Bir necha o‘zgaruvchili kompleks funksiyaning hosilasi va differensialligi. Qisman hosilalar Kompleks funksiyaning qisman hosilalari yechim bilan misollar

1°. Bitta mustaqil o'zgaruvchining holati. Agar z=f(x,y) x va y argumentlarining differentsiallanuvchi funksiyasi bo‘lsa, ular o‘z navbatida mustaqil o‘zgaruvchining differentsiallanuvchi funksiyalaridir. t: , keyin kompleks funksiyaning hosilasi formuladan foydalanib hisoblash mumkin

Misol. Agar toping, qaerda.

Yechim. Formula (1) ga muvofiq bizda:

Misol. Agar qisman hosila va umumiy hosilasini toping .

Yechim. .

Formula (2) asosida biz olamiz .

2°. Bir nechta mustaqil o'zgaruvchilarning holati.

Mayli z =f (x ;y) - ikkita o'zgaruvchining funktsiyasi X Va y, ularning har biri mustaqil o'zgaruvchining funktsiyasidir t : x =x (t ), y =y (t). Bu holda funksiya z =f (x (t);y (t )) bitta mustaqil o‘zgaruvchining kompleks funksiyasidir t; o'zgaruvchilar x va y oraliq o'zgaruvchilardir.

Teorema. Agar z == f(x; y) - bir nuqtada farqlanadi M(x;y)D funktsiyasi va x =x (t) Va da =y (t) - mustaqil o'zgaruvchining differentsial funksiyalari t, keyin kompleks funksiyaning hosilasi z (t) == f(x (t);y (t )) formula bo'yicha hisoblanadi

Maxsus holat:z = f (x ; y), bu yerda y = y(x), bular. z = f (x ;y (x )) - bitta mustaqil o'zgaruvchining kompleks funktsiyasi X. Bu holat oldingi holatga va o'zgaruvchining rolini kamaytiradi t o'ynaydi X. Formula (3) bo'yicha bizda:

.

Oxirgi formula deyiladi umumiy hosila formulalari.

Umumiy holat:z = f (x ;y), Qayerda x =x (u ;v),y=y (u ;v). Keyin z = f (x (u ;v);y (u ;v)) - mustaqil o'zgaruvchilarning kompleks funktsiyasi Va Va v. Uning qisman hosilalarini (3) formula yordamida quyidagi tarzda topish mumkin. Tuzatish v, unda mos keladigan qisman hosilalarni almashtiramiz

Shunday qilib, har bir mustaqil o'zgaruvchiga nisbatan kompleks funktsiyaning (z) hosilasi (Va Va v) bu funktsiyaning (z) oraliq o'zgaruvchilarga nisbatan qisman hosilalari yig'indisiga teng (x va y) tegishli mustaqil o'zgaruvchiga nisbatan ularning hosilalariga (u va v).

Ko'rib chiqilgan barcha holatlarda formula haqiqiy hisoblanadi

(to'liq differentsialning o'zgarmaslik xususiyati).

Misol. Toping va agar z = bo'lsa f(x ,y ), bu yerda x =uv , .

Yechim. (4) va (5) formulalarni qo'llash orqali biz quyidagilarni olamiz:

Misol. Funktsiya tenglamani qanoatlantirishini ko'rsating .

Yechim. Funktsiya oraliq argument orqali x va y ga bog'liq, shuning uchun

Tenglamaning chap tomoniga qisman hosilalarni almashtirsak, bizda:

Ya’ni z funksiya bu tenglamani qanoatlantiradi.

Funktsiyaning berilgan yo'nalishi va gradienti bo'yicha hosila

1°. Funksiyaning berilgan yo‘nalishdagi hosilasi. Hosil z= funktsiyalari f(x,y) bu yo'nalishda chaqirdi , bu yerda va funksiyaning nuqtalardagi qiymatlari va. Agar z funksiya differensiallanuvchi bo‘lsa, formula to‘g‘ri bo‘ladi

yo'nalishlar orasidagi burchaklar qayerda l va mos keladigan koordinata o'qlari. Berilgan yo‘nalishdagi hosila funksiyaning shu yo‘nalishdagi o‘zgarish tezligini tavsiflaydi.

Misol. z = 2x 2 - 3 2 funksiyaning P (1; 0) nuqtasida OX o‘qi bilan 120° burchak hosil qilgan yo‘nalishda hosilasini toping.

Yechim. Keling, ushbu funktsiyaning qisman hosilalari va ularning P nuqtadagi qiymatlarini topamiz.

Murakkab funktsiyaning hosilasi formulasining isboti berilgan. Murakkab funktsiya bir yoki ikkita o'zgaruvchiga bog'liq bo'lgan holatlar batafsil ko'rib chiqiladi. O'zgaruvchilarning ixtiyoriy soni bo'yicha umumlashma amalga oshiriladi.

Shuningdek qarang: Murakkab funktsiyaning hosilasi formulasidan foydalanishga misollar

Asosiy formulalar

Bu yerda kompleks funksiya hosilasi uchun quyidagi formulalar hosilasini keltiramiz.
Agar , keyin
.
Agar , keyin
.
Agar , keyin
.

Bitta o‘zgaruvchidan murakkab funksiya hosilasi

X o‘zgaruvchining funksiyasi kompleks funksiya sifatida quyidagi ko‘rinishda ifodalansin:
,
ba'zi funktsiyalar mavjud bo'lgan joyda. Funktsiya x o'zgaruvchining ba'zi bir qiymati uchun differentsiallanadi. Funktsiya o'zgaruvchining qiymatida differentsiallanadi.
U holda kompleks (kompozit) funktsiya x nuqtada differentsiallanadi va uning hosilasi formula bilan aniqlanadi:
(1) .

Formula (1) quyidagicha ham yozilishi mumkin:
;
.

Isbot

Keling, quyidagi belgini kiritamiz.
;
.
Bu erda o'zgaruvchilarning funktsiyasi va , o'zgaruvchilarning funktsiyasi mavjud va . Ammo hisob-kitoblarni chalkashtirib yubormaslik uchun biz ushbu funktsiyalarning argumentlarini o'tkazib yuboramiz.

va funktsiyalari mos ravishda x va nuqtalarda differentsial bo'lganligi sababli, bu nuqtalarda ushbu funktsiyalarning hosilalari mavjud bo'lib, ular quyidagi chegaralardir:
;
.

Quyidagi funktsiyani ko'rib chiqing:
.
u o'zgaruvchining sobit qiymati uchun, ning funksiyasi hisoblanadi. Bu aniq
.
Keyin
.

Funktsiya nuqtada differensiallanuvchi funktsiya bo'lgani uchun u shu nuqtada uzluksizdir. Shunung uchun
.
Keyin
.

Endi biz hosilani topamiz.

.

Formula isbotlangan.

Natija

Agar x o'zgaruvchining funktsiyasini kompleks funktsiyaning kompleks funktsiyasi sifatida tasvirlash mumkin bo'lsa
,
keyin uning hosilasi formula bilan aniqlanadi
.
Bu erda va ba'zi differentsial funktsiyalar mavjud.

Bu formulani isbotlash uchun kompleks funksiyani differensiallash qoidasidan foydalanib hosilani ketma-ket hisoblaymiz.
Murakkab funktsiyani ko'rib chiqing
.
Uning hosilasi
.
Asl funktsiyani ko'rib chiqing
.
Uning hosilasi
.

Ikki o‘zgaruvchidan murakkab funksiya hosilasi

Endi murakkab funktsiya bir nechta o'zgaruvchilarga bog'liq bo'lsin. Avval ko'rib chiqaylik ikki o'zgaruvchining kompleks funksiyasi holati.

X o‘zgaruvchisiga bog‘liq funksiya ikki o‘zgaruvchining kompleks funksiyasi sifatida quyidagi ko‘rinishda ifodalansin:
,
Qayerda
va x o'zgaruvchining ba'zi bir qiymati uchun differensiallanuvchi funksiyalar mavjud;
- nuqtada differentsiallanuvchi ikkita o'zgaruvchining funksiyasi , . Keyin kompleks funktsiya nuqtaning ma'lum bir qo'shnisida aniqlanadi va hosilaga ega bo'lib, u formula bilan aniqlanadi:
(2) .

Isbot

Funktsiyalar va nuqtada differentsial bo'lganligi sababli, ular ushbu nuqtaning ma'lum bir qo'shnisida aniqlanadi, nuqtada uzluksizdir va ularning hosilalari nuqtada mavjud bo'lib, ular quyidagi chegaralardir:
;
.
Bu yerga
;
.
Ushbu funktsiyalarning bir nuqtada uzluksizligi tufayli bizda:
;
.

Funktsiya nuqtada differentsial bo'lganligi sababli, u ushbu nuqtaning ma'lum bir qo'shnisida aniqlanadi, bu nuqtada uzluksizdir va uning o'sishini quyidagi shaklda yozish mumkin:
(3) .
Bu yerga

- funktsiyaning argumentlari qiymatlari va ga ko'paytirilganda uning ortishi;
;

- funksiyaning o‘zgaruvchilarga nisbatan qisman hosilalari va .
va ning belgilangan qiymatlari uchun va o'zgaruvchilarning funktsiyalari va. Ular nolga moyil bo'ladi va:
;
.
Shundan beri va , keyin
;
.

Funktsiya ortishi:

. :
.
(3) ni almashtiramiz:



.

Formula isbotlangan.

Murakkab funktsiyaning bir nechta o'zgaruvchilardan hosilasi

Yuqoridagi xulosani murakkab funktsiyaning o'zgaruvchilari soni ikkitadan ko'p bo'lgan holatga osongina umumlashtirish mumkin.

Misol uchun, agar f bo'lsa uchta o'zgaruvchining funktsiyasi, Bu
,
Qayerda
, va x o'zgaruvchining ba'zi bir qiymati uchun differensiallanuvchi funksiyalar mavjud;
- , , nuqtadagi uchta o'zgaruvchining differentsiallanuvchi funktsiyasi.
Keyin, funktsiyaning differentsialligi ta'rifidan biz quyidagilarga ega bo'lamiz:
(4)
.
Chunki, davomiylik tufayli,
; ; ,
Bu
;
;
.

(4) ga bo'lish va chegaraga o'tish orqali biz quyidagilarni olamiz:
.

Va nihoyat, ko'rib chiqaylik eng umumiy holat.
X o‘zgaruvchining funksiyasi n ta o‘zgaruvchining kompleks funksiyasi sifatida quyidagi ko‘rinishda ifodalansin:
,
Qayerda
x o'zgaruvchining ba'zi bir qiymati uchun differensiallanuvchi funksiyalar mavjud;
- nuqtadagi n ta o'zgaruvchining differentsiallanuvchi funktsiyasi
, , ... , .
Keyin
.

§ 5. Murakkab funksiyalarning qisman hosilalari. murakkab funksiyalarning differentsiallari

1. Kompleks funksiyaning qisman hosilalari.

Argumentlari ikkita o'zgaruvchining funksiyasi bo'lsin Va , o'zlari ikki yoki undan ortiq o'zgaruvchilarning funktsiyalari. Masalan, keling
,
.

Keyin bo'ladi murakkab funktsiya mustaqil o'zgaruvchilar Va , o'zgaruvchilar uning uchun bo'ladi oraliq o'zgaruvchilar. Bunda funksiyaning ga nisbatan qisman hosilalari qanday topiladi Va ?

Siz, albatta, uni to'g'ridan-to'g'ri va quyidagi so'zlar bilan ifodalashingiz mumkin:

va natijaviy funksiyaning qisman hosilalarini qidiring. Ammo ifoda juda murakkab va qisman hosilalarni topish mumkin , keyin bu juda ko'p kuch talab qiladi.

Funktsiyalar bo'lsa
,
,
farqlanadi, keyin toping va orqali to'g'ridan-to'g'ri ifodaga murojaat qilmasdan mumkin. Bunday holda, formulalar haqiqiy bo'ladi

(5.1)

Haqiqatan ham, keling, dalil keltiraylik oshirish
, - konst. Keyin funktsiyalar
Va qo'shimchalarni oladi

va funksiya ortib boradi

Qayerda , - cheksiz kichik da
,
. Oxirgi tenglikning barcha shartlarini ga ajratamiz. Biz olamiz:

Shartlar bo'yicha va funktsiyalari differentsial bo'lganligi sababli, ular uzluksizdir. Shuning uchun, agar
, keyin va . Bu shuni anglatadiki, biz oxirgi tenglikdagi chegaraga o'tamiz:

(chunki , , uchun cheksiz kichikdir).

(5.1) dan ikkinchi tenglik xuddi shunday tarzda isbotlangan.

MISOL. Mayli
, Qayerda
,
. Keyin mustaqil o'zgaruvchilarning kompleks funktsiyasi va . Uning qisman hosilalarini topish uchun (5.1) formuladan foydalanamiz. Bizda ... bor

(5.1) ni almashtirib, olamiz

,

Formulalar (5.1) tabiiy ravishda ko'proq mustaqil va oraliq argumentlarga ega bo'lgan funksiya holatiga umumlashtiriladi. Ya'ni, agar

………………………

va ko'rib chiqilayotgan barcha funktsiyalar farqlanadi, keyin har qanday uchun
tenglik mavjud

Bundan tashqari, funktsiya argumentlari faqat bitta o'zgaruvchining funktsiyalari bo'lishi mumkin, ya'ni.

,
.

Keyin u faqat bitta o'zgaruvchining murakkab funktsiyasi bo'ladi va hosilani topish masalasini qo'yishimiz mumkin . Funktsiyalar bo'lsa
,
differensial bo'lsa, uni formula bo'yicha topish mumkin
(5.2)

MISOL. Mayli
, Qayerda
,
. Bu erda bitta mustaqil o'zgaruvchining kompleks funktsiyasi. (5.2) formuladan foydalanib, biz olamiz

.

Va nihoyat, mustaqil o'zgaruvchining rolini o'ynashi mumkin, ya'ni. ,

Qayerda
.

Keyin (5.2) formuladan olamiz

(5.3)

(chunki
). Hosil , o'ng tomonda (5.3) formulada turgan funktsiyaning ga nisbatan qisman hosilasi. U belgilangan qiymat bilan hisoblanadi. Hosil (5.3) formulaning chap tomonida deyiladi funktsiyaning to'liq hosilasi . Uni hisoblashda u ikki jihatdan bog'liqligi hisobga olindi: to'g'ridan-to'g'ri va ikkinchi dalil orqali.

MISOL. Funksiya uchun va toping
, Qayerda
.

Bizda ... bor
.

Topish uchun (5.3) formuladan foydalanamiz. olamiz

.

Va ushbu paragrafning yakunida shuni ta'kidlaymizki, (5.2) va (5.3) formulalarni ko'p sonli oraliq argumentlarga ega bo'lgan funktsiyalar holatiga umumlashtirish oson.

2. Kompleks funktsiyaning differentsiali.

Eslatib o'tamiz, agar

ikkita mustaqil o'zgaruvchining differentsiallanuvchi funktsiyasi, keyin ta'rifi bo'yicha

, (5.4)

yoki boshqa shaklda
. (5.5)

(5.5) formulaning afzalligi shundaki, u murakkab funksiya bo'lganda ham to'g'ri bo'lib qoladi.

Haqiqatan ham, keling, qaerda, . Faraz qilaylik, , , funksiyalari differensiallanadi. U holda kompleks funksiya ham differentsiallanuvchi bo'ladi va (5.5) formula bo'yicha uning to'liq differentsiali ga teng bo'ladi

.

Kompleks funktsiyaning qisman hosilalarini hisoblash uchun (5.1) formuladan foydalanib, biz hosil bo'lamiz

Funktsiyalarning to'liq differensiallari qavs ichida bo'lgani uchun, biz nihoyat bor

Demak, biz amin bo'ldikki, qachon va mustaqil o'zgaruvchilar bo'lgan holatda ham, va va qaram o'zgaruvchilar bo'lgan holatda ham funksiyaning differentsialini (5.5) ko'rinishda yozish mumkin. Shu munosabat bilan jami differentsialni qayd etishning bu shakli deyiladi o'zgarmas . (5.4) da taklif qilingan differentsialni yozish shakli o'zgarmas bo'lmaydi, u faqat va mustaqil o'zgaruvchilar bo'lgan hollarda qo'llanilishi mumkin. Differensialni yozish shakli ham o'zgarmas bo'lmaydi -chi tartib. Eslatib o'tamiz, biz avvalroq tartibning farqlanishini ko'rsatgan edik Ikki o'zgaruvchining funktsiyasini formula orqali topish mumkin

. (4.12)

Ammo agar ular mustaqil o'zgaruvchilar bo'lmasa, u holda formula (4.12) bilan
haqiqat bo'lishni to'xtatadi.

Shubhasiz, ushbu bo'limda ikkita o'zgaruvchining funktsiyasi uchun olib borilgan barcha mulohazalarni argumentlar soni ko'proq bo'lgan funktsiyada takrorlash mumkin. Demak, funktsiya uchun differentsial ikki shaklda ham yozilishi mumkin:

va yozuvning ikkinchi shakli o'zgarmas bo'ladi, ya'ni. qachon bo'lsa ham adolatli
mustaqil o'zgaruvchilar emas, balki oraliq argumentlardir.

§ 6. Yashirin funktsiyalarni farqlash

Bir yoki bir nechta o'zgaruvchining funktsiyasini aniqlash usullari haqida gapirganda, biz funktsiyaning analitik ta'rifi aniq yoki yashirin bo'lishi mumkinligini ta'kidladik. Birinchi holda, funktsiyaning qiymati argumentlarning ma'lum qiymatlaridan topiladi; ikkinchisida, funksiyaning qiymati va uning argumentlari qandaydir tenglama bilan bog'langan. Biroq, biz tenglamalar qachon ekanligini aniqlamadik

Va

aniq belgilangan funktsiyalarni va mos ravishda belgilash. Foydalanish oson, yashirin funktsiyaning mavjudligi uchun etarli shartlar o'zgaruvchilar (
) quyidagi teoremada mavjud.

TEOREMA6.1 . (ko'rinmas funktsiyaning mavjudligi) funksiya bo'lsin
va uning qisman hosilalari
nuqtaning ba'zi qo'shnilarida aniqlangan va uzluksizdir. Agar
Va
, keyin shunday mahalla bor tenglama joylashgan nuqta

uzluksiz funksiyani belgilaydi va

1) tenglamani ko'rib chiqing
. Teorema shartlari, masalan, nuqtaning istalgan qo'shnisida qondiriladi
. Shuning uchun, nuqtaning ba'zi mahallalarida
bu tenglama ikkita o'zgaruvchining yashirin funktsiyasi sifatida aniqlanadi va . Ushbu funktsiyaning aniq ifodasini quyidagi tenglamani yechish orqali osongina olish mumkin:

2) tenglamani ko'rib chiqing
. U ikkita o'zgaruvchining ikkita funktsiyasini belgilaydi va . Darhaqiqat, teorema shartlari, masalan, nuqtaning istalgan qo'shnisida qondiriladi

, bunda berilgan tenglama qiymatni qabul qiluvchi uzluksiz funktsiyani belgilaydi
.

Boshqa tomondan, teorema shartlari nuqtaning istalgan qo'shnisida qondiriladi
. Shunday qilib, nuqtaning ma'lum bir qo'shnisida tenglama nuqtada qiymatni qabul qiladigan uzluksiz funktsiyani belgilaydi.
.

Funktsiya bir nuqtada ikkita qiymatni qabul qila olmasligi sababli, bu biz ikki xil funktsiya haqida gapirayotganimizni anglatadi
va mos ravishda. Keling, ularning aniq ifodalarini topamiz. Buning uchun uchun asl tenglamani yechamiz. olamiz

3) tenglamani ko'rib chiqing
. Ko'rinib turibdiki, nuqtaning istalgan qo'shnisida teorema shartlari bajariladi
. Binobarin, nuqtaning shunday mahallasi mavjud
, unda tenglama o'zgaruvchining yashirin funktsiyasi sifatida belgilaydi. Bu funksiya uchun aniq ifodani olish mumkin emas, chunki tenglamani ga nisbatan yechish mumkin emas.

4) Tenglama
hech qanday yashirin funktsiyani aniqlamaydi, chunki uni qanoatlantiradigan haqiqiy sonlar juftlari mavjud emas.

Funktsiya
, tenglama bilan berilgan
, 6.1 teoremaga ko'ra, nuqta qo'shnisidagi barcha argumentlarga nisbatan uzluksiz qisman hosilalarga ega. Funktsiyani aniq ko'rsatmasdan, ularni qanday topish mumkinligini bilib olaylik.

Funktsiyaga ruxsat bering
6.1 teorema shartlarini qanoatlantiradi. Keyin tenglama
doimiy funktsiya
. Murakkab funktsiyani ko'rib chiqing
, Qayerda. Funktsiya bitta o'zgaruvchining murakkab funksiyasi va agar
, Bu

(6.1)

Boshqa tomondan, (5.3) formula bo'yicha jami lotinni hisoblash uchun
(6.2)

(6.1) va (6.2) dan agar bo'lsa, u holda ekanligini olamiz

(6.3)

Izoh. ga bo'ling mumkin, chunki 6.1 teoremaga muvofiq
yaqin atrofdagi istalgan joyda.

MISOL. Tenglama orqali berilgan yashirin funktsiyaning hosilasini toping va uning qiymatini hisoblang
.

,
.

Qisman hosilalarni formulaga (6.3) almashtirib, hosil bo'lamiz

.

Keyinchalik, asl tenglamani almashtirib, biz ikkita qiymatni topamiz:
Va
.

Demak, nuqta yaqinida tenglama ikkita funktsiyani aniqlaydi:
Va
, Qayerda
,
. Ularning hosilalari teng bo'ladi

Va
.

Keling, tenglama
nuqtaning ba'zi qo'shnilarida belgilaydi
funktsiyasi Keling, topamiz. Eslatib o'tamiz, aslida bu o'zgarmas qiymatdagi o'zgaruvchining funksiyasi sifatida qaraladigan funksiyaning oddiy hosilasidir. Shuning uchun, uni funktsiya, argument, doimiy deb hisoblagan holda, uni topish uchun (6.3) formuladan foydalanishimiz mumkin. olamiz

. (6.4)

Xuddi shunday, funktsiyani, argumentni, doimiyni hisobga olib, (6.3) formuladan foydalanib topamiz

. (6.5)

MISOL. Tenglama orqali berilgan funksiyaning qisman hosilalarini toping
.

,
,
.

(6.4) va (6.5) formulalardan foydalanib, biz olamiz

,
.

Nihoyat, tenglama tuzilganda umumiy holatni ko'rib chiqing

nuqtaning ma'lum bir qo'shnisidagi o'zgaruvchilar funktsiyasini belgilaydi. Ikki o'zgaruvchining bilvosita berilgan funktsiyasi uchun olib borilgan argumentlarni takrorlab, biz olamiz

,
, …,
.

§ 7. Yo'nalishli hosila

1. Yo‘nalishli hosila.

Ikki o‘zgaruvchining funksiyasi qaysidir sohada aniqlansin
samolyot
, – mintaqa nuqtasi, -har qanday yo'nalish vektori. Keling, nuqtadan harakat qilaylik
vektor yo'nalishidagi nuqtaga. Funktsiya o'sishni oladi

Funktsiya o'sishini ajratamiz
ofset segmentining uzunligi bo'yicha
. Natija nisbati
sohadagi funksiyaning o‘rtacha o‘zgarish tezligini beradi
. Keyin bu nisbatning chegarasi da
(agar u mavjud bo'lsa va cheklangan bo'lsa) nuqtadagi funktsiyaning o'zgarish tezligi bo'ladi
vektor yo'nalishi bo'yicha. U chaqiriladi vektor yo'nalishidagi nuqtadagi funktsiyaning hosilasi va belgilang
yoki
.

Funktsiyaning o'zgarish tezligidan tashqari, vektor yo'nalishidagi nuqtada funktsiyaning o'zgarishi xarakterini aniqlashga ham imkon beradi. (o'sish yoki kamaytirish):

Bu bayonotlar bir o'zgaruvchining funksiyasi uchun o'xshashlar kabi isbotlangan.

E'tibor bering, funktsiyaning qisman hosilalari yo'nalishli hosilaning maxsus holatidir. Aynan,
bu vektor yo'nalishidagi funktsiyaning hosilasi (o'q yo'nalishi
), funktsiyaning vektor yo'nalishidagi hosilasidir (o'q yo'nalishi
).

Faraz qilaylik, funksiya nuqtada differentsial bo'ladi. Keyin

Qayerda - cheksiz kichik da
.