Excelda eng kichik kvadratlar usuli yordamida tenglamalar tizimini yeching. Excelda eng kichik kvadratlar usulini qo'llash. Bashorat qilish uchun ishlatiladigan dastlabki ma'lumotlarning to'g'riligi haqida bir necha so'z

Usul eng kichik kvadratlar ikki qator sonlar toʻplamiga eng yaqin mos keladigan chiziqli tenglamani tuzishning matematik protsedurasi. Ushbu usuldan foydalanishdan maqsad umumiy kvadrat xatosini minimallashtirishdir. Excelda ushbu usulni hisob-kitoblaringizda qo'llashga yordam beradigan vositalar mavjud. Keling, bu qanday amalga oshirilganligini aniqlaylik.

· Excelda usuldan foydalanish

o "Yechimlarni qidirish" qo'shimchasini yoqish

o Muammoli sharoitlar

o Yechim

Excelda usuldan foydalanish

Eng kichik kvadratlar usuli (LSM) bir o'zgaruvchining boshqasiga bog'liqligini matematik tavsiflashdir. U prognoz qilish uchun ishlatilishi mumkin.

“Find Solution” qo‘shimchasini yoqish

Excelda MNC dan foydalanish uchun siz plaginni yoqishingiz kerak "Yechim topish", bu sukut bo'yicha o'chirilgan.

1. Yorliqga o'ting "Fayl".

2. Bo'lim nomini bosing "Tanlovlar".

3. Ochilgan oynada kichik bo'limni tanlang "Qo'shimchalar".

4. Blokda "Boshqaruv", oynaning pastki qismida joylashgan, kalitni holatiga o'rnating "Excel qo'shimchalari"(agar u boshqa qiymatga ega bo'lsa) va tugmani bosing — Boring....

5. Kichik oyna ochiladi. Parametrning yoniga belgi qo'yamiz "Yechim topish". Tugmani bosing "KELISHDIKMI".

Endi funksiya Yechim topish Excelda faollashtiriladi va uning vositalari lentada paydo bo'ladi.

Dars: Excelda yechim topish

Muammoning shartlari

Keling, LSM ilovasini tasvirlab beraylik aniq misol. Bizda ikkita qator raqamlar mavjud x Va y, ularning ketma-ketligi quyidagi rasmda ko'rsatilgan.

Ushbu bog'liqlikni eng aniq funktsiya bilan tavsiflash mumkin:

Shu bilan birga, ma'lumki, qachon x=0 y ham teng 0 . Shuning uchun bu tenglamani bog'liqlik bilan tasvirlash mumkin y=nx.

Biz farq kvadratlarining minimal yig'indisini topishimiz kerak.

Yechim

Keling, usulning bevosita qo'llanilishining tavsifiga o'tamiz.

1. Birinchi qiymatning chap tomonida x raqam qo'ying 1 . Bu birinchi koeffitsient qiymatining taxminiy qiymati bo'ladi n.

2. Ustunning o'ng tomonida y boshqa ustun qo'shing - nx. Ushbu ustunning birinchi katakchasiga koeffitsientni ko'paytirish formulasini yozamiz n birinchi o'zgaruvchining har bir hujayrasi uchun x. Shu bilan birga, biz mutlaq koeffitsient bilan maydonga havola qilamiz, chunki bu qiymat o'zgarmaydi. Tugmani bosing Kirish.

3. To'ldirish belgisidan foydalanib, ushbu formulani quyidagi ustundagi jadvalning butun diapazoniga ko'chiring.

4. Alohida katakchada qiymatlar kvadratlari orasidagi farqlar yig’indisini hisoblang y Va nx. Buning uchun tugmani bosing "Funktsiyani kiritish".

5. Ochilgan holda "Funksiya ustasi" kirishni qidirmoqda "SUMMKVARNA". Uni tanlang va tugmani bosing "KELISHDIKMI".

6. Argumentlar oynasi ochiladi. Dalada "Masiv_x" y. Dalada "massiv_y" ustun katakchalari diapazonini kiriting nx. Qiymatlarni kiritish uchun kursorni maydonga qo'ying va varaqdagi tegishli diapazonni tanlang. Kiritgandan so'ng tugmani bosing "KELISHDIKMI".

7. Yorliqga o'ting "Ma'lumotlar". Asboblar qutisidagi lentada "Tahlil" tugmasini bosing "Yechim topish".

8. Ushbu vosita uchun parametrlar oynasi ochiladi. Dalada "Maqsad funktsiyasini optimallashtirish" formula bilan hujayraning manzilini ko'rsating "SUMMKVARNA". Parametrda "oldin" kalitni holatiga o'rnatganingizga ishonch hosil qiling "Eng kam". Dalada "O'zgaruvchan hujayralar" koeffitsient qiymati bilan manzilni ko'rsating n. Tugmani bosing "Yechim toping".

9. Koeffitsient katagida yechim ko'rsatiladi n. Bu qiymat funktsiyaning eng kichik kvadrati bo'ladi. Agar natija foydalanuvchini qoniqtirsa, tugmani bosing "KELISHDIKMI" qo'shimcha oynada.

Ko'rib turganingizdek, eng kichik kvadratlar usulini qo'llash ancha murakkab matematik protseduradir. Biz buni oddiy misol yordamida amalda ko'rsatdik, ammo ancha murakkab holatlar mavjud. Biroq, Microsoft Excel vositalari hisob-kitoblarni iloji boricha soddalashtirish uchun mo'ljallangan.

http://multitest.semico.ru/mnk.htm

Umumiy holat

Qanaqasiga kamroq raqam absolyut qiymatda to'g'ri chiziq (2) qanchalik yaxshi tanlangan bo'lsa. To'g'ri chiziqni (2) tanlashning aniqligi xarakteristikasi sifatida biz kvadratlar yig'indisini olishimiz mumkin.

S uchun minimal shartlar bo'ladi

	(6)
	(7)

(6) va (7) tenglamalarni quyidagicha yozish mumkin:

	(8)
	(9)

(8) va (9) tenglamalardan xi va y i ning eksperimental qiymatlaridan a va b ni topish oson. (8) va (9) tenglamalar bilan aniqlangan (2) chiziq eng kichik kvadratlar usuli bilan olingan chiziq deb ataladi (bu nom S kvadratlar yig'indisi minimalga ega ekanligini ta'kidlaydi). (2) to'g'ri chiziq aniqlanadigan (8) va (9) tenglamalar normal tenglamalar deyiladi.

Oddiy tenglamalarni tuzishning oddiy va umumiy usulini ko'rsatishingiz mumkin. Tajriba nuqtalari (1) va tenglama (2) yordamida a va b uchun tenglamalar tizimini yozishimiz mumkin

y 1 =ax 1 +b,
y 2 =ax 2 +b, ...		(10)
y n = ax n + b,

Keling, bu tenglamalarning har birining chap va o'ng tomonlarini birinchi noma'lum a koeffitsientiga (ya'ni x 1, x 2, ..., x n ga) ko'paytiramiz va hosil bo'lgan tenglamalarni qo'shamiz, natijada birinchi normal tenglama (8) hosil bo'ladi. .

Keling, bu tenglamalarning har birining chap va o'ng tomonlarini ikkinchi noma'lum b koeffitsientiga ko'paytiramiz, ya'ni. 1 ga, va hosil bo'lgan tenglamalarni qo'shing, natijada ikkinchi normal tenglama (9) hosil bo'ladi.

Oddiy tenglamalarni olishning bu usuli umumiydir: u, masalan, funktsiya uchun mos keladi

doimiy qiymat mavjud va u eksperimental ma'lumotlardan aniqlanishi kerak (1).

k uchun tenglamalar tizimini yozish mumkin:

Eng kichik kvadratlar usuli yordamida (2) to‘g‘ri chiziqni toping.

Yechim. Biz topamiz:

X i =21, y i =46,3, x i 2 =91, x i y i =179,1.

(8) va (9)91a+21b=179,1 tenglamalarni yozamiz,

21a+6b=46,3, bu yerdan topamiz
a=0,98 b=4,3.

Bu fan va amaliy faoliyatning turli sohalarida eng keng qo'llanilishini topadi. Bu fizika, kimyo, biologiya, iqtisodiyot, sotsiologiya, psixologiya va boshqalar bo'lishi mumkin. Taqdirning irodasiga ko'ra, men tez-tez iqtisod bilan shug'ullanishim kerak va shuning uchun bugun men siz uchun ajoyib mamlakatga sayohat uyushtiraman. Ekonometriya=) ...Qanday qilib buni xohlamaysiz?! U erda juda yaxshi - siz faqat qaror qabul qilishingiz kerak! ...Ammo siz, ehtimol, muammolarni hal qilishni o'rganishni xohlaysiz eng kichik kvadratlar usuli. Va ayniqsa, tirishqoq o'quvchilar ularni nafaqat aniq, balki JUDA TEZ echishni ham o'rganadilar ;-) Lekin birinchi navbatda muammoning umumiy bayoni+ qo'shimcha misol:

Keling, miqdoriy ifodaga ega bo'lgan ma'lum bir fan sohasidagi ko'rsatkichlarni o'rganamiz. Shu bilan birga, indikatorning ko'rsatkichga bog'liqligiga ishonish uchun barcha asoslar mavjud. Bu taxmin shunday bo'lishi mumkin ilmiy gipoteza, va asosiy sog'lom fikrga asoslangan bo'lishi kerak. Keling, ilm-fanni bir chetga surib, ko'proq ishtahani ochadigan joylarni, xususan, oziq-ovqat do'konlarini o'rganaylik. Quyidagi bilan belgilaymiz:

– oziq-ovqat do‘konining chakana savdo maydoni, kv.m.,
- oziq-ovqat do'konining yillik aylanmasi, million rubl.

Do'kon maydoni qanchalik katta bo'lsa, aksariyat hollarda uning aylanmasi shunchalik katta bo'lishi aniq.

Aytaylik, daf bilan kuzatishlar/tajribalar/hisob-kitoblar/raqslarni o'tkazganimizdan so'ng bizda raqamli ma'lumotlar mavjud:

Oziq-ovqat do'konlari bilan, menimcha, hamma narsa aniq: - bu birinchi do'konning maydoni, - uning yillik aylanmasi, - 2-do'konning maydoni, - yillik aylanmasi va boshqalar. Aytgancha, tasniflangan materiallarga ega bo'lish shart emas - savdo aylanmasini etarlicha aniq baholashni matematik statistika. Biroq, chalg'itmaylik, tijoriy josuslik kursi allaqachon to'langan =)

Jadvalli ma'lumotlar nuqtalar shaklida ham yozilishi va tanish shaklda tasvirlanishi mumkin Dekart tizimi .

Keling, muhim savolga javob beraylik: Sifatli o'rganish uchun qancha ball kerak?

Qanchalik katta bo'lsa, shuncha yaxshi. Minimal qabul qilinadigan to'plam 5-6 balldan iborat. Bundan tashqari, ma'lumotlar miqdori kichik bo'lsa, "anomal" natijalar namunaga kiritilishi mumkin emas. Masalan, kichik elita do'koni "hamkasblari" dan ko'ra ko'proq buyurtmalarga ega bo'lishi mumkin va shu bilan uni buzadi. umumiy naqsh, nimani topishingiz kerak!

Oddiy qilib aytganda, biz funktsiyani tanlashimiz kerak, jadval nuqtalarga imkon qadar yaqin o'tadi . Bu funksiya deyiladi yaqinlashtirish (taxminlash - yaqinlashish) yoki nazariy funktsiya . Umuman olganda, bu erda darhol aniq "davogar" paydo bo'ladi - polinom yuqori daraja, uning grafigi HAMMA nuqtalardan o'tadi. Ammo bu variant murakkab va ko'pincha oddiygina noto'g'ri. (chunki grafik har doim "aylanib turadi" va asosiy tendentsiyani yomon aks ettiradi).

Shunday qilib, qidirilayotgan funktsiya juda sodda bo'lishi va shu bilan birga bog'liqlikni etarli darajada aks ettirishi kerak. Siz taxmin qilganingizdek, bunday funktsiyalarni topish usullaridan biri deyiladi eng kichik kvadratlar usuli. Birinchidan, umumiy ma'noda uning mohiyatini ko'rib chiqaylik. Tajriba maʼlumotlariga taqriban baʼzi funksiyalarga ruxsat bering:

Ushbu yaqinlashishning to'g'riligini qanday baholash mumkin? Keling, eksperimental va funktsional qiymatlar orasidagi farqlarni (burilishlarni) ham hisoblaylik (Biz rasmni o'rganamiz). Aqlga keladigan birinchi fikr bu summaning qanchalik kattaligini taxmin qilishdir, ammo muammo shundaki, farqlar salbiy bo'lishi mumkin. (Masalan, ) va bunday yig'ish natijasida og'ishlar bir-birini bekor qiladi. Shuning uchun, yaqinlashishning to'g'riligini baholash uchun yig'indini olishni iltimos qiladi. modullar og'ishlar:

yoki qulab tushdi: (agar kimdir bilmasa: - bu yig'indi belgisi va - 1 dan ga gacha bo'lgan qiymatlarni qabul qiluvchi yordamchi "hisoblagich" o'zgaruvchisi).

Turli funktsiyalarga ega eksperimental nuqtalarni yaqinlashtirib, biz qo'lga kiritamiz turli ma'nolar, va aniqki, bu miqdor kichikroq bo'lsa, bu funktsiya aniqroq bo'ladi.

Bunday usul mavjud va u deyiladi eng kam modul usuli. Biroq, amalda u ancha keng tarqalgan eng kichik kvadrat usuli, bunda mumkin bo'lgan salbiy qiymatlar modul tomonidan emas, balki og'ishlarni kvadratlash orqali yo'q qilinadi:

, shundan so'ng harakatlar kvadrat og'ishlar yig'indisi bo'ladigan funktsiyani tanlashga qaratilgan imkon qadar kichik edi. Aslida, bu usulning nomi qaerdan keladi.

Va endi biz boshqa narsaga qaytamiz muhim nuqta: yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, tanlangan funksiya juda oddiy bo'lishi kerak - lekin bunday funktsiyalar ham ko'p: chiziqli , giperbolik, eksponentsial, logarifmik, kvadratik va hokazo. Va, albatta, bu erda men darhol "faoliyat maydonini qisqartirishni" xohlayman. Tadqiqot uchun qaysi funktsiyalar sinfini tanlashim kerak? Oddiy, ammo samarali texnika:

- Eng oson yo'li - nuqtalarni tasvirlash chizma ustida va ularning joylashuvini tahlil qiling. Agar ular tekis chiziqda yugurishga moyil bo'lsa, unda siz izlashingiz kerak chiziq tenglamasi optimal qiymatlar bilan va . Boshqacha qilib aytganda, vazifa kvadrat og'ishlar yig'indisi eng kichik bo'lishi uchun BUNDAY koeffitsientlarni topishdir.

Agar nuqtalar, masalan, bo'ylab joylashgan bo'lsa giperbola, u holda chiziqli funktsiya yomon yaqinlik berishi aniq. Bunday holda, biz giperbola tenglamasi uchun eng "qulay" koeffitsientlarni qidiramiz - kvadratlarning minimal yig'indisini beradiganlar .

Endi ikkala holatda ham biz gaplashayotganimizga e'tibor bering ikkita o'zgaruvchining funktsiyalari, kimning dalillari qaramlik parametrlarini qidirdi:

Va aslida biz standart muammoni hal qilishimiz kerak - toping ikkita o'zgaruvchining minimal funktsiyasi.

Keling, misolimizni eslaylik: deylik, "do'kon" punktlari to'g'ri chiziqda joylashgan va bunga ishonish uchun barcha asoslar mavjud. chiziqli bog'liqlik chakana savdo maydonidan aylanma. SHUNDAY “a” va “be” koeffitsientlarini topamizki, kvadrat og'ishlar yig'indisi eng kichiki edi. Hammasi odatdagidek - birinchi navbatda 1-tartibli qisman hosilalar. Ga binoan chiziqlilik qoidasi Siz to'g'ridan-to'g'ri yig'indi belgisi ostida farqlashingiz mumkin:

Agar foydalanmoqchi bo'lsangiz bu ma'lumot insho yoki kurs ishi uchun - manbalar ro'yxatidagi havola uchun juda minnatdorman; bunday batafsil hisob-kitoblarni bir necha joylarda topasiz:

Keling, standart tizimni yarataylik:

Biz har bir tenglamani "ikki" ga kamaytiramiz va qo'shimcha ravishda yig'indilarni "parchalaymiz":

Eslatma : "a" va "be" nima uchun yig'indi belgisidan tashqarida olib tashlanishi mumkinligini mustaqil ravishda tahlil qiling. Aytgancha, rasmiy ravishda bu summa bilan amalga oshirilishi mumkin

Keling, tizimni "amaliy" shaklda qayta yozamiz:

shundan so'ng bizning muammomizni hal qilish algoritmi paydo bo'la boshlaydi:

Nuqtalarning koordinatalarini bilamizmi? Bilamiz. Miqdor topa olamizmi? Osonlik bilan. Keling, eng oddiyini qilaylik ikkita noma'lumli ikkita chiziqli tenglamalar tizimi("a" va "bo'l"). Biz tizimni hal qilamiz, masalan, Kramer usuli, buning natijasida biz statsionar nuqtani olamiz. Tekshirish ekstremum uchun etarli shart, biz ushbu nuqtada funktsiyani tekshirishimiz mumkin aniq yetib boradi eng kam. Tekshiruv qo'shimcha hisob-kitoblarni o'z ichiga oladi va shuning uchun biz uni sahna ortida qoldiramiz (agar kerak bo'lsa, etishmayotgan ramkani ko'rish mumkin). Yakuniy xulosa chiqaramiz:

Funktsiya eng yaxshi yo'l (hech bo'lmaganda boshqa har qanday chiziqli funktsiyaga nisbatan) tajriba nuqtalarini yaqinlashtiradi . Taxminan aytganda, uning grafigi bu nuqtalarga imkon qadar yaqin o'tadi. An'anaga ko'ra ekonometriya olingan yaqinlashuvchi funksiya ham deyiladi juft chiziqli regressiya tenglamasi .

Ko'rib chiqilayotgan muammo juda katta amaliy ahamiyati. Bizning misolimizda, Eq. qanday savdo aylanmasini bashorat qilish imkonini beradi ("Igrek") do'kon savdo maydonining u yoki bu qiymatiga ega bo'ladi ("x" ning u yoki bu ma'nosi). Ha, natijada olingan prognoz faqat prognoz bo'ladi, lekin ko'p hollarda u juda aniq bo'lib chiqadi.

Men "haqiqiy" raqamlar bilan bitta muammoni tahlil qilaman, chunki unda hech qanday qiyinchilik yo'q - barcha hisob-kitoblar o'z darajasida maktab o'quv dasturi 7-8 sinflar. 95 foiz hollarda sizdan faqat chiziqli funktsiyani topishingiz so'raladi, ammo maqolaning oxirida men optimal giperbola, eksponensial va boshqa ba'zi funktsiyalarning tenglamalarini topish qiyin emasligini ko'rsataman.

Aslida, va'da qilingan sovg'alarni tarqatish qoladi - siz bunday misollarni nafaqat aniq, balki tezda hal qilishni o'rganishingiz mumkin. Biz standartni diqqat bilan o'rganamiz:

Vazifa

Ikki ko'rsatkich o'rtasidagi munosabatlarni o'rganish natijasida quyidagi raqamlar juftligi olindi:

Eng kichik kvadratlar usulidan foydalanib, empirikga eng yaqin keladigan chiziqli funksiyani toping (tajribali) ma'lumotlar. Dekart to'rtburchaklar koordinata tizimida eksperimental nuqtalar va yaqinlashuvchi funktsiya grafigini qurish uchun chizma tuzing. . Empirik va nazariy qiymatlar orasidagi kvadratik og‘ishlar yig‘indisini toping. Bu xususiyat yaxshiroq bo'ladimi yoki yo'qligini bilib oling (eng kichik kvadratlar usuli nuqtai nazaridan) eksperimental nuqtalarni yaqinlashtirish.

E'tibor bering, "x" ma'nolari tabiiydir va bu xarakterli ma'noli ma'noga ega, men bu haqda biroz keyinroq gaplashaman; lekin ular, albatta, kasrli ham bo'lishi mumkin. Bundan tashqari, ma'lum bir vazifaning mazmuniga qarab, "X" va "o'yin" qiymatlari to'liq yoki qisman salbiy bo'lishi mumkin. Xo'sh, bizga "yuzsiz" vazifa berildi va biz uni boshlaymiz yechim:

Tizim yechimi sifatida optimal funksiya koeffitsientlarini topamiz:

Keyinchalik ixchamroq ro'yxatga olish uchun "hisoblagich" o'zgaruvchisini o'tkazib yuborish mumkin, chunki yig'ish 1 dan 1 gacha amalga oshirilganligi allaqachon aniq.

Kerakli miqdorlarni jadval shaklida hisoblash qulayroqdir:

Hisob-kitoblar mikrokalkulyatorda amalga oshirilishi mumkin, ammo Exceldan foydalanish ancha yaxshi - ham tezroq, ham xatosiz; qisqa videoni tomosha qiling:

Shunday qilib, biz quyidagilarni olamiz tizimi:

Bu erda siz ikkinchi tenglamani 3 va ga ko'paytirishingiz mumkin 1-tenglamaning haddan 2-sonini ayirish. Ammo bu omad - amalda tizimlar ko'pincha sovg'a emas va bunday hollarda u tejaydi Kramer usuli:
, ya'ni tizim noyob yechimga ega.

Keling, tekshiramiz. Siz xohlamasligingizni tushunaman, lekin nima uchun xatolarni o'tkazib yubormaslik kerak? Topilgan yechimni tizimning har bir tenglamasining chap tomoniga almashtiramiz:

Tegishli tenglamalarning o'ng tomonlari olinadi, ya'ni tizim to'g'ri echilgan.

Shunday qilib, kerakli yaqinlashuvchi funktsiya: – dan barcha chiziqli funktsiyalar Aynan u eksperimental ma'lumotlarni eng yaxshi taxmin qiladi.

Undan farqli o'laroq Streyt do'kon aylanmasining uning maydoniga bog'liqligi, topilgan bog'liqligi teskari ("qancha ko'p bo'lsa, shuncha kam" tamoyili), va bu haqiqat darhol salbiy tomonidan ochib beriladi qiyalik. Funktsiya ma'lum bir ko'rsatkichning 1 birlikka o'sishi bilan bog'liq ko'rsatkichning qiymati kamayishini aytadi o'rtacha 0,65 birlikka. Ular aytganidek, grechkaning narxi qancha yuqori bo'lsa, shuncha kam sotiladi.

Taxminlovchi funksiyaning grafigini tuzish uchun uning ikkita qiymatini topamiz:

va chizmani bajaring:

Tuzilgan to'g'ri chiziq deyiladi trend chizig'i (ya'ni, chiziqli trend chizig'i, ya'ni umumiy holatda trend to'g'ri chiziq bo'lishi shart emas). "Trendda bo'lish" iborasi hammaga tanish va menimcha, bu atama qo'shimcha izohlarga muhtoj emas.

Keling, kvadrat og'ishlar yig'indisini hisoblaylik empirik va nazariy qadriyatlar o'rtasida. Geometrik jihatdan, bu "malina" segmentlarining uzunliklari kvadratlarining yig'indisi (ikkitasi shunchalik kichikki, ular hatto ko'rinmaydi).

Jadvalda hisob-kitoblarni umumlashtiramiz:

Shunga qaramay, ular qo'lda bajarilishi mumkin; har holda, men 1-bandga misol keltiraman:

lekin buni allaqachon ma'lum bo'lgan usulda qilish ancha samarali:

Yana bir bor takrorlaymiz: Olingan natijaning ma'nosi nima? Kimdan barcha chiziqli funktsiyalar y funktsiyasi ko'rsatkich eng kichik, ya'ni uning oilasida bu eng yaxshi yaqinlikdir. Va bu erda, aytmoqchi, muammoning yakuniy savoli tasodifiy emas: agar taklif qilingan eksponensial funktsiya nima bo'lsa? eksperimental nuqtalarni yaqinlashtirish yaxshiroqmi?

Keling, kvadrat og'ishlarning tegishli yig'indisini topamiz - farqlash uchun men ularni "epsilon" harfi bilan belgilayman. Texnika mutlaqo bir xil:

Va yana, har qanday holatda, 1-band uchun hisob-kitoblar:

Excelda biz standart funksiyadan foydalanamiz EXP (sintaksisni Excel Yordamida topish mumkin).

Xulosa: , ya'ni eksponensial funktsiya to'g'ri chiziqdan ko'ra yomonroq tajriba nuqtalariga yaqinlashadi. .

Ammo bu erda "yomonroq" ekanligini ta'kidlash kerak hali degani emas, nima bo'ldi. Endi men bu eksponensial funktsiyaning grafigini tuzdim - va u ham nuqtalarga yaqin o'tadi - shunchalik ko'pki, analitik tadqiqotlarsiz qaysi funktsiya aniqroq ekanligini aytish qiyin.

Bu yechimni yakunlaydi va men argumentning tabiiy qadriyatlari haqidagi savolga qaytaman. Turli tadqiqotlarda, odatda, iqtisodiy yoki sotsiologik, tabiiy "X"lar oylar, yillar yoki boshqa teng vaqt oraliqlarini raqamlash uchun ishlatiladi. Masalan, quyidagi muammoni ko'rib chiqing.

Eng kichik kvadratlar usuli (OLS) regressiya tahlili sohasiga tegishli. U juda ko'p foydalanishga ega, chunki u taxminiy vakillik qilish imkonini beradi berilgan funksiya boshqalar oddiyroq. LSM kuzatishlarni qayta ishlashda juda foydali bo'lishi mumkin va u tasodifiy xatolarni o'z ichiga olgan boshqalarning o'lchovlari natijalariga asoslangan ba'zi miqdorlarni baholash uchun faol foydalaniladi. Ushbu maqolada siz Excelda eng kichik kvadratlarni hisoblashni qanday amalga oshirishni o'rganasiz.

Muayyan misol yordamida muammoning bayoni

Aytaylik, ikkita X va Y ko'rsatkichlari mavjud. Bundan tashqari, Y X ga bog'liq. OLS bizni regressiya tahlili nuqtai nazaridan qiziqtirganligi sababli (Excelda uning usullari o'rnatilgan funksiyalar yordamida amalga oshiriladi), biz darhol ko'rib chiqishga o'tishimiz kerak. muayyan muammo.

Shunday qilib, X oziq-ovqat do'konining chakana savdo maydoni bo'lsin kvadrat metr, va Y - millionlab rubllarda aniqlangan yillik aylanma.

Agar u yoki bu chakana savdo maydonchasi mavjud bo'lsa, do'kon qanday aylanma (Y) bo'lishini prognoz qilish talab qilinadi. Shubhasiz, Y = f (X) funktsiyasi ortib bormoqda, chunki gipermarket stendga qaraganda ko'proq tovarlar sotadi.

Bashorat qilish uchun ishlatiladigan dastlabki ma'lumotlarning to'g'riligi haqida bir necha so'z

Aytaylik, bizda n do'kon uchun ma'lumotlardan foydalangan holda tuzilgan jadval mavjud.

Ga binoan matematik statistika, agar kamida 5-6 ob'ekt bo'yicha ma'lumotlar tekshirilsa, natijalar ko'proq yoki kamroq to'g'ri bo'ladi. Bundan tashqari, "anomal" natijalardan foydalanish mumkin emas. Xususan, elita kichik butik "masmarket" sinfidagi yirik savdo nuqtalarining aylanmasidan bir necha baravar ko'p aylanmaga ega bo'lishi mumkin.

Usulning mohiyati

Jadval ma'lumotlari M 1 (x 1, y 1), ... M n (x n, y n) nuqtalari ko'rinishida Dekart tekisligida tasvirlanishi mumkin. Endi masalaning yechimi M 1, M 2, .. M n nuqtalarga imkon qadar yaqin o'tuvchi grafigi y = f (x) ga yaqinlashtiruvchi funksiyani tanlashga keltiriladi.

Albatta, siz yuqori darajali polinomdan foydalanishingiz mumkin, ammo bu variant nafaqat amalga oshirish qiyin, balki oddiygina noto'g'ri, chunki u aniqlanishi kerak bo'lgan asosiy tendentsiyani aks ettirmaydi. Eng oqilona yechim eksperimental ma’lumotlarga, aniqrog‘i, a va b koeffitsientlariga eng yaqin keladigan y = ax+b to‘g‘ri chiziqni izlashdir.

Aniqlikni baholash

Har qanday yaqinlashuv bilan uning to'g'riligini baholash alohida ahamiyatga ega. X i nuqta uchun funktsional va eksperimental qiymatlar o'rtasidagi farqni (og'ish) e i bilan belgilaymiz, ya'ni e i = y i - f (x i).

Shubhasiz, yaqinlashishning to'g'riligini baholash uchun siz og'ishlar yig'indisidan foydalanishingiz mumkin, ya'ni X ning Y ga bog'liqligini taxminiy ko'rsatish uchun to'g'ri chiziqni tanlashda siz eng kichik qiymatga ustunlik berishingiz kerak. ko'rib chiqilayotgan barcha nuqtalarda so'm e i. Biroq, hamma narsa juda oddiy emas, chunki ijobiy og'ishlar bilan bir qatorda salbiylar ham bo'ladi.

Muammoni og'ish modullari yoki ularning kvadratlari yordamida hal qilish mumkin. Oxirgi usul eng keng tarqalgan. U ko'plab sohalarda qo'llaniladi, jumladan regressiya tahlili (Excelda ikkita o'rnatilgan funksiyadan foydalangan holda amalga oshiriladi) va o'zining samaradorligini uzoq vaqt davomida isbotlagan.

Eng kichik kvadrat usuli

Ma'lumki, Excelda tanlangan diapazonda joylashgan barcha qiymatlarning qiymatlarini hisoblash imkonini beruvchi o'rnatilgan AutoSum funksiyasi mavjud. Shunday qilib, (e 1 2 + e 2 2 + e 3 2 + ... e n 2) ifodaning qiymatini hisoblashimizga hech narsa to'sqinlik qilmaydi.

Matematik belgilarda bu quyidagicha ko'rinadi:

Qaror dastlab to'g'ri chiziq yordamida taxminan qabul qilinganligi sababli, bizda:

Shunday qilib, X va Y miqdorlarning o'ziga xos bog'liqligini eng yaxshi tavsiflovchi to'g'ri chiziqni topish vazifasi ikkita o'zgaruvchining funktsiyasining minimalini hisoblashga to'g'ri keladi:

Buning uchun siz a va b yangi o'zgaruvchilarga nisbatan qisman hosilalarni nolga tenglashtirishingiz va ikkita noma'lum shaklga ega ikkita tenglamadan iborat ibtidoiy tizimni yechishingiz kerak:

Ba'zi oddiy o'zgarishlardan so'ng, shu jumladan 2 ga bo'lish va yig'indilarni manipulyatsiya qilish natijasida biz quyidagilarni olamiz:

Uni hal qilish, masalan, Kramer usulidan foydalanib, biz a * va b * koeffitsientlari bilan statsionar nuqtani olamiz. Bu minimal, ya'ni ma'lum bir hudud uchun do'kon qanday aylanmaga ega bo'lishini taxmin qilish uchun y = a * x + b * to'g'ri chiziq mos keladi, bu regressiya modeli ko'rib chiqilayotgan misol uchun. Albatta, bu sizga aniq natijani topishga imkon bermaydi, lekin bu sizga ma'lum bir hududni do'kon kreditiga sotib olish o'z samarasini beradimi yoki yo'qmi haqida tasavvurga ega bo'lishga yordam beradi.

Excelda eng kichik kvadratlarni qanday amalga oshirish mumkin

Excel eng kichik kvadratlar yordamida qiymatlarni hisoblash funktsiyasiga ega. U quyidagi shaklga ega: “TREND” (maʼlum Y qiymatlari; maʼlum X qiymatlari; yangi X qiymatlari; doimiy). Excelda OLS ni hisoblash formulasini jadvalimizga qo'llaymiz.

Buning uchun Excelda eng kichik kvadratlar usuli yordamida hisoblash natijasi ko'rsatiladigan katakka “=” belgisini kiriting va “TREND” funksiyasini tanlang. Ochilgan oynada tegishli maydonlarni to'ldiring, ta'kidlang:

Y uchun ma'lum qiymatlar diapazoni (in Ushbu holatda savdo aylanmasi to'g'risidagi ma'lumotlar);
diapazon x 1 , …x n , ya'ni chakana savdo maydoni hajmi;
x ning ma'lum va noma'lum qiymatlari, buning uchun siz aylanma hajmini bilib olishingiz kerak (ularning ish varag'idagi joylashuvi haqida ma'lumot olish uchun pastga qarang).

Bundan tashqari, formulada "Const" mantiqiy o'zgaruvchisi mavjud. Agar siz tegishli maydonga 1 ni kiritsangiz, bu siz b = 0 deb hisoblab, hisob-kitoblarni bajarishingiz kerakligini anglatadi.

Agar siz bir nechta x qiymatlari uchun prognozni bilishingiz kerak bo'lsa, formulani kiritgandan so'ng siz "Enter" tugmasini bosmasligingiz kerak, lekin klaviaturada "Shift" + "Control" + "Enter" kombinatsiyasini kiritishingiz kerak.

Ba'zi xususiyatlar

Regressiya tahlili hatto qo'g'irchoqlar uchun ham mavjud. Noma'lum o'zgaruvchilar massivi qiymatini bashorat qilish uchun Excel formulasi - TREND - hatto eng kichik kvadratlar haqida hech qachon eshitmaganlar ham foydalanishi mumkin. Uning ishining ba'zi xususiyatlarini bilish kifoya. Ayniqsa:

Agar siz y o'zgaruvchisining ma'lum qiymatlari oralig'ini bitta satr yoki ustunga joylashtirsangiz, u holda ma'lum x qiymatlari bo'lgan har bir satr (ustun) dastur tomonidan alohida o'zgaruvchi sifatida qabul qilinadi.
Agar TREND oynasida ma'lum x bo'lgan diapazon ko'rsatilmagan bo'lsa, u holda Excelda funktsiyadan foydalanganda dastur uni butun sonlardan iborat massiv sifatida ko'rib chiqadi, ularning soni berilgan qiymatlari bilan diapazonga mos keladi. o'zgaruvchisi y.
“Prognoz qilingan” qiymatlar massivini chiqarish uchun trendni hisoblash ifodasi massiv formulasi sifatida kiritilishi kerak.
Agar x ning yangi qiymatlari belgilanmagan bo'lsa, TREND funktsiyasi ularni ma'lum bo'lganlarga teng deb hisoblaydi. Agar ular ko'rsatilmagan bo'lsa, u holda argument sifatida 1-massiv olinadi; 2; 3; 4;…, bu allaqachon diapazonga mos keladi berilgan parametrlar y.
Yangi x qiymatlarini o'z ichiga olgan diapazon berilgan y qiymatlarini o'z ichiga olgan diapazon bilan bir xil yoki bir nechta satr yoki ustunlarga ega bo'lishi kerak. Boshqacha qilib aytganda, u mustaqil o'zgaruvchilarga mutanosib bo'lishi kerak.
X qiymatlari ma'lum bo'lgan massiv bir nechta o'zgaruvchilarni o'z ichiga olishi mumkin. Ammo, agar biz faqat bittasi haqida gapiradigan bo'lsak, u holda berilgan x va y qiymatlari bo'lgan diapazonlar proportsional bo'lishi kerak. Bir nechta o'zgaruvchilar bo'lsa, berilgan y qiymatlari bo'lgan diapazon bitta ustun yoki bitta qatorga to'g'ri kelishi kerak.

PREDICTION funksiyasi

Excelda regressiya tahlili bir nechta funksiyalar yordamida amalga oshiriladi. Ulardan biri "BASHOROT" deb ataladi. U "TREND" ga o'xshaydi, ya'ni eng kichik kvadratlar usuli yordamida hisob-kitoblar natijasini beradi. Biroq, faqat bitta X uchun, Y qiymati noma'lum.

Endi siz Excel-da ma'lum bir indikatorning kelajakdagi qiymatini chiziqli tendentsiya bo'yicha taxmin qilish imkonini beruvchi qo'g'irchoqlar uchun formulalarni bilasiz.

Eng kichik kvadratlar usuli (LS) o'rganilayotgan ma'lumotlardan tanlangan funksiyaning kvadratik og'ishlari yig'indisini minimallashtirishga asoslangan. Ushbu maqolada biz chiziqli funktsiya yordamida mavjud ma'lumotlarni taxmin qilamizy = a x + b .

Eng kichik kvadrat usuli(inglizcha) Oddiy Eng kam Kvadratchalar , O.L.S.) noma'lum parametrlarni baholash nuqtai nazaridan regressiya tahlilining asosiy usullaridan biridir regressiya modellari namuna ma'lumotlariga ko'ra.

Faqat bitta o‘zgaruvchiga bog‘liq bo‘lgan funksiyalar bo‘yicha yaqinlashishni ko‘rib chiqamiz:

Chiziqli: y=ax+b (ushbu maqola)
: y=a*Ln(x)+b
: y=a*x m
: y=a*EXP(b*x)+s
: y=ax 2 +bx+c

Eslatma: Ushbu maqolada 3-dan 6-darajali ko'phad bilan yaqinlashish hollari ko'rib chiqiladi. Bu erda trigonometrik ko'phad bilan yaqinlashish ko'rib chiqiladi.

Chiziqli bog'liqlik

Bizni ikkita o'zgaruvchi o'rtasidagi bog'liqlik qiziqtiradi X Va y. Bu degan taxmin bor y ga bog'liq X chiziqli qonunga muvofiq y = bolta + b. Ushbu munosabatlarning parametrlarini aniqlash uchun tadqiqotchi kuzatishlar o'tkazdi: x i ning har bir qiymati uchun y i o'lchovi amalga oshirildi (misol fayliga qarang). Shunga ko'ra, 20 juft qiymat bo'lsin (x i; y i).

Eslatma: Agar o'zgartirish bosqichi bo'lsa X doimiy, keyin qurish uchun tarqalish uchastkalari foydalanish mumkin, agar bo'lmasa, grafik turini ishlatishingiz kerak Spot .

Diagrammadan ko'rinib turibdiki, o'zgaruvchilar orasidagi bog'liqlik chiziqliga yaqin. Ko'p to'g'ri chiziqlardan qaysi biri o'zgaruvchilar o'rtasidagi munosabatni eng "to'g'ri" tasvirlashini tushunish uchun chiziqlar taqqoslanadigan mezonni aniqlash kerak.

Bunday mezon sifatida biz quyidagi ifodadan foydalanamiz:

Qayerda ŷ i = a * x i + b ; n - qiymatlar juftligi soni (bizning holatda n = 20)

Yuqoridagi ifoda y i va ŷ i ning kuzatilgan qiymatlari orasidagi kvadratik masofalarning yig'indisidir va ko'pincha SSE sifatida belgilanadi ( so'm ning Kvadrat Xatolar (Qoldiqlar), kvadrat xatolar yig'indisi (qoldiq)) .

Eng kichik kvadrat usuli shunday qatorni tanlashdir ŷ = bolta + b, buning uchun yuqoridagi ifoda minimal qiymatni oladi.

Eslatma: Ikki o'lchovli fazodagi har qanday chiziq 2 parametrning qiymatlari bilan noyob tarzda aniqlanadi: a (qiyalik) va b (shift).

Kvadrat masofalar yig'indisi qanchalik kichik bo'lsa, mos keladigan chiziq mavjud ma'lumotlarga shunchalik yaqinroq bo'ladi va undan keyin x o'zgaruvchisidan y qiymatlarini bashorat qilish uchun ishlatilishi mumkin, deb ishoniladi. Ma'lumki, agar haqiqatda o'zgaruvchilar o'rtasida hech qanday bog'liqlik bo'lmasa yoki munosabatlar chiziqli bo'lmasa ham, OLS baribir "eng yaxshi" qatorni tanlaydi. Shunday qilib, eng kichik kvadratlar usuli o'zgaruvchilar o'rtasida haqiqiy munosabatlar mavjudligi haqida hech narsa aytmaydi, usul shunchaki bunday funktsiya parametrlarini tanlashga imkon beradi. a Va b , buning uchun yuqoridagi ifoda minimal.

Juda murakkab bo'lmagan matematik operatsiyalarni bajarib (batafsil ma'lumot uchun qarang), siz parametrlarni hisoblashingiz mumkin a Va b :

Formuladan ko'rinib turibdiki, parametr a kovariantning nisbatini ifodalaydi va shuning uchun MS EXCEL da parametrni hisoblash uchun A foydalanish mumkin quyidagi formulalar(sm. Chiziqli varaq fayli namunasi):

= KOVAR(B26:B45;C26:C45)/ DISP.G(B26:B45) yoki

= KOVARIANS.B(B26:B45;C26:C45)/DISP.B(B26:B45)

Shuningdek, parametrni hisoblash uchun A = formulasidan foydalanishingiz mumkin TILT(C26:C45;B26:B45). Parametr uchun b = formulasidan foydalaning Oyoq(C26:C45;B26:B45) .

Nihoyat, LINEST() funksiyasi ikkala parametrni birdaniga hisoblash imkonini beradi. Formulani kiritish uchun LINEST(C26:C45;B26:B45) Siz ketma-ket 2 katakni tanlashingiz va bosishingiz kerak CTRL + SHIFT + KIRISH(haqidagi maqolaga qarang). Qiymat chap katakda qaytariladi A , o'ngda - b .

Eslatma: Kirish bilan aralashmaslik uchun massiv formulalari qo'shimcha ravishda INDEX() funksiyasidan foydalanishingiz kerak bo'ladi. Formula = INDEX(LINEST(C26:C45,B26:B45),1) yoki shunchaki = LINEST(C26:C45;B26:B45) chiziqning qiyaligi uchun mas'ul bo'lgan parametrni qaytaradi, ya'ni. A . Formula = INDEX(LINEST(C26:C45,B26:B45),2) chiziqning Y o'qi bilan kesishishi uchun mas'ul bo'lgan parametrni qaytaradi, ya'ni. b .

Parametrlarni hisoblab chiqib, tarqalish diagrammasi mos keladigan chiziqni chizishingiz mumkin.

Eng kichik kvadratlar usuli yordamida to'g'ri chiziq chizishning yana bir usuli grafik asbobidir Trend chizig'i. Buning uchun diagrammani tanlang, menyudan tanlang Tartib yorlig'i, V guruh tahlili bosing Trend chizig'i, keyin Chiziqli yaqinlashish .

Muloqot oynasidagi "Tenglamani diagrammada ko'rsatish" katagiga belgi qo'yish orqali siz yuqorida topilgan parametrlar diagrammadagi qiymatlarga mos kelishiga ishonch hosil qilishingiz mumkin.

Eslatma: Parametrlar mos kelishi uchun diagramma turi bo'lishi kerak. Gap shundaki, diagramma tuzishda Jadval X o'qi qiymatlarini foydalanuvchi ko'rsata olmaydi (foydalanuvchi faqat nuqtalarning joylashishiga ta'sir qilmaydigan teglarni belgilashi mumkin). X qiymatlari o'rniga 1-ketlik ishlatiladi; 2; 3; ... (toifalarni raqamlash uchun). Shuning uchun, agar siz qursangiz trend chizig'i tip diagrammasi bo'yicha Jadval, keyin X ning haqiqiy qiymatlari o'rniga ushbu ketma-ketlikning qiymatlari ishlatiladi, bu noto'g'ri natijaga olib keladi (agar, albatta, haqiqiy qiymatlar X 1-ketmaga mos kelmaydi; 2; 3; ...).

U ko'plab ilovalarga ega, chunki u berilgan funktsiyani boshqa soddaroqlari tomonidan taxminiy ko'rsatishga imkon beradi. LSM kuzatishlarni qayta ishlashda juda foydali bo'lishi mumkin va u tasodifiy xatolarni o'z ichiga olgan boshqalarning o'lchovlari natijalariga asoslangan ba'zi miqdorlarni baholash uchun faol foydalaniladi. Ushbu maqolada siz Excelda eng kichik kvadratlarni hisoblashni qanday amalga oshirishni o'rganasiz.

Muayyan misol yordamida muammoning bayoni

Shunday qilib, X kvadrat metrda o'lchanadigan oziq-ovqat do'konining chakana savdo maydoni bo'lsin va Y millionlab rubllarda o'lchanadigan yillik aylanmasi bo'lsin.

Bashorat qilish uchun ishlatiladigan dastlabki ma'lumotlarning to'g'riligi haqida bir necha so'z

Aytaylik, bizda n do'kon uchun ma'lumotlardan foydalangan holda tuzilgan jadval mavjud.

Matematik statistika ma'lumotlariga ko'ra, agar kamida 5-6 ob'ekt bo'yicha ma'lumotlar tekshirilsa, natijalar ko'proq yoki kamroq to'g'ri bo'ladi. Bundan tashqari, "anomal" natijalardan foydalanish mumkin emas. Xususan, elita kichik butik "masmarket" sinfidagi yirik savdo nuqtalarining aylanmasidan bir necha baravar ko'p aylanmaga ega bo'lishi mumkin.

Usulning mohiyati

Aniqlikni baholash

Eng kichik kvadrat usuli

Matematik belgilarda bu quyidagicha ko'rinadi:

Qaror dastlab to'g'ri chiziq yordamida taxminan qabul qilinganligi sababli, bizda:

Shunday qilib, X va Y miqdorlarning o'ziga xos bog'liqligini eng yaxshi tavsiflovchi to'g'ri chiziqni topish vazifasi ikkita o'zgaruvchining funktsiyasining minimalini hisoblashga to'g'ri keladi:

Buning uchun siz a va b yangi o'zgaruvchilarga nisbatan qisman hosilalarni nolga tenglashtirishingiz va ikkita noma'lum shaklga ega ikkita tenglamadan iborat ibtidoiy tizimni yechishingiz kerak:

Ba'zi oddiy o'zgarishlardan so'ng, shu jumladan 2 ga bo'lish va yig'indilarni manipulyatsiya qilish natijasida biz quyidagilarni olamiz:

Uni hal qilish, masalan, Kramer usulidan foydalanib, biz a * va b * koeffitsientlari bilan statsionar nuqtani olamiz. Bu minimal, ya'ni ma'lum bir hudud uchun do'kon qanday aylanmaga ega bo'lishini taxmin qilish uchun y = a * x + b * to'g'ri chiziq mos keladi, bu ko'rib chiqilayotgan misol uchun regressiya modelidir. Albatta, bu sizga aniq natijani topishga imkon bermaydi, lekin bu sizga ma'lum bir hududni do'kon kreditiga sotib olish o'z samarasini beradimi yoki yo'qmi haqida tasavvurga ega bo'lishga yordam beradi.

Excelda eng kichik kvadratlarni qanday amalga oshirish mumkin

Y uchun ma'lum qiymatlar diapazoni (bu holda, savdo aylanmasi bo'yicha ma'lumotlar);
diapazon x 1 , …x n , ya'ni chakana savdo maydoni hajmi;
x ning ma'lum va noma'lum qiymatlari, buning uchun siz aylanma hajmini bilib olishingiz kerak (ularning ish varag'idagi joylashuvi haqida ma'lumot olish uchun pastga qarang).

Bundan tashqari, formulada "Const" mantiqiy o'zgaruvchisi mavjud. Agar siz tegishli maydonga 1 ni kiritsangiz, bu siz b = 0 deb hisoblab, hisob-kitoblarni bajarishingiz kerakligini anglatadi.

Ba'zi xususiyatlar

Agar siz y o'zgaruvchisining ma'lum qiymatlari oralig'ini bitta satr yoki ustunga joylashtirsangiz, u holda ma'lum x qiymatlari bo'lgan har bir satr (ustun) dastur tomonidan alohida o'zgaruvchi sifatida qabul qilinadi.
Agar TREND oynasida ma'lum x bo'lgan diapazon ko'rsatilmagan bo'lsa, u holda Excelda funktsiyadan foydalanganda dastur uni butun sonlardan iborat massiv sifatida ko'rib chiqadi, ularning soni berilgan qiymatlari bilan diapazonga mos keladi. o'zgaruvchisi y.
“Prognoz qilingan” qiymatlar massivini chiqarish uchun trendni hisoblash ifodasi massiv formulasi sifatida kiritilishi kerak.
Agar x ning yangi qiymatlari belgilanmagan bo'lsa, TREND funktsiyasi ularni ma'lum bo'lganlarga teng deb hisoblaydi. Agar ular ko'rsatilmagan bo'lsa, u holda argument sifatida 1-massiv olinadi; 2; 3; 4;…, bu allaqachon belgilangan y parametrlari bilan diapazonga mos keladi.
Yangi x qiymatlarini o'z ichiga olgan diapazon berilgan y qiymatlarini o'z ichiga olgan diapazon bilan bir xil yoki bir nechta satr yoki ustunlarga ega bo'lishi kerak. Boshqacha qilib aytganda, u mustaqil o'zgaruvchilarga mutanosib bo'lishi kerak.
X qiymatlari ma'lum bo'lgan massiv bir nechta o'zgaruvchilarni o'z ichiga olishi mumkin. Ammo, agar biz faqat bittasi haqida gapiradigan bo'lsak, u holda berilgan x va y qiymatlari bo'lgan diapazonlar proportsional bo'lishi kerak. Bir nechta o'zgaruvchilar bo'lsa, berilgan y qiymatlari bo'lgan diapazon bitta ustun yoki bitta qatorga to'g'ri kelishi kerak.

PREDICTION funksiyasi

Bir nechta funktsiyalar yordamida amalga oshiriladi. Ulardan biri "BASHOROT" deb ataladi. U "TREND" ga o'xshaydi, ya'ni eng kichik kvadratlar usuli yordamida hisob-kitoblar natijasini beradi. Biroq, faqat bitta X uchun, Y qiymati noma'lum.

Endi siz Excel-da ma'lum bir indikatorning kelajakdagi qiymatini chiziqli tendentsiya bo'yicha taxmin qilish imkonini beruvchi qo'g'irchoqlar uchun formulalarni bilasiz.