Nuqta kinematikasi.

1. Nazariy mexanika fanining predmeti. Asosiy abstraktsiyalar.

Nazariy mexanikao‘rganuvchi fandir umumiy qonunlar mexanik harakat va mexanik o'zaro ta'sir moddiy jismlar

Mexanik harakatjismning boshqa jismga nisbatan harakati, makon va vaqtda sodir bo'ladi.

Mexanik o'zaro ta'sir moddiy jismlarning oʻzaro taʼsiri boʻlib, ularning mexanik harakati xarakterini oʻzgartiradi.

Statika - bu bo'lim nazariy mexanika, u kuch tizimlarini ekvivalent tizimlarga aylantirish usullarini o'rganadi va qattiq jismga qo'llaniladigan kuchlar uchun muvozanat shartlarini o'rnatadi.

Kinematika - nazariy mexanikaning oʻrganuvchi boʻlimidir bilan moddiy jismlarning fazoda harakati geometrik nuqta ko'rish, ularga ta'sir qiluvchi kuchlardan qat'i nazar.

Dinamiklar moddiy jismlarning fazodagi harakatini ularga taʼsir etuvchi kuchlarga qarab oʻrganuvchi mexanika boʻlimi.

Nazariy mexanika fanining o'rganish ob'ektlari:

moddiy nuqta,

moddiy nuqtalar tizimi,

Mutlaqo mustahkam tana.

Mutlaq fazo va mutlaq vaqt bir-biridan mustaqildir. Mutlaq bo'shliq - uch o'lchovli, bir hil, harakatsiz Evklid fazosi. Mutlaq vaqt - o'tmishdan kelajakka uzluksiz oqadi, u bir hil, fazoning barcha nuqtalarida bir xil va materiyaning harakatiga bog'liq emas.

2. Kinematikaning predmeti.

Kinematika - bu mexanikaning bo'limi bo'lib, jismlar harakatining geometrik xossalari ularning inertsiyasi (ya'ni massasi) va ularga ta'sir qiluvchi kuchlarni hisobga olmasdan o'rganiladi.

Harakatlanuvchi jismning (yoki nuqtaning) ushbu jismning harakati o'rganilayotgan jism bilan o'rnini aniqlash uchun ba'zi bir koordinata tizimi qat'iy bog'langan bo'lib, ular tana bilan birgalikda shakllanadi. mos yozuvlar tizimi.

Kinematikaning asosiy vazifasi berilgan jismning (nuqtaning) harakat qonunini bilib, uning harakatini tavsiflovchi barcha kinematik miqdorlarni (tezlik va tezlanish) aniqlashdan iborat.

3. Nuqtaning harakatini ko`rsatish usullari

· Tabiiy yo'l

Ma'lum bo'lishi kerak:

Nuqtaning traektoriyasi;

Murojaatning kelib chiqishi va yo'nalishi;

Nuqtaning berilgan traektoriya bo‘ylab harakatlanish qonuni (1.1) ko‘rinishda.

· Koordinata usuli

(1.2) tenglamalar M nuqtaning harakat tenglamalari.

M nuqtaning traektoriyasi uchun tenglamani vaqt parametrini yo'q qilish orqali olish mumkin « t » (1.2) tenglamalardan

· Vektor usuli

(1.3) Nuqta harakatini belgilashning koordinata va vektor usullari o'rtasidagi bog'liqlik (1.4)

Nuqta harakatini koordinatalashning koordinata va natural usullari o'rtasidagi bog'liqlik

(1.2) tenglamalardan vaqtni chiqarib, nuqtaning traektoriyasini aniqlang;

-- nuqtaning traektoriya bo‘ylab harakatlanish qonunini toping (yoyning differentsial ifodasini ishlating)

Integratsiyadan so'ng biz nuqtaning berilgan traektoriya bo'ylab harakatlanish qonunini olamiz:

Nuqtaning harakatini aniqlashning koordinata va vektor usullari orasidagi bog‘lanish (1.4) tenglama bilan aniqlanadi.

4. Harakatni ko'rsatishning vektor usuli yordamida nuqta tezligini aniqlash.

Bir lahzada ruxsat beringtnuqtaning pozitsiyasi radius vektori bilan belgilanadi va vaqt momentidat 1 – radius vektori, keyin ma’lum vaqt oralig‘ida nuqta harakatlanadi.

(1.5) o'rtacha nuqta tezligi, vektorning yo'nalishi vektorning yo'nalishi bilan bir xil

Belgilangan vaqtdagi nuqta tezligi

Belgilangan vaqtda nuqta tezligini olish uchun chegaraga o'tish kerak

(1.6)

(1.7)

Belgilangan vaqtdagi nuqtaning tezlik vektori vaqtga nisbatan radius vektorining birinchi hosilasiga teng va ma'lum bir nuqtada traektoriyaga tangensial yo'naltirilgan.

(birlik¾ m/s, km/soat)

O'rtacha tezlanish vektori vektor bilan bir xil yo'nalishga egaΔ v , ya'ni traektoriyaning botiq tomoniga yo'naltirilgan.

Berilgan vaqtdagi nuqtaning tezlanish vektori tezlik vektorining birinchi hosilasiga yoki nuqta radius vektorining vaqtga nisbatan ikkinchi hosilasiga teng.

(birlik -)

Nuqta traektoriyasiga nisbatan vektor qanday joylashgan?

Da to'g'ri harakat vektor nuqta harakatlanadigan to'g'ri chiziq bo'ylab yo'naltiriladi. Agar nuqtaning traektoriyasi tekis egri chiziq bo'lsa, u holda tezlanish vektori , shuningdek vektor sr bu egri chiziq tekisligida yotadi va uning konkavitesi tomon yo'naltiriladi. Agar traektoriya tekislik egri chizig'i bo'lmasa, u holda vektor sr traektoriya bo'g'ini tomon yo'naltiriladi va nuqtada traektoriyaga teguvchi orqali o'tuvchi tekislikda yotadi.M va qo'shni nuqtada tangensga parallel bo'lgan chiziqM 1 . IN nuqta bo'lganda cheklashM 1 uchun intiladi M bu tekislik oskulyar tekislik deb ataladigan joyni egallaydi. Shuning uchun, umumiy holatda, tezlanish vektori aloqa tekisligida yotadi va egri chiziq bo'shlig'iga yo'naltiriladi.

Kuch. Kuchlar tizimi. Mutlaq qattiq jismning muvozanati

Mexanikada kuch deganda moddiy jismlarning mexanik ta'sirining o'lchovi tushuniladi, buning natijasida o'zaro ta'sir qiluvchi jismlar bir-biriga tezlanish berishi yoki deformatsiyalanishi (shaklini o'zgartirishi) mumkin. Kuch vektor kattalikdir. U raqamli qiymat yoki modul, qo'llash nuqtasi va yo'nalishi bilan tavsiflanadi. Kuchni qo'llash nuqtasi va uning yo'nalishi kuchning ta'sir chizig'ini aniqlaydi. Rasmda A nuqtaga qanday kuch qo'llanilishi ko'rsatilgan. AB chiziq segmenti = kuchning kattaligi F. LM to'g'ri chiziq kuchning ta'sir chizig'i deb ataladi. Syst. SI kuch o'lchovi. Nyutonlarda (N). Bundan tashqari, 1MN = 10 6 N, 1 kN = 10 3 N. Kuchni o'rnatishning 2 usuli mavjud: to'g'ridan-to'g'ri tavsif va vektor bo'yicha (koordinata o'qlariga proyeksiya qilish orqali). F= F x i + F y j + F z k, bu erda F x, F y, F z - kuchning koordinata o'qlariga proyeksiyalari, i, j, k - birlik vektorlari. Mutlaqo mustahkam tana-tana bunda 2 va uning nuqtalari orasidagi masofa qolgan qismidir. unga ta'sir qiluvchi kuchlardan qat'iy nazar o'zgarmaydi.

Bir necha kuchlar to'plami (F 1, F 2, ..., F n) kuchlar tizimi deyiladi. Agar tananing holatini buzmasdan, bir kuchlar tizimini (F 1, F 2, ..., F n) boshqa tizim (P 1, P 2, ..., P n) va vitse bilan almashtirish mumkin bo'lsa. aksincha, bunday kuchlar tizimlari ekvivalent deb ataladi. Simvolik ravishda bu quyidagicha ifodalanadi: (F 1, F 2, ..., F n)~ (P 1, P 2, ..., P n). Biroq, bu, agar ikkita kuch tizimi tanaga bir xil ta'sir ko'rsatsa, ular ekvivalent bo'ladi degani emas. Ekvivalent tizimlar bir xil tizim holatini keltirib chiqaradi. Agar kuchlar tizimi (F 1, F 2, ..., F n) bitta R kuchga ekvivalent bo'lsa, u holda R deyiladi. natija. Olingan kuch barcha berilgan kuchlarning ta'sirini almashtirishi mumkin. Ammo har bir kuch tizimi ham natijaga ega emas. Inersiya koordinata tizimida inersiya qonuni bajariladi. Bu, xususan, boshlang'ich momentda tinch holatda bo'lgan jism, agar unga hech qanday kuchlar ta'sir qilmasa, shu holatda qoladi degan ma'noni anglatadi. Agar mutlaq qattiq jism kuchlar sistemasi (F 1, F 2, ..., F n) ta’sirida tinch holatda qolsa, bu sistema muvozanatli yoki nolga ekvivalent kuchlar tizimi deyiladi: (F 1) , F 2, .. , F n)~0. Bunday holda, tananing muvozanat holatida deyiladi. Matematikada ikkita vektor parallel, bir yo'nalishda yo'naltirilgan va kattaligi teng bo'lsa, teng deb hisoblanadi. Bu ikki kuchning ekvivalentligi uchun yetarli emas va F~P munosabati F=P tengligidan hali kelib chiqmaydi. Ikki kuch ekvivalent bo'ladi, agar ular vektor jihatdan teng bo'lsa va tananing bir nuqtasiga qo'llanilsa.

Statika aksiomalari va ularning oqibatlari

Kuch ta'sirida bo'lgan jism tezlanishga ega bo'ladi va tinch holatda qololmaydi. Birinchi aksioma kuchlar tizimi muvozanatlanadigan shartlarni belgilaydi.

Aksioma 1. Mutlaq qattiq jismga qo'llaniladigan ikkita kuch, agar ular teng kattalikda bo'lsa, bitta to'g'ri chiziqda harakat qilsa va qarama-qarshi yo'nalishga yo'naltirilgan bo'lsa, muvozanatlashadi (nolga teng).. Bu shuni anglatadiki, agar absolyut qattiq jism ikki kuch ta'sirida tinch holatda bo'lsa, u holda bu kuchlar kattaliklari bo'yicha teng bo'lib, bir to'g'ri chiziqda harakat qiladi va qarama-qarshi yo'nalishda yo'naltiriladi. Aksincha, agar absolyut qattiq jismga bir toʻgʻri chiziq boʻylab qarama-qarshi yoʻnalishda kattaligi teng boʻlgan ikkita kuch taʼsir etsa va tana boshlangʻich momentda tinch holatda boʻlsa, u holda tananing dam olish holati saqlanib qoladi.

Shaklda. 1.4-rasmda F 1, F 2 va P 1, P 2 munosabatlarini qanoatlantiruvchi muvozanatlashgan kuchlar ko'rsatilgan: (F 1,F 2)~0, (P 1,P 2)~0. Statikaning ayrim masalalarini yechishda qattiq sterjenlarning uchlariga ta'sir etuvchi kuchlarni hisobga olish kerak, ularning og'irligini e'tiborsiz qoldirish mumkin va sterjenlar muvozanat holatida ekanligi ma'lum. Tuzilgan aksiomadan bunday tayoqqa ta'sir qiluvchi kuchlar novda uchlari orqali o'tuvchi to'g'ri chiziq bo'ylab qarama-qarshi yo'nalishda va kattaligi bo'yicha bir-biriga teng (1.5-rasm, a). Rodning o'qi kavisli bo'lganda ham xuddi shunday bo'ladi (1.5-rasm, b).

Aksioma 2. Davlatni umuman bezovta qilmasdan qattiq, kuchlar unga nisbatan qo'llanilishi yoki rad etilishi mumkin, agar ular muvozanatli tizimni tashkil qilsa, xususan, agar bu tizim bir to'g'ri chiziqda harakat qiladigan va qarama-qarshi yo'nalishda yo'naltirilgan teng kattalikdagi ikkita kuchdan iborat bo'lsa. Bu aksiomadan xulosa kelib chiqadi: jismning holatini buzmagan holda, kuchning ta'sir qilish nuqtasi uning harakat chizig'i bo'ylab o'tkazilishi mumkin.Haqiqatan ham, F A kuchi A nuqtaga qo'llanilsin (1.6-rasm, a). . F A kuchining ta'sir chizig'idagi B nuqtaga F B = F A deb faraz qilib, F B va F" B ikkita muvozanatli kuchlarni qo'llaymiz (1.6-rasm, b). Keyin, 2-aksiomaga ko'ra, biz F A ~F A ga ega bo'lamiz. , F B, F` B).Demak, F A va F B kuchlari ham muvozanatlashgan kuchlar sistemasini tashkil qilganligi uchun (1-aksioma), demak, 2-aksiomaga ko‘ra ularni tashlab yuborish mumkin (1.6-rasm, c).Shunday qilib, F A ~F A, F B,F` B)~F B yoki F A ~F B , bu natijani isbotlaydi.Bu xulosa shuni ko'rsatadiki, mutlaq qattiq jismga qo'llaniladigan kuch sirpanish vektoridir.Har ikkala aksiomani ham, isbotlangan natijani deformatsiyalanuvchi jismlarga qo'llash mumkin emas. xususan, kuchni qo'llash nuqtasini uning ta'sir chizig'i bo'ylab harakatlantirish tananing stress deformatsiyalangan holatini o'zgartiradi.

Aksioma 3.Jismning holatini o'zgartirmasdan, bir nuqtaga qo'llaniladigan ikkita kuchni bir xil nuqtada qo'llaniladigan va ularning geometrik yig'indisiga teng bo'lgan bitta natijaviy kuch bilan almashtirish mumkin (kuchlar aksiomasining paralelogrammasi). Bu aksioma ikkita holatni o'rnatadi: 1) bir nuqtaga tatbiq etilgan ikkita F 1 va F 2 kuchlar (1.7-rasm) natijaga ega, ya'ni ular bir kuchga (F 1,F 2) ~ R ekvivalentdir; 2) aksioma natijaviy kuchning moduli, qoʻllanish nuqtasi va yoʻnalishini toʻliq aniqlaydi R=F 1 +F 2 .(1.5) Boshqacha aytganda, natija R ni tomonlari F ga toʻgʻri keladigan parallelogramma diagonali sifatida qurish mumkin. 1 va F 2. Natijaning moduli R=(F 1 2 +F 2 2 +2F l F 2 kosa) 1/2 tengligi bilan aniqlanadi, bunda a - berilgan F 1 va F 2 vektorlari orasidagi burchak. Uchinchi aksioma har qanday jismlarga tegishli. Statikaning ikkinchi va uchinchi aksiomalari bir kuchlar tizimidan unga ekvivalent bo'lgan boshqa tizimga o'tish imkonini beradi. Xususan, ular har qanday R kuchini ikki, uch va hokazo tarkibiy qismlarga ajratish, ya'ni R kuchi natijasida hosil bo'lgan boshqa kuchlar tizimiga o'tish imkonini beradi. Masalan, R bilan bir tekislikda yotadigan ikkita yo'nalishni ko'rsatib, diagonali R kuchini ifodalovchi parallelogramma qurishingiz mumkin. Keyin parallelogrammning tomonlari bo'ylab yo'naltirilgan kuchlar R kuchi bo'lgan tizimni hosil qiladi. natija bo'ladi (1.7-rasm). Shunga o'xshash qurilish kosmosda amalga oshirilishi mumkin. Buning uchun R kuchning tatbiq etilgan nuqtasidan bir tekislikda yotmaydigan uchta toʻgʻri chiziq chizib, ularning ustiga diagonali R kuchini ifodalovchi va qirralari shu toʻgʻri chiziq boʻylab yoʻnaltirilgan parallelepiped qurish kifoya. chiziqlar (1.8-rasm).

4-aksioma (Nyutonning 3-qonuni). Ikki jism o'rtasidagi o'zaro ta'sir kuchlari kattalik jihatidan teng va qarama-qarshi yo'nalishda bir to'g'ri chiziq bo'ylab yo'naltirilgan. E'tibor bering, ikki jismning o'zaro ta'sir kuchlari muvozanatli kuchlar tizimini tashkil etmaydi, chunki ular turli jismlarga qo'llaniladi. Agar I jism II jismga P kuch bilan, II jism esa I jismga F kuch bilan ta'sir etsa (1.9-rasm), u holda bu kuchlar kattaliklari bo'yicha teng (F = P) va qarama-qarshi bir to'g'ri chiziq bo'ylab yo'naltirilgan. yo'nalishlar, ya'ni .F= –P. Agar Quyoshning Yerni tortadigan kuchini F bilan belgilasak, u holda Yer Quyoshni bir xil kattalikda, lekin qarama-qarshi yo‘naltirilgan kuch bilan tortadi - F. Jism tekislik bo‘ylab harakatlanayotganda unga ishqalanish kuchi T ta’sir qiladi. , harakatga qarama-qarshi yo'nalishda yo'naltirilgan. Bu harakatsiz tekislik jismga ta'sir qiladigan kuchdir. To'rtinchi aksiomaga asoslanib, jism tekislikda bir xil kuch bilan harakat qiladi, lekin uning yo'nalishi T kuchiga qarama-qarshi bo'ladi.

Shaklda. 1.10 jismning o'ngga harakatlanishini ko'rsatadi; Harakatlanuvchi jismga ishqalanish kuchi T, tekislikka esa T "= –T kuchi ta'sir qiladi. 1.11-rasm, a da ko'rsatilgan harakatsiz statsionar tizimni ko'rib chiqaylik. U tormozga o'rnatilgan A dvigatelidan iborat. poydevor B, u o'z navbatida C asosda joylashgan. Dvigatel va poydevorga mos ravishda F 1 va F 2 tortishish kuchlari ta'sir qiladi.Quyidagi kuchlar ham ta'sir qiladi: F 3 - A tanasining B tanasiga ta'sir qilish kuchi ( u A jismning og'irligiga teng);F'z - B jismning A jismga teskari ta'sir kuchi; F 4 - A va B jismlarning C asosiga ta'sir kuchi (u jami A va B jismlarning og'irligi);F` 4 - C asosning B jismga teskari ta'sir kuchi. Bu kuchlar 1.11, b, c, d - rasmda ko'rsatilgan.4 aksiomaga ko'ra, F 3 =–F ` 3, F 4 =–F` 4 va bu oʻzaro taʼsir kuchlari berilgan F 1 va F 2 kuchlar bilan aniqlanadi. Oʻzaro taʼsir kuchlarini topish uchun 1-aksiomadan chiqish kerak. Jismning qolgan qismi tufayli A ( 1.11.6-rasm) F z = –F 1 bo'lishi kerak, bu F 3 =F 1 degan ma'noni anglatadi. Xuddi shunday, B jismning muvozanat holatidan (1.11-rasm, c) F` 4 =–( F 2 +F 3) , ya'ni F` 4 =–(F 1 +F 2) va F 4 =F 1 +F 2.

Aksioma 5. Deformatsiyalanuvchi jismning muvozanati buzilmaydi, agar uning nuqtalari qattiq bog'langan bo'lsa va tana mutlaqo mustahkam deb hisoblansa. Bu aksioma biz qattiq deb hisoblab bo'lmaydigan jismlarning muvozanati haqida gapiradigan hollarda qo'llaniladi. Bunday jismlarga qo'llaniladigan tashqi kuchlar qattiq jismning muvozanat shartlarini qondirishi kerak, ammo qattiq bo'lmagan jismlar uchun bu shartlar faqat zarur, ammo etarli emas. Masalan, mutlaq qattiq vaznsiz sterjenning muvozanati uchun tayoq uchlariga taalluqli F va F" kuchlari uning uchlarini tutashtiruvchi to'g'ri chiziq bo'ylab ta'sir qilishi, kattaligi bo'yicha teng va turli yo'nalishlarga yo'naltirilgan bo'lishi zarur va etarlidir. Xuddi shu shartlar vaznsiz ip bo'lagining muvozanati uchun ham zarur, lekin ip uchun ular etarli emas, qo'shimcha ravishda ipga ta'sir qiluvchi kuchlarning cho'ziluvchan bo'lishini talab qilish kerak (1.12-rasm, b), bir novda ular ham siqilish bo'lishi mumkin (1.12-rasm, a).

Qattiq jismga qo'llaniladigan uchta parallel bo'lmagan kuchning nolga tengligi holatini ko'rib chiqamiz (1.13-rasm, a). Uchta parallel bo'lmagan kuchlar teoremasi. Agar uchta kuch ta'sirida jism muvozanatda bo'lsa va ikkala kuchning ta'sir chiziqlari kesishsa, u holda barcha kuchlar bir tekislikda yotadi va ularning ta'sir chiziqlari bir nuqtada kesishadi. Jismga uchta F 1, F 3 va F 3 kuchlar sistemasi taʼsir qilsin va F 1 va F 2 kuchlarining taʼsir chiziqlari A nuqtada kesishsin (1.13, a-rasm). 2-aksiomaning xulosasiga ko'ra, F 1 va F 2 kuchlarini A nuqtaga o'tkazish mumkin (1.13-rasm, b), 3-aksiomaga ko'ra esa ularni bitta R kuch bilan almashtirish mumkin va (1.13-rasm, v). R = F 1 + F 2. Shunday qilib, ko'rib chiqilayotgan kuchlar tizimi ikkita kuchga kamayadi R va F 3 (1.13-rasm, v). Teorema shartlariga ko'ra, jism muvozanatda, shuning uchun 1-aksiomaga ko'ra, R va F 3 kuchlari umumiy ta'sir chizig'iga ega bo'lishi kerak, ammo keyin barcha uch kuchning ta'sir chiziqlari bir nuqtada kesishishi kerak. .

Bog'lanishlarning faol kuchlari va reaktsiyalari

Tana deyiladi ozod, agar uning harakatlari hech narsa bilan cheklanmagan bo'lsa. Harakati boshqa jismlar tomonidan chegaralangan jism deyiladi erkin emas, va berilgan jismning harakatini cheklovchi jismlar ulanishlar. Aloqa nuqtalarida berilgan jism va ulanishlar o'rtasida o'zaro ta'sir kuchlari paydo bo'ladi. Berilgan jismga bog'lanishlar ta'sir qiladigan kuchlar deyiladi bog'lanish reaktsiyalari.

Ozodlik printsipi : har qanday erkin bo'lmagan tanani erkin deb hisoblash mumkin, agar bog'lanishlar harakati ularning berilgan jismga qo'llaniladigan reaktsiyalari bilan almashtirilsa. Statikada bog'larning reaktsiyalarini keyinroq o'rnatiladigan tananing muvozanat shartlari yoki tenglamalari yordamida to'liq aniqlash mumkin, lekin ularning yo'nalishlarini ko'p hollarda bog'larning xususiyatlarini hisobga olgan holda aniqlash mumkin. Oddiy misol sifatida rasmda. 1.14 va jism taqdim etiladi, uning M nuqtasi qo'zg'almas O nuqtaga novda yordamida ulanadi, uning og'irligini e'tiborsiz qoldirish mumkin; novda uchlarida aylanish erkinligini ta'minlaydigan menteşalar mavjud. IN Ushbu holatda tanasi uchun ulanish novda OM; M nuqtaning harakat erkinligini cheklash, uning O nuqtadan doimiy masofada bo'lishga majbur bo'lishida ifodalanadi. Bunday tayoqqa ta'sir kuchi OM to'g'ri chiziq bo'ylab va aksiomaga muvofiq yo'naltirilishi kerak. 4, novda (reaktsiya) R ning qarshi kuchi bir xil to'g'ri chiziq bo'ylab yo'naltirilishi kerak . Shunday qilib, novda reaktsiyasining yo'nalishi OM to'g'ri chiziqqa to'g'ri keladi (1.14-rasm, b). Xuddi shunday, moslashuvchan, cho'zilmaydigan ipning reaktsiya kuchi ip bo'ylab yo'naltirilishi kerak. Shaklda. 1.15-rasmda ikkita ipga osilgan tana va R 1 va R 2 iplarning reaksiyalari ko'rsatilgan. Cheklangan jismga ta'sir qiluvchi kuchlar ikki toifaga bo'linadi. Bir toifani bog'lanishlarga bog'liq bo'lmagan kuchlar hosil qiladi, ikkinchisi esa ulanishlarning reaktsiyalari bilan hosil bo'ladi. Bunday holda, ulanishlarning reaktsiyalari tabiatda passivdir - ular birinchi toifadagi kuchlar tanaga ta'sir qilganligi sababli paydo bo'ladi. Bog'larga bog'liq bo'lmagan kuchlar faol, bog'lanish reaktsiyalari esa passiv kuchlar deyiladi. Shaklda. 1.16 va yuqorida AB tayoqchasini cho'zuvchi F 1 va F 2 teng kattalikdagi ikkita faol kuchlar, pastki qismida cho'zilgan tayoqning R 1 va R 2 reaktsiyalari ko'rsatilgan. Shaklda. 1.16, b tepada tayoqni siqib chiqaradigan faol kuchlar F 1 va F 2, pastki qismida siqilgan tayoqning R 1 va R 2 reaktsiyalari ko'rsatilgan.

Bog'lanish xususiyatlari

1. Agar qattiq jism ideal silliq (ishqalanishsiz) yuzada yotsa, u holda jismning sirt bilan aloqa nuqtasi sirt bo'ylab erkin siljiydi, lekin sirtga normal bo'ylab yo'nalishda harakatlana olmaydi. Ideal silliq yuzaning reaksiyasi umumiy normal bo‘ylab kontakt yuzalariga yo‘naltiriladi (1.17-rasm, a) Agar qattiq jism silliq sirtga ega bo‘lib, uchiga tayansa (1.17-rasm, b), u holda reaksiya shunday bo‘ladi. tananing o'zi yuzasiga normal bo'ylab yo'naltirilgan bo'lsa qattiq tanasi uchi burchakka (1.17-rasm, c) tayangan bo'lsa, u holda ulanish uchning gorizontal va vertikal ravishda harakatlanishiga to'sqinlik qiladi. Shunga ko'ra, burchakning R reaktsiyasi ikkita komponent bilan ifodalanishi mumkin - gorizontal R x va vertikal R y, ularning kattaliklari va yo'nalishlari oxir-oqibat berilgan kuchlar tomonidan aniqlanadi.

2. Sferik menteşe - rasmda ko'rsatilgan qurilma. 1.18, a, bu ko'rib chiqilayotgan jismning O nuqtasini harakatsiz qiladi. Agar sharsimon aloqa yuzasi ideal darajada silliq bo'lsa, u holda sferik ilgakning reaktsiyasi bu sirtga normal yo'nalishda bo'ladi. Reaksiya menteşe O markazidan o'tadi; reaksiya yo'nalishi har qanday bo'lishi mumkin va har bir aniq holatda aniqlanadi.

Shaklda ko'rsatilgan rulmanning reaktsiya yo'nalishini oldindan aniqlash ham mumkin emas. 1.18, b. 3. Silindrsimon menteşeli mahkamlangan tayanch (1.19-rasm, a). Bunday tayanchning reaktsiyasi uning o'qi orqali o'tadi va reaktsiyaning yo'nalishi har qanday bo'lishi mumkin (qo'llab-quvvatlash o'qiga perpendikulyar tekislikda). 4. Silindrsimon bo'g'imli harakatlanuvchi tayanch (1.19-rasm, b) tananing sobit nuqtasining perpendikulyar harakatlanishini oldini oladi. samolyotlar I-I; shunga ko'ra, bunday qo'llab-quvvatlashning reaktsiyasi ham bu perpendikulyar yo'nalishga ega.

Bir nechta qattiq jismlarning artikulyatsiyasi natijasida hosil bo'lgan mexanik tizimlarda tashqi ulanishlar (tayanchlar) bilan ichki bog'lanishlar mavjud. Bunday hollarda, ba'zida tizim aqliy ravishda parchalanadi va tashlab ketilgan nafaqat tashqi, balki ichki aloqalar ham tegishli reaktsiyalar bilan almashtiriladi. Berilgan jismning alohida nuqtalari orasidagi o'zaro ta'sir kuchlari ichki deyiladi va ma'lum bir jismga ta'sir qiluvchi va boshqa jismlar tomonidan yuzaga keladigan kuchlar tashqi deyiladi.

Statikaning asosiy vazifalari

1. Kuchlar tizimini kamaytirish muammosi: berilgan kuchlar tizimini boshqa, eng oddiy, ekvivalenti bilan qanday almashtirish mumkin?

2. Muvozanat masalasi: berilgan jismga (yoki moddiy nuqtaga) taalluqli kuchlar sistemasi muvozanatli sistema bo‘lishi uchun qanday shartlarni qondirishi kerak?

Ikkinchi muammo ko'pincha muvozanat yuzaga kelishi ma'lum bo'lgan hollarda qo'yiladi, masalan, tananing muvozanat holatida ekanligi oldindan ma'lum bo'lsa, bu tanaga yuklangan ulanishlar bilan ta'minlanadi. Bunday holda, muvozanat shartlari tanaga qo'llaniladigan barcha kuchlar o'rtasidagi munosabatni o'rnatadi. Ushbu shartlardan foydalanib, qo'llab-quvvatlash reaktsiyalarini aniqlash mumkin. Bog'lanish reaktsiyalarini (tashqi va ichki) aniqlash strukturaning mustahkamligini keyingi hisoblash uchun zarur ekanligini yodda tutish kerak.

Umumiy holda, bir-biriga nisbatan harakat qilish qobiliyatiga ega bo'lgan jismlar tizimi ko'rib chiqilsa, statikaning asosiy muammolaridan biri bu mumkin bo'lgan muvozanat pozitsiyalarini aniqlash muammosidir.

Natijaga yaqinlashuvchi kuchlar tizimini keltirish

Agar tizimni tashkil etuvchi barcha kuchlarning ta'sir chiziqlari bir nuqtada kesishsa, kuchlar yaqinlashuvchi deyiladi. Teoremani isbotlaylik: yaqinlashuvchi kuchlar tizimi bitta kuchga (natijaga) ekvivalent bo'lib, bu barcha kuchlarning yig'indisiga teng bo'lib, ularning ta'sir chiziqlarining kesishish nuqtasidan o'tadi. Mutlaq qattiq jismga qo'llaniladigan F 1, F 2, F 3, ..., F n yaqinlashuvchi kuchlar tizimi berilgan bo'lsin (2.1-rasm, a). Keling, kuchlarning ta'sir qilish nuqtalarini ularning ta'sir chiziqlari bo'ylab ushbu chiziqlarning kesishish nuqtasiga o'tkazamiz (21, b). Biz bir nuqtaga qo'llaniladigan kuchlar tizimini oldik. Bu berilganga teng. F 1 va F 2 ni qo‘shib, ularning natijasini olamiz: R 2 =F 1 +F 2. F 3 bilan R 2 ni qo‘shamiz: R 3 =R 2 +F 3 =F 1 +F 2 +F 3. F 1 +F 2 +F 3 +…+F n =R n =R=åF i ni qo‘shamiz. Va boshqalar. Paralelogrammalar o'rniga siz kuch ko'pburchagini qurishingiz mumkin. Tizim 4 ta kuchdan iborat bo'lsin (2.2-rasm). F 1 vektorining oxiridan biz F 2 vektorini chetga qo'yamiz. O ning boshi va F 2 vektorining oxirini bog'lovchi vektor R 2 vektor bo'ladi. Keyinchalik, biz F 3 vektorini kechiktiramiz, uning boshlanishini F 2 vektorining oxiriga qo'yamiz. Keyin O nuqtadan F 3 vektorining oxirigacha boradigan R 8 vektorini olamiz. Xuddi shu tarzda F 4 vektorini qo'shamiz; bu holda F 1 vektorining boshidan F 4 vektorining oxirigacha boradigan vektor natija R ekanligini topamiz. Bunday fazoviy ko'pburchak kuch ko'pburchagi deyiladi. Agar oxirgi kuchning oxiri birinchi kuchning boshlanishiga to'g'ri kelmasa, u holda kuch ko'pburchagi deyiladi ochiq. Agar natijani topish uchun geometriyadan foydalanilsa, bu usul geometrik deb ataladi.

Natijani aniqlash uchun ular analitik usuldan tez-tez foydalanadilar. Vektorlar yig'indisining ma'lum o'qga proyeksiyasi yig'indisi vektorlarining bir o'qga proyeksiyalari yig'indisiga teng, biz R x =åF kx =F 1x +F 2x +…+F nx ni olamiz; R y =åF ky =F 1y +F 2y +…+F ny ; R z =åF kz =F 1z +F 2z +…+F nz ; Bu yerda F kx, F ky, F kz F k kuchning o‘qlarga proyeksiyalari, R x, R y, R z esa natijaning bir xil o‘qlarga proyeksiyalari. Yakunlovchi kuchlar sistemasining proyeksiyalari koordinata o'qlari bu kuchlarning tegishli o'qlarga proyeksiyalarining algebraik yig'indilariga teng. Olingan R ning moduli teng: R=(R x 2 +R y 2 +R z 2) 1/2. Yo‘nalish kosinuslari teng: cos(x,R)=R x /R, cos(y,R)=R y /R, cos(z,R)=R z /R. Agar kuchlar bir xil yo'nalishda taqsimlangan bo'lsa, unda hamma narsa bir xil bo'ladi, Z o'qi yo'q.

Birlashtiruvchi kuchlar sistemasining muvozanat shartlari

(F 1 , F 2 , ... ,F n)~R => yaqinlashuvchi kuchlar sistemasi taʼsiri ostidagi jismning muvozanati uchun ularning natijasi nolga teng boʻlishi zarur va yetarli: R = 0. Binobarin, yaqinlashuvchi kuchlarning muvozanatlashgan sistemasining kuch poligonida oxirgi kuchning oxiri birinchi kuchning boshlanishi bilan mos kelishi kerak; bu holda ular kuch ko'pburchagi yopiq deb aytishadi (2.3-rasm). Bu shart qachon ishlatiladi grafik yechim samolyot kuch tizimlari uchun muammolar. R=0 vektor tengligi uchta skalyar tenglikka ekvivalent: R x =åF kx =F 1x +F 2x +…+F nx =0; R y =åF ky =F 1y +F 2y +…+F ny =0; R z =åF kz =F 1z +F 2z +…+F nz =0; Bu yerda F kx, F ky, F kz F k kuchning o‘qlarga proyeksiyalari, R x, R y, R z esa natijaning bir xil o‘qlarga proyeksiyalari. Ya'ni, yaqinlashuvchi kuchlar tizimining muvozanati uchun ma'lum tizimning barcha kuchlarining har bir koordinata o'qiga proyeksiyalarining algebraik yig'indilari nolga teng bo'lishi zarur va etarlidir. Tekis kuchlar sistemasi uchun Z o'qi bilan bog'liq shart yo'qoladi.Muvozanat sharoitlari kuchlar mavjudligini tekshirishga imkon beradi. bu tizim kuch

Ikki parallel kuchlarning qo'shilishi

1) Parallel va bir xil yo'naltirilgan F 1 va F 2 kuchlari tananing A va B nuqtalariga qo'llanilsin va siz ularning natijasini topishingiz kerak (3.1-rasm). A va B nuqtalarga teng kattalikdagi va qarama-qarshi yo'naltirilgan Q 1 va Q 2 kuchlarni qo'llaaylik (ularning moduli istalgan bo'lishi mumkin); aksioma 2 asosida bunday qo'shimcha qilish mumkin. Keyin A va B nuqtalarda ikkita R 1 va R 2 kuchlarni olamiz: R 1 ~(F 1, Q 1) va R 2 ~(F 2, Q 2). Bu kuchlarning ta'sir chiziqlari ma'lum O nuqtada kesishadi. Keling, R 1 va R 2 kuchlarni O nuqtaga o'tkazamiz va har birini tarkibiy qismlarga ajratamiz: R 1 ~(F 1 ', Q 2 ') va R 2 ~( F 2 ', Q 2 '). Qurilishdan ko'rinib turibdiki, Q 1 '=Q 1 va Q 2 '=Q 2 , shuning uchun Q 1 '= –Q 2 'va bu ikki kuchni 2-aksiomaga ko'ra tashlab yuborish mumkin. Bundan tashqari, F 1 ’=F 1 , F 2 ’=F 2. F 1 ' va F 2 ' kuchlari bitta to'g'ri chiziqda harakat qiladi va ularni bitta R = F 1 + F 2 kuch bilan almashtirish mumkin, bu esa kerakli natija bo'ladi. Natijaning moduli R = F 1 + F 2 ga teng. Natijaning ta'sir chizig'i F 1 va F 2 ta'sir chiziqlariga parallel. Oac 1 va OAC, shuningdek Obc 2 va OBC uchburchaklarining o'xshashligidan quyidagi nisbatni olamiz: F 1 /F 2 =BC/AC. Bu bog'liqlik natijaviy R ning qo'llanish nuqtasini aniqlaydi. Bir yo'nalishda yo'naltirilgan ikkita parallel kuchlar tizimi bu kuchlarga parallel natijaga ega va uning moduli summasiga teng bu kuchlarning modullari.

2) Jismga turli yo'nalishlarga yo'naltirilgan va kattaligi teng bo'lmagan ikkita parallel kuch ta'sir qilsin. Berilgan: F 1, F 2; F 1 >F 2 .

R = F 1 + F 2 va F 1 /F 2 =BC/AC formulalaridan foydalanib, biz F 1 kuchini F 1 kuchiga yo'naltirilgan F" 2 va R ikkita komponentga ajratishimiz mumkin. Keling, shunday qilaylik. F" 2 kuchi B nuqtaga ta'sir qildi va biz F" 2 = –F 2 ni qo'yamiz. Shunday qilib, (F l , F 2)~(R, F" 2 , F 2). Kuchlar F 2 , F 2 ' nolga ekvivalent sifatida tashlanishi mumkin (aksioma 2), shuning uchun, (F 1 ,F 2)~R, ya'ni R kuchi natijadir. F 1 kuchning bu kengayishini qanoatlantiradigan R kuchini aniqlaymiz. Formulalar R = F 1 + F 2 va F 1 /F 2 =BC/AC beradi R+F 2 '=F 1, R/F 2 =AB/AC (*). bu nazarda tutadi R = F 1 –F 2 '= F 1 + F 2, va F t va F 2 kuchlari turli yo‘nalishlarga yo‘naltirilganligi uchun R=F 1 –F 2 bo‘ladi. Ushbu ifodani ikkinchi formulaga (*) almashtirib, biz oddiy o'zgarishlardan keyin F 1 /F 2 =BC/AC ni olamiz. munosabat natijaviy R ning qo'llanish nuqtasini aniqlaydi. Kattaligi bo'yicha teng bo'lmagan ikkita qarama-qarshi yo'naltirilgan parallel kuchlar bu kuchlarga parallel parallel bo'ladi va uning moduli bu kuchlarning modullari farqiga teng.

3) Jismga kattaligi teng, lekin yo‘nalishi qarama-qarshi bo‘lgan ikkita parallel kuch ta’sir qilsin. Bu sistema juft kuchlar deb ataladi va belgi bilan belgilanadi (F 1, F 2). Faraz qilaylik, F 2 moduli asta-sekin ortib, F 1 modulining qiymatiga yaqinlashadi. Keyin modullardagi farq nolga, kuchlar tizimi (F 1, F 2) juftlikka moyil bo'ladi. Bu holda |R|Þ0 va uning ta'sir chizig'i bu kuchlarning ta'sir chiziqlaridan uzoqlashadi. Bir juft kuch - bu muvozanatsiz tizim bo'lib, uni bitta kuch bilan almashtirib bo'lmaydi. Bir juft kuchning natijasi yo'q.

Kuchning nuqta va o`qqa nisbatan momenti.Kuchlar juftligi momenti

Kuchning nuqtaga (markazga) nisbatan momenti son jihatdan kuch modulining qo'lning ko'paytmasiga, ya'ni belgilangan nuqtadan kuchning ta'sir chizig'igacha bo'lgan eng qisqa masofaga teng bo'lgan vektordir. . Tanlangan nuqtadan va kuchning ta'sir chizig'idan o'tadigan tekislikka perpendikulyar yo'naltiriladi. Agar moment soat yo'nalishi bo'yicha bo'lsa, u holda moment salbiy bo'ladi va soat miliga teskari bo'lsa, u holda ijobiy bo'ladi. Agar O nuqta, munosabat F kuch momenti, u holda kuch momenti M o (F) belgisi bilan belgilanadi. Agar F kuchning qo’llanish nuqtasi O ga nisbatan r radius vektori bilan aniqlansa, M o (F) = r x F munosabat o’rinli bo’ladi.(3.6) Ya’ni. kuch momenti r vektorning F vektor ko'paytmasiga teng. Vektor ko'paytmaning moduli M o (F)=rF sin a=Fh, (3.7) ga teng, bu erda h - kuchning qo'li. Mo (F) vektori r va F vektorlardan oʻtuvchi tekislikka perpendikulyar va soat miliga teskari yoʻnalishda yoʻnaltirilgan. Shunday qilib, (3.6) formula F kuch momentining moduli va yo'nalishini to'liq aniqlaydi. Formula (3.7) M O (F) = 2S, (3.8) shaklida yozilishi mumkin, bu erda S - OAB uchburchagining maydoni. . X, y, z kuchning qo’llanish nuqtasining koordinatalari, F x, F y, F z esa kuchning koordinata o’qlariga proyeksiyalari bo’lsin. Agar shunday bo'lsa. Biz haqimizda. boshida, keyin kuch momenti:

Demak, kuch momentining koordinata o’qlariga proyeksiyalari f-mi bilan aniqlanadi: M ox (F)=yF z –zF y, M oy (F)=zF x –xF z, M oz (F) =xF y –yF x (3.10 ).

Keling, kuchning tekislikka proyeksiyasi tushunchasini kiritaylik. F kuch va ma'lum bir kuch berilgan bo'lsin. Ushbu tekislikka kuch vektorining boshidan va oxiridan perpendikulyarlarni tushiramiz (3.5-rasm). Kuchning tekislikka proyeksiyasi bu vektor bo'lib, uning boshlanishi va oxiri kuchning boshi va oxirining shu tekislikdagi proyeksiyasiga to'g'ri keladi. F kuchning xOy maydoniga proyeksiyasi F xy bo'ladi. Kuch momenti F xy rel. t.O (agar z=0 bo‘lsa, F z =0) M o (F xy)=(xF y –yF x)k bo‘ladi. Bu moment z o'qi bo'ylab yo'naltirilgan va uning z o'qiga proyeksiyasi F kuch momentining O.T.e nuqtaga nisbatan bir xil o'qiga proyeksiyasi bilan to'liq mos keladi, M Oz (F) = M Oz (F xy) = xF y –yF x. (3.11). Agar F kuchini xOy tekisligiga parallel bo'lgan boshqa tekislikka proyeksiya qilsak ham xuddi shunday natijaga erishish mumkin. Bunday holda, o'qning tekislik bilan kesishish nuqtasi boshqacha bo'ladi (O 1 bilan belgilanadi). Biroq (3.11) tenglikning o'ng tomoniga kiritilgan barcha x, y, F x, F y miqdorlar o'zgarishsiz qoladi: M Oz (F) = M Olz (F xy). Bir nuqtaga nisbatan kuch momentining shu nuqtadan o'tuvchi o'qga proyeksiyasi o'qdagi nuqtani tanlashga bog'liq emas. M Oz (F) o'rniga M z (F) yozamiz. Momentning bunday proyeksiyasi kuchning z o'qiga nisbatan momenti deyiladi. Hisoblashdan oldin F kuchi kvadrat va perpendikulyar o'qga proyeksiya qilinadi. M z (F)=M z (F xy)=±F xy h (3.12). h- elka. Agar soat yo'nalishi bo'yicha bo'lsa, u holda +, soat miliga teskari, keyin -. m.m.ni hisoblash uchun. sizga kerak bo'lgan kuchlar: 1) o'qda ixtiyoriy nuqtani tanlang va o'qga perpendikulyar tekislikni tuzing; 2) kuchni ushbu tekislikka proyeksiya qilish; 3) h kuchning proyeksiyalovchi qo'lini aniqlang. Eksaga nisbatan kuch momenti tegishli belgi bilan olingan kuchning yelkasiga proyeksiyasi modulining mahsulotiga teng. (3.12) dan kelib chiqadiki, kuchning o'qqa nisbatan momenti nolga teng: 1) kuchning o'qqa perpendikulyar tekislikka proyeksiyasi nolga teng bo'lganda, ya'ni kuch va o'q parallel bo'lganda; 2) proyeksiya qo'li h nolga teng bo'lganda, ya'ni kuchning ta'sir chizig'i o'qni kesib o'tganda. Yoki: kuchning o'qqa nisbatan momenti nolga teng bo'ladi, agar kuch va o'qning ta'sir chizig'i bir xil tekislikda bo'lsa.

Keling, juftlik lahzalari tushunchasini kiritaylik. Juftni tashkil etuvchi kuchlarning ixtiyoriy nuqtaga nisbatan momentlari yig‘indisi topilsin. O fazodagi ixtiyoriy nuqta bo'lsin (3.8-rasm), F va F" juftlikni tashkil etuvchi kuchlar. U holda M o (F) = OAxF, M o (F") = OBxF ", undan M. o (F) + M o (F")=OAxF+OBxF", lekin F"=–F ekan, u holda M 0 (F)+M 0 (F")=OAxF–OBxF=(OA–OB)xF. OA –OB = BA tengligini hisobga olib, nihoyat topamiz: M 0 (F) + M 0 (F") = BAxF. Ya'ni, juftlikni tashkil etuvchi kuchlar momentlarining yig'indisi momentlar olingan nuqtaning holatiga bog'liq emas. BAxF vektor mahsuloti juftlik momenti deyiladi. Juftlik momenti M(F,F") belgisi bilan, M(F,F")=BAxF=ABxF" yoki M=BAxF=ABxF" bilan belgilanadi. (3.13). Juftlik momenti juftlik tekisligiga perpendikulyar bo'lgan vektor bo'lib, kattaligi bo'yicha juftlik kuchlaridan birining modulining juftlik qo'li (ya'ni, harakat chiziqlari orasidagi eng qisqa masofa) mahsulotiga teng. juftlikni tashkil etuvchi kuchlar) va juftlikning "aylanishi" ko'rinadigan yo'nalishda soat miliga teskari yo'nalishda yo'naltiriladi. Agar h juftlikning yelkasi bo'lsa, u holda M(F,F") = hF.Kuchlar juftligi muvozanatli bo'lishi uchun juftlik momenti = 0 yoki elka = 0 bo'lishi kerak.

Juftlik teoremalari

Teorema 1.Bir tekislikda yotgan ikkita juftni bir tekislikda yotgan bir juft juft bilan almashtirish mumkin, moment shu ikki juftning momentlari yig'indisiga teng. . Isbot uchun ikkita juftlikni (F 1, F` 1) va (F 2, F` 2) ko'rib chiqamiz (3.9-rasm) va barcha kuchlarning ta'sir qilish chiziqlari bo'ylab mos ravishda A va B nuqtalarga o'tkazing. . 3-aksiomaga muvofiq kuchlarni qo'shib, biz R=F 1 +F 2 va R"=F` 1 +F` 2, lekin F" 1 =–F 1 va F` 2 =–F 2 ni olamiz. Binobarin, R=–R”, ya’ni R va R” kuchlari juftlik hosil qiladi. Bu juftlikning momenti: M=M(R, R")=BAxR=BAx(F 1 +F 2)=BAxF 1 +BAxF 2. (3.14).Juftni tashkil etuvchi kuchlar chiziqlar bo‘ylab o‘tkazilganda. ularning harakatidan juftning yelkasi ham, aylanish yo‘nalishi ham o‘zgarmaydi, demak, juftlikning momenti ham o‘zgarmaydi.Demak, VAxF 1 =M(F 1, F" 1) = M 1, VAxF 2 =M(F 2, f` 2) = M 2 va (3.14) formula M=M 1 +M 2, (3.15) va hokazo ko‘rinishga ega bo‘ladi. Keling, ikkita fikr bildiraylik. 1. Juftlarni tashkil etuvchi kuchlarning ta'sir chiziqlari parallel bo'lib chiqishi mumkin. Teorema bu holatda ham o'z kuchida qoladi. 2. Qo‘shilgandan so‘ng M(R,R")=0 ekanligi ma’lum bo‘lishi mumkin; 1-mulohazadan kelib chiqib, ikki juftlik to‘plami (F 1, F` 1, F 2, F` 2)~0 bo‘lishi mumkin. .

Teorema 2.Momentlari teng bo'lgan ikkita juftlik ekvivalentdir. M 1 momentli I tekislikdagi jismga juftlik (F 1 ,F` 1) ta'sir qilsin. Bu juftlikni II tekislikda joylashgan boshqa juft (F 2, F` 2) bilan almashtirish mumkinligini ko'rsatamiz, agar uning M 2 momenti M 1 ga teng bo'lsa. E'tibor bering, I va II tekisliklar parallel bo'lishi kerak, xususan, ular mos kelishi mumkin. Darhaqiqat, M 1 va M 2 momentlarining parallelligidan kelib chiqadiki, momentlarga perpendikulyar juftlarning harakat tekisliklari ham paralleldir. Keling, yangi juftlikni (F 3 , F` 3) kiritamiz va uni juftlik (F 2, F` 2) bilan birga tanaga qo'llaymiz, ikkala juftni ham II tekislikka joylashtiramiz. Buning uchun 2-aksiomaga ko'ra, qo'llaniladigan kuchlar tizimi (F 2, F` 2, F 3, F` 3) bo'lishi uchun M 3 momentli juftlikni (F 3, F` 3) tanlash kerak. muvozanatlashgan. F 3 =–F` 1 va F` 3 =–F 1 qo'yib, bu kuchlarning qo'llanish nuqtalarini A va B nuqtalarning II tekislikka A 1 va B 1 proyeksiyalari bilan birlashtiramiz (3.10-rasmga qarang). Qurilishga muvofiq bizda quyidagilar bo'ladi: M 3 ​​=–M 1 yoki M 1 = M 2 ekanligini hisobga olgan holda, M 2 + M 3 = 0,(F 2, F` 2, F 3, F` 3)~0 ni olamiz. Demak, (F 2, F` 2) va (F 3, F` 3) juftlari oʻzaro muvozanatlashgan va ularning tanaga biriktirilishi uning holatini buzmaydi (aksioma 2), shuning uchun (F 1, F` 1)~ (F 1, F` 1, F 2, F` 2, F 3, F` 3). (3.16). Boshqa tomondan, bir yo'nalishda yo'naltirilgan parallel kuchlarni qo'shish qoidasiga ko'ra F 1 va F 3, shuningdek F` 1 va F` 3 kuchlari qo'shilishi mumkin. Ular modul bo'yicha tengdir, shuning uchun ularning natijalari R va R "to'rtburchaklar ABB 1 A 1 diagonallari kesishish nuqtasida qo'llanilishi kerak, bundan tashqari, ular modul jihatidan teng va qarama-qarshi yo'nalishda yo'naltirilgan. Bu shuni anglatadiki, ular nolga ekvivalent sistemani tashkil qiladi.Demak, (F 1 , F` 1 , F 3 , F` 3)~(R, R")~0. Endi biz (F 1 , F` 1 , F 2 , F` 2 , F 3 ,F` 3)~(F 2 , F` 2) yozishimiz mumkin.(3.17). (3.16) va (3.17) munosabatlarni taqqoslab, biz (F 1, F` 1)~(F 2, F` 2) va hokazolarni olamiz. Bu teoremadan kelib chiqadiki, bir juft kuch uning harakat tekisligida harakatlanishi va aylanishi, parallel tekislikka o'tkazilishi mumkin; juftlikda siz faqat juftlikning aylanish yo'nalishini va uning moment modulini saqlab, bir vaqtning o'zida kuchlar va leverageni o'zgartirishingiz mumkin. (F 1 h 1 =F 2 h 2).

Teorema 3. Kesishgan tekisliklarda yotgan ikkita juft momenti berilgan ikkita juftlik momentlari yig‘indisiga teng bo‘lgan bir juftga ekvivalentdir.(F 1 , F` 1) va (F 2 , F` 2) juftlari mos ravishda I va II kesishuvchi tekisliklarda joylashsin. 2-teoremaning xulosasidan foydalanib, ikkala juftni I va II tekisliklarning kesishish chizig'ida joylashgan AB (3.11-rasm) qo'liga keltiramiz. O'zgartirilgan juftlarni (Q 1 , Q` 1) va (Q 2 , Q` 2) bilan belgilaymiz. Bunda quyidagi tengliklar bajarilishi kerak: M 1 =M(Q 1, Q` 1)=M(F 1, F` 1) va M 2 =M(Q 2, Q` 2)=M(F) 2, F` 2). 3-aksiomaga ko'ra, mos ravishda A va B nuqtalarida qo'llaniladigan kuchlarni qo'shamiz. U holda biz R=Q 1 +Q 2 va R"=Q` 1 +Q` 2 ni olamiz. Q` 1 =–Q 1 va Q` 2 = –Q 2 ekanligini hisobga olsak: R=–R" ni olamiz. Shunday qilib, ikkita juftlik sistemasi bir juftga (R, R") ekvivalent ekanligini isbotladik.Bu juftlikning M momentini topamiz.M(R,R")=BAxR, lekin R=Q 1 +Q 2 va M(R , R")=BAx(Q 1 +Q 2)=BAxQ 1 +BAxQ 2 =M(Q 1, Q` 1)+M(Q 2, Q` 2)=M(F 1, F" 1)+ M(F 2 , F` 2), yoki M=M 1 +M 2, ya'ni teorema isbotlangan.

Xulosa: er-xotinning momenti erkin vektor bo'lib, er-xotinning mutlaqo qattiq tanadagi harakatini to'liq aniqlaydi. Deformatsiyalanuvchi jismlar uchun juftlar nazariyasi qo'llanilmaydi.

Juftlar sistemasini eng oddiy holga keltirish.Juftlar sistemasining muvozanati

Fazoda ixtiyoriy joylashgan, momentlari ga teng bo‘lgan n juftlik (F 1 ,F 1 `),(F 2 ,F` 2) ..., (F n ,F` n) sistemasi berilsin. M 1, M 2. ..., M n. Birinchi ikkita juftlik M* 2:M* 2 =M 1 +M 2 moment bilan bir juft (R 1,R` 1) bilan almashtirilishi mumkin. Olingan juftlikni (R 1, R` 1) juftlik (F 3, F` 3) bilan qo'shamiz, keyin M* 3 momentli yangi juftlikni (R 2, R` 2) olamiz: M* 3 = M * 2 + M 3 =M 1 +M 2 +M 3. Juftlik momentlarini ketma-ket qo‘shishni davom ettirib, M=M 1 +M 2 +...+M n =åM k momentga ega bo‘lgan oxirgi natijali juftlikni (R, R”) olamiz.(3.18). juftlar bir juftga qisqartiriladi, uning momenti barcha juftlar momentlari yig‘indisiga teng.Endi statikaning ikkinchi masalasini yechish oson, ya’ni juftliklar sistemasi joylashgan jismning muvozanat shartlarini topish oson. harakat qiladi.Juftlar sistemasi nolga ekvivalent bo'lishi, ya'ni ikkita muvozanatlashgan kuchga qisqarishi uchun hosil bo'lgan juftlik momenti nolga teng bo'lishi zarur va kifoya qiladi.Unda (3.18) formuladan olamiz. vektor shaklida quyidagi muvozanat sharti: M 1 + M 2 + M 3 + ... + M n = 0. (3.19).

Koordinata o'qlariga proyeksiyalarda (3.19) tenglama uchta skalyar tenglamani beradi. Muvozanat sharti (3.19) barcha juftliklar bir tekislikda yotganda soddalashtiriladi. Bunday holda, barcha momentlar ushbu tekislikka perpendikulyardir va shuning uchun (3.19) tenglamani faqat bitta o'qga, masalan, juftliklar tekisligiga perpendikulyar o'qga proyeksiya qilish kifoya. Bu z o'qi bo'lsin (3.12-rasm). U holda (3.19) tenglamadan quyidagini olamiz: M 1Z + M 2Z +...+ M nZ =0. Ko'rinib turibdiki, agar juftlikning aylanishi z o'qining musbat yo'nalishidan soat sohasi farqli ravishda ko'rinadigan bo'lsa, M Z = M va teskari aylanish yo'nalishida M Z = -M. Ushbu ikkala holat ham rasmda ko'rsatilgan. 3.12.

Parallel kuch uzatish bo'yicha lemma

Keling, lemmani isbotlaylik:Qattiq jismning istalgan nuqtasida qo'llaniladigan kuch, shu jismning boshqa har qanday nuqtasida qo'llaniladigan kuchga va momenti yangi qo'llash nuqtasiga nisbatan berilgan kuch momentiga teng bo'lgan bir juft kuchga tengdir. Qattiq jismning A nuqtasida F kuch qo'llanilsin (4.1-rasm). Keling, tananing B nuqtasiga nolga ekvivalent bo'lgan ikkita F" va F²- kuchlar tizimini qo'llaymiz va F"=F (shuning uchun F"=–F) ni tanlaymiz. Keyin F~(F, F" kuch. , F"), chunki (F",F")~0. Ammo, boshqa tomondan, kuchlar tizimi (F, F, F") F" kuchiga va kuchlar juftligiga (F) ekvivalentdir. , F"); shuning uchun F kuch F" kuchiga va kuchlar juftligiga (F, F") ekvivalentdir. Juftning momenti (F, F") M=M(F,F" ga teng. )=BAxF, ya'ni B nuqtaga nisbatan F kuch momentiga teng M=M B (F).Shunday qilib, kuchning parallel o'tkazilishi lemmasi isbotlangan.

Statikaning asosiy teoremasi

Ixtiyoriy kuchlar sistemasi (F 1, F 2,..., F n) berilsin. Bu kuchlar yig’indisi F=åF k kuchlar tizimining bosh vektori deyiladi. Har qanday qutbga nisbatan kuchlar momentlarining yig'indisi ushbu qutbga nisbatan ko'rib chiqilayotgan kuchlar tizimining asosiy momenti deyiladi.

Statikaning asosiy teoremasi (Poinsot teoremasi ):Umumiy holda, har qanday fazoviy kuchlar tizimini tananing biron bir nuqtasida (kamaytirish markazida) qo'llaniladigan va ushbu kuchlar tizimining asosiy vektoriga teng bo'lgan bir kuch va bir juft kuchdan iborat ekvivalent tizim bilan almashtirilishi mumkin. , uning momenti tanlangan adduktsiya markaziga nisbatan barcha kuchlarning asosiy momentiga teng. Koordinatalarning boshi, r 1 , r 2 , r 3 , ..., r n - F 1 , F 2 , F 3 kuchlar qoʻllanish nuqtalarining mos radius vektorlari sifatida qabul qilingan O ni kamaytirish markazi boʻlsin, ..., F n , bu tizim kuchlarini tashkil etuvchi (4.2-rasm, a). F 1, F a, F 3, ..., F n kuchlarni O nuqtaga ko‘chiramiz. Bu kuchlarni yaqinlashuvchi kuch sifatida qo‘shamiz; biz bitta kuch olamiz: F o =F 1 +F 2 +…+F n =åF k, bu asosiy vektorga teng (4.2-rasm, b). Lekin F 1, F 2,..., F n kuchlarini O nuqtaga ketma-ket o‘tkazish bilan har safar mos keladigan kuchlar juftligini (F 1, F” 1), (F 2, F” 2) olamiz. ...,( F n, F" n).Bu juftlarning momentlari mos ravishda bu kuchlarning O nuqtaga nisbatan momentlariga teng: M 1 = M (F 1, F" 1) = r 1 x F 1 = M o (F 1), M 2 = M (F 2, F” 2)=r 2 x F 2 =M o (F 2), ..., M n =M(F n, F" n) =r n x F n =M o (F n). Juftlar tizimini eng oddiy shaklga qisqartirish qoidasiga asoslanib, bu juftliklarning barchasi bir juft bilan almashtirilishi mumkin. Uning momenti O nuqtaga nisbatan tizimning barcha kuchlarining momentlari yig'indisiga teng, ya'ni u asosiy momentga teng, chunki (3.18) va (4.1) formulalar bo'yicha bizda (4.2-rasm, v) mavjud. M 0 = M 1 + M 2 +.. .+M n =M o (F 1)+M o (F 2)+…+ M o (F n)==åM o (F k)=år k x F k . Kosmosda o'zboshimchalik bilan joylashgan kuchlar tizimini o'zboshimchalik bilan tanlangan qisqarish markazida F o =åF k (4.2) va momenti M 0 =åM 0 (F k)=år k x kuchlar jufti bilan almashtirish mumkin. F k . (4.3). Texnologiyada ko'pincha kuch yoki juftlikni emas, balki ularning momentlarini belgilash osonroq. Masalan, elektr motorining xarakteristikalari statorning rotorga ta'sir qiladigan kuchini emas, balki momentni o'z ichiga oladi.

Fazoviy kuchlar sistemasi muvozanatining shartlari

Teorema.Fazoviy kuchlar tizimining muvozanati uchun bu sistemaning asosiy vektori va bosh momenti nolga teng bo'lishi zarur va etarlidir. Adekvatlik: F o =0 da qisqarish markazida qo'llaniladigan yaqinlashuvchi kuchlar tizimi O nolga, M o =0 da kuchlar juftlari tizimi nolga ekvivalent bo'ladi. Binobarin, dastlabki kuchlar tizimi nolga teng. Majburiyat: Ushbu kuchlar tizimi nolga teng bo'lsin. Tizimni ikkita kuchga qisqartirib, biz Q va P kuchlar tizimi (4.4-rasm) nolga ekvivalent bo'lishi kerakligini ta'kidlaymiz, shuning uchun bu ikki kuch umumiy ta'sir chizig'iga ega bo'lishi kerak va Q = -P tengligi bo'lishi kerak. mamnun. Ammo bu P kuchning ta'sir chizig'i O nuqtadan o'tsa, ya'ni h = 0 bo'lsa bo'lishi mumkin. Demak, asosiy moment nolga teng (M o =0). Chunki Q + P = 0, a Q = F o + P ", keyin F o + P " + P = 0, va shuning uchun F o = 0. Zarur va etarli shartlar kuchlarning fazoviy tizimiga teng. shakl: F o = 0 , M o =0 (4.15),

yoki koordinata o'qlariga proyeksiyalarda Fox=åF kx =F 1x +F 2x +…+F nx =0; F Oy =åF ky =F 1y +F 2y +...+F ny =0; F oz =åF kz =F 1z +F 2z +…+F nz =0 (4.16). M Ox =åM Ox (F k)=M Ox (F 1)+M ox (F 2)+...+M Ox (F n)=0, M Oy =åM Oy (F k)=M oy ( F 1)+M oy (F 2)+…+M oy (F n)=0, M oz =åM Oz (F k)=M Oz (F 1)+M oz (F 2)+...+ M oz (F n)=0. (4.17)

Bu. 6 darajali masalalarni yechishda siz 6 ta noma'lumni topishingiz mumkin. Eslatma: bir juft kuchni natijaga kamaytirish mumkin emas. Maxsus holatlar: 1) Parallel kuchlarning fazoviy sistemasining muvozanati. Z o'qi kuchning ta'sir chiziqlariga parallel bo'lsin (4.6-rasm), u holda kuchlarning x va y ga proyeksiyalari 0 ga teng (F kx = 0 va F ky = 0) va faqat F oz qoladi. . Lahzalarga kelsak, faqat M ox va M oy qoladi, M oz esa yo'q. 2) Tekis kuchlar sistemasining muvozanati. Qolgan darajalar F ox , F oy va moment M oz (4.7-rasm). 3) Parallel kuchlar tekis sistemasining muvozanati. (4.8-rasm). Faqat 2 daraja qoladi: F oy va M oz.Muvozanat darajalarini tuzishda sharpaning markazi sifatida istalgan nuqtani tanlash mumkin.

Yassi kuchlar tizimini eng oddiy shaklga qisqartirish

Xuddi shu tekislikda joylashgan kuchlar sistemasini (F 1, F 2,..., F n) ko'rib chiqamiz. Oxy koordinata sistemasini kuchlarning joylashish tekisligi bilan birlashtiramiz va uning kelib chiqishini kamaytirish markazi sifatida tanlab, ko‘rib chiqilayotgan kuchlar sistemasini bitta F 0 =åF k , (5.1) asosiy vektorga teng kuchga keltiramiz. , va momenti asosiy moment M 0 =åM 0 (F k) ga teng bo’lgan juft kuchga, (5.2) bu yerda M o (F k) markazga nisbatan F k kuch momenti. qisqarish O. kuchlar bir tekislikda joylashgani uchun F o kuchi ham shu tekislikda yotadi. M o juftning momenti shu tekislikka perpendikulyar yo'naltirilgan, chunki juftning o'zi ko'rib chiqilayotgan kuchlarning ta'sirida joylashgan. Shunday qilib, kuchlarning tekis tizimi uchun asosiy vektor va asosiy moment har doim bir-biriga perpendikulyar bo'ladi (5.1-rasm). Moment to'liq M z algebraik miqdor bilan tavsiflanadi, agar juftlikning "aylanishi-" bo'lsa, ortiqcha belgisi bilan olingan, juftlikni tashkil etuvchi kuchlardan birining qiymati bilan juftlik qo'lining mahsulotiga teng. soat yo'nalishi bo'yicha teskari yo'nalishda sodir bo'ladi va minus belgisi bilan soat yo'nalishi bo'yicha strelkalar paydo bo'lsa. Masalan, (F 1, F` 1) va (F 2, F` 2) ikkita juftlik berilsin (5.2-rasm); u holda, bu ta'rifga ko'ra, bizda M z (F 1,F` 1)=h 1 F 1, M Z (F 2,F" 2)=-h 2 F 2. Bir nuqtaga nisbatan kuch momenti bo'ladi. bu nuqtaga nisbatan moment vektor kuchining tekislikka perpendikulyar o'qdagi proyeksiyasiga teng algebraik kattalik bo'lsin. 5.3-rasm, a va b mos ravishda M oz (F 1) = hF 1 , M oz (F 2) = –hF 2 (5.4) boʻladi.(5.3) va (5.4) formulalardagi z indeksi momentlarning algebraik xususiyatini ko`rsatish uchun saqlanadi.Juft momenti va kuch momentining modullari quyidagicha belgilanadi: M(F ,F")=| M z (F,F`)|, M o (F)=|M Oz (F)|. Biz M oz =åM oz (F z) ni olamiz. Asosiy vektorni analitik aniqlash uchun quyidagi formulalardan foydalaniladi: F ox =åF kx =F 1x +F 2x +…+F nx, F oy =åF ky =F 1y,+F 2y +…+F ny, F o =(F 2 ox +F 2 oy) 1/2 =([åF kx ] 2 +[åF ky ] 2) 1/2 (5.8); cos(x, F o)=F ox /F o , cos(y, F o)=F Oy /F o .(5.9). Asosiy moment esa M Oz =åM Oz (F k)=å(x k F ky –y k F kx), (5.10) ga teng, bunda x k, y k F k kuch ta sir etuvchi nuqtaning koordinatalari.

Tekis kuchlar sistemasining bosh vektori nolga teng bo'lmasa, bu kuchlar sistemasi bitta kuchga ekvivalent, ya'ni natijaga qisqarganligini isbotlaylik. Fo≠0, MOz ≠0 bo'lsin (5.4-rasm, a). Shakldagi yoy o'qi. 5.4, ​​lekin ramziy ma'noda MOz momentli juftlikni tasvirlaydi. Momenti asosiy momentga teng bo‘lgan bir juft kuchni kattaligi bo‘yicha asosiy Fo vektoriga teng ikki F1 va F`1 kuchlar ko‘rinishida tasvirlaymiz, ya’ni F1=F`1 =Fo. Bunda biz juftlikni tashkil etuvchi kuchlardan birini (F`1) qisqarish markaziga qo'llaymiz va uni Fo kuchining yo'nalishiga qarama-qarshi tomonga yo'naltiramiz (5.4-rasm, b). U holda Fo va F`1 kuchlar tizimi nolga teng bo'lib, uni tashlab yuborish mumkin. Shuning uchun berilgan kuchlar tizimi ekvivalentdir yagona kuch F1 01-bandga qo'llaniladi; bu kuch natijadir. Natijani R harfi bilan belgilaymiz, ya'ni. F1=R. Shubhasiz, oldingi qisqarish markazi O dan natijaning ta'sir chizig'igacha bo'lgan masofa h ni |MOz|=hF1 =hFo shartidan topish mumkin, ya'ni. h=|MOz|/Fo. O nuqtadan h masofani shunday ajratib qo'yish kerakki, juft kuchlar momenti (F1, F`1) asosiy moment MOz ga to'g'ri keladi (5.4-rasm, b). Kuchlar sistemasini berilgan markazga keltirish natijasida quyidagi holatlar yuzaga kelishi mumkin: (1) Fo≠0, MOz≠0.Bu holda kuchlar sistemasini bitta kuchga (natijaga) kamaytirish mumkin, chunki shaklda ko'rsatilgan. 5.4, ​​c (2) Fo≠0, MOz=0. Bunday holda, kuchlar tizimi berilgan qisqarish markazidan o'tadigan bitta kuchga (natijaga) kamayadi. (3) Fo=0, MOz≠0. Bunday holda, kuchlar tizimi bir juft kuchga ekvivalent bo'ladi. (4) Fo=0, MOz=0. Bunday holda, ko'rib chiqilayotgan kuchlar tizimi nolga teng, ya'ni tizimni tashkil etuvchi kuchlar o'zaro muvozanatlashgan.

Varignon teoremasi

Varignon teoremasi. Agar ko'rib chiqilayotgan kuchlarning tekis sistemasi natijaga keltirilsa, u holda bu natijaning istalgan nuqtaga nisbatan momenti berilgan tizimning barcha kuchlarining shu nuqtaga nisbatan momentlarining algebraik yig'indisiga teng bo'ladi. Faraz qilaylik, kuchlar sistemasi O nuqtadan o'tuvchi natija R ga keltirildi. Endi qisqarish markazi sifatida yana bir O 1 nuqtani olaylik. Bu nuqtaga nisbatan asosiy moment (5.5) barcha kuchlar momentlari yigʻindisiga teng: M O1Z =åM o1z (F k) (5.11). Boshqa tomondan, biz M O1Z =M Olz (R), (5.12) ga ega bo'lamiz, chunki O qisqarish markazi uchun asosiy moment nolga teng (M Oz =0). (5.11) va (5.12) munosabatlarni taqqoslab, M O1z (R)=åM OlZ (F k) ni olamiz; (5.13) va boshqalar. Varignon teoremasidan foydalanib, natijaning ta'sir chizig'i tenglamasini topish mumkin. Natija R 1 koordinatalari x va y bo'lgan O 1 nuqtada qo'llanilsin (5.5-rasm) va bosh vektor F o va bosh moment M O koordinata boshida qisqarish markazida ma'lum bo'lsin. R 1 =F o bo lgani uchun natijaning x va y o qlari bo yicha komponentlari R lx =F Ox =F Ox i va R ly =F Oy =F oy j ga teng. Varinyon teoremasiga ko‘ra, natijaning koordinataga nisbatan momenti koordinata boshida qisqarish markazidagi bosh momentga teng, ya’ni Moz =M Oz (R 1)=xF Oy –yF Ox. (5.14). M Oz, F Ox va Foy miqdorlari natijaning qo‘llanilish nuqtasi uning harakat chizig‘i bo‘ylab harakatlantirilganda o‘zgarmaydi, shuning uchun (5.14) tenglamadagi x va y koordinatalarini chiziqning joriy koordinatalari sifatida ko‘rish mumkin. natijaning harakati. Shunday qilib, (5.14) tenglama natijaning harakat chizig'ining tenglamasidir. F ox ≠0 bo'lganda uni y=(F oy /F ox)x–(M oz /F ox) shaklida qayta yozish mumkin.

Tekis kuchlar sistemasi uchun muvozanat shartlari

Kuchlar tizimining muvozanatining zaruriy va etarli sharti asosiy vektor va asosiy momentning nolga tengligidir. Tekis kuchlar sistemasi uchun bu shartlar F o =åF k =0, M Oz =åM oz (F k)=0, (5.15) ko'rinishni oladi, bunda O - kuchlar ta'sir tekisligidagi ixtiyoriy nuqta. . Biz olamiz: F ox =åF kx =F 1x +F 2x +…+F nx =0, P ox =åF ky =F 1y +F 2y +…+F ny =0, M Oz =åM Oz (F k) = M oz (F 1)+M oz (F 2)+…+M oz (F n)=0, yaʼni. Tekis kuchlar tizimining muvozanati uchun barcha kuchlarning ikkita koordinata o'qiga proyeksiyalarining algebraik yig'indilari va barcha kuchlarning ixtiyoriy nuqtaga nisbatan momentlarining algebraik yig'indisi nolga teng bo'lishi zarur va etarlidir. Muvozanat tenglamasining ikkinchi shakli bir to'g'ri chiziqda yotmaydigan har qanday uch nuqtaga nisbatan barcha kuchlar momentlarining algebraik yig'indilarining nolga tengligidir.; åM Az (F k)=0, åM Bz (F k)=0, åM Cz (F k)=0, (5.17), bunda A, B va C ko‘rsatilgan nuqtalardir. Bu tengliklarni bajarish zarurati (5.15) shartlardan kelib chiqadi. Keling, ularning etarliligini isbotlaylik. Faraz qilaylik, barcha tengliklar (5.17) qanoatlansin. A nuqtadagi qisqarish markazida asosiy momentning nolga tengligi, agar sistema natijaga (R≠0) keltirilsa va uning ta'sir chizig'i A nuqtadan o'tsa yoki R=0 bo'lsa ham mumkin; xuddi shunday, asosiy momentning B va C nuqtalarga nisbatan nolga tengligi yo R≠0 va natija ikkala nuqtadan o‘tadi yoki R=0. Lekin natija bu uch nuqtadan ham A, B va C o'ta olmaydi (shartga ko'ra, ular bir to'g'ri chiziqda yotmaydi). Binobarin, tenglik (5.17) faqat R = 0 bo'lganda, ya'ni kuchlar tizimi muvozanatda bo'lganda mumkin bo'ladi. E'tibor bering, agar A, B va C nuqtalari bir xil to'g'ri chiziqda yotsa, u holda (5.17) shartlarning bajarilishi muvozanat uchun etarli shart bo'lmaydi - bu holda tizimni ta'sir chizig'i o'tadigan natijaga keltirish mumkin. bu nuqtalar orqali.

Kuchlarning tekis sistemasi uchun muvozanat tenglamalarining uchinchi shakli

Kuchlarning tekis tizimi uchun muvozanat tenglamalarining uchinchi shakli - bu tizimning barcha kuchlari momentlarining har qanday ikkita nuqtaga nisbatan algebraik yig'indilarining nolga tengligi va barcha proyeksiyalarning algebraik yig'indisining nolga tengligi. ikkita tanlangan nuqtadan o'tadigan chiziqqa perpendikulyar bo'lmagan o'qda tizimning kuchlari; åM Az (F k)=0, åM Bz (F k)=0, åF kx =0 (5.18) (x o'qi A B segmentiga perpendikulyar emas).Kuchlar muvozanati uchun bu tengliklarni bajarish zarurati quyidagicha: to'g'ridan-to'g'ri shartlardan (5.15). Keling, ushbu shartlarning bajarilishi kuchlar muvozanati uchun etarli ekanligiga ishonch hosil qilaylik. Birinchi ikkita tenglikdan, avvalgi holatda bo'lgani kabi, agar kuchlar tizimi natijaga ega bo'lsa, u holda uning harakat chizig'i A va B nuqtalardan o'tadi (5.7-rasm). Keyin natijaning AB segmentiga perpendikulyar bo'lmagan x o'qiga proyeksiyasi noldan farq qiladi. Ammo bu imkoniyat uchinchi tenglama (5.18) bilan istisno qilinadi, chunki R x =åF hx). Shuning uchun natija nolga teng bo'lishi kerak va tizim muvozanatda. Agar x o'qi AB segmentiga perpendikulyar bo'lsa, u holda (5.18) tenglamalar etarli muvozanat shartlari bo'lmaydi, chunki bu holda tizim ta'sir chizig'i A va B nuqtalardan o'tadigan natijaga ega bo'lishi mumkin. Shunday qilib, muvozanat tizimi tenglamalar bir moment tenglamasini va ikkita proyeksiya tenglamasini yoki ikkita moment tenglamasini va bitta proyeksiya tenglamasini yoki uchta moment tenglamasini o'z ichiga olishi mumkin. Barcha kuchlarning ta'sir chiziqlari y o'qiga parallel bo'lsin (4.8-rasm). U holda ko'rib chiqilayotgan parallel kuchlar sistemasi uchun muvozanat tenglamalari åF ky =0, åM Oz (F k)=0 bo'ladi.(5.19). åM Az (F k)=0, åM Bz (F k)=0, (5.20) va A va B nuqtalar y o’qiga parallel to’g’ri chiziqda yotmasligi kerak. Qattiq jismga ta'sir qiluvchi kuchlar tizimi ham konsentratsiyalangan (izolyatsiya qilingan) kuchlardan, ham taqsimlangan kuchlardan iborat bo'lishi mumkin. Bir chiziq bo'ylab, sirt ustida va jismning hajmi bo'yicha taqsimlangan kuchlar mavjud.

Sirpanma ishqalanish ta’sirida jismning muvozanati

Agar ikkita jism I va II (6.1-rasm) bir-biri bilan A nuqtaga tegib o'zaro ta'sir qilsa, u holda har doim R A reaktsiyasi, masalan, II jismdan harakat qiladigan va I jismga qo'llaniladigan, ikki komponentga ajralishi mumkin: N A, umumiy normal bo'ylab A nuqtada aloqa qiluvchi jismlar yuzasiga yo'naltirilgan va tangens tekislikda yotgan T A. N A komponenti normal reaksiya deb ataladi, T A kuchi sirpanish ishqalanish kuchi deb ataladi - u I jismni II jism ustidan sirpanishini oldini oladi. 4-aksiomaga (Nyutonning uchinchi qonuni) muvofiq II jismga teng kattalikdagi va I jismga qarama-qarshi yoʻnalishdagi reaksiya kuchi taʼsir qiladi. Uning tangens tekisligiga perpendikulyar komponenti normal bosim kuchi deb ataladi. Ishqalanish kuchi T A = 0, agar kontakt yuzalar mukammal silliq bo'lsa. Haqiqiy sharoitda yuzalar qo'pol va ko'p hollarda ishqalanish kuchini e'tiborsiz qoldirib bo'lmaydi. Maksimal ishqalanish kuchi normal bosimga taxminan proportsionaldir, ya'ni T max =fN. (6.3) - Amonton-Coulomb qonuni. F koeffitsienti sirpanish ishqalanish koeffitsienti deyiladi. Uning qiymati aloqa qiladigan yuzalar maydoniga bog'liq emas, balki materialga va aloqa qiladigan yuzalarning pürüzlülük darajasiga bog'liq. Ishqalanish kuchini T=fN formulasi bo'yicha hisoblash mumkin, faqat kritik holat yuzaga kelganda. Boshqa hollarda, ishqalanish kuchini tenglamalardan aniqlash kerak. Rasmda R reaktsiyasi ko'rsatilgan (bu erda faol kuchlar tanani o'ngga siljitishga intiladi). Cheklovchi reaksiya R va sirt normali orasidagi j burchakka ishqalanish burchagi deyiladi. tgj=T max /N=f.

Hammaning geometrik joyi mumkin bo'lgan yo'nalishlar cheklovchi reaktsiya R konusning sirtini - ishqalanish konusini hosil qiladi (6.6-rasm, b). Agar ishqalanish koeffitsienti f hamma yo'nalishda bir xil bo'lsa, ishqalanish konusi aylana bo'ladi. Ishqalanish koeffitsienti f jismning mumkin bo'lgan harakat yo'nalishiga bog'liq bo'lgan hollarda, ishqalanish konusi aylana bo'lmaydi. Agar faol kuchlarning natijasi bo'lsa. ishqalanish konusining ichida bo'lsa, keyin uning modulini oshirish tananing muvozanatini buzolmaydi; Jismning harakatlana boshlashi uchun F faol kuchlarning natijasi ishqalanish konusidan tashqarida bo‘lishi zarur (va yetarli). Egiluvchan jismlarning ishqalanishini ko'rib chiqamiz (6.8-rasm). Eyler formulasi Q kuchini muvozanatlashtira oladigan eng kichik P kuchni topishga yordam beradi. P=Qe -fj*. Q kuchi bilan birgalikda ishqalanish qarshiligini yengishga qodir P kuchni ham topishingiz mumkin. Bu holda Eyler formulasida faqat f ning ishorasi o zgaradi: P=Qe fj* .

Dumalab ishqalanish borligida jismning muvozanati

Gorizontal tekislikka tayangan silindrni (rolikni) gorizontal faol kuch S ta’sir qilganda ko’raylik; unga qo'shimcha ravishda tortishish kuchi P, shuningdek, normal reaktsiya N va ishqalanish kuchi T ta'sir qiladi (6.10-rasm, a). Etarlicha kichik quvvat moduli S da silindr tinch holatda qoladi. Ammo, agar biz rasmda ko'rsatilgan kuchlarning kiritilishidan qoniqsak, bu haqiqatni tushuntirib bo'lmaydi. 6.10, a. Ushbu sxemaga ko'ra, muvozanat mumkin emas, chunki M Cz = –Sr tsilindrga ta'sir qiluvchi barcha kuchlarning asosiy momenti nolga teng emas va muvozanat shartlaridan biri bajarilmaydi. Bu nomuvofiqlikning sababi shundaki, biz bu jismni mutlaqo mustahkam deb tasavvur qilamiz va silindrning sirt bilan aloqasi generatrix bo'ylab sodir bo'ladi deb taxmin qilamiz. Nazariya va eksperiment o'rtasidagi qayd etilgan tafovutni bartaraf etish uchun mutlaqo qattiq jism haqidagi gipotezadan voz kechish va haqiqatda C nuqtasi yaqinidagi silindr va tekislik deformatsiyalanganligini va ma'lum bir chekli aloqa maydoni mavjudligini hisobga olish kerak. kengligi. Natijada, uning o'ng qismida silindr chapga qaraganda qattiqroq bosiladi va to'liq reaktsiya R C nuqtasidan o'ngga qo'llaniladi (6.10, b-rasmdagi C 1 nuqtasiga qarang). Ta'sir etuvchi kuchlarning natijaviy diagrammasi statik jihatdan qoniqarli, chunki juftlik momenti (S, T) juftlik momenti (N, P) bilan muvozanatlashtirilishi mumkin. Birinchi sxemadan farqli o'laroq (6.10-rasm, a) tsilindrga momenti M T = Nh (6.11) bo'lgan bir juft kuch qo'llaniladi. Bu moment dumalab ishqalanish momenti deyiladi. h=Sr/, bu erda h - C dan C 1 gacha bo'lgan masofa. (6.13). Faol kuch moduli S ortishi bilan masofa h ortadi. Ammo bu masofa aloqa yuzasi maydoni bilan bog'liq va shuning uchun cheksiz ko'payib bo'lmaydi. Bu shuni anglatadiki, S kuchning ortishi muvozanatga olib keladigan holat paydo bo'ladi. h ning mumkin bo'lgan maksimal qiymatini d harfi bilan belgilaymiz. D ning qiymati silindrning radiusi bilan mutanosib va ​​turli materiallar uchun farq qiladi. Demak, agar muvozanat yuzaga kelsa, u holda shart bajariladi: h<=d.(6.14). d называется коэффициентом трения качения; она имеет размерность длины. Условие (6.14) можно также записать в виде М т <=dN, или, учитывая (6.12), S<=(d/r)N.(6.15). Очевидно, что максимальный момент трения качения M T max =dN пропорционален силе нормального давления.

Parallel kuchlar markazi

Parallel kuchlar tizimini natijaviy kuchga keltirish shartlari bitta F≠0 tengsizlikka tushiriladi. Ushbu parallel kuchlarning ta'sir chiziqlari bir vaqtning o'zida bir xil burchakka aylanganda, natijada R bilan nima sodir bo'ladi, agar bu kuchlarning qo'llanish nuqtalari o'zgarishsiz qolsa va kuchlarning ta'sir chiziqlari parallel o'qlar atrofida sodir bo'lsa. Bunday sharoitda berilgan kuchlar tizimining natijasi ham bir vaqtning o'zida bir xil burchak bo'ylab aylanadi va aylanish parallel kuchlar markazi deb ataladigan ma'lum bir qo'zg'almas nuqta atrofida sodir bo'ladi. Keling, ushbu bayonotning isbotiga o'tamiz. Faraz qilaylik, ko'rib chiqilayotgan F 1 , F 2 ,...,F n parallel kuchlar sistemasi uchun bosh vektor nolga teng emas, shuning uchun bu kuchlar sistemasi natijaga keltiriladi. O 1 nuqta bu natijaning ta'sir chizig'idagi istalgan nuqta bo'lsin. Endi r tanlangan qutb O ga nisbatan 0 1 nuqtaning radius vektori, a r k F k kuch ta sir etuvchi nuqtaning radius vektori bo lsin (8.1-rasm). Varinyon teoremasiga ko'ra, tizimning barcha kuchlarining 0 1 nuqtaga nisbatan momentlari yig'indisi nolga teng: å(r k –r)xF k =0, ya'ni. år k xF k –årxF k =år k xF k –råF k =0. E birlik vektorini kiritamiz, u holda har qanday F k kuchni F k =F * k e (bu yerda F * k =F h, agar F h va e vektorning yo‘nalishi mos kelsa va F * k =) ko‘rinishida ifodalash mumkin. –F h, agar F k va e bir-biriga qarama-qarshi yo'naltirilgan bo'lsa); åF k =eåF * k . Biz olamiz: år k xF * k e–rxeåF * k =0, qaerdan [år k F * k –råF * k ]xe=0. Oxirgi tenglik kuchlarning har qanday yo'nalishi (ya'ni, birlik vektorining yo'nalishi e) uchun faqat birinchi omil nolga teng bo'lganda bajariladi: år k F * k –råF * k =0. Bu tenglama r radius vektoriga nisbatan o‘ziga xos yechimga ega bo‘lib, u kuchlarning ta’sir chiziqlari aylanganda o‘z o‘rnini o‘zgartirmaydigan natijaning qo‘llanish nuqtasini aniqlaydi. Bu nuqta parallel kuchlarning markazidir. r c orqali parallel kuchlar markazining radius vektorini belgilash: r c =(år k F * k)/(åF * k)=(r 1 F * 1 +r 2 F * 2 +…+r n F * n)/ (F * 1 +F * 2 +…+F * n). x s, u s, z s – parallel kuchlar markazining koordinatalari, a x k, y k, z k – ixtiyoriy kuch ta’sir qilish nuqtasi F k koordinatalari bo‘lsin; u holda parallel kuchlar markazining koordinatalarini quyidagi formulalardan topish mumkin:

x c =(x k F * k)/(F * k)=(x 1 F * 1 +x 2 F * 2 +…+x n F * n)/ (F * 1 +F * 2 +…+F * n ), y c =(y k F * k)/(F * k)=

=(y 1 F * 1 +y 2 F * 2 +…+y n F * n)/ (F * 1 +F * 2 +…+F * n), z c =

=(z k F * k)/(åF * k)=(z 1 F * 1 +z 2 F * 2 +…+z n F * n)/ (F * 1 +F * 2 +…+F * n)

x k F * k , y k F * k , z k F * k ifodalari mos ravishda berilgan kuchlar tizimining yOz, xOz, xOy koordinata tekisliklariga nisbatan statik momentlari deyiladi. Agar koordinatalarning kelib chiqishi parallel kuchlar markazida tanlansa, u holda x c = y c = z c = 0 bo'ladi va berilgan kuchlar tizimining statik momentlari nolga teng.

Og'irlik markazi

Gravitatsiya maydonida joylashgan ixtiyoriy shakldagi jismni koordinatali tekisliklarga parallel bo'lgan kesimlar bo'yicha elementar hajmlarga bo'lish mumkin (8.2-rasm). Agar biz jismning o'lchamini Yerning radiusi bilan taqqoslasak, unda har bir elementar hajmga ta'sir qiluvchi tortishish kuchlarini bir-biriga parallel deb hisoblash mumkin. Markazi M k nuqtada joylashgan elementar parallelepiped hajmini DV k bilan belgilaymiz (8.2-rasmga qarang), bu elementga ta’sir etuvchi tortishish kuchini DP k bilan belgilaymiz. Keyin hajm elementining o'rtacha solishtirma og'irligi DP k /DV k nisbati deyiladi. Parallelepipedni M k nuqtaga qisqartirib, jismning berilgan nuqtasidagi solishtirma og'irlikni o'rtacha solishtirma og'irlik chegarasi g(x k, y k, z k)=lim DVk®0 (8.10) sifatida olamiz. Shunday qilib, o'ziga xos tortishish koordinatalarning funktsiyasidir, ya'ni. g=g(x, y, z). Biz tananing geometrik xususiyatlari bilan bir qatorda tananing har bir nuqtasida solishtirma og'irlik ham berilgan deb taxmin qilamiz. Keling, tanani elementar hajmlarga ajratishga qaytaylik. Agar tananing sirtini chegaralaydigan elementlarning hajmlarini istisno qilsak, biz parallelepipedlar to'plamidan iborat pog'onali tanani olishimiz mumkin. Har bir parallelepiped markaziga og'irlik kuchini qo'llaymiz DP k =g k DV k, bu erda g h - tananing parallelepiped markaziga to'g'ri keladigan nuqtasida solishtirma og'irlik. Shu tarzda hosil qilingan n ta parallel tortishish kuchlari sistemasi uchun parallel kuchlar markazini r (n) =(år k DP k)/(åDP k)= (r 1 DP 1 +r 2 DP 2 +) topish mumkin. …+r n DP n) / (DP 1 +DP 2 +…+DP n). Ushbu formula ma'lum bir nuqtaning o'rnini aniqlaydi C n. Og'irlik markazi n®µ da C n nuqtalari uchun chegara nuqtasi bo'lgan nuqtadir.

Statika— nazariy mexanikaning kuchlar taʼsirida moddiy jismlarning muvozanat holati oʻrganiladigan boʻlimi.

Statikada muvozanat holati deganda mexanik tizimning barcha qismlari tinch holatda bo'lgan holat tushuniladi (qattiq koordinatalar tizimiga nisbatan). Statika usullari harakatlanuvchi jismlarga ham taalluqli bo'lsa va ular yordamida dinamika masalalarini o'rganish mumkin bo'lsa-da, statikani o'rganishning asosiy ob'ektlari statsionar mexanik jismlar va tizimlardir.

Kuch bir jismning boshqasiga ta'sirining o'lchovidir. Kuch - bu tananing yuzasida qo'llash nuqtasi bo'lgan vektor. Kuch ta'sirida erkin jism kuch vektoriga proportsional va tananing massasiga teskari proportsional tezlanish oladi.

Harakat va reaksiya tengligi qonuni

Birinchi jism ikkinchisiga ta'sir qiladigan kuch mutlaq qiymat bo'yicha teng va yo'nalishi bo'yicha ikkinchi jism birinchisiga ta'sir qiladigan kuchga qarama-qarshidir.

Qattiqlashuv printsipi

Agar deformatsiyalanuvchi jism muvozanatda bo'lsa, u holda jism mutlaqo qattiq deb hisoblansa, uning muvozanati buzilmaydi.

Moddiy nuqtaning statikasi

Keling, muvozanatda bo'lgan moddiy nuqtani ko'rib chiqaylik. Va unga n ta kuch ta'sir qilsin, k = 1, 2, ..., n.

Agar moddiy nuqta muvozanatda bo'lsa, u holda unga ta'sir qiluvchi kuchlarning vektor yig'indisi nolga teng bo'ladi:
(1) .

Muvozanatda nuqtaga ta'sir etuvchi kuchlarning geometrik yig'indisi nolga teng.

Geometrik talqin. Agar siz ikkinchi vektorning boshini birinchi vektorning oxiriga, uchinchi vektorning boshini ikkinchi vektorning oxiriga qo'yib, keyin bu jarayonni davom ettirsangiz, oxirgi, n-vektorning oxiri tekislanadi. birinchi vektorning boshlanishi bilan. Ya'ni, biz yopiq geometrik shaklni olamiz, tomonlarning uzunliklari vektorlarning modullariga teng. Agar barcha vektorlar bir tekislikda yotsa, u holda biz yopiq ko'pburchakni olamiz.

Ko'pincha tanlash qulay to'rtburchaklar koordinatalar tizimi Oxyz. U holda barcha kuch vektorlarining koordinata o'qlaridagi proyeksiyalari yig'indisi nolga teng bo'ladi:

Agar biron bir vektor tomonidan ko'rsatilgan yo'nalishni tanlasangiz, kuch vektorlarining ushbu yo'nalishdagi proektsiyalarining yig'indisi nolga teng bo'ladi:
.
(1) tenglamani vektorga skalyar ko‘paytiramiz:
.
Bu erda va vektorlarning skalyar ko'paytmasi.
E'tibor bering, vektorning vektor yo'nalishi bo'yicha proyeksiyasi quyidagi formula bilan aniqlanadi:
.

Qattiq tana statikasi

Bir nuqtaga nisbatan kuch momenti

Kuch momentini aniqlash

Bir lahza kuch, A nuqtada tanaga qo'zg'almas markaz O ga nisbatan qo'llaniladigan vektorlarning vektor ko'paytmasiga teng vektor deyiladi va:
(2) .

Geometrik talqin

Kuch momenti F kuch va qo'l OH ko'paytmasiga teng.

Vektorlar chizma tekisligida joylashgan bo'lsin. Vektor mahsulotining xossasiga ko'ra vektor vektorlarga perpendikulyar va ya'ni chizma tekisligiga perpendikulyar. Uning yo'nalishi to'g'ri vida qoidasi bilan belgilanadi. Rasmda moment vektori biz tomon yo'naltirilgan. Mutlaq moment qiymati:
.
O'shandan beri
(3) .

Geometriyadan foydalanib, biz kuch momentini boshqacha talqin qilishimiz mumkin. Buning uchun kuch vektori orqali AH to'g'ri chiziq o'tkazing. O markazidan bu to'g'ri chiziqqa perpendikulyar OHni tushiramiz. Ushbu perpendikulyarning uzunligi deyiladi kuch yelkasi. Keyin
(4) .
Chunki, u holda (3) va (4) formulalar ekvivalentdir.

Shunday qilib, kuch momentining mutlaq qiymati markazga nisbatan O ga teng yelkaga tushadigan kuch mahsuloti tanlangan O markaziga nisbatan bu kuch.

Momentni hisoblashda ko'pincha kuchni ikkita komponentga ajratish qulay:
,
Qayerda. Kuch O nuqtadan o'tadi. Shuning uchun uning momenti nolga teng. Keyin
.
Mutlaq moment qiymati:
.

To'rtburchak koordinatalar sistemasidagi moment komponentlari

Agar markaz O nuqtada bo'lgan Oxyz to'rtburchaklar koordinata tizimini tanlasak, unda kuch momenti quyidagi komponentlarga ega bo'ladi:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) .
Tanlangan koordinatalar tizimidagi A nuqtaning koordinatalari:
.
Komponentlar mos ravishda o'qlarga nisbatan kuch momentining qiymatlarini ifodalaydi.

Markazga nisbatan kuch momentining xossalari

Ushbu markazdan o'tgan kuch tufayli O markazga nisbatan moment nolga teng.

Agar kuchni qo'llash nuqtasi kuch vektori orqali o'tadigan chiziq bo'ylab harakatlansa, unda bunday harakat bilan moment o'zgarmaydi.

Tananing bir nuqtasiga qo'llaniladigan kuchlarning vektor yig'indisidan moment bir xil nuqtaga qo'llaniladigan kuchlarning har biridan momentlarning vektor yig'indisiga teng:
.

Xuddi shu narsa davom chiziqlari bir nuqtada kesishgan kuchlarga ham tegishli.

Agar kuchlarning vektor yig'indisi nolga teng bo'lsa:
,
u holda bu kuchlarning momentlarining yig'indisi momentlar hisoblangan markazning holatiga bog'liq emas:
.

Bir juft kuch

Bir juft kuch- bu mutlaq kattalikda teng va qarama-qarshi yo'nalishga ega bo'lgan ikkita kuch, tananing turli nuqtalariga qo'llaniladi.

Bir juft kuch ular yaratgan moment bilan tavsiflanadi. Juftlikka kiradigan kuchlarning vektor yig'indisi nolga teng bo'lgani uchun, juftlik tomonidan yaratilgan moment moment hisoblangan nuqtaga bog'liq emas. Statik muvozanat nuqtai nazaridan, juftlikda ishtirok etuvchi kuchlarning tabiati muhim emas. Jismga ma'lum bir qiymatdagi kuch momenti ta'sir qilishini ko'rsatish uchun bir juft kuch ishlatiladi.

Berilgan o'q atrofidagi kuch momenti

Ko'pincha shunday holatlar mavjudki, biz tanlangan nuqtaga nisbatan kuch momentining barcha komponentlarini bilishimiz shart emas, faqat tanlangan o'qga nisbatan kuch momentini bilishimiz kerak.

O nuqtadan o'tuvchi o'qqa nisbatan kuch momenti O nuqtaga nisbatan kuch momenti vektorining o'q yo'nalishiga proyeksiyasidir.

O'qga nisbatan kuch momentining xossalari

Ushbu o'qdan o'tadigan kuch tufayli o'qga nisbatan moment nolga teng.

Bu o'qqa parallel bo'lgan kuch ta'sirida o'q atrofidagi moment nolga teng.

O'qga nisbatan kuch momentini hisoblash

A nuqtada jismga kuch ta'sir qilsin. Bu kuchning O'O' o'qiga nisbatan momentini topamiz.

To'rtburchak koordinatalar sistemasini quramiz. Oz o'qi O'O' bilan mos kelsin. A nuqtadan OH perpendikulyarni O'O'ga tushiramiz. O va A nuqtalar orqali Ox o'qini chizamiz. Ox va Oz ga perpendikulyar Oy o'qini chizamiz. Keling, kuchni koordinata tizimining o'qlari bo'ylab komponentlarga ajratamiz:
.
Kuch O'O' o'qini kesib o'tadi. Shuning uchun uning momenti nolga teng. Kuch O'O' o'qiga parallel. Shuning uchun uning momenti ham nolga teng. (5.3) formuladan foydalanib, biz quyidagilarni topamiz:
.

Komponent markazi O nuqta bo'lgan aylanaga tangensial yo'naltirilganligiga e'tibor bering. Vektorning yo'nalishi to'g'ri vida qoidasi bilan aniqlanadi.

Qattiq jismning muvozanat sharoitlari

Muvozanat holatida jismga ta'sir etuvchi barcha kuchlarning vektor yig'indisi nolga teng va bu kuchlarning ixtiyoriy sobit markazga nisbatan momentlarining vektor yig'indisi nolga teng:
(6.1) ;
(6.2) .

Biz kuchlarning momentlari hisoblangan O markazini o'zboshimchalik bilan tanlash mumkinligini ta'kidlaymiz. O nuqta tanaga tegishli bo'lishi yoki uning tashqarisida joylashgan bo'lishi mumkin. Odatda hisob-kitoblarni soddalashtirish uchun markaz O tanlanadi.

Muvozanat shartlarini boshqa yo'l bilan shakllantirish mumkin.

Muvozanatda ixtiyoriy vektor tomonidan belgilangan har qanday yo'nalishdagi kuchlarning proyeksiyalari yig'indisi nolga teng:
.
Ixtiyoriy O'O' o'qiga nisbatan kuchlar momentlarining yig'indisi ham nolga teng:
.

Ba'zida bunday sharoitlar yanada qulayroq bo'lib chiqadi. O'qlarni tanlash orqali hisob-kitoblarni soddalashtirish mumkin bo'lgan holatlar mavjud.

Tana og'irlik markazi

Keling, eng muhim kuchlardan biri - tortishish kuchini ko'rib chiqaylik. Bu erda kuchlar tananing ma'lum nuqtalarida qo'llanilmaydi, lekin uning hajmi bo'ylab doimiy ravishda taqsimlanadi. Cheksiz kichik hajmli tananing har bir sohasi uchun DV, tortishish kuchi ta'sir qiladi. Bu erda r - tana moddasining zichligi va tortishishning tezlashishi.

Tananing cheksiz kichik qismining massasi bo'lsin. Va bu qismning o'rnini A k nuqta aniqlasin. Muvozanat tenglamalariga (6) kiritilgan tortishish kuchi bilan bog'liq kattaliklar topilsin.

Keling, tananing barcha qismlari tomonidan hosil qilingan tortishish kuchlarining yig'indisini topamiz:
,
tana massasi qayerda. Shunday qilib, tananing cheksiz kichik qismlarining tortishish kuchlarining yig'indisi butun tananing tortishish kuchining bitta vektori bilan almashtirilishi mumkin:
.

Tanlangan O markaz uchun nisbatan ixtiyoriy tarzda tortishish momentlarining yig‘indisini topamiz:

.
Bu erda biz C nuqtasini kiritdik, u deyiladi og'irlik markazi jismlar. O nuqtada joylashgan koordinatalar tizimidagi og'irlik markazining pozitsiyasi quyidagi formula bilan aniqlanadi:
(7) .

Shunday qilib, statik muvozanatni aniqlashda tananing alohida qismlarining tortishish kuchlarining yig'indisi natija bilan almashtirilishi mumkin.
,
C tanasining massa markaziga qo'llaniladi, uning holati (7) formula bilan aniqlanadi.

Turli xil geometrik shakllar uchun og'irlik markazining holatini tegishli ma'lumotnomalarda topish mumkin. Agar tananing o'qi yoki simmetriya tekisligi bo'lsa, u holda og'irlik markazi ushbu o'q yoki tekislikda joylashgan. Shunday qilib, shar, aylana yoki aylananing og'irlik markazlari ushbu raqamlar doiralarining markazlarida joylashgan. To'rtburchak parallelepiped, to'rtburchak yoki kvadratning og'irlik markazlari ham ularning markazlarida - diagonallarning kesishish nuqtalarida joylashgan.

Bir xil (A) va chiziqli (B) taqsimlangan yuk.

Og'irlik kuchiga o'xshash holatlar ham mavjud, bunda kuchlar tananing ma'lum nuqtalarida qo'llanilmaydi, lekin uning yuzasi yoki hajmi bo'ylab doimiy ravishda taqsimlanadi. Bunday kuchlar deyiladi taqsimlangan kuchlar yoki .

(A-rasm). Bundan tashqari, tortishish holatida bo'lgani kabi, u diagrammaning og'irlik markazida qo'llaniladigan natijaviy kuch bilan almashtirilishi mumkin. A-rasmdagi diagramma to'rtburchak bo'lgani uchun diagrammaning og'irlik markazi uning markazida - C nuqtasida joylashgan: | AC| = | CB|.

(B-rasm). U natija bilan almashtirilishi ham mumkin. Natijaning kattaligi diagramma maydoniga teng:
.
Qo'llash nuqtasi diagrammaning og'irlik markazida joylashgan. Uchburchakning og'irlik markazi, balandligi h, poydevordan uzoqda joylashgan. Shunung uchun .

Ishqalanish kuchlari

Sürgülü ishqalanish. Tana tekis yuzada bo'lsin. Va sirt tanaga ta'sir qiladigan sirtga perpendikulyar kuch (bosim kuchi) bo'lsin. Keyin surma ishqalanish kuchi sirtga parallel va yon tomonga yo'naltirilib, tananing harakatiga to'sqinlik qiladi. Uning eng katta qiymati:
,
Bu erda f - ishqalanish koeffitsienti. Ishqalanish koeffitsienti o'lchamsiz kattalikdir.

Aylanma ishqalanish. Dumaloq shakldagi tanani aylansin yoki sirtda aylana oladi. Va sirt tanaga ta'sir qiladigan sirtga perpendikulyar bosim kuchi bo'lsin. Keyin ishqalanish kuchlarining momenti jismga, sirt bilan aloqa qilish nuqtasida harakat qilib, tananing harakatiga to'sqinlik qiladi. Ishqalanish momentining eng katta qiymati quyidagilarga teng:
,
bu yerda d - dumalab ishqalanish koeffitsienti. U uzunlik o'lchamiga ega.

Adabiyotlar:
S. M. Targ, nazariy mexanika bo'yicha qisqa kurs, "Oliy maktab", 2010 yil.

Har qanday o'quv kursining bir qismi sifatida fizikani o'rganish mexanikadan boshlanadi. Nazariy jihatdan emas, amaliy yoki hisoblashdan emas, balki yaxshi eski klassik mexanikadan. Bu mexanika Nyuton mexanikasi deb ham ataladi. Afsonaga ko'ra, bir olim bog'da yurib, tushayotgan olmani ko'rgan va aynan shu hodisa uni butun olam tortishish qonunini ochishga undagan. Albatta, qonun har doim mavjud bo'lgan va Nyuton unga faqat odamlar uchun tushunarli shaklni bergan, ammo uning xizmatlari bebahodir. Ushbu maqolada biz Nyuton mexanikasi qonunlarini iloji boricha batafsil tasvirlab bermaymiz, lekin biz har doim sizning qo'lingizda o'ynashi mumkin bo'lgan asoslar, asosiy bilimlar, ta'riflar va formulalarni bayon qilamiz.

Mexanika - fizikaning bir bo'limi bo'lib, moddiy jismlarning harakati va ular orasidagi o'zaro ta'sirni o'rganadigan fan.

Bu so'zning o'zi yunoncha bo'lib, "mashinalar qurish san'ati" deb tarjima qilingan. Lekin biz mashinalar qurishdan oldin, biz hali ham Oyga o'xshaymiz, shuning uchun ota-bobolarimiz izidan boraylik va ufqqa burchak ostida tashlangan toshlar va h balandlikdan boshimizga tushgan olmalarning harakatini o'rganaylik.

Nima uchun fizikani o'rganish mexanikadan boshlanadi? Chunki bu mutlaqo tabiiy, termodinamik muvozanatdan boshlash kerak emasmi?!

Mexanika eng qadimiy fanlardan biri bo'lib, tarixan fizikani o'rganish aynan mexanika asoslaridan boshlangan. Vaqt va makon doirasida joylashtirilgan odamlar, aslida, qanchalik xohlamasin, boshqa narsadan boshlay olmadilar. Harakatlanuvchi jismlar biz e'tibor beradigan birinchi narsadir.

Harakat nima?

Mexanik harakat - vaqt o'tishi bilan jismlarning fazodagi holatining bir-biriga nisbatan o'zgarishi.

Aynan shu ta'rifdan keyin biz tabiiy ravishda ma'lumot doirasi tushunchasiga kelamiz. Jismlarning kosmosdagi holatini bir-biriga nisbatan o'zgartirish. Bu erda kalit so'zlar: bir-biriga nisbatan . Axir, avtomobildagi yo'lovchi ma'lum tezlikda yo'l chetida turgan odamga nisbatan harakat qiladi va yonidagi o'rindiqda qo'shnisiga nisbatan dam oladi va yo'lovchiga nisbatan boshqa tezlikda harakat qiladi. ularni bosib ketayotgan mashinada.

Shuning uchun harakatlanuvchi ob'ektlarning parametrlarini odatda o'lchash va chalkashmaslik uchun bizga kerak mos yozuvlar tizimi - bir-biriga qattiq bog'langan mos yozuvlar organi, koordinatalar tizimi va soat. Masalan, Yer quyosh atrofida geliotsentrik mos yozuvlar doirasida harakat qiladi. Kundalik hayotda biz deyarli barcha o'lchovlarimizni Yer bilan bog'langan geosentrik mos yozuvlar tizimida amalga oshiramiz. Yer avtomobillar, samolyotlar, odamlar va hayvonlar harakatlanadigan mos yozuvlar organidir.

Mexanika fan sifatida o'z vazifasini bajaradi. Mexanikaning vazifasi har qanday vaqtda tananing kosmosdagi holatini bilishdir. Boshqacha qilib aytganda, mexanika harakatning matematik tavsifini tuzadi va uni tavsiflovchi fizik miqdorlar orasidagi bog'lanishlarni topadi.

Oldinga borish uchun bizga "kontseptsiya kerak" moddiy nuqta " Ular fizika aniq fan, deyishadi, lekin fiziklar aynan shu aniqlik to'g'risida kelishish uchun qancha taxmin va taxminlar qilish kerakligini bilishadi. Hech kim moddiy nuqtani ko'rmagan yoki ideal gaz hidini sezmagan, lekin ular mavjud! Ular bilan yashash ancha oson.

Moddiy nuqta - bu muammo kontekstida hajmi va shaklini e'tiborsiz qoldiradigan jism.

Klassik mexanikaning bo'limlari

Mexanika bir necha bo'limlardan iborat

• Kinematika
• Dinamiklar
• Statika

Kinematika jismoniy nuqtai nazardan, u tananing qanday harakat qilishini aniq o'rganadi. Boshqacha qilib aytganda, bu bo'limda harakatning miqdoriy xususiyatlari ko'rib chiqiladi. Tezlik, yo'lni topish - tipik kinematik masalalar

Dinamiklar nima uchun shunday harakat qiladi degan savolni hal qiladi. Ya'ni, u tanaga ta'sir qiluvchi kuchlarni hisobga oladi.

Statika kuchlar ta'sirida jismlarning muvozanatini o'rganadi, ya'ni savolga javob beradi: nega u umuman tushmaydi?

Klassik mexanikaning amal qilish chegaralari.

Klassik mexanika endi o‘zini hamma narsani tushuntiruvchi (o‘tgan asrning boshlarida hamma narsa butunlay boshqacha bo‘lgan) va qo‘llanilishining aniq doirasiga ega bo‘lgan fan deb da’vo qilmaydi. Umuman olganda, klassik mexanika qonunlari biz o'lchamda (makrodunyo) o'rganib qolgan dunyoda amal qiladi. Kvant mexanikasi klassik mexanikani almashtirganda, zarrachalar dunyosi misolida ular ishlashni to'xtatadilar. Shuningdek, klassik mexanika jismlarning harakati yorug'lik tezligiga yaqin tezlikda sodir bo'ladigan holatlarga nisbatan qo'llanilmaydi. Bunday hollarda relyativistik effektlar yaqqol namoyon bo'ladi. Taxminan aytganda, kvant va relyativistik mexanika - klassik mexanika doirasida, bu tananing o'lchamlari katta va tezligi kichik bo'lgan alohida holat. Bu haqda bizning maqolamizdan ko'proq bilib olishingiz mumkin.

Umuman olganda, kvant va relyativistik effektlar hech qachon yo'qolmaydi, ular makroskopik jismlarning yorug'lik tezligidan ancha past tezlikda oddiy harakati paytida ham sodir bo'ladi. Yana bir narsa shundaki, bu ta'sirlarning ta'siri shunchalik kichikki, u eng aniq o'lchovlardan tashqariga chiqmaydi. Shunday qilib, klassik mexanika hech qachon o'zining asosiy ahamiyatini yo'qotmaydi.

Biz keyingi maqolalarda mexanikaning fizik asoslarini o'rganishni davom ettiramiz. Mexanikani yaxshiroq tushunish uchun siz har doim ularga murojaat qilishingiz mumkin, bu esa eng qiyin vazifaning qorong'u nuqtasini alohida-alohida yoritadi.

Nazariy mexanika— mexanikaning mexanik harakati va moddiy jismlarning mexanik oʻzaro taʼsirining asosiy qonuniyatlarini belgilovchi boʻlimi.

Nazariy mexanika — jismlarning vaqt boʻyicha harakatini (mexanik harakatlar) oʻrganuvchi fan. U mexanikaning boshqa tarmoqlari (elastiklik nazariyasi, materiallarning mustahkamligi, plastiklik nazariyasi, mexanizmlar va mashinalar nazariyasi, gidroaerodinamika) va koʻplab texnik fanlar uchun asos boʻlib xizmat qiladi.

Mexanik harakat- bu moddiy jismlarning fazodagi nisbiy pozitsiyasining vaqt o'tishi bilan o'zgarishi.

Mexanik o'zaro ta'sir- bu mexanik harakatning o'zgarishi yoki tana qismlarining nisbiy holati o'zgarishi natijasida o'zaro ta'sir.

Qattiq tana statikasi

Statika- nazariy mexanikaning qattiq jismlarning muvozanati va bir kuchlar tizimini unga ekvivalent bo'lgan boshqasiga o'tkazish masalalari bilan shug'ullanadigan bo'limi.

Statikaning asosiy tushunchalari va qonunlari
• Mutlaqo qattiq tana(qattiq jism, jism) - moddiy jism, har qanday nuqtalar orasidagi masofa o'zgarmasdir.
• Moddiy nuqta muammoning shartlariga ko'ra, o'lchamlarini e'tiborsiz qoldiradigan jismdir.
• Erkin tana- bu harakatiga hech qanday cheklovlar qo'yilmaydigan organ.
• Erkin bo'lmagan (bog'langan) tana harakati cheklovlarga duchor bo'lgan tanadir.
• Ulanishlar- bular ko'rib chiqilayotgan ob'ektning harakatiga to'sqinlik qiladigan jismlar (tana yoki jismlar tizimi).
• Aloqa reaktsiyasi qattiq jismga bog'lanish ta'sirini tavsiflovchi kuchdir. Qattiq jismning bog'lanishga ta'sir qiladigan kuchini harakat deb hisoblasak, u holda bog'lanish reaktsiyasi reaksiya hisoblanadi. Bunda bog`lanishga kuch - harakat, qattiq jismga esa bog`lanish reaksiyasi qo`llaniladi.
• Mexanik tizim oʻzaro bogʻlangan jismlar yoki moddiy nuqtalar yigʻindisidir.
• Qattiq nuqtalari orasidagi pozitsiyalari va masofalari o'zgarmaydigan mexanik tizim sifatida qaralishi mumkin.
• Kuch bir moddiy jismning boshqasiga mexanik ta'sirini tavsiflovchi vektor kattalikdir.
  Kuch vektor sifatida qo'llanish nuqtasi, harakat yo'nalishi va mutlaq qiymat bilan tavsiflanadi. Kuch modulining birligi Nyuton.
• Kuch ta'sir chizig'i- kuch vektori yo'naltirilgan to'g'ri chiziq.
• Fokuslangan quvvat- bir nuqtada qo'llaniladigan kuch.
• Taqsimlangan kuchlar (tarqatilgan yuk)- bu jismning hajmi, yuzasi yoki uzunligining barcha nuqtalariga ta'sir qiluvchi kuchlar.
  Taqsimlangan yuk birlik hajmga (sirt, uzunlik) ta'sir qiluvchi kuch bilan belgilanadi.
  Tarqalgan yukning o'lchami N / m 3 (N / m 2, N / m).
• Tashqi kuch ko'rib chiqilayotgan mexanik tizimga tegishli bo'lmagan jismdan ta'sir qiluvchi kuchdir.
• Ichki kuch- mexanik tizimning moddiy nuqtasiga ko'rib chiqilayotgan tizimga tegishli boshqa moddiy nuqtadan ta'sir qiluvchi kuch.
• Quvvat tizimi mexanik tizimga ta'sir qiluvchi kuchlar yig'indisidir.
• Yassi kuch tizimi harakat chiziqlari bir tekislikda joylashgan kuchlar tizimidir.
• Fazoviy kuchlar tizimi harakat chiziqlari bir tekislikda yotmaydigan kuchlar sistemasidir.
• Birlashtiruvchi kuchlar tizimi harakat chiziqlari bir nuqtada kesishadigan kuchlar tizimidir.
• Ixtiyoriy kuchlar tizimi harakat chiziqlari bir nuqtada kesishmaydigan kuchlar tizimidir.
• Ekvivalent kuch tizimlari- bu kuchlar tizimlari, ularning bir-biri bilan almashtirilishi tananing mexanik holatini o'zgartirmaydi.
  Qabul qilingan belgi: .
• Muvozanat- bu kuchlar ta'sirida jism harakatsiz qoladigan yoki bir tekisda bir tekis harakatlanadigan holat.
• Muvozanatli kuchlar tizimi- bu erkin qattiq jismga qo'llanganda uning mexanik holatini o'zgartirmaydigan (uni muvozanatdan chiqarmaydigan) kuchlar tizimi.
  .
• Natija kuchi jismga ta’siri kuchlar sistemasi ta’siriga ekvivalent bo‘lgan kuchdir.
  .
• Quvvat momenti kuchning aylanish qobiliyatini tavsiflovchi miqdor.
• Bir juft kuch teng kattalikdagi va qarama-qarshi yo'naltirilgan ikkita parallel kuchlar tizimi.
  Qabul qilingan belgi: .
  Bir juft kuch ta'sirida tana aylanish harakatini amalga oshiradi.
• Kuchning o'qga proyeksiyasi- bu o'qga kuch vektorining boshidan va oxiridan chizilgan perpendikulyarlar orasiga o'ralgan segment.
  Agar segmentning yo'nalishi o'qning ijobiy yo'nalishiga to'g'ri kelsa, proyeksiya ijobiy bo'ladi.
• Kuchning tekislikka proyeksiyasi- bu tekislikdagi vektor bo'lib, kuch vektorining boshidan va oxiridan shu tekislikka chizilgan perpendikulyarlar orasiga o'ralgan.
• 1-qonun (inertsiya qonuni). Izolyatsiya qilingan moddiy nuqta tinch holatda yoki bir tekis va to'g'ri chiziqli harakat qiladi.
  Moddiy nuqtaning bir tekis va toʻgʻri chiziqli harakati inersiya boʻyicha harakatdir. Moddiy nuqta va qattiq jismning muvozanat holati deganda nafaqat dam olish holati, balki inertsiya bilan harakat ham tushuniladi. Qattiq jism uchun inertsiya bo'yicha harakatning har xil turlari mavjud, masalan, qattiq jismning sobit o'q atrofida bir tekis aylanishi.
• Qonun 2. Qattiq jism ikki kuch ta'sirida muvozanatda bo'ladi, agar bu kuchlar kattaligi teng bo'lsa va umumiy ta'sir chizig'i bo'ylab qarama-qarshi yo'nalishda yo'naltirilgan bo'lsa.
  Bu ikki kuch muvozanatlash deb ataladi.
  Umuman olganda, agar bu kuchlar qo'llaniladigan qattiq jism tinch holatda bo'lsa, kuchlar muvozanatli deb ataladi.
• Qonun 3. Qattiq jismning holatini (bu erda "holat" so'zi harakat yoki dam olish holatini anglatadi) buzmasdan, muvozanat kuchlarini qo'shish va rad etish mumkin.
  Natija. Qattiq jismning holatini buzmasdan, kuch uning ta'sir chizig'i bo'ylab tananing istalgan nuqtasiga o'tkazilishi mumkin.
  Ikki kuch tizimi ekvivalent deyiladi, agar ulardan biri qattiq jismning holatini buzmasdan ikkinchisi bilan almashtirilsa.
• Qonun 4. Bir nuqtada qo'llaniladigan, bir nuqtada qo'llaniladigan ikkita kuchning natijasi bu kuchlar ustiga qurilgan parallelogrammaning diagonaliga teng bo'ladi va shu bo'ylab yo'naltiriladi.
  diagonallar.
  Natijaning mutlaq qiymati:
  
• 5-qonun (harakat va reaksiya tengligi qonuni). Ikki jismning bir-biriga ta'sir qiladigan kuchlari kattaligi bo'yicha teng va bir xil to'g'ri chiziq bo'ylab qarama-qarshi yo'nalishda yo'naltirilgan.
  Shuni yodda tutish kerak harakat- tanaga qo'llaniladigan kuch B, Va qarama-qarshilik- tanaga qo'llaniladigan kuch A, muvozanatli emas, chunki ular turli jismlarga qo'llaniladi.
• 6-qonun (qattiqlashuv qonuni). Qattiq bo'lmagan jismning muvozanati u qattiqlashganda buzilmaydi.
  Shuni esdan chiqarmaslik kerakki, qattiq jism uchun zarur va yetarli bo'lgan muvozanat sharoitlari mos keladigan qattiq bo'lmagan jism uchun zarur, lekin etarli emas.
• 7-qonun (rishtalardan ozod qilish qonuni). Erkin bo'lmagan qattiq jismni, agar u bog'lanishlardan aqliy ravishda ozod bo'lsa, bog'lanishlarning ta'sirini bog'larning tegishli reaktsiyalari bilan almashtirsa, erkin deb hisoblanishi mumkin.

Bog'lanishlar va ularning reaktsiyalari
• Silliq sirt qo'llab-quvvatlash yuzasiga normal harakatni cheklaydi. Reaktsiya sirtga perpendikulyar yo'naltiriladi.
• Bo'g'imli harakatlanuvchi tayanch mos yozuvlar tekisligiga normal tananing harakatini cheklaydi. Reaktsiya qo'llab-quvvatlash yuzasiga normal yo'naltiriladi.
• Bo'g'imli sobit tayanch aylanish o'qiga perpendikulyar bo'lgan tekislikdagi har qanday harakatga qarshi turadi.
• Bo'g'imli vaznsiz tayoq novda chizig'i bo'ylab tananing harakatiga qarshi turadi. Reaktsiya novda chizig'i bo'ylab yo'naltiriladi.
• Ko'r muhr tekislikdagi har qanday harakat va aylanishga qarshi turadi. Uning ta'siri ikki komponent va moment bilan bir juft kuch shaklida ifodalangan kuch bilan almashtirilishi mumkin.

Kinematika

Kinematika- nazariy mexanikaning fazo va vaqtda sodir bo'ladigan jarayon sifatida mexanik harakatning umumiy geometrik xususiyatlarini o'rganadigan bo'limi. Harakatlanuvchi jismlar geometrik nuqtalar yoki geometrik jismlar sifatida qaraladi.

Kinematikaning asosiy tushunchalari
• Nuqta (tana) harakat qonuni- bu nuqta (jism)ning fazodagi holatining vaqtga bog'liqligi.
• Nuqta traektoriyasi- bu harakat paytida kosmosdagi nuqtaning geometrik joylashuvi.
• Nuqta tezligi (tana)- bu kosmosdagi nuqta (tana) pozitsiyasining vaqt o'zgarishining xarakteristikasi.
• Nuqta (tana) tezlashishi- bu nuqta (tana) tezligining vaqt o'zgarishining xarakteristikasi.

Nuqtaning kinematik xarakteristikalarini aniqlash
• Nuqta traektoriyasi
  Vektorli mos yozuvlar tizimida traektoriya quyidagi ifoda bilan tavsiflanadi.
  Koordinatalar mos yozuvlar tizimida traektoriya nuqtaning harakat qonuni bilan aniqlanadi va ifodalar bilan tavsiflanadi. z = f(x,y)- kosmosda yoki y = f(x)- samolyotda.
  Tabiiy mos yozuvlar tizimida traektoriya oldindan ko'rsatilgan.
• Vektor koordinata sistemasidagi nuqta tezligini aniqlash
  Vektor koordinata sistemasidagi nuqtaning harakatini belgilashda harakatning vaqt oralig iga nisbati shu vaqt oralig idagi tezlikning o rtacha qiymati deyiladi: .
  Vaqt oralig'ini cheksiz kichik qiymat sifatida qabul qilib, biz ma'lum bir vaqtda tezlik qiymatini olamiz (lahzali tezlik qiymati): .
  O'rtacha tezlik vektori vektor bo'ylab nuqta harakati yo'nalishi bo'yicha, lahzali tezlik vektori nuqta harakati yo'nalishi bo'yicha traektoriyaga tangensial yo'naltiriladi.
  Xulosa: nuqta tezligi harakat qonunining vaqt hosilasiga teng vektor kattalikdir.
  Hosila xossasi: har qanday miqdorning vaqtga nisbatan hosilasi bu miqdorning o'zgarish tezligini belgilaydi.
• Koordinatalar tizimidagi nuqta tezligini aniqlash
  Nuqta koordinatalarining o'zgarish tezligi:
  .
  To'rtburchaklar koordinata tizimiga ega bo'lgan nuqtaning umumiy tezligining moduli quyidagilarga teng bo'ladi:
  .
  Tezlik vektorining yo'nalishi yo'nalish burchaklarining kosinuslari bilan aniqlanadi:
  ,
  tezlik vektori va koordinata o'qlari orasidagi burchaklar qayerda.
• Tabiiy mos yozuvlar tizimidagi nuqta tezligini aniqlash
  Tabiiy sanoq sistemasidagi nuqtaning tezligi nuqtaning harakat qonunining hosilasi sifatida aniqlanadi: .
  Oldingi xulosalarga ko'ra, tezlik vektori nuqta harakati yo'nalishi bo'yicha traektoriyaga tangensial yo'naltirilgan va o'qlarda faqat bitta proyeksiya bilan aniqlanadi.

Qattiq jism kinematikasi
• Qattiq jismlar kinematikasida ikkita asosiy muammo hal qilinadi:
  1) harakatni o'rnatish va butun tananing kinematik xususiyatlarini aniqlash;
  2) tana nuqtalarining kinematik xususiyatlarini aniqlash.
• Qattiq jismning translatsion harakati
  Translatsion harakat - bu jismning ikkita nuqtasi orqali o'tkazilgan to'g'ri chiziq dastlabki holatiga parallel bo'lib qoladigan harakat.
  Teorema: translatsiya harakati paytida tananing barcha nuqtalari bir xil traektoriyalar bo'ylab harakatlanadi va vaqtning har bir momentida tezlik va tezlanishning kattaligi va yo'nalishi bir xil bo'ladi..
  Xulosa: qattiq jismning translatsiya harakati uning har qanday nuqtasining harakati bilan belgilanadi va shuning uchun uning harakatining vazifasi va o'rganish nuqta kinematikasiga tushiriladi..
• Qattiq jismning qo'zg'almas o'q atrofida aylanish harakati
  Qattiq jismning qo'zg'almas o'q atrofida aylanish harakati - bu jismga tegishli ikkita nuqta butun harakat vaqtida harakatsiz qoladigan qattiq jismning harakati.
  Tananing holati burilish burchagi bilan belgilanadi. Burchakning o'lchov birligi radiandir. (Radian - aylananing markaziy burchagi, yoy uzunligi radiusga teng; aylananing umumiy burchagi 2p radian.)
  Jismning qo'zg'almas o'q atrofida aylanish harakati qonuni.
  Tananing burchak tezligi va burchak tezlanishini farqlash usuli yordamida aniqlaymiz:
  — burchak tezligi, rad/s;
  — burchak tezlanishi, rad/s².
  Agar tanani o'qga perpendikulyar tekislik bilan ajratsangiz, aylanish o'qi ustidagi nuqtani tanlang. BILAN va ixtiyoriy nuqta M, keyin ishora qiling M nuqta atrofida tasvirlab beradi BILAN doira radiusi R. davomida dt burchak orqali elementar aylanish mavjud , va nuqta M traektoriya bo'ylab uzoq masofaga harakat qiladi .
  Lineer tezlik moduli:
  .
  Nuqta tezlashishi M ma'lum traektoriya bilan uning tarkibiy qismlari bilan belgilanadi:
  ,
  Qayerda .
  Natijada biz formulalarni olamiz
  tangensial tezlanish: ;
  Oddiy tezlashuv: .

Dinamiklar

Dinamiklar— nazariy mexanikaning moddiy jismlarning mexanik harakatlari ularni keltirib chiqaruvchi sabablarga qarab oʻrganiladigan boʻlimi.

Dinamikaning asosiy tushunchalari
• Inertsiya- bu tashqi kuchlar bu holatni o'zgartirmaguncha, moddiy jismlarning dam olish holatini yoki bir xil to'g'ri chiziqli harakatini saqlab turish xususiyatidir.
• Og'irligi jism inertsiyasining miqdoriy o'lchovidir. Massa birligi - kilogramm (kg).
• Moddiy nuqta- bu massaga ega bo'lgan jism, bu muammoni hal qilishda uning o'lchamlari e'tiborga olinmaydi.
• Mexanik tizimning massa markazi- koordinatalari formulalar bilan aniqlanadigan geometrik nuqta:
  
  Qayerda m k, x k, y k, z k— massa va koordinatalar k- mexanik tizimning o'sha nuqtasi, m- tizimning massasi.
  Yagona tortishish maydonida massa markazining pozitsiyasi og'irlik markazining pozitsiyasiga to'g'ri keladi.
• Moddiy jismning o'qqa nisbatan inersiya momenti aylanish harakatida inertsiyaning miqdoriy o'lchovidir.
  Moddiy nuqtaning o'qqa nisbatan inersiya momenti nuqta massasining o'qdan masofaning kvadratiga ko'paytmasiga teng:
  .
  Tizimning (jismning) o'qqa nisbatan inersiya momenti barcha nuqtalarning inersiya momentlarining arifmetik yig'indisiga teng:
  
• Moddiy nuqtaning inertsiya kuchi moduli boʻyicha nuqta massasi va tezlanish modulining mahsulotiga teng va tezlanish vektoriga qarama-qarshi yoʻnaltirilgan vektor kattalikdir:
• Moddiy jismning inertsiya kuchi- moduli bo'yicha tana massasi va tananing massa markazining tezlanish moduli mahsulotiga teng va massa markazining tezlanish vektoriga qarama-qarshi yo'naltirilgan vektor miqdori: ,
  jismning massa markazining tezlashishi qayerda.
• Quvvatning elementar impulsi kuch vektori va cheksiz kichik vaqt davri mahsulotiga teng vektor kattalikdir dt:
  .
  Dt uchun jami kuch impulsi elementar impulslarning integraliga teng:
  .
• Kuchning elementar ishi skalyar kattalikdir dA, skalyar proi ga teng