Eng oddiy oqimlar Markov jarayonlari va eritma zanjirlaridir. Navbat nazariyasi elementlari. Ushbu jarayonni modellashtirish
Federal agentlik Rossiya Federatsiyasida ta'lim to'g'risida
FGOU SPO "Perevozskiy qurilish kolleji"
intizom bo'yicha " Matematik usullar»
mavzusida “Cheklangan kutish vaqti bilan SMO. Yopiq QS"
Kirish................................................................. ....... ................................................. ............. ....... 2
1. Navbat nazariyasi asoslari...................................... ................ ...... 3
1.1 Tasodifiy jarayon tushunchasi...................................... ......... ................... 3
1.2 Markov tasodifiy jarayon................................................. ...... ................ 4
1.3 Voqea oqimlari ................................................ ................................................................ ............. 6
1.4 Holat ehtimollari uchun Kolmogorov tenglamalari. Yakuniy holat ehtimoli................................................. ................................................................ ...................... 9
1.5 Navbat nazariyasi muammolari...................................... ....... .. 13
1.6 Navbat tizimlarining tasnifi...................................... ..... 15
2. Kutish bilan navbatga turish tizimlari...................................... ...... 16
2.1 Kutish bilan bir kanalli QS................................................. ......... ............ 16
2.2 Kutish bilan ko'p kanalli QS...................................... ......... ......... 25
3. Yopiq QS................................................. ...... ................................................... ... 37
Muammoning yechimi................................................. ... ................................................... 45
Xulosa................................................. ................................................................ ...... 50
Adabiyotlar ro'yxati................................................ ....................................... 51
Ushbu kursda biz turli navbat tizimlari (QS) va navbat tarmoqlarini (Queuing) ko'rib chiqamiz.
Navbat tizimi (QS) deganda tizim resurslaridagi cheklovlar ostida so'rovlar oqimiga (xizmat talablari) samarali xizmat ko'rsatish uchun mo'ljallangan dinamik tizim tushuniladi.
QS modellari zamonaviy hisoblash tizimlarining alohida quyi tizimlarini tavsiflash uchun qulaydir, masalan, protsessor quyi tizimi - asosiy xotira, kirish-chiqish kanali va boshqalar. Hisoblash tizimi umuman olganda o'zaro bog'liq bo'lgan quyi tizimlar to'plamidir, ularning o'zaro ta'siri ehtimollikdir. Hisoblash tizimiga kirishda ma'lum bir muammoni hal qilish uchun dastur hisoblash, tashqi xotira qurilmalari va kiritish-chiqarish qurilmalariga kirish bosqichlaridan o'tadi. Bunday bosqichlarning ma'lum bir ketma-ketligi bajarilgandan so'ng, ularning soni va davomiyligi dasturning murakkabligiga bog'liq bo'lib, so'rov xizmat ko'rsatilgan deb hisoblanadi va kompyuter tizimini tark etadi. Shunday qilib, bir butun sifatida hisoblash tizimi QS to'plami bilan ifodalanishi mumkin, ularning har biri alohida qurilma yoki tizimning bir qismi bo'lgan shunga o'xshash qurilmalar guruhining ishlash jarayonini aks ettiradi.
O'zaro bog'langan QSlar to'plami navbat tarmog'i (stokastik tarmoq) deb ataladi.
Boshlash uchun biz QS nazariyasi asoslarini ko'rib chiqamiz, keyin biz kutish va yopiq QS bilan QS bilan batafsil tarkib bilan tanishishga o'tamiz. Kurs amaliy qismni ham o'z ichiga oladi, unda biz nazariyani amaliyotda qanday qo'llashni batafsil o'rganamiz.
Navbat nazariyasi ehtimollar nazariyasining bo'limlaridan biridir. Bu nazariya ko'rib chiqadi ehtimollik muammolar va matematik modellar (bundan oldin biz deterministik matematik modellarni ko'rib chiqdik). Eslatib oʻtamiz:
Deterministik matematik model nuqtai nazardan ob'ekt (tizim, jarayon) xatti-harakatlarini aks ettiradi to'liq ishonch hozirgi va kelajakda.
Ehtimoliy matematik model ob'ekt (tizim, jarayon) xatti-harakatiga tasodifiy omillarning ta'sirini hisobga oladi va shuning uchun kelajakni ma'lum hodisalarning ehtimoli nuqtai nazaridan baholaydi.
Bular. Bu erda, masalan, o'yin nazariyasi muammolari ko'rib chiqiladi sharoitlarda noaniqlik .
Muammoga kiritilgan noaniq omillar tasodifiy o'zgaruvchilar (yoki) bo'lsa, avval "stokastik noaniqlik" ni tavsiflovchi ba'zi tushunchalarni ko'rib chiqaylik. tasodifiy funktsiyalar), ehtimollik xarakteristikalari ma'lum yoki tajribadan olinishi mumkin. Bunday noaniqlik "qulay", "yaxshi" deb ham ataladi.
To'g'ri aytganda, tasodifiy buzilishlar har qanday jarayonga xosdir. "Tasodifiy bo'lmagan" jarayonga qaraganda tasodifiy jarayonga misollar keltirish osonroq. Hatto, masalan, soatni ishlatish jarayoni (bu qat'iy kalibrlangan ish - "soat kabi ishlaydi") tasodifiy o'zgarishlarga duchor bo'ladi (oldinga siljish, orqada qolish, to'xtash). Ammo bu buzilishlar ahamiyatsiz va bizni qiziqtiradigan parametrlarga kam ta'sir qilar ekan, biz ularni e'tiborsiz qoldirib, jarayonni deterministik, tasodifiy bo'lmagan deb hisoblashimiz mumkin.
Qandaydir tizim bo'lsin S (texnik qurilma, bunday qurilmalar guruhi, texnologik tizim - mashina, uchastka, ustaxona, korxona, sanoat va boshqalar). Tizimda S oqadi tasodifiy jarayon, agar u vaqt o'tishi bilan o'z holatini o'zgartirsa (bir holatdan ikkinchisiga o'tsa), bundan tashqari, oldindan noma'lum tasodifiy tarzda.
Misollar:
1. Tizim S– texnologik tizim (mashina uchastkasi). Mashinalar vaqti-vaqti bilan buziladi va ta'mirlanadi. Ushbu tizimda sodir bo'ladigan jarayon tasodifiydir.
2. Tizim S- ma'lum bir marshrut bo'ylab ma'lum bir balandlikda uchadigan samolyot. Bezovta qiluvchi omillar - ob-havo sharoiti, ekipajning xatolari va boshqalar, oqibatlari - chayqalishlar, parvozlar jadvalini buzish va boshqalar.
Tizimda sodir bo'ladigan tasodifiy jarayon deyiladi Markovskiy, har qanday vaqt uchun t 0 kelajakdagi jarayonning ehtimollik xarakteristikalari faqat uning hozirgi holatiga bog'liq t 0 va tizim bu holatga qachon va qanday erishganiga bog'liq emas.
Tizim t 0 momentida ma'lum bir holatda bo'lsin S 0 . Biz tizimning hozirgi holatining xususiyatlarini va uning davomida sodir bo'lgan hamma narsani bilamiz t <t 0 (jarayon tarixi). Kelajakni bashorat qilish (bashorat qilish) mumkinmi, ya'ni. qachon nima bo'ladi t >t 0 ? Aniq emas, lekin kelajakda jarayonning ba'zi ehtimollik xususiyatlarini topish mumkin. Masalan, bir muncha vaqt o'tgach, tizim paydo bo'lishi ehtimoli S qodir bo'ladi S 1 yoki holatda qoladi S 0 va boshqalar.
Misol. Tizim S- ishtirok etuvchi samolyotlar guruhi havo jangi. Mayli x- "qizil" samolyotlar soni, y- "ko'k" samolyotlar soni. Vaqtiga qadar t 0 omon qolgan (urib tushirilmagan) samolyotlar soni, mos ravishda - x 0 , y 0 . Bizni bir lahzada raqamli ustunlik "qizillar" tomonida bo'lishi ehtimoli qiziq. Bu ehtimollik o'sha paytda tizim qanday holatda bo'lganiga bog'liq t 0, va qachon va qanday ketma-ketlikda urib tushirilganlar hozirgacha vafot etgan t 0 samolyot.
Amalda Markov jarayonlari odatda ularning sof shaklida topilmaydi. Ammo "tarixdan oldingi" ta'sirini e'tiborsiz qoldiradigan jarayonlar mavjud. Va bunday jarayonlarni o'rganishda Markov modellaridan foydalanish mumkin (navbat nazariyasi Markov navbat tizimlarini hisobga olmaydi, lekin ularni tavsiflovchi matematik apparat ancha murakkab).
Operatsion tadqiqotlarda katta ahamiyatga ega diskret holatlar va uzluksiz vaqtga ega Markov tasodifiy jarayonlariga ega.
Jarayon deyiladi diskret holat jarayoni, agar uning mumkin bo'lgan holatlari bo'lsa S 1 , S 2, ... oldindan aniqlanishi mumkin va tizimning holatdan holatga o'tishi deyarli bir zumda "sakrashda" sodir bo'ladi.
Jarayon deyiladi doimiy vaqt jarayoni, agar vaziyatdan holatga mumkin bo'lgan o'tish momentlari oldindan belgilanmagan bo'lsa, lekin noaniq, tasodifiy bo'lsa va har qanday vaqtda sodir bo'lishi mumkin.
Misol. Texnologik tizim (bo'lim) S ikkita mashinadan iborat bo'lib, ularning har biri tasodifiy bir vaqtda muvaffaqiyatsiz bo'lishi (ishlamay qolishi) mumkin, shundan so'ng qurilmani ta'mirlash darhol boshlanadi, bu ham noma'lum, tasodifiy vaqt davomida davom etadi. Quyidagi tizim holatlari mumkin:
S 0 - ikkala mashina ham ishlayapti;
S 1 - birinchi mashina ta'mirlanmoqda, ikkinchisi ishlamoqda;
S 2 - ikkinchi mashina ta'mirlanmoqda, birinchisi ishlayapti;
S 3 - ikkala mashina ham ta'mirlanmoqda.
Tizim o'tishlari S davlatdan holatga deyarli bir zumda, tasodifiy daqiqalarda, ma'lum bir mashina ishlamay qolganda yoki ta'mirlash tugallanganda sodir bo'ladi.
Diskret holatlar bilan tasodifiy jarayonlarni tahlil qilishda geometrik sxemadan foydalanish qulay - davlat grafigi. Grafikning uchlari tizimning holatidir. Grafik yoylari holatdan holatga o'tish mumkin. Bizning misolimiz uchun holat grafigi rasmda ko'rsatilgan. 1.
Guruch. 1. Tizim holati grafigi
Eslatma. Davlatdan o'tish S 0 dyuym S 3 rasmda ko'rsatilmagan, chunki mashinalar bir-biridan mustaqil ravishda ishdan chiqadi deb taxmin qilinadi. Biz ikkala mashinaning bir vaqtning o'zida ishlamay qolishi ehtimolini e'tiborsiz qoldiramiz.
Voqealar oqimi- vaqtning tasodifiy daqiqalarida birin-ketin ketayotgan bir hil hodisalar ketma-ketligi.
Oldingi misolda, bu muvaffaqiyatsizliklar oqimi va qayta tiklash oqimi. Boshqa misollar: telefon stantsiyasida qo'ng'iroqlar oqimi, do'kondagi mijozlar oqimi va boshqalar.
Voqealar oqimi vizual tarzda vaqt o'qi bo'yicha bir qator nuqtalar bilan ifodalanishi mumkin O t- guruch. 2.
Guruch. 2. Vaqt o'qi bo'yicha voqealar oqimining tasviri
Har bir nuqtaning joylashuvi tasodifiy va bu erda oqimning faqat bitta amalga oshirilishi tasvirlangan.
Hodisa oqimining intensivligi ( ) vaqt birligidagi hodisalarning o'rtacha soni.
Keling, voqea oqimlarining ba'zi xususiyatlarini (turlarini) ko'rib chiqaylik.
Voqealar oqimi deyiladi statsionar, agar uning ehtimollik xususiyatlari vaqtga bog'liq bo'lmasa.
Xususan, statsionar oqimning intensivligi doimiydir. Hodisalar oqimi muqarrar ravishda kondensatsiyalar yoki siyraklanishlarga ega, lekin ular muntazam xarakterga ega emas va vaqt birligidagi hodisalarning o'rtacha soni doimiy bo'lib, vaqtga bog'liq emas.
Voqealar oqimi deyiladi oqibatlarsiz oqim, agar har qanday ikkita bir-biriga mos kelmaydigan vaqt bo'limlari uchun va (2-rasmga qarang) ulardan biriga tushadigan hodisalar soni boshqasiga qancha hodisa tushishiga bog'liq bo'lmasa. Boshqacha qilib aytganda, bu oqimni tashkil etuvchi hodisalar vaqtning ma'lum bir nuqtalarida paydo bo'lishini anglatadi bir-biridan mustaqil va ularning har biri o'ziga xos sabablarga ko'ra yuzaga keladi.
Voqealar oqimi deyiladi oddiy, agar voqealar bir vaqtning o'zida bir nechta guruhlarda emas, balki birma-bir paydo bo'lsa.
Voqealar oqimi deyiladi eng oddiy (yoki statsionar Puasson), agar u bir vaqtning o'zida uchta xususiyatga ega bo'lsa:
1) statsionar;
2) oddiy;
3) hech qanday oqibatlarga olib kelmaydi.
Eng oddiy oqim eng oddiy matematik tavsifga ega. U qonun kabi oqimlar orasida alohida rol o'ynaydi. normal taqsimot tarqatishning boshqa qonunlari qatorida. Ya'ni, qo'llanilganda, bu etarli katta raqam mustaqil, statsionar va oddiy oqimlar (intensivlikda bir-biri bilan taqqoslanadigan) eng oddiyga yaqin oqimga olib keladi.
Intensivlik oralig'i bilan eng oddiy oqim uchun T qo'shni voqealar o'rtasida bir atalmish bor eksponensial taqsimot zichligi bilan:
ko'rsatkich qonunining parametri qayerda.
Uchun tasodifiy o'zgaruvchi T eksponensial taqsimotga ega bo'lgan, kutilgan qiymat parametrning o'zaro nisbati va standart og'ish matematik taxminga teng:
Diskret holatlar va uzluksiz vaqtli Markov jarayonlarini hisobga olgan holda, tizimning barcha o'tishlari taxmin qilinadi. S holatlardan holatga oddiy hodisalar oqimlari (chaqiriq oqimlari, nosozliklar oqimi, tiklash oqimlari va boshqalar) ta'sirida sodir bo'ladi. Agar barcha hodisa oqimlari tizimni uzatsa S holatdan eng oddiy holatga o'tsa, tizimda sodir bo'ladigan jarayon Markovian bo'ladi.
Shunday qilib, holatdagi tizimga oddiy hodisalar oqimi ta'sir qiladi. Ushbu oqimning birinchi hodisasi paydo bo'lishi bilanoq, tizim bir holatdan holatga "sakrab o'tadi" (o'q bo'ylab holat grafigida).
Aniqlik uchun tizim holati grafigida har bir yoy uchun tizimni shu yoy (o'q) bo'ylab harakatlantiruvchi hodisalar oqimining intensivligi ko'rsatilgan. - tizimni holatdan holatga o'tkazuvchi hodisalar oqimining intensivligi. Bunday grafik deyiladi belgilangan. Bizning misolimiz uchun etiketli grafik rasmda ko'rsatilgan. 3.
Guruch. 3. Belgilangan tizim holati grafigi
Ushbu rasmda - buzilish oqimining intensivligi; - tiklanish oqimining intensivligi.
Mashinani ta'mirlashning o'rtacha vaqti bitta mashina yoki ikkalasini bir vaqtning o'zida ta'mirlanishiga bog'liq emas deb hisoblaymiz. Bular. Har bir mashina alohida mutaxassis tomonidan ta'mirlanadi.
Tizim holatida bo'lsin S 0 . Davlatda S 1 birinchi mashinaning nosozliklari oqimi bilan tarjima qilingan. Uning intensivligi quyidagilarga teng:
birinchi mashinaning o'rtacha ishlamay qolgan vaqti qaerda.
Davlatdan S 1 dyuym S 0 tizim birinchi mashinaning "ta'mirlash tugallanishi" oqimi bilan uzatiladi. Uning intensivligi quyidagilarga teng:
birinchi mashina uchun o'rtacha ta'mirlash vaqti qayerda.
Tizimni grafikning barcha yoylari bo'ylab o'tkazadigan hodisa oqimlarining intensivligi xuddi shunday tarzda hisoblanadi. Bizning ixtiyorimizda tizim holatining yorliqli grafigi mavjud bo'lib, biz tuzamiz matematik model bu jarayondan.
Ko'rib chiqilayotgan tizimga ruxsat bering S-mumkin bo'lgan holatlar mavjud. th holatning ehtimoli - vaqt momentida tizimning holatda bo'lish ehtimoli. Ko'rinib turibdiki, har qanday lahza uchun barcha holat ehtimoli yig'indisi bittaga teng:
Vaqt funktsiyalari sifatida holatlarning barcha ehtimolliklarini topish uchun tuzing va yeching Kolmogorov tenglamalari – maxsus turi noma'lum funksiyalar holatlar ehtimoli bo'lgan tenglamalar. Bu tenglamalarni tuzish qoidasi bu yerda isbotsiz keltirilgan. Ammo uni tanishtirishdan oldin, keling, tushunchani tushuntirib beraylik holatning yakuniy ehtimoli .
Davlat ehtimoli bilan nima sodir bo'ladi? Ular qandaydir chegaralarga intiladilarmi? Agar bu chegaralar mavjud bo'lsa va tizimning dastlabki holatiga bog'liq bo'lmasa, ular chaqiriladi yakuniy holat ehtimoli .
sistema holatlarining chekli soni bu yerda.
Yakuniy holat ehtimoli– bular endi o‘zgaruvchan miqdorlar (vaqt funksiyalari) emas, balki doimiy sonlardir. Ko'rinib turibdiki:
Yakuniy holat ehtimoli bu tizimning bu holatda qoladigan o'rtacha nisbiy vaqtidir.
Masalan, tizim S uchta davlatga ega S 1 , S 2 va S 3. Ularning yakuniy ehtimollari mos ravishda 0,2; 0,3 va 0,5. Demak, cheklovchi statsionar holatdagi tizim o‘z vaqtining o‘rtacha 2/10 qismini shtatda o‘tkazadi S 1, 3/10 - qodir S 2 va 5/10 - mumkin S 3 .
Kolmogorov tenglamalar tizimini tuzish qoidasi: tizimning har bir tenglamasida chap tomonda- ma'lum bir holatning yakuniy ehtimoli, barcha oqimlarning umumiy intensivligiga ko'paytiriladi, bu davlatdan olib boradi, A uning o'ng tomonida qismlar- barcha oqimlarning intensivlik mahsulotlari yig'indisi; kiritilgan - davlat, bu oqimlar kelgan shtatlarning ehtimollari bo'yicha.
Ushbu qoidadan foydalanib, biz tenglamalar tizimini yozamiz bizning misolimiz uchun :
.
To'rtta noma'lum to'rtta tenglamadan iborat bu tizim to'liq echilishi mumkin. Ammo bu tenglamalar bir hil (ular erkin atamaga ega emas) va shuning uchun ular noma'lumlarni faqat ixtiyoriy omilgacha aniqlaydilar. Biroq, siz normallashtirish shartidan foydalanishingiz mumkin: 
va tizimni hal qilish uchun foydalaning. Bunday holda, tenglamalardan biri (har qanday) bekor qilinishi mumkin (boshqalarning natijasi sifatida).
Misolning davomi. Oqim intensivliklari teng bo'lsin: .
Biz to'rtinchi tenglamani bekor qilamiz va o'rniga normalizatsiya shartini qo'shamiz:
.
Bular. cheklovchi, statsionar rejimda tizim S o'rtacha 40% vaqt bir holatda o'tadi S 0 (har ikkala mashina ham ishlaydi), 20% - yaxshi holatda S 1 (birinchi mashina ta'mirlanmoqda, ikkinchisi ishlayapti), 27% - holatda S 2 (ikkinchi mashina ta'mirlanmoqda, birinchisi ishlayapti), 13% - holatda S 3 (har ikkala mashina ham ta'mirlanmoqda). Ushbu yakuniy ehtimolliklarni bilish tizimning o'rtacha samaradorligini va ta'mirlash organlarining ish yukini baholashga yordam beradi.
Tizimga ruxsat bering S holatida S 0 (to'liq ishlaydigan) vaqt birligi uchun 8 an'anaviy birlik daromad keltiradi, qodir S 1 – daromad 3 shartli birlik, qodir S 2 – daromad 5 shartli birlik, qodir S 3 - daromad keltirmaydi. Keyin, cheklovchi, statsionar rejimda, vaqt birligi uchun o'rtacha daromad teng bo'ladi: an'anaviy birliklar.
1-mashina quyidagiga teng vaqtning bir qismida ta'mirlanadi: . 2-mashina quyidagiga teng vaqtning bir qismida ta'mirlanadi: . Turadi optimallashtirish muammosi. Garchi biz birinchi yoki ikkinchi mashinani (yoki ikkalasini) o'rtacha ta'mirlash vaqtini qisqartirishimiz mumkin bo'lsa-da, bu bizga ma'lum miqdorda xarajat qiladi. Savol shundaki, tezroq ta'mirlash bilan bog'liq oshgan daromad ta'mirlash xarajatlarini to'laydimi? Siz to'rtta noma'lumli to'rtta tenglama tizimini echishingiz kerak bo'ladi.
Navbatga turish xizmati tizimlariga (QS) misollar: telefon stantsiyalari, ta'mirlash ustaxonalari, chiptalar, ma'lumot stollari, dastgohlar va boshqa texnologik tizimlar, moslashuvchan boshqaruv tizimlari ishlab chiqarish tizimlari va hokazo.
Har bir QS ma'lum miqdordagi xizmat ko'rsatish birliklaridan iborat bo'lib, ular chaqiriladi xizmat ko'rsatish kanallari(bu mashinalar, transport aravalari, robotlar, aloqa liniyalari, kassirlar, sotuvchilar va boshqalar). Har bir QS qandaydir xizmat ko'rsatish uchun mo'ljallangan ilovalar oqimi(talablar) vaqtning ba'zi tasodifiy daqiqalarida kelishi.
So'rovga xizmat ko'rsatish bir muncha vaqt, umuman olganda, tasodifiy vaqt davom etadi, shundan so'ng kanal bo'shatiladi va keyingi so'rovni qabul qilishga tayyor. Ilovalar oqimining tasodifiy tabiati va xizmat ko'rsatish vaqti ba'zi vaqtlarda QS kirishida haddan tashqari ko'p sonli ilovalar to'planishiga olib keladi (ular navbatga turishadi yoki QSni xizmat ko'rsatmasdan qoldiradilar). Boshqa davrlarda tizim kam yuk bilan ishlaydi yoki butunlay bo'sh qoladi.
QS operatsiya jarayoni diskret holatlar va uzluksiz vaqtga ega tasodifiy jarayondir. QS holati ma'lum hodisalar ro'y berganda keskin o'zgaradi (yangi ilovaning kelishi, xizmat ko'rsatishning tugashi, kutishdan charchagan dastur navbatni tark etishi).
Navbat nazariyasi predmeti- qurilish matematik modellar, QS ning berilgan ish sharoitlarini (kanallar soni, ularning mahsuldorligi, ishlash qoidalari, so'rovlar oqimining tabiati) bizni qiziqtiradigan xususiyatlar bilan bog'lash - QS samaradorligi ko'rsatkichlari. Ushbu ko'rsatkichlar CMO ning ilovalar oqimi bilan kurashish qobiliyatini tavsiflaydi. Ular quyidagilar bo'lishi mumkin: vaqt birligida QS tomonidan xizmat ko'rsatadigan ilovalarning o'rtacha soni; band bo'lgan kanallarning o'rtacha soni; navbatdagi arizalarning o'rtacha soni; xizmat uchun o'rtacha kutish vaqti va boshqalar.
Matematik tahlil QSning ishi, agar bu ishning jarayoni Markovian bo'lsa, juda osonlashadi, ya'ni. tizimni shtatdan holatga o'tkazuvchi hodisalar oqimlari eng oddiy hisoblanadi. Aks holda, jarayonning matematik tavsifi juda murakkablashadi va uni aniq analitik bog'liqliklarga olib kelish juda kamdan-kam hollarda bo'ladi. Amalda Markov bo'lmagan jarayonlar yaqinlashish bilan Markov jarayonlariga qisqartiriladi. Quyidagi matematik apparat Markov jarayonlarini tavsiflaydi.
Birinchi bo'lim (navbat mavjudligiga qarab):
1. Nosozliklar bilan QS;
2. Navbat bilan navbat.
QSda muvaffaqiyatsizliklar bilan barcha kanallar band bo'lgan vaqtda qabul qilingan ariza rad etiladi, QSni tark etadi va kelajakda xizmat ko'rsatilmaydi.
Navbat bilan SMOda barcha kanallar band bo'lgan vaqtda kelgan dastur ketmaydi, balki navbatda turadi va xizmat ko'rsatish imkoniyatini kutadi.
Navbatlar bilan QS qismlarga bo'linadi yoqilgan turli xil turlari navbat qanday tashkil etilganiga qarab - cheklangan yoki cheksiz. Cheklovlar ham navbatning uzunligi, ham kutish vaqti, "xizmat intizomi" bilan bog'liq bo'lishi mumkin.
Shunday qilib, masalan, quyidagi QSlar ko'rib chiqiladi:
· Sabrsiz so'rovlar bilan CMO (navbat uzunligi va xizmat ko'rsatish muddati cheklangan);
· QS ustuvor xizmat bilan, ya'ni. ba'zi ilovalar navbatsiz qayta ishlanadi va hokazo.
Bundan tashqari, QS ochiq QS va yopiq QS larga bo'linadi.
Ochiq QSda so'rovlar oqimining xususiyatlari QS ning o'zi holatiga bog'liq emas (qancha kanallar band). Yopiq QSda- bog'liq. Misol uchun, agar bitta ishchi vaqti-vaqti bilan sozlashni talab qiladigan mashinalar guruhiga xizmat ko'rsatsa, u holda mashinalardan "talablar" oqimining intensivligi ularning qanchasi allaqachon ishlayotganiga va sozlashni kutayotganiga bog'liq.
SMO tasnifi yuqoridagi navlar bilan cheklanishdan uzoqdir, ammo bu etarli.
Keling, kutish bilan eng oddiy QSni ko'rib chiqaylik - intensivlik bilan so'rovlar oqimini qabul qiladigan yagona kanalli tizim (n - 1); xizmat intensivligi (ya'ni, o'rtacha, uzluksiz band bo'lgan kanal har bir birlik (vaqt) uchun xizmat ko'rsatilgan so'rovlarni chiqaradi). Kanal band bo'lgan vaqtda olingan so'rov navbatga qo'yilgan va xizmatni kutmoqda.
Cheklangan navbat uzunligiga ega tizim. Keling, birinchi navbatda, navbatdagi joylar soni m soni bilan cheklangan deb hisoblaylik, ya'ni. agar ariza navbatda m-ilovalar mavjud bo'lgan vaqtda kelsa, u tizimni xizmat ko'rsatmasdan qoldiradi. Kelajakda m ni cheksizlikka yo'naltirish orqali biz navbat uzunligi bo'yicha cheklovlarsiz bir kanalli QS xarakteristikalarini olamiz.
Biz QS holatini tizimdagi ilovalar soniga qarab raqamlaymiz (xizmat ko'rsatilayotgan va xizmat kutilayotgan):
Kanal bepul;
Kanal band, navbat yo'q;
Kanal band, bitta ilova navbatda;
Kanal band, k-1 ilovalari navbatda;
Kanal band, ilovalar navbatda.
GSP rasmda ko'rsatilgan. 4. Chapdan o'ngga strelkalar bo'ylab tizimga o'tadigan hodisa oqimlarining barcha intensivliklari teng va o'ngdan chapga - ga teng. Darhaqiqat, so'rovlar oqimi tizimni strelkalar bo'ylab chapdan o'ngga siljitadi (so'rov kelishi bilanoq tizim keyingi holatga o'tadi), o'ngdan chapga band bo'lgan kanalning "chiqishi" oqimi mavjud. , bu intensivlikka ega (keyingi so'rovga xizmat ko'rsatilishi bilan kanal bo'shab qoladi yoki navbatdagi ilovalar sonini kamaytiradi).
Guruch. 4. Kutish bilan bitta kanalli QS
Shaklda ko'rsatilgan. 4 diagramma - ko'payish va o'lim diagrammasi. Holatlarning cheklovchi ehtimoli uchun ifodalarni yozamiz:
(5)
yoki foydalanish::
(6)
(6) ning oxirgi qatori birinchi had 1 va maxraj p bilan geometrik progressiyani o'z ichiga oladi, biz undan olamiz:
(7)
Shu munosabat bilan cheklovchi ehtimollar quyidagi shaklni oladi:
(8).
(7) ifoda faqat uchun amal qiladi< 1 (при = 1 она дает неопределенность вида 0/0). Сумма геометрической прогрессии со знаменателем = 1 равна m+2, и в этом случае:
QSning xususiyatlarini aniqlaymiz: ishlamay qolish ehtimoli, nisbiy o'tkazuvchanlik q, mutlaq o'tkazuvchanlik A, o'rtacha navbat uzunligi, tizim bilan bog'liq ilovalarning o'rtacha soni, navbatda o'rtacha kutish vaqti, QSda ilova tomonidan sarflangan o'rtacha vaqt. .
Muvaffaqiyatsizlik ehtimoli. Shubhasiz, ariza faqat kanal band bo'lsa va navbatdagi barcha t-o'rinlar band bo'lsa rad etiladi:
(9).
Nisbiy tarmoqli kengligi:
(10).
O'rtacha navbat uzunligi. Navbatdagi ilovalarning o'rtacha sonini diskret tasodifiy o'zgaruvchining R-navbatdagi ilovalar sonining matematik kutilishi sifatida topamiz:
Ehtimollik bilan navbatda bitta ilova, ehtimol ikkita ilova bor, umuman, ehtimollik bilan navbatda k-1 ilovalari bor va hokazo, ulardan:
(11).
Chunki (11) dagi yig‘indini geometrik progressiya yig‘indisining hosilasi sifatida talqin qilish mumkin:
O'rnini bosish bu ifoda(11) va (8) dan foydalanib, biz nihoyat quyidagilarni olamiz:
(12).
Tizimdagi ilovalarning o'rtacha soni. Keyinchalik, tizim bilan bog'liq so'rovlarning o'rtacha soni uchun formulani olamiz (ham navbatda turish, ham xizmat ko'rsatish). , xizmat ko'rsatilayotgan ilovalarning o'rtacha soni qayerda va k ma'lum bo'lganligi sababli, uni aniqlash qoladi. Faqat bitta kanal bo'lgani uchun xizmat ko'rsatilayotgan so'rovlar soni 0 (ehtimol bilan ) yoki 1 (ehtimol 1 - ) bo'lishi mumkin, ulardan:
.
va QS bilan bog'liq ilovalarning o'rtacha soni:
(13).
Navbatdagi ariza uchun o'rtacha kutish vaqti. Keling, buni belgilaymiz; agar ma'lum bir vaqtda tizimga so'rov tushsa, ehtimol xizmat ko'rsatish kanali band bo'lmaydi va u navbatda kutishga majbur bo'lmaydi (kutish vaqti nolga teng). Ehtimol, u ba'zi so'rovlar bajarilayotganda tizimga kiradi, lekin uning oldida navbat bo'lmaydi va so'rov ma'lum vaqt davomida xizmat ko'rsatish boshlanishini kutadi (xizmat ko'rsatishning o'rtacha vaqti). so'rov). Murojaat ko‘rib chiqilgunga qadar navbatda boshqa ariza bo‘lishi ehtimoli bor va o‘rtacha kutish vaqti ga teng bo‘ladi va hokazo.
Agar k=m+1 bo'lsa, ya'ni. yangi kelgan so'rov xizmat kanalini band deb topsa va navbatda m-so'rovlar paydo bo'lganda (buning ehtimolligi), bu holda so'rov navbatda turmaydi (va xizmat ko'rsatilmaydi), shuning uchun kutish vaqti nolga teng. O'rtacha kutish vaqti:
bu yerda ehtimollar (8) o‘rniga iboralarni qo‘ysak, quyidagilarga erishamiz:
(14).
Bu erda (11), (12) (geometrik progressiyaning hosilasi), shuningdek (8) dan munosabatlardan foydalanamiz. Ushbu iborani (12) bilan taqqoslab shuni ta'kidlaymizki, boshqa so'z bilan aytganda, o'rtacha kutish vaqti navbatdagi ilovalarning o'rtacha sonining ilovalar oqimining intensivligiga bo'linganiga teng.
(15).
Ilovaning tizimda qolishining o'rtacha vaqti. Tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishini so'rov QSda qolish vaqti deb belgilaymiz, bu navbatdagi o'rtacha kutish vaqti va o'rtacha xizmat vaqti yig'indisidir. Agar tizim yuki 100% bo'lsa, aks holda:
.
Misol 1. Yoqilg'i quyish shoxobchasi (yoqilg'i quyish shoxobchasi) bitta xizmat ko'rsatish kanali (bir nasos) bo'lgan xizmat ko'rsatish stantsiyasidir.
Stansiyadagi maydon bir vaqtning o'zida yonilg'i quyish uchun uchtadan ko'p bo'lmagan mashinaga (m = 3) turishga imkon beradi. Navbatda allaqachon uchta mashina bo'lsa, stantsiyaga kelgan keyingi mashina navbatga qo'shilmaydi. Yoqilg'i quyish uchun kelgan avtomobillar oqimi intensivlikka ega = 1 (daqiqada avtomobil). Yoqilg'i quyish jarayoni o'rtacha 1,25 daqiqa davom etadi.
Belgilang:
muvaffaqiyatsizlik ehtimoli;
yoqilg'i quyish shoxobchalarining nisbiy va mutlaq quvvati;
yonilg'i quyish uchun kutayotgan avtomobillarning o'rtacha soni;
yoqilg'i quyish shoxobchasidagi avtomobillarning o'rtacha soni (shu jumladan, xizmat ko'rsatilayotganlar);
navbatda turgan avtomobil uchun o'rtacha kutish vaqti;
avtomobil yoqilg'i quyish shoxobchasida (shu jumladan xizmat ko'rsatish) o'rtacha vaqt sarflaydi.
Boshqacha qilib aytganda, o'rtacha kutish vaqti navbatdagi ilovalarning o'rtacha sonining arizalar oqimining intensivligiga bo'linganiga teng.
Ilovalar oqimining qisqargan intensivligini birinchi navbatda topamiz: =1/1,25=0,8; =1/0,8=1,25.
Formulalar bo'yicha (8):
Muvaffaqiyatsizlik ehtimoli 0,297.
QSning nisbiy quvvati: q=1-=0,703.
QS ning mutlaq o'tkazuvchanligi: A==daqiqada 0,703 avtomobil.
Biz (12) formuladan foydalanib, navbatda turgan mashinalarning o'rtacha sonini topamiz:
bular. Yoqilg‘i quyish shoxobchasini to‘ldirish uchun navbatda turgan avtomobillarning o‘rtacha soni 1,56 tani tashkil qiladi.
Ushbu qiymatga xizmat ko'rsatilayotgan transport vositalarining o'rtacha sonini qo'shish:
biz yoqilg'i quyish shoxobchasi bilan bog'liq avtomobillarning o'rtacha sonini olamiz.
Formula (15) bo'yicha navbatda turgan avtomobilning o'rtacha kutish vaqti:
Ushbu qiymatga qo'shilsa, biz avtomobilning yoqilg'i quyish shoxobchasida o'tkazadigan o'rtacha vaqtini olamiz:
Cheksiz kutish bilan tizimlar. Bunday sistemalarda m ning qiymati cheklanmagan va shuning uchun avval olingan (5), (6) ifodalarda chegaraga o'tish orqali asosiy xarakteristikalar olinishi mumkin.
E'tibor bering, oxirgi formuladagi (6) maxraj geometrik progressiyaning cheksiz sonli hadlarining yig'indisidir. Progressiya cheksiz kamayib borayotganida bu summa yaqinlashadi, ya'ni. da<1.
Buni isbotlash mumkin<1 есть условие, при котором в СМО с ожиданием существует предельный установившийся режим, иначе такого режима не существует, и очередь при будет неограниченно возрастать. Поэтому в дальнейшем здесь предполагается, что <1.
Agar (8) munosabatlar quyidagi shaklni oladi:
(16).
Agar navbat uzunligi bo'yicha hech qanday cheklovlar bo'lmasa, tizimga kirgan har bir ilovaga xizmat ko'rsatiladi, shuning uchun q=1, 
.
Biz navbatdagi arizalarning o'rtacha sonini (12) dan olamiz:
(13) formula bo'yicha tizimdagi ilovalarning o'rtacha soni:
.
O'rtacha kutish vaqti formuladan (14) olinadi:
.
Nihoyat, ilova QSda qoladigan o'rtacha vaqt:
Cheklangan navbat uzunligiga ega tizim. Keling, so'rovlar oqimini intensivlik bilan qabul qiladigan kutish bilan QS kanalini ko'rib chiqaylik; xizmat ko'rsatish intensivligi (bitta kanal uchun); navbatdagi joylar soni.
Tizim holatlari tizim bilan bog'liq so'rovlar soniga qarab raqamlangan:
navbat yo'q:
Barcha kanallar bepul;
Bir kanal band, qolganlari bepul;
-kanallar band, qolganlari esa yo'q;
Barcha kanallar band, bepul kanallar yo'q;
navbat bor:
Barcha n-kanallar band; bitta ariza navbatda turibdi;
Navbatdagi barcha n-kanallar, r-so'rovlar band;
Navbatdagi barcha n-kanallar, r-so'rovlar band.
GSP rasmda ko'rsatilgan. 17. Har bir strelka hodisa oqimlarining tegishli intensivliklari bilan belgilanadi. Chapdan o'ngga o'qlar bo'ylab tizim har doim bir xil so'rovlar oqimi bilan intensivlik bilan uzatiladi.
Guruch. 17. Kutish bilan ko'p kanalli QS
Grafik ko'payish va o'lim jarayonlari uchun odatiy bo'lib, ular uchun eritma ilgari olingan. Belgilanishdan foydalanib holatlarning cheklovchi ehtimolliklari ifodalarini yozamiz: (bu yerda maxrajli geometrik progressiya yig‘indisi ifodasidan foydalanamiz).
Shunday qilib, barcha davlat ehtimolliklari topildi.
Keling, tizimning ishlash xususiyatlarini aniqlaylik.
Muvaffaqiyatsizlik ehtimoli. Agar navbatdagi barcha n-kanallar va barcha m-oʻrinlar band boʻlsa, kiruvchi soʻrov rad etiladi:
(18)
Nisbiy o'tkazish qobiliyati muvaffaqiyatsizlik ehtimolini bittaga to'ldiradi:
QS ning mutlaq o'tkazuvchanligi:
(19)
Band bo'lgan kanallarning o'rtacha soni. Rad etilgan QS uchun u tizimdagi o'rtacha ilovalar soniga to'g'ri keldi. Navbatga ega QS uchun band bo'lgan kanallarning o'rtacha soni tizimdagi ilovalarning o'rtacha soniga to'g'ri kelmaydi: oxirgi qiymat birinchisidan navbatdagi ilovalarning o'rtacha soni bilan farq qiladi.
Ishg'ol qilingan kanallarning o'rtacha sonini bilan belgilaymiz. Har bir band kanal vaqt birligi uchun o'rtacha A da'volariga xizmat qiladi va umuman QS vaqt birligi uchun o'rtacha A da'volariga xizmat qiladi. Bir-biriga bo'linib, biz quyidagilarni olamiz:
Navbatdagi so'rovlarning o'rtacha sonini to'g'ridan-to'g'ri diskret tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi sifatida hisoblash mumkin:
(20)
Bu erda yana (qavs ichidagi ifoda) geometrik progressiya yig'indisining hosilasi paydo bo'ladi (yuqoriga qarang (11), (12) - (14)), unga munosabatdan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:
Tizimdagi o'rtacha ilovalar soni:
Navbatdagi ariza uchun o'rtacha kutish vaqti. Keling, yangi kelgan so'rov tizimni topishi va xizmat ko'rsatishni qancha vaqt kutishi kerak bo'lgan holatda farq qiladigan bir qator vaziyatlarni ko'rib chiqaylik.
Agar so'rov barcha kanallarni band deb topmasa, u umuman kutishga majbur bo'lmaydi (matematik kutishdagi mos keladigan shartlar nolga teng). Agar so'rov barcha n-kanallar band bo'lgan va navbat bo'lmagan vaqtda kelsa, u o'rtacha vaqtga teng bo'lgan vaqtni kutishi kerak bo'ladi (chunki -kanallarning "bo'shatish oqimi" intensivlikka ega). Agar so'rovda barcha kanallar band bo'lsa va uning oldida bitta so'rov navbatda turgan bo'lsa, u o'rtacha vaqt oralig'ida (oldidagi har bir so'rov uchun) kutishi kerak bo'ladi va hokazo. Agar so'rov o'zini navbatda topsa - so'rovlar bo'lsa, u o'rtacha vaqtni kutishi kerak bo'ladi Agar yangi kelgan so'rov allaqachon navbatda m-so'rovlarni topsa, u umuman kutmaydi (lekin xizmat ko'rsatilmaydi). Ushbu qiymatlarning har birini mos keladigan ehtimollarga ko'paytirish orqali o'rtacha kutish vaqtini topamiz:
(21)
Kutish bilan bitta kanalli QS holatida bo'lgani kabi, biz ushbu ifoda o'rtacha navbat uzunligi (20) uchun ifodadan faqat omil bilan farq qilishini ta'kidlaymiz, ya'ni.
.
Tizimdagi so'rovning o'rtacha yashash vaqti, shuningdek, bitta kanalli QS uchun, o'rtacha kutish vaqtidan o'rtacha xizmat vaqtining nisbiy o'tkazuvchanlikka ko'paytirilishi bilan farqlanadi:
.
Cheksiz navbat uzunligiga ega tizimlar. Biz bir vaqtning o'zida m-so'rovdan ko'p bo'lmagan navbatda turishi mumkin bo'lgan kutish bilan QS kanalini ko'rib chiqdik.
Ilgari bo'lgani kabi, tizimlarni cheklovlarsiz tahlil qilishda, uchun olingan munosabatlarni hisobga olish kerak.
Formulalardan holatlar ehtimolini chegaraga (da) o'tish orqali olamiz. E'tibor bering, mos keladigan geometrik progressiyaning yig'indisi >1 da yaqinlashadi va ajraladi. Buni taxmin qilsak<1 и устремив в формулах величину m к бесконечности, получим выражения для предельных вероятностей состояний:
(22)
Muvaffaqiyatsizlik ehtimoli, nisbiy va mutlaq o'tkazish qobiliyati. Har bir so'rovga ertami-kechmi xizmat ko'rsatilishi sababli QS o'tkazish qobiliyatining xususiyatlari quyidagilardan iborat bo'ladi:
Navbatdagi arizalarning o'rtacha soni (20) dan olinadi:
,
va o'rtacha kutish vaqti (21):
.
Ishg'ol qilingan kanallarning o'rtacha soni, avvalgidek, mutlaq o'tkazuvchanlik orqali aniqlanadi:
.
QS bilan bog'liq ilovalarning o'rtacha soni navbatdagi ilovalarning o'rtacha soni va xizmat ko'rsatilayotgan ilovalarning o'rtacha soni (band bo'lgan kanallarning o'rtacha soni) sifatida aniqlanadi:
Misol 2. Ikki nasosli (n = 2) yoqilg'i quyish shoxobchasi =0,8 intensivlikdagi avtomobillar oqimiga xizmat qiladi (daqiqada avtomobil). Bir mashinaga o'rtacha xizmat ko'rsatish vaqti:
Hududda boshqa yoqilg'i quyish shoxobchasi yo'q, shuning uchun yoqilg'i quyish shoxobchasi oldidagi avtomobillar qatori deyarli cheksiz o'sishi mumkin. QS ning xususiyatlarini toping.
Chunki<1, очередь не растет безгранично и имеет смысл говорить о предельном стационарном режиме работы СМО. По формулам (22) находим вероятности состояний:
va hokazo.
QS A = = 0,8 ning mutlaq sig'imini xizmat intensivligi = 0,5 ga bo'lish orqali band bo'lgan kanallarning o'rtacha sonini topamiz:
Yoqilg'i quyish shoxobchasida navbat bo'lmasligi ehtimoli quyidagicha bo'ladi:
Navbatdagi avtomobillarning oʻrtacha soni:
Yoqilg'i quyish shoxobchalarida avtomashinalarning o'rtacha soni:
Navbatda oʻrtacha kutish vaqti:
Avtomobil yoqilg'i quyish shoxobchasida o'tkazadigan o'rtacha vaqt:
Cheklangan kutish vaqti bilan QS. Ilgari biz kutish tizimlarini faqat navbat uzunligi (navbatda bir vaqtning o'zida m-so'rovlar soni) bilan chegaralangan deb hisoblardik. Bunday QSda navbatda o'sgan dastur xizmat ko'rsatishni kutmaguncha uni tark etmaydi. Amalda, QS ning boshqa turlari mavjud bo'lib, unda dastur biroz vaqt kutgandan so'ng navbatdan chiqib ketishi mumkin ("sabrsiz" ilovalar deb ataladi).
Kutish vaqtining cheklanishi tasodifiy o‘zgaruvchi deb faraz qilib, ushbu turdagi QSni ko‘rib chiqaylik.
Faraz qilaylik, kutish bilan n-kanalli QS mavjud bo'lib, unda navbatdagi joylar soni cheklanmagan, ammo so'rovning navbatda turish vaqti o'rtacha qiymatga ega bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchidir, shuning uchun har bir so'rov navbat shiddat bilan Puasson "g'amxo'rlik oqimi" turiga bo'ysunadi:
Agar bu oqim Puasson bo'lsa, QSda sodir bo'ladigan jarayon Markovian bo'ladi. Buning uchun holat ehtimolini topamiz. Tizim holatlarining raqamlanishi tizimdagi ilovalar soni bilan bog'liq - xizmat ko'rsatilayotgan va navbatda turgan:
navbat yo'q:
Barcha kanallar bepul;
Bir kanal band;
Ikkita kanal band;
Barcha n-kanallar band;
navbat bor:
Barcha n-kanallar band, bitta so'rov navbatda;
Barcha n-kanallar band, r-so'rovlar navbatda va hokazo.
Tizimning holatlari va o'tishlari grafigi rasmda ko'rsatilgan. 23.
Guruch. 23. Cheklangan kutish vaqti bilan QS
Bu grafikni avvalgidek belgilaymiz; chapdan o'ngga olib boruvchi barcha o'qlar ilovalar oqimining intensivligini ko'rsatadi. Navbatsiz shtatlar uchun ulardan o'ngdan chapga olib boruvchi o'qlar, avvalgidek, barcha egallab olingan kanallarga xizmat ko'rsatadigan oqimning umumiy intensivligini ko'rsatadi. Navbatdagi shtatlarga kelsak, ulardan o'ngdan chapga olib boruvchi strelkalar barcha n-kanallarning xizmat ko'rsatish oqimining umumiy intensivligiga va navbatdan ketishlar oqimining mos keladigan intensivligiga ega bo'ladi. Agar navbatda r-ilovalar mavjud bo'lsa, u holda jo'nab ketish oqimining umumiy intensivligi ga teng bo'ladi.
Grafikdan ko'rinib turibdiki, ko'payish va o'lim naqshlari mavjud; Ushbu sxemadagi holatlarning cheklash ehtimoli uchun umumiy ifodalardan foydalangan holda (qisqartirilgan belgilardan foydalanib, biz yozamiz:
(24)
Oldin ko'rib chiqilgan "bemor" so'rovlari bilan QS bilan solishtirganda, kutish cheklangan QSning ba'zi xususiyatlarini ta'kidlaymiz.
Agar navbat uzunligi cheklanmagan bo'lsa va so'rovlar "sabrli" bo'lsa (navbatni tark etmang), u holda statsionar chegara rejimi faqat holatda mavjud bo'ladi (da, mos keladigan cheksiz geometrik progressiya ajralib chiqadi, bu jismoniy jihatdan cheksiz o'sishga mos keladi). navbatdagi).
Aksincha, "sabrsiz" so'rovlar ertami-kechmi navbatdan chiqadigan QSda, so'rovlar oqimining intensivligi pasayganidan qat'i nazar, har doim belgilangan xizmat ko'rsatish rejimiga erishiladi. Bu formula (24) maxrajidagi for qatori va ning har qanday ijobiy qiymatlari uchun yaqinlashishidan kelib chiqadi.
"Sabrsiz" so'rovlari bo'lgan QS uchun "muvaffaqiyatsizlik ehtimoli" tushunchasi mantiqqa to'g'ri kelmaydi - har bir so'rov navbatga tushadi, lekin xizmatni kutmasdan, muddatidan oldin ketishi mumkin.
Nisbiy o'tkazish qobiliyati, navbatdagi so'rovlarning o'rtacha soni. Bunday QS ning nisbiy quvvati q ni quyidagicha hisoblash mumkin. Shubhasiz, barcha murojaatlarga xizmat ko'rsatiladi, navbatdan muddatidan oldin chiqqanlar bundan mustasno. Navbatdan erta chiqadigan arizalarning o'rtacha sonini hisoblaylik. Buning uchun biz navbatdagi ilovalarning o'rtacha sonini hisoblaymiz:
Ushbu ilovalarning har biri intensivligi bilan "ketish oqimi" ga bo'ysunadi. Demak, navbatda turgan o‘rtacha -murojaatlar sonidan o‘rtacha hisobda -murojaatlar xizmat ko‘rsatishni kutmasdan chiqib ketadi, -vaqt birligiga va jami vaqt birligiga, o‘rtacha -murojaatlarga xizmat ko‘rsatiladi. QS ning nisbiy sig'imi quyidagicha bo'ladi:
Biz hali ham band bo'lgan kanallarning o'rtacha sonini A mutlaq tarmoqli kengligini quyidagiga bo'lish orqali olamiz:
(26)
Navbatdagi ilovalarning o'rtacha soni. Munosabatlar (26) cheksiz qatorni (25) yig'masdan navbatdagi ilovalarning o'rtacha sonini hisoblash imkonini beradi. (26) dan biz quyidagilarni olamiz:
va ushbu formulaga kiritilgan ishg'ol qilingan kanallarning o'rtacha sonini Z tasodifiy o'zgaruvchining matematik taxmini sifatida topish mumkin, ehtimollik bilan 0, 1, 2,..., n qiymatlarini oladi:
Xulosa qilib shuni ta'kidlaymizki, agar (24) formulalarda chegaraga chiqsak (yoki bir xil bo'lsa, da), unda formulalar (22) olinadi, ya'ni "sabrsiz" ilovalar "sabrli" bo'ladi.
Hozirgacha biz kiruvchi oqim hech qanday tarzda chiquvchi oqim bilan bog'liq bo'lmagan tizimlarni ko'rib chiqdik. Bunday tizimlar ochiq tsikl deb ataladi. Ba'zi hollarda xizmat ko'rsatilgan so'rovlar kechikishdan keyin kirishda yana qabul qilinadi. Bunday QSlar yopiq deb ataladi. Berilgan hududga xizmat ko'rsatadigan klinika, mashinalar guruhiga biriktirilgan ishchilar jamoasi yopiq tizimlarga misol bo'la oladi.
Yopiq QSda bir xil cheklangan miqdordagi potentsial talablar aylanadi. Potentsial talab xizmat so'rovi sifatida amalga oshirilgunga qadar u kechikish blokida hisoblanadi. Amalga oshirish vaqtida u tizimga o'zi kiradi. Masalan, ishchilar bir guruh mashinalarga xizmat ko'rsatadilar. Har bir mashina potentsial talab bo'lib, u buzilgan paytda haqiqiyga aylanadi. Mashina ishlayotganda, u kechikish blokida va buzilgan paytdan boshlab ta'mirlash tugaguniga qadar tizimning o'zida bo'ladi. Har bir ishchi xizmat ko'rsatish kanalidir.
Mayli n- xizmat ko'rsatish kanallari soni; s- potentsial ilovalar soni, n <s , - har bir potentsial talab uchun ilovalar oqimining intensivligi, m - xizmat ko'rsatish intensivligi:
Tizimning ishlamay qolish ehtimoli formula bilan aniqlanadi
R
0
= 
.
Tizim holatlarining yakuniy ehtimoli:
Pk= da k
Ishg'ol qilingan kanallarning o'rtacha soni ushbu ehtimollar orqali ifodalanadi
=P 1 + 2P 2 +…+n(P n +P n+ 1 +…+P s) yoki
=P 1 + 2P 2 +…+(n- 1)Pn- 1 +n( 1-P 0 -P 1 -...-P n-1 ).
Buning yordamida biz tizimning mutlaq o'tkazuvchanligini topamiz:
shuningdek, tizimdagi ilovalarning o'rtacha soni
M=s- =s-.
1-misol. Muvaffaqiyatsiz uch kanalli QS ni kiritish intensivlikdagi so'rovlar oqimini oladi. =daqiqada 4 ta soʻrov, bitta kanal boʻyicha soʻrovga xizmat koʻrsatish vaqti t obs =1/m =0,5 min. QS sig'imi nuqtai nazaridan, barcha uchta kanalni bir vaqtning o'zida xizmat ko'rsatish so'rovlariga majburlash foydalimi va o'rtacha xizmat ko'rsatish muddati uch baravarga qisqaradi? Bu arizaning CMOda o'tkazadigan o'rtacha vaqtiga qanday ta'sir qiladi?
Yechim. Formuladan foydalanib, uch kanalli QS ning ishlamay qolish ehtimolini topamiz
ρ = /m =4/2=2, n=3,
P 0 = = = 0,158.
Muvaffaqiyatsizlik ehtimoli quyidagi formula bilan aniqlanadi:
P ochiq = P n ==
P ochiq = 0,21.
Nisbiy tizim o'tkazuvchanligi:
R obsl = 1-R ochiq 1-0,21=0,79.
Mutlaq tizim o'tkazuvchanligi:
A= P obsl 3,16.
Ishg'ol qilingan kanallarning o'rtacha soni quyidagi formula bo'yicha aniqlanadi:
1.58, xizmat ko'rsatish bilan band bo'lgan kanallar ulushi,
q = 0,53.
Ilovaning QSda qolishi o‘rtacha vaqti, arizani xizmatga qabul qilish ehtimoli sifatida, o‘rtacha xizmat vaqtiga ko‘paytiriladi: t SMO 0,395 min.
Barcha uchta kanalni bitta kanalga birlashtirib, biz parametrlarga ega bitta kanalli tizimni olamiz μ= 6, ρ= 2/3. Bir kanalli tizim uchun ishlamay qolish ehtimoli:
R 0 = = =0,6,
muvaffaqiyatsizlik ehtimoli:
P ochiq =r P 0 = = 0,4,
nisbiy o'tkazish qobiliyati:
R obsl = 1-R ochiq =0,6,
mutlaq o'tkazish qobiliyati:
A=P obs =2.4.
t SMO =P obsl= =0,1 min.
Kanallarni bittaga birlashtirish natijasida tizimning o'tkazuvchanligi pasaydi, chunki ishlamay qolish ehtimoli oshgan. Ilovaning tizimda o'tkazadigan o'rtacha vaqti kamaydi.
2-misol. Cheksiz navbatga ega uch kanalli QS ni kiritish intensivlikdagi so'rovlar oqimini oladi. =soatiga 4 ta ilova, bitta ilovaga xizmat koʻrsatish uchun oʻrtacha vaqt t=1/m=0,5 h.Tizimning ishlash ko'rsatkichlarini toping.
Ko'rib chiqilayotgan tizim uchun n =3, =4, m=1/0,5=2, r= /m=2, r/ n =2/3<1. Определяем вероятность простоя по формуле:
P= 
.
P
0
= 
=1/9.
Navbatdagi ilovalarning o'rtacha sonini quyidagi formuladan foydalanib topamiz:
L
=
.
L = = .
Navbatdagi ariza uchun o'rtacha kutish vaqtini formuladan foydalanib hisoblaymiz:
t= = 0,22 soat.
Ilovaning tizimda qolishi oʻrtacha vaqti:
T=t+ 0,22+0,5=0,72.
3-misol. Sartaroshxonada 3 ta sartarosh ishlaydi, kutish zalida 3 ta stul bor. Mijozlar oqimi intensivlikka ega =soatiga 12 mijoz. O'rtacha xizmat muddati t obsl =20 min. Tizimning nisbiy va mutlaq o'tkazuvchanligini, ishg'ol qilingan o'rindiqlarning o'rtacha sonini, navbatning o'rtacha uzunligini, mijozning sartaroshxonada o'tkazadigan o'rtacha vaqtini aniqlang.
Bu vazifa uchun n =3, m =3, =12, μ =3, ρ =4, r/n=4/3. Ishlamay qolish ehtimoli quyidagi formula bilan aniqlanadi:
R
0
=
.
P
0
= 
0,012.
Xizmatni rad etish ehtimoli formula bilan aniqlanadi
P ochiq =P n+m = .
P ochiq =P n + m 0,307.
Nisbiy tizim sig'imi, ya'ni. xizmat ko'rsatish ehtimoli:
P obsl =1-P ochiq 1-0,307=0,693.
Mutlaq o'tkazuvchanlik:
A= P obsl 12 .
Band bo'lgan kanallarning o'rtacha soni:
.
Navbatning o'rtacha uzunligi quyidagi formula bo'yicha aniqlanadi:
L
=
L= 
1,56.
Navbatda xizmat koʻrsatish uchun oʻrtacha kutish vaqti:
t= h.
CMOga murojaatlarning oʻrtacha soni:
M=L + .
Ilovaning CMOda qolishining o'rtacha vaqti:
T=M/ 0,36 soat
4-misol. Bir ishchi 4 ta mashinani boshqaradi. Har bir mashina intensivlik bilan ishlamay qoladi =soatiga 0,5 nosozlik, o'rtacha ta'mirlash vaqti t rem=1/m=0,8 h.Tizimning o'tkazuvchanligini aniqlang.
Bu muammo yopiq QSni ko'rib chiqadi, μ =1,25, r=0,5/1,25=0,4. Ishchining ishlamay qolish ehtimoli quyidagi formula bilan aniqlanadi:
R
0
=
.
P
0
= 
.
Xodimning ishga joylashish ehtimoli R zan = 1-P 0 . A=( 1-P 0 )μ = soatiga 0,85 mikron mashinalar.
Vazifa:
Ikki ishchi to'rtta mashinadan iborat guruhni boshqaradi. Ishlaydigan mashinaning to'xtashlari o'rtacha 30 daqiqadan so'ng sodir bo'ladi. O'rnatish vaqti o'rtacha 15 minut. Ishlash va sozlash vaqti eksponensial qonunga muvofiq taqsimlanadi.
Har bir ishchi uchun bo'sh vaqtning o'rtacha ulushini va mashinaning o'rtacha ish vaqtini toping.
Quyidagi tizim uchun bir xil xususiyatlarni toping:
a) har bir ishchiga ikkita mashina ajratiladi;
b) ikkita ishchi har doim mashinaga birgalikda va ikki barobar intensivlik bilan xizmat qiladi;
c) yagona nosoz mashinaga bir vaqtning o'zida ikkala ishchi ham xizmat ko'rsatadi (ikki marta intensivlik bilan) va kamida bitta nosoz mashina paydo bo'lganda, ular alohida ishlay boshlaydilar, har biri bitta mashinaga xizmat qiladi (avval tizimni ishlab chiqarish jarayonlari nuqtai nazaridan tavsiflang). o'lim va tug'ilish).
Yechim:
S tizimining quyidagi holatlari mumkin:
S 0 - barcha mashinalar ishlaydi;
S 1 – 1 dastgoh ta’mirlanmoqda, qolganlari yaxshi holatda;
S 2 – 2 dastgoh ta’mirlanmoqda, qolganlari ishlamoqda;
S 3 – 3 dastgoh ta’mirlanmoqda, qolganlari yaroqli holatda;
S 4 – 4 dastgoh ta’mirlanmoqda, qolganlari yaxshi holatda;
S 5 – (1, 2) dastgohlar ta’mirlanmoqda, qolganlari yaxshi holatda;
S 6 – (1, 3) dastgohlar ta’mirlanmoqda, qolganlari ish holatida;
S 7 – (1, 4) dastgohlar ta’mirlanmoqda, qolganlari yaxshi holatda;
S 8 – (2, 3) dastgohlar ta’mirlanmoqda, qolganlari yaxshi holatda;
S 9 – (2, 4) dastgohlar ta’mirlanmoqda, qolganlari yaxshi holatda;
S 10 – (3, 4) dastgohlar ta’mirlanmoqda, qolganlari yaxshi holatda;
S 11 – (1, 2, 3) dastgohlar ta’mirlanmoqda, 4 ta mashina ishlamoqda;
S 12 – (1, 2, 4) dastgohlar ta’mirlanmoqda, 3 ta mashina ishlayapti;
S 13 – (1, 3, 4) dastgohlar ta’mirlanmoqda, 2-mashina ishlayapti;
S 14 – (2, 3, 4) dastgohlar ta’mirlanmoqda, 1 ta mashina ishlamoqda;
S 15 - barcha mashinalar ta'mirlanadi.
Tizim holati grafigi...
Ushbu S tizimi yopiq tizimga misol bo'ladi, chunki har bir mashina potentsial talab bo'lib, uning buzilishi paytida haqiqiyga aylanadi. Mashina ishlayotganda, u kechikish blokida va buzilgan paytdan boshlab ta'mirlash tugaguniga qadar tizimning o'zida bo'ladi. Har bir ishchi xizmat ko'rsatish kanalidir.
Agar ishchi band bo'lsa, u vaqt birligi uchun m-mashinalarni o'rnatadi, tizim quvvati:
Javob:
Har bir ishchi uchun bo'sh vaqtning o'rtacha ulushi ≈ 0,09 ni tashkil qiladi.
Mashinaning o'rtacha ish vaqti ≈ 3,64.
a) Har bir ishchiga ikkita mashina ajratiladi.
Ishchining ishlamay qolish ehtimoli quyidagi formula bilan aniqlanadi:
Xodimning ishga joylashish ehtimoli:
Agar ishchi band bo'lsa, u vaqt birligi uchun m-mashinalarni o'rnatadi, tizim quvvati:
Javob:
Har bir ishchi uchun bo'sh vaqtning o'rtacha ulushi ≈ 0,62 ni tashkil qiladi.
Mashinaning o'rtacha ish vaqti ≈ 1,52.
b) Ikki ishchi har doim mashinaga birgalikda va ikki barobar intensivlik bilan xizmat qiladi.
c) Yagona nosoz mashinaga bir vaqtning o'zida ikkala ishchi xizmat ko'rsatadi (ikki marta intensivlik bilan) va kamida bitta nosoz mashina paydo bo'lganda, ular alohida ishlay boshlaydilar, har biri bitta mashinaga xizmat ko'rsatadi (avval tizimni ishlab chiqarish jarayonlari nuqtai nazaridan tavsiflang). o'lim va tug'ilish).
5 ta javobni taqqoslash:
Mashinalarda ishchilarni tashkil qilishning eng samarali usuli vazifaning dastlabki versiyasi bo'ladi.
Eng oddiy navbat tizimlariga (QS) misollar yuqorida muhokama qilingan. "Protozoa" atamasi "elementar" degani emas. Ushbu tizimlarning matematik modellari qo'llaniladi va amaliy hisob-kitoblarda muvaffaqiyatli qo'llaniladi.
Navbat tizimlarida qarorlar nazariyasini qo'llash imkoniyati quyidagi omillar bilan belgilanadi:
1. Tizimdagi ilovalar soni (bu QS deb hisoblanadi) juda katta (massiv) bo'lishi kerak.
2. QS kiritishda olingan barcha ilovalar bir xil turdagi bo'lishi kerak.
3. Formulalar yordamida hisoblash uchun arizalarni qabul qilish va ularni qayta ishlash intensivligini belgilovchi qonunlarni bilish kerak. Bundan tashqari, buyurtma oqimlari Puasson bo'lishi kerak.
4. QSning tuzilishi, ya'ni. kiruvchi talablar to'plami va arizani ko'rib chiqish ketma-ketligi qat'iy belgilanishi kerak.
5. Ob'ektlarni tizimdan chiqarib tashlash yoki ularni doimiy ishlov berish intensivligi bilan talablar sifatida tavsiflash kerak.
Yuqorida sanab o'tilgan cheklovlarga yana bittasini qo'shishimiz mumkin, bu matematik modelning o'lchami va murakkabligiga kuchli ta'sir qiladi.
6. Amaldagi ustuvorliklar soni minimal bo'lishi kerak. Ilovalarning ustuvorliklari doimiy bo'lishi kerak, ya'ni. ular QS ichida ishlov berish jarayonida o'zgartira olmaydi.
Ish jarayonida asosiy maqsadga erishildi - o'quv fanining o'qituvchisi tomonidan qo'yilgan "Cheklangan kutish vaqti bilan QS" va "Yopiq QS" ning asosiy materiali o'rganildi. Olingan bilimlarni amaliyotda qo'llash bilan ham tanishdik, ya'ni. yoritilgan materialni birlashtirdi.
1) http://www.5ballov.ru.
2) http://www.studentport.ru.
3) http://vse5ki.ru.
4) http://inqilob..
5) Fomin G.P. Tijorat faoliyatida matematik usullar va modellar. M: Moliya va statistika, 2001 yil.
6) Gmurman V.E. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika. M: Oliy maktab, 2001 yil.
7) Sovetov B.A., Yakovlev S.A. Tizimlarni modellashtirish. M: Oliy maktab, 1985 yil.
8) Lifshits A.L. QSni statistik modellashtirish. M., 1978 yil.
9) Ventzel E.S. Operatsion tadqiqotlar. M: Nauka, 1980 yil.
10) Ventzel E.S., Ovcharov L.A. Ehtimollar nazariyasi va uning muhandislik ilovalari. M: Nauka, 1988 yil.
QS jarayoni tasodifiy jarayondir. Tasodifiy (ehtimolli yoki stokastik) jarayon deganda, ehtimollik qonunlariga muvofiq vaqt o'tishi bilan tizim holatini o'zgartirish jarayoni tushuniladi.
Jarayon diskret holatlarga ega jarayon deb ataladi, agar uning S1, S2, S3... mumkin bo'lgan holatlarini oldindan sanab o'tish mumkin bo'lsa va tizimning holatdan holatga o'tishlari bir zumda (sakrash) sodir bo'ladi. Agar tizimning holatdan holatga o'tishning mumkin bo'lgan momentlari oldindan belgilanmagan, balki tasodifiy bo'lsa, jarayon uzluksiz vaqtli jarayon deb ataladi.
QS operatsiya jarayoni diskret holatlar va uzluksiz vaqtga ega tasodifiy jarayondir.
Tasodifiy jarayon Markov yoki oqibatlarsiz tasodifiy jarayon deyiladi, agar t0 vaqtning har qanday momenti uchun kelajakdagi jarayonning ehtimollik xususiyatlari faqat ma'lum bir t0 momentidagi holatiga bog'liq bo'lsa va tizim qachon va qanday bo'lishiga bog'liq bo'lmasa. bu holatga keldi.
Markov jarayoniga misol: S tizimi taksi hisoblagichidir. Tizimning t momentidagi holati avtomobilning shu paytgacha bosib o'tgan kilometrlari soni bilan tavsiflanadi. Hisoblagich t0 vaqtida S0 ni ko'rsatsin. Hozirgi vaqtda t>t0 hisoblagichning u yoki bu kilometr sonini ko'rsatishi ehtimoli (aniqrog'i, rublning mos keladigan soni) S1 S0 ga bog'liq, ammo hisoblagich ko'rsatkichlari vaqtning qaysi nuqtalarida o'zgarganiga bog'liq emas. moment t0.
Ba'zi hollarda ko'rib chiqilayotgan jarayonlarning tarixdan oldingi tarixini shunchaki e'tiborsiz qoldirish va ularni o'rganish uchun Markov modellaridan foydalanish mumkin.
Diskret holatlarga ega tasodifiy jarayonlarni tahlil qilishda geometrik sxemadan - holat grafigi deb ataladigan narsadan foydalanish qulay. Odatda, tizim holatlari to'rtburchaklar (doiralar) bilan tasvirlangan va holatdan holatga mumkin bo'lgan o'tish holatlarni bog'laydigan o'qlar (yo'naltirilgan yoylar) bilan tasvirlangan (1-rasm).
1-rasm - Davlat grafigi
QSda uzluksiz vaqt va diskret holatlarga ega Markov tasodifiy jarayonini matematik tavsiflash uchun biz ehtimollar nazariyasining muhim tushunchalaridan biri - hodisalar oqimi tushunchasi bilan tanishamiz.
Hodisalar oqimi deganda vaqtning tasodifiy daqiqalarida birin-ketin ketayotgan bir hil hodisalar ketma-ketligi tushuniladi.
Misollar bo'lishi mumkin:
- - telefon stantsiyasida qo'ng'iroqlar oqimi;
- - maishiy elektr tarmog'idagi qurilmalarni yoqish oqimi;
- - temir yo'l stantsiyasiga kelgan yuk poezdlari oqimi:
- - kompyuterning ishlamay qolishi (nosozliklar) oqimi;
- - nishonga qaratilgan otishmalar oqimi.
Oqim intensivligi bilan tavsiflanadi n - hodisalarning paydo bo'lish chastotasi yoki vaqt birligida QSga kiradigan hodisalarning o'rtacha soni.
Agar hodisalar ma'lum vaqt oralig'ida bir-birini kuzatib tursa, hodisalar oqimi muntazam deyiladi. Bunday oqim amalda nisbatan kam uchraydi, lekin ekstremal holat sifatida ma'lum qiziqish uyg'otadi.
Hodisalar oqimi statsionar deyiladi, agar uning ehtimollik xususiyatlari vaqtga bog'liq bo'lmasa. Xususan, statsionar oqimning intensivligi doimiy qiymatdir: .
Hodisalar oqimi oqibatsiz oqim deyiladi, agar vaqt va _ ning bir-biriga to'g'ri kelmaydigan har qanday ikkita kesimi uchun ulardan biriga tushadigan hodisalar soni boshqalarga tushadigan hodisalar soniga bog'liq bo'lmasa. Misol uchun, metroga kiruvchi yo'lovchilar oqimi deyarli ta'sir qilmaydi. Va aytaylik, hisoblagichni xarid qilish bilan tark etgan mijozlar oqimi allaqachon oqibatlarga olib keladi (agar individual mijozlar o'rtasidagi vaqt oralig'i ularning har biri uchun xizmat ko'rsatishning minimal vaqtidan kam bo'lmasa).
Ikki yoki undan ortiq hodisalarning kichik (elementar) vaqt oralig'ida sodir bo'lish ehtimoli bitta hodisaning yuzaga kelish ehtimoli bilan solishtirganda ahamiyatsiz bo'lsa, hodisalar oqimi oddiy deb ataladi. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, hodisalar oqimi oddiy bo'ladi, agar voqealar unda guruh bo'lib emas, balki yakka holda paydo bo'lsa.
Hodisalar oqimi eng oddiy (yoki statsionar Puasson) deyiladi, agar u ham statsionar, ham oddiy va oqibatsiz bo'lsa.
Chegara sifatida eng oddiy oqim tasodifiy jarayonlar nazariyasida paydo bo'ladi, chunki ehtimollik nazariyasida normal taqsimot etarlicha katta miqdordagi mustaqil, statsionar va oddiy oqimlarning (bir-biri bilan taqqoslanadigan) superpozitsiyasi (superpozitsiyasi) orqali olinadi. intensivlik), natijada l intensivlikdagi eng oddiyga yaqin oqim, kiruvchi oqimlarning intensivligi yig'indisiga teng:
Vaqt o'qi bo'yicha hodisalarning eng oddiy oqimini tasodifiy nuqtalarning cheksiz ketma-ketligi sifatida ko'rib chiqaylik. (2-rasm)
2-rasm - Hodisalar oqimi
Ko'rsatish mumkinki, eng oddiy oqim uchun ixtiyoriy vaqt segmentiga tushadigan m hodisalar (nuqtalar) soni Puasson qonuni bo'yicha taqsimlanadi.
buning uchun tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi uning dispersiyasiga teng:
Xususan, ph (m = 0) vaqt ichida hech qanday hodisa sodir bo'lmasligi ehtimoli teng
Eng oddiy oqimning ixtiyoriy ikkita qo'shni hodisasi orasidagi T vaqt oralig'ining taqsimlanishi topilsin.
Formulaga ko'ra, t vaqt oralig'ida keyingi hodisalarning hech biri sodir bo'lmasligi ehtimoli tengdir.
va qarama-qarshi hodisaning ehtimoli, ya'ni. tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi T, bo'ladi
Tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik zichligi uning taqsimot funktsiyasining hosilasidir:
Ehtimollar zichligi yoki taqsimot funktsiyasi tomonidan berilgan taqsimot eksponensial (yoki eksponensial) deb ataladi. Shunday qilib, ikkita qo'shni ixtiyoriy hodisalar orasidagi vaqt oralig'i eksponensial taqsimotga ega, buning uchun matematik kutish tasodifiy o'zgaruvchining standart og'ishiga teng.
va aksincha l oqimining intensivligiga ko'ra.
Eksponensial taqsimotning eng muhim xususiyati (faqat eksponensial taqsimotga xos) quyidagilardan iborat: agar eksponensial qonun bo'yicha taqsimlangan vaqt davri allaqachon ma'lum vaqt ph davom etgan bo'lsa, u holda bu taqsimot qonuniga hech qanday ta'sir qilmaydi. oraliqning qolgan qismining (T-ph): u bir xil bo'ladi , shuningdek, butun T oralig'ining taqsimlanish qonuni.
Boshqacha qilib aytganda, ko'rsatkichli taqsimotga ega bo'lgan oqimning ketma-ket ikkita qo'shni hodisasi orasidagi T vaqt oralig'ida bu interval qancha davom etganligi haqidagi har qanday ma'lumot qolgan qismning taqsimot qonuniga ta'sir qilmaydi.
Intensivligi l bo'lgan eng oddiy oqim uchun elementar (kichik) vaqt oralig'ida kamida bitta oqim hodisasining sodir bo'lish ehtimoli?t ga teng.
O'quv savollari:
Markov jarayonlarining asosiy tushunchalari.
Voqea oqimlari.
Poisson oqimi.
Diskret Markov zanjirlari.
Ergodik va yutuvchi zanjirlar.
Uzluksiz Markov zanjirlari.
Markov jarayonlarini qo'llash.
Markov tasodifiy jarayonlar nazariyasi.
Ehtimollar nazariyasi juda qiziqarli tarixga ega. Ilm-fanning ildizlari uzoq asrlarga borib taqaladi, eng qadimgi davlatlar - Xitoy, Hindiston, Misr, Gretsiyada ehtimollik nazariyasining ba'zi elementlari aholini ro'yxatga olish va hatto dushman qo'shinlari sonini aniqlash uchun ishlatilgan.
Nazariyaning asoschisi matematik, fizik va faylasuf B. Paskal hisoblanadi. U dastlab frantsuz saroyining saroy a'zolaridan biri - ajoyib jentlmen, faylasuf, san'atshunos va qimorboz Chevalier de Mer tomonidan berilgan savollar ta'sirida ehtimollar nazariyasi bilan shug'ullangan. Ammo o'yin ham chuqur fikr yuritish uchun sabab bo'ldi. De Mer B. Paskalga ikkita mashhur savol berdi:
1. Ikkita zarning birdaniga necha marta tushishi umumiy otishlar sonining yarmidan ko‘p bo‘lishi uchun ikki zarni necha marta tashlash kerak?
2. Agar biron sababga ko'ra o'yinni muddatidan oldin to'xtatgan bo'lsa, pul tikishni ikki o'yinchiga qanday qilib adolatli taqsimlash mumkin?
Ushbu muammolar "matematik kutish" tushunchasining dastlabki kiritilishi va ehtimollarni qo'shish va ko'paytirishning asosiy teoremalarini shakllantirish uchun sabab bo'ldi. Tez orada amaliy ilovalar aniqlandi: sug'urta, demografiya va boshqalar.
Jeykob Bernulli katta sonlar qonunini kashf etdi, bu esa har qanday tasodifiy hodisaning ehtimolligi bilan bevosita tajribadan kuzatilgan uning sodir bo'lish chastotasi o'rtasidagi bog'liqlikni o'rnatish imkonini berdi.
Ehtimollar nazariyasining rivojlanishidagi keyingi yutuqlar P. Laplas, C. Gauss, S. Puasson va boshqalar bilan bog'liq.
Rossiyada matematik V.Ya. Bunyakovskiy 19-asr boshlarida. ehtimollar nazariyasi bo‘yicha birinchi darslikni yozdi va uning terminologiyasini zamonaviy shaklda ishlab chiqdi. P.A. Chebyshev, A.A. Markov va A.M. Lyapunov "tasodifiy o'zgaruvchi" tushunchasini kiritdi, uning yordamida ehtimollik nazariyasining yangi tarmog'i - tasodifiy jarayonlar nazariyasi rivojlana boshladi.
Markov jarayonlarining asosiy tushunchalari
Turli tizimlarning ishlashi bir holatdan ikkinchisiga o'tish ketma-ketligidir. Agar tizimning holati vaqt o'tishi bilan tasodifiy o'zgarsa, u holda holatlar ketma-ketligini tasodifiy jarayon deb hisoblash mumkin.
Tizim deyiladi diskret davlat tizimi, agar uning holatlari to'plami chekli bo'lsa va bir holatdan ikkinchi holatga o'tish keskin amalga oshirilsa.
O'tish jarayoni deyiladi zanjir.
Markov zanjirining ta'rifi
Cheklangan songa ega bo'lgan ba'zi jismoniy tizimlar mavjud TO
barcha mumkin bo'lgan faza holatlari. Tasodifan aralashuviga qarab, tizim bosqichma-bosqich (vaqt lahzalarida t 0
mumkin bo'lgan holat bo'shliqlaridan biri bu erda.
m-bosqichda o'tish ehtimoli (shartli ehtimollik):
Shunday qilib, qo'shma ehtimolliklarni hisoblash uchun R(Q 0 , ..,Q n) tizimning dastlabki holatini o'rnatish va o'tish ehtimolini hisoblash imkonini beradigan holatlar o'zgarishining fizik mexanizmini ko'rsatish kerak.
1. Markov zanjirining maxsus (degenerativ) holati. Barcha holatlarning o'zgarishi mustaqil ravishda sodir bo'ladi, ya'ni m-bosqichdagi har qanday holatning ehtimolligi tizim oldingi vaqtlarda qanday holatda bo'lganiga bog'liq emas.
- mustaqil testlar ketma-ketligi.
2. Parametrning faza holatining ehtimolligi Qn bir vaqtning o'zida tn faqat tizimning oldingi nuqtada bo'lgan holatiga bog'liq tn-1, va tizimning oldingi paytlarda qanday holatda bo'lganiga bog'liq emas t 0 ,…,t n-2.
3. Markov tartib zanjiri, agar yangi holat ehtimoli faqat bog'liq bo'lsa m undan oldingi tizim holati:
Tizimning ma'lum bir holatda qolish vaqti diskret yoki doimiy bo'lishi mumkin. Bunga qarab diskret yoki uzluksiz vaqtga ega tizimlar farqlanadi.
Tasodifiy jarayonning eng oddiy ehtimollik xarakteristikasi holat ehtimollari to'plamidir P 1 (t), P 2 (t), ... P n (t), Qayerda P i (t)- tizimning holatga o'tish ehtimoli S i bir vaqtning o'zida t. Normalizatsiya holati P 1 +P 2 +...+P n =1.
Agar ish paytida tizim bir holatda bo'lsa S i, keyin uning davlatga o'tish ehtimoli Sj umuman olganda, bu nafaqat davlatga bog'liq S i, balki oldingi holatdan ham.
Tizimda sodir bo'ladigan tasodifiy jarayon deyiladi Markovskiy(keyin ta'siri bo'lmagan jarayon), agar biron bir vaqtda bo'lsa t 0 kelajakda tizim holatining ehtimoli (bilan t>t 0) faqat hozirgi holatga bog'liq (bilan t=t 0) va tizim qanday va qanday yo'l bilan bu holatga kelganiga bog'liq emas (ya'ni oldingi tarixga bog'liq emas).
Voqealar oqimlari
Tizimning ma'lum bir holatga o'tishi voqea.
Tizimning holatga o'tish ketma-ketligi S i o'zida aks ettiradi voqealar oqimi.
Voqealar oqimi deyiladi oddiy, undagi hodisa birma-bir sodir bo'lsa.
Vaqt intervallari t 1, t 2, ... t n oddiy oqim bir xil yoki har xil, diskret yoki uzluksiz, tasodifiy yoki tasodifiy bo'lmagan bo'lishi mumkin.
Vaqt oraliqlari bo'lsa t 1, t 2, ... t n ular tasodifiy bo'lmagan qiymatlar bo'lsa, u holda oqim muntazam yoki deterministik deb ataladi va bu oqim qiymatlarni ko'rsatish orqali tavsiflanadi. T 1 , T 2 , ... T n.
Agar T 1 , T 2 , ... T n tasodifiy bo'lsa, keyin oqim chaqiriladi tasodifiy va u miqdorlarni taqsimlash qonuni bilan tavsiflanadi T 1 ,T 2 ,... T n.
Amalda, ko'pincha tizimlar mavjud T i– uzluksiz tasodifiy miqdor. Bunday hollarda tizimni ehtimollik zichligi bilan tavsiflash mumkin f(t 1 , t 2 , ... t n), Qayerda t i- tasodifiy o'zgaruvchining o'ziga xos qiymati T i.
Oqim deyiladi statsionar, agar uning ehtimollik xususiyatlari vaqt o'tishi bilan o'zgarmasa, ya'ni. ma'lum miqdordagi hodisalarning yuzaga kelish ehtimoli m vaqt o'qining bir qismiga t¢+t faqat t segmentining uzunligiga bog'liq va vaqt o'qi bo'yicha segment tanlangan joyga bog'liq emas.
Hodisalar oqimining intensivligi (zichligi) (vaqt birligidagi hodisalarning o'rtacha soni) doimiydir.
Vaqt oralig'i bo'lsa t i bir xil tasodifiy miqdor bo'lsa, unda bunday oqim keyingi oqim deb ataladi va uning holati oldingi holatga ehtimoliy bog'liqlikda.
Agar tasodifiy o'zgaruvchilar t i mustaqil, keyin bunday oqim deyiladi cheklangan keyingi ta'sirga ega oqim va bu oqimning ehtimollik zichligi ehtimollik zichliklarining mahsulotiga teng:
f(t 1 ,t 2 , ...t n) = f 1 (t 1) f 2 (t 2) ... f n (t n)(6.5)
Cheklangan ta'sirga ega bo'lgan oqim o'z vaqtida statsionar va bir xil bo'lishi mumkin. Bunday holda, qo'shni hodisalar orasidagi barcha intervallar bir xil taqsimot qonuniga ega:
f i (t i) = f (t i)(6.6)
Ta'siri bo'lmagan oqim deyiladi tasodifiy oqim, agar har qanday bir-biriga mos kelmaydigan vaqt segmentlari uchun ulardan biriga tushadigan hodisalar soni boshqa segmentlarga qancha hodisa tushishiga bog'liq bo'lmasa.
Poisson oqimi
Tasodifiy hodisalar oqimi Puasson deb ataladi, agar mavzu voqealari soni m, har qanday hududga tushish t, Puasson qonuniga muvofiq taqsimlanadi
P m = e - a , (6.7)
Qayerda A- hududda joylashgan tadbirlarning o'rtacha soni t.
Agar hodisa zichligi bo'lsa, Puasson oqimi statsionar bo'ladi l doimiy bo'lsa, hodisalarning o'rtacha soni lt, aks holda oqim beqaror bo'ladi.
Turg'unlik, oddiylik xususiyatiga ega bo'lgan va keyingi ta'sirga ega bo'lmagan hodisalarning tasodifiy oqimi eng oddiy deb ataladi va statsionar Puasson oqimi.
Elangan oqimlar
Diskret ish vaqtiga ega bo'lgan tizimning o'tish jarayonini hodisalarning diskret oqimining ta'siri deb hisoblash mumkin, bu t 1, t 2, ..., t n hodisalarning P ehtimolligi bilan sodir bo'lishi bilan tavsiflanadi. i. Bunday oqimning taqsimlash funktsiyasi:
Voqealar oqimini saralash S 1, S 2, ... S n, ehtimollik bilan vaqtning ma'lum nuqtalarida sodir bo'ladigan p 1, p 2, ... p n, bu ehtimollarni , , ..., ga aylantirishni bildiradi. Agar oqim statsionar bo'lsa, unda bu ehtimollar teng bo'ladi: = =...=1-p.
Bunday holda, p - elakdan o'tish doimiysi bo'lib, u qandaydir beqarorlashtiruvchi omil ta'sirida aniqlanadi yoki tizim holatlari to'plamidan har qanday hodisalarni chiqarib tashlash bilan aniqlanadi.
Cheklangan ta'sirga ega oqimlarga Erlang oqimlari misol bo'la oladi. Ular eng oddiy oqimni muntazam elakdan o'tkazish yo'li bilan hosil bo'ladi, muntazam elakdan o'tkazish esa dastlabki oqimdagi bir nechta keyingi hodisalarni istisno qilishga olib keladigan protsedura sifatida tushuniladi. Agar har bir toq hodisa eng oddiy oqimda bartaraf etilsa, qolgan hodisalar ikkinchi tartibli Erlang oqimini hosil qiladi. Bunday oqimdagi qo'shni hodisalar orasidagi vaqt oralig'i mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisi va eksponensial qonun bo'yicha taqsimlanadi ( = + ).
Agar eng oddiy oqimda faqat har uchinchi hodisa saqlangan bo'lsa, biz uchinchi tartibdagi Erlang oqimini olamiz va hokazo. Umuman, Erlang oqimi k- haqida istisno tomonidan ishlab chiqarilgan eng oddiy oqim deyiladi (k- 1) hodisalar va saqlash k- voqea.
Diskret Markov zanjirlari
Diskret holatlar va diskret ish vaqti bilan Markov tasodifiy jarayoni tizimni tavsiflaydi S cheklangan sonli holatlar bilan. Bunday holda, o'tishlar belgilangan vaqtlarda mumkin t 1 , t 2 , ..., t k. Ushbu tizimda sodir bo'ladigan jarayonni tasodifiy hodisalar zanjiri sifatida ko'rsatish mumkin
S 1 (0) ® S 2 (1) ® ... ® S i (n) ® ... ® S n (k).
Bu ketma-ketlik har bir qadam uchun diskret Markov zanjiri deb ataladi n=1,2, ... k har qanday holatdan o'tish ehtimoli (S i ®S j) tizimning davlatga qanday etib kelganiga bog'liq emas S i. Tizimning har bir o'tishi shartli ehtimollikka mos keladi
P. (6.9)
Har bir qadam raqami uchun n mumkin bo'lgan o'tishlar shakllanadi voqealarning to'liq guruhi.
bir hil, agar o'tish ehtimoli qadam raqamiga bog'liq bo'lmasa. Bunday zanjirning to'liq tavsifi o'tish ehtimolining kvadrat matritsasi bo'lishi mumkin
| P 11 | P 12 | ... | P 1n | |
| P ij = | P 21 | P 22 | ... | P2n |
| ... | ... | ... | ... | |
| Pn1 | Pn2 | ... | Pnn |
va vaqtdagi barcha holatlar uchun dastlabki ehtimollik taqsimotining vektori t=0.
= . (6.10)
Mumkin bo'lmagan o'tishlarga mos keladigan o'tish ehtimoli 0 ga teng va asosiy diagonal bo'yicha ehtimollar tizim o'z holatini o'zgartirmaganligiga mos keladi.
Diskret Markov zanjiri deyiladi heterojen, agar o'tish ehtimoli qadam raqami bilan o'zgarsa. Bunday sxemalarni tavsiflash uchun sozlash kerak k o'tish ehtimoli matritsalari P ij (k- ko'rib chiqilgan qadamlar soni). Markov jarayonlarini tahlil qilishning asosiy vazifasi har qanday bosqichlardan keyin tizimning barcha holatlarining ehtimolini aniqlashdir. Bundan tashqari, agar o'tish ehtimoli matritsasi va boshlang'ich taqsimot vektori ma'lum bo'lsa, har bir qadamdan keyin tizim holatlarining ehtimolliklari umumiy ehtimollik formulasi bilan aniqlanadi:
P(A) = P(B i)*P(A/B i)(6.11)
Birinchi qadamdan keyin ehtimollik P i quyidagicha belgilash mumkin:
P i (1) = P j (0)P ji , (6.12)
Qayerda Pj(0) - boshlang'ich holatlar vektori,
P ji– shartli ehtimollar matritsasi qatori.
P i (2) = P j (1)P ji = P j (0)P ji (1)(6.13)
Keyin k qadamlar:
P i (k) = P j (k-1)P ji = P j (0)P ji (k),(6.14)
Qayerda Pji(k)- davlatdan tizimga o'tish ehtimoli S i V Sj orqasida k qadamlar.
Agar davlatdan o'tish mumkin bo'lsa S i bir holatda Sj orqasida k qadamlar, keyin qiymat P ji (k)>0. Agar bir xil miqdordagi qadamlarda teskari o'tish mumkin bo'lsa, u holda davlat S i chaqirdi qaytarilishi mumkin. Tizimning davlatdan chiqib ketish ehtimoli S i va uchun k qadamlar unga qaytadi, qaytish holatlari uchun 1 ga teng.
Davlat S i - qaytarib bo'lmaydigan, agar bu ehtimollik 1 dan farq qilsa.
Shtatlar S i Va Sj chaqiriladi muloqot qilish, agar o'tish mumkin bo'lsa S i ®S j cheklangan miqdordagi qadamlarda.
Oldingi ma'ruzalarda biz tasodifiy hodisalarni qanday simulyatsiya qilishni o'rgandik. Ya'ni, biz o'ynay olamiz qaysi yuzaga kelishi mumkin bo'lgan hodisalar va qaysi ichida miqdori. Buni aniqlash uchun siz hodisalarning yuzaga kelishining statistik xususiyatlarini bilishingiz kerak, masalan, bunday qiymat voqea sodir bo'lish ehtimoli yoki turli hodisalarning ehtimollik taqsimoti bo'lishi mumkin, agar bu hodisalarning cheksiz ko'p turlari mavjud bo'lsa.
Lekin ko'pincha bilish ham muhimdir Qachon u yoki bu hodisa o'z vaqtida sodir bo'ladi.
Ko'p hodisalar bo'lsa va ular bir-birini kuzatib borsa, ular shakllanadi oqim. E'tibor bering, hodisalar bir hil bo'lishi kerak, ya'ni biroz o'xshash. Masalan, yoqilg'i quyish shoxobchalarida avtomashinalariga yonilg'i quyishni xohlaydigan haydovchilarning paydo bo'lishi. Ya'ni, bir jinsli hodisalar ma'lum bir qatorni tashkil qiladi. Bunday holda, ushbu hodisaning statistik xarakteristikasi (hodisalar oqimining intensivligi) berilgan deb taxmin qilinadi. Hodisa oqimining intensivligi qancha ekanligini ko'rsatadi o'rtacha bunday hodisalar vaqt birligida sodir bo'ladi. Ammo har bir aniq hodisa qachon sodir bo'lishini modellashtirish usullari yordamida aniqlash kerak. Biz, masalan, 200 soat ichida 1000 ta hodisani yaratganimizda, ularning soni hodisalarning sodir bo'lishining o'rtacha intensivligiga taxminan teng bo'lishi muhimdir 1000/200 = soatiga 5 ta hodisa, bu oqimni tavsiflovchi statistik qiymatdir. butun.
Oqim intensivligi ma'lum ma'noda vaqt birligidagi hodisalar sonining matematik taxminidir. Ammo, aslida, bir soatda 4 ta hodisa, boshqasida 6 ta hodisa paydo bo'lishi mumkin, garchi soatiga o'rtacha 5 ta hodisa bo'lsa, shuning uchun oqimni tavsiflash uchun bitta qiymat etarli emas. Hodisalar tarqalishining matematik kutishga nisbatan qanchalik katta ekanligini tavsiflovchi ikkinchi miqdor, avvalgidek, dispersiyadir. Aslida, voqea sodir bo'lishining tasodifiyligini, uning sodir bo'lish momentining zaif bashorat qilinishini aniqlaydigan bu qiymat. Bu qiymat haqida keyingi ma'ruzada gaplashamiz.
Hodisalar oqimi - tasodifiy intervallarda birin-ketin sodir bo'ladigan bir hil hodisalar ketma-ketligi. Vaqt o'qida bu hodisalar rasmda ko'rsatilgandek ko'rinadi. 28.1.
Aeroportga kelgan samolyotlar uchish-qo'nish yo'lagiga tekkan paytlar ketma-ketligi voqealar oqimiga misol bo'la oladi.
Oqim intensivligi λ bu vaqt birligidagi hodisalarning o'rtacha soni. Oqim intensivligini quyidagi formula yordamida eksperimental hisoblash mumkin: λ = N/T n, Qayerda N kuzatish paytida sodir bo'lgan hodisalar soni T n.
Hodisalar orasidagi interval bo'lsa τ j doimiyga teng yoki quyidagi shaklda qandaydir formula bilan aniqlanadi: t j = f(t j 1), keyin oqim chaqiriladi deterministik. Aks holda oqim tasodifiy deb ataladi.
Tasodifiy oqimlar mavjud:
- oddiy: ikki yoki undan ortiq hodisaning bir vaqtning o'zida sodir bo'lish ehtimoli nolga teng;
- statsionar: hodisalarning sodir bo'lish chastotasi λ (t) = const( t) ;
- keyingi ta'sirlarsiz: tasodifiy hodisaning sodir bo'lish ehtimoli oldingi voqealar sodir bo'lish momentiga bog'liq emas.
Poisson oqimi
Modellashtirishda oqim standarti sifatida Puasson oqimini olish odatiy holdir..
Poisson oqimi Bu oqibatlarsiz oddiy oqim.
Yuqorida aytib o'tilganidek, vaqt oralig'ida bo'lish ehtimoli (t 0 , t 0 + τ ) sodir bo'ladi m hodisalar Puasson qonuni asosida aniqlanadi:
Qayerda a Poisson parametri.
Agar λ (t) = const( t) , anavi statsionar Puasson oqimi(eng oddiy). Ushbu holatda a = λ · t . Agar λ = var( t) , anavi turg'un bo'lmagan Puasson oqimi.
Eng oddiy oqim uchun, yuzaga kelish ehtimoli m davomidagi voqealar τ teng:
Ro'y bermaslik ehtimoli (ya'ni, yo'q, m= 0 ) vaqt bo'yicha hodisalar τ teng:
Guruch. 28.2 bog'liqlikni ko'rsatadi P vaqtdan boshlab 0. Shubhasiz, kuzatish vaqti qanchalik uzoq bo'lsa, hech qanday hodisa sodir bo'lmasligi ehtimoli shunchalik kam bo'ladi. Bundan tashqari, qiymat qanchalik baland λ , grafik qanchalik tik bo'lsa, ya'ni ehtimollik shunchalik tez kamayadi. Bu hodisaning sodir bo'lish intensivligi yuqori bo'lsa, hodisaning sodir bo'lmasligi ehtimoli kuzatish vaqti bilan tez kamayishiga to'g'ri keladi.
Kamida bitta voqea sodir bo'lish ehtimoli ( P XB1S) quyidagicha hisoblanadi:
chunki P HB1S + P 0 = 1 (yoki hech bo'lmaganda bitta hodisa paydo bo'ladi, yoki hech biri ko'rinmaydi, ikkinchisi berilmaydi).
Shakldagi grafikdan. 28.3 dan ko'rinib turibdiki, hech bo'lmaganda bitta hodisaning yuzaga kelish ehtimoli vaqt o'tishi bilan birlikka intiladi, ya'ni hodisani tegishli uzoq muddatli kuzatish bilan u albatta ertami-kechmi sodir bo'ladi. Biz voqeani qancha uzoq kuzatsak (qanchalik ko'p t), hodisaning yuzaga kelish ehtimoli qanchalik katta bo'lsa, funktsiya grafigi monoton ravishda oshadi.
Voqea sodir bo'lishining intensivligi qanchalik katta bo'lsa (qanchalik ko'p λ ), bu hodisa tezroq sodir bo'ladi va funktsiya tezroq birlikka intiladi. Diagrammadagi parametr λ chiziqning tikligi (tangensning qiyaligi) bilan ifodalanadi.
Agar ko'paytirsangiz λ , keyin bir vaqtning o'zida hodisani kuzatayotganda τ , hodisaning yuzaga kelishi ehtimoli ortadi (28.4-rasmga qarang). Shubhasiz, grafik 0 dan boshlanadi, chunki agar kuzatish vaqti cheksiz kichik bo'lsa, bu vaqt ichida hodisaning sodir bo'lish ehtimoli ahamiyatsiz. Va aksincha, agar kuzatish vaqti cheksiz uzun bo'lsa, u holda hodisa, albatta, kamida bir marta sodir bo'ladi, ya'ni grafik 1 ga teng ehtimollik qiymatiga intiladi.
Qonunni o'rganish orqali siz quyidagilarni aniqlashingiz mumkin: m x = 1/λ , σ = 1/λ , ya'ni eng oddiy oqim uchun m x = σ . Matematik kutishning standart og'ish bilan tengligi bu oqimning keyingi ta'sirsiz oqim ekanligini anglatadi. Bunday oqimning dispersiyasi (aniqrog'i, standart og'ish) katta. Jismoniy jihatdan, bu hodisaning sodir bo'lish vaqti (hodisalar orasidagi masofa) yomon prognoz qilinadigan, tasodifiy va intervalda yotadi. m x σ < τ j < m x + σ . O'rtacha hisobda u taxminan teng ekanligi aniq bo'lsa-da: τ j = m x = T n/ N . Hodisa har qanday vaqtda sodir bo'lishi mumkin, lekin shu daqiqada τ j nisbatan m x ga [ σ ; +σ ] (keyin ta'sirning kattaligi). Shaklda. 28.5-rasmda 2-hodisaning berilgan vaqt o‘qiga nisbatan mumkin bo‘lgan o‘rinlari ko‘rsatilgan σ . Bunda birinchi hodisa ikkinchisiga, ikkinchisi uchinchisiga ta'sir qilmaydi va hokazo, ya'ni keyingi ta'sir yo'q, deyishadi.
maʼnosida P teng r(23-ma'ruzaga qarang. Tasodifiy hodisani modellashtirish. Mos kelmaydigan hodisalarning to'liq guruhini modellashtirish), shuning uchun ifodalash τ formuladan (*) , nihoyat, ikkita tasodifiy hodisa orasidagi intervallarni aniqlash uchun bizda mavjud:
τ = 1/ λ Ln( r) ,
Qayerda r RNG dan olingan 0 dan 1 gacha bir tekis taqsimlangan tasodifiy son, τ tasodifiy hodisalar orasidagi interval (tasodifiy o'zgaruvchi τ j ).
1-misol. Keling, texnologik operatsiyaga keladigan mahsulotlar oqimini ko'rib chiqaylik. Mahsulotlar tasodifiy ravishda kuniga o'rtacha sakkiz dona keladi (oqim tezligi λ = 8/24 [birlik/soat]). Bu jarayonni ichida simulyatsiya qilish kerak T n = 100 soat. m = 1/λ = 24/8 = 3 , ya'ni o'rtacha uch soatda bir qism. e'tibor bering, bu σ = 3. Shaklda. 28.6-rasmda tasodifiy hodisalar oqimini yaratuvchi algoritm keltirilgan.
Shaklda. 28.7-rasmda algoritm natijasi ko'rsatilgan: qismlar operatsiya uchun kelgan vaqt momentlari. Ko'rinib turibdiki, faqat davrda T n = 100 ishlab chiqarish birligi qayta ishlangan N= 33 ta mahsulot. Agar algoritmni yana ishga tushirsak, u holda N teng bo'lishi mumkin, masalan, 34, 35 yoki 32. Lekin o'rtacha, uchun K algoritm ishlaydi N 33,33 ga teng bo'ladi, agar siz hodisalar orasidagi masofalarni hisoblasangiz t Bilan i va vaqt nuqtalari 3 deb belgilangan i, keyin o'rtacha qiymat teng bo'ladi σ = 3 .
Favqulodda hodisalar oqimini modellashtirish
Agar oqim oddiy emasligi ma'lum bo'lsa, u holda voqea sodir bo'lgan paytdan tashqari, ayni paytda paydo bo'lishi mumkin bo'lgan hodisalar sonini ham modellashtirish kerak. Masalan, avtomashinalar temir yo'l stantsiyasiga poezdning bir qismi sifatida tasodifiy vaqtda keladi (muntazam poezd oqimi). Ammo shu bilan birga, poezdda turli xil (tasodifiy) vagonlar soni bo'lishi mumkin. Bunday holda, vagonlar oqimi favqulodda hodisalar oqimi sifatida aytiladi.
Buni taxmin qilaylik M k = 10 , σ = 4 (ya'ni, o'rtacha 100 tadan 68 ta holatda, poezdda 6 dan 14 gacha vagonlar mavjud) va ularning soni oddiy qonun bo'yicha taqsimlanadi. Oldingi algoritmda (*) belgilangan joyga (28.6-rasmga qarang) rasmda ko'rsatilgan parchani kiritishingiz kerak. 28.8.
2-misol. Quyidagi muammoni hal qilish ishlab chiqarishda juda foydali. Agar tugun har bir mahsulotni tasodifiy hodisalar oqimining intensivligi bilan belgilangan tasodifiy vaqt davomida qayta ishlasa, texnologik tugun uskunasining o'rtacha kunlik ishlamay qolish vaqti qancha? λ 2? Shu bilan birga, mahsulotlar ham oqim bilan belgilangan tasodifiy vaqtlarda qayta ishlash uchun keltirilishi eksperimental ravishda aniqlangan λ 1 dona 8 dona to'plamda va partiyaning o'lchami oddiy qonunga muvofiq tasodifiy o'zgaradi. m = 8 , σ = 2 (25-ma'ruzaga qarang). Modellashtirishdan oldin T= 0 Stokda mahsulot yo'q edi. Bu jarayonni ichida simulyatsiya qilish kerak T n = 100 soat.
Shaklda. 28.9-rasmda qayta ishlash uchun mahsulot partiyalarining kelish oqimini va mahsulot partiyalarining qayta ishlashdan chiqishi tasodifiy hodisalar oqimini tasodifiy hosil qiluvchi algoritm keltirilgan.
Shaklda. 28.10-rasmda algoritm natijasi ko'rsatilgan: qismlar operatsiyaga kelgan vaqt momentlari va qismlar operatsiyani tark etgan vaqt momentlari. Uchinchi satr turli vaqtlarda ishlov berish uchun navbatda (tugunning omborida yotgan) qancha qismlar borligini ko'rsatadi.
Qayta ishlash tugunining keyingi qismini kutayotgan bo'sh vaqtlarini qayd qilib (28.10-rasmda qizil rang bilan belgilangan vaqt bo'limlariga qarang), biz butun kuzatish vaqti uchun tugunning umumiy ishlamay qolish vaqtini hisoblashimiz mumkin, keyin esa hisoblashimiz mumkin. kun davomida o'rtacha ishlamay qolish vaqti. Ushbu amalga oshirish uchun bu vaqt quyidagicha hisoblanadi:
T va hokazo. Chorshanba. = 24 · ( t 1 prospekt + t 2 prospekt + t 3 prospekt + t 4 prospekt ++ t N va boshqalar.)/ T n.
1-mashq. Qiymatni o'zgartirish σ , qaramlikni o'rnating T va hokazo. Chorshanba. ( σ ) . Tugunning ishlamay qolishi narxini soatiga 100 evro qilib belgilab, etkazib beruvchilarning ishidagi tartibsizliklardan korxonaning yillik yo'qotishlarini aniqlang. Korxonaning yetkazib beruvchilar bilan tuzgan shartnomasi bandining “Mahsulot yetkazib berishni kechiktirganlik uchun jarima miqdori” bandining tahririni taklif qiling.
Vazifa 2. Omborni dastlabki to'ldirish miqdorini o'zgartirib, korxonada qabul qilingan tovar-moddiy zaxiralar miqdoriga qarab, etkazib beruvchilarning ishidagi tartibsizliklardan korxonaning yillik yo'qotishlari qanday o'zgarishini aniqlang.
Statsionar bo'lmagan hodisalar oqimlarini simulyatsiya qilish
Ba'zi hollarda oqim intensivligi vaqt o'tishi bilan o'zgarishi mumkin λ (t). Bunday oqim beqaror deb ataladi. Misol uchun, katta shahar aholisining qo'ng'iroqlariga javoban stantsiyadan soatiga tez yordam mashinalarining o'rtacha soni kun davomida o'zgarishi mumkin. Ma'lumki, masalan, eng ko'p qo'ng'iroqlar soat 23 dan 01 gacha va 05 dan 07 gacha bo'lgan intervallarga to'g'ri keladi, boshqa soatlarda esa bu ikki baravar ko'p (28.11-rasmga qarang).
Bunday holda, tarqatish λ (t) grafik, formula yoki jadval orqali belgilanishi mumkin. Va rasmda ko'rsatilgan algoritmda. 28.6, (**) belgilangan joyga siz rasmda ko'rsatilgan parchani kiritishingiz kerak bo'ladi. 28.12.
Transkripsiya
1 A.N.Moiseev A.A.Nazarov Yuqori intensiv yarim Markov oqimining asimptotik tahlili 9 UDC 5987 A.N.Moiseev A.A.Nazarov Hodisalarning yuqori intensiv yarim Markov oqimining asimptotik tahlili. ko'rsatilgan.Ko'rib chiqilayotgan oqim uchun oqim intensivligining cheksiz ortishi sharti bilan belgilangan vaqt oralig'ida sodir bo'ladigan hodisalar sonining ehtimollik taqsimoti normal taqsimot bilan yaqinlashishi mumkinligi ko'rsatilgan. ishda bu taqsimot olingan.Tayanch so'zlar: hodisalarning yuqori intensivlik oqimi, yarim Markov oqimi, asimptotik tahlil.Koviruvchi tizimlar va tarmoqlarning asosiy elementlaridan biri kiruvchi so'rovlar oqimidir.Zamonaviy telekommunikatsiya tarmoqlari va taqsimlangan axborotni qayta ishlash. tizimlar axborot uzatish kanallarining yuqori o'tkazuvchanligini talab qiladi.Shunday qilib, bu tizimlarda vaqt birligida qayta ishlash uchun keladigan ma'lumotlar paketlari soni juda ko'p bo'ladi.Navbat nazariyasi nuqtai nazaridan bunday hollarda ular kiruvchi oqimning yuqori intensivligi haqida gapiradi. Xususan, ishda ko'p fazali taqsimlangan ma'lumotlarni qayta ishlash tizimining kiruvchi xabarlar oqimini simulyatsiya qilish uchun yuqori intensivlikdagi oqim modeli qo'llaniladi.Ishlar yuqori intensivlikdagi takrorlanuvchi MMPP- va MAP-oqimlarining xususiyatlari o'rganildi. hodisa oqimlarining eng umumiy modeli sifatida yuqori intensivlikdagi yarim-markoviy (yarim-markoviy yoki SM-) oqimning xossalarini tahlil qilish Matematik model Quyidagi tarzda belgilangan bir jinsli hodisalarning yarim Markkov oqimini ko‘rib chiqaylik (p n t n ) Diskret vaqtli statsionar ikki o'lchovli Markov jarayoni Bu erda p n - K dan K gacha bo'lgan qiymatlarni qabul qiluvchi diskret komponent t n - manfiy bo'lmagan qiymatlarni qabul qiluvchi uzluksiz komponent. Jarayonning evolyutsiyasi elementlar bilan belgilanadi deb faraz qilamiz. yarim Markov matritsasi deb ataladigan A (x) = ( Ak n ) k n= quyidagicha K: x Akn (x) = P p n+ =n t n+< ξ n = k N Здесь N некоторая большая величина которая введена искусственно чтобы явным образом подчеркнуть малость величин τ n В теоретических исследованиях будем полагать N и таким образом τ n На практике полученные результаты можно использовать для аппроксимации соответствующих величин при достаточно больших значениях N (в условии высокой интенсивности потока) Пусть в момент времени t = произошло изменение состояния процесса {ξ n τ n } Последовательность моментов времени t n определяемая рекуррентным выражением tn+ = tn+τ n+ для n = называется полумарковским потоком случайных событий определяемым полумарковской матрицей A(x) Процесс ξ n =ξ(t n) называют вложенной в полумарковский поток цепью Маркова Поскольку средняя длина интервалов τ n обратно пропорциональна N то при N интенсивность наступления событий в таком потоке будет неограниченно расти Такой поток событий будем называть высокоинтенсивным полумарковским или HISM-потоком (от High-Intensive Semi- Markovian) Ставится задача нахождения числа событий m(t) наступивших в этом потоке в течение интервала времени (t) Вывод уравнений Колмогорова Пусть z(t) длина интервала времени от момента t до момента наступления следующего события в потоке; k(t) случайный процесс значения которого на каждом из интервалов = () Отсюда получаем матричное дифференциальное уравнение относительно функции R(z): R (z) = R ()[ I A (z) ] (3) граничное условие для которого при z имеет вид R () = λr (4) где λ некоторый коэффициент вектор-строка r есть стационарное распределение состояний вложенной цепи Маркова Этот вектор является решением уравнения Колмогорова r= r P где P= lim A (z) есть стохастическая матрица определяющая вероятности переходов вложенной цепи z Маркова Таким образом решение уравнения (3) имеет вид z R() z = R ()[ I A () x ] dx (5) Пусть R= R () есть стационарное распределение значений полумарковского процесса k(t) тогда при z из (5) получаем R= R ()[ I A(x) ] dx=λ r[ I A(x) ] dx=λr [ P A(x) ] dx=λra (6) где A матрица с элементами Akν = [ Pkν Akν(x) ] dx Умножая левую и правую части равенства (6) на единичный вектор-столбец E получим RE = =λrae откуда находим значение коэффициента λ: λ= (7) rae Доклады ТУСУРа 3 (9) сентябрь 3
3 A.N.Moiseev A.A.Nazarov Yarim Markov oqimining yuqori intensivligining asimptotik tahlili Hkuzt () = e Pkmzt () yozuvini kiritamiz, bu erda j = xayoliy birlik va u qandaydir o'zgaruvchidir () ni e jum ga ko'paytirish va m dan m ustidan yig'ish. m= Hkuzt () Hkuzt ( ) Hku (t) K ju Hku (t) = + e An k (z) N n= Qator vektor yozuvini hisobga olgan holda H(u z t) = (H(u z t) H ni olamiz. (K u z t)), bu tenglama H(uzt) H(uzt) H(u t) ju = + e A(z) I (8) N ko‘rinishini oladi (8) differensial matritsa tenglamasini asimptotik usulda yechamiz. N sifatida qaralayotgan yarim Markov oqimining n intensivligining cheksiz ortib borishi shartida Birinchi tartibli asimptotikalar N =e u= e w H(uzt) = F (wzt e) yozuvini kiritamiz (8) dan olamiz. F(wzt e) F(wzt e) F(w t e) jwe e = + e A(z) I ( 9) teorema (9) tenglamaning F(wzt) = lim F (wzt e) asimptotik yechimi quyidagiga ega. shakl e () () jw l F wzt = R ze t () bu yerda R(z) ifoda (5) bilan aniqlanadi Isbot Buni (9) da bajaramiz e chegarasiga o'tib F(wzt) tenglamani olamiz. F(w t) = + [ A(z) I ] () ga o'xshash shaklga ega Shuning uchun F (w z t) funksiyani F(wzt) = R (z) PH(wt) () ko'rinishida ifodalash mumkin. (w t) qandaydir skalyar funksiya.(9) dagi z chegarasiga o‘tamiz va bu tenglamaning barcha komponentlarini jamlaymiz (buning uchun o‘ng tomondagi ikkala tomonni E birlik ustun vektoriga ko‘paytiramiz) F ni olamiz. (w t e) F (w t e) e E= e P I E Bu yerda ifodani () o‘rniga qo‘ying e = + je w+ O(e) kengaytmasidan foydalaning ikkala tomonni e ga bo‘ling va e chegarasiga o‘ting: P(wt) RE = jwr () PE PH(wt) bu erdan (4) ni hisobga olib, P (wt) funksiya uchun differensial tenglamani olamiz: PH(wt) = jwλph (wt) Bu tenglamani PH (w) boshlang'ich shartida yechish. ) = yechimni olamiz jwλt PH (wt) = e Bu ifodani ( ) ga almashtiramiz, biz () teorema isbotlangan ju Nt Ikkinchi tartibli asimptotikalar H(uzt) = H (uzte) l o'rnini ( ) ga almashtiramiz. 8): H(uzt) H(uzt) H(u t) ju + jul H(u z t) = + e A(z) I () N N =e u= e w H(uzt) = yozuvini kiritamiz. F (wzt e) (3) TUSUR hisobotlari 3 (9) 3 sentyabr
4 BOSHQARUV KOMPYUTER TEXNIKSIYASI VA AXBOROT FANI Shunda () F(wzt e) F(wzt e) F(w t e) e + lf (wzt e) = + e A(z) I (4) Teorema Asimptotik yechim sifatida qayta yoziladi. F( wzt) = lim F (wzt e) tenglama (4) e (jw) F (wzt) = R (z)exp (l+k) t (5) ko‘rinishga ega bo‘ladi, bunda R(z) quyidagi ko‘rinishda aniqlanadi. ifoda (5) k= fe (6) qator vektor f chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini qanoatlantiradi f I P =l rp R l a (7) f AE= a = rae A = x da (x) Isbot. chegara e (4) da () ga o'xshash shaklga ega F( wzt) F(w t) = + [ A(z) I ] tenglamani olamiz Shuning uchun F (w z t) funksiyani F(wzt) ko'rinishida ifodalash mumkin. ) = R (z) PH(wt) (8) bu yerda PH ( w t) ba'zi skalyar funksiya (4) tenglamaning yechimi F(wzt e) =P (wt) R(z) kengayish ko'rinishida izlanadi. + je wf (z) + O(e) (9) bu yerda f(z) qandaydir vektor -funksiya (string) Bu ifodani (4) ga almashtirish va ba'zi o'zgarishlardan keyin e = + je w+ O(e) kengayishini qo'llash ( ) lph (wt) R() z=ph (wt) R() z+ f () z+ R() A() z I + R() A() z+ f () A() z I+ A ni olamiz. () z + O(e) (3) (4) ikkala tomonni jew ga bo'lish va PH ( w t) ni bekor qilishni hisobga olib, l R(z) = f (z) + l ra(z) + f () ni olamiz. [ A(z) I ] + O(e) Bu yerdan e uchun f(z) f ( z) = f ()[ I A(z) ] l[ ra( nomaʼlum vektor funksiyasi uchun differensial tenglamani olamiz. z) R (z) ] integrallash, bu f() = boshlang‘ich shartda z f(z) = ( f ()[ I A(x) ] l [ ra(x) R (x) ]) dx ( ) lim ( f ()[ I A(x) ] l[ ra(x) R (x) ]) = x shartni qanoatlantiruvchi funksiyalar sinfida f(z) ni qidiramiz. Bu yerdan f ()[ ni olamiz. I P] l[ rp R ] = () (6) ni hisobga olgan holda bu tenglikning chap tomonini () integrasiyadan ayirib, f() = f () A+lrA l [ R R (x) ] dx () ni olamiz. Ko'rsatish mumkinki, [ R R (x) ] dx= l ra bu erda A = x da (x) Buni hisobga olib, o'ngdagi ikkala tomonni () E birlik vektoriga ko'paytirib, biz TUSUR hisobotlarini olamiz 3 (9) sentyabr. 3
5 A.N.Moiseev A.A.Nazarov Yuqori intensivlikdagi yarim Markov oqimining asimptotik tahlili 3 l a [ f () A f()] E = (3) bu yerda a = rae f() E = deb faraz qilib, f = f () ni bildirsa. () va (3) dan (7) tenglamalar sistemasini olamiz (4) dagi z chegarasiga o‘tamiz va tenglamaning ikkala tomonini o‘ngdagi E ga ko‘paytirsak, F(w t e) F(w t) ni olamiz. e) jw (w t) jw jw (w t) e e e F e e E+ e lf e E= P I E= E (e) () 3 Bu yerni (9) almashtiring va e = + je w+ + O(e) kengaytmasini qo‘llang. ) PH(wt) (jew) 3 e RE+ lph (wt) RE = P (wt)[ R () + f ()] E jw e + + O(e) ni olamiz E jw e + + O(e) Belgilash (6) yordamida e ga o‘xshash qisqartirishlarni kamaytirish ) va e dagi chegaraga o‘tsak, noma’lum P (w t) funksiya uchun quyidagi differensial tenglamani olamiz: PH(wt) (jw) = PH(wt) (l+k) (jw) yechish, bu boshlang‘ich shartda P bo‘ladi. (w) = biz PH (wt) = exp (l+k) t ni olamiz (8) dagi ushbu ifodani almashtirsak (5) teorema isbotlangan HISM oqimida sodir bo'ladigan hodisalar sonining taqsimlanishining taqribanligi O'zgarishlar kiritish (5) da (3) ga teskari va H(u z t) funksiyaga qaytsak (ju) H(u z t) R (z)exp jul Nt + (l+k) Nt ni olamiz Shunday qilib, sonining xarakteristik funksiyasi t vaqtida yuqori intensiv yarim Markov oqimida sodir bo'ladigan hodisalar (ju) hut () = H(u t) E exp jul Nt+ (l+k) Nt munosabatini qanoatlantiradi, Ya'ni yetarlicha katta qiymatlar uchun N sonning taqsimlanishi. t vaqt davomida HISM oqimida sodir bo'lgan hodisalarni lnt va dispersiya (l + k)nt matematik kutilmalari bilan normal taqsimot orqali taxmin qilish mumkin, bunda l va k ifodalar (7) va (6) raqamli natijalar uchun misol sifatida sonli hisoblar A(x) = P * G(x) ko`rinishida yozilgan uchinchi tartibli yarim Markov matritsasi A(x) bilan aniqlangan yuqori intensiv yarim Markov oqimidagi hodisalarni modellashtirish masalasini ko`rib chiqamiz, bunda P. stokastik matritsa; G(x) - ayrim taqsimot funksiyalaridan tuzilgan matritsa; operatsiya * Hadamard matritsalar ko'paytmasi G(x) matritsaning elementlari a kn shakl parametrlari va masshtab b kn k n = 3 bo'lgan gamma taqsimot funksiyalariga mos keladigan misolni ko'rib chiqamiz, biz ularni matritsalar ko'rinishida ifodalaymiz. a va b, mos ravishda.Biz quyidagi maxsus parametr qiymatlarini tanlaymiz: P = 3 5 a = 5 4 b = Hisoblashlar natijasida quyidagi parametr qiymatlari olindi: l 99; k 96 Ushbu muammo uchun N = 3 qiymatlari uchun oqim simulyatsiyasi amalga oshirildi va t = uzunlikdagi intervallardagi hodisalar sonining empirik taqsimotlari tuzildi.Empirik ma'lumotlarning taqsimotlari seriyasi va N = va N = uchun mos keladigan taxminlar shaklda grafik ko'rsatilgan (N ning boshqa qiymatlari uchun grafiklar deyarli mos keladi va rasmda farqlanmaydi) TUSUR xabarlari 3 (9) 3 sentyabr
6 4 4 BOSHQARUV KOMPYUTER injeneriyasi VA AXBOROT FANI 5 8 N = N = shakl. Empirik taqsimotning nisbiy chastotalar koʻpburchagi () va taqriblovchi taqsimot qatori () ni solishtirish Taqsimotning yaqinlashish toʻgʻriligini baholash uchun, Kolmogorov masofasi Dq = sup Fq(x) F(x) Bu yerda F q (x) empirik taqsimot funksiyasi F(x) yuqorida topilgan xarakteristikalar bilan normal tasodifiy miqdor taqsimotining x funksiyasi Jadvalda sifatga bog‘liqligi ko‘rsatilgan. qiymati bo'yicha yaqinlashishning N N d matematikasini hisoblashda nisbiy xatolar d D D q 8% 6% 464 taxminlar d a va dispersiya d D hamda ko'rib chiqilgan holatlar uchun Kolmogorov masofasi D q 9% 7% % 5% Rasm ko'rsatilgan. N D q ning ortib borayotgan qiymatlari bilan empirik va 8%% analitik (normal) taqsimotlar o'rtasidagi Kolmogorov masofasining 4% 44 pasayishini ko'rsatadigan grafik, siz allaqachon 5 N > 3 da Gauss sifatining etarlicha yuqori ekanligini ko'rishingiz mumkin. Ko'rib chiqilayotgan yuqori intensiv yarim Markov oqimidagi hodisalar sonining yaqinlashishiga erishiladi (Kolmogorov masofasi oshmaydi) 3-rasm Kolmogorov masofasining D q oqim intensivligiga qarab o'zgarishi (N da logarifmik shkala) N Xulosa ish yuqori intensivlikdagi yarim Markov hodisalar oqimini o'rganishni taqdim etadi. Ko'rsatilgandek, uning intensivligining cheksiz o'sishi sharti bilan, belgilangan uzunlikdagi vaqt oralig'ida ma'lum bir oqimda sodir bo'ladigan hodisalar sonini taqsimlash mumkin. normal taqsimot bilan yaqinlashishi mumkin.Bu taqsimotning parametrlari ishda olingan.Ko‘rib chiqilgan raqamli misollar olingan asimptotik natijalarning HISM-hodisalar oqimlari uchun qo‘llanilishi mumkinligini ko‘rsatadi. takroriy MMPP MAP TUSUR hisobotlari 3 (9) 3 sentyabr
7 AN Moiseev AA Nazarov Yuqori intensiv yarim Markov oqimining asimptotik tahlili 5 Adabiyotlar Gnedenko BV Navbat nazariyasiga kirish / BV Gnedenko IN Kovalenko 4-nashr qayta ko'rib chiqish M: nashriyot LKI 7 4 s Grachev VV Ko'p fazali taqsimlangan navbat modeli ma'lumotlarni qayta ishlash tizimi / VV Grachev AN Moiseev AA Nazarov VZ Yampolskiy // TUSUR hisobotlari (6) h C Moiseev Yuqori intensiv umumiy oqimni tekshirish / A Moiseev A Nazarov // "Kibernetika va informatika muammolari" IV Xalqaro konferentsiya Proc. PCI) Boku: IEEE P Moiseev Yuqori intensiv Markov-modulyatsiyalangan Puasson jarayonini tekshirish / A Moiseev A Nazarov // Iqtisodiyot va ta'limda axborot-kommunikatsiya texnologiyalari va statistikasini qo'llash bo'yicha xalqaro konferentsiya bayoni (ICAICTSEE-) Sofiya: Universitet Milliy va jahon iqtisodiyoti P Moiseev AN Yuqori intensivlikdagi MAP oqimini o'rganish / AN Moiseev AA Nazarov // Izv.Tom politexnika universiteti 3 T 3 S Korolyuk VS Tizimlarning stoxastik modellari Kiev: Nauk Dumka s 7 Nazarov AA Ehtimollar va tasodifiy nazariya jarayonlar: darslik / AA Nazarov AF Terpugov-e izd ispr Tomsk: NTL nashriyoti 4 p 8 Nazarov AA Navbat nazariyasida asimptotik tahlil usuli / AA Nazarov SP Moiseeva Tomsk: NTL nashriyoti 6 p 9 Korn G Olimlar uchun matematika qo'llanmasi va muhandislar / G Korn T Korn M: Rykov VV bilan fan Matematik statistika va eksperimental rejalashtirish: darslik / VV Rykov VY Itkin M: MAKS Press 38 Moiseev Aleksandr Nikolaevich bilan texnika fanlari nomzodi dotsent, Tomsk davlat universitetining dasturiy injiniring kafedrasi (TDU) ) Tel: 8 (38-) Elektron pochta: Nazarov Anatoliy Andreevich texnika fanlari doktori professor TDDU “Ehtimollar nazariyasi va matematika statistikasi” kafedrasi mudiri Tel: 8 (38-) Elektron pochta: Moiseev A.N. Nazarov A.A. -Markovian kelish jarayoni Yuqori intensiv yarim-markoviy kelish jarayonini tadqiq qilish maqolada keltirilgan. Jarayon tezligining cheksiz o'sishi asimptotik sharoitida ma'lum bir davr mobaynida jarayonga kelganlar sonining taqsimlanishi ko'rsatilgan. normal taqsimot bo'yicha yaqinlashgan. Taxminan xarakteristikalar ham olingan. Analitik natijalar raqamli misollar bilan tasdiqlangan Kalit so'zlar: yuqori intensiv kelish jarayoni yarim markovian jarayon asimptotik tahlil TUSUR hisobotlari 3 (9) 3 sentyabr
ADABIYOTLAR RO'YXATI. Balasanyan S.Sh. Ko'pgina davlatlar bilan murakkab texnologik tizimlarning ishlash samaradorligini baholash va tahlil qilish uchun stratifikatsiyalangan model // Tomsk politexnika yangiliklari.
HIMMPP (GI) K. A. Nazarov, A. Moiseev Tomsk davlat universiteti, Tomsk, Rossiya Ochiq LOOP NON-MARKOV SAVOLLI TARMOQNI ASIMPTOTIK TAHLİL. [elektron pochta himoyalangan] Ish taqdim etadi
TOMSK DAVLAT UNIVERSITETI AXBOROT 2008 Informatika va axborot fanlari kafedrasi 3(4) UDC 6239; 592 S.V.Lopuxova MMR OQIMINI TARTIBNI ASİMPTOTIK USUL BILAN TADQIQSHI Ishda ko'rib chiqiladi.
S.A. Matveev, A.N. Moiseev, A.A. Nazarov. Boshlang'ich momentlar usulini qo'llash 9 UDC 59,87 S.A. Matveev, A.N. Moiseev, A.A. Nazarov Ko'p fazali tizimni o'rganishda boshlang'ich momentlar usulini qo'llash
TOMSK DAVLAT UNIVERSITETI BULLETENI 7 Kompyuter texnologiyalari va axborot fani menejmenti UDC 5987 TA Karlyxanova GI/GI/ TIZIMINI O'RGANISH UCHUN SIFT FLOW METODASI Navbat tizimi uchun
UDC 6.39.; 59. S.V. Lopuxova A.A. Nazarov MAR-OQIMINI N-TARTIBLI ASİMPTOTIK TAHLILI USUL BILAN O'RGANISH MAR-oqim ko'rib chiqiladi. Bu oqim asimptotik usul yordamida o'rganilgan.
TOMSK DAVLAT UNIVERSITETI BULLETENI 8 Kompyuter texnologiyalari va axborot fanini boshqarish 4(5) MATEMATIK MODELLASH UDC 59.87 V.A. Vavilov A.A. Nazarov BARQARORNING MATEMATIK MODELLASH
Kemerovo davlat universitetining Anjero-Sudjensk milliy tadqiqotidagi filiali Tomsk davlat universiteti Kemerovo davlat universiteti boshqaruv muammolari instituti
TOMSK DAVLAT UNIVERSITETINING BULLETENI Kompyuter texnologiyalari va axborot fanini boshqarish 3() UDC 59.87 I.A. Ivanovskaya S.P. Moiseeva KO'P QO'RTA BUYURTLARNING PARALLEL XIZMATI NAMUVINI TADQIQOTI.
TOMSK DAVLAT UNIVERSITETI 2011 YIL BULLETENI Menejment, kompyuter texnologiyalari va axborot fanlari 3(16) AXBOROTNI QAYTA QUYTIRISH UDC 519.872 I.L. Lapatin, A.A. Nazarov MARKOV TIZIMLARINING XUSUSIYATLARI
A.A. Nazarov I.A. Semenov. Asimptotik va prelimit xarakteristikalarini solishtirish 187 UDC 4.94:519.872 A.A. Nazarov I.A. Semenova MAP/M/ tizimining asimptotik va prelimit xarakteristikalarini solishtirish
Kemerovo davlat universitetining Anjero-Sudjensk milliy tadqiqotidagi filiali Tomsk davlat universiteti Kemerovo davlat universiteti boshqaruv muammolari instituti
Statistik radiofizika va axborot nazariyasi 7-ma'ruza 8. Uzluksiz vaqtli Markov zanjirlari Uzluksiz vaqtli Markov zanjirlari Markov tasodifiy jarayoni X t bo'lib, quyidagilardan iborat.
TOMSK DAVLAT UNIVERSITETI AXBOROTASI 9 Kompyuter texnologiyalari va axborot fanini boshqarish (7) MATEMATİK MODELLASH UDC 5987 VA Vavilov MATEMATIK MODELLASH BARQAROR TASOSODIY TARMOQLAR.
5-BOB. DOZYOR VAQT VA DISKRET HOLATLAR TO‘PLAMI BILAN MARKOV JARAYONLARI Ushbu bobni o‘rganish natijasida talabalar: uzluksiz vaqtli Markov jarayonlarining ta’riflari va xossalarini bilishlari kerak.
Qo'lyozma sifatida Zadiranova Lyubov Aleksandrovna TALABLARNI TAQTRA QO'LLANISH BILAN CHEKSIZ CHIZIQLI QSDA OQIMNING MATEMATİK MODELLARINI TADQIQOT 05.13.18 Matematik modellashtirish, sonli.
TOMSK DAVLAT UNIVERSITETI BULLETENI 7 Kompyuter texnologiyalari va axborot fanlari menejmenti UDK 59 NV Stepanova AF Terpugov TEZ BUZILGAN MAHSULOTLARNI SOTISHDA NARXLARNI BOSHQARISH Menejment hisobga olinadi.
TOMSK DAVLAT UNIVERSITETINING BULLETENI Menejment, kompyuter texnologiyalari va axborot fanlari () UDC 59.865 K.I. Livshits, Ya.S. Bagel SUG'urta shirkatining QO'SHA STOXASTIK BO'YICHA VAROB KETISH ETILIMI
UDC 6-5 Chiziqli funktsionallarning spektral xarakteristikalari va ularni stokastik boshqaruv tizimlarini tahlil qilish va sintez qilishda qo'llash K.A. Rybakov Maqolada chiziqlilarning spektral xarakteristikalari tushunchasi keltirilgan
Qo'lyozma sifatida Lapatin Ivan Leonidovich CHEKSIZ SONDA QURILMALAR BILAN NAVBAT TIZIMLARINING CHISHISH OQIMINING MATEMATIK MODELLARINI TADQIQOT 05.13.18 Matematik modellashtirish, raqamli
Mundarija Bob Tasodifiy jarayonlar Oddiy bir jinsli Markov zanjiri Markov tenglamasi Oddiy bir jinsli Markov zanjiri 4 O‘tish matritsasining xossalari 5 Sonli tajriba: ehtimollik taqsimotini barqarorlashtirish.
ROSSIYA FALAR AKADEMİYASI SIBIR FILIALI HISOBIYOT MATEMATIKA VA MATEMATİK GEOFIZIKA INSTITUTI MARCHUKOV ILMIY O'QUVLAR 017 5-iyun 14-iyul, 017-yil.
RQ-TIZIMI M GI 1 OG'IR YUK SHARTLARIDA ASİMPTOTIK TAHLIL USUL BILAN O'RGANISH E. Moiseeva, A. Nazarov Tomsk davlat universiteti Tomsk, Rossiya [elektron pochta himoyalangan] Ish ko'rib chiqadi
UDC 6-5:59 NS Demin SV Rojkova O.V. Rojkova DINAMIK TIZIMLARDA ANOMALIK HAROLOQLAR BO'LGAN DAVOMLI-DISKRET KUZATISHLAR BO'YICHA XOTIRLASH II Bu ishda.
Raqamli usullar 2-mavzu Interpolyatsiya V I Velikodny 2011 2012 o'quv yili 1 Interpolyatsiya tushunchasi Interpolatsiya - ma'lum individual qiymatlardan istalgan qiymatni taxminan yoki aniq topish usuli.
Ukrainian Mathematical Journal Volume 5 (28), 3, 293 34 Matritsa koeffitsientli oddiy differensial operator uchun chegaraviy masalalar bo'yicha Anna V Agibalova (M M Malamud taqdim etgan) Annotatsiya
Ma'ruza 2. Birinchi turdagi statistika. Belgilangan baholar va ularning xususiyatlari Bure V.M., Grauer L.V. ShAD Sankt-Peterburg, 2013 yil Bure V.M., Grauer L.V. (SHAD) 2-ma'ruza. Birinchi turdagi statistika. Dotted Sankt-Peterburg,
Kompyuter texnologiyalari va axborot fanini boshqarish UDC 6-5:59 EKSTRAPOOLATSIYA MUAMMOSIDA XOTIRA BO'LGAN DISKRET KUZATISH KANALINING SAMARALILIGINI TADQIQOT NS Demin OV Rojkova* Tomsk davlat universiteti.
Statistik radiofizika va axborot nazariyasi 6-ma'ruza 7. Markov* tasodifiy jarayonlar va Markov zanjirlari. *Markov Andrey Andreevich (1890-yilda tugʻilgan) rus matematigi, akademik Markov tasodifiy jarayon
Sibir Mathematical Journal iyul avgust, 2003 jild 44, 4 UDC 51921+5192195 FAKTORLASHTIRISH KOMPONENTLARI HAQIDA YARIMI DAVOMLI TASOSODIY YURISHLARNING yashash vaqti uchun Lugavów.
Qo'lyozma sifatida Gorbatenko Anna Evgenievna MAXSUS CHEKLASH SHARTLARDA KORRELAT OQIMLARI BILAN NAVBAT TIZIMLARINI TADQIQOT 05.13.18 Matematik modellashtirish, sonli usullar.
Kompyuter texnologiyalari va axborot fani menejmenti UDC 59. DOZYUM DISKRET FILTRLASH VA INTERPOLATSIYA QO'SHMALARDAGI AXBOROT ASSPEKTI. TAHLIL S.V. Rojkova O.V. Rojkova Tomsk politexnika
Sibir matematik jurnali iyul, avgust, 2005 yil. 46-jild, 4 UDC 519.21 MARKOV zanjirida ko'rsatilgan tasodifiy yurishlar uchun chegara muammolarida faktorizatsiya vakili V. I. Lotov, N. G.
3-ma'ruza Muvozanatning barqarorligi va sistema harakati Turg'un harakatlarni ko'rib chiqayotganda buzuq harakat tenglamalarini d dt A Y ko'rinishda yozamiz, bunda ustun vektori doimiy koeffitsientlarning kvadrat matritsasi bo'ladi.
1-bob Differensial tenglamalar 1.1 Differensial tenglama tushunchasi 1.1.1 Differensial tenglamalarga olib keladigan masalalar. Klassik fizikada har bir fizik miqdor bilan bog'liq
Ma'ruza XARAKTERISTIK FUNKSIYA MA'RUZANING MAQSADI: tasodifiy o'zgaruvchilar funksiyalarini linearizatsiya qilish usulini qurish; kompleks tasodifiy miqdor tushunchasini kiritish va uning sonli xarakteristikalarini olish; xususiyatini aniqlang
Markov tasodifiy jarayonlaridan foydalangan holda tizimlarni modellashtirish Markov jarayonlarining asosiy tushunchalari X(t) funksiya tasodifiy deyiladi, agar uning har qanday argument t uchun qiymati tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsa.
1. CHEKLI BIR TOZ MARKOV ZANJIRLARI Har biri diskret taqsimlangan va bir xil to'plamdan qiymatlarni qabul qiluvchi p n, n 0, 1,... tasodifiy o'zgaruvchilar ketma-ketligini ko'rib chiqaylik (x 1,...,
6-bob Barqarorlik nazariyasi asoslari Ma’ruza Masala bayoni Tayanch tushunchalar Avvallari oddiy sistema uchun Koshi masalasini yechish ODE = f, () uzluksiz ravishda dastlabki shartlarga bog’liqligi ko’rsatilgan edi.
Sin cos R Z cos ImZ cos sin sin Shu tarzda topilgan yechimlar yechimlarning fundamental tizimini tashkil qiladi va shuning uchun tizimning umumiy yechimi ko‘rinishga ega yoki batafsilroq aytganda, sin cos cos sin cos cos cos sin sin ko‘rinishiga ega.
Strukturaviy ishonchlilik. Nazariya va amaliyot Kashtanov V.A. NAVBAT VA ISHONCHLILIK MODELLARIDA TUZILMANI BOSHQARISH Boshqariladigan yarim Markov jarayonlaridan foydalangan holda optimal
SUGʻURTA KOMPONASINING MATEMATİK MODELI NAVBOR XIZMAT TIZIMI SHAKLIDA M M I. Sinyakova, S. Moiseeva Milliy tadqiqot Tomsk davlat universiteti Tomsk, Rossiya [elektron pochta himoyalangan]
UDC 59. XOTIRA BILAN KUSHALARNING HOTIDA AYRISH TEOREMASI N.S. Demin, S.V. Rojkova Tomsk davlat universiteti Tomsk politexnika universiteti Elektron pochta: [elektron pochta himoyalangan] Isbot berilgan
Teorema shartlari bo'yicha L B (m Keyin, L operatorining chiziqliligi tufayli bizda: m m m L L ] B [ Doimiy koeffitsientli chiziqli differensial tenglamalar tizimlari Xususiy qiymatlar va xos vektorlar
ADABIYOTLAR Kalashnikova TV Izvekov NU. Talabga yo'naltirish usulini chakana savdo tarmog'ining narxlash tizimiga integratsiyalashuvi // Tomsk Politexnika Universiteti yangiliklari T 3 6 S 9 3 Fomin
ROSSIYA FANLAR AKADEMİYASI SIBIR FILIALI HISOBIYOT MATEMATIKA VA MATEMATİK GEOFIZIKA INSTITUTI MARCHUKOV ILMIY O'QUVLAR 217 25 iyun 14 iyul, 217 Ma'lumotlar ilmiy kengashi tahririyati.
MAVZU 7. Tasodifiy jarayonlar. 7-mavzu mazmunining maqsadi tasodifiy jarayonlar va xususan Markov zanjirlari haqida dastlabki tushunchalarni berish; modellar ularni hal qilishda foydalanadigan iqtisodiy muammolar doirasini belgilang;
Ma'ruza 4. Ishonch oraliqlari Bure V.M., Grauer L.V. ShAD Sankt-Peterburg, 2013 yil Bure V.M., Grauer L.V. (SHAD) 4-ma'ruza. Ishonch oraliqlari Sankt-Peterburg, 2013 1/49 Mundarija Mundarija 1 Ishonch oraliqlari
Sibir Mathematical Journal Yanvar, 2-fevral. 41-jild, 1 UDC 517.948 SINGULAR BO'LGAN NOCHIZIQLI INTEGRODIFERENTIAL TENGLAMALARGA YECHIMA ASİMPTOTIKASI M. K. Dauylbaev Annotatsiya: Yakka tartibda ko'rib chiqildi.
Ma'ruza Markov tasodifiy jarayonlaridan foydalangan holda tizimlarni modellashtirish Markov jarayonlarining asosiy tushunchalari X(t) funksiya tasodifiy deyiladi, agar uning har qanday argument t uchun qiymati tasodifiy bo'lsa.
7 (), 9 G. V. Boykova dunyo olami haqida Annotatsiya: ikkinchi tartibli differensial tenglama uchun ifodalovchi yechim topildi.
TABIY VA ANIQ FANLAR UDC 57977 KICHIK KECHIKIKLIK BILAN CHIZIQLI SINGULAR POTURABLANGAN TIZIMLARNI BOSHQARISH HAQIDA fizika-matematika fanlari nomzodi dotsent KOPEYKINA T B GUSEINOVA A Belarusiya milliy texnikasi.
Kompyuter modellashtirish. SMO. 2-ma'ruza 1 Mundarija 2-bob. QS ni Markov tasodifiy jarayon orqali tasvirlash... 1 I. Kendall bo'yicha QS tasnifi... 1 II. Markov tasodifiy jarayon... 2 III. Markovskiy
48 Vestnik RAU Series fizika, matematika va tabiiy fanlar, 1, 28, 48-59 UDC 68136 DISTAN TA'LIM TIZIMLARINI ISHLAB CHIQISH XUSUSIYATLARINI BAHOLASH 2-QISM HV Kerobyan, Russian NN-Khublaryans.
Farq sxemalari nazariyasining asosiy tushunchalari. Boshlang'ich-chegaraviy masalalar uchun farq sxemalarini qurish misollari. Fizika va texnologiyadagi ko'p sonli muammolar chiziqli uchun chegara yoki boshlang'ich chegara muammolariga olib keladi.
4 (0) 00 Baholangan parametr tasodifiy normal jarayon boʻlganda Bayes tahlili q q... q... nomaʼlum oʻrtacha qiymatlar ketma-ketligini Bayescha baholash muammosi koʻrib chiqiladi.
RUSSIYA TEXNOLOGIK UNIVERSITETI MIREA OLIY MATEMATIKANI QO'SHIMCHA BOBLARI 3-BOB. DIFFERENTSIAL TENGLAMALAR TIZIMLARI Ish dinamik tizimlarni elementlar yordamida modellashtirishga bag'ishlangan.
Doimiy koeffitsientli chiziqli DIFFERENTSIAL TENGLAMALAR TIZIMLARI 1-tartibdagi bir tenglamaga keltirish Amaliy nuqtai nazardan qaraganda doimiy koeffitsientli chiziqli sistemalar juda muhim.
1 Hujjatning nomi Ovsyannikov A.V. BAHOLASH NAZARIYASINING SUPERREGULAR STATISTIK TAJRIBLARIDA STATISTIK TENGsizlikLAR // G'arbiy Milliy Fanlar Akademiyasi Belarus, 009. Ser fz-mat. navuk. P.106-110
UDC 59 EV Novitskaya A.F.Terpugov KO'P MAHSULOTNING OPTIMAL HACMINI VA DOIMIY TEZ BO'ZILGAN MAHSULOTLARNING SOTISH NARXINI ANIQLASH Tovarlar partiyasining optimal hajmini aniqlash muammosi ko'rib chiqiladi.
N.E.Bauman nomidagi Moskva davlat texnika universiteti Fundamental fanlar fakulteti Matematik modellashtirish kafedrasi A. K. K. K. K., A. K. ALMASH
Math-Net.Ru Butunrossiya matematik portali A. A. Nazarov, T. V. Lyubina, so'rovlarning kiruvchi MMP oqimi bilan Non-Markov dinamik RQ tizimi, Avtomat. va telemekh., 213, 7-son, 89 11 Foydalanish
ROSSIYA FEDERATSIYASI TA'LIM VAZIRLIGI KRASNOYARSK DAVLAT UNIVERSITETI UDC BBK Tuzuvchi: N.A. Pinkina OLIY MATEMATIKA KAFETİ Chiziqli algebra. Oddiy misollarni yechish. Sinov variantlari
2-ma’ruza Chiziqli tenglamalar sistemalarini yechish. 1. Kramer usuli yordamida 3 ta chiziqli tenglamalar sistemasini yechish. Ta'rif. 3 ta chiziqli tenglamalar sistemasi shakldagi sistemadir Bu sistemada kerakli miqdorlar mavjud
Yuklanmoqda...