To'g'ri prizma ichiga chizilgan shar. Sfera atrofida chegaralangan ko'p yuzlilar chegaralangan ko'p yuzlilar deyiladi. Kesilgan piramida bilan to'pning kombinatsiyasi

Sfera atrofida chegaralangan ko'p yuzlilar. Agar uning barcha yuzlari tekisliklari sferaga tegsa, ko'pburchak sharning atrofida aylanib o'tilgan deyiladi. Sferaning o'zi ko'pburchakda yozilgan deb aytiladi. Teorema. Sharni prizma ichiga kiritish mumkin, agar uning asosiga aylana chizilgan bo'lsa va prizma balandligi shu doira diametriga teng bo'lsa. Teorema. Siz sharni har qanday uchburchak piramidaga joylashtirishingiz mumkin va faqat bitta.

1-mashq Kvadratni o'chiring va kubning yuqori va pastki yuzlarini ifodalovchi ikkita parallelogramm chizing. Ularning uchlarini segmentlar bilan bog'lang. Kub ichiga yozilgan sharning tasvirini oling. Oldingi slaydda bo'lgani kabi kub ichiga yozilgan sharni chizing. Buning uchun aylana va kvadratni 4 marta siqish natijasida olingan parallelogramma ichiga chizilgan ellips chiziladi. Sferaning qutblarini va ellips va parallelogrammaning teginish nuqtalarini belgilang.

4-mashq Kubdan boshqa to'rtburchak parallelepipedga sharni chizish mumkinmi? Javob: Yo'q.

5-mashq Hamma yuzlari romb shaklida bo'lgan qiya parallelepipedga sharni chizish mumkinmi? Javob: Yo'q.

1-mashq Sferani asosida muntazam uchburchak bo'lgan qiya uchburchak prizmaga chizish mumkinmi? Javob: Yo'q.

2-mashq Prizma asosining cheti 1 ga teng bo'lsa, muntazam uchburchak prizmaning balandligini va unga chizilgan sharning radiusini toping. 3 6 soat Javob:

3-mashq Muntazam uchburchak prizma ichiga radiusi 1 bo’lgan shar chizilgan.Asosi tomoni va prizma balandligini toping. 2 3, 2. a h Javob:

4-mashq Prizma ichiga shar chizilgan, uning asosida oyoqlari 1 ga teng to‘g‘ri burchakli uchburchak joylashgan. Sfera radiusi va prizma balandligini toping. 2 2 , 2 2. 2 r h ABC uchburchakning maydoni, perimetri r = S / p formulasidan foydalanamiz. Biz 2 2, 1 ni olamiz,

5-mashq Prizma ichiga shar chizilgan, uning negizida tomonlari 2, 3, 3 bo'lgan teng yonli uchburchak joylashgan. Sfera radiusi va prizma balandligini toping. 2 , 2. 2 r h ABC uchburchakning maydoni teng Perimetri 8. r = S / p formulasidan foydalanamiz. Biz 2 2 olamiz.

1-mashq Sfera to'g'ri to'rtburchak prizma ichiga chizilgan bo'lib, uning negizida 1 tomoni 60 gradus o'tkir burchakli romb joylashgan. Sfera radiusi va prizma balandligini toping. Yechim. Sfera radiusi DG asosining balandligining yarmiga teng, ya'ni prizma balandligi sharning diametriga teng, ya'ni 3. 4 r 3. 2 h.

2-mashq To'g'ri to'rtburchak prizma ichiga birlik shar chizilgan bo'lib, uning asosida 60 gradus o'tkir burchakli romb joylashgan. Asosning a tomonini va prizmaning h balandligini toping. Javob: 4 3 , 2. 3 a h

3-mashq Sfera to'g'ri to'rtburchak prizma ichiga chizilgan bo'lib, uning asosida trapetsiya joylashgan. Trapetsiyaning balandligi 2. Prizma balandligi h va chizilgan sharning radiusi r ni toping. Javob: 1, 2. r h

4-mashq Sfera to'g'ri to'rtburchak prizma ichiga chizilgan, uning asosida to'rtburchak, perimetri 4 va maydoni 2. Ichkarilgan sharning r radiusini toping. 1. r Yechim. E'tibor bering, sharning radiusi prizma poydevoriga chizilgan doira radiusiga teng. Keling, ko'pburchak ichiga chizilgan doira radiusi ushbu ko'pburchakning yarim perimetriga bo'lingan maydoniga teng ekanligidan foydalanaylik. Biz olamiz,

1-mashq Prizma asosining yon tomoni 1 ga teng bo’lsa, muntazam olti burchakli prizmaning balandligini va unga chizilgan sharning radiusini toping. 2 soat Javob:

2-mashq Muntazam olti burchakli prizma ichiga radiusi 1 bo’lgan shar chizilgan.Asosi tomoni va prizma balandligini toping. 2 3 , 2. 3 a h Javob:

1-mashq Birlik tetraedr ichiga chizilgan sharning radiusini toping. 6. 12 r Javob: Yechish. SABC tetraedrida bizda: SD = DE = SE = SOF va SDE uchburchaklarining oʻxshashligidan 3 , 2 3 , 6 6 ni topib, tenglamani olamiz. 12 r

2-mashq Muntazam tetraedr ichiga birlik shar chizilgan. Ushbu tetraedrning chetini toping. 2 6. a Javob:

3-mashq Muntazam uchburchak piramidaga chizilgan sharning radiusini toping, asosining tomoni 2, poydevoridagi ikki burchakli burchaklari 60 °. 3 1 30. 3 3 r tg Eritma. Ichkari chizilgan sharning markazi piramidaning negizida joylashgan ikki burchakli burchaklar bissektrisa tekisliklarining kesishish nuqtasi ekanligidan foydalanamiz. Sferaning OE radiusi uchun quyidagi tenglik bajariladi: Demak, . OE DE tg O

4-mashq Muntazam uchburchak piramidaga chizilgan, yon qirralari 1 ga, cho`qqidagi tekislik burchaklari 90 gradusga teng bo`lgan sharning radiusini toping. 3 3. 6 r Javob: Yechish. SABC tetraedrida bizda: SD = DE = SE = SOF va SDE uchburchaklarining oʻxshashligidan 2 , 2 6 , 6 3 ni topamiz. 3 3 6 2: : , 3 6 2 r r 3 ni yechish orqali tenglama olamiz 3. 6 r

1-mashq Muntazam to‘rtburchak piramidaga chizilgan, barcha qirralari 1 ga teng bo‘lgan sharning radiusini toping. 6 2. 4 r Uchburchak ichiga chizilgan aylananing r radiusi uchun formula o‘rinli ekanligidan foydalanamiz. : r = S / p, bu erda S - maydon , p - uchburchakning yarim perimetri. Bizning holatimizda S = p = 3, 2 2. 2 Yechim. Sharning radiusi SEF uchburchagiga chizilgan aylana radiusiga teng, bunda SE = SF = EF= 1, SG = 2, 4 Demak, 1 3.

2-mashq Muntazam to‘rtburchakli piramidaga chizilgan sharning radiusini toping, asosining tomoni 1, yon cheti 2. 14 (15 1). 28 r Uchburchak ichiga chizilgan aylananing r radiusi uchun quyidagi formuladan foydalanamiz: r = S / p, bu erda S - maydon, p - uchburchakning yarim perimetri. Bizning holatimizda S = p = 15, 214. 2 Yechim. Sharning radiusi SEF uchburchagiga chizilgan aylana radiusiga teng, bunda SE = SF = EF= 1, SG = 14, 4 Demak, 1 15.

3-mashq Muntazam to‘rtburchak piramidaga chizilgan sharning radiusini toping, asosining tomoni 2, poydevoridagi ikki burchakli burchaklari 60°. 3 30. 3 r tg Eritma. Ichkari chizilgan sharning markazi piramidaning negizida joylashgan ikki burchakli burchaklar bissektrisa tekisliklarining kesishish nuqtasi ekanligidan foydalanamiz. OG sfera radiusi uchun quyidagi tenglik bajariladi: Demak, . OG FG tg OFG

4-mashq Birlik shar muntazam to`rtburchak piramidaga chizilgan, asosining yon tomoni 4. Piramidaning balandligini toping. Keling, uchburchak ichiga chizilgan aylananing r radiusi uchun formuladan foydalanamiz: r = S / p, bu erda S - maydon, p - uchburchakning yarim perimetri. Bizning holatda S = 2 h, p = 2 4 2. h. Yechim. Piramidaning SG balandligini h deb belgilaymiz. Sharning radiusi SEF uchburchagiga chizilgan aylana radiusiga teng, bunda SE = SF = EF= 4. 2 4, h 8. 3 h Demak, biz tenglikka egamiz, undan 2 4 2 ni topamiz. 2, h h

1-mashq Muntazam olti burchakli piramidaga chizilgan, asos qirralari 1 ga, yon qirralari esa 2 ga teng bo‘lgan sharning radiusini toping. uchburchakda yozilgan bo'lsa, formula shunday bo'ladi: r = S / p, bu erda S - maydon, p - uchburchakning yarim perimetri. Bizning holatimizda S = p = 3, 2 Demak, 15 3. 2 15, 2 Yechim. Sfera radiusi SPQ uchburchakka chizilgan aylana radiusiga teng, bunda SP = SQ = PQ= SH = 3.

2-mashq Muntazam olti burchakli piramidaga chizilgan, asos qirralari 1 ga, poydevoridagi ikki burchakli burchaklari 60° ga teng bo‘lgan sharning radiusini toping. 3 1 30. 2 2 r tg Eritma. Ichkari chizilgan sharning markazi piramidaning negizida joylashgan ikki burchakli burchaklar bissektrisa tekisliklarining kesishish nuqtasi ekanligidan foydalanamiz. Sfera radiusi OH uchun quyidagi tenglik bajariladi: Demak, . OH HQ tg OQH

Mashq Oktaedr birligiga chizilgan sharning radiusini toping. 6. 6 r Javob: Yechish. Sharning radiusi SES'F rombiga chizilgan aylana radiusiga teng bo'lib, unda SE = SF = EF= 1, SO = U holda E cho'qqidan tushirilgan rombning balandligi teng bo'ladi. Kerakli radius balandlikning yarmiga teng va 6. 66. 3 2 .2 3 , 2 O ga teng.

Mashq Birlik ikosahedrga chizilgan sharning radiusini toping. 1 7 3 5. 2 6 r Yechim. Tomoni 1 boʻlgan teng yonli uchburchak atrofida aylana chizilgan sharning OA radiusi ga teng va AQ radiusi teng boʻlishidan foydalanamiz.OAQ toʻgʻri burchakli uchburchakka qoʻllaniladigan Pifagor teoremasi boʻyicha biz hosil boʻlamiz. 10 2 5, 4 3.

Mashq Birlik dodekaedrga chizilgan sharning radiusini toping. 1 25 11 5. 2 10 r Yechim. Cheklangan sharning OF radiusi 1 ga teng teng yonli beshburchak atrofida aylana radiusi FQ ga teng ekanligidan foydalanamiz.OFQ to‘g‘ri burchakli uchburchakka qo‘llaniladigan Pifagor teoremasi bo‘yicha biz 18 6 ni olamiz. 5, 4 5 5.

1-mashq Kesilgan tetraedrga sharni sig'dirish mumkinmi? Yechim. E'tibor bering, kesilgan tetraedrga chizilgan sharning O markazi tetraedr ichiga chizilgan sharning markaziga to'g'ri kelishi kerak, bu esa kesilgan tetraedrga yarim chizilgan sharning markaziga to'g'ri keladi. O nuqtadan olti burchakli va uchburchak yuzlargacha bo'lgan d 1, d 2 masofalar Pifagor teoremasi yordamida hisoblanadi: bu erda R - yarim chizilgan sharning radiusi, r 1, r 2 - olti burchakli va uchburchak ichiga chizilgan doiralar radiusi, mos ravishda. Chunki r 1 > r 2, keyin d 1< d 2 и, следовательно, сферы, вписанной в усеченный тетраэдр, не существует. 2 2 1 1 2 2 , d R r

2-mashq Kesilgan kubga sharni sig'dirish mumkinmi? Javob: Yo'q. Dalil avvalgisiga o'xshaydi.

3-mashq Kesilgan oktaedrga sharni sig'dirish mumkinmi? Javob: Yo'q. Dalil avvalgisiga o'xshaydi.

4-mashq Sferani kuboktaedrga sig'dirish mumkinmi? Javob: Yo'q. Dalil avvalgisiga o'xshaydi.

11-sinf geometriya kursida “Ko‘p yuzli, silindr, konus va shar bo‘yicha turli masalalar” mavzusi eng qiyin mavzulardan biridir. Geometrik masalalarni yechishdan oldin ular odatda nazariyaning masalalar yechishda havola qilingan tegishli bo‘limlarini o‘rganadilar. S.Atanasyan va boshqalarning ushbu mavzuga bagʻishlangan darsligida (138-bet) faqat shar atrofida tasvirlangan koʻpburchak, shar ichiga chizilgan koʻpburchak, koʻpburchak ichiga chizilgan shar va sharning atrofida tasvirlangan sharning taʼriflarini topish mumkin. ko'pburchak. IN uslubiy tavsiyalar ushbu darslikda (S.M.Saakyan va V.F. Butuzovning “10-11-sinflarda geometriyani o‘rganish” kitobi, 159-betga qarang) 629-646-sonli masalalarni yechishda jismlarning qanday birikmalari ko‘rib chiqilishi aytiladi va “ muayyan masalani yechayotganda, eng avvalo, o‘quvchilarning yaxshi tushunchaga ega bo‘lishini ta’minlash kerak o'zaro tartibga solish shartda ko'rsatilgan organlar. Quyida 638(a) va 640-sonli masalalar yechimi keltirilgan.

Yuqorida aytilganlarning barchasini hisobga olib, o‘quvchilar uchun eng qiyin masalalar koptokni boshqa jismlar bilan qo‘shish masalalari ekanligini hisobga olsak, tegishli nazariy tamoyillarni tizimlashtirish va ularni talabalarga yetkazish zarur.

Ta'riflar.

1. To'p ko'pburchakda yozilgan deb ataladi va to'pning yuzasi ko'pburchakning barcha yuzlariga tegsa, to'p atrofida tasvirlangan ko'pburchak.

2. Agar sharning yuzasi ko'pburchakning barcha cho'qqilaridan o'tadigan bo'lsa, to'p ko'pburchak atrofida chegaralangan, to'p ichiga yozilgan ko'pburchak deyiladi.

3. Koptok silindrga, kesilgan konusga (konusga), silindrga, kesilgan konusga (konus) esa sharning yuzasi asoslarga (tayanchga) va hamma narsaga tegsa, sharning atrofiga chizilgan deyiladi. silindrning generatrislari, kesilgan konus (konus).

(Ushbu ta'rifdan kelib chiqadiki, to'pning katta doirasi ushbu jismlarning har qanday eksenel qismiga yozilishi mumkin).

4. Agar asoslar doiralari (asosiy doira va cho'qqi) to'p yuzasiga tegishli bo'lsa, to'p silindr, kesilgan konus (konus) atrofida chegaralangan deyiladi.

(Ushbu ta'rifdan kelib chiqadiki, ushbu jismlarning har qanday eksenel qismi atrofida to'pning kattaroq doirasi tasvirlanishi mumkin).

To'pning markazining holati haqida umumiy eslatmalar.

1. Ko‘pburchak ichiga chizilgan sharning markazi ko‘pburchakning barcha ikkiburchak burchaklarining bissektrisa tekisliklarining kesishish nuqtasida yotadi. U faqat ko'pburchak ichida joylashgan.

2. Ko‘pburchak atrofida o‘ralgan sharning markazi ko‘pburchakning barcha qirralariga perpendikulyar bo‘lgan va ularning o‘rta nuqtalaridan o‘tuvchi tekisliklarning kesishish nuqtasida yotadi. U poliedrning ichida, yuzasida yoki tashqarisida joylashgan bo'lishi mumkin.

Sfera va prizma birikmasi.

1. To'g'ri prizma ichiga chizilgan shar.

Teorema 1. Sferani to'g'ri prizma ichiga kiritish mumkin, agar prizma asosiga aylana chizilgan bo'lsa va prizma balandligi shu doira diametriga teng bo'lsa.

Xulosa 1. To'g'ri prizma ichiga chizilgan sharning markazi poydevorga chizilgan doira markazidan o'tadigan prizma balandligining o'rta nuqtasida yotadi.

Xulosa 2. To'pni, xususan, to'g'ri chiziqlar bilan yozish mumkin: uchburchak, muntazam, to'rtburchak (bunda asosning qarama-qarshi tomonlari yig'indisi bir-biriga teng) H = 2r sharti bilan, bu erda H - balandlikning balandligi. prizma, r - asosga chizilgan aylananing radiusi.

2. Prizma atrofida chegaralangan shar.

Teorema 2. Sharni prizma atrofida tasvirlash mumkin, agar prizma to'g'ri bo'lsa va uning asosi atrofida aylana tasvirlangan bo'lsa.

Xulosa 1. To'g'ri prizma bo'ylab o'ralgan sharning markazi poydevor atrofidan o'ralgan doira markazidan o'tkazilgan prizma balandligining o'rta nuqtasida yotadi.

Xulosa 2. To'pni, xususan, tasvirlash mumkin: to'g'ri uchburchak prizma yaqinida, muntazam prizma yonida, to'rtburchak parallelepiped yaqinida, to'g'ri to'rtburchak prizma yaqinida, bunda asosning qarama-qarshi burchaklarining yig'indisi 180 gradusga teng.

L.S.Atanasyan darsligidan shar va prizma birikmasiga 632, 633, 634, 637(a), 639(a,b) masalalarni taklif qilish mumkin.

To'pning piramida bilan kombinatsiyasi.

1. Piramida yonida tasvirlangan to'p.

Teorema 3. To'pni piramida atrofida tasvirlash mumkin, agar uning poydevori atrofida aylana tasvirlangan bo'lsa.

Xulosa 1. Piramida atrofida aylanib o‘tilgan sharning markazi shu asos atrofidan aylanib o‘tilgan aylananing markazidan o‘tuvchi va piramida asosiga perpendikulyar bo‘lgan to‘g‘ri chiziqning o‘rtasidan o‘tkazilgan istalgan yon chetiga perpendikulyar tekislikning kesishish nuqtasida yotadi. bu chekka.

Xulosa 2. Agar piramidaning yon qirralari bir-biriga teng bo'lsa (yoki asos tekisligiga teng moyil bo'lsa), unda bunday piramida atrofida sharni tasvirlash mumkin.Bu holda bu sharning markazi kesishish nuqtasida yotadi. tekislikda yotgan yon chetining simmetriya o'qi bilan piramidaning balandligi (yoki uning kengaytmasi) lateral qirrasi va balandligi.

Xulosa 3. To'pni, xususan, tasvirlash mumkin: uchburchak piramida yonida, oddiy piramida yonida, qarama-qarshi burchaklar yig'indisi 180 daraja bo'lgan to'rtburchak piramida yonida.

2. Piramida ichiga yozilgan shar.

Teorema 4. Agar piramidaning yon tomonlari poydevorga teng darajada moyil bo'lsa, unda bunday piramidaga to'p yozilishi mumkin.

Xulosa 1. Yon yuzlari asosga teng qiyshaygan piramida ichiga chizilgan sharning markazi piramida balandligining piramida poydevoridagi har qanday ikki tomonlama burchakning chiziqli burchagi bissektrisasi bilan kesishgan nuqtasida, yon tomonida joylashgan. undan piramidaning tepasidan chizilgan yon yuzining balandligi.

Xulosa 2. To'pni oddiy piramidaga joylashtirishingiz mumkin.

L.S.Atanasyan darsligidan sharni piramida bilan birlashtirish uchun No635, 637(b), 638, 639(v), 640, 641 masalalarni taklif qilish mumkin.

Kesilgan piramida bilan to'pning kombinatsiyasi.

1. Muntazam kesilgan piramida atrofida chegaralangan shar.

Teorema 5. Sharni har qanday muntazam kesilgan piramida atrofida tasvirlash mumkin. (Bu shart yetarli, lekin shart emas)

2. Muntazam kesilgan piramidaga yozilgan shar.

Teorema 6. To'pni oddiy kesilgan piramidaga yozish mumkin, agar piramidaning apothemi asoslar apotemalari yig'indisiga teng bo'lsa.

L.S.Atanasyanning darsligida (636-son) kesilgan piramida bilan to'pni birlashtirish uchun faqat bitta muammo bor.

Dumaloq jismlar bilan to'pning kombinatsiyasi.

Teorema 7. Sharni silindr, kesilgan konus (to'g'ri dumaloq) yoki konusning atrofida tasvirlash mumkin.

Teorema 8. To'pni (to'g'ri dumaloq) silindrga yozish mumkin, agar silindr teng tomonli bo'lsa.

Teorema 9. To'pni har qanday konusga (to'g'ri dumaloq) joylashtirishingiz mumkin.

Teorema 10. To'pni kesilgan konusga (to'g'ri dumaloq) yozish mumkin, agar uning generatori asoslar radiuslari yig'indisiga teng bo'lsa.

L.S.Atanasyan darsligidan dumaloq jismli sharni birikmasiga 642, 643, 644, 645, 646-sonli masalalarni taklif qilish mumkin.

Ko'proq ma'lumot uchun muvaffaqiyatli o'qish Ushbu mavzu bo'yicha material, darslar jarayonida og'zaki topshiriqlarni kiritish kerak:

1. Kubning cheti a ga teng. To'plarning radiuslarini toping: kub ichiga yozilgan va uning atrofida chegaralangan. (r = a/2, R = a3).

2. Atrofdagi sharni (to'pni) tasvirlash mumkinmi: a) kub; b) to‘g‘ri burchakli parallelepiped; v) poydevorida to'rtburchak bo'lgan qiya parallelepiped; d) to'g'ri parallelepiped; e) qiya parallelepiped? (a) ha; b) ha; c) yo'q; d) yo'q; d) yo'q)

3. Har qanday uchburchak piramida atrofida sharni tasvirlash mumkinligi to'g'rimi? (Ha)

4. Har qanday to'rtburchak piramida atrofida sharni tasvirlash mumkinmi? (Yo'q, hech qanday to'rtburchak piramidaga yaqin emas)

5. Piramida atrofidagi sharni tasvirlash uchun qanday xossalarga ega bo‘lishi kerak? (Uning tagida ko'pburchak bo'lishi kerak, uning atrofida aylana tasvirlanishi mumkin)

6. Piramida yon cheti asosga perpendikulyar bo'lgan sharga chizilgan. Sfera markazini qanday topish mumkin? (Sharning markazi fazodagi ikkita geometrik nuqtalarning kesishish nuqtasidir. Birinchisi, piramida asosining tekisligiga, uning atrofida aylana markazi orqali o'tkazilgan perpendikulyar. Ikkinchisi - tekislik. berilgan yon chetiga perpendikulyar va uning o'rtasidan chizilgan)

7. Prizma atrofidagi sharni qanday sharoitda tasvirlay olasiz, uning asosida trapetsiya joylashgan? (Birinchidan, prizma to'g'ri bo'lishi kerak, ikkinchidan, trapetsiya teng yonli bo'lishi kerak, shunda uning atrofida aylana tasvirlanishi mumkin)

8. Prizma atrofida shar tasvirlanishi uchun qanday shartlarni qondirishi kerak? (Prizma to'g'ri bo'lishi kerak va uning asosi ko'pburchak bo'lishi kerak, uning atrofida aylana tasvirlanishi mumkin)

9. Uchburchak prizma atrofida shar tasvirlangan, uning markazi prizmadan tashqarida joylashgan. Prizmaning asosi qaysi uchburchak hisoblanadi? (Toʻq uchburchak)

10. Qiya prizma atrofidagi sharni tasvirlash mumkinmi? (Mumkin emas)

11. To‘g‘ri burchakli uchburchak prizma atrofida aylanib o‘yilgan sharning markazi qanday sharoitda prizmaning yon yuzlaridan birida joylashgan bo‘ladi? (Asosi to'g'ri burchakli uchburchak)

12. Piramida asosi teng yonli trapetsiya Piramida tepasining asos tekisligiga ortogonal proyeksiyasi trapetsiyadan tashqarida joylashgan nuqtadir. Bunday trapetsiya atrofidagi sharni tasvirlash mumkinmi? (Ha, mumkin. Piramida tepasining ortogonal proyeksiyasi uning poydevoridan tashqarida joylashganligi muhim emas. Muhimi shundaki, piramidaning negizida teng yonli trapesiya yotadi - uning atrofida aylana boʻlishi mumkin boʻlgan koʻpburchak. tasvirlangan)

13. Muntazam piramida yonida shar tasvirlangan. Uning markazi piramida elementlariga nisbatan qanday joylashgan? (Sharning markazi uning markazi orqali asos tekisligiga chizilgan perpendikulyarda)

14. To'g'ri burchakli uchburchak prizma atrofida tasvirlangan sharning markazi qanday sharoitda yotadi: a) prizma ichida; b) prizmadan tashqarida? (Prizma poydevorida: a) o'tkir uchburchak; b) to'liq uchburchak)

15. Qirralari 1 dm, 2 dm va 2 dm bo'lgan to'g'ri burchakli parallelepiped atrofida shar tasvirlangan. Sfera radiusini hisoblang. (1,5 dm)

16. Shar qanday kesilgan konusga sig'ishi mumkin? (Kesik konusda, uning eksenel qismiga aylana chizilishi mumkin. Konusning eksenel kesmasi teng yonli trapesiya bo'lib, uning asoslari yig'indisi uning lateral tomonlari yig'indisiga teng bo'lishi kerak. Boshqacha qilib aytganda, konusning asoslari radiuslari yig'indisi generatorga teng bo'lishi kerak)

17. Kesilgan konus ichiga shar chizilgan. Sfera markazidan konusning generatriksi qaysi burchakda ko'rinadi? (90 daraja)

18. To'g'ri prizma ichiga shar chizilgan bo'lishi uchun qanday xususiyatga ega bo'lishi kerak? (Birinchidan, to'g'ri prizmaning negizida aylana chizilishi mumkin bo'lgan ko'pburchak bo'lishi kerak, ikkinchidan, prizmaning balandligi poydevorga chizilgan doira diametriga teng bo'lishi kerak)

19. Sharga sig'maydigan piramidaga misol keltiring? (Masalan, to'rtburchak piramida, asosi to'rtburchak yoki parallelogramm)

20. To'g'ri prizmaning negizida romb joylashgan. Ushbu prizmaga sharni sig'dirish mumkinmi? (Yo'q, bu mumkin emas, chunki umuman olganda, romb atrofida aylana tasvirlab bo'lmaydi)

21. Sharni qanday sharoitda to‘g‘ri burchakli uchburchak prizmaga kiritish mumkin? (Agar prizmaning balandligi poydevorga chizilgan aylananing radiusidan ikki baravar katta bo'lsa)

22. Qanday sharoitda sharni muntazam to'rtburchakli kesilgan piramidaga kiritish mumkin? (Agar ma'lum bir piramidaning ko'ndalang kesimi poydevorning unga perpendikulyar bo'lgan tomonining o'rtasidan o'tadigan tekislik bo'lsa, u aylana chizilgan bo'lishi mumkin bo'lgan teng yonli trapezoiddir)

23. Uchburchak shaklida kesilgan piramida ichiga shar chizilgan. Piramidaning qaysi nuqtasi sharning markazi hisoblanadi? (Ushbu piramidaga chizilgan sharning markazi piramidaning lateral yuzlari asos bilan hosil qilgan uchta bisektral burchak tekisliklarining kesishmasida joylashgan)

24. Silindr atrofidagi sharni tasvirlash mumkinmi (o'ng aylana)? (Ha mumkin)

25. Konus atrofidagi sharni, kesilgan konusni (to'g'ri dumaloq) tasvirlash mumkinmi? (Ha, ikkala holatda ham mumkin)

26. Har qanday silindrga sharni kiritish mumkinmi? Tsilindrga sharni sig'dirish uchun qanday xossalarga ega bo'lishi kerak? (Yo'q, har safar emas: silindrning eksenel qismi kvadrat bo'lishi kerak)

27. Sharni har qanday konus ichiga chizib olish mumkinmi? Konus ichiga chizilgan shar markazining o'rnini qanday aniqlash mumkin? (Ha, mutlaqo. Ichkari chizilgan sharning markazi konusning balandligi va generatrixning asos tekisligiga moyillik burchagi bissektrisasining kesishgan joyida)

Muallifning fikricha, "Ko'p yuzli, silindrli, konus va shar bo'yicha turli xil masalalar" mavzusidagi uchta rejalashtirish darsidan ikkita darsni to'pni boshqa jismlar bilan birlashtirish masalalarini echishga bag'ishlash maqsadga muvofiqdir. Darsda vaqt yetarli bo‘lmaganligi sababli yuqorida keltirilgan teoremalarni isbotlash tavsiya etilmaydi. Buning uchun etarli ko'nikmalarga ega bo'lgan talabalarni isbotlash kursini yoki rejasini (o'qituvchining ixtiyoriga ko'ra) ko'rsatish orqali isbotlash uchun taklif qilishingiz mumkin.

To'p va shar

Yarim doirani diametr atrofida aylantirish natijasida olingan tanaga to'p deyiladi. Bu holda hosil bo'lgan sirt shar deb ataladi.To‘p deganda ma’lum bir nuqtadan berilgan nuqtadan katta bo‘lmagan masofada joylashgan fazodagi barcha nuqtalardan tashkil topgan jismga aytiladi.Bu nuqta sharning markazi deyiladi., va bu masofa to'pning radiusi deb ataladi.To'pning chegarasi sferik sirt deyiladiyoki shar.. Sharsimon yuzadagi nuqta bilan sharning markazini tutashtiruvchi har qanday segment radius deyiladi..Sferik sirtdagi ikkita nuqtani bogʻlovchi va sharning markazidan oʻtuvchi segment diametr deyiladi..Har qanday diametrning uchlari sharning diametrik qarama-qarshi nuqtalari deyiladi.Koptokning istalgan kesimisamolyot aylanadir. Bu doiraning markazi markazdan ajratuvchi tekislikka tushirilgan perpendikulyarning asosidir.To`pning markazidan o`tuvchi tekislik diametrli tekislik deyiladi.. To'pning diametrik tekislik bo'ylab kesmasi katta doira deyiladi, va sharning ko'ndalang kesimi katta doiradir.Koptokning har qanday diametrik tekisligi uning simmetriya tekisligidir. To'pning markazi uning simmetriya markazidir.Sferik sirtdagi nuqtadan oʻtuvchi va shu nuqtaga chizilgan radiusga perpendikulyar boʻlgan tekislik tangens tekislik deyiladi.. Bu nuqta aloqa nuqtasi deb ataladi.Tangens tekislik to'p bilan faqat bitta umumiy nuqtaga ega - tutash nuqtasi.O'tuvchi to'g'ri chiziq berilgan nuqta bu nuqtaga chizilgan radiusga perpendikulyar sferik sirt tangens deb ataladi.Sferik yuzaning istalgan nuqtasidan cheksiz miqdordagi tangenslar oʻtadi va ularning barchasi sharning tangens tekisligida yotadi.Sferik segment.to'pning undan tekislik bilan kesilgan qismi sferik qatlam deb ataladito'pni kesib o'tuvchi ikkita parallel tekislik orasida joylashgan qismi deyiladi.Sferik sektorsharsimon segment va konusdan olinadi.Agar sferik segment yarim shardan kichik bo'lsa, u holda sferik segment konus bilan to'ldiriladi, uning tepasi sharning markazida, asosi esa to'pning asosidir. segment.Agar segment yarim shardan katta bo'lsa, undan ko'rsatilgan konus chiqariladi.Asosiy formulalarTo'p (R = OB - radius): S b = 4pR 2 ; V = 4pR 3 / 3. To'p segmenti (R = OB - to'pning radiusi, h = SK - segment balandligi, r = KV - segment asosining radiusi): V segm = p h 2 (R - h/3) yoki V segm = ph(h 2 + 3r 2 ) / 6;S segm = 2pRh.Ball sektori (R = OB - to'pning radiusi, h = SC - segment balandligi): V = V segm ±V con , "+" - segment kichikroq bo'lsa, "-" - segment yarim shardan kattaroq bo'lsa.yoki V = V segm + V con = p h 2 (R - h/3) + pr 2 (R - h) / 3. Sferik qatlam (R 1 va R 2 - sferik qatlam asoslarining radiuslari; h = SC - sferik qatlam balandligi yoki asoslar orasidagi masofa):V w/sl = p h 3 / 6 + ph(R 1 2 + R 2 2 ) / 2;S w/sl = 2pRh.misol 1. Sharning hajmi 288p sm 3 . Sharning diametrini toping YechimV = pd 3 / 6288p = pd 3 / 6p d 3 = 1728p 3 = 1728d = 12 sm.Javob: 12. 2-misol. r radiusli uchta teng sharlar bir-biriga va qandaydir tekislikka tegib turadi. Uchta ma’lumotlarga va berilgan tekislikka tangens bo‘lgan to‘rtinchi sharning radiusini aniqlang YechimMayli O 1 , HAQIDA 2 , HAQIDA 3 - bu sohalarning markazlari va O - uchta ma'lumot va berilgan tekislikka tegib turgan to'rtinchi sharning markazi. Sharlarning berilgan tekislik bilan aloqa nuqtalari A, B, C, T bo'lsin. Ikki sharning tutashish nuqtalari shu sharlar markazlari chizigʻida yotadi, shuning uchun O 1 HAQIDA 2 = O 2 HAQIDA 3 = O 3 HAQIDA 1 = 2r. Nuqtalar ABC tekisligidan teng masofada joylashgan, shuning uchun ABO 2 HAQIDA 1 , AVO 2 HAQIDA 3 , AVO 3 HAQIDA 1 - teng to'rtburchaklar, demak, ∆ABC 2r tomoni bilan teng yonli.To'rtinchi sharning kerakli radiusi x bo'lsin. Keyin OT = x. Demak, Xuddi shunday Bu T teng yonli uchburchakning markazi ekanligini bildiradi. Shunung uchun Bu yerdanJavob: r / 3. Piramida ichiga chizilgan shar Har bir oddiy piramidaga shar chizilgan bo'lishi mumkin. Sharning markazi piramidaning balandligida uning piramida asosining chetidagi chiziqli burchak bissektrisasi bilan kesishgan nuqtasida yotadi.Eslatma. Agar sharni muntazam bo'lishi shart emas, balki piramidaga yozish mumkin bo'lsa, u holda bu sharning r radiusini r = 3V / S formulasi yordamida hisoblash mumkin. pp , bu erda V - piramidaning hajmi, S pp - uning umumiy sirtining maydoni 3-misol. Konussimon voronka, asosining radiusi R va balandligi H suv bilan to'ldirilgan. Huni ichiga og'ir to'p tushiriladi. Sharning suvga botgan qismi voronkadan siqib chiqargan suv hajmi maksimal bo'lishi uchun sharning radiusi qanday bo'lishi kerak Yechish Konusning markazidan kesma o'tkazamiz. Bu qism teng yonli uchburchakni hosil qiladi.Agar voronkada shar bo'lsa, u holda uning radiusining maksimal o'lchami hosil bo'lgan teng yonli uchburchakka chizilgan aylananing radiusiga teng bo'ladi.Uchburchak ichiga chizilgan aylananing radiusi teng: r = S / p. , bu erda S - uchburchakning maydoni, p - uning yarim perimetri. Teng yonli uchburchakning maydoni balandlikning yarmiga teng (H = SO) asosga ko'paytiriladi. Lekin asos konusning radiusidan ikki baravar katta bo'lgani uchun S = RH.Yarim perimetr teng p = 1/2 (2R + 2m) = R + m.m - teng yon tomonlarining har birining uzunligi. uchburchak;R - konusning asosini tashkil etuvchi aylana radiusi.Pifagor teoremasi bo'yicha m ni toping: , qayerdaQisqacha aytganda, bu shunday ko'rinadi:Javob:4-misol. Asosidagi ikki burchakli burchakli a ga teng bo'lgan muntazam uchburchak piramidada ikkita shar mavjud. Birinchi to'p piramidaning barcha yuzlariga, ikkinchi to'p esa piramidaning barcha yon yuzlariga va birinchi to'pga tegadi. Agar tga = 24/7 bo'lsa, birinchi shar radiusining ikkinchi sharning radiusiga nisbatini toping.
RABC muntazam piramida va H nuqtasi uning ABC asosining markazi bo'lsin. M BC chetining o'rta nuqtasi bo'lsin. Keyin - chiziqli ikki burchakli burchak , bu sharti bo'yicha a va a ga teng< 90°. Центр первого шара, касающегося всех граней пирамиды, лежит на отрезке РН в точке его пересечения с биссектрисой .NN bo'lsin 1 - birinchi sharning diametri va H nuqtadan o'tuvchi tekislik 1 RN to'g'ri chiziqqa perpendikulyar, A nuqtalarda mos ravishda RA, PB, RS yon qirralarini kesib o'tadi. 1 , IN 1 , BILAN 1 . Keyin N 1 to'g'ri ∆A ning markazi bo'ladi 1 IN 1 BILAN 1 , va piramida RA 1 IN 1 BILAN 1 o'xshashlik koeffitsienti k = RN bilan RABC piramidasiga o'xshash bo'ladi 1 / RN. E'tibor bering, ikkinchi to'p, markazi O nuqtada 1 , RA piramidasiga yozilgan 1 IN 1 BILAN 1 va shuning uchun yozilgan to'plarning radiuslarining nisbati o'xshashlik koeffitsientiga teng: OH / OH 1 = RN / RN 1 . tga = 24/7 tengligidan biz quyidagilarni topamiz:AB = x bo'lsin. Keyin Demak, kerakli OH/O nisbati 1 N 1 = 16/9.Javob: 16/9.Prizmaga chizilgan shar Prizma ichiga chizilgan sharning diametri D prizma balandligi H ga teng: D = 2R = H. Ichkariga chizilgan sharning radiusi R. prizma perpendikulyar kesma prizma ichiga chizilgan aylana radiusiga teng.Agar shar toʻgʻri prizma ichiga chizilgan boʻlsa, u holda bu prizmaning asosiga aylana chizilgan boʻlishi mumkin.Toʻgʻri chiziqqa chizilgan sharning radiusi R. prizma prizma asosiga chizilgan aylananing radiusiga teng.1-teorema to'g'ri prizmaning asosiga aylana chizilgan bo'lsin va prizmaning H balandligi shu doiraning diametri D ga teng. U holda bu prizmaga diametri D bo'lgan sharni o'tkazish mumkin.Ushbu chizilgan sharning markazi prizma asoslariga chizilgan doiralar markazlarini bog'lovchi segmentning o'rtasiga to'g'ri keladi.Isbot.ABC...A bo'lsin 1 IN 1 BILAN 1 ... toʻgʻri prizma, O esa ABC asosiga chizilgan aylananing markazi. U holda O nuqta ABC asosining barcha tomonlaridan teng masofada joylashgan. Mayli O 1 - O nuqtaning A asosga ortogonal proyeksiyasi 1 IN 1 BILAN 1 . Keyin Oh 1 A asosining har tomondan teng masofada joylashgan 1 IN 1 BILAN 1 , va OO 1 || AA 1 . Bu to'g'ridan-to'g'ri OO'dan kelib chiqadi 1 prizmaning lateral yuzining har bir tekisligiga parallel va OO segmentining uzunligi 1 prizmaning balandligiga va qoidaga ko'ra, prizma poydevoriga chizilgan doira diametriga teng. Bu OO segmentining nuqtalarini bildiradi 1 prizmaning lateral yuzlari va OO segmentining o'rta F dan teng masofada joylashgan 1 , prizma asoslari tekisliklaridan teng masofada, prizmaning barcha yuzlaridan teng masofada joylashgan bo'ladi. Ya'ni, F prizma ichiga chizilgan sharning markazi va bu sharning diametri prizma asosiga chizilgan doira diametriga teng. Teorema isbotlangan.2-teorema Qiya prizmaning perpendikulyar kesmasiga aylana chizilgan va prizma balandligi shu aylana diametriga teng. Keyin bu qiya prizma ichiga sharni kiritish mumkin. Bu sharning markazi perpendikulyar kesmaga chizilgan aylana markazidan oʻtuvchi balandlikni ikkiga boʻladi.Isbot.
ABC...A bo'lsin 1 IN 1 BILAN 1 ... qiya prizma, F esa radiusi FK perpendikulyar kesimiga chizilgan aylananing markazi. Prizmaning perpendikulyar kesimi uning lateral yuzining har bir tekisligiga perpendikulyar bo'lgani uchun, bu kesmaning yon tomonlariga chizilgan perpendikulyar kesmaga chizilgan aylananing radiuslari prizmaning lateral yuzlariga perpendikulyar. Demak, F nuqta barcha lateral yuzlardan teng masofada joylashgan.F nuqta orqali OO to'g'ri chiziq o'tkazamiz. 1 , prizma asoslari tekisligiga perpendikulyar, bu asoslarni O va O nuqtalarda kesish 1 . Keyin OO 1 - prizma balandligi. Chunki OO shartiga ko'ra 1 = 2FK, keyin F - OO segmentining o'rtasi 1 :FK = OO 1 / 2 = FO = FO 1 , ya'ni. F nuqta istisnosiz prizmaning barcha yuzlari tekisliklaridan teng masofada joylashgan. Bu shuni anglatadiki, sharni berilgan prizma ichiga yozish mumkin, uning markazi F nuqtaga to'g'ri keladi - prizmaning F nuqtasidan o'tadigan prizma balandligini yarmiga bo'luvchi perpendikulyar kesimiga chizilgan doira markazi. Teorema isbotlangan.5-misol.Radiusi 1 bo’lgan shar to’g’ri burchakli parallelepipedga chizilgan.Parallelepipedning hajmini toping.Echish.Yuqori ko'rinishni chizish. Yoki yon tomondan. Yoki old tomondan. Siz xuddi shu narsani ko'rasiz - to'rtburchak ichiga yozilgan doira. Shubhasiz, bu to'rtburchak kvadrat, parallelepiped esa kub bo'ladi. Bu kubning uzunligi, kengligi va balandligi sharning radiusidan ikki baravar katta.AB = 2, shuning uchun kubning hajmi 8. Javob: 8. 6-misol. Poydevorining bir tomoni teng bo'lgan muntazam uchburchak prizmada. uchun , ikkita to'p bor. Birinchi shar prizma ichiga chizilgan, ikkinchi shar esa prizmaning bir asosiga, uning ikki yon yuziga va birinchi sharga tegadi. Ikkinchi sharning radiusini toping Yechim
ABCA bo'lsin 1 IN 1 BILAN 1 - to'g'ri prizma va P va P nuqtalari 1 - uning asoslarining markazlari. U holda bu prizmaga chizilgan O sharning markazi PP segmentining o'rta nuqtasidir 1 . RVV samolyotini ko'rib chiqing 1 . Prizma muntazam bo'lgani uchun PB BN segmentida yotadi, bu bissektrisa va DAABC balandligi. Shuning uchun, samolyot va portlovchi moddaning lateral chetidagi dihedral burchakning bissektrisa tekisligidir 1 . Shuning uchun bu tekislikning istalgan nuqtasi AA ning yon yuzlaridan teng masofada joylashgan 1 BB 1 va SS 1 IN 1 B. Xususan, perpendikulyar OK, O nuqtadan yuz ACCga tushiriladi 1 A 1 , RVV tekisligida yotadi 1 va OP segmentiga teng.E'tibor bering, KNPO kvadrat bo'lib, uning tomoni berilgan prizmaga chizilgan sharning radiusiga teng.O bo'lsin. 1 - to'pning markazi O markazi va lateral yuzlari AA bilan yozilgan to'pga tegib turadi 1 BB 1 va SS 1 IN 1 Prizmalarga. Keyin O nuqta 1 RVV samolyotida yotadi 1 , va uning proyeksiyasi P 2 ABC tekisligida PB segmentida yotadi.Shartga ko'ra asosning tomoni teng , shuning uchun, PN = 2 va shuning uchun prizmaga yozilgan OR sharining radiusi ham 2 ga teng. Chunki markazlari O va O nuqtalarda joylashgan sharlar. 1 bir-biriga teging, keyin OO segmenti 1 = OR + O 1 R 2 . OP = r, O ni belgilaymiz 1 R 2 = x. DOO ni ko'rib chiqing 1 T, qaerda Ushbu uchburchakda OO 1 = r + x, OT = r - x. Shunung uchun Chunki bu raqam O 1 R 2 Shunday qilib, RT to'rtburchakdir Bundan tashqari, uchburchak medianalarining xossasi bo'yicha RV = 2r, va R 2 B = 2x, chunki ichida to'g'ri uchburchak va P 2 L = x. PB = PP bo'lgani uchun 2 + R 2 B, keyin biz tenglamani olamiz , undan x tengsizlikni hisobga olgan holda< r, находим r = 2 qiymatini almashtirib, biz nihoyat topamiz Javob:Sfera ko'pburchak atrofida o'ralgan
Sfera ko'pburchak atrofida chegaralangan deb aytiladi, agar uning barcha uchlari shu sferada yotsa. Bunday holda, ko'pburchak sharga yozilgan deb aytiladi.Ta'rifdan shunday xulosa kelib chiqadiki, agar ko'pburchakning doiraviy doirasi bo'lsa, unda uning barcha yuzlari ko'pburchaklar chizilgan va shuning uchun har bir ko'pburchakda uning atrofida aylana bo'lgan shar bo'lmaydi.Masalan, qiya parallelepipedning aylanali shari bo'lmaydi, chunki Parallelogramm atrofida aylana tasvirlab bo'lmaydi.To'g'ri prizma atrofida aylanib o'tilgan sharning markazi to'g'ri prizma asoslari haqida tasvirlangan doiralar markazlarini tutashtiruvchi segmentning o'rtasi.7-misol.Shar radiusini toping. kubning hajmi 27 bo'lsa, kub atrofida chegaralangan. Javobni shaklda yozing Eritma kub hajmi kubning cheti a = 3. Pifagor teoremasiga ko'ra kubning diagonali Keyin radiusni kub diagonalining yarmiga teng deb topamiz: Keling, javobni shaklda yozamiz Javob: 1.5.Misol 8. Muntazam uchburchak prizmaning asoslaridan biri R radiusli sharning katta aylanasiga, ikkinchi asosning uchlari esa shu shar yuzasiga tegishli. Prizmaning qaysi balandligida uning hajmi eng katta bo'lishini aniqlang Yechim
A tekislikka perpendikulyar 1 IN 1 BILAN 1 Bu uchburchak atrofida aylana markazidan chizilgan to'pning markazidan o'tadi. OB ni belgilaymiz 1 = R, OB = R 1 , BB 1 = h = x. Keyin Keling, hosilani topamiz va uni nolga tenglashtiramiz. Biz olamiz:Javob:

TALABALARNING XV SHAHAR Ochiq Konferensiyasi

“XXI ASR ziyolilari”

Bo'lim: MATEMATIKA

Olimpiada va Yagona davlat imtihonida tasvirlangan maydon

Kiyaeva Anna Anatolevna

Orenburg - 2008 yil

1.2 Qo'llash doirasi tavsiflangan

1.2.1 Asosiy xususiyatlar va ta'riflar

1.2.2 Piramida kombinatsiyasi

1.2.3 Prizma bilan birikma

1.2.4 Silindr bilan birikma

1.2.5 Konus bilan birikma

2 Olimpiada topshiriqlariga misollar

2.1 Piramida bilan olimpiada topshiriqlariga misollar

2.2 Prizma bilan olimpiada topshiriqlariga misollar

2.3 Silindr bilan olimpiada topshiriqlariga misollar

2.4 Konus bilan olimpiada topshiriqlariga misollar

3.3 Silindr bilan yagona davlat imtihon topshiriqlariga misollar

3.4 Konus bilan yagona davlat imtihon topshiriqlariga misollar

Kirish

Ushbu ish litsey-internat veb-saytida maktab o‘quvchilari uchun matematik sahifa yaratish loyihasi doirasida amalga oshirilmoqda va “Matematik usullar” bo‘limiga joylashtiriladi.

Maqsad ish - hal qilish usuliga bag'ishlangan ma'lumotnoma yaratish geometrik masalalar olimpiadalarda va Yagona davlat imtihonida tasvirlangan soha bilan.

Ushbu maqsadga erishish uchun biz quyidagilarni hal qilishimiz kerak edi vazifalar :

1) tasvirlangan soha tushunchasi bilan tanishish;

2) tasvirlangan sharning piramida, prizma, silindr va konus bilan birikmalarining xususiyatlarini o'rganish;

3) geometrik masalalar orasida tasvirlangan sharning mavjudligi sharti mavjud bo'lganlarini tanlang;

4) to'plangan materialni tahlil qilish, tizimlashtirish va tasniflash;

5) mustaqil hal qilish uchun muammolarni tanlash;

6) tadqiqot natijasini referat shaklida taqdim etish.

Tadqiqot davomida biz ta'riflangan soha bilan bog'liq muammolar maktab o'quvchilariga Yagona davlat imtihonida ko'pincha taklif qilinishini aniqladik, shuning uchun ushbu turdagi muammolarni hal qilish qobiliyati juda muhim rol o'ynaydi. muvaffaqiyatli yakunlash imtihonlar. Shuningdek, tavsiflangan soha bilan bog'liq muammolar ko'pincha turli darajadagi matematika olimpiadalarida uchraydi. Bizning ishimizda tegishli misollar keltirilgan. Bu mavzu hisoblanadi muvofiq, chunki bunday turdagi vazifalar odatda maktab o'quvchilari uchun qiyinchiliklarga olib keladi.

Amaliy ahamiyati- Biz tayyorlagan materiallar maktab o'quvchilarini olimpiadalarga, Yagona davlat imtihoniga va undan keyingi universitetda o'qishga tayyorlashda foydalanish mumkin.

1 Sfera va to'p

1.1 Sfera va to'p: asosiy tushunchalar va ta'riflar

Sfera ma'lum bir nuqtadan ma'lum masofada joylashgan fazodagi barcha nuqtalardan tashkil topgan sirt.

Bu nuqta deyiladi sharning markazi(nuqta HAQIDA rasmda. 1) va bu masofa sharning radiusi. Sferaning markazi va istalgan nuqtasini tutashtiruvchi har qanday segment sharning radiusi deb ham ataladi. Sharning ikkita nuqtasini bog'laydigan va uning markazidan o'tuvchi chiziq segmenti deyiladi shar diametri(chiziq segmenti DC rasmda. 1). E'tibor bering, sharni uning diametri atrofida yarim doira aylantirish orqali olish mumkin.

To'p shar bilan chegaralangan jism deyiladi. Sharning markazi, radiusi va diametri ham deyiladi markaz , radius Va to'pning diametri. Shubhasiz, radiusli to'p R markazida joylashgan HAQIDA nuqtadan joylashgan kosmosdagi barcha nuqtalarni o'z ichiga oladi HAQIDA dan oshmaydigan masofada R(shu jumladan nuqta HAQIDA) va boshqa nuqtalarni o'z ichiga olmaydi. To'p uning diametri atrofida yarim doira aylanish figurasi ham deyiladi. To'p segmenti- to'pning bir qismi undan qandaydir tekislik bilan kesilgan. Samolyot bo'ylab to'pning har bir qismi aylanadir. Ushbu doiraning markazi to'pning markazidan chiqib ketish tekisligiga chizilgan perpendikulyarning asosidir. To'pning markazidan o'tadigan samolyot deyiladi diametrik tekislik. To'pning diametrli tekislikdagi kesimi deyiladi katta doira, va sharning kesimi katta doira. To'p sektori - dumaloq sektorni cheklovchi radiuslardan birini oʻz ichiga olgan toʻgʻri chiziq atrofida 90° dan kam burchakka ega aylana sektorni aylantirish natijasida olingan geometrik jism. Sferik sektor sferik segment va umumiy asosli konusdan iborat.

Sferaning sirt maydoni:

S = 4p R 2 ,

Qayerda R- to'pning radiusi, S- sharning maydoni.

Sfera hajmi

Qayerda V- to'pning hajmi

To'p sektorining hajmi

V – sferik segmentning hajmi.

Segmental sirt maydoni

- segment balandligi, segmental sirt maydoni

Segment asosining radiusi

, - segment asos radiusi, - segment balandligi, 0<H < 2R .

To'p segmentining sferik sirt maydoni

- sferik segmentning sharsimon yuzasi maydoni.

Kosmosda to'p va samolyot uchun uchta holat mumkin:

1) Agar to'pning markazidan tekislikgacha bo'lgan masofa to'pning radiusidan katta bo'lsa, u holda to'p va tekislikning umumiy nuqtalari yo'q.

2) Agar to'pning markazidan tekislikgacha bo'lgan masofa to'pning radiusiga teng bo'lsa, u holda tekislikning to'p va uni chegaralovchi shar bilan faqat bitta umumiy nuqtasi bor.

3) Agar to'pning markazidan tekislikgacha bo'lgan masofa to'pning radiusidan kichik bo'lsa, u holda to'pning tekislik bilan kesishishi aylana bo'ladi. Bu doiraning markazi to'p markazining berilgan tekislikka proyeksiyasidir. Tekislikning shar bilan kesishishi belgilangan doiraning aylanasi hisoblanadi.

1.2 Ta'riflangan shar

1.2.1 Ta'riflar va xususiyatlar

Sfera deyiladi ko'pburchak atrofida tasvirlangan(ko'pburchak esa sohaga kiritilgan), agar ko'pburchakning barcha uchlari sharda yotsa.

Ta'riflangan sohaning ta'rifidan ikkita fakt kelib chiqadi:

1) sharga chizilgan ko'pburchakning barcha uchlari ma'lum bir nuqtadan (cheklangan sharning markazidan) teng masofada joylashgan;

2) sferaga chizilgan ko'pburchakning har bir yuzi ma'lum bir doira ichida, aniqrog'i, yuz tekisligi bilan sharning kesimida olinadigan doira ichida yozilgan ko'pburchakdir; bu holda, yuzlar tekisligida aylanali sharning markazidan tushirilgan perpendikulyarlarning asosi yuzlar atrofida chegaralangan doiralarning markazlari hisoblanadi.

Teorema 1 . Sharni ko'pburchak atrofida tasvirlash mumkin, agar quyidagi shartlardan biri bajarilgan bo'lsa:

a) ko'pburchakning istalgan yuzi atrofida aylana tasvirlanishi mumkin va ko'pburchak yuzlari atrofida tasvirlangan doiralar o'qlari bir nuqtada kesishadi;

b) ko'pburchak chetlariga perpendikulyar bo'lgan va ularning o'rta nuqtalaridan o'tuvchi tekisliklar bir nuqtada kesishadi;

v) ko'pburchakning barcha cho'qqilaridan teng masofada joylashgan bitta nuqta bor.

Isbot.

Zaruriyat. Ko'pburchak atrofida shar tasvirlansin. a) shart bajarilganligini isbotlaylik. Darhaqiqat, ko'pburchakning berilgan yuzining tekisligi sharni aylana bo'ylab kesib o'tganligi sababli, sharga tegishli yuzning uchlari va yuz tekisligi ularning kesishish chizig'iga - aylanaga tegishlidir. Sfera markazi berilgan yuzning barcha cho'qqilaridan bir xil masofada joylashganligi sababli, u yuz atrofida o'ralgan aylananing markazi orqali chizilgan ushbu yuzga perpendikulyar yotadi.

Adekvatlik. a) shart qanoatlansin. Keling, ko'pburchak atrofida sharni tasvirlash mumkinligini isbotlaylik. Darhaqiqat, yuzlar atrofida aylanalar markazlari orqali chizilgan yuzlarga perpendikulyarlarning umumiy nuqtasi ko'pburchakning barcha cho'qqilaridan teng masofada joylashganligi sababli, ko'pburchak atrofida markazi shu nuqtada bo'lgan shar tasvirlangan.

Bu holda a) shart b) va c) shartlarga teng.

Agar shar ko'pburchak atrofida o'ralgan bo'lsa, u holda: a) sharning markazidan istalgan yuzga tushirilgan perpendikulyarning asosi shu yuz atrofida aylananing markazidir (masalan, teng bo'lgan piramida balandligi poydevori). lateral qirralar - uning markazidan berilgan yuzning cho'qqilariga chizilgan sharning radiuslari ); b) ko'pburchak atrofida aylanib o'tilgan sharning markazi ko'pburchakning ichida, uning yuzasida (yuz atrofida aylanib o'tilgan aylananing markazida, xususan, qandaydir chekkaning o'rtasida), ko'pburchak tashqarisida joylashgan bo'lishi mumkin.

1.2.2 Cheklangan shar va piramida

Teorema 2 . Piramida atrofida sharni tasvirlash mumkin, agar uning poydevori atrofida aylana tasvirlangan bo'lsa.

Isbot. Piramida poydevori atrofida aylana tasvirlansin. Keyin bu doira va bu doira tekisligidan tashqaridagi nuqta - piramidaning tepasi - piramida atrofida aylanib o'tiladigan yagona sharni belgilaydi. Va orqaga. Agar shar piramida atrofida o'ralgan bo'lsa, u holda sharning piramida asosi tekisligi bilan kesmasi poydevor atrofida aylana bo'ladi.

Xulosa 1. Sferani har qanday tetraedr atrofida tasvirlash mumkin.

11-sinf geometriya kursida “Ko‘p yuzli, silindr, konus va shar bo‘yicha turli masalalar” mavzusi eng qiyin mavzulardan biridir. Geometrik masalalarni yechishdan oldin ular odatda nazariyaning masalalar yechishda havola qilingan tegishli bo‘limlarini o‘rganadilar. S.Atanasyan va boshqalarning ushbu mavzuga bagʻishlangan darsligida (138-bet) faqat shar atrofida tasvirlangan koʻpburchak, shar ichiga chizilgan koʻpburchak, koʻpburchak ichiga chizilgan shar va sharning atrofida tasvirlangan sharning taʼriflarini topish mumkin. ko'pburchak. Ushbu darslik boʻyicha uslubiy tavsiyalarda (S.M.Saakyan va V.F. Butuzovning “10–11-sinflarda geometriyani oʻrganish” kitobi, 159-betga qarang) 629–646-sonli masalalarni yechishda jismlarning qanday birikmalari koʻrib chiqilishi aytiladi va diqqat qaratiladi. "Muayyan masalani hal qilishda, birinchi navbatda, o'quvchilar shartda ko'rsatilgan jismlarning o'zaro joylashishini yaxshi tushunishlarini ta'minlash kerak". Quyida 638(a) va 640-sonli masalalar yechimi keltirilgan.

Ta'riflar.

1. To'p ko'pburchakda yozilgan deb ataladi va to'pning yuzasi ko'pburchakning barcha yuzlariga tegsa, to'p atrofida tasvirlangan ko'pburchak.

2. Agar sharning yuzasi ko'pburchakning barcha cho'qqilaridan o'tadigan bo'lsa, to'p ko'pburchak atrofida chegaralangan, to'p ichiga yozilgan ko'pburchak deyiladi.

(Ushbu ta'rifdan kelib chiqadiki, to'pning katta doirasi ushbu jismlarning har qanday eksenel qismiga yozilishi mumkin).

4. Agar asoslar doiralari (asosiy doira va cho'qqi) to'p yuzasiga tegishli bo'lsa, to'p silindr, kesilgan konus (konus) atrofida chegaralangan deyiladi.

(Ushbu ta'rifdan kelib chiqadiki, ushbu jismlarning har qanday eksenel qismi atrofida to'pning kattaroq doirasi tasvirlanishi mumkin).

To'pning markazining holati haqida umumiy eslatmalar.

1. Ko‘pburchak ichiga chizilgan sharning markazi ko‘pburchakning barcha ikkiburchak burchaklarining bissektrisa tekisliklarining kesishish nuqtasida yotadi. U faqat ko'pburchak ichida joylashgan.

Sfera va prizma birikmasi.

1. To'g'ri prizma ichiga chizilgan shar.

Teorema 1. Sferani to'g'ri prizma ichiga kiritish mumkin, agar prizma asosiga aylana chizilgan bo'lsa va prizma balandligi shu doira diametriga teng bo'lsa.

Xulosa 1. To'g'ri prizma ichiga chizilgan sharning markazi poydevorga chizilgan doira markazidan o'tadigan prizma balandligining o'rta nuqtasida yotadi.

2. Prizma atrofida chegaralangan shar.

Teorema 2. Sharni prizma atrofida tasvirlash mumkin, agar prizma to'g'ri bo'lsa va uning asosi atrofida aylana tasvirlangan bo'lsa.

Xulosa 1. To'g'ri prizma bo'ylab o'ralgan sharning markazi poydevor atrofidan o'ralgan doira markazidan o'tkazilgan prizma balandligining o'rta nuqtasida yotadi.

L.S.Atanasyan darsligidan shar va prizma birikmasiga 632, 633, 634, 637(a), 639(a,b) masalalarni taklif qilish mumkin.

To'pning piramida bilan kombinatsiyasi.

1. Piramida yonida tasvirlangan to'p.

Teorema 3. To'pni piramida atrofida tasvirlash mumkin, agar uning poydevori atrofida aylana tasvirlangan bo'lsa.

Xulosa 3. To'pni, xususan, tasvirlash mumkin: uchburchak piramida yonida, oddiy piramida yonida, qarama-qarshi burchaklar yig'indisi 180 daraja bo'lgan to'rtburchak piramida yonida.

2. Piramida ichiga yozilgan shar.

Teorema 4. Agar piramidaning yon tomonlari poydevorga teng darajada moyil bo'lsa, unda bunday piramidaga to'p yozilishi mumkin.

Xulosa 2. To'pni oddiy piramidaga joylashtirishingiz mumkin.

L.S.Atanasyan darsligidan sharni piramida bilan birlashtirish uchun No635, 637(b), 638, 639(v), 640, 641 masalalarni taklif qilish mumkin.

Kesilgan piramida bilan to'pning kombinatsiyasi.

1. Muntazam kesilgan piramida atrofida chegaralangan shar.

Teorema 5. Sharni har qanday muntazam kesilgan piramida atrofida tasvirlash mumkin. (Bu shart yetarli, lekin shart emas)

2. Muntazam kesilgan piramidaga yozilgan shar.

Teorema 6. To'pni oddiy kesilgan piramidaga yozish mumkin, agar piramidaning apothemi asoslar apotemalari yig'indisiga teng bo'lsa.

L.S.Atanasyanning darsligida (636-son) kesilgan piramida bilan to'pni birlashtirish uchun faqat bitta muammo bor.

Dumaloq jismlar bilan to'pning kombinatsiyasi.

Teorema 7. Sharni silindr, kesilgan konus (to'g'ri dumaloq) yoki konusning atrofida tasvirlash mumkin.

Teorema 8. To'pni (to'g'ri dumaloq) silindrga yozish mumkin, agar silindr teng tomonli bo'lsa.

Teorema 9. To'pni har qanday konusga (to'g'ri dumaloq) joylashtirishingiz mumkin.

Teorema 10. To'pni kesilgan konusga (to'g'ri dumaloq) yozish mumkin, agar uning generatori asoslar radiuslari yig'indisiga teng bo'lsa.

L.S.Atanasyan darsligidan dumaloq jismli sharni birikmasiga 642, 643, 644, 645, 646-sonli masalalarni taklif qilish mumkin.

Ushbu mavzu bo'yicha materialni yanada muvaffaqiyatli o'rganish uchun darslarga og'zaki topshiriqlarni kiritish kerak: