Sin xususiyatlari va grafigi. Sinus (sin x) va kosinus (cos x) - xususiyatlar, grafiklar, formulalar. Murakkab o'zgaruvchilar orqali ifodalar
FUNKSION GRAFIKASI
Sinus funktsiyasi
- bir guruh R barcha haqiqiy raqamlar.
Ko'p funktsiya qiymatlari— segment [-1; 1], ya'ni. sinus funktsiyasi - cheklangan.
G'alati funktsiya: sin(−x)=−sin x barcha x ∈ uchun R.
Funktsiya davriydir
sin(x+2p k) = sin x, bu yerda k ∈ Z barcha x ∈ uchun R.
sin x = 0 uchun x = p·k, k ∈ Z.
sin x > 0(musbat) barcha x ∈ (2p·k , p+2p·k ), k ∈ uchun Z.
gunoh x< 0 (salbiy) barcha x ∈ (p+2p·k , 2p+2p·k ), k ∈ uchun Z.
Kosinus funktsiyasi
Funktsiya domeni- bir guruh R barcha haqiqiy raqamlar.
Ko'p funktsiya qiymatlari— segment [-1; 1], ya'ni. kosinus funktsiyasi - cheklangan.
Juft funktsiya: Barcha x ∈ uchun cos(−x)=cos x R.
Funktsiya davriydir eng kichik ijobiy davr 2p bilan:
cos(x+2p k) = cos x, bu erda k ∈ Z barcha x ∈ uchun R.
| cos x = 0 da | |
| cos x > 0 Barcha uchun |  |
| chunki x< 0 Barcha uchun |  |
| Funktsiya kuchayadi−1 dan 1 gacha bo'lgan intervallarda: | |
| Funktsiya pasaymoqda−1 dan 1 gacha bo'lgan intervallarda: | |
| sin x = 1 funksiyaning eng katta qiymati nuqtalarda: |  |
| sin x = −1 funksiyaning eng kichik qiymati nuqtalarda: |
Tangens funksiyasi
Ko'p funktsiya qiymatlari- butun son qatori, ya'ni. tangens - funksiya cheksiz.
G'alati funktsiya: tg(−x)=−tg x
Funktsiya grafigi OY o'qiga nisbatan simmetrikdir.
Funktsiya davriydir eng kichik ijobiy davr p bilan, ya'ni. tg(x+p k) = tan x, k ∈ Z ta'rif domenidagi barcha x uchun.
Kotangent funktsiyasi
Ko'p funktsiya qiymatlari- butun son qatori, ya'ni. kotangent - funktsiya cheksiz.
G'alati funktsiya: ctg(−x)=−ctg x taʼrif sohasidagi barcha x uchun.Funktsiya grafigi OY o'qiga nisbatan simmetrikdir.
Funktsiya davriydir eng kichik ijobiy davr p bilan, ya'ni. cotg(x+p k)=ctg x, k ∈ Z ta'rif domenidagi barcha x uchun.
Arksinus funktsiyasi
Funktsiya domeni— segment [-1; 1]
Ko'p funktsiya qiymatlari- segment -p /2 arcsin x p /2, ya'ni. arcsine - funktsiya cheklangan.
G'alati funktsiya: arcsin(−x)=−arcsin x barcha x ∈ uchun R.
Funksiya grafigi koordinata boshiga nisbatan simmetrikdir.
Butun ta'rif sohasi bo'ylab.
Ark kosinus funksiyasi
Funktsiya domeni— segment [-1; 1]
Ko'p funktsiya qiymatlari— segment 0 arccos x p, ya'ni. arkkosin - funktsiya cheklangan.
Funktsiya ortib bormoqda butun ta'rif sohasi bo'ylab.
Arktangent funktsiyasi
Funktsiya domeni- bir guruh R barcha haqiqiy raqamlar.
Ko'p funktsiya qiymatlari- segment 0 p, ya'ni. arktangent - funksiya cheklangan.
G'alati funktsiya: arctg(−x)=−arctg x barcha x ∈ uchun R.
Funksiya grafigi koordinata boshiga nisbatan simmetrikdir.
Funktsiya ortib bormoqda butun ta'rif sohasi bo'ylab.
Ark tangens funksiyasi
Funktsiya domeni- bir guruh R barcha haqiqiy raqamlar.
Ko'p funktsiya qiymatlari- segment 0 p, ya'ni. arkkotangent - funksiya cheklangan.
Funktsiya juft ham, toq ham emas.
Funksiya grafigi koordinatalarning boshiga ham, Oy o'qiga nisbatan ham assimetrik emas.
Funktsiya pasaymoqda butun ta'rif sohasi bo'ylab.
Bu darsda y = sin x funksiyasi, uning asosiy xossalari va grafigini batafsil ko'rib chiqamiz. Dars boshida koordinata aylanasidagi y = sin t trigonometrik funksiyaning ta rifini beramiz va aylana va chiziqdagi funksiya grafigini ko rib chiqamiz. Grafikda bu funksiyaning davriyligini ko'rsatamiz va funksiyaning asosiy xossalarini ko'rib chiqamiz. Dars oxirida funksiya grafigi va uning xossalari yordamida bir nechta oddiy masalalarni yechamiz.
Mavzu: Trigonometrik funksiyalar
Dars: y=sinx funksiyasi, uning asosiy xossalari va grafigi
Funktsiyani ko'rib chiqishda har bir argument qiymatini bitta funktsiya qiymati bilan bog'lash muhimdir. Bu yozishmalar qonuni va funksiya deyiladi.
uchun yozishmalar qonunini aniqlaymiz.
Har qanday haqiqiy son birlik aylanasining bitta nuqtasiga to'g'ri keladi.Nuqta bitta ordinataga ega bo'lib, u sonning sinusi deb ataladi (1-rasm).
Har bir argument qiymati bitta funktsiya qiymati bilan bog'langan.
Aniq xususiyatlar sinus ta'rifidan kelib chiqadi.
Rasm shuni ko'rsatadi 
chunki - birlik aylanasidagi nuqtaning ordinatasi.
Funktsiya grafigini ko'rib chiqing. Keling, argumentning geometrik talqinini eslaylik. Argument radyanlarda o'lchanadigan markaziy burchakdir. O'q bo'ylab biz radianlarda haqiqiy sonlar yoki burchaklarni, eksa bo'ylab funktsiyaning mos keladigan qiymatlarini chizamiz.
Masalan, birlik aylanasidagi burchak grafikdagi nuqtaga mos keladi (2-rasm).
Biz sohada funksiyaning grafigini oldik.Lekin sinus davrini bilib, funksiyaning grafigini butun aniqlanish sohasi bo‘yicha tasvirlashimiz mumkin (3-rasm).
Funktsiyaning asosiy davri - Bu grafikni segmentda olish va keyin butun ta'rif sohasi bo'ylab davom ettirish mumkinligini anglatadi.
Funktsiyaning xususiyatlarini ko'rib chiqing:
1) Ta'rif doirasi:
2) qiymatlar diapazoni: 
3) toq funksiya:
4) Eng kichik ijobiy davr:
5) Grafikning abscissa o'qi bilan kesishish nuqtalarining koordinatalari: 
6) Grafikning ordinata o'qi bilan kesishgan nuqtasining koordinatalari:
7) Funktsiya ijobiy qiymatlarni qabul qiladigan intervallar:
8) Funksiya manfiy qiymatlarni qabul qiladigan intervallar:
9) ortib borayotgan intervallar:
10) Kamaytirish oraliqlari:
11) Minimal ball: 
12) Minimal funksiyalar:
13) Maksimal ball: 
14) Maksimal funksiyalar:
Biz funksiyaning xossalarini va uning grafigini ko‘rib chiqdik. Xususiyatlar masalalarni yechishda qayta-qayta ishlatiladi.
Adabiyotlar ro'yxati
1. Algebra va tahlil boshlanishi, 10-sinf (ikki qismda). Umumiy ta'lim muassasalari uchun darslik (profil darajasi), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009 yil.
2. Algebra va tahlil boshlanishi, 10-sinf (ikki qismda). Ta'lim muassasalari uchun muammoli kitob (profil darajasi), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. 10-sinf uchun algebra va matematik tahlil (matematikani chuqur o'rganadigan maktablar va sinflar o'quvchilari uchun darslik). - M.: Prosveshchenie, 1996.
4. Galitskiy M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Algebra va matematik analizni chuqur o'rganish.-M.: Ta'lim, 1997 y.
5. Oliy o’quv yurtlariga abituriyentlar uchun matematikadan masalalar to’plami (M.I.Skanavi tahririda).- M.: Oliy maktab, 1992 y.
6. Merzlyak A.G., Polonskiy V.B., Yakir M.S. Algebraik simulyator.-K.: A.S.K., 1997 y.
7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Algebra va tahlil tamoyillari bo'yicha muammolar (umumiy ta'lim muassasalarining 10-11-sinf o'quvchilari uchun qo'llanma) - M.: Prosveshchenie, 2003.
8. Karp A.P. Algebra va tahlil tamoyillari bo'yicha masalalar to'plami: darslik. 10-11 sinflar uchun nafaqa. chuqurlik bilan o'rgangan Matematika.-M.: Ta'lim, 2006 yil.
Uy vazifasi
Algebra va tahlil boshlanishi, 10-sinf (ikki qismda). Ta'lim muassasalari uchun muammoli kitob (profil darajasi), ed.
A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
Qo'shimcha veb-resurslar
3. Imtihonga tayyorgarlik ko'rish uchun o'quv portali ().
Orqaga oldinga
Diqqat! Slaydni oldindan ko'rish faqat ma'lumot uchun mo'ljallangan va taqdimotning barcha xususiyatlarini aks ettirmasligi mumkin. Agar siz ushbu ish bilan qiziqsangiz, to'liq versiyasini yuklab oling.
Temir hech qanday foyda topmay zanglaydi,
tik turgan suv sovuqda chiriydi yoki muzlaydi,
odamning aqli esa o'ziga foyda topolmay, sustlashadi.
Leonardo da Vinchi
Amaldagi texnologiyalar: muammoli ta'lim, tanqidiy fikrlash, kommunikativ muloqot.
Maqsadlar:
- O'rganishga kognitiv qiziqishni rivojlantirish.
- y = sin x funksiyaning xossalarini o'rganish.
- O‘rganilgan nazariy material asosida y=sin x funksiya grafigini qurish bo‘yicha amaliy ko‘nikmalarni shakllantirish.
Vazifalar:
1. y = sin x funksiyaning xossalari haqidagi bilimlarning mavjud salohiyatidan aniq vaziyatlarda foydalaning.
2. y = sin x funksiyaning analitik va geometrik modellari orasidagi bog'lanishlarni ongli ravishda o'rnatishni qo'llang.
Tashabbuskorlikni, muayyan tayyorlikni va yechim topishga qiziqishni rivojlantirish; qaror qabul qilish, u erda to'xtamaslik va o'z nuqtai nazaringizni himoya qilish qobiliyati.
Talabalarda bilim faolligini, mas'uliyat hissini, bir-biriga hurmatni, o'zaro tushunishni, o'zaro yordamni, o'ziga ishonchni rivojlantirish; muloqot madaniyati.
Darslar davomida
1-bosqich. Asosiy bilimlarni yangilash, yangi materialni o'rganishni rag'batlantirish
"Darsga kirish."
Doskada 3 ta bayonot yozilgan:
- sin t = a trigonometrik tenglama har doim yechimlarga ega.
- Toq funksiyaning grafigini Oy o'qiga nisbatan simmetriya o'zgartirish yordamida qurish mumkin.
- Trigonometrik funktsiyani bitta asosiy yarim to'lqin yordamida grafik qilish mumkin.
Talabalar juftlikda muhokama qilishadi: gaplar haqiqatmi? (1 daqiqa). Dastlabki muhokama natijalari (ha, yo'q) keyin "Oldin" ustunidagi jadvalga kiritiladi.
O'qituvchi darsning maqsad va vazifalarini belgilaydi.
2. Bilimlarni yangilash (trigonometrik doira modelida old tomondan).
Biz s = sin t funksiyasi bilan allaqachon tanishgan edik.
1) t o'zgaruvchisi qanday qiymatlarni olishi mumkin. Bu funksiyaning qamrovi qanday?
2) sin t ifodasining qiymatlari qaysi oraliqda joylashgan? s = sin t funksiyasining eng katta va eng kichik qiymatlarini toping.
3) sin t = 0 tenglamani yeching.
4) Birinchi chorak bo‘ylab harakatlanayotgan nuqta ordinatasi bilan nima sodir bo‘ladi? (ordinata ortib boradi). Ikkinchi chorak bo'ylab harakatlanayotgan nuqta ordinatasi bilan nima sodir bo'ladi? (ordinata asta-sekin kamayadi). Bu funktsiyaning monotonligi bilan qanday bog'liq? (s = sin t funksiyasi segmentda ortadi va segmentda kamayadi ).
5) s = sin t funksiyasini bizga tanish bo'lgan y = sin x ko'rinishida yozamiz (uni odatiy xOy koordinata tizimida tuzamiz) va ushbu funktsiya qiymatlari jadvalini tuzamiz.
| X | 0 | ||||||
| da | 0 | 1 | 0 |
2-bosqich. Idrok, tushunish, birlamchi mustahkamlash, beixtiyor yodlash
4-bosqich. Bilim va faoliyat usullarini birlamchi tizimlashtirish, ularni o'tkazish va yangi vaziyatlarda qo'llash
6. № 10.18 (b,c)
5-bosqich. Yakuniy nazorat, tuzatish, baholash va o'z-o'zini baholash
7. Biz bayonotlarga qaytamiz (darsning boshi), trigonometrik funktsiyaning y = sin x xususiyatlaridan foydalangan holda muhokama qilamiz va jadvaldagi "Keyin" ustunini to'ldiramiz.
8. D/z: 10-band, № 10.7 (a), 10.8 (b), 10.11 (b), 10.16 (a)
Sinus va kosinusning geometrik ta'rifi
\(\sin \alpha = \dfrac(|BC|)(|AB|) \), \(\cos \alpha = \dfrac(|AC|)(|AB|) \)
α - radianlarda ifodalangan burchak.
Sinus (sin a) to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi va oyog'i orasidagi a burchakning trigonometrik funksiyasi, qarama-qarshi oyoq uzunligining nisbatiga teng |BC| gipotenuzaning uzunligiga |AB|.
Kosinus (cos a) to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi va oyog'i orasidagi a burchakning trigonometrik funksiyasi, qo'shni oyoq uzunligining nisbatiga teng |AC| gipotenuzaning uzunligiga |AB|.
Trigonometrik ta'rif
Yuqoridagi formulalardan foydalanib, o'tkir burchakning sinusi va kosinusini topishingiz mumkin. Ammo siz ixtiyoriy o'lchamdagi burchakning sinusi va kosinusini qanday hisoblashni o'rganishingiz kerak. To'g'ri burchakli uchburchak bunday imkoniyatni ta'minlamaydi (masalan, o'tkir burchakka ega bo'lishi mumkin emas); Shuning uchun, biz maxsus holat sifatida ushbu formulalarni o'z ichiga olgan sinus va kosinusning umumiy ta'rifiga muhtojmiz.
Trigonometrik doira yordamga keladi. Qandaydir burchak berilgan bo'lsin; u trigonometrik doiradagi bir xil nomdagi nuqtaga mos keladi.
Guruch. 2. Sinus va kosinusning trigonometrik ta’rifi
Burchakning kosinusu nuqtaning abscissasidir. Burchakning sinusi nuqtaning ordinatasidir.
Shaklda. 2, burchak o'tkir deb qabul qilinadi va bu ta'rif umumiy geometrik ta'rifga to'g'ri kelishini tushunish oson. Darhaqiqat, biz birlik gipotenuzasi O va o'tkir burchakli to'g'ri burchakli uchburchakni ko'ramiz. Ushbu uchburchakning qo'shni oyog'i cos (1-rasm bilan solishtiring) va ayni paytda nuqtaning abscissasi; qarama-qarshi tomon - gunoh (1-rasmdagi kabi) va ayni paytda nuqtaning ordinatasi.
Ammo endi biz birinchi chorak bilan cheklanmaymiz va bu ta'rifni istalgan burchakka kengaytirish imkoniyatiga egamiz. Shaklda. 3-rasmda burchakning sinusi va kosinuslari ikkinchi, uchinchi va toʻrtinchi choraklarda qanday boʻlishi koʻrsatilgan.
Guruch. 3. II, III va IV choraklarda sinus va kosinus
Sinus va kosinusning jadval qiymatlari
Nolinchi burchak \(\KATTA 0^(\circ ) \)
0 nuqtaning abssissasi 1 ga, 0 nuqtaning ordinatasi 0 ga teng. Demak,
cos 0 = 1 sin 0 = 0
4-rasm. Nol burchak
Burchak \(\katta \frac(\pi)(6) = 30^(\circ )\)
Biz birlik gipotenuzasi va o'tkir burchagi 30 ° bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchakni ko'ramiz. Ma'lumki, 30° burchakka qarama-qarshi yotgan oyoq gipotenuzaning 1 yarmiga teng; boshqacha qilib aytganda, vertikal oyoq 1/2 ga teng va shuning uchun
\[ \sin \frac(\pi)(6) =\frac(1)(2) \]
Pifagor teoremasi yordamida gorizontal oyoqni topamiz (yoki bir xil bo'lsa, biz asosiy trigonometrik identifikatsiyadan foydalanib kosinusni topamiz):
\[ \cos \frac(\pi)(6) = \sqrt(1 - \left(\frac(1)(2) \right)^(2) ) =\frac(\sqrt(3) )(2 ) \]
1 Nima uchun bu sodir bo'ladi? Tomoni 2 bo‘lgan teng tomonli uchburchakni balandligi bo‘ylab kesib oling! U gipotenuzasi 2, o'tkir burchagi 30 ° va qisqaroq oyog'i 1 bo'lgan ikkita to'g'ri burchakli uchburchakka bo'linadi.
5-rasm. Burchak p/6
Burchak \(\katta \frac(\pi)(4) = 45^(\circ )\)
Bunday holda, to'g'ri burchakli uchburchak teng yon tomonlardir; 45° burchakning sinusi va kosinusu bir-biriga teng. Hozircha ularni x bilan belgilaymiz. Bizda ... bor:
\[ x^(2) + x^(2) = 1 \]
qaerdan \(x=\frac(\sqrt(2) )(2) \). Demak,
\[ \cos \frac(\pi)(4) = \sin \frac(\pi)(4) =\frac(\sqrt(2) )(2) \]
5-rasm. Burchak p/4
Sinus va kosinusning xossalari
Qabul qilingan belgilar
\(\sin^2 x \ekviv (\sin x)^2; \)\(\to'rt \sin^3 x \ekviv (\sin x)^3; \)\(\to'rt \sin^n x \ekviv (\sin x)^n \)\(\sin^(-1) x \equiv \arcsin x \)\((\sin x)^(-1) \equiv \dfrac1(\sin x) \ekviv \cosec x \).
\(\cos^2 x \ekviv (\cos x)^2; \)\(\quad \cos^3 x \ekviv (\cos x)^3; \)\(\quad \cos^n x \ekviv (\cos x)^n \)\(\cos^(-1) x \equiv \arccos x \)\((\cos x)^(-1) \equiv \dfrac1(\cos x) \ekviv \sec x \).
Davriylik
y = sin x va y = cos x funktsiyalari davriy 2p davriga ega.
\(\sin(x + 2\pi) = \sin x; \to'rt \)\(\cos(x + 2\pi) = \cos x \)
Paritet
Sinus funktsiyasi g'alati. Kosinus funksiyasi juft.
\(\sin(-x) = - \sin x; \to'rtta \)\(\cos(-x) = \cos x \)
Ta'rif sohalari va qadriyatlar, ekstremal, o'sish, pasayish
Sinus va kosinusning asosiy xususiyatlari jadvalda keltirilgan ( n- butun).
| \(\kichik< x < \) | \(\kichik -\pi + 2\pi n \) \(\kichik< x < \) \(\small 2\pi n \) | |
| Pastga | \(\kichik \dfrac(\pi)2 + 2\pi n \)\(\kichik< x < \) \(\kichik \dfrac(3\pi)2 + 2\pi n \) | \(\kichik 2\pi n \) \(\kichik< x < \) \(\pi + \small 2\pi n \) |
| Maksimal, \(\kichik x = \) \(\kichik \dfrac(\pi)2 + 2\pi n \) | \(\kichik x = 2\pi n\) | |
| Minima, \(\kichik x = \) \(\kichik -\dfrac(\pi)2 + 2\pi n \) | \(\kichik x = \) \(\kichik \pi + 2\pi n \) | |
| Nollar, \(\kichik x = \pi n\) | \(\kichik x = \dfrac(\pi)2 + \pi n \) | |
| Y o'qining kesishish nuqtalari, x = 0 | y = 0 | y = 1 |
Sinus va kosinusni o'z ichiga olgan asosiy formulalar
Kvadratlar yig'indisi
\(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)
Yig'indi va ayirma uchun sinus va kosinus formulalari
\(\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y \)
\(\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y \)
\(\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y \)
\(\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y \)
\(\sin(2x) = 2 \sin x \cos x \)
\(\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = \)\(2 \cos^2 x - 1 = 1 - 2 \sin^2 x \)
\(\cos\left(\dfrac(\pi)2 - x \o'ng) = \sin x \) ; \(\sin\left(\dfrac(\pi)2 - x \o'ng) = \cos x \)
\(\cos(x + \pi) = - \cos x \) ; \(\sin(x + \pi) = - \sin x \)
Sinuslar va kosinuslar hosilasi uchun formulalar
\(\sin x \cos y = \) \(\dfrac12 (\Large [) \sin(x - y) + \sin(x + y) (\Large ]) \)
\(\sin x \sin y = \) \(\dfrac12 (\Large [) \cos(x - y) - \cos(x + y) (\Large ]) \)
\(\cos x \cos y = \) \(\dfrac12 (\Large [) \cos(x - y) + \cos(x + y) (\Large ]) \)
\(\sin x \cos y = \dfrac12 \sin 2x \)
\(\sin^2 x = \dfrac12 (\Large [) 1 - \cos 2x (\Large ]) \)
\(\cos^2 x = \dfrac12 (\Large [) 1 + \cos 2x (\Large ]) \)
Yig'indi va ayirma formulalari
\(\sin x + \sin y = 2 \, \sin \dfrac(x+y)2 \, \cos \dfrac(x-y)2 \)
\(\sin x - \sin y = 2 \, \sin \dfrac(x-y)2 \, \cos \dfrac(x+y)2 \)
\(\cos x + \cos y = 2 \, \cos \dfrac(x+y)2 \, \cos \dfrac(x-y)2 \)
\(\cos x - \cos y = 2 \, \sin \dfrac(x+y)2 \, \sin \dfrac(y-x)2 \)
Kosinus orqali sinusni ifodalash
\(\sin x = \cos\left(\dfrac(\pi)2 - x \o'ng) = \)\(\cos\left(x - \dfrac(\pi)2 \o'ng) = - \cos\left(x + \dfrac(\pi)2 \o'ng) \)\(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x \) \(\sin x = \sqrt(1 - \cos^2 x) \) \(\( 2 \pi n \leqslant x \leqslant \pi + 2 \pi n \) \)\(\sin x = - \sqrt(1 - \cos^2 x) \) \(\( -\pi + 2 \pi n \leqslant x \leqslant 2 \pi n \) \).
Kosinusni sinus orqali ifodalash
\(\cos x = \sin\left(\dfrac(\pi)2 - x \o'ng) = \)\(- \sin\left(x - \dfrac(\pi)2 \o'ng) = \sin\left(x + \dfrac(\pi)2 \o'ng) \)\(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x \) \(\cos x = \sqrt(1 - \sin^2 x) \) \(\( -\pi/2 + 2 \pi n \leqslant x \leqslant \pi/2 + 2 \pi n \) \)\(\cos x = - \sqrt(1 - \sin^2 x) \) \(\( \pi/2 + 2 \pi n \leqslant x \leqslant 3\pi/2 + 2 \pi n \) \).
Tangens orqali ifodalash
\(\sin^2 x = \dfrac(\tg^2 x)(1+\tg^2 x) \)\(\cos^2 x = \dfrac1(1+\tg^2 x) \).
Da \(- \dfrac(\pi)2 + 2 \pi n< x < \dfrac{\pi}2 + 2 \pi n \) \(\sin x = \dfrac(\tg x)( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \)\(\cos x = \dfrac1( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \).
Da \(\dfrac(\pi)2 + 2 \pi n< x < \dfrac{3\pi}2 + 2 \pi n \)
:
\(\sin x = - \dfrac(\tg x)( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \)\(\cos x = - \dfrac1( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \).
Sinuslar va kosinuslar, tangenslar va kotangentlar jadvali
Ushbu jadvalda argumentning ma'lum qiymatlari uchun sinuslar va kosinuslar qiymatlari ko'rsatilgan.
[ img style="max-width:500px;max-height:1080px;" src="tablitsa.png" alt="Sinus va kosinuslar jadvali" title="Sinuslar va kosinuslar jadvali" ]!}
Murakkab o'zgaruvchilar orqali ifodalar
\(i^2 = -1\)
\(\sin z = \dfrac(e^(iz) - e^(-iz))(2i) \)\(\cos z = \dfrac(e^(iz) + e^(-iz))(2) \)
Eyler formulasi
\(e^(iz) = \cos z + i \sin z \)
Giperbolik funksiyalar orqali ifodalar
\(\sin iz = i \sh z \) \(\cos iz = \ch z \)
\(\sh iz = i \sin z \) \(\ch iz = \cos z \)
Hosilalar
\((\sin x)" = \cos x \) \((\cos x)" = - \sin x \) . Formulalarni chiqarish > > >
n-tartibli hosilalar:
\(\left(\sin x \right)^((n)) = \sin\left(x + n\dfrac(\pi)2 \o'ng) \)\(\left(\cos x \right)^((n)) = \cos\left(x + n\dfrac(\pi)2 \o'ng) \).
Integrallar
\(\int \sin x \, dx = - \cos x + C \)\(\int \cos x \, dx = \sin x + C \)
Shuningdek, noaniq integrallar jadvali >>> bo'limiga qarang
Seriyani kengaytirish
\(\sin x = \sum_(n=0)^(\infty) \dfrac( (-1)^n x^(2n+1) )( (2n+1)! ) = \)\(x - \dfrac(x^3)(3 + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!} + ... \)
!} \(\(- \infty< x < \infty \} \)
\(\cos x = \sum_(n=0)^(\infty) \dfrac( (-1)^n x^(2n) )( (2n)! ) = \)\(1 - \dfrac(x^2)(2 + \dfrac{x^4}{4!} - \dfrac{x^6}{6!} + ... \)
!} \(\( - \infty< x < \infty \} \)
Sekant, kosekant
\(\sec x = \dfrac1( \cos x ) ; \) \(\cosec x = \dfrac1( \sin x ) \)
Teskari funksiyalar
Sinus va kosinusning teskari funksiyalari mos ravishda arksinus va arkkosindir.
Arksin, arksin
\(y = \arcsin x\) \(\left\( -1 \leqslant x \leqslant 1; \; - \dfrac(\pi)2 \leqslant y \leqslant \dfrac(\pi)2 \right\) \)
\(\sin(\arcsin x) = x\)
\(\arcsin(\sin x) = x\) \(\left\( - \dfrac(\pi)2 \leqslant x \leqslant \dfrac(\pi)2 \right\) \)
Arkkosin, arkkos
\(y = \arccos x\) \(\left\( -1 \leqslant x \leqslant 1; \; 0 \leqslant y \leqslant \pi \right\) \)
\(\cos(\arccos x) = x \) \(\( -1 \leqslant x \leqslant 1 \) \)
\(\arccos(\cos x) = x\) \(\( 0 \leqslant x \leqslant \pi \) \)
Adabiyotlar:
I.N. Bronshteyn, K.A. Semendyaev, muhandislar va kollej talabalari uchun matematika bo'yicha qo'llanma, "Lan", 2009 yil.
Hisob-kitoblarni amalga oshirish uchun ActiveX boshqaruvlarini yoqishingiz kerak!
>>Matematika: y = sin x, y = cos x funksiyalar, ularning xossalari va grafiklari.
y = sin x, y = cos x funksiyalar, ularning xossalari va grafiklari
Ushbu bo'limda y = sin x, y = cos x funksiyalarning ba'zi xossalarini ko'rib chiqamiz va ularning grafiklarini tuzamiz.
1. y = sin X funksiyasi.
Yuqorida, 20-§da biz har bir t raqamini cos t raqami bilan bog'lash imkonini beruvchi qoidani tuzdik, ya'ni. y = sin t funksiyasini xarakterlagan. Keling, uning ba'zi xususiyatlariga e'tibor qaratamiz.
u = sin t funksiyaning xossalari.
Ta'rif sohasi haqiqiy sonlarning K to'plamidir.
Bundan kelib chiqadiki, ixtiyoriy 2 raqami sonlar aylanasidagi M(1) nuqtaga mos keladi, bu nuqta aniq belgilangan ordinataga ega; bu ordinat cos t.
u = sin t - toq funksiya.
Bu shundan kelib chiqadiki, § 19da isbotlanganidek, har qanday t uchun tenglik
Demak, u = sin t funksiyaning grafigi har qanday toq funksiya grafigi kabi tOi to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasidagi koordinata boshiga nisbatan simmetrikdir.
u = sin t funksiya oraliqda ortadi 
Bu shundan kelib chiqadiki, nuqta son aylanasining birinchi choragi bo‘ylab harakat qilganda ordinata asta-sekin o‘sib boradi (0 dan 1 gacha – 115-rasmga qarang), nuqta son aylanasining ikkinchi choragi bo‘ylab harakatlanganda esa ordinata asta-sekin kamayadi (1 dan 0 gacha - 116-rasmga qarang).
u = sint funktsiyasi pastdan ham, yuqoridan ham chegaralangan. Bu shundan kelib chiqadiki, biz 19-bandda ko'rganimizdek, har qanday t uchun tengsizlik amal qiladi.
(funksiya shaklning istalgan nuqtasida ushbu qiymatga etadi 
(funksiya shaklning istalgan nuqtasida ushbu qiymatga etadi
Olingan xususiyatlardan foydalanib, bizni qiziqtirgan funktsiyaning grafigini tuzamiz. Lekin (diqqat!) u - sin t o'rniga y = sin x yozamiz (axir u = f(t) emas, y = f(x) yozishga ko'proq odatlanganmiz). Bu shuni anglatadiki, biz grafikni odatiy xOy koordinata tizimida quramiz (va tOy emas).
y - sin x funksiya qiymatlari jadvalini tuzamiz:
Izoh.
Keling, "sinus" atamasining kelib chiqishi versiyalaridan birini keltiraylik. Lotin tilida sinus - bukish (kamon ipi) degan ma'noni anglatadi.
Tuzilgan grafik ma'lum darajada ushbu terminologiyani oqlaydi. 
y = sin x funksiyaning grafigi vazifasini bajaradigan chiziq sinus to'lqin deb ataladi. Shaklda ko'rsatilgan sinusoidning bir qismi. 118 yoki 119 sinus to'lqin deb ataladi va sinus to'lqinning rasmda ko'rsatilgan qismi. 117, sinus to'lqinning yarim to'lqini yoki yoyi deb ataladi.
2. y = cos x funksiyasi.
y = cos x funktsiyasini o'rganish yuqorida y = sin x funksiyasi uchun ishlatilgan sxema bo'yicha taxminan amalga oshirilishi mumkin. Lekin biz tezroq maqsadga olib boradigan yo'lni tanlaymiz. Birinchidan, biz o'z-o'zidan muhim bo'lgan ikkita formulani isbotlaymiz (siz buni o'rta maktabda ko'rasiz), ammo hozircha bizning maqsadlarimiz uchun faqat yordamchi ahamiyatga ega.
t ning har qanday qiymati uchun quyidagi tengliklar amal qiladi:
Isbot. t soni n sonli aylananing M nuqtasiga, * + - soni esa P nuqtaga mos kelsin (124-rasm; soddaligi uchun birinchi chorakda M nuqtani oldik). AM va BP yoylari teng, OKM va OLBP to'g'ri burchakli uchburchaklar mos ravishda teng. Bu O K = Ob, MK = Pb degan ma'noni anglatadi. Ushbu tengliklardan va OCM va OBP uchburchaklarining koordinatalar tizimidagi joylashuvidan ikkita xulosa chiqaramiz:
1) P nuqtaning ordinatasi ham kattaligi, ham belgisi M nuqtaning abssissasiga to‘g‘ri keladi; shuni anglatadiki
2) P nuqtaning abtsissasi M nuqta ordinatasiga mutlaq qiymati bo‘yicha teng, lekin belgisi bilan undan farq qiladi; shuni anglatadiki
Taxminan bir xil fikrlash M nuqtasi birinchi chorakka tegishli bo'lmagan hollarda amalga oshiriladi.
Keling, formuladan foydalanamiz 
(bu yuqorida isbotlangan formula, faqat t o'zgaruvchisi o'rniga biz x o'zgaruvchisidan foydalanamiz). Bu formula bizga nima beradi? Bu bizga funktsiyalarini tasdiqlash imkonini beradi
bir xil, ya'ni ularning grafiklari mos keladi.
Keling, funktsiyani chizamiz 
Buning uchun koordinatalar koordinatalarining koordinatalari bir nuqtada joylashgan yordamchi koordinatalar sistemasiga o'tamiz (125-rasmda nuqta chiziq chizilgan). y = sin x funksiyani yangi koordinatalar sistemasiga bog'laymiz - bu funktsiyaning grafigi bo'ladi. 
(125-rasm), ya'ni. y - cos x funksiyaning grafigi. U, y = sin x funksiyaning grafigi kabi, sinus to'lqin deb ataladi (bu juda tabiiy).
y = cos x funksiyaning xossalari.
y = cos x juft funksiya.
Qurilish bosqichlari rasmda ko'rsatilgan. 126:
1) y = cos x funksiyaning grafigini qurish (aniqrog'i, bitta yarim to'lqin);
2) tuzilgan grafikni x o'qidan 0,5 koeffitsient bilan cho'zish orqali biz kerakli grafikning bir yarim to'lqinini olamiz;
3) hosil bo'lgan yarim to'lqindan foydalanib, y = 0,5 cos x funksiyaning butun grafigini tuzamiz.
Yuklanmoqda...