Teskari matritsadan foydalanadigan chiziqli tizim. Slug'ni echishning matritsa usuli: teskari matritsa yordamida yechimga misol. Chiziqli tenglamalar tizimini o'rganish
Kramer formulalariga ko'ra;
Gauss usuli;
Yechim: Kroneker-Kapelli teoremasi. Agar ushbu tizim matritsasining darajasi uning kengaytirilgan matritsasining darajasiga teng bo'lsa, tizim izchil bo'ladi, ya'ni. r(A)=r(A 1), Qayerda
Tizimning kengaytirilgan matritsasi quyidagicha ko'rinadi:
Birinchi qatorni ( ga ko'paytiring –3 ), ikkinchisi esa ( 2 ); Shundan so'ng, birinchi qatorning elementlarini ikkinchi qatorning mos keladigan elementlariga qo'shing; ikkinchi qatordan uchinchisini olib tashlang. Olingan matritsada biz birinchi qatorni o'zgarishsiz qoldiramiz.
6 ) va ikkinchi va uchinchi qatorlarni almashtiring:
Ikkinchi qatorni ( ga ko'paytiring –11 ) va uchinchi qatorning tegishli elementlariga qo'shing.
Uchinchi qatorning elementlarini ga bo'ling ( 10 ).
Matritsaning determinantini topamiz A.
Demak, r(A)=3 . Kengaytirilgan matritsa darajasi r(A 1) ham teng 3 , ya'ni.
r(A)=r(A 1)=3 Þ Tizim kooperativdir.
1) Tizimni izchillik uchun tekshirishda kengaytirilgan matritsa Gauss usuli yordamida o'zgartirildi.
Gauss usuli quyidagicha:
1. Matritsani uchburchak shaklga qisqartirish, ya'ni asosiy diagonal (to'g'ridan-to'g'ri harakat) ostida nollar bo'lishi kerak.
2. Oxirgi tenglamadan topamiz x 3 va uni ikkinchisiga almashtiramiz, biz topamiz x 2, va bilish x 3, x 2 ularni birinchi tenglamaga almashtiramiz, topamiz x 1(teskari).
Gauss-o'zgartirilgan kengaytirilgan matritsani yozamiz
uchta tenglama tizimi shaklida:
Þ x 3 =1
x 2 = x 3Þ x 3 =1
2x 1 =4+x 2 +x 3Þ 2x 1 =4+1+1Þ
Þ 2x 1 =6 Þ x 1 =3
.
2) Kramer formulalari yordamida tizimni yechamiz: agar tenglamalar tizimining determinanti D noldan farq qilsa, sistema formulalar yordamida topiladigan yagona yechimga ega bo‘ladi.
D sistemaning determinantini hisoblaymiz:
Chunki Agar tizimning determinanti noldan farq qilsa, u holda Kramer qoidasiga ko'ra, tizim yagona yechimga ega. Determinantlarni D 1 , D 2 , D 3 ni hisoblaymiz. Ular tizimning determinantidan D mos ustunni erkin koeffitsientlar ustuni bilan almashtirish orqali olinadi.
Noma'lumlarni formulalar yordamida topamiz:
Javob: x 1 =3, x 2 =1, x 3 =1 .
3) Keling, tizimni matritsa hisobi yordamida, ya'ni teskari matritsadan foydalanib yechamiz.
A×X=B Þ X=A -1 × B, Qayerda A -1– ga teskari matritsa A,
Bepul a'zolar ustuni,
Matritsa-noma'lumlar ustuni.
Teskari matritsa quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:
Qayerda D- matritsa determinanti A, A ij– a elementning algebraik to‘ldiruvchilari ij matritsalar A. D= 60 (oldingi xatboshidan). Determinant nolga teng emas, shuning uchun A matritsa teskari bo'lib, uning teskari matritsasini (*) formuladan foydalanib topish mumkin. A matritsaning barcha elementlari uchun algebraik to‘ldiruvchilarni quyidagi formula yordamida topamiz:
Va ij =(-1 )i+j M ij .
x 1, x 2, x 3 har bir tenglamani o'ziga xoslikka aylantirdi, keyin ular to'g'ri topildi.
6-misol. Tizimni Gauss usuli yordamida yeching va tizimning ikkita asosiy yechimini toping.
Birinchi qismda biz ba'zi nazariy materiallarni, almashtirish usulini, shuningdek, tizim tenglamalarini muddatlar bo'yicha qo'shish usulini ko'rib chiqdik. Ushbu sahifa orqali saytga kirgan barchaga birinchi qismni o'qishni tavsiya qilaman. Ehtimol, ba'zi tashrif buyuruvchilar materialni juda oddiy deb bilishadi, ammo chiziqli tenglamalar tizimini echish jarayonida men umuman matematik muammolarni hal qilish bo'yicha bir qator juda muhim sharhlar va xulosalar qildim.
Endi biz Kramer qoidasini tahlil qilamiz, shuningdek, teskari matritsa (matritsa usuli) yordamida chiziqli tenglamalar tizimini echamiz. Barcha materiallar oddiy, batafsil va aniq taqdim etilgan, deyarli barcha o'quvchilar yuqoridagi usullardan foydalangan holda tizimlarni qanday hal qilishni o'rganishlari mumkin;
Birinchidan, ikkita noma'lum ikkita chiziqli tenglamalar tizimi uchun Kramer qoidasini batafsil ko'rib chiqamiz. Nima uchun? – Axir, eng oddiy tizimni maktab metodi, muddatga qo‘shish usuli yordamida yechish mumkin!
Gap shundaki, ba'zan bo'lsa-da, bunday vazifa yuzaga keladi - Kramer formulalari yordamida ikkita noma'lum ikkita chiziqli tenglamalar tizimini echish. Ikkinchidan, oddiyroq misol sizga Kramer qoidasidan murakkabroq holatda - uchta noma'lum uchta tenglamadan iborat tizimdan qanday foydalanishni tushunishga yordam beradi.
Bundan tashqari, ikkita o'zgaruvchiga ega chiziqli tenglamalar tizimlari mavjud, ularni Kramer qoidasi yordamida hal qilish tavsiya etiladi!
Tenglamalar tizimini ko'rib chiqing
Birinchi bosqichda biz determinantni hisoblaymiz, u deyiladi tizimning asosiy hal qiluvchi omili.
Gauss usuli.
Agar bo'lsa, u holda tizim yagona yechimga ega va ildizlarni topish uchun biz yana ikkita determinantni hisoblashimiz kerak:
Va
Amalda yuqoridagi sifatlovchilarni lotin harfi bilan ham belgilash mumkin.
Formulalar yordamida tenglamaning ildizlarini topamiz:
,
7-misol
Chiziqli tenglamalar sistemasini yeching 
Yechim: Biz tenglamaning koeffitsientlari juda katta ekanligini ko'ramiz o'ng tomonda vergul bilan o'nli kasrlar mavjud; Vergul - bu matematikadagi amaliy topshiriqlarda juda kam uchraydigan mehmon.
Bunday tizimni qanday hal qilish mumkin? Siz bitta o'zgaruvchini boshqasi bilan ifodalashga urinib ko'rishingiz mumkin, ammo bu holda siz ishlash uchun juda noqulay bo'lgan dahshatli chiroyli fraktsiyalarga duch kelishingiz mumkin va yechim dizayni shunchaki dahshatli ko'rinadi. Siz ikkinchi tenglamani 6 ga ko'paytirasiz va atamani ayirasiz, lekin bu erda ham xuddi shunday kasrlar paydo bo'ladi.
Nima qilsa bo'ladi? Bunday hollarda Kramerning formulalari yordamga keladi.
;
;
Javob: ,
Ikkala ildizning ham cheksiz dumlari bor va ular taxminan topiladi, bu ekonometriya muammolari uchun juda maqbul (va hatto oddiy).
Bu erda sharhlar kerak emas, chunki vazifa tayyor formulalar yordamida hal qilinadi, ammo bitta ogohlantirish mavjud. Ushbu usuldan foydalanganda, majburiy Vazifa dizaynining bir qismi quyidagi qismdir: "Bu tizimning o'ziga xos echimi borligini anglatadi". Aks holda, sharhlovchi sizni Kramer teoremasiga hurmatsizlik qilganingiz uchun jazolashi mumkin.
Kalkulyatorda qulay tarzda amalga oshirilishi mumkin bo'lgan tekshirish ortiqcha bo'lmaydi: biz tizimning har bir tenglamasining chap tomoniga taxminiy qiymatlarni almashtiramiz. Natijada, kichik xatolik bilan siz o'ng tomonda joylashgan raqamlarni olishingiz kerak.
8-misol
Javobni oddiy noto'g'ri kasrlarda ko'rsating. Tekshirish qiling.
Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misol (yakuniy dizayn namunasi va dars oxiridagi javob).
Keling, uchta noma'lumli uchta tenglamalar tizimi uchun Kramer qoidasini ko'rib chiqishga o'tamiz: 
Biz tizimning asosiy determinantini topamiz: 
Agar bo'lsa, u holda tizim cheksiz ko'p echimlarga ega yoki mos kelmaydigan (echimlari yo'q). Bunday holda, Kramer qoidasi yordam bermaydi, siz Gauss usulini qo'llashingiz kerak;
Agar bo'lsa, u holda tizim yagona yechimga ega va ildizlarni topish uchun biz yana uchta determinantni hisoblashimiz kerak: 
, 
, 
Va nihoyat, javob formulalar yordamida hisoblanadi: 
Ko'rib turganingizdek, "uchdan uch" holati "ikkidan ikki" holatidan tubdan farq qilmaydi;
9-misol
Tizimni Kramer formulalari yordamida yeching. 
Yechim: Tizimni Kramer formulalari yordamida yechamiz. 
, ya'ni tizim noyob yechimga ega.
Javob: 
.
Aslida, bu erda yana izoh berish uchun alohida narsa yo'q, chunki yechim tayyor formulalarga amal qiladi. Ammo bir nechta sharhlar mavjud.
Hisob-kitoblar natijasida "yomon" qaytarilmas fraktsiyalar olinadi, masalan: .
Men quyidagi "davolash" algoritmini tavsiya qilaman. Agar qo'lingizda kompyuter bo'lmasa, buni bajaring:
1) Hisob-kitoblarda xatolik bo'lishi mumkin. "Yomon" kasrga duch kelganingizdan so'ng darhol tekshirishingiz kerak Shart to'g'ri qayta yozilganmi?. Agar shart xatosiz qayta yozilsa, boshqa qatorda (ustun) kengaytirish yordamida determinantlarni qayta hisoblashingiz kerak.
2) Agar tekshirish natijasida hech qanday xato aniqlanmasa, ehtimol vazifa sharoitida xatolik yuz bergan. Bunday holda, topshiriqni oxirigacha xotirjam va E'tibor bilan bajaring, keyin esa tekshirib ko'ring va biz qarordan keyin uni toza varaqda chizamiz. Albatta, kasr javobini tekshirish yoqimsiz vazifadir, lekin bu kabi har qanday bema'nilik uchun minus berishni yaxshi ko'radigan o'qituvchi uchun qurolsizlantiruvchi dalil bo'ladi. Kasrlarni qanday boshqarish kerakligi 8-misolga javobda batafsil tavsiflangan.
Agar sizning qo'lingizda kompyuteringiz bo'lsa, tekshirish uchun avtomatlashtirilgan dasturdan foydalaning, uni darsning boshida bepul yuklab olish mumkin. Aytgancha, dasturni darhol ishlatish eng foydalidir (hatto yechimni boshlashdan oldin siz xato qilgan oraliq bosqichni darhol ko'rasiz); Xuddi shu kalkulyator matritsa usuli yordamida tizimning yechimini avtomatik ravishda hisoblab chiqadi.
Ikkinchi izoh. Vaqti-vaqti bilan tenglamalarida ba'zi o'zgaruvchilar etishmayotgan tizimlar mavjud, masalan: 
Bu erda birinchi tenglamada o'zgaruvchi yo'q, ikkinchisida o'zgaruvchi yo'q. Bunday hollarda asosiy belgilovchini to'g'ri va diqqat bilan yozish juda muhimdir: 
- etishmayotgan o'zgaruvchilar o'rniga nollar qo'yiladi.
Aytgancha, nol joylashgan qator (ustun) bo'yicha determinantlarni nol bilan ochish oqilona, chunki hisob-kitoblar sezilarli darajada kamroq.
10-misol
Tizimni Kramer formulalari yordamida yeching. 
Bu mustaqil yechim uchun misol (yakuniy dizayn namunasi va dars oxiridagi javob).
4 ta noma'lumli 4 ta tenglamalar tizimi uchun Kramer formulalari o'xshash printsiplarga muvofiq yoziladi. Jonli misolni Aniqlovchilarning xossalari darsida ko'rishingiz mumkin. Determinantning tartibini qisqartirish - beshta 4-tartibli aniqlovchi juda echilishi mumkin. Vazifa allaqachon baxtli talabaning ko'kragidagi professorning tuflisini eslatib tursa-da.
Teskari matritsa yordamida tizimni yechish
Teskari matritsa usuli mohiyatan alohida holatdir matritsa tenglamasi(Ko'rsatilgan darsning 3-misoliga qarang).
Ushbu bo'limni o'rganish uchun siz determinantlarni kengaytirish, matritsaning teskarisini topish va matritsalarni ko'paytirishni bajarishingiz kerak. Tushuntirishlar davom etar ekan, tegishli havolalar taqdim etiladi.
11-misol
Matritsa usuli yordamida tizimni yeching 
Yechim: Tizimni matritsa shaklida yozamiz:
, Qayerda 
Iltimos, tenglamalar va matritsalar tizimini ko'rib chiqing. O'ylaymanki, hamma elementlarni matritsalarga yozish tamoyilini tushunadi. Yagona izoh: agar tenglamalarda ba'zi o'zgaruvchilar etishmayotgan bo'lsa, unda matritsaning tegishli joylariga nollarni qo'yish kerak edi.
Teskari matritsani formuladan foydalanib topamiz:
, bu yerda matritsaning mos elementlarining algebraik to‘ldiruvchilarining ko‘chirilgan matritsasi.
Birinchidan, determinantni ko'rib chiqaylik:
Bu yerda determinant birinchi qatorda kengaytiriladi.
Diqqat! Agar bo'lsa, u holda teskari matritsa mavjud emas va tizimni matritsa usuli yordamida yechish mumkin emas. Bunda sistema noma'lumlarni yo'q qilish usuli bilan yechiladi (Gauss usuli).
Endi biz 9 ta voyaga etmaganlarni hisoblab, ularni kichiklar matritsasiga yozishimiz kerak 
Malumot: Chiziqli algebrada qo'sh yozuvlar ma'nosini bilish foydalidir. Birinchi raqam - element joylashgan qatorning raqami. Ikkinchi raqam - element joylashgan ustunning raqami: 
Ya'ni, qo'sh yozuv elementning birinchi qatorda, uchinchi ustunda va, masalan, element 3 qatorda, 2 ustunda ekanligini ko'rsatadi.
Keling, ko'rib chiqaylik chiziqli algebraik tenglamalar tizimi(SLAU) nisbatan n noma'lum x 1 , x 2 , ..., x n :
Ushbu tizim "yiqilgan" shaklda quyidagicha yozilishi mumkin:
S n i=1 a ij x j = b i , i=1,2, ..., n.
Matritsalarni ko'paytirish qoidasiga muvofiq, ko'rib chiqilayotgan chiziqli tenglamalar tizimini yozish mumkin matritsa shakli Ax=b, Qayerda
Matritsa A, ustunlari mos keladigan noma'lumlar uchun koeffitsientlar, satrlari esa mos keladigan tenglamadagi noma'lumlar uchun koeffitsientlar deyiladi. tizim matritsasi. Ustun matritsasi b, elementlari tizim tenglamalarining o'ng tomonlari bo'lgan, o'ng tomonli matritsa yoki oddiygina tizimning o'ng tomoni. Ustun matritsasi x , uning elementlari noma'lum noma'lumlar deyiladi tizimli yechim.
Shaklda yozilgan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi Ax=b, hisoblanadi matritsa tenglamasi.
Agar tizim matritsasi degenerativ bo'lmagan, keyin u teskari matritsaga ega va keyin tizimning yechimi bo'ladi Ax=b formula bilan beriladi:
x=A -1 b.
Misol Tizimni hal qiling 
matritsa usuli.
Yechim sistemaning koeffitsient matritsasi uchun teskari matritsani topamiz
Determinantni birinchi qator bo'ylab kengaytirib hisoblaylik:
beri Δ ≠ 0 , Bu A -1 mavjud.
Teskari matritsa to'g'ri topildi.
Keling, tizimga yechim topaylik 
Demak, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .
Imtihon: 
7. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining mosligi haqidagi Kroneker-Kapelli teoremasi.
Chiziqli tenglamalar tizimi shaklga ega:
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)
a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.
Bu yerda a i j va b i (i =; j =) berilgan, x j esa noma’lum haqiqiy sonlardir. Matritsalar mahsuloti tushunchasidan foydalanib, (5.1) tizimni quyidagi shaklda qayta yozishimiz mumkin:
Bu erda A = (a i j) - (5.1) tizimning noma'lumlari uchun koeffitsientlardan tashkil topgan matritsa, deyiladi. tizim matritsasi, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T mos ravishda nomaʼlum x j va erkin hadlar b i dan tuzilgan ustun vektorlari.
Buyurtma qilingan kolleksiya n haqiqiy sonlar (c 1, c 2,..., c n) deyiladi tizimli yechim(5.1), agar bu raqamlarni mos keladigan x 1, x 2,..., x n o'zgaruvchilari o'rniga qo'yish natijasida tizimning har bir tenglamasi arifmetik birlikka aylanadi; boshqacha qilib aytganda, C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T vektor bo'lsa, shundayki AC B.
Tizim (5.1) chaqiriladi qo'shma, yoki hal qilinadigan, agar u kamida bitta yechimga ega bo'lsa. Tizim deyiladi mos kelmaydigan, yoki hal qilib bo'lmaydigan, agar uning yechimlari bo'lmasa.
,
o'ng tarafdagi A matritsaga erkin shartlar ustunini belgilash orqali hosil qilingan deyiladi tizimning kengaytirilgan matritsasi.
(5.1) sistemaning moslik masalasi quyidagi teorema bilan yechiladi.
Kroneker-Kapelli teoremasi . Chiziqli tenglamalar tizimi, agar A vaA matritsalarining darajalari bir-biriga toʻgʻri kelsa, yaʼni, mos keladi. r(A) = r(A) = r.
(5.1) sistemaning M yechimlari to'plami uchun uchta imkoniyat mavjud:
1) M = (bu holda tizim bir-biriga mos kelmaydi);
2) M bitta elementdan iborat, ya'ni. tizim noyob yechimga ega (bu holda tizim chaqiriladi aniq);
3) M bir nechta elementlardan iborat (keyin tizim chaqiriladi noaniq). Uchinchi holatda (5.1) tizim cheksiz ko'p echimlarga ega.
Tizim faqat r(A) = n bo‘lgandagina yagona yechimga ega bo‘ladi. Bunda tenglamalar soni noma'lumlar sonidan (mn) kam emas; agar m>n bo'lsa, m-n tenglamalar boshqalarning natijasidir. Agar 0 Chiziqli tenglamalarning ixtiyoriy tizimini echish uchun siz tenglamalar soni noma'lumlar soniga teng bo'lgan tizimlarni echishingiz kerak. Kramer tipidagi tizimlar: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3) ...
... ... ...
... ... a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n. (5.3) tizimlar quyidagi usullardan biri bilan yechiladi: 1) Gauss usuli yoki noma'lumlarni yo'q qilish usuli; 2) Kramer formulalari bo'yicha; 3) matritsa usuli. 2.12-misol. Tenglamalar tizimini o'rganing va agar u mos kelsa, uni yeching: 5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7, 2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1, x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0. Yechim. Tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz:
Tizimning asosiy matritsasining darajasini hisoblaylik. Ko'rinib turibdiki, masalan, yuqori chap burchakdagi ikkinchi tartibli minor = 7 0; uni o'z ichiga olgan uchinchi darajali kichiklar nolga teng: Binobarin, tizimning asosiy matritsasining darajasi 2 ga teng, ya'ni. r(A) = 2. Kengaytirilgan A matritsaning darajasini hisoblash uchun chegaralovchi minorni ko‘rib chiqamiz. bu kengaytirilgan matritsaning darajasi r(A) = 3 ekanligini bildiradi. r(A) r(A) boʻlgani uchun sistema mos kelmaydi. n-tartibli kvadrat matritsa bo'lsin A -1 matritsasi deyiladi teskari matritsa A matritsaga nisbatan, agar A*A -1 = E bo'lsa, bu erda E - n-tartibning o'ziga xos matritsasi. Identifikatsiya matritsasi- shunday kvadrat matritsa, unda asosiy diagonal bo'ylab yuqori chap burchakdan pastki o'ng burchakka o'tadigan barcha elementlar bir, qolganlari esa nolga teng, masalan: Teskari matritsa mavjud bo'lishi mumkin faqat kvadrat matritsalar uchun bular. satrlar va ustunlar soni mos keladigan matritsalar uchun. Matritsa teskari matritsaga ega bo'lishi uchun uning yagona bo'lmagan bo'lishi zarur va etarli. A = (A1, A2,...A n) matritsasi deyiladi degenerativ bo'lmagan, agar ustun vektorlari chiziqli mustaqil bo'lsa. Matritsaning chiziqli mustaqil ustun vektorlari soni matritsaning darajasi deb ataladi. Shuning uchun biz teskari matritsa mavjud bo'lishi uchun matritsaning darajasi uning o'lchamiga teng bo'lishi zarur va etarli ekanligini aytishimiz mumkin, ya'ni. r = n. A matritsa uchun A -1 teskari matritsani toping Yechish: A matritsasini yozamiz va E matritsasini o‘ngga belgilaymiz, Jordan o‘zgarishlaridan foydalanib, A matritsani E matritsaga keltiramiz. Hisoblashlar 31.1-jadvalda keltirilgan. Dastlabki A matritsa va A teskari matritsani -1 ko'paytirish orqali hisob-kitoblarning to'g'riligini tekshiramiz. Matritsani ko'paytirish natijasida identifikatsiya matritsasi olingan. Shuning uchun hisob-kitoblar to'g'ri bajarildi. Javob: Matritsali tenglamalar quyidagicha ko'rinishi mumkin: AX = B, HA = B, AXB = C, Bu erda A, B, C - belgilangan matritsalar, X - kerakli matritsa. Matritsali tenglamalar tenglamani teskari matritsalarga ko‘paytirish yo‘li bilan yechiladi.
Masalan, tenglamadan matritsani topish uchun ushbu tenglamani chap tomonga ko'paytirish kerak. Shuning uchun tenglamaning yechimini topish uchun teskari matritsani topish va uni tenglamaning o'ng tomonidagi matritsaga ko'paytirish kerak. Boshqa tenglamalar ham xuddi shunday yechiladi. AX = B tenglamani yeching, agar Yechim: Teskari matritsa teng bo'lgani uchun (1-misolga qarang) Boshqalar bilan bir qatorda ular ham qo'llaniladi matritsa usullari. Bu usullar chiziqli va vektor-matritsali algebraga asoslangan. Bunday usullar murakkab va ko'p o'lchovli iqtisodiy hodisalarni tahlil qilish maqsadlarida qo'llaniladi. Ko'pincha, ushbu usullar tashkilotlar va ularning tarkibiy bo'linmalari faoliyatini qiyosiy baholash zarur bo'lganda qo'llaniladi. Matritsali tahlil usullarini qo'llash jarayonida bir necha bosqichlarni ajratib ko'rsatish mumkin. Birinchi bosqichda iqtisodiy ko'rsatkichlar tizimi shakllantirilmoqda va uning asosida dastlabki ma'lumotlar matritsasi tuziladi, bu jadval bo'lib, unda tizim raqamlari uning alohida qatorlarida ko'rsatiladi. (i = 1,2,.....,n), va vertikal ustunlarda - ko'rsatkichlar soni (j = 1,2,....,m). Ikkinchi bosqichda Har bir vertikal ustun uchun mavjud indikator qiymatlarining eng kattasi aniqlanadi, u bitta sifatida olinadi. Shundan so'ng, ushbu ustunda aks ettirilgan barcha miqdorlar eng katta qiymatga bo'linadi va standartlashtirilgan koeffitsientlar matritsasi hosil bo'ladi. Uchinchi bosqichda matritsaning barcha komponentlari kvadratga teng. Agar ular turli xil ahamiyatga ega bo'lsa, unda har bir matritsa ko'rsatkichiga ma'lum bir og'irlik koeffitsienti beriladi k. Ikkinchisining qiymati ekspert xulosasi bilan belgilanadi. Oxirgisida, to'rtinchi bosqich reyting qiymatlari topildi Rj ortishi yoki kamayishi tartibiga ko‘ra guruhlanadi. Belgilangan matritsa usullaridan, masalan, turli investitsiya loyihalarini qiyosiy tahlil qilishda, shuningdek, tashkilotlar faoliyatining boshqa iqtisodiy ko'rsatkichlarini baholashda qo'llanilishi kerak. Chiziqli tenglamalar sistemalarini yechishning matritsa usuli Quyidagi shakldagi chiziqli tenglamalar tizimini ko'rib chiqing: $\left\(\begin(massiv)(c) (a_(11) x_(1) +a_(12) x_(2) +...+a_(1n) x_(n) =b_(1) ) \\ (a_(21) x_(1) +a_(22) x_(2) +...+a_(2n) x_(n) =b_(2) ) \\ (...) \\ (a_) (n1) x_(1) +a_(n2) x_(2) +...+a_(nn) x_(n) =b_(n) ) \end(massiv)\o‘ng .$. $a_(ij) (i=1..n,j=1..n)$ raqamlar tizim koeffitsientlari, $b_(i) (i=1..n)$ raqamlari erkin shartlardir. Ta'rif 1 Agar barcha bo'sh shartlar nolga teng bo'lsa, tizim bir hil deb ataladi, aks holda u bir jinsli deb ataladi. Har bir SLAE bir nechta matritsalar bilan bog'lanishi mumkin va tizim matritsa deb ataladigan shaklda yozilishi mumkin. Ta'rif 2 Tizim koeffitsientlari matritsasi tizim matritsasi deb ataladi va odatda $A$ harfi bilan belgilanadi. Erkin atamalar ustuni ustun vektorini hosil qiladi, u odatda $B$ harfi bilan belgilanadi va erkin atamalar matritsasi deb ataladi. Noma'lum o'zgaruvchilar ustun vektorini hosil qiladi, u odatda $X$ harfi bilan belgilanadi va noma'lumlar matritsasi deb ataladi. Yuqorida tavsiflangan matritsalar quyidagi shaklga ega: $A=\left(\begin(massiv)(cccc) (a_(11) ) & (a_(12) ) & (...) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & ( a_(22) ) & (...) & (a_(2n) ) \\ (...) & (...) & (...) & (...) \\ (a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (...) & (a_(nn) ) \end(massiv)\o'ng),B=\left(\begin(massiv)(c) (b_(1) ) \ \ (b_(2) ) \\ (...) \\ (b_(n) ) \end(massiv)\o'ng),X=\left(\begin(massiv)(c) (x_(1) ) \\ (x_(2) ) \\ (...) \\ (x_(n) ) \end(massiv)\o'ng).$ Matritsalar yordamida SLAE $A\cdot X=B$ shaklida qayta yozilishi mumkin. Ushbu belgi ko'pincha matritsali tenglama deb ataladi. Umuman olganda, har qanday SLAE matritsa shaklida yozilishi mumkin. 1-misol Berilgan SLAE: $\left\(\begin(massiv)(c) (3x_(1) -2x_(2) +x_(3) -x_(4) =3) \\ (x_(1) -12x_(2) ) -x_(3) -x_(4) =7) \\ (2x_(1) -3x_(2) +x_(3) -3x_(4) =5) \end(massiv)\o'ngda $ matritsa shakli. Yechim: $A=\left(\begin(massiv)(cccc) (3) & (-2) & (1) & (-1) \\ (1) & (-12) & (-1) & (-1) ) \\ (2) & (-3) & (1) & (-3) \end(massiv)\o'ng),B=\left(\begin(massiv)(c) (3) \\ (7) \\ (5) \end(massiv)\o'ng),X=\left(\begin(massiv)(c) (x_(1) ) \\ (x_(2) ) \\ (x_(3)) \ end(massiv)\o'ng).$ $\left(\begin(massiv)(cccc) (3) & (-2) & (1) & (-1) \\ (1) & (-12) & (-1) & (-1) \ \ (2) & (-3) & (1) & (-3) \end(massiv)\o'ng)\cdot \left(\begin(massiv)(c) (x_(1) ) \\ (x_( 2) ) \\ (x_(3) ) \end(massiv)\o'ng)=\left(\begin(massiv)(c) (3) \\ (7) \\ (5) \end(massiv)\ o'ng) $ Tizimning matritsasi kvadrat bo'lsa, SLAE matritsa usuli yordamida echilishi mumkin. $A\cdot X=B$ matritsa tenglamasiga ega bo'lsak, undan $X$ ni quyidagi tarzda ifodalashimiz mumkin: $A^(-1) \cdot A\cdot X=A^(-1) \cdot B$ $A^(-1) \cdot A=E$ (matritsa mahsuloti xususiyati) $E\cdot X=A^(-1) \cdot B$ $E\cdot X=X$ (matritsa mahsuloti xususiyati) $X=A^(-1) \cdot B$ Teskari matritsa yordamida algebraik tenglamalar tizimini yechish algoritmi: Agar tizim matritsasi nolga teng bo'lmagan determinantga ega bo'lsa, u holda bu tizim matritsa usuli yordamida topiladigan yagona yechimga ega. Agar tizim matritsasi nolga teng determinantga ega bo'lsa, u holda bu tizimni matritsa usuli yordamida yechish mumkin emas. 2-misol Berilgan SLAE: $\left\(\begin(massiv)(c) (x_(1) +3x_(3) =26) \\ (-x_(1) +2x_(2) +x_(3) =52) \\ (3x_(1) +2x_(2) =52) \end(massiv)\right $, agar iloji boʻlsa, teskari matritsa usuli yordamida SLAE ni yeching. Yechim: $A=\left(\begin(massiv)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (-1) & (2) & (1) \\ (3) & (2) & ( 0) \end(massiv)\o'ng),B=\left(\begin(massiv)(c) (26) \\ (52) \\ (52) \end(massiv)\o'ng),X=\chap (\begin(massiv)(c) (x_(1) ) \\ (x_(2) ) \\ (x_(3) ) \end(massiv)\o'ng). $ Tizim matritsasining determinantini topish: $\begin(massiv)(l) (\det A=\left|\begin(massiv)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (-1) & (2) & (1) \\ (3) & (2) & (0) \end(massiv)\o'ng|=1\cdot 2\cdot 0+0\cdot 1\cdot 3+2\cdot (-1)\cdot 3-3 \cdot 2\cdot 3-2\cdot 1\cdot 1-0\cdot (-1)\cdot 0=0+0-6-18-2-0=-26\ne 0) \end(massiv)$ Determinant nolga teng bo'lmagani uchun sistemaning matritsasi teskari matritsaga ega va shuning uchun tenglamalar tizimini teskari matritsa usuli bilan yechish mumkin. Olingan yechim noyob bo'ladi. Tenglamalar tizimini teskari matritsa yordamida yechamiz: $A_(11) =(-1)^(1+1) \cdot \left|\begin(massiv)(cc) (2) & (1) \\ (2) & (0) \end(massiv) \right|=0-2=-2; A_(12) =(-1)^(1+2) \cdot \left|\begin(massiv)(cc) (-1) & (1) \\ (3) & (0) \end(massiv) \right|=-(0-3)=3;$ $A_(13) =(-1)^(1+3) \cdot \left|\begin(massiv)(cc) (-1) & (2) \\ (3) & (2) \end(massiv) )\right|=-2-6=-8; A_(21) =(-1)^(2+1) \cdot \left|\begin(massiv)(cc) (0) & (3) \\ (2) & (0) \end(massiv)\ o'ng|=-(0-6)=6; $ $A_(22) =(-1)^(2+2) \cdot \left|\begin(massiv)(cc) (1) & (3) \\ (3) & (0) \end(massiv) \right|=0-9=-9; A_(23) =(-1)^(2+3) \cdot \left|\begin(massiv)(cc) (1) & (0) \\ (3) & (2) \end(massiv)\ o'ng|=-(2-0)=-2;$ $A_(31) =(-1)^(3+1) \cdot \left|\begin(massiv)(cc) (0) & (3) \\ (2) & (1) \end(massiv) \right|=0-6=-6; A_(32) =(-1)^(3+2) \cdot \left|\begin(massiv)(cc) (1) & (3) \\ (-1) & (1) \end(massiv) \right|=-(1+3)=-4;$ $A_(33) =(-1)^(3+3) \cdot \left|\begin(massiv)(cc) (1) & (0) \\ (-1) & (2) \end(massiv) )\o'ng|=2-0=2$ Kerakli teskari matritsa: $A^(-1) =\frac(1)(-26) \cdot \left(\begin(massiv)(ccc) (-2) & (6) & (-6) \\ (3) & ( -9) & (-4) \\ (-8) & (-2) & (2) \end(massiv)\o'ng)=\frac(1)(26) \cdot \left(\begin(massiv) (ccc) (2) & (-6) & (6) \\ (-3) & (9) & (4) \\ (8) & (2) & (-2) \end(massiv)\o'ng )=\left(\begin(massiv)(ccc) (\frac(2)(26) ) & (\frac(-6)(26) ) & (\frac(6)(26) ) \\ (\ frac(-3)(26) ) & (\frac(9)(26) ) & (\frac(4)(26) ) \\ (\frac(8)(26) ) & (\frac(2) (26) ) & (\frac(-2)(26) ) \end(massiv)\o'ng)=\left(\begin(massiv)(ccc) (\frac(1)(13) ) & (-\ frac(3)(13) ) & (\frac(3)(13) ) \\ (-\frac(3)(26) ) & (\frac(9)(26) ) & (\frac(2) (13) ) \\ (\frac(4)(13) ) & (\frac(1)(13) ) & (-\frac(1)(13) ) \end(massiv)\o'ng).$ Keling, tizimga yechim topamiz: $X=\left(\begin(massiv)(ccc) (\frac(1)(13) ) & (-\frac(3)(13) ) & (\frac(3)(13) ) \\ ( -\frac(3)(26) ) & (\frac(9)(26) ) & (\frac(2)(13) ) \\ (\frac(4)(13) ) & (\frac(1) )(13) ) & (-\frac(1)(13) ) \end(massiv)\o'ng)\cdot \left(\begin(massiv)(c) (26) \\ (52) \\ (52) ) \end(massiv)\o'ng)=\left(\begin(massiv)(c) (\frac(1)(13) \cdot 26-\frac(3)(13) \cdot 52+\frac(3) )(13) \cdot 52) \\ (-\frac(3)(26) \cdot 26+\frac(9)(26) \cdot 52+\frac(2)(13) \cdot 52) \\ (\frac(4)(13) \cdot 26+\frac(1)(13) \cdot 52-\frac(1)(13) \cdot 52) \end(massiv)\o'ng )=\left(\ begin(massiv)(c) (2-12+12) \\ (-3+18+8) \\ (8+4-4) \end(massiv)\o'ng)=\chap (\begin(massiv) (c) (2) \\ (23) \\ (8) \end(massiv)\o'ng)$ $X=\left(\begin(massiv)(c) (2) \\ (23) \\ (8) \end(massiv)\right)$ tenglamalar sistemasining kerakli yechimidir.
.
Teskari matritsaning mavjudligi sharti uchun teorema
Teskari matritsani topish algoritmi
1-misol 
Matritsali tenglamalarni yechish
Iqtisodiy tahlilda matritsa usuli
Teskari matritsa yordamida tizimni yechishga misollar
Yuklanmoqda...