramkaga kiritilgan. Har bir juftlikning nisbati natijasi bir xil raqamdir. U k bilan belgilanadi va uchburchaklarning o'xshashlik koeffitsienti sifatida aniqlanadi.

O'rganilgan tushunchaga asoslanib, geometriya kursida quyidagi mavzularni o'rganish kerak - o'xshash uchburchaklar maydonlarining nisbatlari, uchburchaklarning o'xshashlik belgilari.

Ushbu "O'xshash uchburchaklarning ta'rifi" taqdimoti nafaqat geometriya darsida o'qituvchining tushuntirishi bilan birga ko'rgazma materiali sifatida tavsiya etilishi mumkin. Bu talabaga materialni mustaqil o'rganishga yordam beradi, shuningdek masofaviy o'qitish jarayonida darsdagi o'xshashlik tushunchasini tushuntirishga yordam beradi.

1.1. Proportsional segmentlar O'xshash uchburchaklar ta'rifi 1.2. O'xshash uchburchaklar ta'rifi 1.3. O'xshash uchburchaklar maydonlari nisbati O'xshash uchburchaklar maydonlari nisbati O'xshashlik xususiyatlari.

1.1 Proportsional segmentlar. AB va CD segmentlarining nisbati ularning uzunliklarining nisbati, ya'ni AB va CD segmentlari A 1 B 1 va C 1 D 1 segmentlarga proportsional ekanligi aytiladi, agar MISOL 1. AB va CD segmentlari, uzunliklari 2 sm va 1 sm, A 1 B 1 va C 1 D 1 segmentlariga proportsional bo'lib, ularning segmentlari 3 sm va 1,5 sm ga teng. Aslida,

1.2. O'xshash uchburchaklar ta'rifi. Kundalik hayotda bir xil shakldagi, lekin har xil o'lchamdagi narsalar mavjud, masalan, futbol va tennis to'plari, yumaloq plastinka va katta dumaloq idish. Geometriyada bir xil shakldagi raqamlar odatda o'xshash deb ataladi. Shunday qilib, har qanday ikkita kvadrat, har qanday ikkita doira o'xshash. Keling, o'xshash uchburchaklar tushunchasini kiritaylik.

1.2. O'xshash uchburchaklar ta'rifi. O'XSHARLIK, o'lchamidan qat'i nazar, geometrik figuralarda bir xil shaklning mavjudligini tavsiflovchi geometrik tushuncha. Ikkita F1 va F2 raqamlari o'xshash deb nomlanadi, agar ularning nuqtalari o'rtasida birma-bir yozishmalar o'rnatilishi mumkin bo'lsa, bunda F1 va F2 raqamlarining har qanday juft juftlari orasidagi masofalar bir xil doimiy k ga teng bo'lsa, o'xshashlik koeffitsienti deb ataladi. Shu kabi raqamlarning mos keladigan chiziqlari orasidagi burchaklar tengdir. Xuddi shunday raqamlar F1 va F2.

Ta'rif. Ikki uchburchak o'xshash deyiladi, agar ularning burchaklari mos ravishda teng bo'lsa va bir uchburchakning tomonlari boshqa uchburchakning o'xshash tomonlariga proportsional bo'lsa. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, ikkita uchburchakni ABC va A 1 B 1 C 1 harflari bilan belgilash mumkin bo'lsa, A= A 1, B= B 1, C= C 1 bo'lishi mumkin bo'lsa, o'xshashdir. K soni, nisbatga teng. uchburchaklarning o'xshash tomonlari o'xshashlik koeffitsienti deb ataladi.

1.3. O'xshash uchburchaklar maydonlarining nisbati. Teorema. Ikki o'xshash uchburchaklar maydonlarining nisbati o'xshashlik koeffitsientining kvadratiga teng. Isbot. ABC va A1B1C1 uchburchaklari o'xshash va o'xshashlik koeffitsienti k ga teng bo'lsin. Bu uchburchaklarning maydonlarini S va S1 harflari bilan belgilaylik. A= A1 ekan, demak

O'xshashlik xususiyatlari. Masala 2. Uchburchakning bissektrisasi qarama-qarshi tomonni uchburchakning qo‘shni tomonlariga proporsional bo‘laklarga ajratishini isbotlang. ABC uchburchakning bissektrisasi AD bo‘lsin. ABD va ACD uchburchaklarining umumiy balandligi AH ekanligini isbotlaymiz, shuning uchun 12 A H B D C

Isbot: Burchaklar yig'indisi haqidagi teorema bo'yicha: C = A - B va C 1 = A 1 - B 1, bu C = C 1 degan ma'noni anglatadi. A = A 1 va C = C 1 bo'lgani uchun, u quyidagicha: Bu o'xshash tomonlar proportsional ekanligi ma'lum bo'ldi. Berilgan: ABC va A 1 B 1 C 1 A= A 1 B= B 1 Isbotlang: ABC A 1 B 1 C 1 A C B A1A1 B1B1 C1C1

ABC 2 A 1 B 1 C 1 (birinchi belgiga ko'ra), bu esa, aksincha, bu tengliklardan AC = = AC 2 ni hosil qilamiz. ABC = ABC 2 - ikki tomondan va ular orasidagi burchakka (AB) umumiy tomon, AC = AC 2 va, chunki va).

Isbot: A 1 B 1 o'rta chiziq va A 1 B 1 //AB, shuning uchun va shuning uchun AOB A 1 OB 1 (ikki burchakda), keyin Lekin AB = A 1 B 1, shuning uchun AO = 2A 1 O va VO = 2B 1 O. Bu shuni anglatadiki, O nuqta AA 1 va BB 1 medianalarining kesishishi bo'lib, ularning har birini 2: 1 nisbatda bo'linadi, cho'qqidan hisoblanadi. Xuddi shunday isbotlanganki, BB 1 va CC 1 medianalarining kesishmasi O nuqta, ularning har birini cho'qqidan sanab, 2:1 nisbatda bo'ladi. Bu shuni anglatadiki, O nuqta - AA 1, BB 1 va CC 1 medianalarining kesishishi ularni yuqoridan sanab, 2: 1 nisbatda ajratadi.

Ushbu taqdimotdan darsning istalgan bosqichida foydalanish mumkin. Yopilgan materialni takrorlash, yangi nazariy material va muammolarni hal qilish elementlarini o'z ichiga oladi.

Hujjat tarkibini ko'rish
"Geometriya bo'yicha taqdimot "Uchburchaklarning o'xshashligini aniqlash""

Geometriya, 8-sinf

O'xshash uchburchaklar ta'rifi

Dars maqsadlari:

• "Ikki sonning nisbati" tushunchalarini ko'rib chiqing

"proporsiya"; asosiy xususiyatni eslang

nisbatlar.

2. Proportsional segmentlar tushunchasini kiriting va

o'xshash uchburchaklar.

3. Olingan bilimlarni orqali mustahkamlang

muammoni hal qilish.

Endi eslaylik:

• Ikki sonning nisbati nima deyiladi?

Munosabat nimani ko'rsatadi?

2. AM ning miloddan avvalgi nisbati 2:3 ga teng. Bu qanday ma'nono bildiradi?

3:2 nisbatini toping.

3. ABC AB:BC:AC = 1:3:2 uchburchakda uning perimetri 42 sm ABC uchburchakning tomonlarini toping.

4.Proporsiya deb nimaga aytiladi? Proportsiyalar to'g'rimi?

1,2: 3,6 = 6: 18 ; 15: 3 = 4: 20 ?

Davom etaylik:

5. a: b = c: d nisbatida ekstremal va o'rtachani ko'rsating

a'zolari. Proporsiyaning asosiy xossasini tuzing.

6. Proporsiyaning o‘rta va o‘ta hadlarini qayta tartibga solish,

To'g'ri nisbatlarni tuzing:

A). 14: 0,2= 35: 0,5; b). AB: MN = C D: KR.

7. Proporsiyaning noma’lum hadini toping:

A). 2x:3 = 16:9; b). x: AB = MN: KR.

Segmentlarning nisbati qanday?

AB va segmentlar orasidagi bog'lanish CD ularning uzunliklarining nisbati deyiladi, ya'ni. AB: C D.

AB: C D=4 : 6 yoki AB: C D = 2: 3

Qanday segmentlar proportsional deyiladi?

AB = 2 sm, A 1 B 1 = 5 sm

C 1 D 1 = 6 sm

AB va CD segmentlari A 1 B 1 va segmentlariga proportsionaldir

C 1 D 1 agar

A 1 B 1 C 1 D 1.

Ikkita uchburchak deyiladi o'xshash , agar ular burchaklari mos ravishda teng Va tomonlar bitta uchburchak o'xshash tomonlarga mutanosib boshqa uchburchak.

AB va A 1 B 1

o'xshashliklar

BC va B 1 C 1

SA va C 1 A 1

Shunday qilib, Δ ABC va Δ A 1 IN 1 BILAN 1 bajarilsa, o'xshashdir sharoitlar :

k, bu erda k - koeffitsient

A 1 B 1 B 1 C 1 A 1 C 1

• Berilgan segmentlar: AB = 12 sm, CD = 8 sm, EF = 15 sm, KL = 30 sm, MN = 16 sm, PQ = 20 sm.

EF 15 5 buni tushundi

MN 16 4 AB MN, bu AB va MN segmentlarini bildiradi

PQ 20 5 EF PQ proportsional

EF va PQ segmentlari.

(Yana ikkita juft proportsional segmentni o'zingiz toping)

• O'xshash ABC va EDF uchburchaklarida AB va AC, BC va DF tomonlari o'xshashdir

tomirlar. ABC uchburchakning AB va AC tomonlarini toping, agar ED = 3 sm, EF = 7 sm,

1. ABC va EDF uchburchaklarining BC va DF o‘xshash tomonlari qiymatlarini bilib, k o‘xshashlik koeffitsientini aniqlang.

2. AB= k·ED va AC= k·EF ni aniqlang.

Foydalanilgan adabiyotlar:

1. Gavrilova N.F. Geometriyadan dars ishlanmalari: 8-sinf - M.: VAKO, 2008.

2.Geometriya. Ish kitobi, 8-sinf. O'rta maktab o'quvchilari uchun qo'llanma. Mualliflar: L.S.Atanasyan, V.F.Butuzov, Yu.A.Glazkov, I.I.Yudina. M.: Ta'lim, 2011 yil.

3. Geometriya, 7-9: umumiy ta’lim uchun darslik. muassasalar/(L.S.Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev va boshqalar.: Ta'lim, 2012).