Elementar isbotlovchi funksiyalarning hosilalari. Funktsiyaning hosilasi. Misollar bilan batafsil nazariya. Teskari funksiya haqida tushuncha
Hosilni topish operatsiyasi differensiallash deyiladi.
Hosilani argumentning o'sishning o'sishiga nisbati chegarasi sifatida aniqlash orqali eng oddiy (va unchalik ham oddiy bo'lmagan) funktsiyalarning hosilalarini topish masalalarini hal qilish natijasida hosilalar jadvali va aniq belgilangan differentsiallash qoidalari paydo bo'ldi. . Hosilalarni topish sohasida birinchi bo'lib Isaak Nyuton (1643-1727) va Gotfrid Vilgelm Leybnits (1646-1716) ishlagan.
Shuning uchun bizning zamonamizda har qanday funktsiyaning hosilasini topish uchun funktsiya o'sishining argument o'sishiga nisbatining yuqorida ko'rsatilgan chegarasini hisoblash kerak emas, faqat jadvaldan foydalanish kerak. hosilalar va farqlash qoidalari. Hosilni topish uchun quyidagi algoritm mos keladi.
Hosilini topish uchun, sizga bosh belgisi ostida ifoda kerak oddiy funktsiyalarni tarkibiy qismlarga ajratish va qanday harakatlarni aniqlang (mahsulot, summa, qism) bu funktsiyalar o'zaro bog'liq. Keyinchalik, elementar funktsiyalarning hosilalarini hosilalar jadvalidan, hosila, yig'indi va qismning hosilalari uchun formulalarni - farqlash qoidalaridan topamiz. Birinchi ikkita misoldan keyin hosilaviy jadval va farqlash qoidalari berilgan.
1-misol. Funktsiyaning hosilasini toping
Yechim. Differensiallash qoidalaridan biz aniqlaymizki, funksiyalar yig'indisining hosilasi funksiyalarning hosilalari yig'indisi, ya'ni.
Hosilalar jadvalidan “x” hosilasi birga, sinus hosilasi esa kosinusga teng ekanligini aniqlaymiz. Biz ushbu qiymatlarni hosilalar yig'indisiga almashtiramiz va masalaning sharti uchun zarur bo'lgan hosilani topamiz:
2-misol. Funktsiyaning hosilasini toping
Yechim. Biz yig'indining hosilasi sifatida ajratamiz, unda ikkinchi had doimiy koeffitsientga ega bo'ladi; uni hosilaning belgisidan chiqarish mumkin:
Agar biror narsa qayerdan kelganligi haqida hali ham savollar tug'ilsa, ular odatda hosilalar jadvali va farqlashning eng oddiy qoidalari bilan tanishgandan so'ng tozalanadi. Biz hozir ularga o'tmoqdamiz.
Oddiy funksiyalarning hosilalari jadvali
| 1. Doimiy (son)ning hosilasi. Funktsiya ifodasida joylashgan har qanday raqam (1, 2, 5, 200...). Har doim nolga teng. Buni eslash juda muhim, chunki bu juda tez-tez talab qilinadi | |
| 2. Mustaqil o‘zgaruvchining hosilasi. Ko'pincha "X". Har doim bittaga teng. Buni uzoq vaqt davomida eslab qolish ham muhimdir | |
| 3. Darajaning hosilasi. Muammolarni hal qilishda siz kvadrat bo'lmagan ildizlarni kuchlarga aylantirishingiz kerak. | |
| 4. O‘zgaruvchining -1 darajasiga hosilasi | |
| 5. Kvadrat ildizning hosilasi | |
| 6. Sinusning hosilasi | |
| 7. Kosinusning hosilasi |  |
| 8. Tangensning hosilasi |  |
| 9. Kotangentning hosilasi |  |
| 10. Arksinusning hosilasi |  |
| 11. Arkkosinning hosilasi |  |
| 12. Arktangensning hosilasi |  |
| 13. Yoy kotangensining hosilasi |  |
| 14. Natural logarifmaning hosilasi | |
| 15. Logarifmik funksiyaning hosilasi |  |
| 16. Ko‘rsatkichning hosilasi | |
| 17. Ko‘rsatkichli funktsiyaning hosilasi |
Farqlash qoidalari
| 1. Yig‘indi yoki farqning hosilasi |  |
| 2. Mahsulotning hosilasi |  |
| 2a. Ifodaning hosilasi doimiy omilga ko'paytiriladi | |
| 3. Bo‘lakning hosilasi |  |
| 4. Kompleks funktsiyaning hosilasi |  |
1-qoida.Funktsiyalar bo'lsa
bir nuqtada differensiallanadi, keyin funksiyalar bir nuqtada differentsiallanadi
va
bular. funksiyalarning algebraik yig‘indisining hosilasi bu funksiyalarning hosilalarining algebraik yig‘indisiga teng.
Natija. Agar ikkita differentsiallanuvchi funktsiya doimiy had bilan farq qilsa, ularning hosilalari tengdir, ya'ni.
2-qoida.Funktsiyalar bo'lsa
bir nuqtada differentsial bo'ladi, keyin ularning mahsuloti bir nuqtada farqlanadi
va
bular. Ikki funktsiya hosilasining hosilasi bu funksiyalarning har birining hosilasi va ikkinchisining hosilasi yig‘indisiga teng.
Xulosa 1. Doimiy koeffitsient hosila belgisidan chiqarilishi mumkin:
Xulosa 2. Bir necha differensiallanuvchi funksiyalar hosilasining hosilasi har bir omil va boshqa hamma hosilalarning hosilasi yig‘indisiga teng.
Masalan, uchta ko'paytiruvchi uchun:
3-qoida.Funktsiyalar bo'lsa
bir nuqtada farqlanadi Va , u holda bu nuqtada ularning koeffitsienti ham differentsial bo'ladiu/v , va
bular. ikki funktsiya bo'limining hosilasi kasrga teng bo'lib, uning ayirmasi maxrajning hosilasi va sonning hosilasi va ayirma va maxrajning hosilasi o'rtasidagi ayirma bo'lib, maxraj esa kvadratga teng bo'ladi. oldingi hisoblagich.
Boshqa sahifalardagi narsalarni qaerdan qidirish kerak
Haqiqiy masalalarda mahsulot va qismning hosilasini topishda har doim bir vaqtning o'zida bir nechta farqlash qoidalarini qo'llash kerak, shuning uchun maqolada bu hosilalarga ko'proq misollar mavjud."Mahsulotning hosilasi va funksiyalar qismi".
Izoh. Siz doimiyni (ya'ni sonni) yig'indidagi atama va doimiy omil sifatida aralashtirmasligingiz kerak! Atamada uning hosilasi nolga teng, doimiy koeffitsientda esa hosilalarning belgisidan olinadi. Bu hosilalarni o'rganishning boshlang'ich bosqichida sodir bo'ladigan odatiy xatodir, ammo o'rtacha talaba bir va ikki qismli bir nechta misollarni yechsa, u endi bu xatoga yo'l qo'ymaydi.
Va agar mahsulot yoki qismni farqlashda sizda atama bo'lsa u"v, unda u- raqam, masalan, 2 yoki 5, ya'ni doimiy, keyin bu raqamning hosilasi nolga teng bo'ladi va shuning uchun butun muddat nolga teng bo'ladi (bu holat 10-misolda muhokama qilinadi).
Yana bir keng tarqalgan xatolik murakkab funktsiyaning hosilasini oddiy funktsiyaning hosilasi sifatida mexanik ravishda echishdir. Shunung uchun murakkab funktsiyaning hosilasi alohida maqola bag'ishlangan. Lekin birinchi navbatda oddiy funksiyalarning hosilalarini topishni o'rganamiz.
Yo'lda siz ifodalarni o'zgartirmasdan qilolmaysiz. Buning uchun qo'llanmani yangi oynalarda ochishingiz kerak bo'lishi mumkin. Quvvat va ildizlarga ega harakatlar Va Kasrlar bilan amallar .
Agar siz darajali va ildizli kasr hosilalarining yechimlarini izlayotgan bo'lsangiz, ya'ni funksiya qachon ko'rinadi 
, so'ngra "Kasrlar yig'indisining darajalari va ildizlari bilan hosilasi" darsiga o'ting.
Agar sizda kabi vazifa bo'lsa 
, keyin siz “Oddiy trigonometrik funksiyalarning hosilalari” darsini olasiz.
Bosqichma-bosqich misollar - hosilani qanday topish mumkin
3-misol. Funktsiyaning hosilasini toping
Yechim. Funktsiya ifodasining qismlarini aniqlaymiz: butun ifoda mahsulotni ifodalaydi va uning omillari yig'indi, ikkinchisida atamalardan biri doimiy omilni o'z ichiga oladi. Mahsulotni farqlash qoidasini qo'llaymiz: ikkita funktsiya mahsulotining hosilasi ushbu funktsiyalarning har biri ikkinchisining hosilasi bilan hosil bo'lgan yig'indisiga teng:
Keyinchalik, yig'indini differentsiallash qoidasini qo'llaymiz: funktsiyalarning algebraik yig'indisining hosilasi bu funktsiyalarning hosilalarining algebraik yig'indisiga teng. Bizning holatda, har bir yig'indida ikkinchi muddat minus belgisiga ega. Har bir yig'indida hosilasi birga teng bo'lgan mustaqil o'zgaruvchini ham, hosilasi nolga teng bo'lgan doimiy (son)ni ham ko'ramiz. Shunday qilib, "X" bittaga, minus 5 esa nolga aylanadi. Ikkinchi ifodada "x" 2 ga ko'paytiriladi, shuning uchun biz ikkitani "x" ning hosilasi bilan bir xil birlikka ko'paytiramiz. Biz quyidagi lotin qiymatlarini olamiz:
Topilgan hosilalarni mahsulotlar yig‘indisiga almashtiramiz va masala sharti uchun zarur bo‘lgan butun funksiyaning hosilasini olamiz:
Va siz lotin muammosining yechimini tekshirishingiz mumkin.
4-misol. Funktsiyaning hosilasini toping
Yechim. Bizdan qismning hosilasini topish talab qilinadi. Biz qismni farqlash uchun formulani qo'llaymiz: ikki funktsiya bo'limining hosilasi kasrga teng bo'lib, uning soni maxrajning ko'paytmalari va sonning hosilasi va sonining hosilasi va hosilasi o'rtasidagi farqdir. maxraj, maxraj esa oldingi sonning kvadratidir. Biz olamiz:
Biz 2-misoldagi ko'paytmalarning hosilasini allaqachon topib oldik. Shuningdek, joriy misoldagi sanoqchining ikkinchi ko'paytmasi bo'lgan ko'paytma minus belgisi bilan olinganligini ham unutmaylik:
Agar siz uzluksiz ildizlar va kuchlar to'plami mavjud bo'lgan funktsiyaning hosilasini topish kerak bo'lgan muammolarga yechim izlayotgan bo'lsangiz, masalan, 
, keyin sinfga xush kelibsiz "Kasrlar yig'indisining darajalari va ildizlari bilan hosilasi" .
Agar siz sinuslar, kosinuslar, tangenslar va boshqa trigonometrik funktsiyalarning hosilalari haqida ko'proq ma'lumot olishingiz kerak bo'lsa, ya'ni funksiya qachon ko'rinadi , keyin siz uchun saboq "Oddiy trigonometrik funksiyalarning hosilalari" .
5-misol. Funktsiyaning hosilasini toping
Yechim. Ushbu funktsiyada biz ko'paytmani ko'ramiz, uning omillaridan biri mustaqil o'zgaruvchining kvadrat ildizi bo'lib, hosilasi bilan biz hosilalar jadvalida tanishdik. Mahsulotni va kvadrat ildiz hosilasining jadval qiymatini farqlash qoidasidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:
Siz lotin muammosining yechimini quyidagi manzilda tekshirishingiz mumkin onlayn lotin kalkulyatori .
6-misol. Funktsiyaning hosilasini toping
Yechim. Ushbu funktsiyada dividendlari mustaqil o'zgaruvchining kvadrat ildizi bo'lgan qismni ko'ramiz. Biz 4-misolda takrorlagan va qo'llagan bo'limlarni farqlash qoidasidan va kvadrat ildiz hosilasining jadvalli qiymatidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:
Numeratordagi kasrdan qutulish uchun son va maxrajni ga ko'paytiring.
3 va 5 formulalarni o'zingiz isbotlang.
DIFFERENTSIALANISHNING ASOSIY QOIDALARI
Limit yordamida hosilani topishning umumiy usulidan foydalanib, eng oddiy differensiallash formulalarini olish mumkin. Mayli u=u(x),v=v(x)– o‘zgaruvchining ikkita differentsial funksiyasi x.
1 va 2 formulalarni o'zingiz isbotlang.
Formula 3 isboti.
Mayli y = u(x) + v(x). Argument qiymati uchun x+Δ x bizda ... bor y(x+Δ x)=u(x+Δ x) + v(x+Δ x).
Δ y=y(x+Δ x) – y(x) = u(x+Δ x) + v(x+Δ x) – u(x) – v(x) = Δ u +Δ v.
Demak,
Formula 4 isboti.
Mayli y=u(x)·v(x). Keyin y(x+Δ x)=u(x+Δ x)· v(x+Δ x), Shunung uchun
Δ y=u(x+Δ x)· v(x+Δ x) – u(x)· v(x).
E'tibor bering, har bir funktsiyadan beri u Va v nuqtada farqlanadi x, keyin ular shu nuqtada uzluksiz, ya'ni u(x+Δ x)→u(x), v(x+Δ x)→v(x), D da x→0.
Shuning uchun biz yozishimiz mumkin
Ushbu xususiyatga asoslanib, istalgan sonli funktsiyalar mahsulotini farqlash qoidasini olish mumkin.
Keling, masalan, y=u·v·w. Keyin,
y " = u "·( v w) + u·( v·w) " = u "· v·w + u·( v"·w+ v·w ") = u "· v·w + u· v"·w+ u·v·w ".
Formula 5 isboti.
Mayli . Keyin
Dalilda biz bundan foydalandik v(x+Δ x)→v(x) D da x→0.
Misollar.
MURAKBAK FUNKSIYA HOSILASI HAQIDA TEOREMA
Mayli y = f(u), A u= u(x). Biz funktsiyani olamiz y argumentga qarab x: y = f(u(x)). Oxirgi funksiya funksiya yoki funksiyasi deyiladi murakkab funktsiya.
Funktsiyani aniqlash domeni y = f(u(x)) funktsiyani aniqlashning butun sohasi hisoblanadi u=u(x) yoki qiymatlar aniqlanadigan qism u, funktsiyani aniqlash sohasini tark etmaslik y= f(u).
Funksiyadan-funksiya operatsiyasi faqat bir marta emas, balki bir necha marta bajarilishi mumkin.
Keling, murakkab funktsiyani differensiallash qoidasini o'rnatamiz.
Teorema. Agar funktsiya u= u(x) bir nuqtada bor x 0 hosila va shu nuqtada qiymatni oladi u 0 = u(x 0) va funksiya y=f(u) nuqtada bor u 0 hosila y"u = f "(u 0), keyin murakkab funksiya y = f(u(x)) belgilangan nuqtada x 0 ga teng hosilasi ham bor y" x = f "(u 0)· u "(x 0), qayerda oʻrniga u ifoda almashtirilishi kerak u= u(x).
Shunday qilib, kompleks funktsiyaning hosilasi berilgan funktsiyaning oraliq argumentga nisbatan hosilasi ko'paytmasiga teng. u ga nisbatan oraliq dalilning hosilasiga x.
Isbot. Ruxsat etilgan qiymat uchun X 0 bizda bo'ladi u 0 =u(x 0), da 0 =f(u 0 ). Yangi argument qiymati uchun x 0+Δ x:
Δ u= u(x 0 + Δ x) – u(x 0), Δ y=f(u 0+Δ u) – f(u 0).
Chunki u- bir nuqtada farqlanadi x 0, Bu u- bu nuqtada uzluksiz. Shuning uchun, D da x→0 Δ u→0. Xuddi shunday D uchun u→0 Δ y→0.
Shart bo'yicha 
. Ushbu munosabatdan chegara ta'rifidan foydalanib, biz olamiz (D da u→0)
bu yerda a→0 da D u→0, va, demak, D da x→0.
Keling, bu tenglikni quyidagicha qayta yozamiz:
Δ y=y"uD u+α·Δ u.
Olingan tenglik D uchun ham amal qiladi u Ixtiyoriy a uchun =0, chunki u 0=0 identifikatsiyasiga aylanadi. D da u=0, biz a=0 deb qabul qilamiz. Olingan tenglikning barcha shartlarini D ga ajratamiz x
.
Shart bo'yicha 
. Shuning uchun, D da chegaraga o'tish x→ 0, olamiz y" x = y"u·u" x. Teorema isbotlangan.
Shunday qilib, murakkab funktsiyani farqlash y = f(u(x)),"tashqi" funktsiyaning hosilasini olishingiz kerak f, uning argumentini oddiygina o'zgaruvchi sifatida ko'rib chiqing va mustaqil o'zgaruvchiga nisbatan "ichki" funktsiyaning hosilasiga ko'paytiring.
Agar funktsiya y=f(x) shaklida ifodalanishi mumkin y=f(u), u=u(v), v=v(x), u holda y " x hosilasini topish oldingi teoremani ketma-ket qo'llash orqali amalga oshiriladi.
Tasdiqlangan qoidaga ko'ra, bizda bor y" x = y"u u"x. Xuddi shu teoremani qo'llash u"x biz olamiz, ya'ni.
y" x = y"x u"v v" x = f"u( u)· u" v ( v)· v" x ( x).
Misollar.
teskari FUNKSIYA TUSHUNCHASI
Keling, misol bilan boshlaylik. Funktsiyani ko'rib chiqing y= x 3. Biz tenglikni ko'rib chiqamiz y= x 3 nisbiy tenglama sifatida x. Bu har bir qiymat uchun tenglama da yagona qiymatni belgilaydi x: . Geometrik jihatdan, bu har bir to'g'ri chiziq o'qga parallel ekanligini anglatadi ho'kiz funksiya grafigini kesishadi y= x 3 faqat bir nuqtada. Shuning uchun biz ko'rib chiqishimiz mumkin x funktsiyasi sifatida y. Funktsiyaga teskari funktsiya deyiladi y= x 3.
Umumiy holatga o'tishdan oldin biz ta'riflarni kiritamiz.
Funktsiya y = f(x) chaqirdi ortib boradi ma'lum bir segmentda, agar argumentning qiymati kattaroq bo'lsa x bu segmentdan funksiyaning kattaroq qiymatiga to'g'ri keladi, ya'ni. Agar x 2 >x 1, keyin f(x 2 ) > f(x 1 ).
Funktsiya xuddi shunday chaqiriladi kamaymoqda, agar argumentning kichikroq qiymati funktsiyaning katta qiymatiga to'g'ri kelsa, ya'ni. Agar X 2 < X 1, keyin f(x 2 ) > f(x 1 ).
Demak, ortib boruvchi yoki kamayuvchi funksiya berilsin y=f(x), ba'zi bir oraliqda belgilangan [ a; b]. Aniqlik uchun biz ortib borayotgan funktsiyani ko'rib chiqamiz (kamayayotgan uchun hamma narsa o'xshash).
Ikki xil qiymatni ko'rib chiqing X 1 va X 2. Mayli y 1 =f(x 1 ), y 2 =f(x 2 ). O'sish funksiyasining ta'rifidan kelib chiqadiki, agar x 1 <x 2, keyin da 1 <da 2. Shuning uchun ikki xil qiymat X 1 va X 2 ikki xil funktsiya qiymatiga mos keladi da 1 va da 2. Buning aksi ham to'g'ri, ya'ni. Agar da 1 <da 2, keyin ortib boruvchi funktsiyaning ta'rifidan kelib chiqadiki x 1 <x 2. Bular. yana ikki xil qiymat da 1 va da 2 ikki xil qiymatga mos keladi x 1 va x 2. Shunday qilib, qiymatlar orasida x va ularning tegishli qiymatlari y birma-bir yozishmalar o'rnatiladi, ya'ni. tenglama y=f(x) har biriga y(funktsiya diapazonidan olingan y=f(x)) yagona qiymatni belgilaydi x, va biz buni aytishimiz mumkin x ba'zi bir argument funktsiyasi mavjud y: x= g(y).
Bu funksiya deyiladi teskari funktsiya uchun y=f(x). Shubhasiz, funktsiya y=f(x) funksiyaga teskari hisoblanadi x=g(y).
E'tibor bering, teskari funktsiya x=g(y) tenglamani yechish orqali topiladi y=f(x) nisbatan X.
Misol. Funktsiya berilgan bo'lsin y= e x. Bu funksiya –∞ da ortadi< x <+∞. Она имеет обратную функцию x= jurnal y. Teskari funksiyaning sohasi 0< y < + ∞.
Keling, bir nechta sharhlar qilaylik.
Eslatma 1. Agar ortib boruvchi (yoki kamayuvchi) funktsiya y=f(x) oraliqda uzluksiz [ a; b], va f(a)=c, f(b)=d, u holda teskari funktsiya aniqlangan va [ oraliqda uzluksiz bo'ladi. c; d].
Eslatma 2. Agar funktsiya y=f(x) ma'lum bir oraliqda o'smaydi va kamaymaydi, u holda bir nechta teskari funktsiyalarga ega bo'lishi mumkin.
Misol. Funktsiya y=x2–∞ da belgilangan<x<+∞. Она не является ни возрастающей, ни убывающей и не имеет обратной функции. Однако, если мы рассмотриминтервал 0≤x<+∞, то здесь функция является возрастающей и обратной для нее будет . На интервале – ∞ <x≤ 0 funktsiyasi - kamayadi va uning teskari.
Eslatma 3. Funktsiyalar bo'lsa y=f(x) Va x=g(y) o'zaro teskari bo'lsa, ular o'zgaruvchilar orasidagi bir xil munosabatni ifodalaydi x Va y. Shuning uchun ikkalasining grafigi bir xil egri chiziqdir. Lekin teskari funksiyaning argumentini yana bilan belgilasak x, va funksiya orqali y va ularni bir xil koordinatalar tizimida chizamiz, biz ikki xil grafik olamiz. Grafiklar 1-koordinata burchagi bissektrisasiga nisbatan simmetrik bo'lishini payqash oson.
HOSILA teskari FUNKSIYA HAQIDA TEOREMA
Funktsiyaning hosilasini topishga imkon beruvchi teoremani isbotlaylik y=f(x), teskari funksiyaning hosilasini bilish.
Teorema. Agar funktsiya uchun y=f(x) teskari funksiya mavjud x=g(y), qaysidir bir nuqtada da 0 lotinga ega g "(v 0), nolga teng, keyin mos keladigan nuqtada x 0=g(x 0) funktsiyasi y=f(x) hosilasi bor f "(x 0), ga teng, ya'ni. formula to'g'ri.
Isbot. Chunki x=g(y) nuqtada farqlanadi y 0, Bu x=g(y) bu nuqtada uzluksiz, shuning uchun funktsiya y=f(x) bir nuqtada uzluksiz x 0=g(y 0). Shuning uchun, D da x→0 Δ y→0.
Keling, buni ko'rsataylik 
.
Mayli. Keyin, chegaraning mulki bo'yicha 
. Keling, bu tenglikni D dagi chegaraga o'tkazamiz y→0. Keyin D x→0 va a(Dx)→0, ya'ni. .
Demak,
,
Q.E.D.
Ushbu formulani shaklda yozish mumkin.
Keling, misollar yordamida ushbu teoremaning qo'llanilishini ko'rib chiqaylik.
Biz asosiy elementar funksiyalarning hosilalari uchun formulalarni isbotsiz keltiramiz:
1. Quvvat funksiyasi: (x n)` =nx n -1 .
2. Ko‘rsatkichli funksiya: (a x)` =a x lna(xususan, (e x)` = e x).
3. Logarifmik funksiya: (xususan, (lnx)` = 1/x).
4. Trigonometrik funksiyalar:
(cosx)` = -sinx
(tgx)` = 1/cos 2 x
(ctgx)` = -1/sin 2 x
5. Teskari trigonometrik funksiyalar:
Kuchli-eksponensial funktsiyani differensiallash uchun kompleks funksiya hosilasi formulasidan ikki marta foydalanish, yaʼni uni ham kompleks darajali funksiya, ham kompleks koʻrsatkichli funksiya sifatida farqlash va natijalarni qoʻshish zarurligini isbotlash mumkin. : (f(x) (x))` =(x)*f(x) (x)-1 *f(x)` +f(x) (x) *lnf(x)* (x)`.
Yuqori tartibli hosilalar
Funktsiya hosilasining o'zi funksiya bo'lganligi sababli, uning hosilasi ham bo'lishi mumkin. Yuqorida muhokama qilingan hosila tushunchasi birinchi tartibli hosilaga tegishli.
Hosiln-chi tartib(n- 1)-tartibli hosilaning hosilasi deyiladi. Masalan, f``(x) = (f`(x))` - ikkinchi tartibli hosila (yoki ikkinchi hosila), f```(x) = (f``(x))` - uchinchi tartib hosila ( yoki uchinchi hosila) va boshqalar. Ba'zan qavs ichidagi rim arab raqamlari yuqori tartibli hosilalarni belgilash uchun ishlatiladi, masalan, beshinchi tartibli hosila uchun f (5) (x) yoki f (V) (x).
Yuqori tartibli hosilalarning fizik ma'nosi birinchi hosiladagi kabi aniqlanadi: ularning har biri oldingi tartibdagi hosilaning o'zgarish tezligini ifodalaydi. Masalan, ikkinchi hosila birinchisining o'zgarish tezligini ifodalaydi, ya'ni. tezlik tezligi. To'g'ri chiziqli harakat uchun bu nuqtaning vaqt momentidagi tezlanishini anglatadi.
Elastiklik funksiyasi
Elastiklik funksiyasi E x (y) - y funktsiyasining nisbiy o'sishining x argumentining nisbiy o'sishiga nisbati chegarasi, chunki ikkinchisi nolga intiladi: 
.
Funktsiyaning elastikligi x mustaqil o'zgaruvchisi 1% ga o'zgarganda y = f(x) funksiyaning taxminan necha foizga o'zgarishini ko'rsatadi.
Iqtisodiy ma'noda bu ko'rsatkichdan hosila o'rtasidagi farq shundaki, hosila o'lchov birliklariga ega va shuning uchun uning qiymati o'zgaruvchilar o'lchanadigan birliklarga bog'liq. Misol uchun, agar ishlab chiqarish hajmining vaqtga bog'liqligi mos ravishda tonna va oylarda ifodalangan bo'lsa, unda hosila oyiga tonnada hajmning chegaraviy o'sishini ko'rsatadi; agar bu ko'rsatkichlarni, aytaylik, kilogramm va kunlarda o'lchaydigan bo'lsak, u holda funktsiyaning o'zi ham, uning hosilasi ham boshqacha bo'ladi. Elastiklik mohiyatan o'lchovsiz miqdordir (foizlarda yoki ulushlarda o'lchanadi) va shuning uchun ko'rsatkichlar miqyosiga bog'liq emas.
Differensiallanuvchi funksiyalar haqidagi asosiy teoremalar va ularning qo‘llanilishi
Ferma teoremasi. Agar intervalda differentsiallanuvchi funksiya shu oraliqning ichki nuqtasida eng katta yoki minimal qiymatga yetsa, bu nuqtadagi funksiyaning hosilasi nolga teng bo‘ladi.
Hech qanday dalil.
Ferma teoremasining geometrik ma’nosi shundan iboratki, interval ichida erishilgan eng katta yoki eng kichik qiymat nuqtasida funksiya grafigiga teginish abscissa o‘qiga parallel bo‘ladi (3.3-rasm).
Rol teoremasi. y =f(x) funksiya quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:
2) (a, b) oraliqda differentsiallanuvchi;
3) segmentning uchlarida teng qiymatlarni oladi, ya'ni. f(a) =f(b).
Keyin segmentning ichida funksiyaning hosilasi nolga teng bo'lgan kamida bitta nuqta mavjud.
Hech qanday dalil.
Rol teoremasining geometrik ma'nosi shundan iboratki, funksiya grafigiga tegish abscissa o'qiga parallel bo'ladigan kamida bitta nuqta mavjud (masalan, 3.4-rasmda shunday ikkita nuqta bor).
Agar f(a) =f(b) = 0 bo'lsa, Rol teoremasi boshqacha shakllantirilishi mumkin: differentsiallanuvchi funktsiyaning ketma-ket ikkita nollari orasida hosilaning kamida bitta noli bo'ladi.
Rol teoremasi Lagranj teoremasining maxsus holatidir.
Lagranj teoremasi. y =f(x) funksiya quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:
1) [a, b] oraliqda uzluksiz;
2) (a, b) oraliqda differentsiallanuvchi.
Keyin segment ichida kamida bitta shunday c nuqta mavjud bo'lib, unda hosila funktsiya o'sish qismining ushbu segmentdagi argument o'sishiga bo'lingan qismiga teng: 
.
Hech qanday dalil.
Lagrange teoremasining fizik ma'nosini tushunish uchun biz shuni ta'kidlaymiz 
butun [a, b] oraliqdagi funksiyaning oʻrtacha oʻzgarish tezligidan boshqa narsa emas. Shunday qilib, teorema shuni ko'rsatadiki, segment ichida kamida bitta nuqta mavjud bo'lib, unda funktsiyaning "lahzali" o'zgarish tezligi butun segmentdagi o'rtacha o'zgarish tezligiga teng bo'ladi.
Lagranj teoremasining geometrik ma'nosi 3.5-rasmda ko'rsatilgan. E'tibor bering, ifoda 
AB akkordasi yotadigan to'g'ri chiziqning burchak koeffitsientini ifodalaydi. Teorema shuni ko'rsatadiki, funktsiya grafigida unga tegish bu akkordga parallel bo'lgan kamida bitta nuqta bo'ladi (ya'ni, tangensning qiyaligi - hosila - bir xil bo'ladi).
Xulosa: agar funktsiyaning hosilasi ma'lum bir oraliqda nolga teng bo'lsa, u holda funktsiya bu oraliqda bir xil doimiy bo'ladi.
Aslida, keling, intervalni olaylik. Lagranj teoremasiga ko'ra, bu oraliqda c nuqta mavjud bo'lib, u uchun 
. Demak, f(a) – f(x) = f `(s)(a – x) = 0; f(x) = f(a) = konst.
L'Hopital qoidasi. Ikki cheksiz kichik yoki cheksiz katta funktsiyalarning nisbati chegarasi, agar ikkinchisi ko'rsatilgan ma'noda mavjud bo'lsa, ularning hosilalari nisbati chegarasiga (cheklangan yoki cheksiz) tengdir.
Boshqacha qilib aytganda, agar shaklning noaniqligi bo'lsa 
, Bu 
.
Hech qanday dalil.
Limitlarni topish uchun L'Hopital qoidasini qo'llash amaliy mashg'ulotlarda muhokama qilinadi.
Funksiyaning ortishi (kamayishi) uchun yetarli shart. Agar differensiallanuvchi funktsiyaning hosilasi ma'lum oraliqda musbat (salbiy) bo'lsa, bu oraliqda funktsiya ortadi (kamayadi).
Isbot. Ushbu oraliqdan ikkita x 1 va x 2 qiymatlarini ko'rib chiqing (x 2 > x 1 bo'lsin). [x 1, x 2] da Lagrand teoremasi bo'yicha c nuqta mavjud Teorema isbotlangan. Funktsiyaning monotonligi shartining geometrik talqini: agar ma'lum oraliqda egri chiziqning tangenslari abscissa o'qiga o'tkir burchaklarga yo'naltirilgan bo'lsa, u holda funktsiya kuchayadi va agar o'tmas burchaklarda bo'lsa, u kamayadi (3.6-rasmga qarang). ). Eslatma: monotonlik uchun zarur shart zaifroq. Agar funktsiya ma'lum bir oraliqda ortib borsa (kamaysa), hosila shu oraliqda manfiy emas (musbat emas) (ya'ni alohida nuqtalarda monoton funktsiyaning hosilasi nolga teng bo'lishi mumkin). Loyini hisoblash ko'pincha Yagona davlat imtihon topshiriqlarida uchraydi. Ushbu sahifada hosilalarni topish uchun formulalar ro'yxati mavjud. Mavzuni o'rganishda qulaylik va ravshanlik uchun biz yig'ma jadvalni taqdim etamiz. Doimiyy = C Quvvat funktsiyasi y = x p (x p) " = p x p - 1 Eksponensial funktsiyay = a x (a x) " = a x ln a Xususan, qachona = ebizda ... bor y = e x (e x) " = e x Logarifmik funktsiya (log a x) " = 1 x ln a Xususan, qachona = ebizda ... bor y = log x (ln x) " = 1 x Trigonometrik funktsiyalar (sin x) " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x Teskari trigonometrik funksiyalar (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2 Giperbolik funktsiyalar (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x Keling, ko'rsatilgan jadvalning formulalari qanday olinganligini tahlil qilaylik yoki boshqacha qilib aytganda, har bir funktsiya turi uchun hosila formulalarining kelib chiqishini isbotlaymiz. Bu formulani chiqarish uchun funktsiyaning nuqtadagi hosilasi ta'rifini asos qilib olamiz. Biz x 0 = x dan foydalanamiz, bu erda x har qanday haqiqiy sonning qiymatini oladi, yoki boshqacha qilib aytganda, x f (x) = C funktsiya sohasining istalgan soni. Funksiya ortishining argument ortishiga nisbati chegarasini ∆ x → 0 shaklida yozamiz: lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0 E'tibor bering, 0 ∆ x ifodasi chegara belgisi ostiga tushadi. Bu "nol nolga bo'lingan" noaniqlik emas, chunki numerator cheksiz kichik qiymatni o'z ichiga olmaydi, lekin aniq nolga teng. Boshqacha qilib aytganda, doimiy funktsiyaning o'sishi har doim nolga teng. Shunday qilib, f (x) = C doimiy funktsiyaning hosilasi butun ta'rif sohasi bo'ylab nolga teng. 1-misol Doimiy funktsiyalar berilgan: f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7 Yechim
Keling, berilgan shartlarni tavsiflaymiz. Birinchi funktsiyada biz 3 natural sonining hosilasini ko'ramiz. Quyidagi misolda siz ning hosilasini olishingiz kerak A, Qayerda A- har qanday haqiqiy raqam. Uchinchi misol bizga irratsional 4 raqamining hosilasini beradi. 13 7 22, toʻrtinchisi nolning hosilasi (nol butun son). Nihoyat, beshinchi holatda biz ratsional kasrning hosilasiga egamiz - 8 7. Javob: berilgan funksiyalarning hosilalari har qanday real uchun nolga teng x(butun ta'rif sohasi bo'ylab) f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0 Keling, quvvat funksiyasi va uning hosilasi formulasiga o'tamiz, u quyidagi ko'rinishga ega: (x p) " = p x p - 1, bu erda ko'rsatkich. p har qanday haqiqiy sondir. Dalil 2 Ko'rsatkich natural son bo'lganda formulaning isboti: p = 1, 2, 3, … Biz yana hosila ta'rifiga tayanamiz. Quvvat funksiyasi ortishining argument ortishiga nisbati chegarasini yozamiz: (x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x Numeratordagi ifodani soddalashtirish uchun Nyutonning binomial formulasidan foydalanamiz: (x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 +. . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p Shunday qilib: (x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + ... + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1) x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + .. + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 · x p - 1 + 0 + 0 + . . . + 0 = p ! 1 ! · (p - 1) ! · x p - 1 = p · x p - 1 Shunday qilib, ko‘rsatkich natural son bo‘lganda daraja funksiyasining hosilasi formulasini isbotladik. Dalil 3 Qachon ish bo'yicha dalillarni taqdim etish p- noldan boshqa har qanday haqiqiy son, biz logarifmik hosiladan foydalanamiz (bu erda biz logarifmik funktsiyaning hosilasidan farqini tushunishimiz kerak). To'liqroq tushunchaga ega bo'lish uchun logarifmik funktsiyaning hosilasini o'rganish va yashirin funktsiyaning hosilasi va murakkab funktsiyaning hosilasini yanada chuqurroq tushunish tavsiya etiladi. Keling, ikkita holatni ko'rib chiqaylik: qachon x ijobiy va qachon x salbiy. Shunday qilib, x > 0. Keyin: x p > 0 . y = x p tenglikni e asosiga logarifm qilamiz va logarifmning xossasini qo‘llaymiz: y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x Ushbu bosqichda biz aniq belgilangan funktsiyani oldik. Keling, uning hosilasini aniqlaymiz: (ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1 Endi biz qachon ishni ko'rib chiqamiz x - manfiy raqam. Agar ko'rsatkich p juft son bo‘lsa, u holda x uchun quvvat funksiyasi aniqlanadi< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1 Keyin x p< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную. Agar p toq son bo'lsa, u holda quvvat funksiyasi x uchun aniqlanadi< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции: y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p x p - 1 Oxirgi o'tish, agar bo'lsa, tufayli mumkin p demak, bu toq raqam p - 1 juft son yoki nol (p = 1 uchun), shuning uchun salbiy uchun x(- x) p - 1 = x p - 1 tengligi to'g'ri. Shunday qilib, biz har qanday haqiqiy p uchun darajali funktsiyaning hosilasi formulasini isbotladik. 2-misol Berilgan funktsiyalar: f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12 Ularning hosilalarini aniqlang. Yechim
Berilgan funksiyalarning ba’zilarini daraja xossalariga asoslanib jadval ko‘rinishiga y = x p ga aylantiramiz va keyin formuladan foydalanamiz: f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 " (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2 " (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84 Keling, ta'rifdan foydalanib, hosila formulasini asos qilib olaylik: (a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0 Bizda noaniqlik paydo bo'ldi. Uni kengaytirish uchun z = a ∆ x - 1 (z → 0 ni ∆ x → 0 ko'rinishida) yangi o'zgaruvchi yozamiz. Bunday holda, a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Oxirgi o'tish uchun yangi logarifm bazasiga o'tish formulasi ishlatilgan. Keling, asl chegarani almashtiramiz: (a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z Keling, ikkinchi ajoyib chegarani eslaylik va keyin eksponensial funktsiyaning hosilasi uchun formulani olamiz: (a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a 3-misol Eksponensial funktsiyalar berilgan: f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x Ularning hosilalarini topish kerak. Yechim
Eksponensial funktsiyaning hosilasi va logarifmning xususiyatlari uchun formuladan foydalanamiz: f 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 " (x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x Har qanday logarifmik funktsiyaning hosilasi formulasining isbotini keltiramiz x ta'rif sohasida va logarifmning a asosining har qanday ruxsat etilgan qiymatlari. Loyqa tushunchasiga asoslanib, biz quyidagilarni olamiz: (log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a Ko'rsatilgan tenglik zanjiridan ko'rinib turibdiki, o'zgarishlar logarifm xususiyatiga asoslangan. lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e tengligi ikkinchi ajoyib chegaraga muvofiq to'g'ri. 4-misol Logarifmik funktsiyalar berilgan: f 1 (x) = log ln 3 x, f 2 (x) = ln x Ularning hosilalarini hisoblash kerak. Yechim
Olingan formulani qo'llaymiz: f 1 "(x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3) ; f 2 "(x) = (ln x) " = 1 x ln e = 1 x Shunday qilib, natural logarifmning hosilasi bir ga bo'linadi x. Trigonometrik funktsiyaning hosilasi formulasini olish uchun ba'zi trigonometrik formulalar va birinchi ajoyib chegaradan foydalanamiz. Sinus funktsiyasi hosilasining ta'rifiga ko'ra, biz quyidagilarni olamiz: (sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x Sinuslar farqi formulasi bizga quyidagi amallarni bajarishga imkon beradi: (sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 Va nihoyat, biz birinchi ajoyib chegaradan foydalanamiz: sin " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x Demak, funktsiyaning hosilasi gunoh x bo'ladi chunki x. Kosinus hosilasi formulasini ham isbotlaymiz: cos " x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x Bular. cos x funksiyaning hosilasi bo'ladi - sin x. Differensiallash qoidalariga asoslanib tangens va kotangens hosilalari uchun formulalarni olamiz: t g " x = sin x cos x " = sin " x · cos x - sin x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - sin x · (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - sin x · sin x - cos x · cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x Teskari funksiyalarning hosilasi bo'limida arksinus, arkkosinus, arktangent va arkkotangens hosilalari formulalarini isbotlash haqida to'liq ma'lumot berilgan, shuning uchun biz bu erda materialni takrorlamaymiz. Giperbolik sinus, kosinus, tangens va kotangensning hosilalari uchun formulalarni differentsiallash qoidasi va ko'rsatkichli funktsiya hosilasi formulasidan foydalanib olishimiz mumkin: s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing
. Demak, f(x 2) –f(x 1) =f`(c)(x 2 –x 1). U holda f`(c) > 0 uchun tengsizlikning chap tomoni musbat, ya'ni f(x 2) >f(x 1) bo'lib, funksiya ortib bormoqda. qachonf`(c)< 0 левая часть неравенства
отрицательна, т.е.f(х 2)
Farqlash qoidalari
Biz sizga havolani saqlashingizni maslahat beramiz, chunki bu jadval ko'p marta kerak bo'lishi mumkin.
Konstantaning hosilasi
Dalil 1 Quvvat funksiyasining hosilasi
Ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi
Isbot 4 Logarifmik funktsiyaning hosilasi
Dalil 5 Trigonometrik funksiyalarning hosilalari
Isbot 6 Teskari trigonometrik funksiyalarning hosilalari
Giperbolik funksiyalarning hosilalari
Dalil 7
Yuklanmoqda...