Kvadrat tenglamalarni yechish, ildiz formulasi, misollar. Kvadrat tenglamalar. Kvadrat tenglamalarni yechish Kvadrat tenglamani hosilaga aylantirish usullari

Ko'pchilik unchalik bo'lmagani uchun bu mavzu boshida qiyin bo'lib tuyulishi mumkin oddiy formulalar. Kvadrat tenglamalarning o'zi nafaqat uzun yozuvlarga ega, balki ildizlari ham diskriminant orqali topiladi. Hammasi bo'lib uchta yangi formulalar olinadi. Eslab qolish unchalik oson emas. Bunday tenglamalarni tez-tez yechgandan keyingina bu mumkin. Keyin barcha formulalar o'z-o'zidan eslab qoladi.

Kvadrat tenglamaning umumiy ko'rinishi

Bu erda biz eng katta daraja avval, keyin esa kamayish tartibida yozilganda ularni aniq qayd qilishni taklif qilamiz. Ko'pincha shartlar mos kelmaydigan holatlar mavjud. Keyin tenglamani o'zgaruvchining darajasining kamayish tartibida qayta yozgan ma'qul.

Keling, ba'zi belgilar bilan tanishaylik. Ular quyidagi jadvalda keltirilgan.

Agar bu yozuvlarni qabul qilsak, barcha kvadrat tenglamalar quyidagi belgiga keltiriladi.

Bundan tashqari, a ≠ 0 koeffitsienti. Bu formula birinchi raqam bilan belgilansin.

Tenglama berilganda, javobda nechta ildiz bo'lishi aniq emas. Chunki uchta variantdan biri har doim mumkin:

eritma ikkita ildizga ega bo'ladi;
javob bitta raqam bo'ladi;
tenglamaning hech qanday ildizi bo'lmaydi.

Va qaror qabul qilinmaguncha, ma'lum bir holatda qaysi variant paydo bo'lishini tushunish qiyin.

Kvadrat tenglamalarni yozish turlari

Vazifalarda turli xil yozuvlar bo'lishi mumkin. Ular har doim ham o'xshamaydi umumiy formula kvadrat tenglama. Ba'zida ba'zi shartlar etishmaydi. Yuqorida yozilgan narsa to'liq tenglamadir. Agar siz undagi ikkinchi yoki uchinchi atamani olib tashlasangiz, siz boshqa narsani olasiz. Ushbu yozuvlar kvadrat tenglamalar deb ham ataladi, faqat to'liq emas.

Bundan tashqari, faqat "b" va "c" koeffitsientlari bilan atamalar yo'qolishi mumkin. "A" soni hech qanday sharoitda nolga teng bo'lishi mumkin emas. Chunki bu holda formula chiziqli tenglamaga aylanadi. Tenglamalarning to'liq bo'lmagan shakli uchun formulalar quyidagicha bo'ladi:

Shunday qilib, faqat ikkita tur mavjud; to'liqlardan tashqari, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar ham mavjud. Birinchi formula ikki raqam, ikkinchisi esa uchta bo'lsin.

Diskriminant va ildizlar sonining uning qiymatiga bog'liqligi

Tenglamaning ildizlarini hisoblash uchun bu raqamni bilishingiz kerak. Kvadrat tenglamaning formulasi qanday bo'lishidan qat'i nazar, uni har doim hisoblash mumkin. Diskriminantni hisoblash uchun siz quyida yozilgan tenglikdan foydalanishingiz kerak, unda to'rtinchi raqam bo'ladi.

Ushbu formulaga koeffitsient qiymatlarini almashtirgandan so'ng, siz raqamlarni olishingiz mumkin turli belgilar. Agar javob ha bo'lsa, tenglamaning javobi ikki xil ildiz bo'ladi. Agar raqam manfiy bo'lsa, kvadrat tenglamaning ildizlari bo'lmaydi. Agar u nolga teng bo'lsa, faqat bitta javob bo'ladi.

To'liq kvadrat tenglamani qanday yechish mumkin?

Aslida, bu masalani ko'rib chiqish allaqachon boshlangan. Chunki birinchi navbatda siz diskriminantni topishingiz kerak. Kvadrat tenglamaning ildizlari borligi va ularning soni ma'lum bo'lgandan so'ng, o'zgaruvchilar uchun formulalardan foydalanish kerak. Agar ikkita ildiz bo'lsa, unda siz quyidagi formulani qo'llashingiz kerak.

U "±" belgisini o'z ichiga olganligi sababli, ikkita qiymat bo'ladi. Kvadrat ildiz belgisi ostidagi ifoda diskriminant hisoblanadi. Shuning uchun formulani boshqacha tarzda qayta yozish mumkin.

Formula raqami besh. Xuddi shu yozuvdan ko'rinib turibdiki, agar diskriminant nolga teng bo'lsa, unda ikkala ildiz ham bir xil qiymatlarni oladi.

Agar kvadrat tenglamalarni echish hali ishlab chiqilmagan bo'lsa, diskriminant va o'zgaruvchan formulalarni qo'llashdan oldin barcha koeffitsientlarning qiymatlarini yozish yaxshiroqdir. Keyinchalik bu daqiqa qiyinchiliklarga olib kelmaydi. Ammo boshida chalkashlik bor.

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamani qanday yechish mumkin?

Bu erda hamma narsa ancha sodda. Hatto qo'shimcha formulalarga ham ehtiyoj yo'q. Va diskriminant va noma'lum uchun allaqachon yozib qo'yilgan narsalar kerak bo'lmaydi.

Birinchidan, ikkinchi raqamli to'liq bo'lmagan tenglamani ko'rib chiqaylik. Bu tenglikda noma’lum miqdorni qavs ichidan chiqarib, chiziqli tenglamani yechish kerak, bu esa qavs ichida qoladi. Javob ikkita ildizga ega bo'ladi. Birinchisi, albatta, nolga teng, chunki o'zgaruvchining o'zidan tashkil topgan multiplikator mavjud. Ikkinchisi chiziqli tenglamani yechish orqali olinadi.

To'liq bo'lmagan uchinchi tenglama raqamni tenglikning chap tomonidan o'ngga siljitish orqali hal qilinadi. Keyin noma'lum tomonga qaragan koeffitsientga bo'lish kerak. Kvadrat ildizni ajratib olish va uni ikki marta qarama-qarshi belgilar bilan yozishni unutmang.

Quyida kvadrat tenglamalarga aylanadigan barcha turdagi tengliklarni yechishni o'rganishga yordam beradigan bir necha qadamlar keltirilgan. Ular o'quvchiga e'tiborsizlik tufayli xatolardan qochishga yordam beradi. Ushbu kamchiliklar keng qamrovli "Kvadrat tenglamalar (8-sinf)" mavzusini o'rganishda yomon baholarga olib kelishi mumkin. Keyinchalik, bu harakatlar doimiy ravishda bajarilishi shart emas. Chunki barqaror mahorat paydo bo'ladi.

Avval siz tenglamani standart shaklda yozishingiz kerak. Ya'ni, birinchi navbatda o'zgaruvchining eng katta darajasiga ega atama, keyin esa - darajasiz va oxirgi - faqat raqam.

Agar "a" koeffitsientidan oldin minus paydo bo'lsa, bu kvadrat tenglamalarni o'rganayotgan yangi boshlanuvchilar uchun ishni murakkablashtirishi mumkin. Undan qutulish yaxshiroqdir. Buning uchun barcha tenglikni "-1" ga ko'paytirish kerak. Bu shuni anglatadiki, barcha shartlar ishorani teskari tomonga o'zgartiradi.

Xuddi shu tarzda fraksiyalardan qutulish tavsiya etiladi. Denominatorlarni bekor qilish uchun tenglamani tegishli koeffitsientga ko'paytirish kifoya.

Misollar

Quyidagi kvadrat tenglamalarni yechish kerak:

x 2 - 7x = 0;

15 - 2x - x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Birinchi tenglama: x 2 − 7x = 0. U to'liq emas, shuning uchun u ikkinchi formulada ta'riflanganidek echiladi.

Uni qavsdan olib chiqqandan so'ng, shunday bo'ladi: x (x - 7) = 0.

Birinchi ildiz quyidagi qiymatni oladi: x 1 = 0. Ikkinchisi chiziqli tenglamadan topiladi: x - 7 = 0. X 2 = 7 ekanligini ko'rish oson.

Ikkinchi tenglama: 5x 2 + 30 = 0. Yana to'liq emas. Faqat uchinchi formulada tasvirlanganidek hal qilinadi.

30 ni tenglamaning o'ng tomoniga o'tkazgandan so'ng: 5x 2 = 30. Endi siz 5 ga bo'lishingiz kerak. Bu chiqadi: x 2 = 6. Javoblar raqamlar bo'ladi: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Uchinchi tenglama: 15 − 2x − x 2 = 0. Bu erda va keyin kvadrat tenglamalarni yechish ularni standart shaklda qayta yozishdan boshlanadi: − x 2 − 2x + 15 = 0. Endi ikkinchidan foydalanish vaqti keldi. foydali maslahat va hamma narsani minus birga ko'paytiring. Bu chiqadi x 2 + 2x - 15 = 0. To'rtinchi formuladan foydalanib, siz diskriminantni hisoblashingiz kerak: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Bu ijobiy raqam. Yuqorida aytilganlardan ko'rinib turibdiki, tenglama ikkita ildizga ega. Ularni beshinchi formuladan foydalanib hisoblash kerak. Aniqlanishicha, x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Keyin x 1 = 3, x 2 = - 5 bo'ladi.

To'rtinchi tenglama x 2 + 8 + 3x = 0 quyidagicha o'zgartiriladi: x 2 + 3x + 8 = 0. Uning diskriminanti bu qiymatga teng: -23. Bu raqam salbiy bo'lgani uchun, bu vazifaga javob quyidagi yozuv bo'ladi: "Hech qanday ildiz yo'q".

Beshinchi tenglama 12x + x 2 + 36 = 0 quyidagicha qayta yozilishi kerak: x 2 + 12x + 36 = 0. Diskriminant uchun formulani qo'llaganingizdan so'ng, nol soni olinadi. Bu shuni anglatadiki, u bitta ildizga ega bo'ladi, ya'ni: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Oltinchi tenglama (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) o'zgartirishlarni talab qiladi, ular avval qavslarni ochib, o'xshash atamalarni olib kelishingiz kerakligidan iborat. Birinchisining o'rnida quyidagi ifoda bo'ladi: x 2 + 2x + 1. Tenglikdan keyin bu yozuv paydo bo'ladi: x 2 + 3x + 2. O'xshash atamalar hisoblangandan so'ng, tenglama quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: x 2 - x = 0. U to'liq bo'lmagan. Bunga o'xshash narsa allaqachon biroz yuqoriroq muhokama qilingan. Buning ildizlari 0 va 1 raqamlari bo'ladi.

Matematikadagi ba'zi muammolar kvadrat ildizning qiymatini hisoblash qobiliyatini talab qiladi. Bunday masalalarga ikkinchi tartibli tenglamalarni yechish kiradi. Ushbu maqolada biz hisoblashning samarali usulini taqdim etamiz kvadrat ildizlar va kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulalar bilan ishlashda foydalaning.

Kvadrat ildiz nima?

Matematikada bu tushuncha √ belgisiga mos keladi. Tarixiy ma'lumotlarga ko'ra, u birinchi marta 16-asrning birinchi yarmida Germaniyada ishlatilgan (Kristof Rudolfning algebra bo'yicha birinchi nemis asari). Olimlarning fikriga ko'ra, ramz o'zgartirilgan lotin harfi r (radix lotincha "ildiz" degan ma'noni anglatadi).

Har qanday sonning ildizi kvadrati radikal ifodaga mos keladigan qiymatga teng. Matematika tilida bu ta'rif quyidagicha ko'rinadi: √x = y, agar y 2 = x bo'lsa.

Ijobiy sonning ildizi (x > 0) ham musbat son (y > 0), lekin agar ildizni olsak. salbiy raqam(x< 0), то его результатом уже будет murakkab son, shu jumladan xayoliy birlik i.

Mana ikkita oddiy misol:

√9 = 3, chunki 3 2 = 9; √(-9) = 3i, chunki i 2 = -1.

Kvadrat ildizlarning qiymatlarini topish uchun Heronning iterativ formulasi

Yuqoridagi misollar juda oddiy va ulardagi ildizlarni hisoblash qiyin emas. Kvadrat shaklida tasvirlab bo'lmaydigan har qanday qiymat uchun ildiz qiymatlarini topishda qiyinchiliklar paydo bo'la boshlaydi natural son, masalan √10, √11, √12, √13, amalda butun bo'lmagan sonlar uchun ildizlarni topish zarurligini aytmasa ham bo'ladi: masalan √(12,15), √(8,5) va hokazo.

Yuqoridagi barcha holatlarda kvadrat ildizni hisoblash uchun maxsus usuldan foydalanish kerak. Hozirgi vaqtda bunday usullarning bir nechtasi ma'lum: masalan, Teylor seriyasini kengaytirish, ustunlarni bo'lish va boshqalar. Ma'lum bo'lgan barcha usullardan, ehtimol, eng sodda va eng samaralisi Heronning iterativ formulasidan foydalanish bo'lib, u Kvadrat ildizlarni aniqlashning Bobil usuli sifatida ham tanilgan (qadimgi bobilliklar o'zlarining amaliy hisob-kitoblarida undan foydalanganliklari haqida dalillar mavjud).

√x qiymatini aniqlash zarur bo'lsin. Kvadrat ildizni topish formulasi quyidagicha:

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), bunda lim n->∞ (a n) => x.

Keling, ushbu matematik yozuvni hal qilaylik. √x ni hisoblash uchun siz ma'lum bir 0 raqamini olishingiz kerak (u o'zboshimchalik bilan bo'lishi mumkin, ammo natijani tezda olish uchun uni (a 0) 2 imkon qadar x ga yaqin bo'lishi uchun tanlashingiz kerak. Keyin uni o'rniga qo'ying. kvadrat ildizni hisoblash uchun ko'rsatilgan formuladan foydalaning va yangi a 1 raqamini oling, bu allaqachon kerakli qiymatga yaqinroq bo'ladi. Shundan so'ng siz ifodaga 1 ni qo'yishingiz va 2 ni olishingiz kerak. Ushbu protsedura kerakli qiymatgacha takrorlanishi kerak aniqlik olinadi.

Heronning iterativ formulasidan foydalanishga misol

Berilgan raqamning kvadrat ildizini olish uchun yuqorida tavsiflangan algoritm ko'pchilik uchun juda murakkab va chalkash tuyulishi mumkin, lekin aslida hamma narsa ancha sodda bo'lib chiqadi, chunki bu formula juda tez birlashadi (ayniqsa, agar muvaffaqiyatli raqam 0 tanlangan bo'lsa) .

Oddiy misol keltiraylik: √11 ni hisoblashingiz kerak. 0 = 3 ni tanlaymiz, chunki 3 2 = 9, 4 2 = 16 dan ko'ra 11 ga yaqinroqdir. Formulani almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:

a 1 = 1/2 (3 + 11/3) = 3,333333;

a 2 = 1/2 (3,33333 + 11/3,33333) = 3,316668;

a 3 = 1/2 (3,316668 + 11/3,316668) = 3,31662.

Hisob-kitoblarni davom ettirishning ma'nosi yo'q, chunki biz 2 va 3 raqamlari faqat beshinchi kasrda farq qila boshlaganini aniqladik. Shunday qilib, 0,0001 aniqlik bilan √11 ni hisoblash uchun formulani faqat 2 marta qo'llash kifoya edi.

Hozirgi vaqtda kalkulyatorlar va kompyuterlar ildizlarni hisoblash uchun keng qo'llaniladi, ammo ularning aniq qiymatini qo'lda hisoblash imkoniyatiga ega bo'lish uchun belgilangan formulani eslab qolish foydalidir.

Ikkinchi tartibli tenglamalar

Kvadrat ildiz nima ekanligini tushunish va uni hisoblash qobiliyati kvadrat tenglamalarni yechishda qo'llaniladi. Ushbu tenglamalar bitta noma'lum tenglik deb ataladi, ularning umumiy shakli quyidagi rasmda ko'rsatilgan.

Bu erda c, b va a ba'zi raqamlarni ifodalaydi va a nolga teng bo'lmasligi kerak va c va b qiymatlari butunlay ixtiyoriy bo'lishi mumkin, shu jumladan nolga teng.

Rasmda ko'rsatilgan tenglikni qondiradigan x ning har qanday qiymatlari uning ildizlari deb ataladi (bu tushunchani kvadrat ildiz √ bilan aralashtirib yubormaslik kerak). Ko'rib chiqilayotgan tenglama 2-tartibli (x 2) bo'lgani uchun, u uchun ikkitadan ortiq ildiz bo'lishi mumkin emas. Keling, ushbu ildizlarni qanday topishni maqolada ko'rib chiqaylik.

Kvadrat tenglamaning ildizlarini topish (formula)

Ko'rib chiqilayotgan tenglik turini yechishning bu usuli universal usul yoki diskriminant usuli deb ham ataladi. U har qanday kvadrat tenglamalar uchun ishlatilishi mumkin. Kvadrat tenglamaning diskriminanti va ildizlari formulasi quyidagicha:

Bu shuni ko'rsatadiki, ildizlar tenglamaning uchta koeffitsientining har birining qiymatiga bog'liq. Bundan tashqari, x 1 ni hisoblash x 2 ni hisoblashdan faqat kvadrat ildiz oldidagi belgi bilan farq qiladi. b 2 - 4ac ga teng bo'lgan radikal ifoda ko'rib chiqilayotgan tenglikning diskriminantidan boshqa narsa emas. Kvadrat tenglamaning ildizlari formulasidagi diskriminant muhim rol o'ynaydi, chunki u yechimlar soni va turini aniqlaydi. Demak, agar u nolga teng bo'lsa, u holda faqat bitta yechim bo'ladi, agar u musbat bo'lsa, tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega bo'ladi va nihoyat, manfiy diskriminant ikkita murakkab ildiz x 1 va x 2 ga olib keladi.

Vyeta teoremasi yoki ikkinchi tartibli tenglamalar ildizlarining ayrim xossalari

16-asr oxirida zamonaviy algebra asoschilaridan biri frantsuz ikkinchi tartibli tenglamalarni o'rganib, uning ildizlarining xususiyatlarini olishga muvaffaq bo'ldi. Matematik jihatdan ularni quyidagicha yozish mumkin:

x 1 + x 2 = -b / a va x 1 * x 2 = c / a.

Ikkala tenglikni ham har kim osongina olishi mumkin, buning uchun siz diskriminant bilan formula orqali olingan ildizlar bilan tegishli matematik operatsiyalarni bajarishingiz kerak.

Ushbu ikki ifodaning kombinatsiyasini haqli ravishda kvadrat tenglamaning ildizlari uchun ikkinchi formula deb atash mumkin, bu esa uning echimlarini diskriminantdan foydalanmasdan taxmin qilish imkonini beradi. Bu erda shuni ta'kidlash kerakki, har ikkala ifoda ham har doim to'g'ri bo'lsa-da, faqat uni koeffitsientlarga ajratish mumkin bo'lsa, ulardan tenglamani echishda foydalanish qulay.

Olingan bilimlarni mustahkamlash vazifasi

Keling, qaror qilaylik matematik muammo, unda biz maqolada muhokama qilingan barcha texnikani namoyish qilamiz. Muammoning shartlari quyidagicha: ko'paytmasi -13 va yig'indisi 4 ga teng bo'lgan ikkita raqamni topishingiz kerak.

Bu holat bizga Vyeta teoremasini darhol eslatadi; kvadrat ildizlar va ularning hosilasi yig'indisi formulalaridan foydalanib, biz yozamiz:

x 1 + x 2 = -b / a = 4;

x 1 * x 2 = c / a = -13.

Agar a = 1 deb faraz qilsak, b = -4 va c = -13. Ushbu koeffitsientlar bizga ikkinchi tartibli tenglamani yaratishga imkon beradi:

x 2 - 4x - 13 = 0.

Diskriminant bilan formuladan foydalanamiz va quyidagi ildizlarni olamiz:

x 1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

Ya'ni, muammo √68 raqamini topishga qisqartirildi. E'tibor bering, 68 = 4 * 17, keyin kvadrat ildiz xususiyatidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz: √68 = 2√17.

Endi ko'rib chiqilgan kvadrat ildiz formulasidan foydalanamiz: a 0 = 4, keyin:

a 1 = 1/2 (4 + 17/4) = 4,125;

a 2 = 1/2 (4.125 + 17 / 4.125) = 4.1231.

3 ni hisoblashning hojati yo'q, chunki topilgan qiymatlar atigi 0,02 ga farq qiladi. Shunday qilib, √68 = 8,246. Uni x 1,2 formulasiga almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:

x 1 = (4 + 8,246)/2 = 6,123 va x 2 = (4 - 8,246)/2 = -2,123.

Ko'rib turganimizdek, topilgan sonlar yig'indisi haqiqatan ham 4 ga teng, lekin agar ularning mahsulotini topsak, u -12,999 ga teng bo'ladi, bu esa 0,001 aniqlik bilan masala shartlarini qanoatlantiradi.

Shunchaki. Formulalar va aniq, oddiy qoidalarga ko'ra. Birinchi bosqichda

berilgan tenglamani standart shaklga keltirish kerak, ya'ni. shaklga:

Agar tenglama sizga ushbu shaklda allaqachon berilgan bo'lsa, birinchi bosqichni bajarishingiz shart emas. Eng muhimi, buni to'g'ri qilishdir

barcha koeffitsientlarni aniqlang; A, b Va c.

Kvadrat tenglamaning ildizlarini topish formulasi.

Ildiz belgisi ostidagi ifoda deyiladi diskriminant . Ko'rib turganingizdek, X topish uchun biz

foydalanamiz faqat a, b va c. Bular. dan koeffitsientlar kvadrat tenglama. Faqat ehtiyotkorlik bilan joylashtiring

qiymatlar a, b va c Biz ushbu formula bo'yicha hisoblaymiz. bilan almashtiramiz ularning belgilar!

Masalan, tenglamada:

A =1; b = 3; c = -4.

Biz qiymatlarni almashtiramiz va yozamiz:

Misol deyarli hal qilindi:

Bu javob.

Eng keng tarqalgan xatolar belgilar qiymatlari bilan chalkashlikdir a, b Va Bilan. To'g'rirog'i, almashtirish bilan

manfiy qiymatlarni ildizlarni hisoblash formulasiga kiriting. Formulaning batafsil yozuvi bu erda yordamga keladi

aniq raqamlar bilan. Agar hisob-kitoblarda muammolaringiz bo'lsa, buni qiling!

Aytaylik, biz quyidagi misolni hal qilishimiz kerak:

Bu yerga a = -6; b = -5; c = -1

Biz hamma narsani batafsil, diqqat bilan, barcha belgilar va qavslar bilan o'tkazib yubormasdan tasvirlaymiz:

Kvadrat tenglamalar ko'pincha bir oz boshqacha ko'rinadi. Masalan, bu kabi:

Endi xatolar sonini keskin kamaytiradigan amaliy usullarga e'tibor bering.

Birinchi uchrashuv. Oldin dangasa bo'lmang kvadrat tenglamani yechish uni standart shaklga keltiring.

Bu nimani anglatadi?

Aytaylik, barcha o'zgarishlardan keyin siz quyidagi tenglamani olasiz:

Ildiz formulasini yozishga shoshilmang! Siz, albatta, ehtimollarni aralashtirib yuborasiz a, b va c.

Misolni to'g'ri tuzing. Birinchidan, X kvadrat, keyin kvadratsiz, keyin erkin atama. Mana bunday:

Minusdan xalos bo'ling. Qanaqasiga? Biz butun tenglamani -1 ga ko'paytirishimiz kerak. Biz olamiz:

Ammo endi siz ildizlar uchun formulani xavfsiz yozishingiz, diskriminantni hisoblashingiz va misolni hal qilishni tugatishingiz mumkin.

O'zingiz uchun qaror qiling. Endi sizda 2 va -1 ildizlari bo'lishi kerak.

Ikkinchi qabul. Ildizlarni tekshiring! tomonidan Vyeta teoremasi.

Berilgan kvadrat tenglamalarni yechish uchun, ya'ni. koeffitsienti bo'lsa

x 2 +bx+c=0,

Keyinx 1 x 2 =c

x 1 +x 2 =−b

To'liq kvadrat tenglama uchun a≠1:

x 2 +bx+c=0,

butun tenglamani ga bo'ling A:

→ →

Qayerda x 1 Va x 2 - tenglamaning ildizlari.

Uchinchi qabul. Agar sizning tenglamangiz kasr koeffitsientlariga ega bo'lsa, kasrlardan xalos bo'ling! Ko'paytiring

umumiy maxrajli tenglama.

Xulosa. Amaliy maslahatlar:

1. Yechishdan oldin kvadrat tenglamani standart shaklga keltiramiz va uni tuzamiz To'g'ri.

2. Agar X kvadrat oldida manfiy koeffitsient bo'lsa, biz hamma narsani ko'paytirish orqali uni yo'q qilamiz

-1 ga tenglamalar.

3. Agar koeffitsientlar kasr bo'lsa, biz butun tenglamani mos keladigan ko'paytirish orqali kasrlarni yo'q qilamiz.

omil.

4. Agar x kvadrati sof bo'lsa, uning koeffitsienti birga teng bo'lsa, yechim osongina tekshirilishi mumkin

Matematikada tenglamalarni yechish alohida o'rin tutadi. Ushbu jarayondan oldin ko'p soatlik nazariyani o'rganish bo'lib, unda talaba tenglamalarni echishni, ularning turini aniqlashni o'rganadi va avtomatlashtirishni yakunlash ko'nikmasiga ega bo'ladi. Biroq, ildizlarni qidirish har doim ham mantiqiy emas, chunki ular mavjud bo'lmasligi mumkin. Ildizlarni topish uchun maxsus texnikalar mavjud. Ushbu maqolada biz asosiy funktsiyalarni, ularning ta'rif sohalarini, shuningdek ularning ildizlari etishmayotgan holatlarni tahlil qilamiz.

Qaysi tenglamaning ildizi yo'q?

Agar tenglama bir xil to'g'ri bo'lgan x haqiqiy argumentlar bo'lmasa, tenglamaning ildizlari bo'lmaydi. Mutaxassis bo'lmagan kishi uchun bu formula, ko'pgina matematik teoremalar va formulalar kabi, juda noaniq va mavhum ko'rinadi, ammo bu nazariy jihatdan. Amalda, hamma narsa juda oddiy bo'ladi. Masalan: 0 * x = -53 tenglamaning yechimi yo'q, chunki nolga tenglamasi noldan boshqa narsani beradigan x raqami yo'q.

Endi biz tenglamalarning eng asosiy turlarini ko'rib chiqamiz.

1. Chiziqli tenglama

Tenglama chiziqli deyiladi, agar uning o'ng va chap tomonlari chiziqli funksiyalar sifatida ifodalansa: ax + b = cx + d yoki umumlashtirilgan kx + b = 0. Bu erda a, b, c, d ma'lum sonlar, x esa - noma'lum miqdor. Qaysi tenglamaning ildizi yo'q? Misollar chiziqli tenglamalar quyidagi rasmda keltirilgan.

Asosan, chiziqli tenglamalar oddiygina son qismini bir qismga va x tarkibini boshqasiga o'tkazish orqali hal qilinadi. Natijada mx = n ko'rinishdagi tenglama hosil bo'ladi, bu erda m va n sonlar, x esa noma'lum. X ni topish uchun ikkala tomonni m ga bo'lish kifoya. Keyin x = n/m. Ko'pgina chiziqli tenglamalar faqat bitta ildizga ega, ammo ildizlar cheksiz ko'p yoki umuman bo'lmagan holatlar mavjud. m = 0 va n = 0 bo'lganda, tenglama 0 * x = 0 ko'rinishini oladi. Bunday tenglamaning yechimi mutlaqo istalgan son bo'ladi.

Biroq, qanday tenglamaning ildizi yo'q?

m = 0 va n = 0 uchun tenglama haqiqiy sonlar to'plamida ildizlarga ega emas. 0 * x = -1; 0 * x = 200 - bu tenglamalarning ildizlari yo'q.

2. Kvadrat tenglama

Kvadrat tenglama a = 0 uchun ax 2 + bx + c = 0 ko'rinishdagi tenglamadir. Eng keng tarqalgan yechim diskriminant orqali. Kvadrat tenglamaning diskriminantini topish formulasi: D = b 2 - 4 * a * c. Keyin ikkita ildiz bor x 1,2 = (-b ± √D) / 2 * a.

D > 0 uchun tenglama ikkita ildizga ega, D = 0 uchun esa bitta ildizga ega. Ammo qaysi kvadrat tenglamaning ildizi yo'q? Kvadrat tenglamaning ildizlari sonini kuzatishning eng oson usuli bu parabola bo'lgan funktsiyaning grafigini chizishdir. a > 0 uchun shoxlar yuqoriga yo'naltiriladi, a uchun< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

Bundan tashqari, diskriminantni hisoblamasdan, ildizlar sonini vizual tarzda aniqlashingiz mumkin. Buning uchun parabolaning cho'qqisini topib, shoxlari qaysi tomonga yo'naltirilganligini aniqlash kerak. Tepalikning x koordinatasini quyidagi formula yordamida aniqlash mumkin: x 0 = -b / 2a. Bunday holda, cho'qqining y koordinatasi oddiy tenglamaga x 0 qiymatini almashtirish orqali topiladi.

X 2 - 8x + 72 = 0 kvadrat tenglamaning ildizlari yo'q, chunki uning manfiy diskriminanti D = (-8) 2 - 4 * 1 * 72 = -224. Bu shuni anglatadiki, parabola x o'qiga tegmaydi va funktsiya hech qachon 0 qiymatini olmaydi, shuning uchun tenglama haqiqiy ildizlarga ega emas.

3. Trigonometrik tenglamalar

Trigonometrik funktsiyalar trigonometrik doirada ko'rib chiqiladi, lekin dekart koordinatalar tizimida ham ifodalanishi mumkin. Ushbu maqolada biz ikkita asosiy narsani ko'rib chiqamiz trigonometrik funktsiyalar va ularning tenglamalari: sinx va kosx. Bu funksiyalar radiusi 1, |sinx| bilan trigonometrik doira hosil qilganligi uchun va |cosx| 1 dan katta bo'lishi mumkin emas. Xo'sh, qaysi sinx tenglamaning ildizi yo'q? Quyidagi rasmda ko'rsatilgan sinx funksiyasining grafigini ko'rib chiqing.

Funktsiya simmetrik ekanligini va takrorlanish davri 2pi ekanligini ko'ramiz. Shunga asoslanib aytishimiz mumkinki, bu funksiyaning maksimal qiymati 1, minimali esa -1 bo'lishi mumkin. Masalan, cosx = 5 ifodasi ildizga ega bo'lmaydi, chunki uning mutlaq qiymati birdan katta.

Bu trigonometrik tenglamalarning eng oddiy misolidir. Aslida, ularni hal qilish juda ko'p sahifalarni olishi mumkin, buning oxirida siz noto'g'ri formuladan foydalanganingizni tushunasiz va barchasini qaytadan boshlashingiz kerak. Ba'zan, agar siz ildizlarni to'g'ri topsangiz ham, OD bo'yicha cheklovlarni hisobga olishni unutishingiz mumkin, shuning uchun javobda qo'shimcha ildiz yoki interval paydo bo'ladi va butun javob xatoga aylanadi. Shuning uchun, barcha cheklovlarga qat'iy rioya qiling, chunki barcha ildizlar vazifa doirasiga to'g'ri kelmaydi.

4. Tenglamalar sistemalari

Tenglamalar tizimi jingalak yoki kvadrat qavslar bilan birlashtirilgan tenglamalar to'plamidir. Jingalak qavslar barcha tenglamalar birgalikda bajarilganligini bildiradi. Ya'ni, agar tenglamalarning kamida bittasi ildizga ega bo'lmasa yoki boshqasiga zid bo'lsa, butun tizimning echimi yo'q. Kvadrat qavslar "yoki" so'zini bildiradi. Bu shuni anglatadiki, agar tizim tenglamalaridan kamida bittasi yechimga ega bo'lsa, unda butun tizim yechimga ega.

c tizimining javobi individual tenglamalarning barcha ildizlari to'plamidir. Va jingalak qavsli tizimlar faqat umumiy ildizlarga ega. Tenglamalar tizimlari butunlay boshqa funktsiyalarni o'z ichiga olishi mumkin, shuning uchun bunday murakkablik bizga qaysi tenglamaning ildizlari yo'qligini darhol aytishga imkon bermaydi.

Muammoli kitoblar va darsliklarda tenglamalarning har xil turlari mavjud: ildizlari bo'lganlari va yo'qlari. Birinchidan, agar siz ildizlarni topa olmasangiz, ular umuman yo'q deb o'ylamang. Ehtimol, siz biron bir joyda xatoga yo'l qo'ygan bo'lsangiz, unda siz qaroringizni diqqat bilan ikki marta tekshirishingiz kerak.

Biz eng asosiy tenglamalarni va ularning turlarini ko'rib chiqdik. Endi siz qaysi tenglamaning ildizi yo'qligini ayta olasiz. Aksariyat hollarda buni qilish qiyin emas. Tenglamalarni echishda muvaffaqiyatga erishish uchun faqat diqqat va konsentratsiya kerak. Ko'proq mashq qiling, bu sizga materialni yaxshiroq va tezroq boshqarishga yordam beradi.

Shunday qilib, tenglamaning ildizlari yo'q, agar:

mx = n chiziqli tenglamada qiymat m = 0 va n = 0;
kvadrat tenglamada, agar diskriminant noldan kichik bo'lsa;
cosx = m / sinx = n ko'rinishdagi trigonometrik tenglamada, agar |m| > 0, |n| > 0;
kamida bitta tenglamaning ildizi bo'lmasa, jingalak qavsli tenglamalar tizimida, agar barcha tenglamalarda ildiz bo'lmasa, kvadrat qavs bilan.

", ya'ni birinchi darajali tenglamalar. Ushbu darsda biz ko'rib chiqamiz nima kvadrat tenglama deyiladi va uni qanday hal qilish kerak.

Kvadrat tenglama nima?

Muhim!

Tenglamaning darajasi noma'lumning eng yuqori darajasi bilan belgilanadi.

Agar noma'lum bo'lgan maksimal quvvat "2" bo'lsa, sizda kvadrat tenglama mavjud.

Kvadrat tenglamalarga misollar

5x 2 − 14x + 17 = 0
−x 2 + x +
1
3
= 0
x 2 + 0,25x = 0
x 2 − 8 = 0

Muhim! Kvadrat tenglamaning umumiy shakli quyidagicha ko'rinadi:

A x 2 + b x + c = 0

“a”, “b” va “c” raqamlari berilgan.

"a" - birinchi yoki eng yuqori koeffitsient;
"b" - ikkinchi koeffitsient;
"c" - bepul a'zo.

"A", "b" va "c" ni topish uchun siz o'zingizning tenglamangizni "ax 2 + bx + c = 0" kvadrat tenglamaning umumiy shakli bilan taqqoslashingiz kerak.

Kvadrat tenglamalarda “a”, “b” va “c” koeffitsientlarini aniqlashni mashq qilaylik.

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Tenglama	Imkoniyatlar
a = 5 b = -14 c = 17
a = -7 b = -13 c = 8

= 0

a = -1
b = 1
c =
1
3

x 2 + 0,25x = 0

a = 1
b = 0,25
c = 0

x 2 − 8 = 0

a = 1
b = 0
c = -8

Kvadrat tenglamalarni yechish usullari

Chiziqli tenglamalardan farqli o'laroq, kvadrat tenglamalarni yechish uchun maxsus usul qo'llaniladi. ildizlarni topish formulasi.

Eslab qoling!

Kvadrat tenglamani yechish uchun sizga kerak bo'ladi:

kvadrat tenglamani “ax 2 + bx + c = 0” umumiy ko'rinishga keltiring. Ya'ni, o'ng tomonda faqat "0" qolishi kerak;
ildizlar uchun formuladan foydalaning:

Kvadrat tenglamaning ildizlarini topish uchun formuladan foydalanish misolini ko‘rib chiqamiz. Kvadrat tenglamani yechamiz.

X 2 − 3x − 4 = 0

"x 2 - 3x - 4 = 0" tenglamasi allaqachon "ax 2 + bx + c = 0" umumiy ko'rinishiga qisqartirilgan va qo'shimcha soddalashtirishlarni talab qilmaydi. Buni hal qilish uchun biz faqat murojaat qilishimiz kerak kvadrat tenglamaning ildizlarini topish formulasi.

Bu tenglama uchun “a”, “b” va “c” koeffitsientlarini aniqlaymiz.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

U har qanday kvadrat tenglamani yechish uchun ishlatilishi mumkin.

“x 1;2 =” formulasida radikal ifoda ko'pincha almashtiriladi
"D" harfi uchun "b 2 - 4ac" va diskriminant deb ataladi. Diskriminant tushunchasi "Diskriminant nima" darsida batafsilroq muhokama qilinadi.

Kvadrat tenglamaning yana bir misolini ko'rib chiqamiz.

x 2 + 9 + x = 7x

Ushbu shaklda "a", "b" va "c" koeffitsientlarini aniqlash juda qiyin. Avval tenglamani “ax 2 + bx + c = 0” umumiy ko'rinishga keltiramiz.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x - 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Endi siz ildizlar uchun formuladan foydalanishingiz mumkin.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

x = 3
Javob: x = 3

Kvadrat tenglamalarning ildizi bo'lmagan holatlar mavjud. Bu holat formulada ildiz ostida manfiy raqam bo'lganda yuzaga keladi.