Chiziqlar bir xil tekislikda yotishini tekshiring. Ikki to'g'ri chiziqning bir tekislikka tegishli bo'lish sharti. Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa

Ushbu maqola parallel chiziqlar va parallel chiziqlar haqida. Birinchidan, tekislikdagi va fazodagi parallel chiziqlarning ta'rifi beriladi, yozuvlar kiritiladi, parallel chiziqlarga misollar va grafik tasvirlar keltiriladi. Keyinchalik, chiziqlar parallelligining belgilari va shartlari muhokama qilinadi. Xulosa qilib aytganda, tekislikdagi va uch o'lchovli fazodagi to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi chiziqning ma'lum tenglamalari bilan berilgan chiziqlar parallelligini isbotlashning tipik muammolarining echimlari ko'rsatilgan.

Sahifani navigatsiya qilish.

Parallel chiziqlar - asosiy ma'lumotlar.

Ta'rif.

Tekislikdagi ikkita chiziq deyiladi parallel, agar ularda umumiy fikrlar bo'lmasa.

Ta'rif.

Uch o'lchovli fazoda ikkita chiziq deyiladi parallel, agar ular bir tekislikda yotsa va umumiy nuqtalarga ega bo'lmasa.

E'tibor bering, kosmosdagi parallel chiziqlarni belgilashda "agar ular bir tekislikda yotsa" bandi juda muhimdir. Keling, ushbu fikrga aniqlik kiritaylik: uch o'lchovli fazoda umumiy nuqtalarga ega bo'lmagan va bir tekislikda yotmaydigan ikkita chiziq parallel emas, balki kesishadi.

Bu erda parallel chiziqlarga misollar keltiramiz. Daftar varag'ining qarama-qarshi qirralari parallel chiziqlarda yotadi. Uyning devorining tekisligi shift va zaminning tekisliklarini kesib o'tadigan to'g'ri chiziqlar parallel. Tekis yerdagi temir yo'l relslarini ham parallel chiziqlar deb hisoblash mumkin.

Parallel chiziqlarni belgilash uchun "" belgisidan foydalaning. Ya'ni, agar a va b chiziqlar parallel bo'lsa, biz qisqacha a b yozishimiz mumkin.

Iltimos, diqqat qiling: agar a va b chiziqlar parallel bo'lsa, u holda a chizig'i b chiziqqa parallel, shuningdek, b chiziq a chiziqqa parallel deb aytishimiz mumkin.

Tekislikdagi parallel chiziqlarni o'rganishda muhim rol o'ynaydigan gapni aytaylik: berilgan to'g'rida yotmagan nuqta orqali unga parallel bo'lgan yagona to'g'ri chiziq o'tadi. Bu fikr fakt sifatida qabul qilinadi (uni planimetriyaning ma'lum aksiomalari asosida isbotlab bo'lmaydi) va u parallel chiziqlar aksiomasi deb ataladi.

Kosmosdagi holat uchun teorema o'rinli: ma'lum to'g'rida yotmaydigan fazoning istalgan nuqtasi orqali unga parallel bitta to'g'ri chiziq o'tadi. Bu teorema yuqoridagi parallel chiziqlar aksiomasi yordamida osongina isbotlanadi (uning isbotini 10-11-sinflar uchun geometriya darsligidan topishingiz mumkin, adabiyotlar roʻyxatida maqola oxirida keltirilgan).

Kosmosdagi holat uchun teorema o'rinli: ma'lum to'g'rida yotmaydigan fazoning istalgan nuqtasi orqali unga parallel bitta to'g'ri chiziq o'tadi. Bu teoremani yuqoridagi parallel chiziq aksiomasi yordamida osongina isbotlash mumkin.

Chiziqlar parallelligi - parallellik belgilari va shartlari.

Chiziqlar parallelligi belgisi chiziqlar parallel bo'lishi uchun etarli shart, ya'ni bajarilishi chiziqlar parallel bo'lishini kafolatlaydigan shart. Boshqacha qilib aytganda, ushbu shartning bajarilishi chiziqlar parallel ekanligini aniqlash uchun etarli.

Tekislik va uch o'lchovli fazoda chiziqlar parallelligi uchun ham zarur va etarli shartlar mavjud.

Keling, "Paralel chiziqlar uchun zarur va etarli shart" iborasining ma'nosini tushuntiramiz.

Biz allaqachon parallel chiziqlar uchun etarli shartni ko'rib chiqdik. "Paralel chiziqlar uchun zaruriy shart" nima? "Zarur" nomidan ko'rinib turibdiki, bu shartning bajarilishi parallel chiziqlar uchun zarurdir. Boshqacha qilib aytganda, agar chiziqlar parallel bo'lishi uchun zarur shart bajarilmasa, u holda chiziqlar parallel emas. Shunday qilib, parallel chiziqlar uchun zarur va etarli shart bajarilishi parallel chiziqlar uchun ham zarur, ham yetarli shartdir. Ya'ni, bir tomondan, bu chiziqlar parallelligining belgisi bo'lsa, ikkinchi tomondan, bu parallel chiziqlarga ega bo'lgan xususiyatdir.

Chiziqlar parallelligi uchun zarur va etarli shartni shakllantirishdan oldin, bir nechta yordamchi ta'riflarni esga olish tavsiya etiladi.

Sekant chiziq berilgan ikkita to‘g‘ri kelmaydigan chiziqning har birini kesib o‘tuvchi chiziq.

Ikki to'g'ri chiziq ko'ndalang chiziq bilan kesishganda, sakkizta rivojlanmagan to'g'ri chiziq hosil bo'ladi. Deb atalmish ko'ndalang yotish, mos keladigan Va bir tomonlama burchaklar. Keling, ularni rasmda ko'rsatamiz.

Teorema.

Agar tekislikdagi ikkita toʻgʻri chiziq koʻndalang kesishgan boʻlsa, ularning parallel boʻlishi uchun kesishuvchi burchaklar teng boʻlishi yoki mos burchaklar teng boʻlishi yoki bir tomonlama burchaklar yigʻindisi 180 ga teng boʻlishi zarur va yetarlidir. daraja.

Keling, tekislikdagi chiziqlar parallelligi uchun zarur va etarli shartning grafik tasvirini ko'rsatamiz.

Chiziqlar parallelligi uchun ushbu shartlarning isbotini 7-9-sinflar uchun geometriya darsliklarida topishingiz mumkin.

E'tibor bering, bu shartlar uch o'lchovli fazoda ham qo'llanilishi mumkin - asosiysi ikkita to'g'ri chiziq va sekant bir tekislikda yotadi.

Bu erda ko'pincha chiziqlar parallelligini isbotlash uchun ishlatiladigan yana bir nechta teoremalar mavjud.

Teorema.

Agar tekislikdagi ikkita chiziq uchinchi chiziqqa parallel bo'lsa, ular parallel bo'ladi. Bu mezonning isboti parallel chiziqlar aksiomasidan kelib chiqadi.

Uch o'lchovli fazoda parallel chiziqlar uchun ham xuddi shunday holat mavjud.

Teorema.

Agar fazodagi ikkita chiziq uchinchi chiziqqa parallel bo'lsa, ular parallel bo'ladi. Bu mezonning isboti 10-sinfda geometriya darslarida muhokama qilinadi.

Keling, aytilgan teoremalarni tasvirlaylik.

Keling, tekislikdagi chiziqlar parallelligini isbotlash imkonini beruvchi yana bir teoremani keltiraylik.

Teorema.

Agar tekislikdagi ikkita chiziq uchinchi chiziqqa perpendikulyar bo'lsa, ular parallel bo'ladi.

Kosmosdagi chiziqlar uchun ham xuddi shunday teorema mavjud.

Teorema.

Agar uch o'lchamli fazodagi ikkita chiziq bir tekislikka perpendikulyar bo'lsa, ular parallel bo'ladi.

Keling, ushbu teoremalarga mos keladigan rasmlarni chizamiz.

Yuqorida keltirilgan barcha teoremalar, mezonlar va zarur va etarli shartlar geometriya usullaridan foydalangan holda chiziqlar parallelligini isbotlash uchun juda yaxshi. Ya'ni, berilgan ikkita to'g'ri chiziqning parallelligini isbotlash uchun ularning uchinchi chiziqqa parallel ekanligini ko'rsatish yoki ko'ndalang yotgan burchaklarning tengligini ko'rsatish kerak va hokazo. O'rta maktabda geometriya darslarida shunga o'xshash ko'plab masalalar hal qilinadi. Ammo shuni ta'kidlash kerakki, ko'p hollarda tekislikdagi yoki uch o'lchovli fazodagi chiziqlar parallelligini isbotlash uchun koordinata usulini qo'llash qulay. To'rtburchaklar koordinatalar tizimida ko'rsatilgan chiziqlar parallelligi uchun zarur va etarli shartlarni tuzamiz.

To'g'ri to'rtburchak koordinatalar sistemasidagi chiziqlar parallelligi.

Maqolaning ushbu bandida biz shakllantiramiz parallel chiziqlar uchun zarur va etarli shartlar to'rtburchaklar koordinatalar tizimida, bu chiziqlarni aniqlaydigan tenglamalar turiga qarab va biz xarakterli masalalarning batafsil echimlarini ham taqdim etamiz.

Oxy to'rtburchaklar koordinata sistemasidagi tekislikdagi ikkita to'g'ri chiziq parallellik shartidan boshlaylik. Uning isboti chiziqning yo'nalish vektorini aniqlashga va tekislikdagi chiziqning normal vektorini aniqlashga asoslangan.

Teorema.

Bir tekislikda bir-biriga mos kelmaydigan ikkita chiziq parallel boʻlishi uchun bu toʻgʻri chiziqlarning yoʻnalish vektorlari kollinear yoki bu toʻgʻri chiziqning normal vektorlari kollinear boʻlishi yoki bitta chiziqning yoʻnalish vektori normalga perpendikulyar boʻlishi zarur va yetarlidir. ikkinchi qator vektori.

Shubhasiz, tekislikdagi ikkita chiziqning parallellik sharti (chiziqlarning yo'nalish vektorlari yoki chiziqlarning normal vektorlari) yoki (bir chiziqning yo'nalish vektori va ikkinchi chiziqning normal vektori) ga kamayadi. Shunday qilib, agar va a va b chiziqlarning yo'nalish vektorlari bo'lsa va Va mos ravishda a va b chiziqlarning normal vektorlari bo'lsa, a va b chiziqlar parallelligi uchun zarur va yetarli shart quyidagicha yoziladi. , yoki , yoki , bu yerda t qandaydir haqiqiy son. O'z navbatida, a va b chiziqlarning yo'riqnomalari va (yoki) normal vektorlarining koordinatalari chiziqlarning ma'lum tenglamalari yordamida topiladi.

Xususan, agar to'g'ri to'rtburchaklar koordinata sistemasidagi a to'g'ri chiziq tekislikdagi Oxy shaklning umumiy to'g'ri chiziq tenglamasini aniqlaydi. , va to'g'ri chiziq b - , u holda bu chiziqlarning normal vektorlari mos ravishda koordinatalarga ega va a va b chiziqlarning parallellik sharti quyidagicha yoziladi.

Agar a chiziq burchak koeffitsientiga ega bo'lgan chiziq tenglamasiga to'g'ri kelsa va chiziq b - bo'lsa, u holda bu chiziqlarning normal vektorlari koordinatalarga ega va bu chiziqlarning parallellik sharti shaklni oladi. . Binobarin, agar to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi tekislikdagi chiziqlar parallel bo'lsa va burchak koeffitsientlari bo'lgan chiziqlar tenglamalari bilan aniqlanishi mumkin bo'lsa, u holda chiziqlarning burchak koeffitsientlari teng bo'ladi. Va aksincha: agar to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi tekislikdagi bir-biriga to'g'ri kelmaydigan chiziqlar teng burchak koeffitsientlariga ega bo'lgan chiziq tenglamalari bilan aniqlanishi mumkin bo'lsa, unda bunday chiziqlar parallel bo'ladi.

Agar to'g'ri to'rtburchaklar koordinata sistemasidagi a va b to'g'ri chiziq tekislikdagi chiziqning kanonik tenglamalari bilan aniqlansa. Va , yoki shakl tekisligidagi to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalari Va shunga ko'ra, bu chiziqlarning yo'nalish vektorlari koordinatalariga va ga ega bo'lib, a va b chiziqlarning parallellik sharti sifatida yoziladi.

Keling, bir nechta misollarning echimlarini ko'rib chiqaylik.

Misol.

Chiziqlar parallelmi? Va ?

Yechim.

Keling, segmentlardagi chiziq tenglamasini chiziqning umumiy tenglamasi shaklida qayta yozamiz: . Endi biz chiziqning normal vektori ekanligini ko'rishimiz mumkin , a - chiziqning normal vektori. Bu vektorlar kollinear emas, chunki t tengligi ( ). Binobarin, tekislikdagi chiziqlar parallelligi uchun zarur va yetarli shart bajarilmaydi, shuning uchun berilgan chiziqlar parallel emas.

Javob:

Yo'q, chiziqlar parallel emas.

Misol.

To'g'ri chiziqlar va parallelmi?

Yechim.

To'g'ri chiziqning kanonik tenglamasini burchak koeffitsientli to'g'ri chiziq tenglamasiga keltiramiz:. Shubhasiz, va chiziqlar tenglamalari bir xil emas (bu holda, berilgan chiziqlar bir xil bo'ladi) va chiziqlarning burchak koeffitsientlari tengdir, shuning uchun dastlabki chiziqlar paralleldir.

To'g'ri chiziqlar bir tekislikda yotadi. agar ular 1) kesishsa; 2) parallel bo'lsa.

L 1: va L 2: chiziqlari uchun bir xil tekislikka  tegishli bo‘lishi uchun vektorlar M 1 M 2 =(x 2 -x 1 ;y 2 -y 1 ;z 2 -z 1 ), q 1 =(l 1 ;m 1 ;n 1 ) va q 2 =(l 2 ;m 2 ;n 2 ) koplanar edi. Ya'ni, uchta vektorning mutanosiblik shartiga ko'ra, aralash mahsulot M 1 M 2 ·s 1 ·s 2 =Δ==0 (8)

Chunki ikki chiziqning parallellik sharti quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: keyin L 1 va L 2  chiziqlarning kesishishi uchun ular (8) shartni qanoatlantirsin va proportsiyalardan kamida bittasi buzilgan bo'lsin.

Misol. Chiziqlarning nisbiy o'rnini o'rganing:

L 1 to'g'ri chiziqning yo'nalish vektori - q 1 =(1;3;-2). L 2 chiziq 2 tekislikning kesishishi a 1 sifatida aniqlanadi: x-y-z+1=0; a 2: x+y+2z-2=0. Chunki L 2 chizig'i ikkala tekislikda yotadi, demak u va shuning uchun uning yo'nalishi vektori normallarga perpendikulyar. n 1 Va n 2 . Shuning uchun yo'nalish vektori s 2 vektorlarning oʻzaro koʻpaytmasi n 1 Va n 2 , ya'ni. q 2 =n 1 X n 2 ==-i-3j+2k.

Bu. s 1 =-s 2 , Bu shuni anglatadiki, chiziqlar parallel yoki mos keladi.

To'g'ri chiziqlar mos kelishini tekshirish uchun M 0 (1;2;-1)L 1 nuqtaning koordinatalarini L 2 umumiy tenglamalariga almashtiramiz: 1-2+2+1=0 - noto'g'ri tengliklar, ya'ni. nuqta M 0 L 2,

shuning uchun chiziqlar parallel.

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa.

L: kanonik tenglama bilan berilgan M 1 (x 1;y 1;z 1) nuqtadan L to‘g‘ri chiziqgacha bo‘lgan masofani vektor ko‘paytma yordamida hisoblash mumkin.

To'g'ri chiziqning kanonik tenglamasidan M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0)L nuqta va to'g'ri chiziqning yo'nalish vektori kelib chiqadi. q=(l;m;n)

Vektorlar yordamida parallelogramma quramiz q Va M 0 M 1 . U holda M 1 nuqtadan L to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa shu parallelogrammning h balandligiga teng bo'ladi. Chunki S=| q x M 0 M 1 |=h| q|, keyin

h= (9)

Kosmosdagi ikkita to'g'ri chiziq orasidagi masofa.

L 1: va L 2:

1) L 1 L 2 .

d=

2) L 1 va L 2 - kesishish

d=

To'g'ri chiziq va tekislikning fazodagi o'zaro o'rni.

To'g'ri chiziq va tekislikning fazoda joylashishi uchun 3 ta holat mumkin:

to'g'ri chiziq va tekislik bir nuqtada kesishadi;

to'g'ri chiziq va tekislik parallel;

to'g'ri chiziq tekislikda yotadi.

To'g'ri chiziq uning kanonik tenglamasi bilan, tekislik esa - umumiy bilan berilsin

a: Ax+Bu+Sz+D=0

To'g'ri chiziq tenglamalari M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0)L nuqta va yo'nalish vektorini beradi. q=(l;m;n) va tekislik tenglamasi normal vektor n=(A;B;C).

1. Chiziq va tekislikning kesishishi.

Agar chiziq va tekislik kesishsa, u holda chiziqning yo'nalishi vektori q a tekislikka parallel emas va shuning uchun tekislikning normal vektoriga ortogonal emas n. Bular. ularning nuqta mahsuloti nq≠0 yoki ularning koordinatalari orqali,

Am+Bn+Cp≠0 (10)

M nuqtaning koordinatalarini aniqlaymiz - L to'g'ri chiziq va a tekislikning kesishish nuqtalari.

Chiziqning kanonik tenglamasidan parametrik tenglamaga o'tamiz: , tR

Bu munosabatlarni tekislik tenglamasiga almashtiramiz

A(x 0 +lt)+B(y 0 +mt)+C(z 0 +nt)+D=0

A,B,C,D,l,m,n,x 0 ,y 0 ,z 0 – ma’lum, t parametrini topamiz:

t(Al+Bm+Cn)= -D-Ax 0 -By 0 -Cz 0

agar Am+Bn+Cp≠0 bo‘lsa, u holda tenglama M nuqtaning koordinatalarini aniqlaydigan yagona yechimga ega bo‘ladi:

t M = -→ (11)

To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchak. Parallellik va perpendikulyarlik shartlari.

L to'g'ri chiziq orasidagi ph burchak :

hidoyat vektor bilan q=(l;m;n) va tekislik

: Ax+Vu+Sz+D=0 normal vektor bilan n=(A;B;C) 0˚ (parallel chiziq va tekislik holatida) dan 90˚ gacha (perpendikulyar chiziq va tekislik holatida) oralig'ida. (Vektor orasidagi burchak q va uning a) tekislikka proyeksiyasi.

– vektorlar orasidagi burchak q Va n.

Chunki L toʻgʻri chiziq bilan  tekislik orasidagi burchak  burchakka  toʻldiruvchi boʻlsa, sin ph=sin(-)=cos =- (mutlaq qiymat hisoblanadi, chunki ph burchak oʻtkir sin ph=sin(). -) yoki sin ph =sin(+) to'g'ri chiziq yo'nalishiga qarab L)

IV bob. Kosmosdagi to'g'ri chiziqlar va tekisliklar. Ko'p yuzli

§ 46. Kosmosdagi chiziqlarning o'zaro joylashishi

Kosmosda ikki xil chiziq bir tekislikda yotishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin. Keling, tegishli misollarni ko'rib chiqaylik.

A, B, C nuqtalar bir xil to'g'ri chiziqda yotmasin. Keling, ular orqali tekislik chizamiz R va tekislikka tegishli bo'lmagan S nuqtani tanlang R(130-rasm).

U holda AB va BC to'g'ri chiziqlar bir tekislikda, ya'ni tekislikda yotadi R, AS va CB to'g'ri chiziqlar bir tekislikda yotmaydi. Haqiqatan ham, agar ular bir tekislikda yotsalar, A, B, C, S nuqtalar ham shu tekislikda yotardi, bu mumkin emas, chunki S A, B, C nuqtalardan o`tuvchi tekislikda yotmaydi.

Bir tekislikda yotuvchi va kesishmaydigan ikki xil chiziq parallel deyiladi. Bir-biriga mos keladigan chiziqlar parallel deb ham ataladi. To'g'ri bo'lsa 1 1 va 1 2 parallel, keyin yozing 1 1 || 1 2 .

Shunday qilib, 1 1 || 1 2, agar, birinchi navbatda, samolyot bo'lsa R shu kabi
1 1 R Va 1 2 R va ikkinchidan, yoki 1 1 1 2 = yoki 1 1 = 1 2 .

Bir tekislikda yotmaydigan ikkita to'g'ri chiziq qiyshiq chiziqlar deyiladi. Shubhasiz, kesishgan chiziqlar kesishmaydi va parallel emas.

Parallellik o'tkazuvchanligi deb ataladigan parallel chiziqlarning bitta muhim xususiyatini isbotlaymiz.

Teorema. Agar ikkita chiziq uchdan biriga parallel bo'lsa, ular bir-biriga parallel.

Mayli 1 1 || 1 2 va 1 2 || 1 3. Buni isbotlash kerak 1 1 || 1 3

To'g'ri bo'lsa 1 1 , 1 2 , 1 3 bir xil tekislikda yotadi, keyin bu bayonot planimetriyada isbotlangan. Biz to'g'ri chiziqlar deb taxmin qilamiz 1 1 , 1 2 , 1 3 bir xil tekislikda yotmang.

To'g'ri chiziqlar orqali 1 1 va 1 2 samolyot chizish R 1 va orqali 1 2 va 1 3 - samolyot R 2 (131-rasm).

E'tibor bering, to'g'ri chiziq 1 3 tekislikka tegishli bo'lmagan kamida bitta M nuqtani o'z ichiga oladi
R 1 .

To'g'ri chiziq orqali tekislikni o'tkazing va M nuqtani qo'ying R 3, tekislikni kesib o'tuvchi R 2 qandaydir to'g'ri chiziq bo'ylab l. Keling, buni isbotlaylik l bilan mos keladi 1 3. Biz buni "qarama-qarshilik bilan" isbotlaymiz.

Faraz qilaylik, to'g'ri chiziq 1 to'g'ri chiziqqa to'g'ri kelmaydi 1 3. Keyin 1 chiziqni kesib o'tadi 1 2 bir nuqtada A. Bundan kelib chiqadiki, samolyot R 3 ta A nuqtadan o'tadi R 1 va tekis 1 1 R 1 va shuning uchun samolyot bilan mos keladi R 1 . Bu xulosa M nuqtasiga zid keladi R 3 samolyotga tegishli emas R 1 .
Shuning uchun, bizning taxminimiz noto'g'ri va shuning uchun 1 = 1 3 .

Shunday qilib, to'g'ri chiziqlar ekanligi isbotlangan 1 1 va 1 3 bir xil tekislikda yotadi R 3. To'g'ri chiziqlar ekanligini isbotlaylik 1 1 va 1 3 kesishmaydi.

Haqiqatan ham, agar 1 1 va 1 3 kesishgan, masalan, B nuqtasida, keyin tekislik R 2 to'g'ri chiziqdan o'tadi 1 2 va B nuqtasi orqali 1 1 va shuning uchun mos keladi R 1, bu mumkin emas.

Vazifa. Yo‘nalishli tomonlari bo‘lgan burchaklarning o‘lchamlari teng ekanligini isbotlang.

MAN va M 1 A 1 N 1 burchaklarining o‘zaro yo‘nalishli tomonlari bo‘lsin: AM nuri A 1 M 1 nur bilan, AN nuri esa A 1 N 1 nur bilan birgalikda yo‘naltirilgan (132-rasm).

AM va A 1 M 1 nurlarida biz uzunligi teng AB va A 1 B 1 segmentlarini joylashtiramiz. Keyin

|| va |BB 1 | = |AA 1 |

parallelogrammaning qarama-qarshi tomonlari kabi.

Xuddi shunday, AN va A 1 N 1 nurlarida uzunligi teng AC va A 1 C 1 segmentlarini chizamiz. Keyin

|| va |CC 1 | = |AA 1 |

Parallelizmning tranzitivligidan kelib chiqadiki, || . Va |BB 1 | dan beri = |CC 1 | , u holda BB 1 C 1 C parallelogramm va shuning uchun |BC| = |B 1 C 1 |.
Demak, /\ ABC /\ A 1 B 1 C 1 va.

"A olish" video kursi matematika bo'yicha Yagona davlat imtihonini 60-65 ball bilan muvaffaqiyatli topshirish uchun zarur bo'lgan barcha mavzularni o'z ichiga oladi. Matematika bo'yicha yagona davlat imtihonining 1-13-sonli barcha topshiriqlarini to'liq bajaring. Matematika bo'yicha asosiy yagona davlat imtihonini topshirish uchun ham javob beradi. Agar siz Yagona davlat imtihonini 90-100 ball bilan topshirmoqchi bo'lsangiz, 1-qismni 30 daqiqada va xatosiz hal qilishingiz kerak!

10-11-sinflar uchun, shuningdek, o'qituvchilar uchun yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik kursi. Matematika bo'yicha yagona davlat imtihonining 1-qismini (birinchi 12 ta masala) va 13-muammoni (trigonometriya) hal qilish uchun kerak bo'lgan hamma narsa. Va bu Yagona davlat imtihonida 70 balldan oshadi va na 100 ball to'plagan talaba, na gumanitar fanlar talabasi ularsiz qila olmaydi.

Barcha kerakli nazariya. Yagona davlat imtihonining tezkor echimlari, tuzoqlari va sirlari. FIPI vazifalar bankining 1-qismining barcha joriy vazifalari tahlil qilindi. Kurs 2018 yilgi Yagona davlat imtihonining talablariga to'liq javob beradi.

Kurs har biri 2,5 soatdan iborat 5 ta katta mavzuni o'z ichiga oladi. Har bir mavzu noldan sodda va tushunarli tarzda berilgan.

Yuzlab yagona davlat imtihon topshiriqlari. So'z muammolari va ehtimollar nazariyasi. Muammolarni hal qilish uchun oddiy va eslab qolish oson algoritmlar. Geometriya. Yagona davlat imtihonining barcha turlarining nazariyasi, ma'lumotnomasi, tahlili. Stereometriya. Ayyor echimlar, foydali varaqlar, fazoviy tasavvurni rivojlantirish. Trigonometriya noldan muammoga 13. Tiklash o'rniga tushunish. Murakkab tushunchalarning aniq tushuntirishlari. Algebra. Ildizlar, darajalar va logarifmlar, funksiya va hosila. Yagona davlat imtihonining 2-qismining murakkab muammolarini hal qilish uchun asos.

Kosmosdagi ikkita chiziq uchun to'rtta holat mumkin:

To'g'ri chiziqlar bir-biriga to'g'ri keladi;

Chiziqlar parallel (lekin mos kelmaydi);

Chiziqlar kesishadi;

To'g'ri chiziqlar kesishadi, ya'ni. umumiy nuqtalari yo'q va parallel emas.

To'g'ri chiziqlarni tasvirlashning ikkita usulini ko'rib chiqamiz: kanonik tenglamalar va umumiy tenglamalar. L 1 va L 2 chiziqlari kanonik tenglamalar bilan berilsin:

L 1: (x - x 1)/l 1 = (y - y 1)/m 1 = (z - z 1)/n 1, L 2: (x - x 2)/l 2 = (y - y) 2)/m 2 = (z - z 2)/n 2 (6,9)

Uning kanonik tenglamalaridan har bir chiziq uchun darhol M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) ∈ L 1, M 2 (x 2; y 2; z 2) ∈ L 2 va koordinatalarni aniqlaymiz. yo‘nalish vektorlarining s 1 = (l 1; m 1; n 1) L 1 uchun, s 2 = (l 2; m 2; n 2) L 2 uchun.

Agar chiziqlar bir-biriga to'g'ri kelsa yoki parallel bo'lsa, ularning yo'nalish vektorlari s 1 va s 2 kollinear bo'lib, bu vektorlarning koordinatalari nisbatlarining tengligiga tengdir:

l 1 / l 2 = m 1 / m 2 = n 1 / n 2. (6.10)

Agar chiziqlar bir-biriga to'g'ri kelsa, M 1 M 2 vektori yo'nalish vektorlariga to'g'ri keladi:

(x 2 - x 1)/l 1 = (y 2 - y 1)/m 1 = (z 2 - z 1)/n 1. (6.11)

Bu qo‘sh tenglik M 2 nuqtaning L 1 chizig‘iga tegishli ekanligini ham bildiradi. Binobarin, chiziqlarning mos kelishi sharti (6.10) va (6.11) tengliklarni bir vaqtning o'zida qondirishdir.

Agar chiziqlar kesishsa yoki kesishsa, unda ularning yo'nalish vektorlari kollinear emas, ya'ni. (6.10) sharti buzilgan. Kesishuvchi chiziqlar bir tekislikda yotadi va shuning uchun vektorlar s 1, s 2 va M 1 M 2 o'xshashuchinchi tartibli determinant, ularning koordinatalaridan iborat (3.2 ga qarang):

(6.12) shart to'rt holatdan uchtasida bajariladi, chunki D ≠ 0 uchun chiziqlar bir tekislikka tegishli emas va shuning uchun kesishadi.

Keling, barcha shartlarni birlashtiramiz:

Chiziqlarning nisbiy holati tizimning yechimlari soni bilan tavsiflanadi (6.13). Agar chiziqlar bir-biriga to'g'ri kelsa, u holda tizim cheksiz ko'p echimlarga ega. Agar chiziqlar kesishsa, bu tizim o'ziga xos echimga ega. Parallel yoki kesishgan holda, to'g'ridan-to'g'ri echimlar mavjud emas. Oxirgi ikkita holatni chiziqlarning yo'nalish vektorlarini topish orqali ajratish mumkin. Buning uchun ikkita hisoblash kifoya vektor san'ati n 1 × n 2 va n 3 × n 4, bu erda n i = (A i; B i; C i), i = 1, 2, 3,4. Olingan vektorlar kollinear bo'lsa, berilgan chiziqlar parallel bo'ladi. Aks holda ular chatishadi.

6.4-misol.

L 1 to'g'ri chiziqning s 1 yo'nalish vektori ushbu to'g'ri chiziqning kanonik tenglamalari yordamida topiladi: s 1 = (1; 3; -2). L 2 to'g'ri chiziqning s 2 yo'nalish vektori kesishishi bo'lgan tekisliklarning normal vektorlarining vektor mahsuloti yordamida hisoblanadi:

s 1 = -s 2 bo'lgani uchun, chiziqlar parallel yoki mos keladi. Keling, ushbu holatlarning qaysi biri ushbu chiziqlar uchun amalga oshirilganligini bilib olaylik. Buning uchun M 0 (1; 2; -1) ∈ L 1 nuqtaning koordinatalarini L 2 to'g'ri chiziqning umumiy tenglamalariga almashtiramiz. Ulardan birinchisi uchun biz 1 = 0 ni olamiz. Binobarin, M 0 nuqtasi L 2 chizig'iga tegishli emas va ko'rib chiqilayotgan chiziqlar parallel.

To'g'ri chiziqlar orasidagi burchak. Ikki to'g'ri chiziq orasidagi burchakni yordamida topish mumkin yo'nalish vektorlari Streyt To'g'ri chiziqlar orasidagi o'tkir burchak ularning yo'nalish vektorlari orasidagi burchakka teng (6.5-rasm) yoki yo'nalish vektorlari orasidagi burchak o'tmas bo'lsa, unga qo'shimcha bo'ladi. Shunday qilib, agar L 1 va L 2 chiziqlar uchun ularning yo'nalish vektorlari s x va s 2 ma'lum bo'lsa, u holda bu chiziqlar orasidagi o'tkir burchak ph skalyar ko'paytma orqali aniqlanadi:

cosph = |S 1 S 2 |/|S 1 ||S 2 |

Masalan, s i = (l i ; m i ; n i ), i = 1, 2. (2.9) va (2.14) formulalardan foydalanib hisoblaymiz. vektor uzunligi va koordinatalarda skalyar hosilani olamiz