To'g'ri burchakli uchburchakda burchakni topish usullari - hisoblash formulalari. Onlayn kalkulyator.Uchburchaklarni yechish To'g'ri burchakli uchburchakda burchak va uzunliklarni hisoblash

Uchburchak - bir chiziqda yotmaydigan uchta nuqtani bog'laydigan uchta segmentdan iborat geometrik raqam. Uchburchakni tashkil etuvchi nuqtalar uning nuqtalari deb ataladi va segmentlar yonma-yon joylashgan.

Uchburchak turiga (to'rtburchak, monoxrom va boshqalar) qarab, siz kiritilgan ma'lumotlarga va masalaning shartlariga qarab, uchburchak tomonini turli usullar bilan hisoblashingiz mumkin.

Maqola uchun tezkor navigatsiya

To'g'ri burchakli uchburchakning tomonlarini hisoblash uchun Pifagor teoremasi qo'llaniladi, unga ko'ra gipotenuzaning kvadrati summasiga teng kvadrat fut.

Agar oyoqlarni "a" va "b" va gipotenuzani "c" deb belgilasak, sahifalarni quyidagi formulalar bilan topish mumkin:

To'g'ri burchakli uchburchakning (a va b) o'tkir burchaklari ma'lum bo'lsa, uning tomonlarini quyidagi formulalar bilan topish mumkin:

Kesilgan uchburchak

Ikkala tomoni bir xil bo'lgan uchburchak teng tomonli uchburchak deyiladi.

Ikki oyoqdagi gipotenuzani qanday topish mumkin

Agar "a" harfi bir xil sahifa bilan bir xil bo'lsa, "b" - asos, "b" - asosga qarama-qarshi burchak, "a" - qo'shni burchak sahifalarni hisoblash uchun quyidagi formulalardan foydalanish mumkin:

Ikki burchak va bir tomon

Har qanday uchburchakning bir sahifasi (c) va ikkita burchagi (a va b) ma'lum bo'lsa, qolgan sahifalarni hisoblash uchun sinus formulasidan foydalaniladi:

Uchinchi qiymatni topishingiz kerak y = 180 - (a + b), chunki

uchburchakning barcha burchaklarining yig'indisi 180 ° ga teng;

Ikki tomon va burchak

Agar uchburchakning ikki tomoni (a va b) va ular orasidagi burchak (y) ma'lum bo'lsa, uchinchi tomonni hisoblash uchun kosinus teoremasidan foydalanish mumkin.

To'g'ri burchakli uchburchakning perimetrini qanday aniqlash mumkin

Uchburchak uchburchak uchburchak bo'lib, ulardan biri 90 gradus, qolgan ikkitasi o'tkir. hisoblash perimetri shunday uchburchak haqida ma'lum bo'lgan ma'lumotlar miqdoriga bog'liq.

Sizga kerak bo'ladi

Ishga qarab, uchburchakning 2 ta uch tomoni, shuningdek, uning o'tkir burchaklaridan biri.

ko'rsatmalar

birinchi Usul 1. Agar barcha uchta sahifa ma'lum bo'lsa uchburchak Keyin, perpendikulyar yoki uchburchak bo'lmaganidan qat'i nazar, perimetr quyidagicha hisoblanadi: P = A + B + C, iloji bo'lsa, c - gipotenuza; a va b oyoqlardir.

ikkinchi 2-usul.

Agar to'rtburchakning faqat ikkita tomoni bo'lsa, Pifagor teoremasidan foydalanib, uchburchak quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin: P = v (a2 + b2) + a + b yoki P = v (c2 - b2) + b + c.

uchinchi 3-usul. Gipotenuza c va o'tkir burchak bo'lsin? To'g'ri burchakli uchburchak berilgan bo'lsa, perimetrni shunday topish mumkin bo'ladi: P = (1 + sin?

to'rtinchi Usul 4. To'g'ri uchburchakda bir oyoqning uzunligi a ga teng va aksincha, o'tkir burchakka ega ekanligini aytishadi. Keyin hisoblang perimetri Bu uchburchak formula bo'yicha amalga oshiriladi: P = a * (1 / tg?

1/o'g'lim? + 1)

beshinchi 5-usul.

Onlayn uchburchakni hisoblash

Oyog'imiz olib borsin va unga qo'shilsin, keyin diapazon quyidagicha hisoblanadi: P = A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos?)

Tegishli videolar

Pifagor teoremasi barcha matematikaning asosidir. Haqiqiy uchburchakning tomonlari orasidagi munosabatni aniqlaydi. Hozirda bu teoremaning 367 ta isboti mavjud.

ko'rsatmalar

birinchi Pifagor teoremasining klassik maktab formulasi shunday eshitiladi: gipotenuzaning kvadrati oyoqlarning kvadratlari yig'indisiga teng.

Gipotenuzani topish uchun to'g'ri uchburchak ikkita Katet, siz oyoqlarning uzunligi kvadratini qurish uchun murojaat qilishingiz kerak, ularni to'plang va oling Kvadrat ildiz miqdoridan. Uning bayonotining asl formulasida bozor Catete tomonidan ishlab chiqarilgan 2 kvadratning kvadratlari yig'indisiga teng bo'lgan gipotenuzaga asoslanadi. Biroq, zamonaviy algebraik formulalar domen tasvirini kiritishni talab qilmaydi.

ikkinchi Masalan, oyoqlari 7 sm va 8 sm bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchak.

Keyin Pifagor teoremasiga ko'ra kvadrat gipotenuza R + S = 49 + 64 = 113 sm ga teng gipotenuza 113 sonining kvadrat ildiziga teng.

To'g'ri burchakli uchburchakning burchaklari

Natijada asossiz raqam chiqdi.

uchinchi Agar uchburchaklar oyoqlari 3 va 4 bo'lsa, u holda gipotenuza = 25 = 5. Kvadrat ildizni olganingizda, siz olasiz natural son. 3, 4, 5 raqamlari Pigagor uchligini hosil qiladi, chunki ular x munosabatini qanoatlantiradi? +Y? = Z, bu tabiiydir.

Pifagor uchligining boshqa misollari: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.

to'rtinchi Bunday holda, agar oyoqlar bir-biriga o'xshash bo'lsa, Pifagor teoremasi yanada ibtidoiy tenglamaga aylanadi. Masalan, bunday qo'l A soniga teng bo'lsin va C uchun gipotenuza aniqlangan, keyin esa c? = Ap + Ap, C = 2A2, C = A? 2. Bu holda sizga A kerak emas.

beshinchi Pifagor teoremasi umumiy kosinus teoremasidan kattaroq maxsus holat boʻlib, uchburchakning uch tomoni oʻrtasidagi bogʻliqlikni ularning ikkalasi orasidagi istalgan burchak uchun oʻrnatadi.

Maslahat 2: Oyoqlar va burchaklar uchun gipotenuzani qanday aniqlash mumkin

Gipotenuza - to'g'ri burchakli uchburchakning 90 graduslik burchakka qarama-qarshi tomoni.

ko'rsatmalar

birinchi Ma'lum bo'lgan kateterlarda, shuningdek, to'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagida, gipotenuza oyoqning bu burchakning kosinusiga / sinusiga nisbatiga teng o'lchamga ega bo'lishi mumkin, agar burchak qarama-qarshi bo'lsa / e quyidagilarni o'z ichiga oladi: H = C1 (yoki C2) / sin, H = C1 (yoki C2?) / cos?. Misol: ABC ga gipotenuzasi AB va to'g'ri burchakli C burchakli tartibsiz uchburchak berilsin.

B 60 daraja va A 30 daraja bo'lsin. BC poyasining uzunligi 8 sm .AB gipotenuzaning uzunligini topish kerak. Buning uchun yuqoridagi usullardan birini qo'llashingiz mumkin: AB = BC / cos60 = 8 sm.AB = BC / sin30 = 8 sm.

Gipotenuza to'rtburchakning eng uzun tomonidir uchburchak. U to'g'ri burchak ostida joylashgan. To'rtburchakning gipotenuzasini topish usuli uchburchak manba ma'lumotlariga bog'liq.

ko'rsatmalar

birinchi Agar oyoqlaringiz perpendikulyar bo'lsa uchburchak, keyin to'rtburchakning gipotenuzasi uzunligi uchburchak Pifagor analogi bilan kashf etilishi mumkin - gipotenuzaning uzunligi kvadrati oyoqlar uzunliklari kvadratlari yig'indisiga teng: c2 = a2 + b2, bu erda a va b - o'ng oyoqlarning uzunligi. uchburchak .

ikkinchi Agar oyoqlardan biri ma'lum bo'lsa va o'tkir burchak ostida bo'lsa, gipotenuzani topish formulasi ostida mavjudligi yoki yo'qligiga bog'liq bo'ladi. ma'lum burchak ma'lum oyog'iga nisbatan - qo'shni (oyoq yaqin joylashgan), yoki aksincha (qarama-qarshi holat nego joylashgan. Belgilangan burchakning V kosinus burchagidagi oyoq gipotenuzasi ulushiga teng: a = a / cos; E, boshqa tomondan, gipotenuza sinusoidal burchaklar nisbati bilan bir xil: da = a / sin.

Tegishli videolar

Foydali maslahatlar
Tomonlari 3:4:5 nisbatda boʻlgan burchakli uchburchak Misr deltasi deb ataladi, chunki bu raqamlar qadimgi Misr meʼmorlari tomonidan keng qoʻllanilgan.

Bu, shuningdek, Jero uchburchaklarining eng oddiy misolidir, unda sahifalar va maydon butun sonlar bilan ifodalanadi.

Uchburchak to'rtburchaklar deyiladi, uning burchagi 90 °. O'ng burchakka qarama-qarshi tomon gipotenuza, ikkinchisi esa oyoqlar deb ataladi.

Agar siz to'g'ri burchakli uchburchakning muntazam uchburchaklarning ba'zi xossalari, ya'ni o'tkir burchaklarining yig'indisi 90 ° bo'lganligi va qarama-qarshi oyog'ining uzunligi gipotenuzaning yarmi bo'lishi bilan qanday hosil bo'lishini topmoqchi bo'lsangiz. 30°.

Maqola uchun tezkor navigatsiya

Kesilgan uchburchak

Teng uchburchakning xususiyatlaridan biri shundaki, uning ikki burchagi tengdir.

To'g'ri burchakli uchburchakning burchagini hisoblash uchun siz quyidagilarni bilishingiz kerak:

Bu 90 ° dan yomon emas.
O'tkir burchaklarning qiymatlari quyidagi formula bo'yicha aniqlanadi: (180 ° -90 °) / 2 = 45 °, ya'ni.
a va b burchaklar 45° ga teng.

Agar o'tkir burchaklardan birining ma'lum qiymati ma'lum bo'lsa, ikkinchisini quyidagi formula yordamida topish mumkin: b = 180º-90º-a yoki a = 180º-90º-b.

Bu nisbat ko'pincha burchaklardan biri 60 ° yoki 30 ° bo'lsa ishlatiladi.

Asosiy tushunchalar

Uchburchakning ichki burchaklarining yig'indisi 180° ga teng.

Chunki bu bir daraja, ikkitasi keskin bo'lib qoladi.

Uchburchakni onlayn hisoblang

Agar siz ularni topmoqchi bo'lsangiz, quyidagilarni bilishingiz kerak:

boshqa usullar

To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchaklarining qiymatlarini o'rtacha qiymatdan hisoblash mumkin - uchburchakning qarama-qarshi tomonidagi nuqtadan chiziq bilan va balandlik - chiziq gipotenuzadan to'g'ri burchak ostida chizilgan perpendikulyar. .

Mediana o'ng burchakdan gipotenuzaning o'rtasiga cho'ziladi va h balandlik bo'lsin. Bunday holda ma'lum bo'ladi:

sin a = b / (2 * s); sin b = a / (2 * s).
cos a = a / (2 * s); cos b = b / (2 * s).
sin a = h/b; sin b = h/a.

Ikki sahifa

Agar gipotenuza va oyoqlardan birining uzunligi to'g'ri burchakli uchburchakda yoki ikkala tomonda ma'lum bo'lsa, o'tkir burchaklarning qiymatlarini aniqlash uchun trigonometrik identifikatsiyalar qo'llaniladi:

a = arksin (a/c), b = arksin (b/c).
a = arcos (b/c), b = arcos (a/c).
a = arktan (a / b), b = arktan (b / a).

To'g'ri burchakli uchburchakning uzunligi

Uchburchakning maydoni va maydoni

perimetri

Har qanday uchburchakning aylanasi uch tomonning uzunliklari yig'indisiga teng. Umumiy formula uchburchak uchburchakni topish uchun:

Bu erda P - uchburchakning aylanasi, uning tomonlari a, b va c.

Teng uchburchakning perimetri uning tomonlarining uzunliklarini ketma-ket birlashtirish yoki yon uzunligini 2 ga ko'paytirish va mahsulotga asos uzunligini qo'shish orqali topish mumkin.

Muvozanat uchburchagini topishning umumiy formulasi quyidagicha ko'rinadi:

Bu erda P - teng uchburchakning perimetri, lekin b, b asosi.

Teng tomonli uchburchakning perimetri uning yon tomonlari uzunligini ketma-ket birlashtirib yoki istalgan sahifa uzunligini 3 ga ko'paytirish orqali topish mumkin.

Teng tomonli uchburchaklar chetini topishning umumiy formulasi quyidagicha ko'rinadi:

Bu erda P - teng yonli uchburchakning perimetri, a - uning istalgan tomonlari.

mintaqa

Agar siz uchburchakning maydonini o'lchamoqchi bo'lsangiz, uni parallelogramm bilan solishtirishingiz mumkin. ABC uchburchagini ko'rib chiqing:

Agar biz bir xil uchburchakni olib, uni parallelogramm olish uchun tuzatsak, biz bu uchburchak bilan bir xil balandlik va asosga ega parallelogramma olamiz:

Bunday holda, uchburchaklarning umumiy tomoni qoliplangan parallelogrammaning diagonali bo'ylab birlashtiriladi.

Paralelogramma xossalaridan. Ma'lumki, parallelogrammaning diagonallari har doim ikkita teng uchburchakka bo'linadi, keyin har bir uchburchakning yuzasi parallelogramma diapazonining yarmiga teng bo'ladi.

Paralelogrammaning maydoni uning taglik balandligining mahsulotiga teng bo'lganligi sababli, uchburchakning maydoni ushbu mahsulotning yarmiga teng bo'ladi. Shunday qilib, DABC uchun maydon bir xil bo'ladi

Endi to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqing:

Ikkita bir xil to'g'ri burchakli uchburchaklar, agar ular bir-biriga suyanib tursa, to'rtburchaklar shaklida egilishi mumkin, bu bir-birining gipotenuzasi.

To'rtburchakning yuzasi qo'shni tomonlarning yuzasiga to'g'ri kelganligi sababli, bu uchburchakning maydoni bir xil:

Bundan xulosa qilishimiz mumkinki, har qanday to'g'ri burchakli uchburchakning yuzasi 2 ga bo'lingan oyoqlarning ko'paytmasiga teng.

Ushbu misollardan xulosa qilish mumkinki, har bir uchburchakning yuzasi uzunlik mahsuloti bilan bir xil bo'lib, balandligi 2 ga bo'lingan substratga kamayadi.

Uchburchakning maydonini topishning umumiy formulasi quyidagicha ko'rinadi:

Bu erda S - uchburchakning maydoni, lekin uning asosi, lekin balandligi a pastga tushadi.

Uchburchak ta'rifi

Uchburchak uchlari bir toʻgʻri chiziqda yotmaydigan uchta segmentning kesishishi natijasida hosil boʻlgan geometrik figuradir. Har qanday uchburchakning uchta tomoni, uchta uchi va uchta burchagi bor.

Onlayn kalkulyator

Uchburchaklar mavjud har xil turlari. Masalan, teng qirrali uchburchak (barcha tomonlari teng), izossellar (uning ikki tomoni teng) va to'g'ri burchakli uchburchak (burchaklardan biri to'g'ri, ya'ni 90 gradusga teng) mavjud.

Uchburchakning maydonini topish mumkin turli yo'llar bilan burchaklar, uzunliklar yoki hatto uchburchak bilan bog'langan doiralar radiusi bo'ladimi, masalaning shartlaridan shaklning qaysi elementlari ma'lum bo'lishiga bog'liq. Keling, har bir usulni misollar bilan alohida ko'rib chiqaylik.

Uchburchak maydonining formulasi uning asosi va balandligiga asoslangan

S = 1 2 ⋅ a ⋅ h S= \frac(1)(2)\cdot a\cdot hS=2 1 ⋅ a ⋅h,

A a a- uchburchak asosi;
h h h- berilgan asosga chizilgan uchburchakning balandligi a.

Misol

Uchburchakning maydonini toping, agar uning asosining uzunligi 10 (sm) ga va bu asosga chizilgan balandligi 5 (sm) ga teng bo'lsa.

Yechim

A = 10 a=10 a =1 0
h = 5 h=5 h =5

Buni maydon formulasiga almashtiramiz va olamiz:
S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 = 25 S=\frac(1)(2)\cdot10\cdot 5=25S=2 1 ⋅ 1 0 ⋅ 5 = 2 5 (kv.ga qarang)

Javob: 25 (sm. kv.)

Barcha tomonlarning uzunligiga asoslangan uchburchakning maydoni uchun formula

S = p ⋅ (p - a) ⋅ (p - b) ⋅ (p - c) S= \sqrt(p\cdot(p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c))S=p ⋅ (p - a ) ⋅ (p - b ) ⋅ (p - c ) ,

A, b, c a, b, c a, b, c- uchburchak tomonlarining uzunliklari;
p p p- uchburchakning barcha tomonlari yig'indisining yarmi (ya'ni uchburchak perimetrining yarmi):

P = 1 2 (a + b + c) p=\frac(1)(2)(a+b+c)p =2 1 (a +b+c)

Bu formula deyiladi Heron formulasi.

Misol

Agar uchburchakning uch tomonining uzunligi ma'lum bo'lsa, 3 (sm), 4 (sm), 5 (sm) ga teng bo'lsa, uning maydonini toping.

Yechim

A = 3 a=3 a =3
b = 4 b=4 b =4
c = 5 c=5 c =5

Keling, perimetrning yarmini topamiz p p p:

P = 1 2 (3 + 4 + 5) = 1 2 ⋅ 12 = 6 p=\frac(1)(2)(3+4+5)=\frac(1)(2)\cdot 12=6p =2 1 (3 + 4 + 5 ) = 2 1 ⋅ 1 2 = 6

Keyin, Heron formulasiga ko'ra, uchburchakning maydoni:

S = 6 ⋅ (6 − 3) ⋅ (6 − 4) ⋅ (6 − 5) = 36 = 6 S=\sqrt(6\cdot(6-3)\cdot(6-4)\cdot(6-) 5))=\sqrt(36)=6S=6 ⋅ (6 − 3 ) ⋅ (6 − 4 ) ⋅ (6 − 5 ) = 3 6 = 6 (kv.ga qarang)

Javob: 6 (kvadratga qarang)

Bir tomoni va ikkita burchagi berilgan uchburchakning maydoni uchun formula

S = a 2 2 ⋅ sin ⁡ b sin ⁡ g sin ⁡ (b + g) S=\frac(a^2)(2)\cdot \frac(\sin(\beta)\sin(\gamma))( \sin(\beta+\gamma))S=2 a 2 ⋅ gunoh (b + g)gunoh β gunoh γ ,

A a a- uchburchak tomonining uzunligi;
b , g \beta, \gamma β , γ - yon tomonga ulashgan burchaklar a a a.

Misol

Uchburchakning 10 (sm) ga teng tomoni va 30 graduslik ikkita qo'shni burchak berilgan. Uchburchakning maydonini toping.

Yechim

A = 10 a=10 a =1 0
b = 3 0 ∘ \beta=30^(\circ)β = 3 0 ∘
g = 3 0 ∘ \gamma=30^(\circ)γ = 3 0 ∘

Formulaga ko'ra:

S = 1 0 2 2 ⋅ gunoh ⁡ 3 0 ∘ gunoh ⁡ 3 0 ∘ gunoh ⁡ (3 0 ∘ + 3 0 ∘) = 50 ⋅ 1 2 3 ≈ 14,4 S=\frac(10^2)(10^2) \ frac(\sin(30^(\circ))\sin(30^(\circ)))(\sin(30^(\circ)+30^(\circ)))=50\cdot\frac( 1)(2\sqrt(3))\taxminan14,4S=2 1 0 2 ⋅ gunoh (3 0 ∘ + 3 0 ∘ ) gunoh 3 0 ∘ gunoh 3 0 ∘ = 5 0 ⋅ 2 3 1 ≈ 1 4 . 4 (kv.ga qarang)

Javob: 14,4 (kv.ga qarang)

Uch tomon va aylana radiusiga asoslangan uchburchakning maydoni uchun formula

S = a ⋅ b ⋅ c 4 R S=\frac(a\cdot b\cdot c)(4R)S=4Ra ⋅ b ⋅ c ,

A, b, c a, b, c a, b, c- uchburchakning tomonlari;
R R R- uchburchak atrofida aylana radiusi.

Misol

Keling, ikkinchi masalamizdan raqamlarni olib, ularga radiusni qo'shamiz R R R doiralar. 10 (sm.) ga teng bo'lsin.

Yechim

A = 3 a=3 a =3
b = 4 b=4 b =4
c = 5 c=5 c =5
R = 10 R = 10 R=1 0

S = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 4 ⋅ 10 = 60 40 = 1,5 S=\frac(3\cdot 4\cdot 5)(4\cdot 10)=\frac(60)(40)=1,5S=4 ⋅ 1 0 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 4 0 6 0 = 1 . 5 (kv.ga qarang)

Javob: 1,5 (sm2)

Uch tomon va chizilgan doira radiusiga asoslangan uchburchakning maydoni uchun formula

$S=p\cdot r$

$p - uchburchak perimetrining yarmi:$

$p=\frac(a+b+c)(2)$

$a, b, c - uchburchakning tomonlari; r - uchburchak ichiga chizilgan aylananing radiusi.$

Misol

Chizilgan aylana radiusi 2 (sm) bo'lsin. Oldingi masaladan tomonlarning uzunliklarini olamiz.

Yechim

$a = 3 b = 4 c = 5 r = 2$

$p=\frac(3+4+5)(2)=6$

$S=6\cdot 2=12$

Javob: 12 (sm. kv.)

Ikki tomon va ular orasidagi burchakka asoslangan uchburchakning maydoni uchun formula

$S=\frac(1)(2)\cdot b\cdot c\cdot\sin(\alfa)$

$b, c - uchburchakning tomonlari;$

$a\alfa$

Misol

Uchburchakning tomonlari 5 (sm) va 6 (sm), ular orasidagi burchak 30 daraja. Uchburchakning maydonini toping.

Yechim

$b = 5 c = 6 α = 3 0^{\circ}$

$S=\frac(1)(2)\cdot 5\cdot 6\cdot\sin(30^(\circ))=7,5$

Javob: 7,5 (sm. kv.)

Geometriyada ko'pincha uchburchaklarning tomonlari bilan bog'liq muammolar mavjud. Misol uchun, agar qolgan ikkitasi ma'lum bo'lsa, ko'pincha uchburchakning bir tomonini topish kerak bo'ladi.

Uchburchaklar teng yonli, teng yonli va teng emas. Barcha xilma-xillikdan birinchi misol uchun biz to'rtburchakni tanlaymiz (bunday uchburchakda burchaklardan biri 90 °, unga qo'shni tomonlar oyoqlar deb ataladi, uchinchisi esa gipotenuz).

Maqolada tezkor navigatsiya

To'g'ri burchakli uchburchak tomonlarining uzunligi

Muammoning yechimi buyuk matematik Pifagorning teoremasidan kelib chiqadi. Unda aytilishicha, to'g'ri burchakli uchburchakning oyoqlari kvadratlarining yig'indisi uning gipotenuzasi kvadratiga teng: a²+b²=c²

Oyoq uzunligi a ning kvadratini toping;
b oyog'ining kvadratini toping;
Biz ularni birlashtiramiz;
Olingan natijadan biz ikkinchi ildizni chiqaramiz.

Misol: a=4, b=3, c=?

a²=4²=16;
b² =3²=9;
16+9=25;
√25=5. Ya'ni, bu uchburchakning gipotenuzasi uzunligi 5 ga teng.

Agar uchburchak to'g'ri burchakka ega bo'lmasa, unda ikki tomonning uzunligi etarli emas. Buning uchun uchinchi parametr kerak: bu burchak, uchburchakning balandligi, unda yozilgan doira radiusi va boshqalar bo'lishi mumkin.

Agar perimetri ma'lum bo'lsa

Bunday holda, vazifa yanada sodda. Perimetr (P) uchburchakning barcha tomonlari yig‘indisi: P=a+b+c. Shunday qilib, oddiy matematik tenglamani yechish orqali biz natijaga erishamiz.

Misol: P=18, a=7, b=6, c=?

1) Biz barcha ma'lum parametrlarni tenglik belgisining bir tomoniga ko'chirish orqali tenglamani hal qilamiz:

2) Ularning o'rniga qiymatlarni qo'ying va uchinchi tomonni hisoblang:

c=18-7-6=5, jami: uchburchakning uchinchi tomoni 5 ga teng.

Agar burchak ma'lum bo'lsa

Burchak va boshqa ikkita tomoni berilgan uchburchakning uchinchi tomonini hisoblash uchun yechim trigonometrik tenglamani hisoblashga tushadi. Uchburchak tomonlari va burchak sinusi o'rtasidagi munosabatni bilib, uchinchi tomonni hisoblash oson. Buni amalga oshirish uchun siz ikkala tomonni kvadratga qo'yishingiz va ularning natijalarini birgalikda qo'shishingiz kerak. Keyin olingan ko'paytmadan tomonlarning burchak kosinusiga ko'paytmasi ayiriladi: C=√(a²+b²-a*b*cosa)

Agar hudud ma'lum bo'lsa

Bunday holda, bitta formula bajarilmaydi.

1) Birinchidan, sin g ni hisoblang, uni uchburchakning maydoni formulasidan ifodalang:

sin g= 2S/(a*b)

2) tomonidan quyidagi formula bir xil burchakning kosinusini hisoblang:

sin² a + cos² a=1

cos a=√(1 — sin² a)=√(1- (2S/(a*b))²)

3) Va yana sinuslar teoremasidan foydalanamiz:

C=√((a²+b²)-a*b*cosa)

C=√((a²+b²)-a*b*√(1- (S/(a*b))²))

O'zgaruvchilar qiymatlarini ushbu tenglamaga almashtirib, biz muammoga javob olamiz.

Matematikada uchburchakni ko'rib chiqishda uning tomonlariga katta e'tibor beriladi. Chunki bu elementlar bu geometrik shaklni tashkil qiladi. Uchburchakning tomonlari ko'plab geometriya masalalarini yechishda ishlatiladi.

Kontseptsiyaning ta'rifi

Bir to'g'rida yotmaydigan uchta nuqtani bog'laydigan segmentlar uchburchakning tomonlari deyiladi. Ko'rib chiqilayotgan elementlar samolyotning ichki qismi deb ataladigan qismini cheklaydi geometrik shakl.

Matematiklar o'z hisob-kitoblarida geometrik figuralarning tomonlarini umumlashtirishga imkon beradi. Shunday qilib, buzilgan uchburchakda uning uchta segmenti bitta to'g'ri chiziqda yotadi.

Kontseptsiyaning o'ziga xos xususiyatlari

Uchburchakning tomonlarini hisoblash rasmning barcha boshqa parametrlarini aniqlashni o'z ichiga oladi. Ushbu segmentlarning har birining uzunligini bilib, siz uchburchakning perimetri, maydoni va hatto burchaklarini osongina hisoblashingiz mumkin.

Guruch. 1. Ixtiyoriy uchburchak.

Berilgan rasmning tomonlarini yig'ish orqali siz perimetrni aniqlashingiz mumkin.

P=a+b+c, bu yerda a, b, c uchburchakning tomonlari

Va uchburchakning maydonini topish uchun siz Heron formulasidan foydalanishingiz kerak.

$$S=\sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))$$

Bu erda p - yarim perimetr.

Berilgan geometrik figuraning burchaklari kosinus teoremasi yordamida hisoblanadi.

$$cos a=((b^2+c^2-a^2)\over(2bc))$$

Ma'nosi

Ushbu geometrik shaklning ba'zi xususiyatlari uchburchak tomonlari nisbati orqali ifodalanadi:

Uchburchakning eng kichik tomoni qarshisida uning eng kichik burchagi joylashgan.
Ko'rib chiqilayotgan geometrik figuraning tashqi burchagi tomonlardan birini kengaytirish orqali olinadi.
Qarshi teng burchaklar uchburchakning teng tomonlari bor.
Har qanday uchburchakda tomonlardan biri har doim boshqa ikkita segmentning farqidan kattaroqdir. Va bu raqamning har qanday ikki tomonining yig'indisi uchinchidan kattaroqdir.

Ikki uchburchakning tengligini ko'rsatadigan belgilardan biri bu geometrik shaklning barcha tomonlari yig'indisining nisbati. Agar bu qiymatlar bir xil bo'lsa, uchburchaklar teng bo'ladi.

Uchburchakning ba'zi xususiyatlari uning turiga bog'liq. Shuning uchun, birinchi navbatda, bu raqamning tomonlari yoki burchaklarining o'lchamini hisobga olishingiz kerak.

Uchburchaklarni shakllantirish

Agar ko'rib chiqilayotgan geometrik figuraning ikki tomoni bir xil bo'lsa, bu uchburchak teng yon tomonlar deb ataladi.

Guruch. 2. Teng yon tomonli uchburchak.

Agar uchburchakning barcha segmentlari teng bo'lsa, siz teng tomonli uchburchakni olasiz.

Guruch. 3. Teng yonli uchburchak.

O'zboshimchalik bilan uchburchakni ma'lum bir tur sifatida tasniflash mumkin bo'lgan hollarda har qanday hisob-kitobni amalga oshirish qulayroqdir. Chunki u holda bu geometrik figuraning kerakli parametrini topish ancha soddalashtiriladi.

To'g'ri tanlangan trigonometrik tenglama ixtiyoriy uchburchak ko'rib chiqiladigan ko'plab muammolarni hal qilishga imkon beradi.

Biz nimani o'rgandik?

Nuqtalar bilan bog'langan va bir xil to'g'ri chiziqqa tegishli bo'lmagan uchta segment uchburchak hosil qiladi. Bu tomonlar geometrik tekislikni hosil qiladi, u maydonni aniqlash uchun ishlatiladi. Ushbu segmentlardan foydalanib, siz perimetr va burchak kabi figuraning ko'plab muhim xususiyatlarini topishingiz mumkin. Uchburchakning tomonlar nisbati uning turini topishga yordam beradi. Berilgan geometrik figuraning ba'zi xossalaridan faqat uning har bir tomonining o'lchamlari ma'lum bo'lganda foydalanish mumkin.

Mavzu bo'yicha test

Maqola reytingi

O'rtacha reyting: 4.3. Qabul qilingan umumiy baholar: 142.

Agar burchaklaridan biri 90º bo'lsa, uchburchak to'g'ri burchakli uchburchak deyiladi. To'g'ri burchakka qarama-qarshi tomon gipotenuza, qolgan ikkitasi esa oyoqlar deb ataladi.

To'g'ri burchakli uchburchakda burchakni topish uchun to'g'ri burchakli uchburchaklarning ba'zi xususiyatlaridan foydalaniladi, xususan: o'tkir burchaklar yig'indisi 90º, shuningdek, uzunligi gipotenuzaning yarmiga teng bo'lgan oyoqqa qarama-qarshi tomonda joylashganligi. 30º ga teng burchak.

Maqolada tezkor navigatsiya

Izosceles uchburchagi

Teng yonli uchburchakning xususiyatlaridan biri shundaki, uning ikki burchagi tengdir. To'g'ri teng yonli uchburchakning burchaklarini hisoblash uchun siz quyidagilarni bilishingiz kerak:

To'g'ri burchak 90º.
O'tkir burchaklarning qiymatlari formula bo'yicha aniqlanadi: (180º-90º)/2=45º, ya'ni. a va b burchaklari 45º ga teng.

Agar o'tkir burchaklardan birining o'lchami ma'lum bo'lsa, ikkinchisini quyidagi formula yordamida topish mumkin: b=180º-90º-a yoki a=180º-90º-b. Ko'pincha bu nisbat burchaklardan biri 60º yoki 30º bo'lsa ishlatiladi.

Asosiy tushunchalar

Uchburchakning ichki burchaklarining yig'indisi 180º ga teng. Bir burchak to'g'ri bo'lgani uchun, qolgan ikkitasi o'tkir bo'ladi. Ularni topish uchun siz quyidagilarni bilishingiz kerak:

boshqa usullar

To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchaklarining qiymatlarini mediananing qiymatini bilish orqali hisoblash mumkin - uchburchakning uchidan qarama-qarshi tomoniga chizilgan chiziq va balandlik - perpendikulyar tushirilgan to'g'ri chiziq. to'g'ri burchakdan gipotenuzaga. To'g'ri burchakdan gipotenuzaning o'rtasiga chizilgan mediana s, balandlik bo'lsin. Bunday holda ma'lum bo'ladi:

sin a=b/(2*s); sin b =a/(2*s).
cos a=a/(2*s); cos b=b/(2*s).
sin a=h/b; sin b =h/a.

Ikki tomon

Agar to'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzaning uzunligi va oyoqlaridan biri yoki ikki tomoni ma'lum bo'lsa, o'tkir burchaklarning qiymatlarini topish uchun trigonometrik identifikatsiyalardan foydalaniladi:

a=arksin(a/c), b=arksin(b/c).
a=arcos(b/c), b=arcos(a/c).
a=arctg(a/b), b=arctg(b/a).