O'zaro perpendikulyar uchta tekislik tizimi. Uchta o'zaro perpendikulyar proyeksiyalar tekisligiga proyeksiyalash Uchta o'zaro perpendikulyar tekislik

Nuqta pozitsiyasi	Vizual tasvir	Murakkab chizish	Xarakterli belgilar
 1 tekisligiga tegishli			A 1 - X o'qi ostida, A 2 - X o'qida
 1 tekisligiga tegishli			B 1 - X o'qi ustida, B 2 - X o'qida
 2 tekisligiga tegishli			C 2 - X o'qi ustida, C 1 - X o'qida
 2 tekisligiga tegishli			D 1 - X o'qida, D 2 - X o'qi ostida
X o'qiga tegishli			E 1 E 2 bilan mos keladi va X o'qiga tegishli

Vazifa № 1.

A nuqtaning murakkab chizmasini tuzing, agar:

nuqta ikkinchi chorakda joylashgan va  1 va  2 tekisliklardan teng masofada joylashgan.

nuqta uchinchi chorakda joylashgan bo'lib, uning  1 tekislikgacha bo'lgan masofasi  2 tekislikdan ikki baravar katta.

nuqta IV chorakda joylashgan bo'lib, uning  1 tekislikgacha bo'lgan masofasi  2 tekislikdan kattaroqdir.

Vazifa № 2.

Nuqtalar qaysi choraklarda joylashganligini aniqlang (2.21-rasm).

Vazifa № 3.

Choraklardagi nuqtalarning vizual tasvirini tuzing:

a) A – uchinchi chorakdagi umumiy lavozim;

b) B – IV chorakdagi umumiy lavozim;

c) C – ikkinchi chorakda, agar uning  1 dan masofasi 0 ga teng bo‘lsa;

d) D - birinchi chorakda, agar uning  2 dan masofasi 0 bo'lsa.

Vazifa № 4.

A, B, C, D nuqtalarining murakkab chizmasini tuzing (3-topshiriqga qarang).

§ 5. O'zaro perpendikulyar uchta tekislik tizimi

Amalda, tadqiqot va tasvirlash, ikkita o'zaro perpendikulyar tekislik tizimi har doim ham aniq echim imkoniyatini ta'minlamaydi. Shunday qilib, masalan, agar siz A nuqtani X o'qi bo'ylab harakatlantirsangiz, uning tasviri o'zgarmaydi.

Nuqtaning fazodagi o'rni (2.22-rasm) o'zgargan (2.24-rasm), lekin murakkab chizmadagi tasvirlar o'zgarishsiz qolmoqda (2.23-rasm va 2.25-rasm).

Ushbu muammoni hal qilish uchun uchta o'zaro perpendikulyar tekisliklar tizimi kiritiladi, chunki chizmalarni tuzishda, masalan, mashinalar va ularning qismlari ikkita emas, balki ko'proq tasvirlar talab qilinadi. Shu asosda ayrim konstruksiyalarda masalalar yechishda sistemaga  1,  2 va boshqa proyeksiya tekisliklarini kiritish kerak bo‘ladi.

O'zaro perpendikulyar uchta tekislikni ko'rib chiqing 1 ,  2 ,  3 ( guruch. 2.26). Vertikal tekislik 3 proyeksiyaning profil tekisligi deyiladi. Bir-biri bilan kesishgan tekisliklar 1 ,  2 ,  3 proyeksiya o'qlarini hosil qiladi, fazo esa 8 oktantga bo'linadi.  1  2 = x; -x  1  3 = y; -y  2  3 = z; -z 0 - proyeksiya o'qlarining kesishish nuqtasi.

Bu tekisliklar butun makonni VIII qismlarga ajratadi, ular oktantlar deb ataladi (lotincha okto sakkizdan). Samolyotlarning qalinligi yo'q, shaffof va cheksizdir. Kuzatuvchi birinchi chorakda ( 1,  2 tizimlar uchun) yoki birinchi oktantda ( 1,  2,  3 tizimlar uchun) proyeksiya tekisliklaridan cheksiz masofada joylashgan.

Vazifa № 4.

Vazifa № 3.

Vazifa № 2.

Vazifa № 1.

Murakkab chizmani shakllantirish (diagramma)

Samolyotlarning fazoviy tizimidan olingan tasvirlardan foydalanish qulayligi uchun tekislikka o'tamiz.

Buning uchun:

1. P 1 tekislikni X o'qi atrofida p 2 tekislikka to'g'ri kelguncha aylantirish usulini qo'llang (2.7-rasm).

2. p 1 va p 2 tekisliklarni bitta chizma tekisligiga birlashtiring (2.8-rasm).

Guruch. 2.7	Guruch. 2.8

A 1 va A 2 proyeksiyalar X o'qiga perpendikulyar bo'lgan bir xil bog'lanish chizig'ida joylashgan.Bu chiziq proyeksiyalovchi bog'lanish chizig'i deyiladi (2.9-rasm).

Proyeksiya tekisligi fazoda cheksiz hisoblanganligi sababli tekislikning p 1, p 2 chegaralarini tasvirlash shart emas (2.10-rasm).

P 1 va p 2 tekisliklarini birlashtirish natijasida murakkab chizilgan yoki diagramma olinadi (frantsuz epure chizmasidan), ya'ni. p 1 va p 2 tizimida yoki ikkita proyeksiya tekisliklari tizimida chizish. Vizual tasvirni diagramma bilan almashtirib, biz proyeksiya tekisliklari va nuqtalarining joylashuvining fazoviy rasmini yo'qotdik. Ammo diagrammalar qurilishning sezilarli soddaligi bilan aniqlik va o'lchash oson tasvirlarni beradi. Sxemadan fazoviy rasmni tasavvur qilish uchun tasavvur ishini talab qiladi: masalan, rasmga ko'ra. 2.11-rasmda ko'rsatilgan rasmni tasavvur qilishingiz kerak. 2.12.

Agar kompleks chizmada A 1 va A 2 proyeksiyalar bo'yicha proyeksiya o'qi mavjud bo'lsa, siz A nuqtaning p 1 va p 2 ga nisbatan o'rnini belgilashingiz mumkin (2.5 va 2.6-rasmga qarang). Taqqoslash - rasm. 2.11 va 2.12 A 2 A X segmenti A nuqtadan p 1 tekislikgacha bo'lgan masofa va A 1 A X segmenti A nuqtadan p 2 gacha bo'lgan masofa ekanligini aniqlash oson. A 2 ning proyeksiyalar o'qidan yuqorida joylashganligi A nuqtaning p 1 tekisligidan yuqorida joylashganligini bildiradi. Agar diagrammadagi A 1 proyeksiyalar o'qi ostida joylashgan bo'lsa, u holda A nuqta p 2 tekisligining oldida bo'ladi. Shunday qilib, geometrik tasvirning gorizontal proyeksiyasi proyeksiyalarning frontal tekisligiga nisbatan o'z o'rnini belgilaydi p 2 , va geometrik tasvirning frontal proyeksiyasi - proyeksiyalarning gorizontal tekisligiga nisbatan p 1 .

Guruch. 2.11	Guruch. 2.12

§ 4. Nuqtaning p 1 va p 2 tizimidagi joylashuvining xarakteristikalari

Kosmosda aniqlangan nuqta proyeksiya tekisliklariga nisbatan turli pozitsiyalarga ega bo'lishi mumkin (2.13-rasm).

Keling, birinchi chorak fazosida nuqtani joylashtirishning mumkin bo'lgan variantlarini ko'rib chiqaylik:

1. Nuqta birinchi chorak fazosida X o'qidan va p 1 p 2 tekisliklardan istalgan masofada joylashgan, masalan, A, B nuqtalari (bunday nuqtalar umumiy pozitsiya nuqtalari deb ataladi) (2.14-rasm va 2-rasm). 2.15).

3. K nuqta bir vaqtning o'zida ham p 1, ham p 2 tekislikka tegishli, ya'ni X o'qiga tegishli (2.18-rasm):

Yuqoridagilarga asoslanib, biz quyidagi xulosaga kelishimiz mumkin:

1. Agar nuqta birinchi chorak fazosida joylashgan bo'lsa, uning A 2 proyeksiyasi X o'qdan yuqorida, A 1 esa X o'qdan pastda joylashgan; A 2 A 1 - X o'qiga bir xil perpendikulyar (ulanish chizig'i) ustida yotadi (2.14-rasm).

2. Agar nuqta p 2 tekislikka tegishli bo'lsa, u holda uning C 2 C proyeksiyasi (S nuqtaning o'zi bilan mos keladi) va C 1 X proyeksiyasi (X o'qiga tegishli) va C X: C 1 C X bilan mos keladi.

3. Agar nuqta p 1 tekislikka tegishli bo'lsa, uning bu tekislikka D 1 proyeksiyasi D D 1 nuqtaning o'zi bilan, D 2 proyeksiyasi esa X o'qiga to'g'ri keladi va D X: D 2 D X ga to'g'ri keladi.

4. Agar nuqta X o'qiga tegishli bo'lsa, uning barcha proyeksiyalari mos keladi va X o'qiga tegishli bo'ladi: K K 1 K 2 K X.

Mashq:

1. Birinchi chorak fazodagi nuqtalarning o'rnini xarakterlang (2.19-rasm).

2. Ta’rifga ko‘ra nuqtaning vizual tasvirini va har tomonlama chizmasini tuzing:

a) C nuqta birinchi chorakda joylashgan va p 1 va p 2 tekisliklardan teng masofada joylashgan.

b) M nuqta p 2 tekislikka tegishli.

c) K nuqta birinchi chorakda joylashgan va uning p 1 gacha bo'lgan masofasi p 2 tekisligidan ikki baravar katta.

d) L nuqta X o'qiga tegishli.

3. Ta’rifga ko‘ra nuqtaning kompleks chizmasini tuzing:

a) P nuqta birinchi chorakda joylashgan va uning p 2 tekislikdan masofasi p 1 tekislikdan kattaroqdir.

b) A nuqta birinchi chorakda joylashgan va uning p 1 tekislikgacha bo'lgan masofasi p 2 tekislikdan 3 marta katta.

v) B nuqta birinchi chorakda joylashgan bo'lib, uning tekislikgacha bo'lgan masofasi p 1 =0 ga teng.

4. Nuqtalarning p 1 va p 2 proyeksiya tekisliklariga va bir-biriga nisbatan o'rnini solishtiring. Taqqoslash xususiyatlar yoki xususiyatlar asosida amalga oshiriladi. Nuqtalar uchun bu xarakteristikalar tekisliklarga masofa p 1; p 2 (2.20-rasm).

Yuqoridagi nazariyani nuqta tasvirlarini qurishda qo'llash turli yo'llar bilan amalga oshirilishi mumkin:

• so'zlar (og'zaki);
• grafik (chizmalar);
• vizual tasvir (hajmli);
• planar (murakkab chizma).

Ma'lumotni bir usuldan boshqasiga tarjima qilish qobiliyati fazoviy fikrlashni rivojlantirishga yordam beradi, ya'ni. og'zaki dan vizual (hajmli), keyin esa tekislikka va aksincha.

Buni misollar bilan ko'rib chiqamiz (2.1-jadval va 2.2-jadval).

2.1-jadval

Nuqta tasviriga misol
ikkita proyeksiya tekisliklari tizimida

Chorak maydoni	Vizual tasvir	Murakkab chizish	Xarakterli belgilar
I			A nuqtaning X o'qi ustidagi frontal proyeksiyasi, A nuqtaning X o'qi ostidagi gorizontal proyeksiyasi
II			B nuqtaning X o'qi ustidagi frontal va gorizontal proyeksiyalari
III			S nuqtaning X o'qi ostidagi frontal proyeksiyasi, S nuqtaning X o'qi ustidagi gorizontal proyeksiyasi
IV			X o'qi ostidagi D nuqtaning frontal va gorizontal proyeksiyalari

2.2-jadval

p 1 va p 2 tekisliklarga tegishli nuqtalar tasviriga misol

Nuqta pozitsiyasi	Vizual tasvir	Murakkab chizish	Xarakterli belgilar
A nuqta p 1 tekislikka tegishli			A 1 - X o'qi ostida, A 2 - X o'qida
B nuqtasi p 1 tekislikka tegishli			B 1 - X o'qi ustida, B 2 - X o'qida
C nuqta p 2 tekislikka tegishli			C 2 - X o'qi ustida, C 1 - X o'qida
D nuqta p 2 tekislikka tegishli			D 1 - X o'qida, D 2 - X o'qi ostida
E nuqtasi X o'qiga tegishli			E 1 E 2 bilan mos keladi va X o'qiga tegishli

A nuqtaning murakkab chizmasini tuzing, agar:

1. Nuqta II chorakda joylashgan va p 1 va p 2 tekisliklardan teng masofada joylashgan.

2. Nuqta uchinchi chorakda joylashgan bo'lib, uning p 1 tekislikgacha bo'lgan masofasi p 2 tekislikdan ikki baravar katta.

3. Nuqta IV chorakda joylashgan bo'lib, uning p1 tekisligiga bo'lgan masofasi p2 tekisligiga qaraganda katta.

Nuqtalar qaysi choraklarda joylashganligini aniqlang (2.21-rasm).

1. Choraklardagi nuqtalarning vizual tasvirini tuzing:

a) A – uchinchi chorakdagi umumiy lavozim;

b) B – IV chorakdagi umumiy lavozim;

c) C - ikkinchi chorakda, agar uning p 1 dan masofasi 0 bo'lsa;

d) D - birinchi chorakda, agar uning p 2 dan masofasi 0 bo'lsa.

A, B, C, D nuqtalarining murakkab chizmasini tuzing (3-topshiriqga qarang).

Amalda, tadqiqot va tasvirlash, ikkita o'zaro perpendikulyar tekislik tizimi har doim ham aniq echim imkoniyatini ta'minlamaydi. Shunday qilib, masalan, agar siz A nuqtani X o'qi bo'ylab harakatlantirsangiz, uning tasviri o'zgarmaydi.

Nuqtaning fazodagi o'rni (2.22-rasm) o'zgargan (2.24-rasm), lekin murakkab chizmadagi tasvirlar o'zgarishsiz qolmoqda (2.23-rasm va 2.25-rasm).

Guruch. 2.22	Guruch. 2.23
Guruch. 2.24	Guruch. 2.25

Ushbu muammoni hal qilish uchun uchta o'zaro perpendikulyar tekisliklar tizimi kiritiladi, chunki chizmalarni tuzishda, masalan, mashinalar va ularning qismlari ikkita emas, balki ko'proq tasvirlar talab qilinadi. Shu asosda, ba'zi konstruktsiyalarda muammolarni hal qilishda tizimga p 1, p 2 va boshqa proyeksiya tekisliklarini kiritish kerak.

Bu tekisliklar butun makonni VIII qismlarga ajratadi, ular oktantlar deb ataladi (lotincha okto sakkizdan). Samolyotlarning qalinligi yo'q, shaffof va cheksizdir. Kuzatuvchi birinchi chorakda (p 1, p 2 tizimlar uchun) yoki birinchi oktantda (p 1, p 2, p 3 tizimlar uchun) proyeksiya tekisliklaridan cheksiz masofada joylashgan.

§ 6. Tizimdagi nuqta p 1, p 2, p 3

Birinchi oktanda joylashgan ma'lum A nuqtaning uchta o'zaro perpendikulyar tekisliklarga proyeksiyalarini qurish p 1, p 2, p 3 - rasmda ko'rsatilgan. 2.27. Proyeksiya tekisliklarining p 2 tekisligi bilan birikmasidan va tekisliklarni aylantirish usulidan foydalanib, biz A nuqtaning murakkab chizmasini olamiz (2.28-rasm):

AA 1 ^ p 1; AA 2 ^ p 2; AA 3 ^ p 3,

bu yerda A 3 – A nuqtaning profil proyeksiyasi; A X, A y, A Z – A nuqtaning eksenel proyeksiyalari.

A 1, A 2, A 3 proyeksiyalari mos ravishda A nuqtaning frontal, gorizontal va profil proyeksiyalari deyiladi.

Guruch. 2.27	Guruch. 2.28

Juft bo‘lib kesishuvchi proyeksiya tekisliklari uchta o‘qni x, y, z aniqlaydi, ularni dekart koordinatalari tizimi sifatida ko‘rish mumkin: o‘q X abscissa o'qi, o'qi deb ataladi y– ordinata o‘qi, o‘qi Z– harf bilan belgilangan o'qni qo'llash, o'qlarning kesishish nuqtasi HAQIDA, koordinatalarning kelib chiqishi hisoblanadi.

Shunday qilib, ob'ektga qaraydigan tomoshabin birinchi oktantda bo'ladi.

Murakkab chizmani olish uchun p 1 va p 3 tekisliklarni (2.27-rasmda ko'rsatilganidek) p 2 tekisligi bilan tekislangunga qadar aylantirish usulini qo'llaymiz. Birinchi oktantdagi barcha tekisliklarning yakuniy ko'rinishi rasmda ko'rsatilgan. 2.29.

Mana boltalar Oh Va Oz, Ruxsat etilgan tekislikda yotgan p 2, faqat bir marta, eksa tasvirlangan Oh ikki marta ko'rsatilgan. Bu p 1 tekislik bilan aylanuvchi eksa bilan izohlanadi y diagrammada u eksa bilan birlashtirilgan Oz, va p 3 tekisligi bilan aylanib, xuddi shu o'q o'qga to'g'ri keladi Oh.

Keling, rasmga qaraylik. 2.30, kosmosdagi nuqta qayerda A, koordinatalar bilan berilgan (5,4,6). Bu koordinatalar ijobiy va uning o'zi birinchi oktantda. Nuqtaning o'zi tasvirini va uning proyeksiyalarini fazoviy modelda qurish koordinatali to'rtburchaklar parallelogrammasi yordamida amalga oshiriladi. Buning uchun biz koordinata o'qlarida uzunlik segmentlariga mos keladigan segmentlarni chizamiz: Oh = 5, Oy = 4, OAz= 6. Ushbu segmentlarda ( OAx, OAy, OAz), qirralarda bo'lgani kabi, biz to'rtburchaklar parallelepipedni quramiz. Uning cho'qqilaridan biri berilgan nuqtani belgilaydi A.

Murakkab chizmadagi uchta proyeksiya tekisliklari tizimi haqida gapirganda (2.30-rasm), quyidagilarni qayd etish kerak.

Muammolarni hal qilishda ba'zan ikkita proektsiya etarli emas. Shuning uchun P 1 va P 2 tekisliklarga perpendikulyar uchinchi tekislik kiritiladi. Uni chaqirishadi profil tekisligi (P 3 ) .

Uchta samolyot kosmosni 8 qismga ajratadi - oktantlar (6-rasm). Avvalgidek, biz ob'ektga qaraydigan tomoshabin birinchi oktantda deb taxmin qilamiz. Diagrammani olish uchun (7-rasm) P 1 va P 3 tekislikning istalgan geometrik tasviri shaklda ko'rsatilganidek, aylantiriladi. 6.

Juft bo'lib kesishgan proyeksiya tekisliklari uchta o'qni aniqlaydi x, y Va z, uni nuqtadagi kelib chiqishi bilan fazodagi Dekart koordinatalari tizimi sifatida ko'rib chiqish mumkin HAQIDA.

Diagrammani olish uchun uchta proyeksiya tekisliklari tizimidagi nuqtalar P 1 va P 3 tekisliklari P 2 tekislikka to'g'ri kelguncha aylantiriladi (8-rasm). Diagrammada o'qlarni belgilashda, odatda, salbiy yarim o'qlar ko'rsatilmaydi.

Nuqtalarning profil proyeksiyasini topish uchun quyidagi amallarni bajaring: frontal proyeksiyadan A 2 ball A o'qiga perpendikulyar to'g'ri chiziq chizamiz Z va bu to'g'ri chiziqda o'qdan z koordinatasiga teng segmentni chizing da ball A(9-rasm).

8-rasm. 9
Koordinatalar - bu nuqtaning fazoda yoki sirtdagi o'rnini aniqlash uchun berilgan raqamlar. Uch o'lchovli fazoda nuqtaning pozitsiyasi to'rtburchaklar Dekart koordinatalari yordamida aniqlanadi x, y Va z(abscissa, ordinata va applicate):

A
?
bscissa X = ………..= …..…..= ….….. = ……….. – nuqtadan tekislikgacha bo‘lgan masofa P 3;

ordinata da = ……….= ………= …...... = ………… – nuqtadan P 2 tekislikgacha bo‘lgan masofa;

ariza berish z= …….. = ………= ……..= ………… – nuqtadan P 1 tekislikgacha bo‘lgan masofa
A 1 A 2 – x o'qiga perpendikulyar vertikal ulanish chizig'i;

A 2 A 3 – o‘qga perpendikulyar gorizontal ulanish chizig‘iz.
A
?
1 (….,….) Har bir nuqtaning proyeksiya holati

A 2 (….,….) ikkita koordinata bilan aniqlanadi

A 3 (….,….)
Agar nuqta kamida bitta proyeksiya tekisligiga tegishli bo'lsa, u joy egallaydi xususiy proyeksiya tekisliklariga nisbatan joylashuvi. Agar nuqta proyeksiya tekisliklarining birortasiga tegishli bo'lmasa, u joy egallaydi umumiy pozitsiya.

2-sonli ma’ruza
STREYT

1. To'g'ridan-to'g'ri. 2. Chiziqning proyeksiya tekisliklariga nisbatan joylashishi. 3. Nuqta to'g'ri chiziqqa tegishli. 4. Izlar tekis. 5. To'g'ri chiziq kesimini berilgan nisbatda bo'lish. 6. To`g`ri chiziq kesmasining uzunligini va to`g`ri chiziqning proyeksiya tekisliklariga moyillik burchaklarini aniqlash. 7. Chiziqlarning o'zaro joylashishi.
1STREYT
Chiziqning umumiy holatda proyeksiyasi to'g'ri chiziq bo'lib, chiziq tekislikka perpendikulyar bo'lgan hollar bundan mustasno (10-rasm).

To'g'ri chiziq diagrammasini qurish uchun koordinatalarini aniqlang x, y, z to'g'ri chiziqda ikkita nuqta va bu qiymatlarni chizmaga o'tkazing.

2 CHIZIQNING PROEKTSIYA TAKLIKLARIGA NISBATAN O'RNATISHI
IN

Chiziqning proyeksiya tekisliklariga nisbatan joylashishiga qarab, u ham umumiy, ham xususiy pozitsiyalarni egallashi mumkin.

P umumiy chiziqning proyeksiyasi to'g'ri chiziqning o'zidan kamroq.

Ko'tariluvchi to'g'ri chiziq bor - bu to'g'ri chiziq bo'lib, u kuzatuvchidan uzoqlashganda ko'tariladi (11-rasm) va pasayib boruvchi to'g'ri chiziq.

h   P 1 ; Z = const

h 2  0x belgisi

h 3  0da gorizontal

h 1 =  h – mulk

gorizontal

 – toʻgʻri chiziqning qiyalik burchagi

samolyot P 1

 – to‘g‘ri chiziqning qiyalik burchagi

samolyot P 2

 – to‘g‘ri chiziqning qiyalik burchagi

samolyot P 3


?
= 0

 = (h 1  P 2) belgilang


Guruch. 12. Gorizontal
= (h 1  P 3) chizmada

f   P 2 ; y = const

f 1  0x belgisi

f 3  0z frontal

f 2 = f - frontal xususiyat

?
= 0

 = (f 2  P 1) belgilang

 = (f 2  P 3) chizmada

Guruch. 13. Old

R   P 3 ; x = const

R 1  0da belgisi

R 2  0z profil tekis

R 3 =  R – profil xususiyati

Streyt
 = 0


?
= (R 3  P 1) belgilang

 = (R 3  P 2) chizmada

Guruch. 14. Profil tekis

A P 1

A 2  0X belgisi

A 3  0da

?
=

b P 2

b 1  0X belgisi

b 3  0z

?
=

c P 3

c 1  0da belgisi

Bilan 2  0z

?
=

3 TO'G'RI NOKTANING MANOSLIGI
T teorema: Agar fazodagi nuqta chiziqqa tegishli bo'lsa, diagrammada bu nuqtaning proyeksiyalari chiziqning bir xil proyeksiyalarida joylashgan (18-rasm):

M  AB,

E AB.
Yarmarka qarama-qarshi teorema :

M 1  A 1 B 1 ;

M 2  A 2 B 2  M AB.

4 IZ TO'g'ridan-to'g'ri
BILAN
?
muz – bu proyeksiya tekisligi bilan to'g'ri chiziq bilan kesishgan nuqta (19-rasm). Iz proyeksiya tekisliklaridan biriga tegishli bo'lgani uchun uning koordinatalaridan biri nolga teng bo'lishi kerak.

belgilang H = k ∩ P 1 - gorizontal iz

chizma (19-rasm) F = k ∩ P 2 - frontal iz

?
P =k ∩ P 3 - profil izi

Izlarni qurish qoidasi:

To'g'ri chiziqning gorizontal izini qurish uchun..... frontal proyeksiyani bajarish kerak..... to'g'ri chiziq..... o'q bilan kesishguncha davom eting. X, keyin o'q bilan kesishgan nuqtadan X unga perpendikulyarni tiklang va to'g'ri chiziqning gorizontal..... proyeksiyasini shu perpendikulyar bilan kesishguncha...... davom eting.

Frontal iz xuddi shunday tarzda qurilgan.

5 BERILGAN MUNOSABATDA CHIZIQ SEGMENTINING BO'LISHI
Parallel proyeksiyaning xossalaridan ma'lumki, agar nuqta chiziq kesimini ma'lum nisbatda bo'lsa, u holda bu nuqtaning proyeksiyalari chiziqning bir xil proyeksiyalarini bir xil nisbatda ajratadi.

Shuning uchun diagrammadagi ma'lum bir segmentni ma'lum nisbatda bo'lish uchun uning proyeksiyalarini bir xil nisbatda bo'lish kerak.

Ushbu shartni bilib, siz nuqta tegishli yoki yo'qligini aniqlashingiz mumkin TO Streyt AB : A 2 TO 2 : TO 2 IN 2 ¹ A 1 TO 1 : TO 1 IN 1 Þ TO Ï AB

Misol: Chiziqni ajratish uchun AB nuqtadan 2:3 nisbatda A 1 ixtiyoriy segmentni chizamiz A 1 IN 0 1 besh teng qismga bo'lingan (20-rasm): A 1 K 0 1 = 2 qism, K 0 1 B 0 1 = 3 qism, A 1 TO 0 1 :TO 0 1 IN 0 1 =2: 3

Nuqtani ulang IN 0 1 nuqta bilan IN 1 va nuqtadan chizish TO 0 1 to'g'ri parallel ( IN 1 IN 0 1) nuqtaning proyeksiyasini olamiz TO 1 . Thales teoremasiga ko'ra (agar burchakning bir tomoniga teng segmentlar yotqizilgan bo'lsa va ularning uchlari orqali boshqa tomonini kesib o'tadigan parallel chiziqlar o'tkazilsa, boshqa tomoniga teng segmentlar yotqiziladi) A 1 TO 1: TO 1 IN 1 = = 2: 3, keyin topamiz TO 2. Shunday qilib, nuqta proyeksiyalari TO segmentning bir xil proyeksiyalarini ajrating AB shu munosabat bilan, shuning uchun nuqta TO segmentni ajratadi AB 2: 3 nisbatda.

6 TOʻGʻRI SEGMANT VA BURCHAKLARNING UZINLIGINI ANIQLASH.

TO'G'RI TO'G'RILANISH PROEKTSION TASIZLIKLARIGA
Segment uzunligi AB to‘g‘ri burchakli uchburchakdan aniqlash mumkin ABC ,qaerda A BILAN  = A 1 B 1 ,  CB  = DZ, burchak a- segmentning tekislikka moyillik burchagi P 1 . Buning uchun diagrammada (21-rasm) nuqtadan B 1 segmentni 90  burchak ostida chizish B 1 B 1 0 = DZ, hosil bo'lgan segment A 1 B 1 0 va segmentning tabiiy qiymati bo'ladi AB , va burchak B 1 A 1 B 1 0 = α . Ko'rib chiqilgan usul usul deb ataladi to'g'ri uchburchak . Biroq, barcha konstruktsiyalarni uchburchakning aylanishi sifatida tushuntirish mumkin ABC yon atrofida AC tekislikka parallel bo'lguncha P 1 , bu holda uchburchak proyeksiya tekisligiga buzilishsiz proyeksiyalanadi. Aniqlash uchun b- segmentning tekislikka moyillik burchagi P 2 konstruksiyalar o'xshash (22-rasm). Faqat uchburchakda ABC tomoni  Quyosh  = DU uchburchak esa tekislik bilan tekislanadi P 2 .

? Chiziqning proyeksiyalarini belgilang va

a burchagini aniqlang.

Chiziqning proyeksiyalarini belgilang va

a burchagini aniqlang.

Chiziqning proyeksiyalarini belgilang va

b burchagini aniqlang.

7 TO'G'RILARNING O'ZBARLIK POZİSYONI
Kosmosdagi chiziqlar kesishishi, kesishishi va parallel bo'lishi mumkin.

1. Kesishuvchi chiziqlar - bular bir tekislikda yotadigan va umumiy nuqtaga ega bo'lgan chiziqlar (a ∩ b = K).

Teorema: Agar to'g'ri chiziqlar fazoda kesishsa, ularning bir xil nomdagi proyeksiyalari chizmada kesishadi (23-rasm).

T bir xil nomdagi proyeksiyalarning kesishish nuqtasi o'qga bir xil perpendikulyarda joylashgan X (TO 1 TO 2  O X).

TO = a ∩ b  TO  a; TO  b  TO 1 = a 1 ∩ b 1 ;

TO 2 = a 2 ∩ b 2 .
Qarama-qarshi teorema ham to'g'ri:

Agar TO 1  A 1 ; TO 2  b 2, keyin

TO 1 = A 1 ∩ b 1 ;

TO 2 = A 2 ∩ b 2  TO = A ∩ b.
2. Chiziqlarni kesib o'tish - bular bir tekislikda yotmaydigan va umumiy nuqtaga ega bo'lmagan to'g'ri chiziqlardir (24-rasm).

Juft nuqtalar 1 Va 2 , gorizontal proyeksiyalovchi chiziqda yotganlar gorizontal raqobatlashuvchi deyiladi va nuqtalar. 3 Va 4 - oldingi raqobatbardosh. Diagrammadagi ko'rinish ulardan aniqlanadi.

P gorizontal raqobatlashuvchi nuqtalar haqida 1 Va 2 P 1 ga nisbatan ko'rinish aniqlanadi. Nuqta 1 kuzatuvchining ko'ziga yaqinroq bo'lsa, u P 1 tekisligida ko'rinadi. 1 nuqtadan boshlab m, keyin tekis m to'g'ri chiziqdan balandroq bo'ladi n.

Samolyotga nisbatan qaysi chiziq ko'rinadi P 2 ?
3. Parallel chiziqlar - bular bir tekislikda yotadigan va noto'g'ri umumiy nuqtaga ega bo'lgan chiziqlar.

Teorema:

E Agar chiziqlar fazoda parallel bo'lsa, unda ularning bir xil nomdagi proyeksiyalari chizmada parallel bo'ladi (25-rasm).

Agar k  m  k 1 m 1 , k 2 m 2 , k 3 m 3
Qarama-qarshi teorema to'g'ri:

Agar k 1 m 1 ; k 2 m 2  k  m
3-sonli ma’ruza
Samolyot

1. Chizmada tekislikni belgilash usullari. Samolyot izlari. 2. Tekislikning proyeksiya tekisliklariga nisbatan joylashishi. 3. Nuqta va to‘g‘ri tekislikning tegishliligi. 4. Samolyotning asosiy (maxsus) chiziqlari.
1 CHIZMADA SAVOLOTNI O'RNATISH YO'LLARI.

IZ SAVOLASI

Samolyot- butun uzunligi bo'ylab egrilik va sinishi bo'lmagan barcha yo'nalishlarda cheksiz boshqariladigan sirt.

Chizmadagi tekislikni ko'rsatish mumkin:

1. 
   Bir chiziqda yotmaydigan uchta nuqta - P (A, B, C) , guruch. 26.
2. 
   To'g'ri chiziq va bu chiziqda yotmagan nuqta - P (m, A; A m) , guruch. 27.

   Guruch. 29-rasm. o'ttiz
   Izlar yordamida tekislikni belgilash

   Izlash samolyoti – tekislikning proyeksiya tekisligi bilan kesishish chizig‘i (31-rasm).

   Gorizontal trek P tekislikning proyeksiyalarning gorizontal tekisligi bilan kesishishi orqali olinadi (P P1 = P ∩ P 1).

   P P2 = P ∩ P 2 - frontal iz ;

   R P3 = P ∩ P 3 - profil izi ;

   R x, R y, R z – yo'qolgan nuqtalar .

   

10.1 Ikki burchakli burchak. Samolyotlar orasidagi burchak

Ikkita kesishuvchi chiziq ikki juft vertikal burchak hosil qiladi. Tekislikdagi ikkita kesishuvchi chiziq juft vertikal burchak hosil qilganidek (89-rasm, a), fazoda kesishuvchi ikkita tekislik ikkita juft vertikal ikki burchakli burchak hosil qiladi (89-rasm, b).

Guruch. 89

Ikki burchakli burchak umumiy chegara toʻgʻri chiziqqa ega boʻlgan va bir tekislikda yotmaydigan ikkita yarim tekislikdan tashkil topgan figuraga aytiladi (90-rasm). Yarim tekisliklarning o'zi dihedral burchakning yuzlari deb ataladi va ularning umumiy chegara to'g'ri chizig'i uning qirrasi deb ataladi.

Guruch. 90

Ikki burchakli burchaklar quyidagicha o'lchanadi.

Yuzlari a va b bo'lgan ikki burchakli burchakning p chetidagi O nuqtani olaylik.O nuqtadan yuzlaridagi p chetiga perpendikulyar a va b nurlarni chizamiz: a - a yuzida va b - yuzida b (91-rasm). , a).

Guruch. 91

Tomonlari a, b bo'lgan burchak chiziqli ikki burchakli burchak deyiladi.

Chiziqli burchakning kattaligi dihedral burchakning chetida uning cho'qqisini tanlashga bog'liq emas.

Haqiqatan ham, p chekkaning yana bir O 1 nuqtasini olib, a va b yuzlariga a 1 ⊥ p va b 1 ⊥ p nurlarni chizamiz (91-rasm, b).

a rayda OA segmentini, a 1 nurida O 1 A 1 segmentini OA segmentiga teng, b nurda OB segmentini va b 1 nurida O 1 B 1 segmentini chizamiz. OB (91-rasm, c).

OAA 1 O 1 va 0BB 1 0 1 to'rtburchaklarda AA 1 va BB 1 tomonlari ularning umumiy tomoni OO 1 ga teng va unga parallel. Shuning uchun AA 1 = BB 1 va AA 1 || BB 1.

Binobarin, ABV 1 A 1 to‘rtburchak parallelogrammdir (91-rasm, d), bu AB = A 1 B 1 degan ma’noni anglatadi. Demak, ABO va A 1 B 1 O 1 uchburchaklar teng (uch tomondan) va ab burchagi a 1 b 1 burchakka teng.

Endi biz quyidagi ta'rifni berishimiz mumkin: ikki burchakli burchakning kattaligi uning chiziqli burchagining kattaligi.

Kesishuvchi tekisliklar orasidagi burchak ular hosil qilgan dihedral burchaklarning kichigining kattaligidir. Agar bu burchak 90 ° bo'lsa, u holda tekisliklar o'zaro perpendikulyar deyiladi. Parallel tekisliklar orasidagi burchak 0° deb qabul qilinadi.

a va b tekisliklar orasidagi burchak, shuningdek a va b yuzli ikki burchakli burchakning qiymati ∠ab bilan belgilanadi.

Ko'pburchakning umumiy chetiga ega bo'lgan yuzlari orasidagi burchak bu yuzlarga mos keladigan ikki tomonlama burchakning qiymatidir.

10.2 O'zaro perpendikulyar tekisliklarning xossalari

Mulk 1. Ikki o'zaro perpendikulyar tekislikning birida yotgan va ularning umumiy to'g'ri chizig'iga perpendikulyar bo'lgan to'g'ri chiziq ikkinchi tekislikka perpendikulyar.

Isbot. a va b tekisliklar o'zaro perpendikulyar bo'lsin va c to'g'ri chiziq bo'ylab kesishsin. a to'g'ri chiziq a va a ⊥ s tekislikda yotsin (92-rasm). a chiziq c qandaydir O nuqtada kesishadi. O nuqta orqali b tekislikda c chiziqqa perpendikulyar b chiziq o'tkazamiz. Chunki a ⊥ b, keyin a ⊥ b. a ⊥ b va a ⊥ c bo'lgani uchun, u holda chiziq va tekislikning perpendikulyarligiga asoslangan a ⊥ b.

Guruch. 92

Ikkinchi xususiyat birinchi xususiyatning aksidir.

Mulk 2. Ikki o'zaro perpendikulyar tekisliklardan biri bilan umumiy nuqtasi bo'lgan va boshqa tekislikka perpendikulyar bo'lgan to'g'ri chiziq ularning birinchisida yotadi.

Isbot. a va b tekisliklar o'zaro perpendikulyar bo'lsin va c to'g'ri chiziq bo'ylab kesishsin, a ⊥ b va a to'g'ri chiziq a bilan umumiy A nuqtaga ega bo'lsin (93-rasm). A nuqta orqali a tekislikda c to'g'ri chiziqqa perpendikulyar p to'g'ri chiziq o'tkazamiz. 1 p ⊥ b xususiyatiga ko'ra. a va p chiziqlar A nuqtadan o'tadi va b tekislikka perpendikulyar. Shuning uchun ular bir-biriga mos keladi, chunki ma'lum bir tekislikka perpendikulyar nuqtadan faqat bitta to'g'ri chiziq o'tadi. P to'g'ri chiziq a tekislikda joylashganligi sababli, a to'g'ri chiziq a tekislikda yotadi.

Guruch. 93

2 xossaning oqibati chiziq va tekislikning quyidagi perpendikulyarlik belgisidir: agar uchinchi tekislikka perpendikulyar ikkita tekislik kesishsa, ularning kesishish chizig'i uchinchi tekislikka perpendikulyar bo'ladi.

Isbot. a to'g'ri chiziq bo'ylab kesishuvchi ikkita a va b tekislik g tekislikka perpendikulyar bo'lsin (94-rasm). Keyin a chiziqning istalgan nuqtasi orqali g tekislikka perpendikulyar chiziq o'tkazamiz. 2-xususiyatga ko'ra, bu chiziq a tekislikda ham, b tekislikda ham yotadi, ya'ni a chiziqqa to'g'ri keladi. Shunday qilib, a ⊥ g.

Guruch. 94

10.3 Tekisliklarning perpendikulyarligi belgisi

Keling, amaliy misollardan boshlaylik. Eshikning polga perpendikulyar bo'lgan jambga osilgan tekisligi eshikning istalgan holatida pol tekisligiga perpendikulyar bo'ladi (95-rasm). Ular tekis sirt (devor, panjara va boshqalar) vertikal ravishda o'rnatilganligini tekshirmoqchi bo'lganlarida, ular buni plumb chizig'i - yuk bilan arqon yordamida amalga oshiradilar. Plumb chizig'i har doim vertikal ravishda yo'naltiriladi va uning bo'ylab joylashgan plumb chizig'i chetga chiqmasa, devor vertikal holda turadi. Bu misollar bizga tekisliklar perpendikulyarligining quyidagi oddiy belgisini bildiradi: agar tekislik boshqa tekislikka perpendikulyar bo'lib o'tsa, bu tekisliklar o'zaro perpendikulyar bo'ladi.

Guruch. 95

Isbot. a tekislikda b tekislikka perpendikulyar a chiziq bo'lsin (92-rasmga qarang). U holda a to'g'ri chiziq b tekislikni qandaydir O nuqtada kesib o'tadi. O nuqta c chiziq bo'ylab a va b tekisliklar kesishadi. b tekislikda O nuqta orqali c chiziqqa perpendikulyar b chiziq o'tkazamiz. Chunki a ⊥ b, keyin a ⊥ b va a ⊥ c. Demak, kesishuvchi a va b tekisliklardan hosil bo'lgan ikki burchakli burchaklarning chiziqli burchaklari to'g'ri bo'ladi. Shuning uchun a va b tekisliklar o'zaro perpendikulyar.

E'tibor bering, hozir ko'rib chiqilayotgan uchta a, b va c to'g'ri chiziqning har ikkitasi (92-rasmga qarang) o'zaro perpendikulyar. Agar biz O nuqtadan o'tuvchi va bu uchta chiziqdan ikkitasiga perpendikulyar boshqa chiziq qursak, u uchinchi chiziqqa to'g'ri keladi. Bu fakt atrofimizdagi makonning uch o'lchovliligi haqida gapiradi: a, b va c chiziqlarining har biriga perpendikulyar to'rtinchi chiziq yo'q.

O'z-o'zini nazorat qilish uchun savollar

1. Dihedral burchak qanday hisoblanadi?
2. Samolyotlar orasidagi burchakni qanday hisoblash mumkin?
3. Qanday tekisliklar o'zaro perpendikulyar deyiladi?
4. O'zaro perpendikulyar tekisliklarning qanday xossalarini bilasiz?
5. Samolyotlar perpendikulyarligining qanday belgisini bilasiz?

Shakl haqidagi ma'lumotni ikkita chizilgan proyeksiya orqali etkazish mumkin bo'lmagan ko'plab qismlar mavjud. Qismning murakkab shakli haqidagi ma'lumot yetarli darajada to'liq taqdim etilishi uchun proyeksiya uchta o'zaro perpendikulyar proyeksiya tekisliklarida qo'llaniladi: frontal - V, gorizontal - H va profil - V .

Proyeksiya tekisliklari tizimi uchburchak burchak bo'lib, uning uchi nuqtada bo'ladi HAQIDA. Uchburchak burchak tekisliklarining kesishuvlari to'g'ri chiziqlarni hosil qiladi - proyeksiyalar o'qlari ( OX, OY, O.Z) (23-rasm).

Ob'ekt uchburchak burchakda shunday joylashtirilganki, uning shakllantiruvchi qirrasi va asosi mos ravishda frontal va gorizontal proyeksiya tekisliklariga parallel bo'ladi. Keyin proyeksiya nurlari ob'ektning barcha nuqtalari orqali, barcha uchta proyeksiya tekisligiga perpendikulyar o'tkaziladi, ularda ob'ektning frontal, gorizontal va profil proyeksiyalari olinadi. Proyeksiyadan so'ng ob'ekt uchburchak burchakdan chiqariladi, so'ngra gorizontal va profil proyeksiyasi tekisliklari o'qlar atrofida mos ravishda 90 ° ga aylantiriladi. OH Va O.Z frontal proyeksiya tekisligi bilan tekislangunga qadar va uchta proyeksiyani o'z ichiga olgan qismning chizmasi olinmaguncha.

Guruch. 23. O'zaro perpendikulyar uchta proyeksiya

proyeksiya tekisliklari

Chizmaning uchta proyeksiyasi bir-biri bilan o'zaro bog'langan. Frontal va gorizontal proyeksiyalar tasvirlarning proyeksiya aloqasini saqlab qoladi, ya'ni frontal va gorizontal, frontal va profil, shuningdek gorizontal va profil proyeksiyalari o'rtasida proyeksiya aloqalari o'rnatiladi (23-rasmga qarang). Proyeksiya chiziqlari chizilgan maydondagi har bir proyeksiyaning joylashishini belgilaydi.

Dunyoning ko'pgina mamlakatlarida shartli ravishda "Amerika" deb ataladigan uchta o'zaro perpendikulyar proyeksiya tekisligiga to'rtburchaklar proyeksiya qilishning yana bir tizimi qabul qilingan.Uning asosiy farqi shundaki, uchburchak burchak kosmosda proyeksiya qilinayotgan ob'ektga nisbatan boshqacha joylashgan. va tekisliklar boshqa yo'nalishdagi proyeksiyalarda ochiladi. Shuning uchun gorizontal proyeksiya frontaldan yuqorida, profil proyeksiyasi esa frontaldan o'ngda ko'rinadi.

Ko'pgina jismlarning shakli turli geometrik jismlar yoki ularning qismlari birikmasidir. Shuning uchun chizmalarni o'qish va bajarish uchun geometrik jismlar uchta proyeksiya tizimida qanday tasvirlanganligini bilish kerak.

Ko'rinish tushunchasi

Bilasizmi, frontal, gorizontal va profil proyeksiyalari proyeksiya chizmasining tasvirlaridir. Ob'ektning tashqi ko'rinadigan yuzasining proyeksiya tasvirlari ko'rinishlar deb ataladi.

Ko'rinish- Bu kuzatuvchiga qaragan ob'ektning ko'rinadigan yuzasining tasviri.

Asosiy turlari. Standart kub ichiga joylashtirilgan ob'ektni proyeksiyalashda olinadigan oltita asosiy ko'rinishni o'rnatadi, ularning oltita yuzi proyeksiya tekisliklari sifatida olinadi (24-rasm). Ob'ektni bu yuzlarga proyeksiya qilib, ular proyeksiyalarning frontal tekisligiga to'g'ri kelguncha buriladi (25-rasm).

Guruch. 24. Asosiy ko'rinishlarni olish

Old korinish(asosiy ko'rinish) frontal proyeksiya joyiga joylashtiriladi. Tepadan ko'rinish gorizontal proyeksiya joyiga (asosiy ko'rinish ostida) joylashtirilgan. Chap ko'rinish profil proektsiyasi joyida joylashgan (asosiy ko'rinishning o'ng tomonida). Ko'rinish o'ngda asosiy ko'rinishning chap tomonida joylashgan. Pastki ko'rinish asosiy ko'rinishdan yuqorida joylashgan. Orqa ko'rinish chap ko'rinishning o'ng tomoniga joylashtirilgan.

Guruch. 25. Asosiy turlari

Asosiy ko'rinishlar, shuningdek, proyeksiyalar proyeksiya munosabatida joylashgan. Chizmadagi ko'rinishlar soni minimal, lekin tasvirlangan ob'ekt shaklini to'g'ri ko'rsatish uchun etarli bo'lishi uchun tanlangan. Ko'rinishlarda, agar kerak bo'lsa, ob'ekt sirtining ko'rinmas qismlarini kesilgan chiziqlar yordamida ko'rsatishga ruxsat beriladi (26-rasm).

Asosiy ko'rinishda element haqida eng ko'p ma'lumot bo'lishi kerak. Shuning uchun, uning ko'rinadigan yuzasi eng ko'p shakl elementlari bilan proyeksiyalanishi uchun qism proyeksiyalarning frontal tekisligiga nisbatan joylashtirilishi kerak. Bundan tashqari, asosiy ko'rinish shaklning xususiyatlari haqida aniq tasavvurga ega bo'lishi kerak, uning silueti, sirt egri chizig'i, chetlari, chuqurchalari, teshiklari tasvirlangan mahsulot shaklini tezda tanib olishni ta'minlaydi.