Talabalar va maktab o'quvchilari - o'qishlarida yordam. Variatsion qator tushunchasi. Variatsion qator turlari Berilgan variatsion qatorlar

Guruhlash usuli ham o'lchash imkonini beradi o'zgaruvchanlik belgilarning (o'zgaruvchanligi, tebranishi). Agar populyatsiyadagi birliklar soni nisbatan kichik bo'lsa, o'zgaruvchanlik populyatsiyani tashkil etuvchi birliklarning tartiblangan soniga qarab o'lchanadi. Serial deyiladi tartiblangan, agar birliklar xarakteristikaning o'sishi (kamayishi) tartibida joylashtirilgan bo'lsa.

Biroq, o'zgaruvchanlikning qiyosiy xarakteristikasi zarur bo'lganda, tartiblangan seriyalar juda ko'rsatkichdir. Bundan tashqari, ko'p hollarda biz ko'p sonli birliklardan tashkil topgan statistik populyatsiyalar bilan shug'ullanishimiz kerak, ularni aniq bir qator shaklida ifodalash amalda qiyin. Shu munosabat bilan, statistik ma'lumotlar bilan dastlabki umumiy tanishish uchun va ayniqsa xususiyatlarning o'zgarishini o'rganishni osonlashtirish uchun o'rganilayotgan hodisa va jarayonlar odatda guruhlarga birlashtiriladi va guruhlash natijalari guruh jadvallari shaklida taqdim etiladi.

Agar guruh jadvalida faqat ikkita ustun bo'lsa - tanlangan xarakteristikaga (variantlarga) va guruhlar soniga (chastota yoki chastota) ko'ra guruhlar, u deyiladi. yaqin tarqatish.

Tarqatish diapazoni - xarakteristikaning variantlari va chastotalarini o'z ichiga olgan ikkita ustunli guruh jadvalida ko'rsatilgan bitta xarakteristikaga asoslangan eng oddiy tizimli guruhlash turi. Ko'p hollarda, bunday tizimli guruhlash bilan, ya'ni. Tarqatish seriyalarini tuzish bilan dastlabki statistik materialni o'rganish boshlanadi.

Agar tanlangan guruhlar nafaqat chastotalar, balki boshqa statistik ko'rsatkichlar bilan ham tavsiflangan bo'lsa, taqsimot qatori ko'rinishidagi tarkibiy guruhlash haqiqiy tarkibiy guruhga aylanishi mumkin. Tarqatish seriyalarining asosiy maqsadi xarakteristikalar o'zgarishini o'rganishdir. Tarqatish qatorlari nazariyasi matematik statistika tomonidan batafsil ishlab chiqilgan.

Tarqatish seriyalari quyidagilarga bo'linadi atributiv(atributiv belgilarga ko'ra guruhlash, masalan, aholini jinsi, millati, oilaviy ahvoli va boshqalar bo'yicha ajratish) va o'zgaruvchan(miqdoriy belgilar bo'yicha guruhlash).

Variatsiya seriyasi ikki ustunni o'z ichiga olgan guruh jadvali: bitta miqdoriy belgi bo'yicha birliklarni guruhlash va har bir guruhdagi birliklar soni. Variatsiya qatoridagi intervallar odatda teng va yopiq shaklda hosil bo'ladi. Variatsiya qatori Rossiya aholisining jon boshiga o'rtacha pul daromadlari bo'yicha quyidagi guruhlanishidir (3.10-jadval).

3.10-jadval

2004-2009 yillarda Rossiya aholisining aholi jon boshiga o'rtacha daromadlari bo'yicha taqsimlanishi.

Aholi jon boshiga o'rtacha pul daromadlari bo'yicha aholi guruhlari, rub./oy	Guruhdagi aholi soni, jami %





8 000,1-10 000,0
10 000,1-15 000,0
15 000,1-25 000,0
25 000,0 dan ortiq
Butun aholi

Variatsion qatorlar, o'z navbatida, diskret va intervallarga bo'linadi. Diskret variatsion seriyalar tor chegaralarda o'zgarib turadigan diskret xarakteristikalar variantlarini birlashtiradi. Diskret o'zgaruvchanlik seriyasiga misol - rus oilalarini bolalar soni bo'yicha taqsimlash.

Interval Variatsion seriyalar uzluksiz xarakteristikalar yoki keng diapazonda o'zgarib turadigan diskret xarakteristikalar variantlarini birlashtiradi. Interval - bu Rossiya aholisining jon boshiga o'rtacha pul daromadlari bo'yicha taqsimlanishining o'zgaruvchan seriyasidir.

Diskret variatsion qatorlar amalda unchalik ko'p qo'llanilmaydi. Shu bilan birga, ularni tuzish qiyin emas, chunki guruhlarning tarkibi o'rganilayotgan guruhlash xususiyatlariga ega bo'lgan o'ziga xos variantlar bilan belgilanadi.

Intervalli variatsion qatorlar keng tarqalgan. Ularni tuzishda guruhlar soni, shuningdek, o'rnatilishi kerak bo'lgan intervallarning hajmi haqida qiyin savol tug'iladi.

Ushbu masalani hal qilish tamoyillari statistik guruhlarni tuzish metodologiyasi bobida keltirilgan (3.3-bandga qarang).

Variatsiya qatorlari turli xil ma'lumotlarni ixcham shaklga aylantirish yoki siqish vositasi bo'lib, ulardan o'zgaruvchanlikning tabiati haqida aniq xulosa chiqarish va o'rganilayotgan to'plamga kiritilgan hodisalarning xususiyatlaridagi farqlarni o'rganish mumkin. Ammo variatsion qatorlarning eng muhim ahamiyati shundaki, ular asosida variatsiyaning maxsus umumlashtiruvchi xarakteristikalari hisoblab chiqiladi (7-bobga qarang).

Guruhlash- bu populyatsiyaning qandaydir belgilarga ko'ra bir jinsli bo'lgan guruhlarga bo'linishi.

Xizmat maqsadi. Onlayn kalkulyator yordamida siz:

variatsiya seriyasini yaratish, gistogramma va ko'pburchak qurish;
o'zgaruvchanlik ko'rsatkichlarini (o'rtacha, rejim (shu jumladan grafik), mediana, o'zgaruvchanlik diapazoni, kvartillar, desillar, kvartil differensiallanish koeffitsienti, variatsiya koeffitsienti va boshqa ko'rsatkichlar) toping;

Ko'rsatmalar. Seriyani guruhlash uchun siz olingan variatsiya seriyasining turini (diskret yoki intervalli) tanlashingiz va ma'lumotlar miqdorini (satrlar soni) ko'rsatishingiz kerak. Olingan yechim Word faylida saqlanadi (statistik ma'lumotlarni guruhlash misoliga qarang).

Agar guruhlash allaqachon amalga oshirilgan bo'lsa va diskret o'zgaruvchan qator yoki intervalli qator, keyin onlayn kalkulyator Variatsiya indekslaridan foydalanishingiz kerak. Tarqatish turi haqidagi gipotezani tekshirish tarqatish shaklini o'rganish xizmati yordamida amalga oshiriladi.

Statistik guruhlarning turlari

Variatsiya seriyasi. Diskret tasodifiy miqdorni kuzatishda bir xil qiymatga bir necha marta duch kelish mumkin. Tasodifiy o'zgaruvchining bunday x i qiymatlari qayd etilgan bo'lib, u n ta kuzatishda paydo bo'lgan n i sonini ko'rsatadi, bu qiymatning chastotasi.
Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchida guruhlash amaliyotda qo'llaniladi.

Tipologik guruhlash- bu o'rganilayotgan sifat jihatidan turlicha bo'lmagan aholining sinflarga, ijtimoiy-iqtisodiy tiplarga, birliklarning bir jinsli guruhlariga bo'linishi. Ushbu guruhlashni yaratish uchun Discrete variation series parametridan foydalaning.
Guruhlash strukturaviy deb ataladi, bunda bir jinsli populyatsiya qandaydir o'zgaruvchan belgilarga ko'ra tuzilishini tavsiflovchi guruhlarga bo'linadi. Ushbu guruhlashni yaratish uchun Interval seriyasi parametridan foydalaning.
O'rganilayotgan hodisalar va ularning xususiyatlari o'rtasidagi munosabatlarni ochib beruvchi guruhlash deyiladi analitik guruh(qarang: seriyalarning analitik guruhlanishi).

Misol № 1. 2-jadvaldagi ma'lumotlarga asoslanib, Rossiya Federatsiyasining 40 ta tijorat banklari uchun tarqatish seriyasini tuzing. Olingan taqsimot qatoridan foydalanib aniqlang: bir tijorat bankiga o'rtacha foyda, bir tijorat bankiga o'rtacha kredit qo'yilmalari, foydaning modal va o'rtacha qiymati; kvartillar, desillar, oʻzgarish diapazoni, oʻrtacha chiziqli ogʻish, standart ogʻish, oʻzgarish koeffitsienti.

Yechim:
Bobda "Statistik seriyalar turi" Diskret qatorni tanlang. Exceldan qo'shish-ni bosing. Guruhlar soni: Sturgess formulasi bo'yicha

Statistik guruhlarni tuzish tamoyillari

O'sish tartibida tartiblangan bir qator kuzatishlar deyiladi variatsion qator . Guruhlash xususiyati populyatsiyani alohida guruhlarga bo'lish xususiyati. U guruhning asosi deb ataladi. Guruhlash ham miqdoriy, ham sifat xususiyatlariga asoslanishi mumkin.
Guruhlashtirish asoslarini aniqlagandan so'ng, o'rganilayotgan aholini qaysi guruhlarga bo'lish kerakligi masalasi hal qilinishi kerak.

Statistik ma'lumotlarni qayta ishlash uchun shaxsiy kompyuterlardan foydalanishda ob'ekt birliklarini guruhlash standart protseduralar yordamida amalga oshiriladi.
Bunday protseduralardan biri guruhlarning optimal sonini aniqlash uchun Sturgess formulasidan foydalanishga asoslangan:

k = 1+3,322*log(N)

Bu erda k - guruhlar soni, N - aholi birliklari soni.

Qisman intervallarning uzunligi h=(x max -x min)/k sifatida hisoblanadi

Keyin bu intervallarga to'g'ri keladigan kuzatishlar soni hisoblanadi, ular chastotalar sifatida qabul qilinadi n i . Qiymatlari 5 dan kam bo'lgan bir nechta chastotalar (n i< 5), следует объединить. в этом случае надо объединить и соответствующие интервалы.
X i =(c i-1 +c i)/2 oraliqlarining o'rta qiymatlari yangi qiymatlar sifatida qabul qilinadi.

Misol № 3. 5% tasodifiy namunani olish natijasida mahsulotlarning namlik miqdori bo'yicha quyidagi taqsimoti olingan. Hisoblang: 1) namlikning o'rtacha foizi; 2) namlikning o'zgarishini tavsiflovchi ko'rsatkichlar.
Yechim kalkulyator yordamida olingan: 1-misol

Variatsiya qatorini tuzing. Topilgan qatorlar asosida taqsimot poligonini, gistogrammasini tuzing va to'plang. Rejim va medianani aniqlang.
Yechimni yuklab oling

Misol. Namuna kuzatish natijalariga ko'ra (A namunasi, Ilova):
a) variatsion qator yasash;
b) nisbiy chastotalar va to'plangan nisbiy chastotalarni hisoblash;
v) ko‘pburchak yasash;
d) empirik taqsimot funksiyasini yaratish;
e) empirik taqsimot funksiyasini chizing;
f) sonli xarakteristikani hisoblash: o'rtacha arifmetik, dispersiya, standart og'ish. Yechim

4-jadvalda (1-ilova) keltirilgan va sizning tanlovingizga mos keladigan ma'lumotlarga asoslanib, quyidagilarni bajaring:

Strukturaviy guruhlashdan kelib chiqib, 6 ga teng guruhlar sonini olib, teng yopiq intervallardan foydalangan holda variatsion chastota va kümülatif taqsimot qatorlarini tuzing. Natijalarni jadval ko'rinishida taqdim eting va grafik ko'rsating.
Hisoblash orqali taqsimotning variatsion qatorini tahlil qiling:
- xarakteristikaning o'rtacha arifmetik qiymati;
- rejim, mediana, 1-kvartil, 1-va 9-desil;
- standart og'ish;
- o'zgaruvchanlik koeffitsienti.
Xulosa chiqaring.

Majburiy: qatorlarni tartiblash, intervalli taqsimot qatorini qurish, oʻrtacha qiymatni, oʻrtacha qiymatning oʻzgaruvchanligini, tartiblangan va intervalli qatorlar uchun rejim va medianani hisoblash.

Dastlabki ma'lumotlarga asoslanib, diskret variatsion qatorni tuzing; uni statistik jadval va statistik grafiklar shaklida taqdim eting. 2). Dastlabki ma'lumotlarga asoslanib, teng intervalli intervalli o'zgarishlar qatorini tuzing. Intervallar sonini o'zingiz tanlang va bu tanlovni tushuntiring. Olingan o'zgarishlar qatorini statistik jadval va statistik grafiklar ko'rinishida taqdim eting. Amaldagi jadval va grafiklarning turlarini ko'rsating.

Mijozlari soni juda ko'p bo'lgan pensiya jamg'armasida mijozlarga xizmat ko'rsatishning o'rtacha davomiyligini aniqlash uchun tasodifiy takrorlanmaydigan tanlov sxemasidan foydalangan holda 100 nafar mijoz o'rtasida so'rov o'tkazildi. So'rov natijalari jadvalda keltirilgan. Toping:
a) pensiya jamg'armasining barcha mijozlari uchun 0,9946 ehtimollik bilan o'rtacha xizmat ko'rsatish muddatini o'z ichiga olgan chegaralar;
b) xizmat ko'rsatish muddati 6 daqiqadan kam bo'lgan barcha fond mijozlarining ulushi namunadagi bunday mijozlar ulushidan 10% dan ko'p bo'lmagan (mutlaq qiymatda) farq qilish ehtimoli;
c) takroriy tanlab olish hajmi, unda 0,9907 ehtimollik bilan xizmat muddati 6 daqiqadan kam bo'lgan barcha fond mijozlarining ulushi bunday mijozlarning tanlovdagi ulushidan 10 dan ko'p bo'lmagan farq qiladi, deb aytish mumkin. % (mutlaq qiymatda).
2. 1-topshiriq bo'yicha, Pirsonning X2 testidan foydalanib, a = 0,05 ahamiyatlilik darajasida, gipotezani sinab ko'ring. tasodifiy qiymat X - mijozlarga xizmat ko'rsatish vaqti - oddiy qonunga muvofiq taqsimlanadi. Bitta chizmada empirik taqsimotning gistogrammasini va mos keladigan normal egri chiziqni tuzing.
Yechimni yuklab oling

100 ta element namunasi berilgan. Kerakli:

Reytingli variatsiyalar qatorini tuzing;
Seriyaning maksimal va minimal shartlarini toping;
Intervalli qatorni qurish uchun o'zgaruvchanlik diapazoni va optimal intervallar sonini toping. Intervalli qator oraliq uzunligini toping;
Intervalli qatorni tuzing. Tuzilgan intervallarga tushgan namunaviy elementlarning chastotalarini toping. Har bir intervalning o'rta nuqtalarini toping;
Gistogramma va chastota poligonini tuzing. bilan solishtiring normal taqsimot(analitik va grafik);
Empirik taqsimot funksiyasini chizing;
Namuna raqamli xarakteristikalarini hisoblang: namunaviy o'rtacha va markaziy namuna momenti;
Standart og'ish, egrilik va kurtozning taxminiy qiymatlarini hisoblang (MS Excel tahlil paketi yordamida). Taxminiy hisoblangan qiymatlarni aniq qiymatlar bilan solishtiring (MS Excel formulalari yordamida hisoblangan);
Tanlangan grafik tavsiflarni tegishli nazariy xususiyatlar bilan solishtiring.

Yechimni yuklab oling

Mahsulot ishlab chiqarish va foyda miqdori, million rubl bo'yicha quyidagi namunaviy ma'lumotlar mavjud (10% namuna, mexanik). Asl ma'lumotlarga ko'ra:
Vazifa 13.1.
13.1.1. Teng intervalli beshta guruhni tashkil etuvchi korxonalarni foyda miqdori bo'yicha taqsimlashning statistik qatorini tuzing. Tarqatish seriyalarining grafiklarini tuzing.
13.1.2. Foyda miqdori bo'yicha korxonalarning taqsimot qatorining sonli xarakteristikalarini hisoblang: o'rtacha arifmetik, standart og'ish, dispersiya, variatsiya koeffitsienti V. Xulosa qiling.
Vazifa 13.2.
13.2.1. 0,997 ehtimollik bilan bitta korxonaning umumiy aholi tarkibidagi foyda miqdori qaysi chegaralarda joylashganligini aniqlang.
13.2.2. Pirsonning x2 testidan foydalanib, a ahamiyatlilik darajasida X tasodifiy o'zgaruvchisi - foyda miqdori normal qonun bo'yicha taqsimlanadi degan gipotezani sinab ko'ring.
13.3-topshiriq.
13.3.1. Tanlangan regressiya tenglamasining koeffitsientlarini aniqlang.
13.3.2. Ishlab chiqarilgan mahsulot tannarxi (X) va korxonaga to'g'ri keladigan foyda miqdori (Y) o'rtasidagi bog'liqlikning mavjudligi va xarakterini aniqlash. Tarqalish va regressiya chizig'ini qurish.
13.3.3. Chiziqli korrelyatsiya koeffitsientini hisoblang. Student's t-testidan foydalanib, korrelyatsiya koeffitsientining ahamiyatini tekshiring. Chaddok shkalasi yordamida X va Y omillar o'rtasidagi yaqin bog'liqlik haqida xulosa chiqaring.
Ko'rsatmalar . 13.3-topshiriq ushbu xizmat yordamida bajariladi.
Yechimni yuklab oling

Vazifa. Quyidagi ma'lumotlar mijozlarning shartnomalar tuzishga sarflagan vaqtini ko'rsatadi. Taqdim etilgan ma'lumotlarning intervalli o'zgarishlar qatorini, gistogrammasini tuzing, xolis baho toping matematik kutish, noxolis va xolis dispersiya hisoblagichi.

Misol. 2-jadvalga muvofiq:
1) Rossiya Federatsiyasining 40 ta tijorat banklari uchun tarqatish seriyasini qurish:
A) foyda bo'yicha;
B) kredit qo'yilmalari miqdori bo'yicha.
2) Olingan taqsimot qatoridan foydalanib, aniqlang:
A) tijorat bankiga to‘g‘ri keladigan o‘rtacha foyda;
B) tijorat bankiga o'rtacha hisobda kredit qo'yilmalari;
C) foydaning modal va median qiymati; kvartillar, desillar;
D) kredit qo’yilmalarining modal va median qiymati.
3) 1-bosqichda olingan taqsimot qatorlaridan foydalanib, hisoblang:
a) o'zgaruvchanlik diapazoni;
b) o'rtacha chiziqli og'ish;
c) standart og'ish;
d) o'zgaruvchanlik koeffitsienti.
Jadval shaklida kerakli hisob-kitoblarni bajaring. Natijalarni tahlil qiling. Xulosa chiqaring.
Olingan taqsimot seriyasining grafiklarini tuzing. Rejim va medianani grafik tarzda aniqlang.

Yechim:
Teng intervalli guruhlash uchun biz statistik ma'lumotlarni guruhlash xizmatidan foydalanamiz.

1-rasm – Parametrlarni kiritish

Parametrlarning tavsifi
Chiziqlar soni: kiritilgan ma'lumotlar soni. Agar qator kattaligi kichik bo'lsa, uning miqdorini ko'rsating. Agar tanlov etarlicha katta bo'lsa, Exceldan qo'shish tugmasini bosing.
Guruhlar soni: 0 – guruhlar soni Sturgess formulasi bilan aniqlanadi.
Guruhlarning ma'lum soni ko'rsatilgan bo'lsa, uni belgilang (masalan, 5).
Seriya turi: Diskret qator.
Muhimlik darajasi: masalan 0,954. Ushbu parametr o'rtacha ishonch oralig'ini aniqlash uchun o'rnatiladi.
Namuna: Masalan, 10% mexanik namuna olish amalga oshirildi. Biz 10 raqamini ko'rsatamiz. Bizning ma'lumotlarimiz uchun biz 100 ni ko'rsatamiz.

Sifat yoki miqdoriy xarakterdagi umumiy xususiyat yoki xususiyat bilan birlashtirilgan ob'ektlar yoki hodisalar to'plami deyiladi. kuzatish ob'ekti .

Har bir statistik kuzatish ob'ekti alohida elementlardan iborat - kuzatish birliklari .

Statistik kuzatish natijalari raqamli ma'lumotlarni ifodalaydi - ma'lumotlar . Statistik ma'lumotlar - bu tadqiqotchini qiziqtiradigan xususiyat statistik populyatsiyada qanday qiymatlarni olganligi haqidagi ma'lumot.

Agar xarakteristikaning qiymatlari raqamlar bilan ifodalangan bo'lsa, u holda xarakteristika deyiladi miqdoriy .

Agar belgi populyatsiya elementlarining qandaydir xususiyatini yoki holatini tavsiflasa, u holda belgi deyiladi yuqori sifatli .

Agar populyatsiyaning barcha elementlari o'rganilishi (uzluksiz kuzatuv) bo'lsa, u holda statistik populyatsiya deyiladi. umumiy

Agar umumiy populyatsiya elementlarining bir qismi tadqiq qilinadigan bo'lsa, u holda statistik populyatsiya deyiladi tanlab olish (namuna olish) . Populyatsiyadan namuna tasodifiy tarzda olinadi, shuning uchun namunadagi n ta elementning har biri tanlanish imkoniyati teng bo'ladi.

Populyatsiyaning bir elementidan ikkinchisiga o'tishda xarakterli o'zgarishlarning qiymatlari (o'zgaradi), shuning uchun statistikada xarakteristikaning turli qiymatlari ham deyiladi. variantlari . Variantlar odatda x, y, z kichik lotin harflari bilan belgilanadi.

Variantning seriya raqami (xarakterli qiymat) chaqiriladi daraja . x 1 - 1-variant (atributning 1-qiymati), x 2 - 2-variant (atributning 2-qiymati), x i - i-variant (i-chi qiymat belgisi).

Tegishli og'irliklari bilan o'sish yoki kamayish tartibida tartiblangan bir qator atribut qiymatlari (variantlar) deyiladi. variatsion seriyalar (tarqatish seriyalari).

Sifatda tarozilar chastotalar yoki chastotalar paydo bo'ladi.

Chastotasi(m i) u yoki bu variant (atribut qiymati) statistik populyatsiyada necha marta sodir bo'lishini ko'rsatadi.

Chastota yoki nisbiy chastota(w i) aholi birliklarining qaysi qismi u yoki bu variantga ega ekanligini ko'rsatadi. Chastota ma'lum bir variant chastotasining ketma-ket barcha chastotalar yig'indisiga nisbati sifatida hisoblanadi.

. (6.1)

Barcha chastotalar yig'indisi 1 ga teng.

. (6.2)

Variatsion qatorlar diskret va intervalli.

Diskret variatsion qator Ular odatda, agar o'rganilayotgan xarakteristikaning qiymatlari bir-biridan ma'lum bir cheklangan miqdordan kam bo'lmagan farq qilsa, tuziladi.

Diskret o'zgaruvchan qatorlarda xarakteristikaning nuqta qiymatlari ko'rsatilgan.

Diskret o'zgaruvchanlik qatorining umumiy ko'rinishi 6.1-jadvalda keltirilgan.

6.1-jadval

bu erda i = 1, 2, … , l.

Intervalli variatsion qatorlarda har bir intervalda intervalning yuqori va pastki chegaralari ajratiladi.

Intervalning yuqori va pastki chegaralari orasidagi farq deyiladi interval farqi yoki intervalning uzunligi (qiymati). .

Birinchi k 1 oraliqning qiymati quyidagi formula bilan aniqlanadi:

k 1 = a 2 - a 1;

ikkinchisi: k 2 = a 3 - a 2; ...

oxirgi: k l = a l - a l -1.

Umuman interval farqi k i formula bilan hisoblanadi:

k i = x i (maksimal) - x i (min) . (6.3)

Agar interval ikkala chegaraga ega bo'lsa, u chaqiriladi yopiq .

Birinchi va oxirgi intervallar bo'lishi mumkin ochiq , ya'ni. faqat bitta chegaraga ega.

Masalan, birinchi interval "100 gacha", ikkinchisi - "100-110", ..., ikkinchidan oxirgi - "190-200", oxirgi - "200 va undan ko'p" sifatida o'rnatilishi mumkin. Shubhasiz, birinchi intervalning pastki chegarasi yo'q va oxirgisining yuqori chegarasi yo'q, ikkalasi ham ochiq.

Ko'pincha ochiq intervallarni shartli ravishda yopish kerak. Buning uchun odatda birinchi intervalning qiymati ikkinchisining qiymatiga, oxirgisining qiymati esa oxirgidan oldingi qiymatiga teng bo'ladi. Bizning misolimizda ikkinchi intervalning qiymati 110-100=10 ga teng, shuning uchun birinchi intervalning pastki chegarasi shartli ravishda 100-10=90 bo'ladi; oxirgi oraliqning qiymati 200-190=10 ga teng, shuning uchun oxirgi intervalning yuqori chegarasi shartli ravishda 200+10=210 bo'ladi.

Bundan tashqari, intervalli o'zgarishlar qatorida turli uzunlikdagi intervallar bo'lishi mumkin. Agar variatsion qatordagi intervallar bir xil uzunlikka (intervallar farqiga) ega bo‘lsa, ular deyiladi hajmiga teng , aks holda - hajmi bo'yicha teng bo'lmagan.

Intervalli variatsion qatorni qurishda ko'pincha intervallar o'lchamini (intervallar farqi) tanlash muammosi paydo bo'ladi.

Intervallarning optimal hajmini aniqlash uchun (agar ketma-ket teng oraliqlar bilan tuzilgan bo'lsa) foydalaning Sturgess formulasi:

, (6.4)

bu erda n - populyatsiyadagi birliklar soni,

x (maks) va x (min) - ketma-ket variantlarning eng katta va eng kichik qiymatlari.

Variatsion qatorlarni xarakterlash uchun chastotalar va chastotalar bilan bir qatorda to'plangan chastotalar va chastotalar qo'llaniladi.

Yig'ilgan chastotalar (chastotalar) aholining nechta birligi (ularning qaysi qismi) berilgan qiymatdan (variantdan) oshmaganligini ko'rsating x.

Yig'ilgan chastotalar ( v i) yordamida diskret qator ma'lumotlarga asoslangan holda hisoblash mumkin quyidagi formula:

. (6.5)

Intervalli o'zgarishlar seriyasi uchun bu barcha intervallarning chastotalari (chastotalari) bundan oshmaydigan yig'indisidir.

Diskret variatsiyalar qatori yordamida grafik tasvirlash mumkin chastotalarni taqsimlash poligoni yoki chastotalar.

Tarqatish poligonini qurishda xarakteristikaning (variantlarning) qiymatlari abscissa o'qi bo'ylab, chastotalar yoki chastotalar esa ordinat o'qi bo'ylab chiziladi. Atribut qiymatlari va mos keladigan chastotalar (chastotalar) kesishmasida nuqtalar qo'yiladi, ular o'z navbatida segmentlar bilan bog'lanadi. Olingan siniq chiziq chastota (chastota) taqsimot poligoni deb ataladi.

x k

x 2

x 1 x i

Guruch. 6.1.

Intervalli o'zgarishlar qatorlari yordamida grafik tasvirlash mumkin gistogrammalar, ya'ni. ustunli diagramma.

Gistogrammani qurishda o'rganilayotgan xarakteristikaning qiymatlari (interval chegaralari) abscissa o'qi bo'ylab chiziladi.

Agar intervallar bir xil o'lchamda bo'lsa, chastotalar yoki chastotalar ordinata o'qi bo'ylab chizilishi mumkin.

Agar intervallar turli o'lchamlarga ega bo'lsa, mutlaq yoki nisbiy taqsimot zichligi qiymatlari ordinata o'qi bo'ylab chizilishi kerak.

Mutlaq zichlik- interval chastotasining interval kattaligiga nisbati:

; (6.6)

Bu yerda: f(a) i - i-chi intervalning mutlaq zichligi;

m i - i-chi intervalning chastotasi;

k i - i-chi intervalning qiymati (intervallar farqi).

Mutlaq zichlik birlik oralig'ida qancha aholi birliklari mavjudligini ko'rsatadi.

Nisbiy zichlik- interval chastotasining interval kattaligiga nisbati:

; (6.7)

bu yerda: f(o) i - i-chi intervalning nisbiy zichligi;

w i - i-chi intervalning chastotasi.

Nisbiy zichlik aholi birliklarining qaysi qismi interval birligiga to'g'ri kelishini ko'rsatadi.

a l

a 1 x i

a 2

Diskret va intervalli oʻzgaruvchan qatorlarni ham yigʻindisi va ogiv koʻrinishida grafik tasvirlash mumkin.

Qurilish paytida yig'iladi diskret qator ma'lumotlariga ko'ra, xarakteristikaning (variantlarning) qiymatlari x o'qi bo'ylab, to'plangan chastotalar yoki chastotalar esa ordinat o'qi bo'ylab chiziladi. Atribut (variantlar) va tegishli to'plangan chastotalar (chastotalar) qiymatlarining kesishmasida nuqtalar quriladi, ular o'z navbatida segmentlar yoki egri chiziq bilan bog'lanadi. Olingan siniq chiziq (egri) kümülatif (kumulyativ egri chiziq) deb ataladi.

Intervalli qator ma’lumotlari asosida kumulyativlarni qurishda oraliqlar chegaralari abscissa o‘qi bo‘ylab chiziladi. Nuqtalarning abstsissalari intervallarning yuqori chegaralari hisoblanadi. Ordinatlar mos keladigan intervallarning to'plangan chastotalarini (chastotalarini) tashkil qiladi. Ko'pincha boshqa nuqta qo'shiladi, uning abscissasi birinchi intervalning pastki chegarasi va ordinatasi nolga teng. Nuqtalarni segmentlar yoki egri chiziq bilan bog'lab, biz kümülata olamiz.

Ogiva kumulatga o'xshash tarzda tuziladi, yagona farq shundaki, to'plangan chastotalarga (chastotalarga) mos keladigan nuqtalar abscissa o'qida, xarakteristikaning qiymatlari (variantlar) ordinatalar o'qida chiziladi.

Kirish darsi tekinga;
Katta raqam tajribali o'qituvchilar (ona tili va rus tilida);
Kurslar ma'lum bir davr uchun (oy, olti oy, yil) EMAS, lekin ma'lum miqdordagi darslar uchun (5, 10, 20, 50);
10 000 dan ortiq mamnun mijozlar.
Rus tilida so'zlashuvchi o'qituvchi bilan bir darsning narxi 600 rubldan, ona tilida so'zlashuvchi bilan - 1500 rubldan

Variatsion qator tushunchasi. Statistik kuzatish materiallarini tizimlashtirishning birinchi bosqichi muayyan xususiyatga ega bo'lgan birliklar sonini hisoblashdir. Birliklarni ularning miqdoriy xarakteristikasi bo'yicha o'sish yoki kamayish tartibida joylashtirish va xarakteristikaning o'ziga xos qiymatiga ega bo'lgan birliklar sonini sanash orqali biz variatsiya qatorini olamiz. Variatsiya qatori ma'lum bir statistik populyatsiya birliklarining qandaydir miqdoriy xarakteristikaga ko'ra taqsimlanishini tavsiflaydi.

Variatsiyalar seriyasi ikkita ustundan iborat bo'lib, chap ustunda variantlar deb ataladigan va (x) belgilangan o'zgaruvchan xarakteristikaning qiymatlari, o'ng ustunda esa har bir variant necha marta sodir bo'lishini ko'rsatadigan mutlaq raqamlar mavjud. Ushbu ustundagi ko'rsatkichlar chastotalar deb ataladi va (f) bilan belgilanadi.

Variatsiyalar seriyasini sxematik tarzda 5.1-jadval shaklida taqdim etish mumkin:

5.1-jadval

Variatsiya seriyasining turi

Variantlar (x)	Chastotalar (f)

O'ng ustunda chastotalarning umumiy yig'indisida individual variantlar chastotasining ulushini tavsiflovchi nisbiy ko'rsatkichlardan ham foydalanish mumkin. Ushbu nisbiy ko'rsatkichlar chastotalar deb ataladi va shartli ravishda, ya'ni bilan belgilanadi. . Barcha chastotalar yig'indisi bittaga teng. Chastotalar foizlarda ham ifodalanishi mumkin, keyin ularning yig'indisi 100% ga teng bo'ladi.

Turli xil belgilar har xil tabiatga ega bo'lishi mumkin. Ba'zi xususiyatlarning variantlari butun sonlarda ifodalanadi, masalan, kvartiradagi xonalar soni, nashr etilgan kitoblar soni va boshqalar. Bu belgilar uzluksiz yoki diskret deyiladi. Boshqa xususiyatlarning variantlari ma'lum chegaralar ichida har qanday qiymatlarni olishi mumkin, masalan, rejalashtirilgan vazifalarni bajarish, ish haqi va boshqalar. Bu xususiyatlar doimiy deb ataladi.

Diskret variatsion qator. Variatsion qator variantlari shaklda ifodalansa diskret miqdorlar, keyin bunday o'zgarishlar qatori diskret deb ataladi, uning ko'rinishi jadvalda keltirilgan. 5.2:

5.2-jadval

Talabalarni imtihon baholari bo'yicha taqsimlash

Baholar (x)	Talabalar soni (f)	Jami foizda ()

Diskret qatorlardagi taqsimotning tabiati taqsimot poligon shaklida grafik tasvirlangan, 5.1-rasm.

Guruch. 5.1. Talabalarni imtihonda olingan baholarga ko'ra taqsimlash.

Intervalli o'zgarishlar qatori. Uzluksiz xarakteristikalar uchun variatsion qatorlar intervalli qatorlar sifatida tuziladi, ya'ni. ulardagi xarakteristikaning qiymatlari "dan vagacha" oraliqlar shaklida ifodalanadi. Bunda xarakteristikaning bunday oraliqdagi minimal qiymati intervalning pastki chegarasi, maksimali esa intervalning yuqori chegarasi deyiladi.

Intervalli o'zgarishlar qatorlari uzluksiz xarakteristikalar (diskret) uchun ham, katta diapazonda o'zgarib turadiganlar uchun ham tuziladi. Intervalli qatorlar teng yoki teng bo'lmagan intervalli bo'lishi mumkin. Iqtisodiy amaliyotda ko'pgina teng bo'lmagan intervallar qo'llaniladi, ular asta-sekin o'sib boradi yoki kamayadi. Bu ehtiyoj, ayniqsa, xarakteristikaning o'zgarishi notekis va katta chegaralarda sodir bo'lgan hollarda paydo bo'ladi.

Teng intervalli intervalli qatorlar turini ko'rib chiqamiz, jadval. 5.3:

5.3-jadval

Ishchilarni ishlab chiqarish bo'yicha taqsimlash

Chiqish, t.r. (X)	Ishchilar soni (f)	Kümülatif chastota (f´)

Intervalli taqsimot seriyasi gistogramma shaklida grafik tasvirlangan, 5.2-rasm.

5.2-rasm. Ishchilarni ishlab chiqarish bo'yicha taqsimlash

Yig'ilgan (kumulyativ) chastota. Amalda, tarqatish seriyalarini aylantirish zarurati mavjud kümülatif qatorlar, to'plangan chastotalar bo'yicha qurilgan. Ularning yordami bilan siz tarqatish seriyasi ma'lumotlarini tahlil qilishni osonlashtiradigan tizimli o'rtacha ko'rsatkichlarni aniqlashingiz mumkin.

Kümülatif chastotalar birinchi guruhning chastotalariga (yoki chastotalariga) tarqatish seriyasining keyingi guruhlari ko'rsatkichlarini ketma-ket qo'shish orqali aniqlanadi. Tarqatish qatorlarini tasvirlash uchun kumulyatlar va ogivlardan foydalaniladi. Ularni qurish uchun abscissa o'qida diskret xarakteristikaning qiymatlari (yoki oraliqlarning uchlari) belgilanadi va ordinatalar o'qida chastotalarning yig'indisi (kumulyativlari) belgilanadi, 5.3-rasm.

Guruch. 5.3. Ishchilarni ishlab chiqarish bo'yicha yig'indisi taqsimlash

Agar chastotalar va variantlarning shkalasi teskari bo'lsa, ya'ni. abscissa o'qi to'plangan chastotalarni aks ettiradi va ordinatalar o'qi variantlarning qiymatlarini ko'rsatadi, keyin chastotalarning guruhdan guruhga o'zgarishini tavsiflovchi egri chiziq taqsimot ogivi deb ataladi, 5.4-rasm.

Guruch. 5.4. Ishchilarni ishlab chiqarish bo'yicha taqsimlash Ogiva

Teng intervalli variatsion qatorlar statistik taqsimot qatorlari uchun eng muhim talablardan birini ta’minlaydi, ularning vaqt va makon bo‘yicha solishtirilishini ta’minlaydi.

Tarqatish zichligi. Biroq, nomdagi qatorlardagi individual teng bo'lmagan intervallarning chastotalarini to'g'ridan-to'g'ri taqqoslab bo'lmaydi. Bunday hollarda zarur taqqoslashni ta'minlash uchun taqsimlash zichligi hisoblanadi, ya'ni. har bir guruhdagi oraliq qiymat birligiga qancha birlik borligini aniqlang.

Teng bo'lmagan intervalli variatsiya qatorining taqsimot grafigini qurishda, to'rtburchaklar balandligi chastotalarga emas, balki tegishli belgilarda o'rganilayotgan xarakteristikaning qiymatlarini taqsimlashning zichlik ko'rsatkichlariga mutanosib ravishda aniqlanadi. intervallar.

Variatsion qatorni tuzish va uning grafik tasviri dastlabki ma'lumotlarni qayta ishlashning birinchi bosqichi va o'rganilayotgan populyatsiyani tahlil qilishning birinchi bosqichidir. Variatsion qatorlarni tahlil qilishning keyingi bosqichi qator xarakteristikalari deb ataladigan asosiy umumiy ko'rsatkichlarni aniqlashdan iborat. Ushbu xususiyatlar aholi birliklari o'rtasidagi xarakteristikaning o'rtacha qiymati haqida tasavvurga ega bo'lishi kerak.

o'rtacha qiymat. O'rtacha qiymat - o'rganilayotgan populyatsiyada o'rganilayotgan belgining umumiy xarakteristikasi bo'lib, uning joy va vaqtning muayyan sharoitlarida aholi birligiga to'g'ri keladigan tipik darajasini aks ettiradi.

O'rtacha qiymat har doim nomlanadi va aholining alohida birliklarining xarakteristikasi bilan bir xil o'lchamga ega.

O'rtacha qiymatlarni hisoblashdan oldin, sifat jihatidan bir hil guruhlarni aniqlab, o'rganilayotgan aholi birliklarini guruhlash kerak.

Butun aholi uchun hisoblangan o'rtacha umumiy o'rtacha, har bir guruh uchun esa guruh o'rtacha ko'rsatkichlari deb ataladi.

O'rtacha ikki xil bo'ladi: quvvat (o'rtacha arifmetik, o'rtacha garmonik, o'rtacha geometrik, kvadratik o'rtacha); strukturaviy (rejim, mediana, kvartillar, desillar).

Hisoblash uchun o'rtachani tanlash maqsadga bog'liq.

O'rtacha quvvat turlari va ularni hisoblash usullari. Yig'ilgan materialni statistik qayta ishlash amaliyotida turli xil muammolar paydo bo'ladi, ularni hal qilish uchun har xil o'rtacha qiymatlar talab qilinadi.

Matematik statistika o'rtacha quvvat formulalaridan turli o'rtachalarni oladi:

o'rtacha qiymat qayerda; x – individual variantlar (xususiyat qiymatlari); z – ko‘rsatkich (z = 1 bilan – o‘rtacha arifmetik, z = 0 o‘rtacha geometrik, z = - 1 – garmonik o‘rtacha, z = 2 – kvadrat o‘rtacha).

Biroq, har bir alohida holatda qanday turdagi o'rtacha qo'llanilishi kerakligi haqidagi savol hal qilinadi maxsus tahlil o'rganilayotgan aholi.

Statistikada eng keng tarqalgan o'rtacha turi arifmetik o'rtacha. U o'rtacha ko'rsatkichning hajmi o'rganilayotgan statistik populyatsiyaning alohida birliklari uchun uning qiymatlari yig'indisi sifatida shakllangan hollarda hisoblanadi.

Manba ma'lumotlarining tabiatiga qarab, o'rtacha arifmetik turli usullar bilan aniqlanadi:

Agar ma'lumotlar guruhlanmagan bo'lsa, unda hisoblash oddiy o'rtacha formula yordamida amalga oshiriladi

Diskret qatorda o'rtacha arifmetik qiymatni hisoblash 3.4 formula bo'yicha sodir bo'ladi.

Intervalli qatorda o'rtacha arifmetikni hisoblash. Har bir guruhdagi xarakteristikaning qiymati shartli ravishda intervalning o'rtasi sifatida qabul qilingan intervalli o'zgarishlar qatorida o'rtacha arifmetik guruhlashtirilmagan ma'lumotlardan hisoblangan o'rtacha qiymatdan farq qilishi mumkin. Bundan tashqari, guruhlardagi interval qanchalik katta bo'lsa, guruhlangan ma'lumotlardan hisoblangan o'rtacha qiymatning guruhlanmagan ma'lumotlardan hisoblangan o'rtacha qiymatdan mumkin bo'lgan og'ishlari shunchalik katta bo'ladi.

Intervalli o'zgarishlar qatori bo'yicha o'rtachani hisoblashda kerakli hisob-kitoblarni bajarish uchun intervallardan ularning o'rta nuqtalariga o'tadi. Va keyin o'rtacha vaznli arifmetik o'rtacha formuladan foydalanib hisoblanadi.

O'rtacha arifmetikning xossalari. Arifmetik o'rtacha hisoblarni soddalashtirishga imkon beradigan ba'zi xususiyatlarga ega; keling, ularni ko'rib chiqaylik.

1. Doimiy sonlarning o‘rta arifmetik qiymati shu doimiy songa teng.

Agar x = a. Keyin .

2. Agar barcha variantlarning og'irligi mutanosib ravishda o'zgartirilsa, ya'ni. bir xil songa ko'paytirilsa yoki kamaytirilsa, yangi qatorning o'rtacha arifmetik qiymati o'zgarmaydi.

Agar barcha og'irliklar f k marta kamaytirilsa, u holda .

3. Og'irliklar bilan ko'paytiriladigan o'rtacha qiymatdan individual variantlarning ijobiy va salbiy og'ishlari yig'indisi nolga teng, ya'ni.

Agar, keyin. Bu yerdan.

Agar barcha variantlar har qanday raqamga kamaytirilsa yoki ko'paytirilsa, u holda yangi qatorning arifmetik o'rtacha qiymati bir xil miqdorda kamayadi yoki ortadi.

Keling, barcha variantlarni qisqartiraylik x yoqilgan a, ya'ni. x´ = x– a.

Keyin

Asl qatorning o'rtacha arifmetik qiymatini kamaytirilgan o'rtachaga variantlardan avval ayirib tashlangan sonni qo'shish orqali olish mumkin. a, ya'ni. .

5. Agar barcha variantlar qisqartirilsa yoki ko'paytirilsa k marta, keyin yangi qatorning arifmetik o'rtacha qiymati bir xil miqdorda kamayadi yoki ortadi, ya'ni. V k bir marta.

Shunday bo'lsin .

Demak, ya'ni. asl seriyaning o'rtacha qiymatini olish uchun yangi seriyaning arifmetik o'rtacha qiymatini (kamaytirilgan variantlar bilan) oshirish kerak k bir marta.

Harmonik o'rtacha. Garmonik o'rtacha arifmetik o'rtachaning o'zaro nisbati. Qachon ishlatiladi statistik ma'lumotlar populyatsiyaning individual variantlari uchun chastotalarni o'z ichiga olmaydi, lekin ularning mahsuloti sifatida taqdim etiladi (M = xf). Garmonik o'rtacha 3.5 formuladan foydalanib hisoblanadi

Garmonik o'rtachaning amaliy qo'llanilishi ba'zi indekslarni, xususan, narx indeksini hisoblashdir.

Geometrik o'rtacha. Geometrik o'rtacha qiymatdan foydalanganda, xarakteristikaning individual qiymatlari, qoida tariqasida, dinamikaning nisbiy qiymatlari bo'lib, ular zanjir qiymatlari shaklida, bir qator dinamikada har bir darajaning oldingi darajasiga nisbati sifatida tuzilgan. Shunday qilib, o'rtacha o'rtacha o'sish sur'atini tavsiflaydi.

Geometrik o'rtacha qiymat, shuningdek, xarakteristikaning maksimal va minimal qiymatlaridan teng masofadagi qiymatni aniqlash uchun ishlatiladi. Masalan, su'gurta kompaniyasi avtosug‘urta xizmatlarini ko‘rsatish bo‘yicha shartnomalar tuzadi. Muayyan sug'urta hodisasiga qarab, sug'urta to'lovi yiliga 10 000 dan 100 000 dollargacha bo'lishi mumkin. Sug'urta to'lovlarining o'rtacha miqdori AQSh dollarini tashkil qiladi.

Geometrik o'rtacha nisbatlar o'rtachasi sifatida yoki z = 0 bo'lganda geometrik progressiya ko'rinishida taqdim etilgan taqsimot qatorlarida qo'llaniladigan kattalikdir. Bu o'rtacha mutlaq farqlarga emas, balki ikkita nisbatga e'tibor berilganda foydalanish uchun qulaydir. raqamlar.

Hisoblash uchun formulalar quyidagicha

xarakteristikaning o'rtacha variantlari qayerda; – variantlar mahsuloti; f- variantlarning chastotasi.

Geometrik o'rtacha o'rtacha yillik o'sish sur'atlarini hisoblashda qo'llaniladi.

O'rtacha kvadrat. O'rtacha kvadrat formulasi taqsimot qatorida xarakteristikaning individual qiymatlarining o'rtacha arifmetik atrofida o'zgarishi darajasini o'lchash uchun ishlatiladi. Shunday qilib, o'zgaruvchanlik ko'rsatkichlarini hisoblashda o'rtacha arifmetik o'rtacha xarakteristikaning individual qiymatlarining kvadratik og'ishlaridan hisoblanadi.

O'rtacha kvadrat qiymati formuladan foydalanib hisoblanadi

IN iqtisodiy tadqiqotlar o'zgartirilgan shakldagi o'rtacha kvadrat dispersiya, standart og'ish kabi xarakteristikaning o'zgarishi ko'rsatkichlarini hisoblashda keng qo'llaniladi.

Ko'pchilik qoidasi. O'rtacha quvvatlar o'rtasida quyidagi bog'liqlik mavjud - ko'rsatkich qanchalik katta bo'lsa, o'rtacha qiymat shunchalik katta bo'ladi, 5.4-jadval:

5.4-jadval

O'rtacha ko'rsatkichlar o'rtasidagi bog'liqlik

z qiymati
O'rtacha ko'rsatkichlar o'rtasidagi bog'liqlik

Bu munosabat majorlik qoidasi deb ataladi.

Strukturaviy o'rtacha ko'rsatkichlar. Aholi tarkibini tavsiflash uchun maxsus ko'rsatkichlar qo'llaniladi, ularni tarkibiy o'rtacha ko'rsatkichlar deb atash mumkin. Bu ko'rsatkichlar rejim, mediana, kvartil va desillarni o'z ichiga oladi.

Moda. Rejim (Mo) - aholi birliklari orasida xarakteristikaning eng tez-tez uchraydigan qiymati. Rejim - nazariy taqsimot egri chizig'ining maksimal nuqtasiga mos keladigan atributning qiymati.

Moda savdo amaliyotida iste'molchi talabini o'rganishda (keng talabga ega bo'lgan kiyim va poyabzal o'lchamlarini aniqlashda) va narxlarni qayd etishda keng qo'llaniladi. Hammasi bo'lib bir nechta modlar bo'lishi mumkin.

Diskret ketma-ketlikda rejimni hisoblash. Diskret ketma-ketlikda rejim eng yuqori chastotali variant hisoblanadi. Diskret qatorda rejimni topishni ko'rib chiqamiz.

Intervalli qatorda rejimni hisoblash. Intervalli o'zgarishlar qatorida rejim taxminan modal intervalning markaziy varianti hisoblanadi, ya'ni. eng yuqori chastotaga (chastota) ega bo'lgan interval. Interval ichida siz rejim bo'lgan atributning qiymatini topishingiz kerak. Intervalli seriyalar uchun rejim formula bilan aniqlanadi

modal intervalning pastki chegarasi qayerda; – modal intervalning qiymati; – modal intervalga mos keladigan chastota; – modal intervaldan oldingi chastota; – modaldan keyingi intervalning chastotasi.

Median. Median () - tartiblangan seriyaning o'rta birligi atributining qiymati. Reytingli seriya - bu atribut qiymatlari o'sish yoki kamayish tartibida yozilgan seriyadir. Yoki mediana tartiblangan variatsiya qatori sonini ikkita teng qismga ajratuvchi qiymatdir: bir qismi oʻzgaruvchan xarakteristikaning qiymati oʻrtacha variantdan kichik, ikkinchisi esa kattaroq qiymatga ega.

Medianani topish uchun avval uning tartib raqamini aniqlang. Buning uchun, agar birliklar soni toq bo'lsa, barcha chastotalar yig'indisiga bitta qo'shiladi va hamma narsa ikkiga bo'linadi. Juft sonli birliklar bilan mediana birlik atributining qiymati sifatida topiladi, uning seriya raqami ikkiga bo'lingan chastotalarning umumiy yig'indisi bilan belgilanadi. Medianning seriya raqamini bilib, to'plangan chastotalar yordamida uning qiymatini topish oson.

Diskret qatorda medianani hisoblash. Tanlov so'roviga ko'ra, oilalarni bolalar soni bo'yicha taqsimlash bo'yicha ma'lumotlar olingan, jadval. 5.5. Medianani aniqlash uchun avvalo uning tartib raqamini aniqlaymiz

Keyin biz to'plangan chastotalar seriyasini quramiz (, seriya raqami va to'plangan chastotadan foydalanib, biz medianani topamiz. Yig'ilgan chastota 33 ni ko'rsatadiki, 33 oilada bolalar soni 1 boladan oshmaydi, lekin bolalar soni o'rtacha 50 ta, o'rtacha 34 dan 55 gacha oilalar oralig'ida bo'ladi.

5.5-jadval

Oilalar sonini bolalar soniga qarab taqsimlash

Oiladagi bolalar soni

Oilalar soni, – median intervalning qiymati;

O'rtacha quvvat ko'rsatkichlarining barcha ko'rib chiqilgan shakllari muhim xususiyatga ega (o'rtacha tizimli qiymatlardan farqli o'laroq) - o'rtacha qiymatni aniqlash formulasi qatorning barcha qiymatlarini o'z ichiga oladi, ya'ni. o'rtachaning kattaligiga har bir variantning qiymati ta'sir qiladi.

Bir tomondan, bu juda ijobiy xususiyat, chunki bunda o'rganilayotgan aholining barcha birliklariga ta'sir etuvchi barcha sabablarning ta'siri hisobga olinadi. Boshqa tomondan, manba ma'lumotlariga tasodifan kiritilgan bitta kuzatish ham ko'rib chiqilayotgan populyatsiyada o'rganilayotgan belgining rivojlanish darajasi haqidagi g'oyani sezilarli darajada buzishi mumkin (ayniqsa, qisqa seriyalarda).

Kvartillar va desillar. Variatsion qatorlarda medianani topishga o'xshatib, siz tartiblangan qatorning istalgan birligi uchun xarakteristikaning qiymatini topishingiz mumkin. Shunday qilib, xususan, siz ketma-ketlikni 4 ta teng qismga, 10 ga va hokazolarga bo'linadigan birliklar uchun atributning qiymatini topishingiz mumkin.

Kvartillar. Reytingli qatorni to'rtta teng qismga ajratuvchi variantlarga kvartillar deyiladi.

Bunday holda, ular quyidagilarni ajratib ko'rsatishadi: pastki (yoki birinchi) kvartil (Q1) - aholini ¼ dan ¾ gacha bo'lgan va yuqori (yoki uchinchi) kvartilga bo'lgan tartiblangan seriyalar birligi uchun atributning qiymati ( Q3) - populyatsiyani ¾ dan ¼ gacha bo'lgan tartiblangan seriyalar birligi uchun atributning qiymati.

Ikkinchi kvartil median Q2 = Me. Intervalli qatordagi pastki va yuqori kvartillar medianaga o'xshash formula yordamida hisoblanadi.

bu erda mos ravishda pastki va yuqori kvartillarni o'z ichiga olgan intervalning pastki chegarasi;

- pastki yoki yuqori kvartilni o'z ichiga olgan intervaldan oldingi intervalning to'plangan chastotasi;

- kvartil intervallarning chastotalari (pastki va yuqori)

Q1 va Q3 ni o'z ichiga olgan intervallar to'plangan chastotalar (yoki chastotalar) bilan belgilanadi.

Desillar. Kvartillarga qo'shimcha ravishda, desillar hisoblab chiqiladi - tartiblangan seriyalarni 10 ta teng qismga ajratadigan variantlar.

Ular D bilan belgilanadi, birinchi o'nlik D1 qatorni 1/10 va 9/10 nisbatda ajratadi, ikkinchi D2 - 2/10 va 8/10 va hokazo. Ular mediana va kvartillar bilan bir xil sxema bo'yicha hisoblanadi.

Mediana, kvartillar va desillar ham tartibli statistik ma'lumotlarga tegishli bo'lib, ular tartiblangan qatorda ma'lum bir tartibli o'rinni egallagan variant sifatida tushuniladi.

ROSSIYA FEDERATSIYASI PREZIDENTI huzuridagi ROSSIYA XALQ IQTISODIYoTI VA DAVLAT XIZMATI AKADEMİYASI

ORYOL FILIALI

Matematika kafedrasi va matematik usullar boshqaruvda

Mustaqil ish

Matematika

“Variatsion qatorlar va uning xususiyatlari” mavzusida

talabalar uchun kunduzgi bo'lim Iqtisodiyot va boshqaruv fakulteti

"Inson resurslarini boshqarish" ta'lim yo'nalishlari

Ishning maqsadi: Tushunchalarni o'zlashtirish matematik statistika va birlamchi ma'lumotlarni qayta ishlash usullari.

Oddiy muammolarni echishga misol.

Vazifa 1.

So'rov orqali quyidagi ma'lumotlar olingan ():

1 2 3 2 2 4 3 3 5 1 0 2 4 3 2 2 3 3 1 3 2 4 2 4 3 3 3 2 0 6

3 3 1 1 2 3 1 4 3 1 7 4 3 4 2 3 2 3 3 1 4 3 1 4 5 3 4 2 4 5

3 6 4 1 3 2 4 1 3 1 0 0 4 6 4 7 4 1 3 5

Kerakli:

1) Variatsiya qatorini tuzing ( statistik taqsimot namunalar), ilgari tartiblangan diskret variantlar seriyasini yozib olgan.

2) chastotali ko‘pburchakni tuzing va to‘plang.

3) Nisbiy chastotalar (chastotalar) taqsimoti seriyasini tuzing.

4) Variatsion qatorning asosiy sonli xarakteristikalarini toping (ularni topish uchun soddalashtirilgan formulalardan foydalaning): a) o‘rtacha arifmetik, b) mediana. Meh va moda Mo, c) dispersiya s 2, d) standart og'ish s, e) o'zgaruvchanlik koeffitsienti V.

5) Olingan natijalarning ma'nosini tushuntiring.

Yechim.

1) Kompilyatsiya qilish uchun diskret variantlar qatorini tartiblangan Keling, so'rov ma'lumotlarini hajmi bo'yicha saralaymiz va ularni o'sish tartibida joylashtiramiz

0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

5 5 5 5 6 6 6 7 7.

Jadvalning birinchi qatoriga kuzatilgan qiymatlarni (variantlarni) va ikkinchi qatorga mos keladigan chastotalarni yozish orqali variatsiya qatorini tuzamiz (1-jadval).

1-jadval.

2) Chastotali ko'pburchak - bu nuqtalarni bog'laydigan siniq chiziq ( x i; n i), i=1, 2,…, m, Qayerda m X.

Variatsion qator chastotalar poligonini tasvirlaymiz (1-rasm).

1-rasm. Chastotali poligon

Diskret oʻzgaruvchanlik qatori uchun yigʻma egri chiziq (kumulyativ) nuqtalarni bogʻlovchi siniq chiziqni ifodalaydi. x i; n i nak), i=1, 2,…, m.

Keling, to'plangan chastotalarni topamiz n i nak(to'plangan chastota xarakterli qiymat kamroq bo'lgan nechta variant kuzatilganligini ko'rsatadi X). Topilgan qiymatlarni 1-jadvalning uchinchi qatoriga kiritamiz.

Keling, kumulyativ tuzamiz (2-rasm).

2-rasm. Kumulatlar

3) Nisbiy chastotalarni (chastotalarni) topamiz, bu erda , qayerda m– har xil xarakterli qiymatlar soni X, biz teng aniqlik bilan hisoblaymiz.

Nisbiy chastotalarning (chastotalarning) taqsimot qatorini 2-jadval shaklida yozamiz

jadval 2

4) Variatsion qatorning asosiy sonli xarakteristikalarini topamiz:

a) O'rtacha arifmetikni soddalashtirilgan formuladan foydalanib toping:

shartli variantlar qayerda

Keling, qo'ying Bilan= 3 (o'rtacha kuzatilgan qiymatlardan biri), k= 1 (ikki qo'shni variant o'rtasidagi farq) va hisoblash jadvalini tuzing (3-jadval).

3-jadval.

x i	n i	u men	u i n i	u i 2 n i
		-3	-12
		-2	-26
		-1	-14





so'm			-11

Keyin o'rtacha arifmetik

b) median Meh variatsion qator - kuzatuvlarning tartiblangan qatorining o'rtasiga tushadigan xarakteristikaning qiymati. Ushbu diskret o'zgarishlar qatori juft sonli atamalarni o'z ichiga oladi ( n=80), bu median ikki o'rta variant yig'indisining yarmiga teng ekanligini anglatadi.

Moda Mo variatsion qator eng yuqori chastotaga mos keladigan variant deb ataladi. Berilgan variatsiya seriyasi uchun eng yuqori chastota n max = 24 variantga mos keladi X= 3, modani bildiradi Mo=3.

c) Farqlanish s 2, bu indikatorning mumkin bo'lgan qiymatlarining tarqalishining o'lchovidir X uning o'rtacha qiymati atrofida, biz uni soddalashtirilgan formuladan foydalanib topamiz:

, Qayerda u men- shartli variantlar

3-jadvalga oraliq hisob-kitoblarni ham kiritamiz.

Keyin farq

d) standart og'ish s formuladan foydalanib topamiz:

e) o'zgaruvchanlik koeffitsienti V: (),

Variatsiya koeffitsienti o'lchovsiz kattalikdir, shuning uchun u variantlari turli o'lchamlarga ega bo'lgan variatsion qatorlarning dispersiyasini solishtirish uchun mos keladi.

O'zgaruvchanlik koeffitsienti

5) Olingan natijalarning ma'nosi shundaki, qiymat xarakteristikaning o'rtacha qiymatini tavsiflaydi X ko'rib chiqilayotgan namuna doirasida, ya'ni o'rtacha qiymat 2,86 ni tashkil etdi. Standart og'ish s indikator qiymatlarining mutlaq tarqalishini tavsiflaydi X va ichida Ushbu holatda ga teng s≈ 1,55. O'zgaruvchanlik koeffitsienti V ko'rsatkichning nisbiy o'zgaruvchanligini tavsiflaydi X, ya'ni nisbiy tarqalishi uning o'rtacha qiymati atrofida va bu holda .

Javob: ; ; ; .

Vazifa 2.

Markaziy Rossiyadagi 40 ta eng yirik banklarning o'z kapitali to'g'risida quyidagi ma'lumotlar mavjud:

12,0	49,4	22,4	39,3	90,5	15,2	75,0	73,0	62,3	25,2
70,4	50,3	72,0	71,6	43,7	68,3	28,3	44,9	86,6	61,0
41,0	70,9	27,3	22,9	88,6	42,5	41,9	55,0	56,9	68,1
120,8	52,4	42,0	119,3	49,6	110,6	54,5	99,3	111,5	26,1

Kerakli:

1) Intervalli variatsion qatorni tuzing.

2) O'rtacha tanlamani va tanlov dispersiyasini hisoblang

3) Standart og'ish va o'zgarish koeffitsientini toping.

4) Chastotalar taqsimotining gistogrammasini tuzing.

Yechim.

1) Keling, ixtiyoriy oraliq sonini tanlaymiz, masalan, 8. U holda intervalning kengligi:

Keling, hisoblash jadvalini tuzamiz:

Intervalli variant, x k –x k +1	Chastotasi, n i	Intervalning o'rtasida x i	Shartli variant, va men	va men n i	va men 2 n i	(va i+ 1) 2 n i
10 – 25		17,5	– 3	– 12
25 – 40		32,5	– 2	– 10
40 – 55		47,5	– 1	– 11
55 – 70		62,5
70 – 85		77,5
85 – 100		92,5
100 – 115		107,5
115 – 130		122,5
so'm				– 5

Nol sifatida tanlangan qiymat c= 62.5 (bu variant taxminan variatsiya seriyasining o'rtasida joylashgan) .

Shartli variantlar formula bilan aniqlanadi