Tasodifiy miqdor taqsimot funksiyasi bilan beriladi; doimiyni toping. Uzluksiz tasodifiy miqdorni kutish

Tasodifiy o'zgaruvchilar

2.1-misol. Tasodifiy qiymat X taqsimlash funksiyasi bilan berilgan

Sinov natijasida yuzaga kelish ehtimolini toping X(2,5; 3,6) oraliqdagi qiymatlarni oladi.

Yechim: X oraliqda (2,5; 3,6) ikki usulda aniqlanishi mumkin:

2.2-misol. Qaysi parametr qiymatlarida A Va IN funktsiyasi F(x) = A + Be - x manfiy bo'lmagan qiymatlar uchun taqsimlash funktsiyasi bo'lishi mumkin tasodifiy o'zgaruvchi X.

Yechim: Tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari uchun X ga tegishli bo'lsa, u holda funksiya uchun taqsimot funksiyasi bo'lishi uchun X, mulk qanoatlantirilishi kerak:

.

Javob: .

2.3-misol. X tasodifiy o'zgaruvchisi taqsimot funktsiyasi bilan belgilanadi

To'rtta mustaqil test natijasida qiymatni topish ehtimolini toping X aniq 3 marta intervalga tegishli qiymatni oladi (0,25;0,75).

Yechim: Qiymatga erishish ehtimoli X oraliqda (0,25;0,75) formuladan foydalanib topamiz:

2.4-misol. To'pning savatga bir zarbasi bilan tegish ehtimoli 0,3 ga teng. Uchta otish bilan urishlar soni uchun taqsimot qonunini tuzing.

Yechim: Tasodifiy qiymat X– savatdagi uchta zarba bilan urishlar soni – quyidagi qiymatlarni olishi mumkin: 0, 1, 2, 3. Ehtimollar X

X:

2.5-misol. Ikkita otuvchining har biri nishonga bittadan o‘q uzadi. Birinchi otishmaning uni urish ehtimoli 0,5, ikkinchisi - 0,4. Nishonga zarbalar soni uchun tarqatish qonunini tuzing.

Yechim: Diskret tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonuni topilsin X- nishonga zarbalar soni. Hodisa nishonga birinchi otgan otishma bo'lsin va ikkinchi otuvchi nishonga tegsin va mos ravishda ularni o'tkazib yuborsin.

SV ning ehtimollik taqsimoti qonunini tuzamiz X:

2.6-misol. Bir-biridan mustaqil ravishda ishlaydigan uchta element sinovdan o'tkaziladi. Elementlarning uzluksiz ishlash muddati (soatlarda) taqsimlash zichligi funktsiyasiga ega: birinchisi uchun: F 1 (t) =1-e- 0,1 t, ikkinchisi uchun: F 2 (t) = 1-e- 0,2 t, uchinchisi uchun: F 3 (t) =1-e- 0,3 t. 0 dan 5 soatgacha bo'lgan vaqt oralig'ida: faqat bitta elementning ishdan chiqishi ehtimolini toping; faqat ikkita element muvaffaqiyatsiz bo'ladi; barcha uch element muvaffaqiyatsiz bo'ladi.

Yechim: Keling, ehtimollik hosil qiluvchi funktsiyaning ta'rifidan foydalanamiz:

Mustaqil sinovlarda bo'lish ehtimoli, birinchisida voqea sodir bo'lish ehtimoli A ga teng, ikkinchisida va hokazo hodisa A ning vakolatlarida hosil qiluvchi funktsiyani kengaytirishdagi koeffitsientga teng, aynan bir marta paydo bo'ladi. 0 dan 5 soatgacha bo'lgan vaqt oralig'ida mos ravishda birinchi, ikkinchi va uchinchi elementlarning ishdan chiqishi va ishlamay qolish ehtimolini topamiz:

Keling, ishlab chiqaruvchi funktsiyani yarataylik:

at koeffitsienti voqea sodir bo'lish ehtimoliga teng A aniq uch marta paydo bo'ladi, ya'ni barcha uch elementning ishdan chiqishi ehtimoli; at koeffitsienti aynan ikkita elementning ishdan chiqishi ehtimoliga teng; at koeffitsienti faqat bitta elementning ishdan chiqishi ehtimoliga teng.

2.7-misol. Ehtimollik zichligini hisobga olgan holda f(x) tasodifiy o'zgaruvchi X:

F(x) taqsimot funksiyasini toping.

Yechim: Biz formuladan foydalanamiz:

.

Shunday qilib, tarqatish funktsiyasi quyidagicha ko'rinadi:

2.8-misol. Qurilma uchta mustaqil ishlaydigan elementdan iborat. Har bir elementning bitta tajribada ishdan chiqish ehtimoli 0,1 ga teng. Bitta tajribadagi muvaffaqiyatsiz elementlar sonining taqsimot qonunini tuzing.

Yechim: Tasodifiy qiymat X- bitta tajribada muvaffaqiyatsizlikka uchragan elementlar soni - quyidagi qiymatlarni olishi mumkin: 0, 1, 2, 3. Ehtimollar X bu qiymatlarni qabul qilsak, biz Bernulli formulasidan foydalanib topamiz:

Shunday qilib, biz tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimotining quyidagi qonunini olamiz X:

2.9-misol. 6 qismdan iborat to'plamda 4 ta standart mavjud. Tasodifiy 3 qism tanlandi. Tanlanganlar orasida standart qismlar soni uchun taqsimlash qonunini tuzing.

Yechim: Tasodifiy qiymat X– tanlanganlar orasida standart qismlar soni – quyidagi qiymatlarni qabul qilishi mumkin: 1, 2, 3 va gipergeometrik taqsimotga ega. Ehtimollar X

Qayerda -- partiyadagi qismlar soni;

-- partiyadagi standart qismlar soni;

– tanlangan qismlar soni;

-- tanlanganlar orasida standart qismlar soni.

.

.

.

2.10-misol. Tasodifiy miqdor taqsimot zichligiga ega

va ma'lum emas, lekin , a va . Toping va.

Yechim: IN Ushbu holatda tasodifiy qiymat X oraliqda uchburchak taqsimotiga ega (Simpson taqsimoti) [ a, b]. Raqamli xarakteristikalar X:

Demak, . Qaror qabul qilish bu tizim, biz ikkita juft qiymatni olamiz: . Muammoning shartlariga ko'ra, biz nihoyat: .

Javob: .

2.11-misol. Shartnomalarning o'rtacha 10% su'gurta kompaniyasi sug'urta hodisasi yuz berganligi munosabati bilan sug'urta summalarini to'laydi. Tasodifiy tanlangan to'rtta shartnomalar orasida bunday shartnomalar sonining matematik kutilishi va tarqalishini hisoblang.

Yechim: Matematik kutish va dispersiyani quyidagi formulalar yordamida topish mumkin:

.

SV ning mumkin bo'lgan qiymatlari (sug'urta hodisasi sodir bo'lgan shartnomalar soni (to'rttadan)): 0, 1, 2, 3, 4.

Ehtimollarni hisoblash uchun Bernulli formulasidan foydalanamiz turli raqamlar sug'urta summalari to'langan shartnomalar (to'rttadan):

.

IC tarqatish seriyasi (sug'urta hodisasi sodir bo'lgan shartnomalar soni) quyidagi shaklga ega:

	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Javob: , .

2.12-misol. Beshta atirgulning ikkitasi oq rangda. Bir vaqtning o'zida olingan ikkita oq atirgullar sonini ifodalovchi tasodifiy miqdorni taqsimlash qonunini tuzing.

Yechim: Ikkita atirgulning tanlovida oq atirgul bo'lmasligi yoki bitta yoki ikkita oq atirgul bo'lishi mumkin. Shuning uchun tasodifiy o'zgaruvchi X qiymatlarni qabul qilishi mumkin: 0, 1, 2. Ehtimollar X bu qiymatlarni qabul qilsak, uni formuladan foydalanib topamiz:

Qayerda -- atirgullar soni;

-- oq atirgullar soni;

– bir vaqtning o'zida olingan atirgullar soni;

-- olinganlar orasida oq atirgullar soni.

.

.

.

U holda tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni quyidagicha bo'ladi:

2.13-misol. 15 ta yig'ilgan birlikdan 6 tasi qo'shimcha moylashni talab qiladi. Umumiy sondan tasodifiy tanlangan beshtadan qo'shimcha moylash kerak bo'lgan birliklar soni uchun taqsimlash qonunini tuzing.

Yechim: Tasodifiy qiymat X- tanlangan beshta orasida qo'shimcha moylashni talab qiladigan birliklar soni - quyidagi qiymatlarni olishi mumkin: 0, 1, 2, 3, 4, 5 va gipergeometrik taqsimotga ega. Ehtimollar X bu qiymatlarni qabul qilsak, uni formuladan foydalanib topamiz:

Qayerda -- yig'ilgan birliklar soni;

-- qo'shimcha moylashni talab qiladigan birliklar soni;

– tanlangan birliklar soni;

-- tanlanganlar orasida qo'shimcha moylashni talab qiladigan birliklar soni.

.

.

.

.

.

U holda tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni quyidagicha bo'ladi:

2.14-misol. Ta'mirlash uchun olingan 10 ta soatdan 7 tasi mexanizmni umumiy tozalashni talab qiladi. Soatlar ta'mirlash turi bo'yicha tartiblanmagan. Tozalash kerak bo'lgan soatlarni topmoqchi bo'lgan usta ularni birma-bir tekshiradi va bunday soatlarni topib, keyingi ko'rishni to'xtatadi. Tomosha qilingan soatlar sonining matematik kutilishi va dispersiyasini toping.

Yechim: Tasodifiy qiymat X– tanlangan beshtadan qo‘shimcha moylash kerak bo‘lgan birliklar soni – quyidagi qiymatlarni olishi mumkin: 1, 2, 3, 4. Ehtimollar X bu qiymatlarni qabul qilsak, uni formuladan foydalanib topamiz:

.

.

.

.

U holda tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni quyidagicha bo'ladi:

Endi miqdorning raqamli xarakteristikalarini hisoblaymiz:

Javob: , .

2.15-misol. Abonent o'ziga kerak bo'lgan telefon raqamining oxirgi raqamini unutgan, lekin u g'alati ekanligini eslaydi. Agar u oxirgi raqamni tasodifiy tersa va keyinchalik terilgan raqamni termasa, kerakli raqamga yetguncha telefon raqamini necha marta terganligining matematik taxmini va farqini toping.

Yechim: Tasodifiy o'zgaruvchi quyidagi qiymatlarni qabul qilishi mumkin: . Abonent kelajakda terilgan raqamni termaganligi sababli, bu qiymatlarning ehtimoli teng.

Keling, tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot qatorini tuzamiz:

	0,2

Terishga urinishlar sonining matematik kutilishi va farqini hisoblaylik:

Javob: , .

2.16-misol. Seriyadagi har bir qurilma uchun ishonchlilik sinovlari paytida muvaffaqiyatsizlik ehtimoli teng p. Agar sinovdan o'tgan bo'lsa, muvaffaqiyatsiz bo'lgan qurilmalar sonining matematik kutilishini aniqlang N qurilmalar.

Yechim: Diskret tasodifiy o'zgaruvchi X - bu ishlamay qolgan qurilmalar soni N mustaqil testlar, ularning har birida muvaffaqiyatsizlik ehtimoli teng p, binomial qonun bo'yicha taqsimlanadi. Kutilgan qiymat binomial taqsimot sinovlar soni va bitta sinovda sodir bo'ladigan hodisa ehtimoli ko'paytmasiga teng:

2.17-misol. Diskret tasodifiy o'zgaruvchi X 3 ta mumkin bo'lgan qiymatni oladi: ehtimollik bilan ; ehtimollik bilan va ehtimollik bilan. va ni topib, M( X) = 8.

Yechim: Biz matematik kutishning ta'riflaridan va diskret tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot qonunidan foydalanamiz:

Biz topamiz: .

2.18-misol. Texnik nazorat bo'limi mahsulotlarning standartligini tekshiradi. Mahsulotning standart bo'lish ehtimoli 0,9 ga teng. Har bir partiyada 5 ta mahsulot mavjud. Tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini toping X– har birida to‘liq 4 ta standart mahsulot bo‘lgan partiyalar soni, agar 50 ta partiya tekshirilishi kerak bo‘lsa.

Yechim: Bunday holda, o'tkazilgan barcha tajribalar mustaqildir va har bir partiyada to'liq 4 ta standart mahsulot bo'lishi ehtimoli bir xil, shuning uchun matematik taxminni quyidagi formula bilan aniqlash mumkin:

,

partiyalar soni qayerda;

To'plamda aniq 4 ta standart mahsulot mavjudligi ehtimoli.

Bernulli formulasidan foydalanib, ehtimollikni topamiz:

Javob: .

2.19-misol. Tasodifiy kattalikning dispersiyasini toping X- voqea sodir bo'lgan holatlar soni A ikkita mustaqil sudda, agar ushbu sinovlarda hodisaning yuzaga kelish ehtimoli bir xil bo'lsa va ma'lum bo'lsa, M(X) = 0,9.

Yechim: Muammoni ikki yo'l bilan hal qilish mumkin.

1) SV ning mumkin bo'lgan qiymatlari X: 0, 1, 2. Bernulli formulasidan foydalanib, bu hodisalarning ehtimolini aniqlaymiz:

, , .

Keyin tarqatish qonuni X shaklga ega:

Matematik kutishning ta'rifidan biz ehtimollikni aniqlaymiz:

SV ning dispersiyasini topamiz X:

.

2) Siz formuladan foydalanishingiz mumkin:

.

Javob: .

2.20-misol. Oddiy taqsimlangan tasodifiy miqdorni kutish va standart og'ish X mos ravishda 20 va 5 ga teng. Sinov natijasida yuzaga kelish ehtimolini toping X(15; 25) oraliqdagi qiymatni oladi.

Yechim: Oddiy tasodifiy o'zgaruvchiga tegish ehtimoli X dan to kesimida Laplas funksiyasi orqali ifodalanadi:

2.21-misol. Berilgan funksiya:

Qaysi parametr qiymatida C bu funksiya ba'zi uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilarning taqsimlanish zichligi X? Tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va dispersiyasini toping X.

Yechim: Funktsiya ba'zi tasodifiy o'zgaruvchilarning taqsimlanish zichligi bo'lishi uchun u manfiy bo'lmasligi va u xususiyatni qondirishi kerak:

.

Demak:

Keling, quyidagi formula yordamida matematik kutilmani hisoblaylik:

.

Formula yordamida dispersiyani hisoblaymiz:

T teng p. Ushbu tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va dispersiyasini topish kerak.

Yechim: Diskret tasodifiy miqdor X ning taqsimot qonuni - mustaqil sinovlarda hodisaning sodir bo'lish soni, ularning har birida sodir bo'lish ehtimoli ga teng, binomial deyiladi. Binomiy taqsimotning matematik kutilishi sinovlar soni va bitta sinovda A hodisasining paydo bo'lish ehtimoli ko'paytmasiga teng:

.

2.25-misol. Nishonga uchta mustaqil o'q uziladi. Har bir zarbani urish ehtimoli 0,25 ga teng. Uchta zarba bilan urishlar sonining standart og'ishini aniqlang.

Yechim: Uchta mustaqil sinov o'tkazilganligi sababli va har bir sinovda A hodisasining (urilish) yuzaga kelish ehtimoli bir xil bo'lganligi sababli, biz X diskret tasodifiy o'zgaruvchisi - nishonga urishlar soni bo'yicha taqsimlanadi deb faraz qilamiz. binom qonuni.

Binomiya taqsimotining dispersiyasi sinovlar soni va bitta sinovda hodisaning yuzaga kelishi va sodir bo'lmasligi ehtimoli ko'paytmasiga teng:

2.26-misol. Sug'urta kompaniyasiga 10 daqiqada tashrif buyuradigan mijozlar soni o'rtacha uchta. Keyingi 5 daqiqada kamida bitta mijoz kelishi ehtimolini toping.

5 daqiqada kelgan mijozlarning o'rtacha soni: . .

2.29-misol. Protsessor navbatdagi ilovani kutish vaqti o'rtacha qiymati 20 soniya bo'lgan eksponensial taqsimot qonuniga bo'ysunadi. Keyingi (tasodifiy) so'rov protsessorda 35 soniyadan ko'proq kutish ehtimolini toping.

Yechim: Ushbu misolda, matematik kutish , va muvaffaqiyatsizlik darajasi ga teng.

Keyin kerakli ehtimollik:

2.30-misol. Har biri 10 o'rinli 20 qatordan iborat zalda 15 nafar talabalar guruhi yig'ilish o'tkazadi. Har bir talaba zalda tasodifiy joy oladi. Qatorning yettinchi o‘rinda uch kishidan ko‘p bo‘lmasligi ehtimoli qanday?

Yechim:

2.31-misol.

Keyin, ehtimollikning klassik ta'rifiga ko'ra:

Qayerda -- partiyadagi qismlar soni;

-- partiyadagi nostandart qismlar soni;

– tanlangan qismlar soni;

-- tanlanganlar orasida nostandart qismlar soni.

U holda tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni quyidagicha bo'ladi.

Tarqatish zichligi ehtimolliklar X funksiyani chaqiring f(x)– taqsimot funksiyasining birinchi hosilasi F(x):

Tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimot zichligi tushunchasi X Uchun diskret qiymat qo'llanilmaydigan, qo'llab bo'lmaydigan.

Ehtimollarni taqsimlash zichligi f(x)– differensial taqsimot funksiyasi deyiladi:

Mulk 1. Tarqatish zichligi manfiy bo'lmagan miqdordir:

Mulk 2. Noto'g'ri integral dan to oralig'idagi taqsimot zichligi birlikka teng:

1.25-misol. Uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi berilgan X:

f(x).

Yechim: Tarqatish zichligi taqsimot funktsiyasining birinchi hosilasiga teng:

1. Uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi berilgan X:

Tarqatish zichligini toping.

2. Uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi berilgan X:

Tarqatish zichligini toping f(x).

1.3. Uzluksiz tasodifiy sonli xarakteristikalar

miqdorlar

Kutilgan qiymat uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X, mumkin bo'lgan qiymatlari butun o'qga tegishli Oh, tenglik bilan aniqlanadi:

Integral mutlaq yaqinlashadi deb faraz qilinadi.

a,b), Bu:

f(x)– tasodifiy miqdorning taqsimlanish zichligi.

Dispersiya uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X, mumkin bo'lgan qiymatlari butun o'qga tegishli bo'lib, tenglik bilan aniqlanadi:

Maxsus holat. Agar tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari intervalga tegishli bo'lsa ( a,b), Bu:

Buning ehtimoli X intervalga tegishli qiymatlarni oladi ( a,b), tenglik bilan aniqlanadi:

.

1.26-misol. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X

Matematik kutilma, dispersiya va tasodifiy o'zgaruvchiga tegish ehtimolini toping X oraliqda (0;0,7).

Yechim: Tasodifiy miqdor (0,1) oraliqda taqsimlanadi. Uzluksiz tasodifiy miqdorning tarqalish zichligini aniqlaymiz X:

a) Matematik kutish :

b) Farqlanish

V)

uchun vazifalar mustaqil ish:

1. Tasodifiy o'zgaruvchi X taqsimlash funktsiyasi bilan berilgan:

M(x);

b) dispersiya D(x);

X oraliqda (2,3).

2. Tasodifiy o'zgaruvchi X

Toping: a) matematik kutish M(x);

b) dispersiya D(x);

c) tasodifiy o'zgaruvchining urilish ehtimolini aniqlash X oraliqda (1;1,5).

3. Tasodifiy o‘zgaruvchi X kumulyativ taqsimot funksiyasi bilan ifodalanadi:

Toping: a) matematik kutish M(x);

b) dispersiya D(x);

c) tasodifiy o'zgaruvchining urilish ehtimolini aniqlash X oraliqda

1.4. Uzluksiz tasodifiy miqdorni taqsimlash qonunlari

1.4.1. Yagona taqsimlash

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X segmentida bir xil taqsimotga ega [ a,b], agar ushbu segmentda tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimot zichligi doimiy bo'lsa va uning tashqarisida u nolga teng bo'lsa, ya'ni:

Guruch. 4.

; ; .

1.27-misol. Muayyan marshrutdagi avtobus 5 daqiqalik interval bilan bir tekis harakatlanadi. Bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorning ehtimolini toping X- avtobusni kutish vaqti 3 daqiqadan kam bo'ladi.

Yechim: Tasodifiy qiymat X– intervalda bir xilda taqsimlangan.

Ehtimollik zichligi: .

Kutish vaqti 3 daqiqadan oshmasligi uchun yo'lovchi oldingi avtobus jo'nab ketganidan keyin 2-5 minut ichida bekatda paydo bo'lishi kerak, ya'ni. tasodifiy qiymat X(2;5) oralig'iga tushishi kerak. Bu. kerakli ehtimollik:

Mustaqil ish uchun vazifalar:

1. a) tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini toping X(2;8) oraliqda bir xilda taqsimlangan;

b) tasodifiy miqdorning dispersiyasi va standart chetlanishini toping X,(2;8) oraliqda bir tekis taqsimlangan.

2. Elektr soatining daqiqa ko'rsatkichi har bir daqiqa oxirida keskin harakat qiladi. Ma'lum bir daqiqada soat haqiqiy vaqtdan 20 soniyadan ko'p bo'lmagan farq qiladigan vaqtni ko'rsatishi ehtimolligini toping.

1.4.2. Eksponensial taqsimot

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X eksponensial qonun bo'yicha taqsimlanadi, agar uning ehtimollik zichligi quyidagi shaklga ega bo'lsa:

ko'rsatkichli taqsimotning parametri qayerda.

Shunday qilib

Guruch. 5.

Raqamli xususiyatlar:

1.28-misol. Tasodifiy qiymat X- lampochkaning ish vaqti - eksponensial taqsimotga ega. O'rtacha ish vaqti 400 soat bo'lsa, lampochkaning ish vaqti kamida 600 soat bo'lishi ehtimolini aniqlang.

Yechim: Muammoning shartlariga ko'ra, tasodifiy miqdorning matematik kutilishi X 400 soatga teng, shuning uchun:

;

Kerakli ehtimollik, bu erda

Nihoyat:

Mustaqil ish uchun vazifalar:

1. Parametr bo'lsa, ko'rsatkich qonunining zichlik va taqsimot funksiyasini yozing.

2. Tasodifiy o'zgaruvchi X

Kattalikning matematik kutilishi va dispersiyasini toping X.

3. Tasodifiy o‘zgaruvchi X ehtimollik taqsimoti funksiyasi bilan ifodalanadi:

Tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va standart og'ishini toping.

1.4.3. Oddiy taqsimot

Oddiy uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimoti deyiladi X, uning zichligi quyidagi shaklga ega:

Qayerda A– matematik kutish, – standart og‘ish X.

Buning ehtimoli X intervalga tegishli qiymatni oladi:

, Qayerda

- Laplas funktsiyasi.

Buning uchun tarqatish; , ya'ni. ehtimollik zichligi bilan standart deb ataladi.

Guruch. 6.

Mutlaq qiymatni rad etish ehtimoli kamroq ijobiy raqam :

.

Xususan, qachon a= 0 tenglik to'g'ri:

1.29-misol. Tasodifiy qiymat X normal taqsimlangan. Standart og'ish. Tasodifiy miqdorning mutlaq qiymatdagi matematik kutilmasidan chetlanishi 0,3 dan kichik bo‘lish ehtimolini toping.

Yechim: .

Mustaqil ish uchun vazifalar:

1. Ehtimollar zichligini yozing normal taqsimot tasodifiy o'zgaruvchi X, buni bilish M(x)= 3, D(x)= 16.

2. Oddiy taqsimlangan tasodifiy miqdorni kutish va standart og'ish X mos ravishda 20 va 5 ga teng. Sinov natijasida yuzaga kelish ehtimolini toping X(15;20) oraliqdagi qiymatni oladi.

3. Tasodifiy o'lchash xatolar standart og'ish mm va matematik kutish bilan normal qonunga bo'ysunadi. a= 0. 3 ta mustaqil o‘lchovdan kamida bittasining xatosi absolyut qiymatda 4 mm dan oshmasligi ehtimolini toping.

4. Muayyan moddaning tarozida tizimli xatolarsiz tortiladi. Tasodifiy tortish xatoliklari standart og'ish r bo'lgan normal qonunga bo'ysunadi.Mutlaq qiymatda tortishish 10 g dan oshmaydigan xato bilan amalga oshirilishi ehtimolini toping.

1-bob. Diskret tasodifiy o'zgaruvchi

§ 1. Tasodifiy miqdor tushunchalari.

Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni.

Ta'rif : Tasodifiy - bu sinov natijasida oldindan noma'lum bo'lgan va tasodifiy sabablarga ko'ra o'zining mumkin bo'lgan qiymatlari to'plamidan faqat bitta qiymatni oladigan miqdor.

Tasodifiy o'zgaruvchilarning ikki turi mavjud: diskret va uzluksiz.

Ta'rif : X tasodifiy o'zgaruvchisi deyiladi diskret (uzluksiz) agar uning qiymatlari to'plami chekli yoki cheksiz bo'lsa, lekin sanash mumkin.

Boshqacha qilib aytganda, diskret tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlarini qayta raqamlash mumkin.

Tasodifiy o'zgaruvchini uning taqsimot qonuni yordamida tasvirlash mumkin.

Ta'rif : Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari va ularning ehtimolliklari o'rtasidagi yozishmalarni chaqiring.

Diskret tasodifiy X ning taqsimot qonuni jadval ko'rinishida ko'rsatilishi mumkin, uning birinchi qatorida tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari o'sish tartibida, ikkinchi qatorda esa ularning mos keladigan ehtimolliklari ko'rsatilgan. qadriyatlar, ya'ni.

bu yerda r1+ r2+…+ rn=1

Bunday jadval diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qatori deb ataladi.

Agar tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari to'plami cheksiz bo'lsa, u holda p1+ p2+…+ pn+… qatori yaqinlashadi va uning yig'indisi 1 ga teng bo'ladi.

Diskret tasodifiy X ning taqsimlanish qonunini grafik tarzda tasvirlash mumkin, buning uchun to'rtburchaklar koordinatalar tizimida nuqtalarni ketma-ket bog'lovchi (xi; pi), i=1,2,…n siniq chiziq quriladi. Olingan chiziq chaqiriladi tarqatish poligoni (1-rasm).

Organik kimyo" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">organik kimyo mos ravishda 0,7 va 0,8. X tasodifiy o'zgaruvchisi - talaba topshiradigan imtihonlar soni uchun taqsimot qonunini tuzing.

Yechim. Imtihon natijasida ko'rib chiqilayotgan X tasodifiy o'zgaruvchisi quyidagi qiymatlardan birini qabul qilishi mumkin: x1=0, x2=1, x3=2.

Bu qiymatlarning ehtimoli topilsin.Hodisalarni belgilaymiz:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" eni="259" balandligi="66 src=">

Shunday qilib, X tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni jadval bilan berilgan:

Nazorat: 0,6+0,38+0,56=1.

§ 2. Tarqatish funksiyasi

Tasodifiy o'zgaruvchining to'liq tavsifi taqsimot funktsiyasi orqali ham beriladi.

Ta'rif: Diskret tasodifiy miqdor X ning taqsimot funksiyasi Har bir x qiymati uchun X tasodifiy o'zgaruvchisi x dan kichik qiymat olish ehtimolini aniqlaydigan F(x) funksiyasi deyiladi:

F(x)=P(X<х)

Geometrik jihatdan taqsimot funksiyasi X tasodifiy o‘zgaruvchining sonlar chizig‘ida x nuqtadan chap tomonda joylashgan nuqta bilan ifodalangan qiymatni olish ehtimoli sifatida talqin qilinadi.

1)0≤ F(x) ≤1;

2) F(x) (-∞;+∞) da kamaymaydigan funksiya;

3) F(x) - x= xi (i=1,2,...n) nuqtalarda chapda uzluksiz va qolgan barcha nuqtalarda uzluksiz;

4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,

F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.

Diskret tasodifiy X ning taqsimot qonuni jadval shaklida berilgan bo'lsa:

u holda F(x) taqsimot funksiyasi quyidagi formula bilan aniqlanadi:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">

x≤ x1 uchun 0,

r1 x1 da< х≤ x2,

F(x)= x2 da r1 + r2< х≤ х3

x> xn uchun 1.

Uning grafigi 2-rasmda ko'rsatilgan:

§ 3. Diskret tasodifiy miqdorning sonli xarakteristikalari.

Muhim raqamli xarakteristikalardan biri bu matematik kutishdir.

Ta'rif: Matematik kutish M(X) diskret tasodifiy o'zgaruvchi X - bu uning barcha qiymatlari va ularga mos keladigan ehtimolliklarning mahsuloti yig'indisi:

M(X) = ∑ xiri= x1r1 + x2r2+…+ xnrn

Matematik kutish tasodifiy miqdorning o'rtacha qiymatining xarakteristikasi bo'lib xizmat qiladi.

Matematik kutishning xususiyatlari:

1)M(C)=C, bu yerda C doimiy qiymat;

2)M(C X)=C M(X),

3)M(X±Y)=M(X) ±M(Y);

4)M(X Y)=M(X) M(Y), bunda X, Y mustaqil tasodifiy miqdorlar;

5)M(X±C)=M(X)±C, bunda C doimiy qiymat;

Diskret tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlarini uning o'rtacha qiymati atrofida tarqalish darajasini tavsiflash uchun dispersiya qo'llaniladi.

Ta'rif: Farqlanish D ( X ) X tasodifiy o'zgaruvchisi - bu tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilganidan kvadrat og'ishining matematik taxmini:

Dispersiya xususiyatlari:

1)D(C)=0, bu yerda C doimiy qiymat;

2)D(X)>0, bu yerda X tasodifiy miqdor;

3)D(C X)=C2 D(X), bu yerda C doimiy qiymat;

4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), bunda X, Y mustaqil tasodifiy miqdorlar;

Dispersiyani hisoblash uchun odatda formuladan foydalanish qulay:

D(X)=M(X2)-(M(X))2,

bu yerda M(X)=∑ xi2ri= x12r1 + x22r2+…+ xn2rn

D (X) dispersiya kvadrat tasodifiy o'zgaruvchining o'lchamiga ega, bu har doim ham qulay emas. Shuning uchun √D(X) qiymati tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlarining tarqalishining ko'rsatkichi sifatida ham ishlatiladi.

Ta'rif: Standart og'ish s(X) X tasodifiy o'zgaruvchisi dispersiyaning kvadrat ildizi deb ataladi:

Vazifa № 2. Diskret tasodifiy miqdor X taqsimot qonuni bilan belgilanadi:

P2 ni, F(x) taqsimot funksiyasini toping va uning grafigini, shuningdek M(X), D(X), s(X) ni chizing.

Yechim: X tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari ehtimoli yig'indisi 1 ga teng bo'lgani uchun, u holda

R2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1

F(x)=P(X) taqsimot funksiyasi topilsin

Geometrik jihatdan bu tenglikni quyidagicha talqin qilish mumkin: F(x) tasodifiy o‘zgaruvchining son o‘qida x nuqtaning chap tomonida joylashgan nuqta bilan ifodalangan qiymatni olish ehtimoli.

Agar x≤-1 bo'lsa, F(x)=0, chunki (-∞;x) da bu tasodifiy miqdorning yagona qiymati yo'q;

Agar -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1;

Agar 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток

(-∞;x) ikkita qiymat mavjud x1=-1 va x2=0;

Agar 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1;

Agar 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2;

Agar x>3 bo'lsa, F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0,1 +0,1 +0,3+0,2+0,3=1, chunki to'rtta qiymat x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 (-∞;x) va x5=3 oralig'iga tushadi.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> x≤-1 da 0,

-1 da 0,1<х≤0,

0 da 0,2<х≤1,

F(x)= 1 da 0,5<х≤2,

2 da 0,7<х≤3,

1 da x>3

F(x) funksiyani grafik tarzda tasvirlaymiz (3-rasm):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1.2845.

§ 4. Binomiy taqsimot qonuni

diskret tasodifiy miqdor, Puasson qonuni.

Ta'rif: binom diskret tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonuni deyiladi X - A hodisaning n ta mustaqil takroriy sinovda sodir bo'lish soni, ularning har birida A hodisasi p ehtimollik bilan sodir bo'lishi mumkin yoki q = 1-p ehtimollik bilan sodir bo'lmaydi. U holda P(X=m) - n ta sinovda A hodisasining aynan m marta yuz berish ehtimoli Bernulli formulasi yordamida hisoblanadi:

R(X=m)=Smnpmqn-m

Ikkilik qonun bo'yicha taqsimlangan X tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi, dispersiyasi va standart og'ishi mos ravishda quyidagi formulalar yordamida topiladi:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> Har bir sinovda A hodisasining ehtimoli - "beshtasini chiqarish" bir xil va 1/6 ga teng. , ya'ni P(A)=p=1/6, keyin P(A)=1-p=q=5/6, bu yerda

- "A" ni ololmaganlik.

X tasodifiy miqdor quyidagi qiymatlarni qabul qilishi mumkin: 0;1;2;3.

Bernulli formulasidan foydalanib, X ning har bir mumkin bo'lgan qiymatlarining ehtimolini topamiz:

R(X=0)=R3(0)=S03r0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216;

R(X=1)=R3(1)=S13r1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216;

R(X=2)=R3(2)=S23r2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216;

R(X=3)=R3(3)=S33r3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216.

Bu. X tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot qonuni quyidagi ko'rinishga ega:

Nazorat: 125/216+75/216+15/216+1/216=1.

X tasodifiy miqdorning sonli xarakteristikalari topilsin:

M(X)=np=3 (1/6)=1/2,

D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12,

Vazifa № 4. Avtomatik mashina qismlarga shtamp qo'yadi. Ishlab chiqarilgan qismning nuqsonli bo'lish ehtimoli 0,002 ga teng. 1000 ta tanlangan qismlar orasida quyidagilar bo'lish ehtimolini toping:

a) 5 ta nuqsonli;

b) kamida bittasi nuqsonli.

Yechim: n=1000 soni katta, nuqsonli qismni hosil qilish ehtimoli p=0,002 kichik va ko‘rib chiqilayotgan hodisalar (qism nuqsonli bo‘lib chiqadi) mustaqildir, shuning uchun Puasson formulasi amal qiladi:

Rn(m)= e- λ lm

l=np=1000 0,002=2 ni topamiz.

a) 5 ta nuqsonli qism bo‘lish ehtimolini toping (m=5):

R1000(5)= e-2 25 = 32 0,13534 = 0,0361

b) Kamida bitta nuqsonli qism bo'lish ehtimolini toping.

A hodisasi - "tanlangan qismlardan kamida bittasi nuqsonli" hodisaning aksi - "barcha tanlangan qismlar nuqsonli emas." Shuning uchun, P(A) = 1-P(). Demak, kerakli ehtimollik teng: P(A)=1-P1000(0)=1- e-2 20 = 1- e-2=1-0,13534≈0,865.

Mustaqil ish uchun topshiriqlar.

1.1

1.2. Dispers tasodifiy X kattaligi taqsimot qonuni bilan belgilanadi:

p4, taqsimot funksiyasi F(X) ni toping va uning grafigini, shuningdek M(X), D(X), s(X) ni chizing.

1.3. Qutida 9 ta marker bor, ulardan 2 tasi endi yozmaydi. Tasodifiy 3 ta markerni oling. Tasodifiy o'zgaruvchi X - olinganlar orasidagi yozuv belgilarining soni. Tasodifiy miqdorni taqsimlash qonunini tuzing.

1.4. Kutubxona javonida tasodifiy tartibda joylashtirilgan 6 ta darslik mavjud bo‘lib, ulardan 4 tasi bog‘langan. Kutubxonachi tasodifiy 4 ta darslikni oladi. Tasodifiy o'zgaruvchi X - olinganlar orasidagi bog'langan darsliklar soni. Tasodifiy miqdorni taqsimlash qonunini tuzing.

1.5. Chiptada ikkita vazifa bor. Birinchi masalani to'g'ri yechish ehtimoli 0,9 ga, ikkinchisi 0,7 ga teng. X tasodifiy o'zgaruvchisi - chiptadagi to'g'ri hal qilingan muammolar soni. Tarqatish qonunini tuzing, ushbu tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va dispersiyasini hisoblang, shuningdek F(x) taqsimot funksiyasini toping va uning grafigini tuzing.

1.6. Uchta otuvchi nishonga o‘q uzmoqda. Bir o'q bilan nishonga tegish ehtimoli birinchi otuvchi uchun 0,5, ikkinchisi uchun 0,8, uchinchisi uchun 0,7 ga teng. Tasodifiy o'zgaruvchi X - agar otishmalar bir vaqtning o'zida bittadan o'q uzsa, nishonga urishlar soni. M(X),D(X) taqsimot qonunini toping.

1.7. Basketbolchi to'pni savatga tashlaydi, har bir zarbani urish ehtimoli 0,8. Har bir zarba uchun u 10 ball oladi, agar u o'tkazib yuborsa, unga ochko berilmaydi. X tasodifiy o'zgaruvchisi uchun taqsimot qonunini tuzing - basketbolchining 3 zarbada olgan ballari soni. M(X),D(X), shuningdek, uning 10 balldan ortiq olish ehtimolini toping.

1.8. Kartochkalarga harflar yoziladi, jami 5 ta unli va 3 ta undosh. 3 ta karta tasodifiy tanlanadi va har safar olingan karta qaytariladi. Tasodifiy o'zgaruvchi X - olinganlar orasidagi unlilar soni. Tarqatish qonunini tuzing va M(X),D(X),s(X) toping.

1.9. O'rtacha 60% shartnoma bo'yicha sug'urta kompaniyasi sug'urta hodisasi yuz berganligi munosabati bilan sug'urta summalarini to'laydi. X tasodifiy o'zgaruvchisi uchun taqsimlash qonunini tuzing - tasodifiy tanlangan to'rtta shartnoma orasida sug'urta summasi to'langan shartnomalar soni. Bu miqdorning son xarakteristikalarini toping.

1.10. Radiostansiya ikki tomonlama aloqa o'rnatilgunga qadar ma'lum vaqt oralig'ida chaqiruv belgilarini (to'rttadan ko'p bo'lmagan) yuboradi. Qo'ng'iroq belgisiga javob olish ehtimoli 0,3 ga teng. Tasodifiy o'zgaruvchi X - yuborilgan qo'ng'iroq belgilari soni. Tarqatish qonunini tuzing va F(x) ni toping.

1.11. 3 ta kalit mavjud, ulardan faqat bittasi qulfga mos keladi. Agar sinab ko'rilgan kalit keyingi urinishlarda ishtirok etmasa, qulfni ochishga urinishlar soni X tasodifiy o'zgaruvchini taqsimlash qonunini tuzing. M(X),D(X) ni toping.

1.12. Ishonchliligi uchun uchta qurilmaning ketma-ket mustaqil sinovlari o'tkaziladi. Har bir keyingi qurilma, agar avvalgisi ishonchli bo'lsa, sinovdan o'tkaziladi. Har bir qurilma uchun testdan o'tish ehtimoli 0,9 ga teng. Tekshirilgan qurilmalarning X-sonli tasodifiy o'zgaruvchisi uchun taqsimot qonunini tuzing.

1.13 .X diskret tasodifiy o‘zgaruvchining uchta mumkin bo‘lgan qiymati bor: x1=1, x2, x3 va x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины.

1.14. Elektron qurilma blokida 100 ta bir xil elementlar mavjud. T vaqt davomida har bir elementning ishdan chiqish ehtimoli 0,002 ga teng. Elementlar mustaqil ishlaydi. T vaqt ichida ikkitadan ortiq elementning ishdan chiqishi ehtimolini toping.

1.15. Darslik 50 000 nusxada nashr etilgan. Darslikning noto'g'ri bog'langanligi ehtimoli 0,0002 ga teng. Aylanmada quyidagilar bo'lishi ehtimolini toping:

a) to'rtta nuqsonli kitob;

b) ikkitadan kam nuqsonli kitoblar.

1 .16. ATS ga har daqiqada keladigan qo'ng'iroqlar soni l=1,5 parametr bilan Puasson qonuni bo'yicha taqsimlanadi. Bir daqiqadan so'ng quyidagilar kelishi ehtimolini toping:

a) ikkita qo'ng'iroq;

b) kamida bitta qo'ng'iroq.

1.17.

Agar Z=3X+Y bo‘lsa, M(Z),D(Z) ni toping.

1.18. Ikki mustaqil tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonunlari berilgan:

Agar Z=X+2Y bo‘lsa, M(Z),D(Z) ni toping.

Javoblar:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1. p3=0,4; 0 da x≤-2,

-2 da 0,3<х≤0,

0 da F(x)= 0,5<х≤2,

2 da 0,9<х≤5,

1 da x>5

1.2. p4=0,1; 0 da x≤-1,

-1 da 0,3<х≤0,

0 da 0,4<х≤1,

F(x)= 1 da 0,6<х≤2,

2 da 0,7<х≤3,

1 da x>3

M(X)=1; D(X)=2,6; s(X) ≈1,612.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> x≤0 da 0,

0 da 0,03<х≤1,

F(x)= 1 da 0,37<х≤2,

x>2 uchun 1

M(X)=2; D(X)=0,62

M(X)=2,4; D(X)=0,48, P(X>10)=0,896

1. 8 .

M(X)=15/8; D(X)=45/64; s(X) ≈

M(X)=2,4; D(X)=0,96

https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.

M(X)=2; D(X)=2/3

1.14. 1,22 e-0,2≈0,999

1.15. a) 0,0189; b) 0,00049

1.16. a) 0,0702; b) 0,77687

1.17. 3,8; 14,2

1.18. 11,2; 4.

2-bob. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi

Ta'rif: Davomiy barcha mumkin bo'lgan qiymatlari son chizig'ining chekli yoki cheksiz oralig'ini to'liq to'ldiradigan miqdordir.

Shubhasiz, uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari soni cheksizdir.

Uzluksiz tasodifiy miqdorni taqsimlash funksiyasi yordamida aniqlash mumkin.

Ta'rif: F tarqatish funktsiyasi doimiy X tasodifiy o'zgaruvchisi F(x) funksiyasi deb ataladi, u har bir qiymat uchun xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13">ni aniqlaydi. R

Tarqatish funksiyasi ba'zan kümülatif taqsimot funktsiyasi deb ataladi.

Tarqatish funksiyasining xususiyatlari:

1)1≤ F(x) ≤1

2) Uzluksiz tasodifiy miqdor uchun taqsimot funktsiyasi har qanday nuqtada uzluksiz va hamma joyda differentsial bo'ladi, ehtimol alohida nuqtalardan tashqari.

3) X tasodifiy miqdorning (a;b), [a;b], [a;b] oraliqlaridan biriga tushish ehtimoli F(x) funksiya qiymatlari orasidagi farqga teng. a va b nuqtalarida, ya'ni. R(a)<Х

4) X uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining bitta alohida qiymat olishi ehtimoli 0 ga teng.

5) F(-∞)=0, F(+∞)=1

Tarqatish funksiyasi yordamida uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchini ko'rsatish yagona yo'l emas. Keling, ehtimollik taqsimot zichligi (tarqatish zichligi) tushunchasini kiritamiz.

Ta'rif : Ehtimollarni taqsimlash zichligi f ( x ) X uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasining hosilasi, ya'ni:

Ehtimollar zichligi funksiyasi ba'zan differentsial taqsimot funktsiyasi yoki differentsial taqsimot qonuni deb ataladi.

f(x) ehtimollik zichligi taqsimotining grafigi deyiladi ehtimollik taqsimoti egri chizig'i .

Ehtimollik zichligi taqsimotining xossalari:

1) f(x) ≥0, xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">DIV_ADBLOCK92">

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> +∞ 2 6 +∞ 6 6

∫ f(x)dx=∫ 0dx+ ∫ c(x-2)dx +∫ 0dx= c∫ (x-2)dx=c(x2/2-2x) =c(36/2-12-(4/) 2-4))=8s;

b) F(x)= ∫ f(x)dx ekanligi ma'lum

Shuning uchun, x

agar x≤2, u holda F(x)= ∫ 0dx=0;

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> 2 6 x 6 6

agar x>6 bo'lsa, F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(x-2)dx+∫ 0dx=1/8∫(x-2)dx=1/8(x2/2-2x) =

1/8(36/2-12-(4/2+4))=1/8 8=1.

Shunday qilib,

0 da x≤2,

F(x)= (x-2)2/16 da 2<х≤6,

x>6 uchun 1.

F(x) funksiyaning grafigi 3-rasmda keltirilgan

https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 da x≤0,

F(x)= (3 arktan x)/p 0 da<х≤√3,

x>√3 uchun 1.

f(x) differentsial taqsimot funksiyasini toping.

Yechim: f(x)= F’(x) ekan, u holda

DIV_ADBLOCK93">

· Matematik kutish M (X) uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X tenglik bilan aniqlanadi:

M(X)= ∫ x f(x)dx,

bu integral absolyut yaqinlashsa.

· Dispersiya D ( X ) uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X tenglik bilan aniqlanadi:

D(X)= ∫ (x-M(x)2) f(x)dx, yoki

D(X)= ∫ x2 f(x)dx - (M(x))2

· Standart og'ish s(X) uzluksiz tasodifiy miqdor tenglik bilan aniqlanadi:

Dispers tasodifiy o'zgaruvchilar uchun yuqorida muhokama qilingan matematik kutish va dispersiyaning barcha xossalari uzluksizlar uchun ham amal qiladi.

Vazifa № 3. X tasodifiy o'zgaruvchisi f(x) differentsial funktsiyasi bilan aniqlanadi:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2

X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞

D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 -

- (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38">

P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х =

4/6-1/6+1-2/3=5/6.

Mustaqil hal qilish uchun muammolar.

2.1. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X taqsimot funktsiyasi bilan belgilanadi:

0 da x≤0,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤ p/6 uchun 0,

F(x)= - p/6 da cos 3x<х≤ π/3,

x> p/3 uchun 1.

f(x) differensial taqsimot funksiyasini toping, shuningdek

R(2p /9<Х< π /2).

2.3.

0 da x≤2,

f(x)= c x 2 da<х≤4,

x>4 uchun 0.

2.4. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X taqsimot zichligi bilan belgilanadi:

0 da x≤0,

f(x)= 0 da c √x<х≤1,

x>1 uchun 0.

Toping: a) c raqami; b) M(X), D(X).

2.5.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> x da,

0 da x.

Toping: a) F(x) va uning grafigini tuzing; b) M(X),D(X), s(X); c) to'rtta mustaqil sinovda X ning qiymati (1;4) intervalga tegishli qiymatdan roppa-rosa 2 marta ko'p qabul qilish ehtimoli.

2.6. Uzluksiz tasodifiy X ning ehtimollik taqsimot zichligi berilgan:

f(x)= 2(x-2) x da,

0 da x.

Toping: a) F(x) va uning grafigini tuzing; b) M(X),D(X), s (X); c) uchta mustaqil sinovda X qiymati segmentga tegishli qiymatdan roppa-rosa 2 baravar ko'p olish ehtimoli.

2.7. f(x) funksiyasi quyidagicha berilgan:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2].

2.8. f(x) funksiyasi quyidagicha berilgan:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- p /4; p /4].

Toping: a) funktsiya ba'zi X tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligi bo'ladigan c doimiysining qiymati; b) taqsimot funksiyasi F(x).

2.9. (3;7) oraliqda konsentrlangan X tasodifiy miqdor F(x)= taqsimot funksiyasi bilan aniqlanadi. Buning ehtimolini toping

X tasodifiy o'zgaruvchisi quyidagi qiymatni oladi: a) 5 dan kam, b) 7 dan kam emas.

2.10. Tasodifiy o'zgaruvchi X, (-1;4) oraliqda jamlangan,

F(x)= taqsimot funksiyasi bilan berilgan. Buning ehtimolini toping

X tasodifiy o'zgaruvchisi quyidagi qiymatni oladi: a) 2 dan kam, b) 4 dan kam emas.

2.11.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">.

Toping: a) c raqami; b) M(X); c) ehtimollik P(X> M(X)).

2.12. Tasodifiy o'zgaruvchi differentsial taqsimot funktsiyasi bilan belgilanadi:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> .

Toping: a) M(X); b) ehtimollik P(X≤M(X))

2.13. Rem taqsimoti ehtimollik zichligi bilan berilgan:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> x ≥0 uchun.

f(x) haqiqatan ham ehtimol zichlik funksiyasi ekanligini isbotlang.

2.14. Uzluksiz tasodifiy X ning ehtimollik taqsimot zichligi berilgan:

DIV_ADBLOCK96">

https://pandia.ru/text/78/455/images/image055_3.jpg" width="187 height=136" height="136">(5-rasm)

2.16. X tasodifiy o'zgaruvchisi qonunga muvofiq taqsimlanadi " to'g'ri uchburchak"(0;4) oraliqda (5-rasm). Butun son chizig‘idagi f(x) ehtimollik zichligining analitik ifodasini toping.

Javoblar

0 da x≤0,

f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤ p/6 uchun 0,

p/6 da F(x)= 3sin 3x<х≤ π/3, Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на некотором интервале (а;b), которому принадлежат все возможные значения Х, если плотность распределения вероятностей f(x) постоянная на этом интервале и равна 0 вне его, т. е.

x≤a uchun 0,

a uchun f(x)=<х

x≥b uchun 0.

f(x) funksiyaning grafigi rasmda ko'rsatilgan. 1

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤a uchun 0,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, s(X)=.

Vazifa № 1. X tasodifiy o'zgaruvchisi segmentda bir xil taqsimlangan. Toping:

a) ehtimollikning taqsimot zichligi f(x) va uning grafigini tuzing;

b) taqsimot funksiyasi F(x) va uning grafigini;

c) M(X),D(X), s(X).

Yechim: Yuqorida ko'rib chiqilgan formulalardan foydalanib, a=3, b=7 bo'lgan holda, biz quyidagilarni topamiz:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> 3≤x≤7 da,

x>7 uchun 0

Uning grafigini tuzamiz (3-rasm):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 da x≤3,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">4-rasm.

D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" eni="14" balandligi="49 src="> 0 da x<0,

f(x)= x≥0 uchun le-lx.

Eksponensial qonun bo'yicha taqsimlangan X tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot funktsiyasi quyidagi formula bilan ifodalanadi:

DIV_ADBLOCK98">

https://pandia.ru/text/78/455/images/image095_4.jpg" width="161" height="119 src="> 6-rasm

Eksponensial taqsimotning matematik kutilishi, dispersiyasi va standart og'ishi mos ravishda quyidagilarga teng:

M(X)= , D(X)=, s (X)=

Shunday qilib, ko'rsatkich taqsimotining matematik kutilishi va standart og'ishi bir-biriga teng.

X ning (a;b) oralig'iga tushish ehtimoli quyidagi formula bilan hisoblanadi:

P(a<Х

Vazifa № 2. Qurilmaning o'rtacha nosozliksiz ishlash vaqti 100 soatni tashkil qiladi.Asbobning nosozliksiz ishlash vaqti eksponensial taqsimot qonuniga ega deb hisoblab, toping:

a) ehtimollikni taqsimlash zichligi;

b) taqsimlash funksiyasi;

c) qurilmaning nosozliksiz ishlash vaqti 120 soatdan oshishi ehtimoli.

Yechim: Shartga ko'ra, matematik taqsimot M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 at x<0,

a) x≥0 uchun f(x)= 0,01e -0,01x.

b) x da F(x)= 0<0,

x≥0 da 1-e -0,01x.

c) taqsimlash funksiyasi yordamida kerakli ehtimollikni topamiz:

P(X>120)=1-F(120)=1-(1- e -1,2)= e -1,2≈0,3.

§ 3.Oddiy taqsimot qonuni

Ta'rif: Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X ga ega normal taqsimot qonuni (Gauss qonuni), agar uning tarqalish zichligi quyidagi shaklga ega bo'lsa:

,

bu yerda m=M(X), s2=D(X), s>0.

Oddiy taqsimot egri chizig'i deyiladi normal yoki Gauss egri chizig'i (7-rasm)

Oddiy egri chiziq x=m to'g'ri chiziqqa nisbatan simmetrik, x=a da maksimalga ega, ga teng.

Oddiy qonun bo‘yicha taqsimlangan X tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi quyidagi formula bo‘yicha Laplas funksiyasi F (x) orqali ifodalanadi:

,

Laplas funksiyasi qayerda.

Izoh: F(x) funksiya toq (F(-x)=-F(x)), bundan tashqari x>5 uchun F(x) ≈1/2 ni qabul qilishimiz mumkin.

F(x) taqsimot funksiyasining grafigi rasmda keltirilgan. 8

https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33">

Og'ishning mutlaq qiymati musbat d sonidan kichik bo'lish ehtimoli quyidagi formula bilan hisoblanadi:

Xususan, m=0 uchun quyidagi tenglik bajariladi:

"Uch Sigma qoidasi"

Agar X tasodifiy o‘zgaruvchisi m va s parametrli normal taqsimot qonuniga ega bo‘lsa, uning qiymati (a-3s; a+3s) oralig‘ida yotishi deyarli aniq bo‘ladi, chunki.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">a)

b) formuladan foydalanamiz:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src=">

F(x) funksiya qiymatlari jadvalidan F(1,5)=0,4332, F(1)=0,3413 ni topamiz.

Shunday qilib, kerakli ehtimollik:

P(28

Mustaqil ish uchun topshiriqlar

3.1. X tasodifiy miqdor (-3;5) oraliqda bir xil taqsimlangan. Toping:

b) taqsimot funksiyasi F(x);

v) sonli xarakteristikalar;

d) ehtimollik P(4<х<6).

3.2. X tasodifiy o'zgaruvchisi segmentda bir xil taqsimlangan. Toping:

a) taqsimlanish zichligi f(x);

b) taqsimot funksiyasi F(x);

v) sonli xarakteristikalar;

d) ehtimollik P(3≤x≤6).

3.3. Magistral yo'lda avtomatik svetofor mavjud bo'lib, unda yashil chiroq 2 daqiqa, sariq 3 soniya, qizil 30 soniya yonadi va hokazo. Mashina avtomagistral bo'ylab tasodifiy vaqtda harakat qiladi. Avtomobilning svetofordan to‘xtamasdan o‘tib ketishi ehtimolini toping.

3.4. Metro poyezdlari muntazam ravishda 2 daqiqalik interval bilan harakatlanadi. Yo'lovchi tasodifiy vaqtda platformaga kiradi. Yo‘lovchining poyezdni 50 soniyadan ko‘proq kutish ehtimoli qanday? X tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishini toping - poezdni kutish vaqti.

3.5. Taqsimot funksiyasi bilan berilgan eksponensial taqsimotning dispersiyasi va standart og‘ishini toping:

X da F(x)= 0<0,

x≥0 uchun 1-8x.

3.6. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X ehtimollik taqsimot zichligi bilan belgilanadi:

x da f(x)= 0<0,

x≥0 da 0,7 e-0,7x.

a) Ko'rib chiqilayotgan tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini ayting.

b) F(X) taqsimot funksiyasi va X tasodifiy miqdorning son xarakteristikalarini toping.

3.7. X tasodifiy o'zgaruvchisi ehtimollik taqsimoti zichligi bilan belgilangan eksponensial qonunga muvofiq taqsimlanadi:

x da f(x)= 0<0,

x≥0 da 0,4 e-0,4 x.

Sinov natijasida X ning (2,5;5) oraliqdan qiymat olishi ehtimolligini toping.

3.8. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X taqsimot funktsiyasi tomonidan belgilangan eksponensial qonunga muvofiq taqsimlanadi:

X da F(x)= 0<0,

x≥0 da 1-0,6x

Sinov natijasida X segmentdan qiymat olish ehtimolini toping.

3.9. Oddiy taqsimlangan tasodifiy miqdorning kutilayotgan qiymati va standart og‘ishi mos ravishda 8 va 2 ga teng.Topish:

a) taqsimlanish zichligi f(x);

b) test natijasida X ning (10;14) oraliqdan qiymat olishi ehtimoli.

3.10. X tasodifiy o'zgaruvchisi odatda 3,5 matematik kutish va 0,04 dispersiya bilan taqsimlanadi. Toping:

a) taqsimlanish zichligi f(x);

b) test natijasida X segmentidan qiymat olish ehtimoli.

3.11. X tasodifiy o'zgaruvchisi odatda M(X)=0 va D(X)=1 bilan taqsimlanadi. Hodisalarning qaysi biri: |X|≤0,6 yoki |X|≥0,6 ehtimoli yuqori?

3.12. X tasodifiy o'zgaruvchisi M(X)=0 va D(X)=1 bilan normal taqsimlanadi.Bir test davomida qaysi oraliqdan (-0,5;-0,1) yoki (1;2) qiymat olish ehtimoli ko'proq?

3.13. Har bir aksiyaning joriy narxini M(X)=10 den bilan normal taqsimot qonuni yordamida modellashtirish mumkin. birliklar va s (X)=0,3 den. birliklar Toping:

a) aksiyaning joriy narxi 9,8 den dan bo'lishi ehtimoli. birliklar 10,4 kungacha birliklar;

b) "uch sigma qoidasi" dan foydalanib, joriy aktsiyalar narxi joylashgan chegaralarni toping.

3.14. Moddaning tortilishi tizimli xatolarsiz amalga oshiriladi. Tasodifiy tortish xatolari o'rtacha kvadrat nisbati s=5g bo'lgan normal qonunga bo'ysunadi. To'rtta mustaqil tajribada uchta tortishda xatolik 3r mutlaq qiymatda bo'lmasligi ehtimolini toping.

3.15. X tasodifiy miqdor normal taqsimlanadi M(X)=12,6. (11,4;13,8) oraliqda tasodifiy miqdorning tushish ehtimoli 0,6826 ga teng. Standart og'ish s ni toping.

3.16. X tasodifiy miqdor M(X)=12 va D(X)=36 bilan normal taqsimlanadi. X tasodifiy kattaligi 0,9973 ehtimollik bilan test natijasida tushadigan intervalni toping.

3.17. Avtomatik mashinada ishlab chiqarilgan qism, agar uning boshqariladigan parametrining nominal qiymatdan X og'ishi modul 2 o'lchov birligidan oshsa, nuqsonli hisoblanadi. X tasodifiy miqdor M(X)=0 va s(X)=0,7 bilan normal taqsimlangan deb faraz qilinadi. Mashina nuqsonli qismlarning necha foizini ishlab chiqaradi?

3.18. Qismning X parametri nominal qiymatga teng bo'lgan 2 matematik kutish va 0,014 standart og'ish bilan normal taqsimlanadi. X ning nominal qiymatdan chetlanishi nominal qiymatning 1% dan oshmasligi ehtimolini toping.

Javoblar

https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src=">

b) x≤-3 uchun 0,

F(x)= chap">

3.10. a)f(x)=,

b) R(3,1≤X≤3,7) ≈0,8185.

3.11. |x|≥0,6.

3.12. (-0,5;-0,1).

3.13. a) P(9,8≤X≤10,4) ≈0,6562.

3.14. 0,111.

3.15. s=1,2.

3.16. (-6;30).

3.17. 0,4%.

4. Uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligi

Uzluksiz tasodifiy miqdorni taqsimlash funksiyasi yordamida aniqlash mumkin F(x) . Bu tayinlash usuli yagona emas. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchini taqsimlash zichligi yoki ehtimollik zichligi (ba'zan differentsial funktsiya deb ataladi) deb ataladigan boshqa funktsiya yordamida ham aniqlash mumkin.

Ta'rif 4.1: Uzluksiz tasodifiy miqdorning tarqalish zichligi X funksiyani chaqiring f (x) - taqsimot funksiyasining birinchi hosilasi F(x) :

f ( x ) = F "( x ) .

Bu ta’rifdan kelib chiqadiki, taqsimot funksiyasi taqsimot zichligiga antiderivativ hisoblanadi. E'tibor bering, taqsimot zichligi diskret tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik taqsimotini tavsiflash uchun qo'llanilmaydi.

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining berilgan intervalga tushish ehtimoli

Tarqatish zichligini bilib, siz uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining ma'lum bir intervalga tegishli qiymatni olish ehtimolini hisoblashingiz mumkin.

Teorema: Uzluksiz tasodifiy X ning intervalga tegishli qiymatlarni olish ehtimoli (a, b), dan oralig'ida olingan taqsimot zichligining ma'lum bir integraliga tengaoldinb :

Isbot: Biz nisbatdan foydalanamiz

P(a ≤ Xb) = F(b) – F(a).

Nyuton-Leybnits formulasiga ko'ra,

Shunday qilib,

.

Chunki P(a ≤ X b)= P(a X b) , keyin biz nihoyat olamiz

.

Olingan natijani geometrik jihatdan quyidagicha talqin qilish mumkin: uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining intervalga tegishli qiymatni olish ehtimoli (a, b), eksa bilan chegaralangan egri chiziqli trapezoidning maydoniga tengho'kiz, taqsimot egri chizig'if(x) va to'g'rix = aVax = b.

Izoh: Xususan, agar f(x) – funksiya juft va oraliq uchlari koordinataga nisbatan simmetrik bo‘lsa, u holda

Misol. Tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligi berilgan X

Sinov natijasida yuzaga kelish ehtimolini toping X(0,5, 1) intervalga tegishli qiymatlarni oladi.

Yechim: Kerakli ehtimollik

.

Ma'lum taqsimot zichligidan taqsimot funksiyasini topish

Tarqatish zichligini bilish f(x) , taqsimlash funksiyasini topishimiz mumkin F(x) formula bo'yicha

.

Haqiqatan ham, F(x) = P(X x) = P(-∞ X x) .

Demak,

Shunday qilib, Tarqatish zichligini bilib, siz tarqatish funktsiyasini topishingiz mumkin. Albatta, ma'lum bo'lgan taqsimot funktsiyasidan tarqatish zichligini topish mumkin, aynan:

f(x) = F"(x).

Misol. Berilgan taqsimot zichligi uchun taqsimot funksiyasini toping:

Yechim: Keling, formuladan foydalanamiz

Agar x ≤ a, Bu f(x) = 0 , shuning uchun, F(x) = 0 . Agar a, keyin f(x) = 1/(b-a),

shuning uchun,

.

Agar x > b, Bu

.

Demak, kerakli taqsimot funksiyasi

Izoh: Biz bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini oldik (yagona taqsimotga qarang).

Tarqatish zichligi xossalari

Mulk 1: Tarqatish zichligi manfiy bo'lmagan funktsiyadir:

f ( x ) ≥ 0 .

Mulk 2:-∞ dan ∞ gacha bo'lgan oraliqdagi taqsimot zichligining noto'g'ri integrali birlikka teng:

Izoh: Tarqatish zichligi grafigi deyiladi taqsimot egri chizig'i.

Izoh: Uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimlanish zichligi taqsimot qonuni deb ham ataladi.

Misol. Tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanish zichligi quyidagi shaklga ega:

Doimiy parametrni toping a.

Yechim: Tarqatish zichligi shartni qondirishi kerak, shuning uchun biz tenglikni qondirishni talab qilamiz

.

Bu yerdan
. Noaniq integralni topamiz:

.

Noto'g'ri integralni hisoblaymiz:

Shunday qilib, kerakli parametr

Tarqatish zichligining taxminiy ma'nosi

Mayli F(x) – uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi X. Tarqatish zichligi ta'rifi bo'yicha, f(x) = F"(x) , yoki

.

Farq F(x+∆x) -F(x) ehtimolini aniqlaydi X intervalga tegishli qiymatni oladi (x, x+∆x). Shunday qilib, uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining intervalga tegishli qiymatni olish ehtimoli nisbati chegarasi (x, x+∆x), bu oraliq uzunligiga (at ∆x→0) nuqtadagi taqsimot zichligi qiymatiga teng X.

Shunday qilib, funktsiya f(x) har bir nuqta uchun ehtimollik taqsimot zichligini aniqlaydi X. Differensial hisoblashdan ma'lumki, funktsiyaning o'sishi taxminan funktsiyaning differentsialiga teng, ya'ni.

Chunki F"(x) = f(x) Va dx = ∆ x, Bu F(x+∆ x) - F(x) ≈ f(x)∆ x.

Ushbu tenglikning ehtimollik ma'nosi: tasodifiy o'zgaruvchining intervalga tegishli qiymatni olish ehtimoli (x, x+∆ x) taxminan x nuqtadagi ehtimollik zichligi va ∆x oraliq uzunligi ko‘paytmasiga teng..

Geometrik jihatdan bu natijani quyidagicha talqin qilish mumkin: tasodifiy o'zgaruvchining intervalga tegishli qiymatni olish ehtimoli (x, x+∆ x) asosi ∆x va balandligi bo'lgan to'rtburchakning maydoniga taxminan tengf(x).

5. Diskret tasodifiy miqdorlarning tipik taqsimotlari

5.1. Bernoulli taqsimoti

Ta'rif 5.1: Tasodifiy qiymat X, ikkita qiymatni oladi 1 Va 0 ehtimollar bilan ("muvaffaqiyat") p va ("muvaffaqiyatsizlik") q, chaqirildi Bernoullievskaya:

, Qayerda k=0,1.

5.2. Binomiy taqsimot

Ishlab chiqarilsin n mustaqil sinovlar, ularning har birida hodisa A paydo bo'lishi yoki paydo bo'lmasligi mumkin. Barcha sinovlarda sodir bo'ladigan hodisaning ehtimoli doimiy va tengdir p(shuning uchun yuzaga kelmaslik ehtimoli q = 1 - p).

Tasodifiy o'zgaruvchini ko'rib chiqing X- voqea sodir bo'lgan holatlar soni A bu testlarda. Tasodifiy qiymat X qadriyatlarni oladi 0,1,2,… n Bernulli formulasi yordamida hisoblangan ehtimolliklar bilan: , Qayerda k = 0,1,2,… n.

Ta'rif 5.2: binom Bernulli formulasi bilan aniqlangan ehtimollik taqsimoti deyiladi.

Misol. Nishonga uchta o'q uziladi va har bir o'qning tegish ehtimoli 0,8 ga teng. Tasodifiy o'zgaruvchini ko'rib chiqing X- nishonga zarbalar soni. Uning tarqalish qatorini toping.

Yechim: Tasodifiy qiymat X qadriyatlarni oladi 0,1,2,3 Bernulli formulasi yordamida hisoblangan ehtimollar bilan, bu erda n = 3, p = 0,8 (urilish ehtimoli), q = 1 - 0,8 = = 0,2 (yo'qolib ketish ehtimoli).

Shunday qilib, tarqatish seriyasi quyidagi shaklga ega:

Katta qiymatlar uchun Bernoulli formulasidan foydalaning n juda qiyin, shuning uchun mos keladigan ehtimollarni hisoblash uchun, voqea sodir bo'lish ehtimolini aniq topishga imkon beruvchi mahalliy Laplas teoremasidan foydalaning. k har bir marta n testlar, agar testlar soni etarlicha katta bo'lsa.

Mahalliy Laplas teoremasi: Agar ehtimollik bo'lsa p hodisaning yuzaga kelishi A
bu voqea A ichida paydo bo'ladi n aniq sinovlar k marta, taxminan teng (qanchalik aniq bo'lsa, shuncha ko'p n) funksiya qiymati
, Qayerda
,
.

Eslatma 1: Funktsiya qiymatlarini o'z ichiga olgan jadvallar
, 1-ilovada keltirilgan va
. Funktsiya standart normal taqsimotning zichligi (normal taqsimotga qarang).

Misol: Voqea sodir bo'lish ehtimolini toping A aniq keladi 80 har bir marta 400 har bir sinovda ushbu hodisaning yuzaga kelish ehtimoli teng bo'lsa, sinovlar 0,2.

Yechim: Shart bo'yicha n = 400, k = 80, p = 0,2 , q = 0,8 . Keling, vazifa ma'lumotlari bilan aniqlangan qiymatni hisoblaylik x:
. 1-ilovadagi jadvaldan biz topamiz
. Keyin kerakli ehtimollik quyidagicha bo'ladi:

Agar voqea sodir bo'lish ehtimolini hisoblash kerak bo'lsa A ichida paydo bo'ladi n testlar kam emas k 1 bir marta va ortiq emas k 2 marta, keyin siz Laplas integral teoremasidan foydalanishingiz kerak:

Laplas integral teoremasi: Agar ehtimollik bo'lsa p hodisaning yuzaga kelishi A har bir sinovda doimiy va nol va birdan farq qiladi, keyin ehtimollik
bu voqea A ichida paydo bo'ladi n dan testlar k 1 oldin k 2 marta, taxminan ma'lum bir integralga teng

, Qayerda Va
.

Boshqacha qilib aytganda, voqea sodir bo'lish ehtimoli A ichida paydo bo'ladi n dan testlar k 1 oldin k 2 marta, taxminan teng

Qayerda
, Va .

Eslatma 2: Funktsiya
Laplas funktsiyasi deb ataladi (normal taqsimotga qarang). Funktsiya qiymatlarini o'z ichiga olgan jadvallar , 2-ilovada keltirilgan va .

Misol: orasida bo'lish ehtimolini toping 400 tasodifiy tanlangan qismlar 70 dan 100 gacha bo'lgan qismlarga sinovdan o'tmagan bo'lib chiqadi, agar bu qismning sifat nazorati tekshiruvidan o'tmaganligi ehtimoli teng bo'lsa. 0,2.

Yechim: Shart bo'yicha n = 400, p = 0,2 , q = 0,8, k 1 = 70, k 2 = 100 . Integratsiyaning pastki va yuqori chegaralarini hisoblaymiz:

;
.

Shunday qilib, bizda:

2-ilovadagi jadvaldan biz buni aniqlaymiz
Va
. Keyin talab qilinadigan ehtimollik:

Eslatma 3: Bir qator mustaqil sinovlarda (n katta, p kichik bo'lsa) Puasson formulasi hodisaning aynan k marta sodir bo'lish ehtimolini hisoblash uchun ishlatiladi (Puasson taqsimotiga qarang).

5.3. Puasson taqsimoti

Ta'rif 5.3: Diskret tasodifiy miqdor deyiladi Puasson, agar uning taqsimot qonuni quyidagi shaklga ega bo'lsa:

, Qayerda Va (doimiy qiymat).

Puasson tasodifiy o'zgaruvchilarga misollar:

Avtomatik stantsiyaga ma'lum vaqt oralig'idagi qo'ng'iroqlar soni T.

Ba'zi radioaktiv moddalarning ma'lum vaqt oralig'ida parchalanadigan zarralari soni T.

Ma'lum vaqt ichida ustaxonaga kelgan televizorlar soni T katta shaharda .

Katta shahardagi chorrahaning to'xtash chizig'iga keladigan mashinalar soni .

Eslatma 1: Ushbu ehtimolliklarni hisoblash uchun maxsus jadvallar 3-ilovada keltirilgan.

Eslatma 2: Bir qator mustaqil testlarda (qachon n ajoyib, p etarli emas) voqea sodir bo'lish ehtimolini aniq hisoblash uchun k Puasson formulasidan foydalangan holda: , Qayerda , ya'ni hodisalarning o'rtacha sodir bo'lish soni doimiy bo'lib qoladi.

Eslatma 3: Agar Puasson qonuni boʻyicha taqsimlanadigan tasodifiy oʻzgaruvchi boʻlsa, u holda eksponensial qonun boʻyicha taqsimlanadigan tasodifiy oʻzgaruvchi boʻlishi shart va aksincha (qarang. Eksponensial taqsimot).

Misol. Zavod bazaga yuborildi 5000 yaxshi sifatli mahsulotlar. Mahsulotning tranzit paytida zarar ko'rish ehtimoli teng 0,0002 . Bazaga aniq uchta yaroqsiz mahsulot kelishi ehtimolini toping.

Yechim: Shart bo'yicha n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Biz topamiz λ: λ = n.p.= 5000·0,0002 = 1.

Puasson formulasiga ko'ra, kerakli ehtimollik quyidagilarga teng:

, tasodifiy o'zgaruvchi qayerda X- yaroqsiz mahsulotlar soni.

5.4. Geometrik taqsimot

Mustaqil testlar o'tkazilsin, ularning har birida hodisaning yuzaga kelish ehtimoli bor A ga teng p(0 p

q = 1 - p. Qiyinchiliklar voqea paydo bo'lishi bilanoq tugaydi A. Shunday qilib, agar voqea A ichida paydo bo'ldi k-th test, keyin oldingi k – 1 u sinovlarda ko'rinmadi.

bilan belgilaymiz X diskret tasodifiy o'zgaruvchi - hodisaning birinchi sodir bo'lishidan oldin o'tkazilishi kerak bo'lgan sinovlar soni A. Shubhasiz, mumkin bo'lgan qiymatlar X bor butun sonlar x 1 = 1, x 2 = 2, ...

Birinchi bo'lsin k-1 sinov hodisasi A kelmadi, lekin ichida k- test paydo bo'ldi. Mustaqil hodisalar ehtimolini ko'paytirish teoremasiga ko'ra, ushbu "murakkab hodisa" ehtimoli, P (X = k) = q k -1 p.

Ta'rif 5.4: Diskret tasodifiy o'zgaruvchiga ega geometrik taqsimot, agar uning taqsimot qonuni quyidagi shaklga ega bo'lsa:

P ( X = k ) = q k -1 p , Qayerda .

Eslatma 1: Ishonish k = 1,2,… , biz birinchi had bilan geometrik progressiyani olamiz p va maxraj q (0q. Shuning uchun taqsimot geometrik deb ataladi.

Eslatma 2: Qator yaqinlashadi va uning yig'indisi birga teng. Haqiqatan ham, qatorlar yig'indisi teng .

Misol. Qurol birinchi zarbaga qadar nishonga qaratiladi. Maqsadga erishish ehtimoli p = 0,6 . Uchinchi zarbada zarba bo'lish ehtimolini toping.

Yechim: Shart bo'yicha p = 0,6, q = 1 – 0,6 = 0,4, k = 3. Kerakli ehtimollik:

P (X = 3) = 0,4 2 ·0,6 = 0,096.

5.5. Gipergeometrik taqsimot

Keling, quyidagi muammoni ko'rib chiqaylik. Partiyani tashqariga chiqaring N mahsulotlar mavjud M standart (MN). To'plamdan tasodifiy olingan n mahsulotlar (har bir mahsulot bir xil ehtimollik bilan olinishi mumkin) va tanlangan mahsulot keyingisini tanlashdan oldin partiyaga qaytarilmaydi (shuning uchun Bernoulli formulasi bu erda qo'llanilmaydi).

bilan belgilaymiz X tasodifiy o'zgaruvchi - raqam m standart mahsulotlar orasida n tanlangan. Keyin mumkin bo'lgan qiymatlar X 0, 1, 2,…, bo'ladi min; Keling, ularni belgilaymiz va ... tomonidan mustaqil o'zgaruvchining qiymatlari (Fonds) tugmasidan foydalaning ( bob ...

“Umumiy psixologik ustaxona” fanidan o‘quv-uslubiy majmua

O'quv-uslubiy majmua

... uslubiy ko'rsatmalar tomonidan amaliy ishlarni bajarish 5.1 Uslubiy tavsiyalar tomonidan ta'lim loyihalarini amalga oshirish 5.2 Uslubiy tavsiyalar tomonidan... sezuvchanlik), bir o'lchovli va ko'p o'lchovli ... tasodifiy tarkibidagi komponent hajmi... Bilan Bo'lim"Ishlash...

Fizika fanidan o'quv-uslubiy majmua (nom)

O'quv-uslubiy majmua

... bo'limlar darsliklarda. Muammoni hal qilish tomonidan har bir mavzu. Ishlab chiqish uslubiy ko'rsatmalar laboratoriya ishlari uchun tomonidan ... tasodifiy va instrumental o'lchash xatosi 1.8 Mavzular testlar Va uslubiy ko'rsatmalar tomonidan...zarracha bir o'lchovli potentsial teshik. ...

Informatika fanidan laboratoriya ishlari uchun uslubiy ko'rsatmalar

Ko'rsatmalar

... Uslubiy ko'rsatmalar LABORATORIYA ishi uchun tomonidan ... hajmi, va eng katta miqdor miqdorlar... massiv tasodifiy raqamlar... 3,0 4,0 3,0 -2,5 14,3 16,2 18,0 1,0 a) bir o'lchovli massiv b) ikki o'lchovli massiv-rasm. 2– Fayllar... da tavsiflangan Bo'lim keyin amalga oshirish ...