Vektorlarning nuqta mahsuloti. Vektorlarning nuqta ko'paytmasi Koordinata ko'rinishidagi vektorlar ustida amallar

Bu test o‘quvchilar bilimini oraliq, umumlashtiruvchi yoki yakuniy nazorat qilish uchun darslarda qo‘llanilishi mumkin. Sinov to'g'ri ishlashi uchun siz xavfsizlik darajasini past darajaga o'rnatishingiz kerak (xizmat-makro-xavfsizlik)

Yuklab oling:

Ko‘rib chiqish:

Taqdimotni oldindan ko‘rishdan foydalanish uchun Google hisobini yarating va unga kiring: https://accounts.google.com

Slayd sarlavhalari:

1-variant 2-variant PowerPoint MKOU "Pogorelskaya o'rta maktabi" da testlarni yaratish uchun shablondan foydalanilgan Koshcheev M.M.

Test natijasi To'g'ri: 14 Xato: 0 Belgisi: 5 Vaqt: 3 min. 29 sek. hali ham tuzat

Variant 1 b) 360° a) 180° c) 246° d) 274° e) 454°

1-variant c) 22 a) -22 b) 0 d) 8 d) 1

1-variant e) 5 d) 0 a) 7

1-variant b) o'tmas e) mavjud emas, chunki ularning kelib chiqishi mos kelmaydi c) 0 ° d) o'tkir a) to'g'ri

1-variant b) 10,5 d) hech qanday holatda a) -10,5

1-variant a) -10,5 b) 10,5 d) hech qanday holatda

1-variant e) 0 b) aniqlash mumkin emas a) -6 d) 4 c) 6

1-variant b) 28 e) aniqlash mumkin emas a) 70 d) -45,5 c) 91

1-variant 9. Uchburchakning ikki tomoni 16 va 5 ga teng, ular orasidagi burchak esa 120°. Uchinchi tomon uzunligi ko'rsatilgan oraliqlarning qaysi biriga tegishli? d) e) (19; 31] a) (0; 7 ] b) (7; 11] c) a) (0; 7 ] b) (7; 11] d)

1-variant 13. ABC uchburchagi atrofida aylana radiusi 0,5 ga teng. B burchak sinusining AC tomoni uzunligiga nisbatini toping. e) 1 c) 1,3 a) 0,5 d) 2

1-variant 14. ABC uchburchakda BC va AB tomonlarning uzunliklari mos ravishda 5 va 7 ga teng va

2-variant c) 360° a) 180° b) 246° d) 274° e) 454°

2-variant e) 22 a) -22 b) 0 d) 8 c) 4

2-variant a) 10 d) 17 e) 15

2-variant c) 0 ° ga teng e) mavjud emas, chunki ularning kelib chiqishi bir-biriga to'g'ri kelmaydi c) o'tkir d) o'tkir a) to'g'ri

2-variant b) 10,5 d) hech qanday holatda a) -10,5

Variant 2 a) - 10,5 d) hech qanday holatda c) 10,5

2-variant d) 0 b) aniqlash mumkin emas a) -6 d) 4 c) 6

2-variant a) 70 e) aniqlash mumkin emas b) 28 d) -45,5 c) 91

2-variant 9. Uchburchakning ikki tomoni 12 va 7 ga teng, ular orasidagi burchak 60°. Uchinchi tomon uzunligi ko'rsatilgan oraliqlarning qaysi biriga tegishli? e) (7; 11) d) (19; 31] a) (0; 7 ] b) c) e) (19; 31] c)

2-variant 13. ABC uchburchak atrofida aylana radiusi 2 ga teng. B burchak sinusining AC tomoni uzunligiga nisbatini toping. a) 0,25 c) 1,3 d) 1 d) 2

2-variant 14. ABC uchburchakda AC va AB tomonlarning uzunliklari mos ravishda 9 va 7 ga teng va

Test kalitlari: “Vektorlarning skalyar mahsuloti. Uchburchak teoremalari". 1-variant 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Javob. b c d b c a d b d a c c d d 2-variant 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Javob. c d a c d b d a d c a a g Adabiyot L.I. Zvavich, E, V. Potoskuev Geometriyadan testlar 9-sinf darslik uchun L.S. Atanasyan va boshqalar M.: "Imtihon" nashriyoti, 2013 - 128 b.

Javoblarni avtomatlashtirilgan tekshirishga ega ushbu testdan talabalar bilimini oraliq, umumiy yoki yakuniy nazorat qilish uchun darslarda foydalanish mumkin. Sinov to'g'ri ishlashi uchun siz xavfsizlik darajasini past darajaga o'rnatishingiz kerak (xizmat-makro-xavfsizlik).

Yuklab oling:

Ko‘rib chiqish:

https://accounts.google.com

Slayd sarlavhalari:

Variant 1 PowerPoint-da testlarni yaratish uchun shablon MKOU "Pogorelskaya o'rta maktabi" Koshcheev M.M.

1-variant b) to‘mtoq a) o‘tkir c) to‘g‘ri

1-variant c) nolga teng a) noldan katta b) noldan kichik

Variant 1 b) -½∙a² c) ½∙a²

1-variant 4. D ABC – tetraedr, AB=BC=AC=A D=BD=CD. Keyin bu haqiqat emas ...

1-variant 5. Qaysi gap to‘g‘ri?

1-variant b) a ₁ b ₁ + a ₂ b ₂ + a ₃ b ₃ c) a ₁ b ₂ b ₃ + b ₁ a ₂ b ₃ + b ₁ a ₂ b ₃ + b ₁ b ₂ a ₃ a) a ₁₁a₂+ ₃

Variant 1 b) - a² a) 0 c) a²

Variant 1 a) a b) o

Variant 1

1-variant a) 7 c) -7 b) -9

1-variant b) -4 a) 4 c) 2

Variant 1 b) 120° a) 90° c) 60°

1-variant c) 0,7 a) -0,7 b) 1 13. Nuqtalarning koordinatalari berilgan: A(1; -1; -4) , B (-3; -1; 0) , C(-1; 2 ; 5) , D(2; -3; 1) . U holda AB va CD chiziqlar orasidagi burchakning kosinusu ...... ga teng bo'ladi.

1-variant c) 4

Ko‘rib chiqish:

Taqdimotni oldindan ko‘rishdan foydalanish uchun Google hisobini yarating va unga kiring: https://accounts.google.com

Slayd sarlavhalari:

Variant 2 PowerPoint-da testlarni yaratish uchun shablon MKOU "Pogorelskaya o'rta maktabi" Koshcheev M.M.

Test natijasi To'g'ri: 14 Xato: 0 Belgisi: 5 Vaqt: 1 min. 40 sek. hali ham tuzat

2-variant a) o‘tkir b) o‘tmas v) to‘g‘ri

2-variant a) noldan katta c) nolga teng b) noldan kichik

2-variant b) -½∙a² a) ½∙a²

Variant 2 4. ABCA ₁V₁S₁ – prizma,

2-variant 5. Qaysi gap to‘g‘ri?

Variant 2 a) m ₁ n ₁ + m ₂ n ₂ + m ₃ n ₃ c) m ₁ m ₂ m ₃ + n ₁ n ₂ n ₃ b) (n ₁- 2 m ₂ (n ₁- m ₂) (₂) )² + (n ₃- m ₃)²

2-variant c) - a² a) 0 b) a²

Variant 2 a) o c) a²

Variant 2

2-variant b) 3 c) -3 a) 19

2-variant a) - 0,5 b) -1 c) 0,5

2-variant b) 6 0° a) 90° c) 12 0°

2-variant a) 0,7 c) -0,7 b) 1 13. Nuqtalarning koordinatalari berilgan: C(3 ; - 2 ; 1) , D(- 1 ; 2 ; 1) , M(2 ; -3 ; 3 ) , N(-1 ; 1 ; -2) . U holda CD va MN chiziqlar orasidagi burchakning kosinusu ...... ga teng bo'ladi.

2-variant c) 4

Sinov kalitlari: Vektorlarning nuqta mahsuloti. 1-variant 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Javob. b c b c a b a c a b b c b Adabiyot G.I. Kovaleva, N.I. Mazurova Geometriya 10-11 sinflar. Joriy va umumiy nazorat uchun testlar. "O'qituvchi" nashriyoti, 2009 yil. 2-variant 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Javob. a a b b b a c a c b a b a b

Variant 1.

Variant 2.

e) Bu burchak o'tkir, to'g'ri yoki to'mtoq (javobingizni asoslang)?

Variant 1.

1. A(1; 3), B(4; 7), C(-1; -1), D(7; 5), Q(x; 3) nuqtalari berilgan.

a) AB va CD vektorlarining koordinatalarini toping.

b) AB va CD vektorlarining uzunliklarini toping.

c) AB va CD vektorlarining skalyar ko'paytmasini toping.

d) AB va CD vektorlari orasidagi burchakning kosinusini toping.

e) Bu burchak o'tkir, to'g'ri yoki to'mtoq (javobingizni asoslang)?

f) CB va DQ vektorlari x ning qanday qiymatida perpendikulyar bo'ladi?

2. ABC teng yonli uchburchakda B burchak to‘g‘ri burchak, AC = 2√2, VD uchburchakning medianasi. BD AC, BD BC, BD BD vektorlarining skalyar ko'paytmalarini hisoblang.

Variant 2.

1. Berilgan M(2; 3), P(-2; 0), O(0; 0), K(-5; -12), R(4; y).

a) MR va OK vektorlarining koordinatalarini toping.

b) MR va OK vektorlarining uzunliklarini toping.

v) MR va OK vektorlarining skalyar ko‘paytmasini toping.

d) MR va OK vektorlari orasidagi burchakning kosinusini toping.

e) Bu burchak o'tkir, to'g'ri yoki to'mtoq (javobingizni asoslang)?

f) y ning qanday qiymatida PK va MR vektorlari perpendikulyar bo'ladi?

2. Teng yonli MNR uchburchakda NK bissektrisa, MN = 2. NK MR, NK NR, RM RM vektorlarining skalyar ko‘paytmalarini hisoblang.

Variant 1.

1. A(1; 3), B(4; 7), C(-1; -1), D(7; 5), Q(x; 3) nuqtalari berilgan.

a) AB va CD vektorlarining koordinatalarini toping.

b) AB va CD vektorlarining uzunliklarini toping.

c) AB va CD vektorlarining skalyar ko'paytmasini toping.

d) AB va CD vektorlari orasidagi burchakning kosinusini toping.

e) Bu burchak o'tkir, to'g'ri yoki to'mtoq (javobingizni asoslang)?

f) CB va DQ vektorlari x ning qanday qiymatida perpendikulyar bo'ladi?

2. ABC teng yonli uchburchakda B burchak to‘g‘ri burchak, AC = 2√2, VD uchburchakning medianasi. BD AC, BD BC, BD BD vektorlarining skalyar ko'paytmalarini hisoblang.

Variant 2.

1. Berilgan M(2; 3), P(-2; 0), O(0; 0), K(-5; -12), R(4; y).

a) MR va OK vektorlarining koordinatalarini toping.

b) MR va OK vektorlarining uzunliklarini toping.

v) MR va OK vektorlarining skalyar ko‘paytmasini toping.

d) MR va OK vektorlari orasidagi burchakning kosinusini toping.

e) Bu burchak o'tkir, to'g'ri yoki to'mtoq (javobingizni asoslang)?

f) y ning qanday qiymatida PK va MR vektorlari perpendikulyar bo'ladi?

2. Teng yonli MNR uchburchakda NK bissektrisa, MN = 2. NK MR, NK NR, RM RM vektorlarining skalyar ko‘paytmalarini hisoblang.

Kompyuter bo'yicha malaka oshirishni xohlaysizmi?

Slideshare nashriyot xizmati sizga Power Point taqdimotlarini, matnli hujjatlarni, PDF fayllar(50 MB) flesh formatda. IN ta'lim faoliyati Ushbu xizmatdan talabalar va o'qituvchilar portfelini yaratish uchun ham, taqdimotlarni odatiy namoyish qilish va dizayn ishlarini loyihalash uchun ham foydalanish mumkin.

Yangi maqolalarni o'qing

Agar siz o'qituvchi bo'lsangiz, unda, albatta, siz hayron bo'ldingiz: ishingiz quvonch va qoniqish olib kelishi uchun qanday kitoblarni o'qish kerak? Hech shubha yo'qki, endi siz Internetda ushbu masala bo'yicha juda ko'p ma'lumotlarni topishingiz mumkin. Ammo bunday xilma-xillikni tushunish juda qiyin. Va qaysi kitoblar sizga yordam berishini aniqlash juda ko'p vaqtni oladi. Ushbu maqolada siz har bir o'qituvchi qanday kitoblarni o'qishi kerakligi haqida bilib olasiz.

Materialning ravshanligi bolalarni rag'batlantiradi boshlang'ich maktab qarorga tarbiyaviy vazifa va mavzuga qiziqishni saqlab qoladi. Shunday ekan, o‘qitishning eng samarali usullaridan biri kartalardan foydalanish hisoblanadi. Kartochkalar har qanday fanni o'qitishda, shu jumladan to'garaklar va darsdan tashqari mashg'ulotlarda ishlatilishi mumkin. Misol uchun, sabzavot va mevalar bilan bir xil kartalar matematika darslarida hisoblashni o'rgatish va tabiat dunyosi haqidagi darslarda yovvoyi va bog 'o'simliklari mavzusini o'rganish uchun mos keladi.

Nuqta mahsuloti a  b nolga teng bo'lmagan ikkita vektor a Va b bu vektorlarning uzunliklari va ular orasidagi burchakning kosinuslari hosilasiga teng sondir. Agar ushbu vektorlardan kamida bittasi nolga teng bo'lsa, skalyar ko'paytma nolga teng bo'ladi. Shunday qilib, ta'rifga ko'ra bizda mavjud

bu yerda  - vektorlar orasidagi burchak a Va b .

Vektorlarning nuqta mahsuloti a , b belgilar bilan ham ko'rsatilgan ab .

Skayar mahsulotning belgisi  qiymati bilan aniqlanadi:

agar 0    bo'lsa Bu a  b  0,

agar    , keyin a  b  0.

Nuqta mahsuloti faqat ikkita vektor uchun aniqlanadi.

Koordinata shaklidagi vektorlar ustida amallar

Koordinatalar tizimiga kiritilsin Ohoo vektorlar berilgan a = (x 1 ; y 1) = x 1 i + y 1 j Va b = (x 2 ; y 2) = x 2 i + y 2 j .

1. Ikki (yoki undan ortiq) vektor yig'indisining har bir koordinatasi komponent vektorlarining mos keladigan koordinatalarining yig'indisiga teng, ya'ni. a + b = = (x 1 + x 2 ; y 1 + y 2).

2. Ikki vektor ayirmasining har bir koordinatasi ushbu vektorlarning mos keladigan koordinatalarining farqiga teng, ya'ni. a – b = (x 1 – x 2 ; y 1 – y 2).

3. Vektorning  songa ko‘paytmasining har bir koordinatasi ushbu vektorning tegishli koordinatasini  ga ko‘paytmasiga, ya’ni  ga teng. A = ( X 1 ;  da 1).

4. Ikki vektorning skalyar mahsuloti ushbu vektorlarning mos keladigan koordinatalari ko'paytmalari yig'indisiga teng, ya'ni. a  b = x 1  x 2 + + y 1  y 2 .

Natija. Vektor uzunligi A = (x; y) uning koordinatalari kvadratlari yig'indisining kvadrat ildiziga teng, ya'ni.

=
(5)

4-misol. Vektorlar berilgan
b = 3i – j .

Majburiy:

1. Toping

2. Vektorlarning skalyar ko‘paytmasini toping Bilan , d .

3. Vektor uzunligini toping Bilan .

Yechim

1. 3-xususiyatdan foydalanib, 2-vektorlarning koordinatalarini topamiz A , –A , 3b , 2b : 2A = = 2(–2; 3) = (–4; 6), –A = –(–2; 3) = (2; –3), 3b = 3(3; –1) = (9; –3), 2b = = 2(3; –1) = = (6; –2).

2, 1 xossalardan foydalanib vektorlarning koordinatalarini topamiz Bilan , d : Bilan = 2a – 3b = = (–4; 6) – (9; –3) = (–13; 9), d = –a + 2b = (2; –3) + (6; –2) = (8; –5).

2. Mulk bo'yicha 4 cd = –13  8 + 9  (–5) = –104 – 45 = –149.

3. 4-mulkning natijasi bo‘yicha | Bilan | =
=
.

Test 3 . Vektor koordinatalarini aniqlang A + b , Agar A = (–3; 4), b = = (5; –2):

Test 4. Vektor koordinatalarini aniqlang A – b , Agar A = (2; –1), b = = (3; –4):

Test 5 . 3-vektorning koordinatalarini toping A , Agar A = (2; –1):

Test 6 . Nuqta mahsulotini toping a , b vektorlar A = (1; –4), b = (–2; 3):

Test 7 . Vektor uzunligini toping A = (–12; 5):

3)
;

Test topshiriqlariga javoblar

1.3. Kosmosdagi analitik geometriya elementlari

Fazodagi toʻgʻri burchakli koordinatalar sistemasi bir xil nuqtada kesishuvchi (0 boshlangʻich) va yoʻnalishga ega boʻlgan uchta oʻzaro perpendikulyar koordinata oʻqlaridan hamda har bir oʻq boʻylab masshtab birligidan iborat (17-rasm).

17-rasm

Nuqta pozitsiyasi M tekislikda yagona uchta raqam - uning koordinatalari bilan aniqlanadi M(X T ; da T ; z T), Qayerda X T- abtsissa, da T- ordinata, z T- ariza berish.

Ularning har biri nuqtadan masofani beradi M nuqta shu tekislikning qaysi tomonida joylashganligini hisobga oluvchi belgi bilan koordinata tekisliklaridan biriga: u uchinchi o'qning musbat yoki manfiy yo'nalishi bo'yicha olinadimi.

Uchta koordinatali tekislik fazoni 8 qismga (oktanta) ajratadi.

Ikki nuqta orasidagi masofa A(X A ; da A ; z A) Va B(X IN ; da IN ; z IN) formula bo'yicha hisoblanadi

Ballar berilsin A(X 1 ; da 1 ; z 1) va B(X 2 ; da 2 ; z 2). Keyin nuqtaning koordinatalari BILAN(X; da; z), segmentni bo'lish
 munosabati bilan quyidagi formulalar bilan ifodalanadi:

1-misol . Masofani toping AB, Agar A(3; 2; –10) va IN(–1; 4; –5).

Yechim

Masofa AB formula bo'yicha hisoblanadi

Koordinatalari uchta o'zgaruvchili tenglamani qanoatlantiradigan barcha nuqtalar to'plami ma'lum bir sirtni tashkil qiladi.

Koordinatalari ikkita tenglamani qanoatlantiradigan nuqtalar to'plami ma'lum bir chiziqni - mos keladigan ikkita sirtning kesishish chizig'ini tashkil qiladi.

Birinchi darajali har bir tenglama tekislikni ifodalaydi va aksincha, har bir tekislik birinchi darajali tenglamalar bilan ifodalanishi mumkin.

Variantlar A, B, C - tekislikka perpendikulyar normal vektorning koordinatalari, ya'ni. n = (A; B; C).

O'qlarda kesilgan segmentlardagi tekislik tenglamasi: a- eksa bo'ylab OX, b- eksa bo'ylab OY, Bilan- eksa bo'ylab O.Z:

Ikkita samolyot berilsin A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + + D 2 = 0.

Parallel tekisliklar uchun shart:
.

Samolyotlarning perpendikulyar bo'lish sharti:

Samolyotlar orasidagi burchak quyidagi formula bilan aniqlanadi:

Samolyot nuqtalardan o'tib ketsin M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1), M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2), M 3 (x 3 ; y 3 ; z 3).

Keyin uning tenglamasi quyidagicha ko'rinadi:

Nuqtadan masofa M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) tekislikka Ax + tomonidan + Cz + D= 0 formula bo'yicha topiladi

Test 1. Samolyot
nuqtadan o'tadi:

1) A(–1; 6; 3);

2) B(3; –2; –5);

3) C(0; 4; –1);

4) D(2; 0; 5).

Test 2 . Tekislik tenglamasi OXY quyidagi:

1) z = 0;

2) x = 0;

3) y = 0.

2-misol . Tekislikka parallel tekislik tenglamasini yozing OXY va nuqtadan o'tish (2; –5; 3).

Yechim

Samolyot tekislikka parallel bo'lgani uchun OXY, uning tenglamasi shaklga ega Cz + D= 0 (vektor  = (0; 0; BILAN)  OHY).

Tekislik (2; –5; 3) nuqtadan o'tganligi sababli C  3 + D= 0 yoki boshqa D = –3C.

Shunday qilib, CZ – 3C= 0. beri BILAN≠ 0, keyin z – 3 = 0.

Javob: z – 3 = 0.

Test 3 . Koordinata boshi orqali o'tuvchi va vektorga perpendikulyar (3; –1; –4) tekislik tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega:

Test 4 . Eksa bo'ylab kesilgan segmentning o'lchami OY samolyot
teng:

3-misol . Samolyot tenglamasini yozing:

1. Parallel tekislik
va nuqtadan o'tish A(2; 0; –1).

2. Tekislikka perpendikulyar
va nuqtadan o'tish B(0; 2; 0).

Yechim

Shaklda tekis tenglamalarni qidiramiz A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0.

1. Samolyotlar parallel bo'lgani uchun
Bu yerdan A= 3t,B= –t,C= 2t, Qayerda tR. Mayli t= 1. Keyin A = 3, B = –1, C= 2. Demak, tenglama shaklni oladi
Nuqta koordinatalari A, tekislikka tegishli, tenglamani haqiqiy tenglikka aylantiring. Demak, 32 – 10 + 2(–1) + D= 0. Kimdan D= 4.

Javob:

2. Tekisliklar perpendikulyar bo'lgani uchun 3  A – 1  B + 2  C = 0.

Uchta o'zgaruvchi, lekin bitta tenglama bo'lganligi sababli, ikkita o'zgaruvchi bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lmagan ixtiyoriy qiymatlarni oladi. Mayli A = 1, B= 3. Keyin C= 0. Tenglama bo'ladi
D= –6.