GURUH NAZARIYASI ASOSLARI

Ma'ruzalar kursi

Krasnoyarsk, 2007 yil

Senashov, V.I.

Guruhlar nazariyasi asoslari: ma'ruzalar kursi / , . – Krasnoyarsk: FGOU VPO "Sibir federal universiteti, Tabiat instituti va gumanitar fanlar”, 20s.

"Guruhlar nazariyasi asoslari" fani "Oliy algebra" fanining davomi bo'lib, asosiy fanlardan birini ifodalaydi. maxsus fanlar talabalarni “Matematika” ixtisosligiga tayyorlashda. Ma’ruzalar kursi algebra va matematik mantiq bo‘limiga ixtisoslashgan bakalavriat va magistratura talabalari uchun mo‘ljallangan.

© Krasnoyarsk tabiiy instituti va

Gumanitar fanlar, 2007.

1-BO'lim. UMUMIY MA'LUMOT ………………………………….. 5

1-mavzu. KIRISH ………………………………………… 5

Guruhlar nazariyasining paydo bo'lishi va rivojlanishi haqidagi tarixiy ma'lumotlar.

Tadqiqotning maqsad va vazifalari. Qisqacha tavsif zamonaviy

guruh nazariyasi holati. Adabiyot manbalarini haqida umumiy ma'lumot; Adabiyot sharhi. Umumiy ma'lumot.

Mavzu 2. Guruhlar, kichik guruhlar………………………………… 7

Guruhning ta’rifi, misollar. Kichik guruh ta'rifi,

kichik guruhlarga misollar.

2-BO'lim. GURUHLARNING SINFLARI, GURUHLARNING TOPSHIRILISh TURLARI………. 9

3-mavzu. Guruhlar sinflari, misollar………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 9

Chekli va cheksiz guruhlar, davriy guruhlar,

buralishsiz guruhlar, aralash guruhlar, misollar.

4-mavzu.To'plamlarni yaratish. Tsiklik guruhlar, siklik guruhning kichik guruhlari …………………………………. 11

To'plamlarni yaratish orqali guruhlarni aniqlash. Tsiklik, 2 va 3 hosil bo'lgan guruhlarga misollar.

3-BO'lim. GURUH TUZILISHI ………………………………… 12

Mavzu 5. Csinflararo…………………………………………………….. 12

Qo'shni sinflarning xususiyatlari. Kichik guruh indeksi, Lagran teoremasi

Xo'sh, oqibatlari.

6-mavzu.Konjugat elementlarning sinflari. Normalizator va markazlashtiruvchi ………………………………………………… 13

Konjugat elementlar sinflarining ta'rifi va xususiyatlari, qachon

chora-tadbirlar. Konjugat elementlar sinflarining kuchi haqida markazlashtiruvchi, normalizator, teorema ta'rifi.

7-mavzu.Markaz, kommutator. Omillar guruhi ………………………… 14

Markaz, kommutator tushunchalari. Misollar.

8-mavzu. To'liq guruhlar ………………………………………… 16

To'liq guruhlar, misollar. To'liq guruhlar bo'yicha teoremalar.

4-BO'lim. GURUH KO'RSATI…………………………………. 17

9-mavzu. Almashtirish guruhlari ………………………………….

O'rnini bosuvchi guruhlarning ta'riflari va xossalari. Kayli teoremasi.

10-mavzu.Gomomorfizmlar…………………………………… 18

Gomomorfizm ta'rifi, gomomorf xaritalash misollari

ny, gomomorfizmlar haqidagi teoremalar.

11-mavzu. Izomorfizmlar………………………………………… 20

Izomorfizm ta'rifi, izomorf guruhlarga misollar.

12-mavzu. Avtomorfizmlar…………………………………. 21

Avtomorfizm ta'rifi. Avtomorfizm turlari, golomorflar.

5-BO'lim.GURUHLAR ISHLARI …………………………… 24

13-mavzu.To'g'ridan-to'g'ri va kartezian mahsulotlar ……………… 24

Ta'riflar. Chiziqlarga bo'linishi mumkin bo'lgan guruhlarga misollar va

Kartezyen mahsulotlar.

Mavzu 14. Yarim to'g'ridan-to'g'ri mahsulot, bepul

ish va boshqa turdagi ishlar …………………. 27

Yarim to'g'ridan-to'g'ri mahsulot, bepul mahsulot, birlashtirilgan kichik guruhli bepul mahsulot, bir xil mahsulot.

15-mavzu.Guruhlardagi qatorlar…………………………………….. 31

Oddiy qator, subnormal qator. Guruhlarning qatorli turlari.

16-mavzu. Saylou teoremasi……………………………….. 32

Sylow kichik guruhlari. Sylow teoremasi. Saylou teoremasining qo‘llanilishi.

17-mavzu.Algebraik tizimlar …………………………… 33

Algebraik tizimlarga misollar. Guruhoid, yarimguruh, kvazguruh, halqa, guruh, halqa, maydon.

6-BO'LIM. GURUHLARDA TUGASH SHARTLARI …………… 35

Mavzu 18. Minimallik shartlariga ega guruhlar va

maksimal ……………………………………………………………………. 35

Minimal va maksimal shartlarga ega guruhlar. Chernikov guruhlari va ularning xususiyatlari.

19-mavzu. Cheklanish shartlari ………………………………… 38

Biprimitiv sonlilik shartlari, biprimitivga konjugat

oyoq-qo'llari, ularning zaiflashishi va umumlashtirilishi. Shunkov guruhlari. Misollar.

7-BO'lim. GURUHLARGA NAMALLAR ……………………………………. 40

20-mavzu. Dihedral guruhlar…………………………………. 40

Dihedral guruhlarning ta'riflari va xossalari.

21-mavzu. Almashtirish va matritsalar guruhlari ………………………… 43

Almashtirish va matritsalar guruhlari. Dihedral guruhning ifodalanishi

almashtirishlar guruhi.

22-mavzu. Harakatlar guruhlari ……………………………….. 48

Geometrik o'zgarishlar. Harakatlar. Raqamlarning simmetriyasi.

Muntazam ko'pburchaklarning simmetriya guruhlari. Fazoviy va tekis figuralarning chekli va cheksiz simmetriya guruhlari.

8-BO'lim. XULOSA ……………………………………… 54

23-mavzu. Guruhlar atlaslari ………………………………………5 4

Guruh jadvallari. Cheklangan oddiy guruhlar va tasvirlar atlaslari

chekli guruhlar.

24-mavzu. Xulosa ………………………………………..5 6

Ko‘rib chiqish hozirgi holat guruh nazariyasi.

Qo'shimcha ……………………………………………………………… 57

25-mavzu.Frobenius guruhlari………………………….. 57

BIBLIOGRAFIK RO‘YXATI…………………………… 62

1-BO'lim. UMUMIY MA'LUMOT

Mavzu 1. KIRISH

Guruhlar nazariyasining paydo bo'lishi va rivojlanishi haqidagi tarixiy ma'lumotlar. Guruh tushunchasi 18-asrda paydo boʻlgan, u bir qancha fanlardan kelib chiqqan: radikallarda algebraik tenglamalarni yechish nazariyasi (1771-yilda J. Lagranj va A. Vandermond ishlarida bu nazariyaning ehtiyojlari uchun almashtirishlar birinchi marta qoʻllanilgan. va almashtirishlar guruhining qoʻshnilarga boʻlinishi sinflar olindi, 19-asrda almashtirishlar guruhining xossalari bilan tenglamalar xossalari oʻrtasidagi chuqur bogʻlanishlar 1824-yilda N.Abel va 1830-yilda E.Galua tomonidan koʻrsatilgan. Ayniqsa, E. Galoisning guruh nazariyasidagi yutuqlari e'tiborga loyiqdir 1870 yilda almashtirishlar guruhi to'g'risidagi risolada bu yo'nalishda tadqiqotlar ishlab chiqilgan). Proyektiv geometriyada, bundan qat'i nazar, turli xil transformatsiyalar ostidagi figuralarning xatti-harakati o'rganilganda guruhlar paydo bo'ladi, bu esa o'zgarishlarning o'zini o'rganishga va ularning tasnifini izlashga olib keldi (bu erda biz o'rgangan A. Moebius nomlarini eslatib o'tishimiz mumkin. qarindoshlikning elementar turlari geometrik shakllar, Guruhni generatsiya qiluvchi elementlar va munosabatlar bilan belgilanadigan tizim sifatida tushungan A. Kayli, 1872 yilda “Erlangen dasturi”ni yaratuvchisi F. Klein tasniflash uchun asos sifatida transformatsion guruh tushunchasini qo‘ydi. geometriyadan). Guruh-nazariy fikrlarni sonlar nazariyasida ham kuzatish mumkin. L. Eyler 1761 yilda «Vokatlarni taqsimlashda qolgan qoldiqlar»ni o‘rganayotganda, taqqoslash va qoldiq sinflariga, ya’ni kichik guruhlar bo‘yicha qo‘shni sinflarga bo‘lishdan foydalangan. 1801-yilda K. Gauss oʻzining “Arifmetika tadqiqotlari” asarida aylananing boʻlinish tenglamasining Galua guruhining kichik guruhlarini aniqladi va “ikkilik kvadratik shakllar tarkibi”ni oʻrganar ekan, ekvivalent shakllar sinflari chekli Abeliya hosil qilishini isbotladi. tarkibi bo'yicha guruh.

19-asr oxirida. guruhning zamonaviy mavhum kontseptsiyasi ishlab chiqildi. 1895 yilda S. Li allaqachon guruhni assotsiativ bo'lgan va identifikatsiya va teskari elementlarni kafolatlaydigan operatsiya ostida yopilgan transformatsiyalar to'plami sifatida aniqlagan.

Guruhlarni ularning chegaralanganligini taxmin qilmasdan va elementlarning tabiati haqida taxminlarsiz o'rganish 1916 yilda vatandoshimizning "Guruhlarning abstrakt nazariyasi" kitobida mustaqil matematik sohaga aylandi.

Hozirgi vaqtda guruhlar nazariyasi algebraning eng rivojlangan sohalaridan biri bo'lib, u matematikaning o'zida ham, undan tashqarida ham - topologiyada, funktsiyalar nazariyasida, kristallografiyada, kvant mexanikasi va matematika va fanning boshqa sohalari.

Ushbu ma'ruza kursida biz universitet algebra kursiga kiritilgan guruhlar nazariyasining asosiy ta'riflari va teoremalarini qisqacha eslaymiz. Keyin tinglovchini hudud bilan tanishtiramiz zamonaviy nazariya so'nggi o'n yilliklar natijalarini taqdim etish orqali guruhlar. Keling, chegaralanganlik shartlariga ega bo'lgan guruhlar va guruhlar misollariga batafsil to'xtalib o'tamiz.

Tadqiqotning maqsad va vazifalari.“Guruhlar nazariyasi asoslari” fani “Oliy algebra” kursining davomi bo‘lib, “Matematika” mutaxassisligi bo‘yicha talabalarni tayyorlashda asosiy maxsus fanlardan biri hisoblanadi.

Fanni o’qitishdan maqsad guruhlar nazariyasining asosiy ta’riflari va asosiy teoremalari bilan tanishish hamda o’rganilayotgan teoremalardan yangi teoremalarni isbotlashda foydalanish ko’nikma va malakalarini shakllantirish va guruhlarga misollar tuzishdan iborat.

Fanni o'rganish jarayonida "Matematika" mutaxassisligi bo'yicha tadqiqotchi va o'qituvchi sifatida kasbiy faoliyat uchun bilim, ko'nikma va ko'nikmalarga ega bo'lish kerak.

Mutaxassis bilishi kerak: guruhlarning asosiy sinflari, chekli va cheksiz guruhlarning klassik misollari, guruhlar nazariyasining asosiy teoremalari; qila olish: o‘rganilgan teoremalarni yangi teoremalarni isbotlashda qo‘llash, maxsus adabiyotlar, ma’lumotnomalar, matematik entsiklopediyalardan foydalanish, amaliy ko‘nikmalarga ega bo‘lish. mustaqil ish guruh tuzilmalarini o'rganayotganda, tasavvurga ega bo'ling zamonaviy tendentsiyalar Rossiyada va dunyoda guruh nazariyasining rivojlanishi.

Ma'ruzalar kursini yozishda mualliflar o'quvchilarni guruhlar nazariyasining klassik kursining tushunchalari va teoremalari bilan qisqacha tanishtirishni va iloji bo'lsa, Krasnoyarsk guruh nazariyasi maktabida shakllangan tushunchalar va guruhlar haqida batafsil to'xtalib o'tishni maqsad qilganlar. hozirda mamlakatimizda ham, xorijda ham faol o'rganilmoqda.

Guruhlar nazariyasining hozirgi holatining qisqacha tavsifi. Hozirgi vaqtda guruhlar nazariyasi matematikaning yaxshi rivojlangan bo'limidir. Har yili chekli va cheksiz guruhlar nazariyasiga bag'ishlangan xalqaro konferentsiyalar bo'lib o'tadi. Faqat Rossiyada 2007 yilda bir nechta xalqaro konferentsiyalar guruh nazariyasiga ko'ra, ulardan biri Krasnoyarskda.

Rossiyaning Moskva, Sankt-Peterburg, Yekaterinburg, Novosibirsk, Omsk, Tomsk, Irkutsk, Chelyabinsk, Krasnoyarsk va boshqa shaharlarida guruh nazariyasi bilan shug‘ullanuvchi maktablar yaxshi rivojlangan. Yuzlab yuqori malakali mutaxassislar guruhlar nazariyasining turli sohalari bilan shug'ullanadilar. Rossiyada «Algebra va mantiq», «Sibir matematik jurnali», «Fundamental va amaliy matematika", "Diskret matematika", "Fanlar akademiyasining ma'ruzalari", bunda guruh nazariyasiga oid maqolalar katta ulushga ega. Rus olimlari chekli va cheksiz guruhlar haqida o'nlab monografiyalar yozdilar. Rossiyalik guruh nazariyasi mutaxassislarining yutuqlari uzoq vaqtdan beri butun dunyoda munosib e'tirof etilgan.

Adabiyot manbalarini haqida umumiy ma'lumot; Adabiyot sharhi."Guruh nazariyasi asoslari" fanini o'rganishda darsliklardan va tavsiya etilgan adabiyotlar ro'yxatidan foydalanishni tavsiya etamiz.

Mavzu 2. Guruhlar, kichik guruhlar

Guruhning ta’rifi, misollar.

Ta'rif. To'plam berilgan, deyishadi ikkilik operatsiya, agar to'plamning istalgan ikkita elementini bir xil to'plamning bitta elementi bilan bog'laydigan qonun aniqlansa.

Ta'rif. Ko'pchilik G unda ko'rsatilgan ikkilik algebraik operatsiya bilan deyiladi guruh, Agar:

1) bu operatsiya assotsiativdir, ya'ni. (ab)c = a(bc) har qanday elementlar uchun a, b, c dan G;

2) ichida G bitta element mavjud e: ae=ea=a har qanday element uchun a dan G;

3) har bir element uchun a dan G V G mavjud orqaga element https://pandia.ru/text/78/123/images/image002_125.gif" width="99" height="21 src=">.

Barcha juft raqamlar qo‘shilganda guruh hosil qiladi. Qo‘shish guruhi ham berilgan songa karrali butun sonlar yig‘indisidir n. Toq sonlar to'plami endi qo'shish operatsiyasi ostidagi guruh bo'lmaydi, chunki bu operatsiya bizni ushbu to'plam chegaralaridan tashqariga olib chiqadi. Ko'paytirish amaliga nisbatan nolga teng bo'lmagan barcha musbat ratsional sonlar ham guruh hosil qiladi. Ko'paytirish amalidagi 1 va -1 raqamlari yakuniy guruhni tashkil qiladi.

Ta'rif. Guruh G chaqirdi Abelian yoki kommutativ, agar guruhning barcha elementlari bir-biri bilan harakat qilsa, ya'ni kommutativ qonun qanoatlansa. ab = ba har qanday elementlar uchun a, b guruhdan G.

Abel guruhlariga ratsional sonlar, haqiqiy sonlar va qoʻshish amaliga nisbatan koʻrib chiqilgan kompleks sonlar toʻplami misol boʻla oladi. Abel bo'lmagan guruhlarga ikkitadan ortiq elementlar bo'yicha almashtirish guruhlari, ko'paytirish bo'yicha matritsalar guruhlari kiradi.

Ta'rif. Element tartibi eng kichigi deb ataladi natural son n shunday an = e. | bilan belgilanadi a|.

Ta'rif. Guruh tartibi G uning elementlari soni deyiladi.

Guruh tartibini bildiradi G orqali | G|. Agar elementlar to'plami cheksiz bo'lsa, biz buni aytamiz G cheksiz tartib bor va | yozing G| = https://pandia.ru/text/78/123/images/image004_81.gif" width="95" height="29"> | ai M, mi = 1, n = 1, 2, 3, …}.

Isbot. Teoremani shakllantirishda kiritilgan elementlar to'plamini bilan belgilaymiz H.

Shubhasiz, H.H H, H-1 https://pandia.ru/text/78/123/images/image007_53.gif" width="16" height="16 src="> H.

Boshqa tomondan,<M> https://pandia.ru/text/78/123/images/image010_47.gif" width="13" height="13 src="> H). Element x chaqirdi vakili qo'shni sinf. To'g'ri koset xuddi shunday ta'riflanadi.

Qo'shni sinflarning xususiyatlari:

1) kosetlar yo kesishmaydi yoki mos kelmaydi;

2) kosetlar bir xil kardinallikka ega;

3) elementlar a, b kichik guruhlar bo'yicha bitta qo'shni sinfda joylashgan H, Agar b-1 a H.

Xususiyatlarning isboti o'quvchiga qoldiriladi.

Ta'rif. Guruhning qo'shni sinflari soni G kichik guruh bo'yicha H chaqirdi indeks guruhlar G kichik guruh bo'yicha H va | bilan belgilanadi G:H|.

Neymanning Lemmasi. Mayli G - cheklangan miqdordagi kosetlarning cheklangan kichik guruhlar to'plamiga birlashmasi bo'lgan guruh. Keyin ushbu kichik guruhlardan kamida bittasi cheklangan indeksga ega G.

Isbot. Aytaylik, teorema noto'g'ri va kichik guruhlarning har biri H 1 ,…, Hn cheksiz indeksga ega G. Teoremani shakllantirishda ko'rsatilgan kosetlarga parchalanish bo'lsin:

G = g 11H 1 .gif" eni="16" balandligi="20 src="> .gif" width="16 height=20" height="20"> g 21H 2 … H 2 …

….gif" eni="16" balandligi="20">… .gif" width="16" height="20">… H 1 https://pandia.ru/text/78/123/images/image016_28.gif" width="36" height="28 src=">H 1 https://pandia.ru/text/78/123/images/image016_28.gif" width="36" height="28 src=">H 1 g 21H 2 … .gif" width="16 height=20" height="20">….gif" width="16" height="20">… https://pandia.ru/text/78/123/images/image018_24.gif" width="20 height=19" height="19">.

Shubhasiz juda ko'p - chegaralangan sonli kosetlarning kichik guruhlarga birlashishi H 2, …, Hn va o'z ichiga oladi g 11H 1, xuddi shunday

g 11H 1 .gif" eni="16" balandligi="20 src="> .gif" kengligi="19" balandligi="17"> .gif" kengligi="24" balandligi="16"> gh, h hg, h https://pandia.ru/text/78/123/images/image024_20.gif" width="15" height="15 src="> G), agar chap va o'ng kosetlar kirsa G tomonidan H mos.

Kosetlarning boshqa xususiyatlari uchun qarang.

6-mavzu.Konjugat elementlarning sinflari. Normalizator va markazlashtiruvchi

Konjugat elementlar sinflarining ta'rifi va xossalari, misollar. Element a konjugatdir element bilan b guruhda G, agar mavjud bo'lsa x dan G, Nima = b.

Bundan tashqari, belgilash =ax to'plamlarga o'tkazish: AB = {ab | a A, b B). Ushbu belgida oddiy kichik guruhning ta'rifi quyidagicha: H G keyin va faqat qachon HGH.

6.1 teorema. Konjugatsiyalangan elementlarning tartiblari teng.

Isbot. Mayli = b. Faraz qilaylik | a| = n, |b| = m Va n < m. Keyin ( )n = a = e, Lekin bne. Olingan qarama-qarshilik teoremani isbotlaydi.

Konjugatsiya - ekvivalentlik munosabati. (Ya'ni konjugatsiya uchun uchta xususiyat qanoatlanadi: reflekslik, simmetriya va tranzitivlik.) Butun guruh konjugatsiyalangan elementlarning ajratilgan sinflariga bo'linadi. aG. Barcha sanoq sistemalari va abel guruhlarida konjugat elementlarning sinflari bitta elementdan iborat. Umuman olganda, turli sinflar turli kuchlarga ega bo'lishi mumkin. Normalizator sinf kuchini o'lchash uchun vosita bo'lib xizmat qiladi.

Konjugat elementlarning har bir sinfi bitta elementdan iborat bo'lgan guruhlarga barcha Abel guruhlari misol bo'ladi. Uchinchi tartibli almashtirishlar guruhida konjugat elementlarning uchta sinfi mavjud: identifikatsiya elementidan iborat sinf, ikkita uchinchi tartibli elementlardan iborat sinf va uchta konjugat involyutsiyadan iborat sinf.

Konjugat elementlar sinflarining kuchi haqida markazlashtiruvchi, normalizator, teorema ta'rifi.

Ta'rif. Mayli M- guruhning ixtiyoriy kichik to'plami G, H- uning kichik guruhi. To'plamning normalizatori M guruhda G to'plam deb ataladi N.H.(M) = { h | hM = Mh, h H }.

Ta'rif.Markazlashtiruvchini o'rnating M guruhda G to'plam deb ataladi CG(M)={g|gm=mg, m M}.

Abel guruhlarida har qanday elementning markazlashtiruvchisi butun guruhga to'g'ri keladi. Uchinchi darajali almashtirishlar guruhida barcha elementlarning markazlashtiruvchilari ushbu elementlar tomonidan yaratilgan tsiklik guruhlarga to'g'ri keladi.

6.2 teorema. Agar M- kichik to'plam va H- guruhning kichik guruhi G, keyin to'plamlar sinfining kardinalligi konjugatsiyaga aylanadi M dan elementlar H indeksiga teng | H : N.H.(M) |. Xususan, | aG| = |G : NG(a) |.

Isbot. Ko'rsataylik Mx, xH, o'ng kosetlarga H tomonidan N = N.H.(M): (Mx)= Nx. Displey aniq: dan Mx = Mn oqib chiqadi Nx = Ny. Bu birma-bir, chunki Nx = Ny nazarda tutadi Mx = Mn. Bu "to" xaritasi, chunki har qanday sinf uchun Nx prototipi mavjud Mx. Teorema isbotlangan.

7-mavzu.Markaz, kommutator. Faktorlar guruhi

Markaz, kommutator tushunchalari. Misollar. Guruhning tuzilishi asosan uning elementlarining o'zgaruvchanligi bilan belgilanadi. Guruhning barcha elementlari bilan almashinadigan elementlar to'plami kichik guruhdir.

Ta'rif.Guruh markazi G to'plam deb ataladi Z(G)=CG(G).

Mashq qilish. Guruh G Abelian agar va faqat agar Z(G)= G.

Ta'rif. Elementlar a, b guruhlar G qatnov (harajat) qachon

a-1 b-1 ab = e.

Abel guruhlari ularning markaziga to'g'ri keladi. Uchinchi darajali almashtirishlar guruhida markaz birlik hisoblanadi.

Ta'rif.Oʻzgartirish [a, b] elementlar a, b ish deyiladi

[a , b] = a-1 b-1 ab.

Ta'rif. Barcha kommutatorlar tomonidan yaratilgan kichik guruh deyiladi kommutator guruhlar.

Kommutator - bu guruhning kommutativlikdan og'ishini o'lchaydigan asbob.

Ta'rif. Agar L, M guruhning kichik to'plamlari bo'lsa, ularning o'zaro kommutanti kichik guruh deb ataladi

[L , M] = < [a , b] | a L, b M >.

Misollar.

1. [ Sn , Sn] = An, har kim uchun n.

2. [ An, An] = An, n > 4.

3. [G , G] = 1 agar G Abelian

Mashqlar.

1. isbotlang [ a , b]-1= [b , a].

2. isbotlang [ ab , c] = [a , c]b[ b , c].

Barcha kitoblarni bepul va ro'yxatdan o'tmasdan yuklab olish mumkin.

Elliot, Dauber. Fizikada simmetriya. 2 jildda. 1983 yil 364+414 bet djvu. bitta arxivda 7,4 MB.
Fizikada simmetriya tamoyillariga bag'ishlangan ikki jildli monografiya (ingliz fiziklari tomonidan). 1-jildda simmetriyalar nazariyasining asosini tashkil etuvchi guruhlar nazariyasi va guruhlarni tasvirlash nazariyasi qisqacha bayon etilgan va bu nazariyaning atomlar tuzilishini tahlil qilishda qo‘llanilishi va kristall panjaralar, shuningdek, yadrolarning simmetriya xususiyatlarini tavsiflashga va elementar zarralar. 2-jildda molekulalarning elektron tuzilishi, fazo va vaqtning simmetriya xossalari, oʻrin almashish guruhlari va unitar guruhlari, zarrachalarning tashqi sohalardagi xossalari muhokama qilinadi.
Fizik va matematiklarning keng doirasi - tadqiqotchilar, aspirantlar va talabalar uchun.
Kitob fizik tomonidan va fiziklar uchun yozilgan. Bu matematiklar uchun yalang'och mavhumlik emas, lekin ko'plab jismoniy tizimlar ko'rib chiqiladi. Men buni tavsiya qilaman.

Yuklab olish

YANGI O.V. Bogopolskiy. Guruhlar nazariyasiga kirish. 2002 yil 148 bet. djvu. 732 KB.
Kitobning maqsadi guruh nazariyasiga tez va chuqur kirishni ta'minlashdir. Birinchi qism nazariyaning asoslarini belgilaydi, Mathieu sporadik guruhini tuzadi va uning kodlash nazariyasi va Shtayner tizimlari bilan bog'liqligini tushuntiradi. Ikkinchi qismda daraxtlarga ta'sir qiluvchi guruhlarning Bass-Serre nazariyasi ko'rib chiqiladi. Kitobning o'ziga xos xususiyati - chekli va cheksiz guruhlar nazariyasiga geometrik yondashuv. Ko'p sonli misollar, mashqlar va rasmlar mavjud.
Tadqiqotchilar, aspirantlar va universitet talabalari uchun.
Ushbu kirish juda murakkab va algebrani yaxshi bilishni talab qiladi.

. . . . . . . . . . . . Yuklab olish

KELISHDIKMI. Aminov. Simmetriya nazariyasi. Ma'ruza matnlari va topshiriqlar. 2002 yil 192 bet. djvu.
Ushbu o‘quv qo‘llanma muallif tomonidan ko‘p yillar davomida nazariy fizika faniga ixtisoslashgan talabalar uchun o‘qilgan “Matematikaning qo‘shimcha bo‘limlari” ma’ruzalar kursi, 3-kurs talabalari uchun “Simmetriya nazariyasi” tanlov kursi va “Simmetriya nazariyasi” fani asosida tuzilgan. fizika fakulteti magistrantlari uchun “Matematikaning qo‘shimcha bo‘limlari ilovalar bilan” kursi. Ma’ruza mazmuni asosan shaklda keltiriladi qisqacha xulosa; Laboratoriya topshiriqlari bajariladigan mavzular batafsilroq tavsiflanadi. Har bir bo'lim bo'yicha masalalar talabalar tomonidan yechiladi amaliy mashg'ulotlar va mustaqil ravishda. Umuman olganda, ushbu qo'llanma talabalarga tavsiya etilgan adabiyotlar bilan sinfdan tashqari ishlarda yordam berish uchun mo'ljallangan.

. . . . . . . . . . . . Yuklab olish

V.A Artamonov, L. Slovokhotov. Guruhlar va ularning fizika, kimyo, kristallografiyada qo‘llanilishi. 2005 yil 512 bet djvu. 5,4 MB.
Guruhlar nazariyasi tizimli ravishda taqdim etiladi va uning fizik-kimyoviy qo'llanilishi ko'rib chiqiladi. Asosiy guruh konstruktsiyalari, chekli hosil qilingan abel va kristallografik guruhlar nazariyasi, chekli guruhlar, chiziqli guruhlar va ularning Li algebralarini tasvirlash nazariyasi asoslari keltirilgan. Kvasikristallar, renormalizatsiya guruhlari, Hopf algebralari va topologik guruhlar qisqacha muhokama qilinadi. Mexanika, molekulyar spektroskopiya va fizikadagi simmetriya munosabatlari muhokama qilinadi qattiq, shuningdek, atomlar, yadrolar va elementar zarralar nazariyasida.
Oliy o'quv yurtlarining tabiiy fanlar talabalari uchun ta'lim muassasalari. Klassik universitet ta'limidagi UMO shtampi. Aspirantlar va tadqiqotchilar uchun foydali bo'lishi mumkin.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Yuklab olish

Alekseev V. B. Abel teoremasi masalalar va yechimlar. 2001 yil 190 bet. PDF. 1,4 MB.
Ushbu kitobdan o'quvchi qanday qaror qabul qilishni o'rganadi algebraik tenglamalar Bir noma'lum bilan 3 va 4 darajalar va nima uchun tenglamalarni ko'proq yechish kerak yuqori daraja mavjud emas umumiy formulalar(radikallarda). Shu bilan birga, u zamonaviy matematikaning ikkita juda muhim bo'limi - guruh nazariyasi va kompleks o'zgaruvchining funktsiyalari nazariyasi bilan tanishadi. Ushbu kitobning asosiy maqsadlaridan biri o'quvchiga matematikada o'zini sinab ko'rish imkonini berishdir. Buning uchun deyarli barcha materiallar ta'riflar, misollar va ko'rsatmalar va echimlar bilan ta'minlangan ko'plab muammolar ko'rinishida taqdim etiladi.
Kitob jiddiy matematikaga qiziqqan keng kitobxonlar doirasi uchun mo'ljallangan (o'rta maktab o'quvchilaridan boshlab) va o'quvchidan oldindan maxsus bilimga ega bo'lishni talab qilmaydi. Kitob matematika to‘garagi ishi uchun qo‘llanma bo‘lib ham xizmat qilishi mumkin. Men ikkinchisiga shubha qilaman. Hozir bunday maktab o'quvchilari yo'q. Ammo kitob foydali.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Yuklab olish

Barut A., Ronchka R. Guruh vakillik nazariyasi va uning ilovalari. 2 kitobda. 1980 yil djvu. bitta arxivda
Kitob 1. 1-11-boblar. 452 sahifa 4,9 MB. Kitob 1. 12-21-boblar+ Ilovalar. 393 sahifa 2,8 MB.
Monografiya mualliflari taniqli amerikalik va polshalik olimlar, fizikaning guruh nazariy usullari bo'yicha mutaxassislardir. Kitobda zamonaviylik tasvirlangan samarali usullar va guruhlar va Li algebralarini tasvirlash nazariyasi natijalari, ularning fizik qo'llanilishining keng doirasi aks ettirilgan. Mualliflar taqdimotning matematik qat'iyligi, materialning to'liq yoritilishi bilan tilning ravshanligi va qulayligining muvaffaqiyatli kombinatsiyasiga erishdilar; Barcha bo'limlar diqqat bilan tanlangan mashqlar bilan birga keladi.
Birinchisida (1 - 11-boblar) berilgan umumiy nazariya guruhlar va Li algebralari, ularning chekli oʻlchovli tasvirlari aniq tuzilgan, Li algebralarini chegaralanmagan operatorlar orqali tasvirlash nazariyasi, Li algebralari tasvirlarining integrallik nazariyasi keltirilgan.
Ikkinchisida: Li algebrasi tasvirlarining kvartodinamik qo'llanilishi. Guruhlar nazariyasi va kvant nazariyasidagi guruhlarning tasvirlari. Li guruhlari bo'yicha garmonik tahlil. Maxsus funktsiyalar va guruh ko'rinishlari. Bir jinsli fazolarda garmonik tahlil. Induktsiyalangan tasvirlar. Yarim to'g'ridan-to'g'ri mahsulotlarning induktsiyalangan ko'rinishlari. Induksiyalangan tasvirlar haqidagi asosiy teoremalar. Yarim oddiy Li guruhlarining induktsiyalangan ko'rinishlari.

. . . . . . . . . . . . Yuklab olish

Vilenkin. Maxsus funktsiyalar va guruhlarning vakillik nazariyasi. Hajmi 4,3 MB. 600 bet djvu.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Yuklab olish

Gelfand, Minlos, Shapiro. Aylanma guruhi va Lorents guruhining ifodalanishi, ularning qo'llanilishi. Hajmi 3,8 MB. 367 bet djvu.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Yuklab olish

Naimark. Guruh vakillik nazariyasi. Hajmi 24,0 MB. 564 bet. PDF.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Yuklab olish

Rumer Yu., Fet A. I. Unitar simmetriya nazariyasi. 405 bet djvu. 3,2 MB.
Kitob 18 bobdan iborat bo'lib, uch qismga bo'lingan: matematik kirish, adronlarning unitar tasnifi, massa formulalari.
Birinchi qismda murakkab chiziqli fazolar va ular ustidagi konstruktsiyalar nazariyasidan asosiy faktlar, guruhlarning asosiy xossalari, algebralar va ularning tasvirlari berilgan. Taqdimot davomida ta'riflar va teoremalarning aniq formulalari beriladi, qoida tariqasida, teoremalarning isbotlari yo'q qilinadi; Ushbu qism taqdim etilgan natijalarning ma'nosi va sababini tushuntiruvchi ko'plab sharhlarni o'z ichiga oladi.
Ikkinchi bo'limda simmetriyani tavsiflash uchun zarur bo'lgan alohida guruhlar (va ularning vakillari) batafsil o'rganiladi. kuchli o'zaro ta'sirlar, ya'ni. SU(2), SU(3), SU(4) va SU(6) guruhlari. Ushbu qismda nazariyaning fizika uchun zarur bo'lgan jihatlariga e'tibor qaratiladi.
Oxirgi qism massa formulalarini chiqarishga bag'ishlangan bo'lib, u matematikdan ko'ra ko'proq fizikdir. Ommaviy formulalar uchun ularni kengroq talqin qilish imkonini beruvchi yangi asoslash taklif etiladi. Bibliografiyada muhokama qilinayotgan mavzu bo'yicha asosiy ishlar mavjud.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Yuklab olish

Hamermesh. Guruh nazariyasi va uning fizik masalalarga qo'llanilishi. Hajmi 4,6 MB. 590 b. djv.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Yuklab olish

K. Chevalley. Yolg'on guruhi nazariyasi. 3 jildda. djvu.
1-jild. 1948 yil. 316 bet. 7,7 MB.
K. Chevalley kitobining kuchi, odatda eski qo'llanmalarda olib boriladigan mahalliy nuqtai nazardan farqli o'laroq, Lie guruhlarini bir butun sifatida tizimli ko'rib chiqishdir. Ushbu taqdimot tizimi birinchi marta L. S. Pontryagin tomonidan o'zining "Uzluksiz guruhlar nazariyasi" (G.T.T.I. 1938) kitobida amalga oshirilgan bo'lib, unda faqat oxirgi boblar Li guruhlarining haqiqiy nazariyasiga bag'ishlangan.
K. Chevalley kitobi ilmiy matematiklar, yuqori kurs talabalari va aspirantlar uchun mo‘ljallangan. Uni o'qish uchun siz kombinatoryal va to'plam nazariy topologiyasi va mavhum guruhlar nazariyasining asosiy tushunchalarini o'zlashtirishingiz kerak.
2-jild. Algebraik guruhlar. 1958 yil 316 bet. 7,7 MB.
Ikkinchi jild algebraik guruhlar nazariyasi (koeffitsientlar orasidagi algebraik munosabatlar bilan aniqlangan matritsalar guruhlari) taqdimotiga bag'ishlangan. so'nggi yillar asosan muallifning o'zi asarlarida. Bu jahon adabiyotida algebraik guruhlar nazariyasining birinchi tizimli taqdimotidir.
Kitob matematiklar - yuqori kurs talabalari, aspirantlar va tadqiqotchilar uchun mo'ljallangan.
3-jild. Li algebralarining umumiy nazariyasi. 1958 yil 306 sahifa 4,8 MB.
Uchinchi jildda Li algebralarining umumiy nazariyasi keltirilgan. Hozirgacha rus tilida ushbu nazariyaga bag'ishlangan monografiyalar mavjud emas edi.
Bu jild, avvalgilari kabi, matematiklar - yuqori kurs talabalari, aspirantlar va tadqiqotchilar uchun mo'ljallangan.

Ushbu matn bir necha sabablarga ko'ra paydo bo'ldi. Birinchidan, ko'pchilik zamonaviy matematika nima qilishini bilmaydi. Guruh nazariyasi, albatta, zamonaviy matematikaning hammasi emas, balki uning kichik bir qismidir, lekin u eng ko'p biridir. yuqori darajalar abstraksiya, bu uni zamonaviy matematikaning bir sohasiga yaxshi misol qiladi.

Ikkinchidan, guruh sifatida bunday tabiiy va oddiy (tushuntirish uchun) ob'ekt ko'pchilik olimlarga deyarli noma'lum. Darhaqiqat, inson uchun simmetriya tushunchasidan ko'ra tabiiyroq va tanish bo'lgan narsa bo'lishi mumkin. Tug'ilgandanoq, biz ixtiyoriy yoki ixtiyoriy ravishda, atrofdagi narsalardan simmetriyani qidiramiz va ob'ekt qanchalik nosimmetrik bo'lsa, u bizga shunchalik mukammal ko'rinadi. Qadimgi yunonlar to'pni ideal figura deb hisoblashgan, chunki to'p juda ko'p simmetriyaga ega. Har qanday narsani ko'rib chiqing mashhur rasm, va siz u erda aniq simmetriya o'qini (va ba'zan bir nechta) ko'rasiz. Har qanday musiqa parchasi tsiklda rivojlanadi, doimo asl mavzuga qaytadi, ya'ni u erda ham simmetriya mavjud. Hatto ko'plab dinlarda hurmatga sazovor bo'lgan xoch kabi taniqli ramz ham ko'p sonli simmetriyalar tufayli bizga go'zal ko'rinadi: uni har qanday qismga nisbatan aylantirish va aks ettirish mumkin. Ammo xochni svastikaga aylantiring va siz darhol noqulay his-tuyg'ularga ega bo'lasiz, chunki siz xochning ko'pgina simmetriyalarini yo'q qildingiz. Shunday qilib, aynan simmetriya muayyan ob'ektning bizga qanchalik mukammal ko'rinishini belgilaydi va guruh nazariyasi simmetriyalarni o'rganuvchi fan sifatida, hech qanday mubolag'asiz, mukammallik fani deb atash mumkin.

Uchinchidan, men Sergey Popov va Igor Ivanov kabi ajoyib olimlar va ilm-fan ommaboplarining misolidan ilhomlanaman, ularning ilmiy-ommabop maqolalarini qiziqish bilan o‘qiyman.

Matn dastlab matematikani ko'p biladigan o'quvchi uchun ochiq bo'lishi uchun mo'ljallangan edi maktab o'quv dasturi, matnning ba'zi maxsus qismlari (aslida uning katta qismi), odatda berilganidan ko'ra tushunish qiyinroq materiallarni o'z ichiga oladi. maktab kursi algebra, belgi bilan boshlanib, belgi bilan tugaydi (bu bunday matnni tushunish uchun maktab matematikasidan boshqa narsa kerak degani emas; mantiqiy xarakterdagi qiyinchiliklar paydo bo'ladi). Gap shundaki, guruh nazariyasi zamonaviy matematikada abstraktsiyaning eng yuqori darajalaridan birida joylashgan va shuning uchun guruhlar ba'zan tajribasiz o'quvchi uchun tasavvur qilish juda qiyin bo'lgan elementlardan iborat.

Aleksey Savvateev ma'ruzalar kursi haqida:

Men sizni "Maktab guruhlari nazariyasi" deb nomlangan guruh nazariyasi bo'yicha mini kursimga taklif qilaman.

Guruhlar nazariyasi o'rta sinflarda o'qitilishi kerak deb o'ylayman - ramziy belgilar joriy qilingan bir vaqtda ( x,y,z harflari va hokazo) Chunki ma'lum modul (bir tomondan) va almashtirishlar (boshqa tomondan) uchun qoldiqlar tizimidan guruhning umumiy tushunchasiga olib keladigan abstraksiya darajasi 3,4 raqamlaridan abstraktsiya darajasidan yuqori emas. ,5 belgilarga. O'zgartirishlarni tushunish va ikkinchi yoki uchinchi sinfda o'zlashtirish oson, xuddi ma'lum bir modul uchun qoldiqlar tizimi kabi.

Minikursda men bo'shliqlarni yopaman maktab ta'limi guruh nazariyasi bilan bog'liq va aniq misollar guruhlar. Qoldiqlar haqidagi asosiy faktlar o’rnatiladi, Fermaning kichik teoremasi isbotlanadi, uch va to’rtta belgi bo’yicha almashtirish guruhlari kichik guruhlari o’rganiladi, berilgan guruhning normal kichik guruhi va guruhning soddaligi tushunchasi bilan tanishtiriladi.

Shunda n≥5 belgilar bo‘yicha juft almashtirishlar guruhi oddiy ekanligi (bu algebraik tenglamalarning radikallarda yechilishi haqidagi savollarga yo‘l ochadi), shuningdek, tekislik (fazo) ko‘chirmalarning kichik guruhi normal ekanligi isbotlanadi. mos keladigan ob'ektning barcha (affin) harakatlari guruhi. Harakatlarning past o'lchamli guruhlari to'liq xarakteristikaga ega bo'ladi (Chales teoremasi va har xil turdagi harakatlar tarkibi qonunlari).

Aleksey Vladimirovich Savvateev - fizika fanlari doktori matematika fanlari, o'yin nazariyasi bo'yicha mutaxassis, Dmitriy Pojarskiy universiteti rektori, bolalar va kattalar o'rtasida matematikani ommalashtirish. Bir vaqtning o'zida bir nechta ishlaydi ilmiy muassasalar, jumladan, tadqiqot laboratoriyasida ijtimoiy munosabatlar va NES jamiyatining xilma-xilligi. U Yandex Ma'lumotlarni tahlil qilish maktabida ma'ruzalar o'qiydi va nazariy tadqiqotlarda ishtirok etadi. Irkutskda IDU dotsenti lavozimida ish haqining 0,2 barobari miqdorida ishlaydi.

Izohlar: 0

Aleksey Savvateev

Geometriya - klassik Evklid, Lobachevskiy, proyektiv va sferik - zamonaviy matematika bo'limlari dasturlarida (maktablar haqida gapirmasa ham) etarli darajada e'tiborga olinmaydi. Shu bilan birga, u vizual va juda chiroyli. Ko'pgina bayonotlar vizual tarzda aniq va bir vaqtning o'zida kutilmagan (nima uchun Irkutskdan Lissabonga uchadigan samolyot Norilsk yo'nalishi bo'yicha birinchi bo'lib uchadi?) 8 ta ma'ruzada talabalar ushbu matematika sohasidagi dastlabki ma'lumotlar bilan tanishadilar. , bu ikki ming yildan ko'proq vaqt oldin paydo bo'lgan. Biz to'g'ridan-to'g'ri ilm-fanning zamonaviy sohalariga olib keladigan ancha murakkab materiallar bilan yakunlaymiz. Guruhlar nazariyasi va Li algebralari asoslari yoritiladi.

Aleksey Savvateev

Galois nazariyasi - bu soha nazariyasining ayrim masalalarini guruhlar nazariyasi tilida qayta shakllantirish, ularni qaysidir ma'noda soddalashtirish imkonini beruvchi algebra bo'limi. Galois nazariyasi klassik muammolarni hal qilishda yagona, oqlangan yondashuvni taqdim etadi: kompas va chizg'ich yordamida qanday shakllarni qurish mumkin? Qaysi algebraik tenglamalarni standart algebraik amallar (qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish, bo‘lish va ildiz olish) yordamida yechish mumkin?

Aleksey Savvateev

Aleksey Savvateev, Aleksey Semixatov

Ilm-fanga oid savol

Nega matematiklar yangilarini o'ylab topishmoqda? hal qilib bo'lmaydigan muammolar? Nima uchun zamonaviy matematika kerak? Olimlar orasida zamonaviy matematika fanining barcha sohalarini tushunadigan hech kim yo'q. Matematiklar esa tobora ko'proq yechilmaydigan muammolarni o'ylab topadilar va keyin ular bilan o'nlab yillar davomida kurashadilar. Nima uchun bularning hammasi? Va matematikaning bizning hayotimizga qanday aloqasi bor? Dastur mehmoni fizika-matematika fanlari doktori Aleksey Savvateev. Aleksey Semixatov bilan suhbatlashdi.

Aleksandr Bufetov

Anatoliy Vershik

Yaqinda va har doimgidek, bir vaqtning o'zida va mustaqil ravishda, turli sabablarga ko'ra, ma'lum bir guruhning tasodifiy tanlangan kichik guruhlarini muntazam ravishda o'rganish uchun bir nechta matematik guruhlari kerak edi. Ma'ruzachi uchun bu voqea ma'lum bir guruhning barcha kichik guruhlari panjarasida konjugatsiya-invariant o'lchovlarni topish vazifasi edi. Bu muammo vakillik nazariyasi (ayrim guruhlarning omilli ko'rinishlari) va nazariyaning o'zi uchun muhim ahamiyatga ega dinamik tizimlar(mutlaqo erkin bo'lmagan harakatlar). Boshqa sabablar - mahalliy nosimmetrik bo'shliqlarda Betti raqamlarining asimptotikasi, guruhlarning daraxtlardagi harakatlari, tasodifiy bir hil bo'shliqlarda yurish nazariyasi va, ehtimol, bu hammasi emas. Hisobot bag'ishlanadi umumiy tushunchalar, fundamental misolni tahlil qilish, ya'ni simmetrik guruhning tasodifiy kichik guruhi nima - chekli va cheksiz, va nihoyat, bularning barchasi belgilar nazariyasi bilan qanday bog'liqligini tushuntirish.

Evgeniy Smirnov

Ko'zgu guruhlari doimiy egrilikdagi fazoning (sfera, Evklid yoki giperbolik bo'shliq) harakatlarining diskret guruhi bo'lib, ular aks ettirishlar to'plamidan hosil bo'ladi. Ko'zgu guruhlari turli algebraik masalalarda hayratlanarli darajada tez-tez paydo bo'ladi.

Ivan Arjantsev

Ushbu kursda biz ajoyib va ​​butunlay elementar ob'ektni chekli o'lchovli kommutativ assotsiativ algebralarni o'rganamiz. murakkab sonlar. Bu erda birinchi tizimli natijalarni isbotlash juda oson, ammo to'liq tasnifni olish deyarli mumkin emas. Biz chekli o'lchamli algebralar (maksimal ideallar va mahalliy algebralar, filtrlash va darajalash, Hilbert-Samuel ketma-ketligi va socle) bilan ishlashning turli usullarini muhokama qilamiz va past o'lchamli algebralarning aniq tavsifini olamiz. Ma’lum bo‘lishicha, chekli o‘lchovli algebralar kommutativ matritsali guruhlarning afin va proyektiv fazolardagi ochiq orbita harakatlari bilan chambarchas bog‘liq. Biz bu aloqani tushuntiramiz. Tushuntirish jarayonida tabiiy ravishda chiziqli operatorning ko'rsatkichi, guruh tasviri va tsiklik modul, Li algebrasi va uning universal o'rab oluvchisi kabi tushunchalar paydo bo'ladi.

Mixail Tyomkin

Tetraedrlarni yuzlari boʻylab yonma-yon qoʻyib, muhim matematik obʼyekt boʻlgan sodda komplekslar misollarini olish mumkin. Keling, bunday strukturaning uchburchaklarini qora va oq rangga bo'yaymiz va agar har bir tetraedrning qora va oq yuzlari teng bo'lsa, rang berishni yaxshi deb ataymiz. Ma'lum bo'lishicha, (oddiy tarzda bo'lingan) past o'lchamli sharlar holatida oq uchburchaklar to'plami o'rganishga loyiq ob'ekt bo'lib chiqadi: Möbius chizig'i yoki proyektiv tekislik. Ushbu ob'ektlarning uchburchaklarga bo'linishini aniq tasvirlab berganimizda, biz tabiiy ravishda ikosahedrga ega bo'lamiz - ajoyib muntazam ko'pburchak. Uning o'z-o'zidan birlashmalari guruhini o'rganish bizga qancha yaxshi ranglar mavjudligini tushunishga imkon beradi. Yo'lda biz matematikaning yuqorida qayd etilgan sodda kompleks va simmetriya guruhi, harakat va boshqalar kabi muhim asosiy tushunchalariga duch kelamiz.

Ivan Losev

Ma'ruzalarda chekli guruhlarni ko'rsatish nazariyasidan asosiy ma'lumotlar taqdim etiladi, Vershik va Okunkovning simmetrik guruhlarning tasvirlariga yondashuvi tushuntiriladi va unda nima sodir bo'lishi haqida gapiriladi. ijobiy xususiyatlar va Lie algebrasining bunga nima aloqasi bor? Kurs birinchi kursdan boshlab algebra kursini yaxshi o‘zlashtirgan talabalarga tushunarli bo‘lishi kerak.