Jadvalda ko'rsatilgan funktsiyalarning o'rtacha kvadratiga yaqinlashishi. Kurs ishi: tipik matematik muammolarni yechishning sonli usullari Mavzu: Tenglamalar sistemasini yechish usullari.

Ko'pincha interpolyatsiya qilingan funktsiyaning qiymatlari y, y2 , ..., y„ ba'zi xatolar bilan tajriba natijasida aniqlanadi, shuning uchun interpolyatsiya tugunlarida aniq yaqinlikdan foydalanish mantiqiy emas. Bunday holda, funksiyani nuqtalar bilan emas, balki bo'yicha yaqinlashtirish tabiiyroqdir o'rtacha, ya'ni me'yorlardan birida L p.

Bo'shliq 1 p - ko'p funktsiyalar d(x), segmentida aniqlanadi [a, b] va agar norma belgilangan bo'lsa, p-chi quvvat bilan integrallanadigan modul

Bunday me'yordagi konvergentsiya konvergentsiya deb ataladi o'rtacha 1,2 fazo Gilbert deb ataladi va undagi konvergentsiya ildiz o'rtacha kvadrat.

Dx) funksiya va ph(x) funksiyalar to‘plami qandaydir chiziqli normalangan fazodan berilsin. Interpolyatsiya, yaqinlashish va yaqinlashish muammosi kontekstida quyidagi ikkita muammoni shakllantirish mumkin.

Birinchi vazifa ma'lum bir aniqlik bilan, ya'ni ma'lum bir ma'lumotga ko'ra, taxminan e ph(x) ni toping, shundayki |[Dx) - ph(x)|| tengsizlik G..

Ikkinchi vazifa- bu qidiruv eng yaxshi yaqinlik ya’ni munosabatni qanoatlantiradigan ph*(x) funksiyani izlash:

Keling, eng yaxshi yaqinlashuv mavjudligi uchun etarli shartni isbotsiz aniqlaylik. Buning uchun funksiyalarning chiziqli fazosida ifoda bilan parametrlangan to'plamni tanlaymiz

bu yerda ph[(x), ..., ph„(x) funksiyalar to‘plami chiziqli mustaqil hisoblanadi.

Chiziqli yaqinlashish (2.16) bilan har qanday normallashtirilgan fazoda eng yaxshi yaqinlashish mavjudligini ko'rsatish mumkin, garchi u har qanday chiziqli fazoda noyob bo'lmasa ham.

Og'irligi p(x) > 0 bo'lgan kvadrat integrallanuvchi haqiqiy funksiyalarning Hilbert fazosini LzCp) ko'rib chiqamiz, bu erda skalyar ko'paytma ( g, h) tomonidan belgilanadi

formula:

Chiziqli birikmani (2.16) eng yaxshi yaqinlashish shartiga almashtirib, topamiz

Koeffitsientlarga nisbatan hosilalarni tenglashtirish (D, k= 1, ..., P, chiziqli tenglamalar tizimini olamiz

(2.17) tenglamalar sistemasining determinanti Gram determinanti deyiladi. Gram determinanti nolga teng, chunki ph[(x), ..., ph„(x) funksiyalar tizimi chiziqli mustaqil deb faraz qilingan.

Shunday qilib, eng yaxshi taxmin mavjud va noyobdir. Uni olish uchun (2.17) tenglamalar tizimini yechish kerak. Agar ph1(x), ..., ph„(x) funksiyalar sistemasi ortogonallashtirilsa, ya’ni (ph/,ph,) = 5y, bu yerda 5, = 1, 8y = 0, SCH,ij = 1, ..., P, u holda tenglamalar tizimini quyidagi shaklda echish mumkin:

(2.18) ga muvofiq topilgan koeffitsientlar Q, ..., th umumiy Furye qatorining koeffitsientlari deyiladi.

Agar ph t (X),..., ph„(x),... funksiyalar to‘plami to‘liq sistemani tashkil qilsa, Parseval tengligi tufayli P -» co sifatida xatolik normasi cheksiz kamayadi. Bu shuni anglatadiki, eng yaxshi yaqinlik har qanday aniqlik bilan ildiz o'rtacha kvadratni Dx) ga yaqinlashadi.

E'tibor bering, (2.17) tenglamalar tizimini echish orqali eng yaxshi yaqinlik koeffitsientlarini izlashni amalga oshirish deyarli mumkin emas, chunki Gram matritsasining tartibi ortib borishi bilan uning determinanti tezda nolga intiladi va matritsa yomon sharoitda bo'ladi. Bunday matritsa bilan chiziqli tenglamalar tizimini yechish aniqlikni sezilarli darajada yo'qotishiga olib keladi. Keling, buni tekshirib ko'ramiz.

Darajalar funksiyalar tizimi sifatida tanlansin ph„ i =1, ..., P, ya'ni ph* = X 1 ", 1 = 1, ..., P, keyin segmentni taxminiy segment deb hisoblab, Gram matritsasini topamiz

(2.19) shakldagi Gram matritsasi Gilbert matritsasi deb ham ataladi. Bu yomon shartli matritsaning klassik namunasidir.

MATLAB dan foydalanib, ba'zi bir birinchi qiymatlar uchun (2.19) ko'rinishdagi Gilbert matritsasining determinantini hisoblaymiz. P. Ro'yxat 2.5 tegishli dastur uchun kodni ko'rsatadi.

Ro'yxat 23

%Hilbert matritsalarining determinantini hisoblash %ish maydonini tozalash hammasini tozalamoq;

%Hilbert matritsasining maksimal buyurtma qiymatini tanlang ptah =6;

%Hilbert matritsalarini yaratish va ularning determinantlarini hisoblash uchun sikl yaratish

n = 1 uchun: ptah d(n)=det(hi I b(n)); oxiri

%Hilbert matritsalarining determinantlari qiymatlarini chop etish

f o g t qisqa uchi

Listing 2.5 da kodni ishga tushirgandan so'ng, MATLAB buyruq oynasi birinchi oltita matritsa uchun Hilbert matritsalarining determinantlarining qiymatlarini ko'rsatishi kerak. Quyidagi jadvalda matritsalar (n) va ularning determinantlari (d) tartiblarining tegishli sonli qiymatlari ko'rsatilgan. Jadvalda Hilbert matritsasining determinanti tartib ortib borishi bilan qanchalik tez nolga intilishi va 5 va 6 tartiblardan boshlab u qabul qilib bo'lmaydigan darajada kichik bo'lishini aniq ko'rsatib turibdi.

Hilbert matritsalarining determinanti qiymatlari jadvali

ph, i = 1, ..., P funktsiyalar tizimini sonli ortogonallashtirish ham aniqlikni sezilarli darajada yo'qotishiga olib keladi, shuning uchun kengayishda ko'p sonli atamalarni hisobga olish uchun (2.16) kerak bo'ladi. ortogonallashtirishni analitik, ya'ni aniq amalga oshirish yoki ortogonal funktsiyalarning tayyor tizimini ishlatish.

Agar interpolyatsiya paytida ular odatda darajalarni bazis funktsiyalari tizimi sifatida ishlatsa, u holda o'rtacha yaqinlashganda, bazis funktsiyalari sifatida berilgan og'irlikdagi ortogonal ko'phadlar tanlanadi. Ulardan eng koʻp qoʻllaniladiganlari Yakobi koʻphadlari boʻlib, ularning alohida holi Legendre va Chebishev koʻphadlaridir. Lagsr va Hermit ko'phadlari ham qo'llaniladi. Ushbu polinomlar haqida batafsil ma'lumotni, masalan, ilovada topish mumkin Ortogonal polinomlar kitoblar

Jadvalda, masalan, tajribadan olingan, ya'ni xato bilan o'lchangan funksiya qiymatlari bo'lsin. So'ngra taxminan yordamida interpolyatsiya apparati , bu interpolyatsiya tugunlaridagi polinom qiymatlarini jadval qiymatlari bilan tenglashtirishga asoslangan, nomaqbul.

Muammoni bu tarzda shakllantirish bilan o'rtacha hisobda yaqinlashtirishni amalga oshirish kerak, ya'ni oz sonli parametrlarga ega bo'lgan juda oddiy analitik bog'liqlik bilan jadvallangan funktsiyani tavsiflash kerak. Ushbu parametrlarni optimal tanlash bizga jadvalda ko'rsatilgan funktsiyaning o'rtacha kvadratiga yaqinlashishini amalga oshirishga imkon beradi.

Analitik qaramlik turini tanlash koordinata tekisligida jadval ma'lumotlarini chizishdan boshlashingiz kerak - bu tajriba nuqtalari maydonini hosil qiladi. Bu nuqtalar maydoni orqali silliq egri chiziq chiziladi, shunda ba'zi nuqtalar bu egri chiziqda, ba'zi nuqtalar yuqorida va ba'zi nuqtalar chizilgan egri chiziqdan pastda bo'ladi. Ushbu egri chiziqning shakliga asoslanib, analitik bog'liqlik turini aniqlash kerak - bu chiziqli, kuch qonuni, giperbolik yoki boshqa.

Shu bilan birga, grafikdan analitik bog'liqlik turini ko'z bilan tanlash juda qiyin. Shuning uchun taklif qilindi analitik qaramlik turini taxminiy baholash va tanlash usuli. Bu usul haqiqatan ham taxminiy va noaniqdir, chunki eksperimental nuqtalar maydoni orqali egri chiziq turli usullar bilan chizilishi mumkin va hisoblash uchun jadvaldan turli mos yozuvlar nuqtalari olinishi mumkin va taklif qilingan usulning aniqligi noma'lum. Shu bilan birga, qaramlik turini tanlashning taxminiy usuli sifatida qaralishi mumkin.

Quyidagi harakatlar algoritmi taklif etiladi.

1. Dastlabki jadvalda koordinatalari (x 1,y 1) va (x n,y n) - mos yozuvlar nuqtalari bilan bir-biridan uzoqda joylashgan ikkita nuqtani tanlang va har bir koordinata juftligi uchun o'rtacha arifmetik, o'rtacha geometrik va garmonik o'rtachani hisoblang.

2. Tajriba nuqtalari maydoni orqali chizilgan egri chiziqda topilgan x ap, x geom, x zarar abscissalariga mos keladigan uchta ordinatani toping:

3. Egri chiziqda topilganlarni hisoblanganlar bilan solishtiring quyidagi farq modullarini hisoblash orqali:

4. Minimal qiymat topilgan qiymatlardan tanlanadi:

5. Xulosa: agar u minimal bo'lib chiqsa

Bog'liqlik chiziqli

Bog'liqlik eksponentdir

Kasrli chiziqli munosabat

Logarifmik bog'liqlik

Quvvatga bog'liqlik

Giperbolik qaramlik

Kasr-ratsional munosabat

Ushbu bog'liqliklarning har biri koordinata o'zgarishi yoki shunday deb ataladigan o'zgarishlarni amalga oshirish orqali chiziqli holatga keltirilishi mumkin. ma'lumotlarni moslashtirish.
Shunday qilib, birinchi bosqich parametrlari aniqlanmagan analitik bog'liqlik turini tanlash bilan yakunlanadi.

Ikkinchi bosqich tanlangan analitik bog'liqlik koeffitsientlarining eng yaxshi qiymatlarini aniqlashdan iborat. Shu maqsadda matematika eng kichik kvadrat usuli.

Usul nazariy bog'liqlikdan () hisoblanganlardan () berilgan jadval qiymatlarining kvadratik og'ishlari yig'indisini minimallashtirishga asoslangan: .

Tanlangan bog'liqlik bo'lsin to'g'ri chiziq: . Keling, uni funktsiyaga almashtiramiz: . Keyin funksionallik minimallashtiriladi:

Koeffitsientlarning eng yaxshi qiymatlarini topish uchun va ga nisbatan qisman hosilalarini topish va ularni nolga tenglashtirish kerak:

Transformatsiyalardan so'ng tenglamalar tizimi quyidagi shaklni oladi:

Ushbu chiziqli tenglamalar tizimini echish koeffitsientlar va chiziqli bog'liqlikning eng yaxshi qiymatlarini topishga imkon beradi.

Agar tanlangan qaramlik bo'lsa kvadratik parabola:

keyin funksionallik minimallashtiriladi: .

Parabola uchta o'zgaruvchan koeffitsientga ega - ularning eng yaxshi qiymatlari kerakli koeffitsientlarga nisbatan minimallashtirilgan funktsiyaning qisman hosilalarini nolga tenglashtirish orqali topilishi kerak. Bu koeffitsientlarni topish uchun quyidagi uchta chiziqli tenglama tizimini olish imkonini beradi:

1-misol. Quyidagi jadvalda berilgan qaramlik turini aniqlang.

Yechim.

Jadvalda ko'rsatilgan nuqtalar koordinata tekisligida chizilishi kerak - a eksperimental ma'lumotlar maydoni. Bu soha orqali olib boriladi silliq egri.

Jadvaldan tanlang ikkita mos yozuvlar nuqtasi (3;0,55) va (10;1,11) koordinatalari bilan va har bir abscissa va ordinatalar juftligi uchun arifmetik, geometrik va garmonik o‘rtacha qiymat hisoblanadi:

Tajriba nuqtalari maydoni bo'ylab chizilgan egri chiziq bo'ylab uchta hisoblangan abscissa uchun uchta mos ordinata aniqlanadi:

Etibor bering amalga oshirilayotgan hisob-kitoblarning yo'nalishi bo'yicha. Keyinchalik, ettita farq moduli aniqlanadi:

Bir-biriga yaqin uchta minimal qiymat olindi

Ikkinchi bosqichda eng kichik kvadratlar usuli yordamida ushbu bog'liqliklarning har biri uchun koeffitsientlarning eng yaxshi qiymatlari aniqlanishi kerak, so'ngra berilgan jadval qiymatlaridan standart og'ish hisoblanishi kerak.

Analitik bog'liqlikning yakuniy tanlovi standart og'ishning minimal qiymatidan kelib chiqqan holda amalga oshiriladi.

2-misol. Jadvalda eksperimental tadqiqotlar natijalari ko'rsatilgan, ularni to'g'ri chiziq bilan yaqinlashtirish mumkin. Eng kichik kvadratlar usuli yordamida chiziq koeffitsientlarining eng yaxshi qiymatlarini toping.

Yechim.

To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi: .

Koeffitsientlarning eng yaxshi qiymatlari aniqlanadigan va eng kichik kvadratlar usuliga asoslangan chiziqli tenglamalar tizimi quyidagi shaklga ega:

Jadvalning oxirgi qatorining 2, 3, 4 va 5 ustunlaridagi hisoblangan summalarni tenglamalar tizimiga almashtiramiz:

Chiziqli bog'liqlik koeffitsientlari qayerda aniqlanadi? Bu nazariy chiziq tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega ekanligini anglatadi:

. (*)

Jadvalning oltinchi ustunida argumentning berilgan qiymatlari uchun nazariy tenglama yordamida hisoblangan funktsiya qiymatlari ko'rsatilgan. Jadvalning ettinchi ustunida belgilangan funktsiya qiymatlari (3-ustun) va tenglama (*) yordamida hisoblangan nazariy qiymatlar (6-ustun) o'rtasidagi farqlar ko'rsatilgan.

Sakkizinchi ustunda nazariy qiymatlarning eksperimental qiymatlardan kvadratik og'ishlari ko'rsatilgan va kvadratik og'ishlarning yig'indisi aniqlanadi. Endi topishingiz mumkin

3-misol. Jadvalda keltirilgan eksperimental ma'lumotlar kvadratik parabola bilan yaqinlashtirilsin: Eng kichik kvadratlar usuli yordamida parabola koeffitsientlarining eng yaxshi qiymatlarini toping.

Yechim.

Parabola koeffitsientlarini aniqlash uchun chiziqli tenglamalar tizimi quyidagi shaklga ega:

Jadvalning oxirgi qatoridan tegishli miqdorlar tenglamalar tizimiga almashtiriladi:

Tenglamalar tizimini echish bizga koeffitsientlarning qiymatlarini aniqlash imkonini beradi:

Shunday qilib, jadvalda ko'rsatilgan segmentga bog'liqlik kvadratik parabola bilan yaqinlashadi:

Argumentning berilgan qiymatlari uchun berilgan formuladan foydalangan holda hisoblash sizga funktsiyaning nazariy qiymatlarini o'z ichiga olgan jadvalning to'qqizinchi ustunini yaratishga imkon beradi.

Nazariy qiymatlarning eksperimental qiymatlardan kvadrat og'ishlari yig'indisi jadvalning 11-ustunining oxirgi qatorida keltirilgan. Bu sizga aniqlash imkonini beradi standart og'ish:

AMALIY DARS № 3

Mavzu: Tenglamalar sistemasini yechish usullari

Gauss usuli - noma'lumlarni ketma-ket chiqarib tashlash usuli - guruhga tegishli aniq usullar va agar hisoblash xatosi bo'lmasa, aniq echimni olish mumkin edi.

Qo'lda hisob-kitoblarni amalga oshirayotganda, nazorat ustunini o'z ichiga olgan jadvalda hisob-kitoblarni amalga oshirish tavsiya etiladi. Quyida 4-tartibli chiziqli tenglamalar tizimini yechish uchun bunday jadvalning umumiy versiyasi keltirilgan.

				Bepul a'zolar	Tekshirish ustuni

				Bepul a'zolar	Tekshirish ustuni

1-misol. Gauss usulidan foydalanib, 4-tartibli tenglamalar tizimini yeching:

Ildizlarning bu taxminiy qiymatlari tenglamalarning dastlabki tizimiga almashtirilishi va hisoblanishi mumkin. qoldiqlar - , ular topilgan ildizlarni chap tomonga almashtirishda tizimning har bir tenglamasining o'ng va chap tomonlari orasidagi farqlardir. Keyin ular qoldiq tizimining bepul shartlari sifatida almashtiriladi va olinadi tuzatishlar

ildizlari -:

Oldingi bobda funktsiyalarni yaqinlashtirishning eng keng tarqalgan usullaridan biri - interpolyatsiya batafsil muhokama qilindi. Ammo bu usul yagona emas. Turli amaliy masalalarni yechishda va hisoblash sxemalarini qurishda ko'pincha boshqa usullar qo'llaniladi. Ushbu bobda biz o'rtacha kvadratik ildizlarni olish usullarini ko'rib chiqamiz. Taxminlovchilar nomi funktsiyani yaqinlashtirish masalasi ko'rib chiqiladigan metrik bo'shliqlar bilan bog'liq. 1-bobda biz “metrik chiziqli normalangan fazo” va “metrik Evklid fazosi” tushunchalari bilan tanishdik va yaqinlashish xatosi yaqinlashtirish masalasi ko‘rib chiqilayotgan fazo metrikasi bilan aniqlanishini ko‘rdik. Turli bo'shliqlarda xato tushunchasi turli xil ma'nolarga ega. Interpolatsiya xatosini ko'rib chiqayotganda, biz bunga e'tibor bermadik. Va bu bobda biz bu masalani batafsilroq ko'rib chiqishimiz kerak.

5.1. Trigonometrik ko'phadlar va Legendre ko'phadlari bo'yicha yaqinlashishlar Fazo l2

Intervalda Lebeg kvadrati integrallanishi mumkin bo'lgan funksiyalar to'plamini ko'rib chiqaylik
, ya'ni integral mavjud bo'lishi kerak
.

Aniq tengsizlik o'rinli bo'lgani uchun, funksiyalarning kvadrati bilan integrallashdan
Va
ularning har qanday chiziqli birikmasi ham kvadrat integrallanishi kerak
, (Qaerda
Va
 har qanday haqiqiy sonlar), shuningdek mahsulotning integralligi
.

Interval bo'yicha Lebeg ma'nosida kvadrat integrallanadigan funksiyalar to'plamini kiritamiz
, skalyar mahsulot ishlashi

. (5.1.1)

Integralning xossalaridan kelib chiqadiki, skalyar ko‘paytmaning kiritilgan amali Evklid fazosida skalyar ko‘paytmaning deyarli barcha xossalariga ega (1.10-band, 57-betga qarang):

Faqat birinchi xususiyat to'liq qondirilmaydi, ya'ni shart bajarilmaydi.

Aslida, agar
, keyin bunga amal qilmaydi
segmentida
. Kiritilgan operatsiya ushbu xususiyatga ega bo'lishi uchun kelajakda biz funktsiyalarni ajratmaslikka rozi bo'lamiz (ekvivalent deb hisoblaymiz)
Va
, buning uchun

.

Oxirgi eslatmani hisobga olgan holda, biz Lebeg kvadrat integrallanuvchi funktsiyalar to'plami (aniqrog'i, ekvivalent funksiyalar sinflari to'plami) Evklid fazosini tashkil etishiga amin bo'ldik, bunda skalyar ko'paytma operatsiyasi (5.1.1) formula bilan aniqlanadi. Bu fazo Lebeg fazosi deb ataladi va belgilanadi
yoki qisqaroq .

Har bir Evklid fazosi avtomatik ravishda normalangan va metrik bo'lgani uchun fazo
normalangan va metrik fazo ham hisoblanadi. Norm (elementning o'lchami) va metrik (elementlar orasidagi masofa) odatda standart tarzda kiritiladi:

(5.1.2)

(5.1.3)

Norm va metrikaning xossalari (aksiomalari) 1.10-bo'limda keltirilgan. Kosmos elementlari
funksiyalar emas, balki ekvivalent funksiyalar sinflaridir. Xuddi shu sinfga tegishli funktsiyalar har qanday chekli yoki hatto sanab o'tiladigan kichik to'plamda turli qiymatlarga ega bo'lishi mumkin
. Shuning uchun, kosmosdagi yaqinlashishlar
noaniq tarzda belgilanadi. Kosmosning bu yoqimsiz xususiyati
skalyar mahsulotdan foydalanish qulayligi tufayli to'lanadi.

Diskret Altman funktsiyalarini tekislash va shu bilan nazariyaga uzluksizlik g'oyasini kiritish uchun turli darajadagi polinom bo'yicha ildiz-o'rtacha kvadrat integral yaqinlashuvidan foydalanilgan.

Ma'lumki, teng masofadagi tugunlardagi interpolyatsiya polinomlari ketma-ketligi, hatto funktsiya cheksiz differensiallanadigan bo'lsa ham, har doim ham funktsiyaga yaqinlashmaydi. Taxminan funksiya uchun tugunlarning mos joylashuvidan foydalanib, polinom darajasini kamaytirish mumkin. . Altman funksiyalarining tuzilishi shundayki, funksiyaning yaqinlashuvini interpolyatsiya yo‘li bilan emas, balki normallashtirilgan chiziqli fazoda eng yaxshi o‘rtacha kvadrat yaqinlashuvini qurish orqali qo‘llash qulayroqdir. Keling, eng yaxshi yaqinlashtirishni qurishda asosiy tushunchalar va ma'lumotlarni ko'rib chiqaylik. Chiziqli normalangan fazolarda yaqinlashish va optimallashtirish masalalari qo'yiladi.

Metrik va chiziqli normalangan fazolar

Matematikadagi eng keng tushunchalarga "to'plam" va "xarita" kiradi. Qattiq bo'lmagan to'plamlar nazariyasidagi "to'plam", "to'plam", "to'plam", "oila", "tizim", "sinf" tushunchalari sinonim hisoblanadi.

"Operator" atamasi "xaritalash" atamasi bilan bir xil. "Operatsiya", "funksiya", "funktsional", "o'lchov" atamalari "xaritalash" tushunchasining alohida holatlaridir.

"Tuzilish" va "kosmos" atamalari matematik nazariyalarni aksiomatik qurishda ham fundamental ahamiyatga ega bo'ldi. Matematik tuzilmalarga toʻplam-nazariy tuzilmalar (tartibli va qisman tartiblangan toʻplamlar) kiradi; mavhum algebraik tuzilmalar (yarimguruhlar, guruhlar, halqalar, bo'linish halqalari, maydonlar, algebralar, panjaralar); differensial tuzilmalar (tashqi differentsial shakllar, tolali bo'shliqlar) , , , , , , .

Tuzilish deganda tashuvchi (asosiy to'plam), sonli maydon (yordamchi to'plam) va tashuvchining elementlari va maydon raqamlari bo'yicha aniqlangan xaritalash to'plamlaridan tashkil topgan chekli to'plam tushuniladi. Agar kompleks sonlar to‘plami tashuvchi sifatida qabul qilinsa, u ham asosiy, ham yordamchi to‘plam rolini o‘ynaydi. "Tuzilish" atamasi "kosmos" tushunchasi bilan bir xil.

Bo'sh joyni aniqlash uchun avval lotin va yunon harflari bilan belgilangan uning elementlari (nuqtalari) bilan tashuvchi to'plamini belgilashingiz kerak.

Tashuvchi haqiqiy (yoki murakkab) elementlar to'plami bo'lishi mumkin: raqamlar; vektorlar, ; Matritsalar, ; Ketma-ketliklar, ; Funktsiyalar;

Quyidagi to'plamlar tashuvchining elementlari sifatida ham harakat qilishi mumkin: haqiqiy o'q, tekislik, uch o'lchovli (va ko'p o'lchovli) fazo, almashtirish, harakat; mavhum to'plamlar.

Ta'rif. Metrik fazo - bu uchlikni tashkil etuvchi tuzilma, bunda xaritalash M dan har qanday x va y uchun ikkita argumentning manfiy bo'lmagan real funktsiyasidir va uchta aksiomani qondiradi.

• 1 - salbiy bo'lmaganlik; , da.
• 2- - simmetriya;
• 3- - refleksivlik aksiomasi.

elementlar orasidagi masofalar qayerda.

Metrik fazoda ko'rsatkich ko'rsatiladi va tashuvchining to'plamidan ikkita elementning yaqinligi tushunchasi shakllanadi.

Ta'rif. Haqiqiy chiziqli (vektor) fazo - bu struktura bo'lib, unda xaritalash tegishli elementlarni qo'shishning qo'shimcha operatsiyasi va xaritalash - sonni elementga ko'paytirish amalidir.

Amaliyot shuni anglatadiki, har qanday ikkita element uchun uchinchi element yagona aniqlangan, ularning yig'indisi deb ataladi va bilan belgilanadi va quyidagi aksiomalar bajariladi.

Kommutativ xususiyat.

Assotsiativ mulk.

Unda har qanday kishi uchun ushlab turadigan maxsus element mavjud.

har qanday odam bor, shuning uchun.

Element qarama-qarshi deb ataladi va orqali belgilanadi.

Amaliyot shuni anglatadiki, har qanday element va har qanday raqam uchun element aniqlanadi, bu bilan belgilanadi va aksiomalar bajariladi:

Chiziqli fazoning elementi (nuqtasi) vektor ham deyiladi. 1 - 4 aksiomalar modul deb ataladigan guruhni (qo'shimchani) belgilaydi, bu strukturadir.

Agar strukturadagi amal hech qanday aksiomalarga bo‘ysunmasa, bunday struktura guruhoidi deyiladi. Ushbu tuzilma juda zaif; unda assotsiativlik aksiomasi mavjud emas, keyin struktura monoid (yarimguruh) deb ataladi.

Tuzilishda xaritalash va 1-8 aksiomalardan foydalanib, chiziqlilik xususiyati ko'rsatilgan.

Shunday qilib, chiziqli bo'shliq guruh moduli bo'lib, uning tuzilishiga yana bitta operatsiya qo'shiladi - tashuvchining elementlarini 4 ta aksioma bilan raqamga ko'paytirish. Agar operatsiya o‘rniga 4 ta aksiomaga ega elementlarni ko‘paytirishning boshqa guruh operatsiyasi bilan bir qatorda distributivlik aksiomasini postulat qilsak, u holda maydon deb ataladigan struktura paydo bo‘ladi.

Ta'rif. Chiziqli normalangan fazo - bu xaritalash quyidagi aksiomalarni qondiradigan tuzilma:

• 1. va agar va faqat agar.
• 2. , .
• 3. , .

Va hokazo jami 11 aksiomada.

Masalan, agar haqiqiy sonlar maydoni strukturasiga uchta norma xossalariga ega bo'lgan modul qo'shilsa, bu erda haqiqiy sonlar, u holda haqiqiy sonlar maydoni normalangan bo'shliqqa aylanadi.

Normni kiritishning ikkita keng tarqalgan usuli mavjud: yoki bir hil qavariq funksionalning interval shaklini aniq ko'rsatish orqali , yoki skalyar ko'paytmani ko'rsatish orqali , .

Keling, funktsiya turini qiymatni o'zgartirib, son-sanoqsiz usullar bilan belgilash mumkin:

• 1. , .
• 2. , .

………………..

…………….

Vazifaga yondashishning ikkinchi keng tarqalgan usuli - makon tuzilishiga boshqa xaritalashni kiritish (odatda skalyar ko'paytma bilan belgilanadigan va deb ataladigan ikkita argumentning funktsiyasi).

Ta'rif. Evklid fazosi - bu skalyar ko'paytma me'yorni o'z ichiga olgan va aksiomalarni qondiradigan tuzilishdir:

• 4. , va agar va faqat agar

Evklid fazosida norma formula bilan hosil qilinadi

Skayar ko'paytmaning 1 - 4 xossalaridan normaning barcha aksiomalari qanoatlantirilishi kelib chiqadi. Agar skalyar mahsulot shaklda bo'lsa, u holda norma formuladan foydalanib hisoblanadi

Bo'shliq normasini skalyar ko'paytma yordamida aniqlab bo'lmaydi.

Skalyar ko‘paytmali fazolarda chiziqli normalangan fazolarda yo‘q bo‘lgan shunday sifatlar paydo bo‘ladi (elementlarning ortogonalligi, parallelogramma tengligi, Pifagor teoremasi, Apolloniyning o‘ziga xosligi, Ptolemey tengsizligi. Skayar ko‘paytmaning kiritilishi yaqinlashuvni samaraliroq yechish yo‘llarini beradi. muammolar.

Ta'rif. Chiziqli normalangan fazodagi elementlarning cheksiz ketma-ketligi, agar biron bir element uchun shunday bo'lishiga bog'liq bo'lgan son bo'ladigan element mavjud bo'lsa, norma-konvergent (oddiy yaqinlashuv yoki chegaraga ega) deyiladi.

Ta'rif. Elementlar ketma-ketligi, agar biron birining qanoatlantirilishiga qarab raqam bo'lsa, fundamental deyiladi (Trenogin Kolmogorov, Kantorovich, 48-bet).

Ta'rif. Banax fazosi - bu har qanday fundamental ketma-ketlik normaga nisbatan yaqinlashadigan struktura.

Ta'rif. Gilbert fazosi - bu har qanday fundamental ketma-ketlik skalyar ko'paytma tomonidan hosil qilingan normaga nisbatan yaqinlashadigan struktura.

Yarim kvadratik koordinatalar sistemasini olaylik. Bu koordinatalar tizimi bo'lib, unda abscissa o'qidagi masshtab kvadratik bo'ladi, ya'ni bo'linishlarning qiymatlari ifodaga muvofiq chiziladi, bu erda m - ba'zi uzunlik birliklarida masshtab, masalan, sm.

Ifodaga mos ravishda ordinata o'qi bo'ylab chiziqli masshtab chiziladi

Keling, ushbu koordinatalar tizimida tajriba nuqtalarini chizamiz. Agar ushbu grafikning nuqtalari taxminan to'g'ri chiziqda joylashgan bo'lsa, bu bizning bog'liqlik haqidagi taxminimizni tasdiqlaydi. y dan x(4.4) ko’rinishdagi funksiya bilan yaxshi ifodalanadi. Koeffitsientlarni topish uchun a Va b Endi siz yuqorida muhokama qilingan usullardan birini qo'llashingiz mumkin: cho'zilgan ip usuli, tanlangan nuqtalar usuli yoki o'rtacha usul.

Qattiq ip usuli xuddi chiziqli funktsiyaga nisbatan qo'llaniladi.

Tanlangan nuqtalar usuli biz buni shunday qo'llashimiz mumkin. To'g'ri chiziqli grafikda ikkita nuqtani (bir-biridan uzoqda) oling. Biz bu nuqtalarning koordinatalarini belgilaymiz va ( x, y). Keyin yozishimiz mumkin

Berilgan ikkita tenglama sistemasidan topamiz a Va b va ularni (4.4) formulaga almashtiring va empirik formulaning yakuniy shaklini oling.

Siz to'g'ri chiziqli grafik yaratishingiz shart emas, lekin raqamlarni oling, ( x,y) to'g'ridan-to'g'ri stoldan. Biroq, bu nuqtalarni tanlash bilan olingan formula kamroq aniq bo'ladi.

Egri chiziqni to'g'ri grafikga aylantirish jarayoni tekislash deyiladi.

O'rta usul. U chiziqli bog'liqlik holatidagi kabi qo'llaniladi. Tajriba nuqtalarini har bir guruhda bir xil (yoki deyarli bir xil) ball bilan ikkita guruhga ajratamiz. Tenglikni (4.4) quyidagicha qayta yozamiz

Birinchi guruh nuqtalari uchun qoldiqlar yig'indisini topamiz va ularni nolga tenglashtiramiz. Ikkinchi guruhning ochkolari uchun ham xuddi shunday qilamiz. Noma'lum ikkita tenglamani olamiz a Va b. Tenglamalar tizimini yechib, topamiz a Va b.

Shuni esda tutingki, bu usuldan foydalanganda yaqinlashtiruvchi to'g'ri chiziqni qurish shart emas. Yarim kvadratik koordinatalar sistemasidagi tarqalish grafigi faqat (4.4) ko'rinishdagi funksiya empirik formulaga mos kelishini tekshirish uchun kerak bo'ladi.

Misol. Haroratning xronometrning ishlashiga ta'sirini o'rganishda quyidagi natijalarga erishildi:

Bunday holda, biz haroratning o'zi emas, balki uning dan og'ishi bilan qiziqamiz. Shuning uchun, biz argument sifatida qabul qilamiz , qaerda t- odatdagi shkala bo'yicha Selsiy bo'yicha harorat.

Dekart koordinata sistemasidagi mos nuqtalarni chizib, ordinata o'qiga parallel bo'lgan o'qi bo'lgan parabolani yaqinlashuvchi egri chiziq sifatida olish mumkinligini ko'ramiz (4-rasm). Yarim kvadratik koordinatalar sistemasini olib, uning ustida tajriba nuqtalarini chizamiz. Bu nuqtalar to'g'ri chiziqqa juda mos kelishini ko'ramiz. Shunday qilib, empirik formula

(4.4) shaklida qidirish mumkin.

Keling, koeffitsientlarni aniqlaymiz a Va b o'rtacha usuli yordamida. Buning uchun tajriba nuqtalarini ikki guruhga ajratamiz: birinchi guruhda - birinchi uch ball, ikkinchisida - qolgan to'rtta ball. Tenglikdan (4.5) foydalanib, biz har bir guruh uchun qoldiqlar yig'indisini topamiz va har bir yig'indini nolga tenglaymiz.