Geron formulasidan foydalanib uchburchakni topamiz. Uchburchakning maydoni. To'rtburchaklar maydonini hisoblash
Ushbu formula sizga a, b va c tomonlari asosida uchburchakning maydonini hisoblash imkonini beradi:
S=√(r(r-a)(r-b)(r-s),bu erda p - uchburchakning yarim perimetri, ya'ni. p = (a + b + c)/2.
Formula qadimgi yunon matematigi Heron Iskandariya (taxminan 1-asr) sharafiga nomlangan. Heron yuzlari ham butun son bo'lgan butun tomonlari bo'lgan uchburchaklarni ko'rib chiqdi. Bunday uchburchaklar Geron uchburchaklari deyiladi. Masalan, bu tomonlari 13, 14, 15 yoki 51, 52, 53 bo'lgan uchburchaklar.
To'rtburchaklar uchun Heron formulasining analoglari mavjud. To'rtburchakni a, b, c va d tomonlari bo'ylab qurish muammosi yagona yechimga ega emasligi sababli, umumiy holatda to'rtburchakning maydonini hisoblash uchun faqatgina bilishning o'zi etarli emas. tomonlarning uzunligi. Siz qo'shimcha parametrlarni kiritishingiz yoki cheklovlar qo'yishingiz kerak. Masalan, chizilgan to'rtburchakning maydoni quyidagi formula bo'yicha topiladi: S=√(r-a)(r-b)(r-s)(p-d)
Agar to'rtburchak bir vaqtning o'zida chizilgan va chegaralangan bo'lsa, uning maydoni oddiyroq formuladan foydalanish: S=√(abcd).
Iskandariya Heron - yunon matematigi va mexaniki.
U birinchi bo'lib avtomatik eshiklarni, avtomatik qo'g'irchoq teatrini, savdo avtomatini, tez o't ochadigan o'z-o'zidan yuklanadigan arbaletni ixtiro qildi. bug 'turbinasi, avtomatik bezaklar, yo'llarning uzunligini o'lchash uchun qurilma (qadimiy odometr) va boshqalar. U birinchi bo'lib dasturlashtiriladigan qurilmalarni (atrofiga arqon bilan o'ralgan pinli mil) yaratdi.
U geometriya, mexanika, gidrostatika va optikani o‘rgangan. Asosiy asarlari: Metrika, Pnevmatika, Avtomatopoetika, Mexanika (asar toʻliq arabcha tarjimada saqlangan), Katoptrika (koʻzgular haqidagi fan; faqat lotincha tarjimada saqlangan) va boshqalar. to'g'ri to'rtburchaklar koordinatalarini ishlatishga asoslangan erni o'rganish qoidalarini belgilaydi. Heron o'zidan oldingilarning yutuqlaridan foydalangan: Evklid, Arximed, Strato Lampsak. Uning ko'plab kitoblari qaytarib bo'lmaydigan darajada yo'qolgan (o'ramlar Iskandariya kutubxonasida saqlangan).
Heron o'zining "Mexanika" risolasida oddiy mashinalarning besh turini tasvirlab berdi: tutqich, darvoza, xanjar, vint va blok.
Heron o'zining "Pnevmatika" risolasida siqilgan havo yoki bug 'bilan boshqariladigan turli xil sifonlar, aqlli tarzda ishlab chiqilgan idishlar va avtomatlarni tasvirlab berdi. Bu birinchi bug 'turbinasi bo'lgan aeolipile - suv bug'ining oqimlari kuchi bilan aylanadigan shar; eshiklarni ochish uchun mashina, "muqaddas" suvni sotish uchun mashina, yong'in pompasi, suv organi, mexanik qo'g'irchoq teatri.
"Diopter haqida" kitobida diopter - geodeziya ishlari uchun ishlatiladigan eng oddiy qurilma tasvirlangan. Heron oʻz risolasida toʻgʻri burchakli koordinatalardan foydalanishga asoslangan yer oʻlchash qoidalarini bayon qiladi.
Katoptrikada Heron yorug'lik nurlarining to'g'riligini cheksiz yuqori tarqalish tezligi bilan asoslaydi. Heron ko'zgularning har xil turlarini ko'rib chiqadi, silindrsimon nometalllarga alohida e'tibor beradi.
Heronning "Metrika" va undan olingan "Geometrika" va "Stereometriya" ma'lumotnomalari. amaliy matematika. Metricada mavjud ma'lumotlar orasida:
Muntazam ko'pburchaklar sohalari uchun formulalar.
Muntazam ko'p yuzli, piramida, konus, kesilgan konus, torus, sferik segmentning hajmlari.
Uchburchak maydonini uning tomonlari uzunligidan hisoblash uchun Heron formulasi (Arximed tomonidan kashf etilgan).
Qoidalar raqamli yechim kvadrat tenglamalar.
Kvadrat va kub ildizlarini ajratib olish algoritmlari.
Heronning "Ta'riflar" kitobi geometrik ta'riflarning keng to'plami bo'lib, ko'pincha Evklidning "Elementlar" ta'riflari bilan mos keladi.
Dars xulosasi
Mavzu: "Heron formulasi va uchburchak maydoni uchun boshqa formulalar."
Dars turi : yangi bilimlarni kashf qilish darsi.
Sinf: 10.
Dars maqsadlari: dars davomida uchburchakning maydonini hisoblash formulalarini ongli ravishda takrorlashni ta'minlang. maktab o'quv dasturi. Geronning II formulasini, toʻrtburchaklar koordinata tizimida berilgan uchburchakning maydoni formulasini bilish zarurligini koʻrsating. Muammolarni hal qilishda ushbu formulalarni ongli ravishda o'zlashtirish va qo'llashni ta'minlash.
Vazifalar:
Tarbiyaviy: rivojlanish mantiqiy fikrlash, mustaqil qaror qabul qilish qobiliyati ta'lim maqsadlari; qiziqishni rivojlantirishtalabalar, fanga kognitiv qiziqish; talabalarning ijodiy fikrlash va matematik nutqini rivojlantirish;
Tarbiyaviy: matematikaga qiziqishni rivojlantirish; uchun sharoit yaratishmuloqot qobiliyatlarini shakllantirish va kuchli irodali fazilatlar shaxsiyat.
Tarbiyaviy: bilimlarni chuqurlashtirishhaqiqiy sonning moduli; tipik muammolarni hal qilish qobiliyatini o'rgatish.
Umumjahon ta'lim faoliyati:
Shaxsiy: shaxs va uning qadr-qimmatini hurmat qilish; barqaror kognitiv qiziqish; teng munosabatlar va o'zaro hurmat asosida muloqot qilish qobiliyati.
Normativ: darsdagi faoliyat uchun maqsadlarni belgilash; maqsadga erishish yo'llarini rejalashtirish; muzokaralar asosida muammoli vaziyatda qaror qabul qilish.
Kognitiv: V masalalarni yechish, topshiriq va hisob-kitoblarni bajarishning umumiy usullarini egallash; haqiqiy son moduli xossalaridan foydalanishga asoslangan vazifalarni bajarish.
Kommunikativ: A o'z faoliyatini rejalashtirish va tartibga solish uchun nutqdan etarli darajada foydalanish; o'z fikringizni shakllantiring.
Texnik yordam : kompyuter, proyektor, interfaol doska.
Darsning tuzilishi
Motivatsion bosqich – 2 min.
Uyga vazifa - 1 min.
Taklif etilayotgan mavzu bo'yicha bilimlarni yangilash va birinchi sinov harakatini o'tkazish bosqichi - 10 daqiqa.
Qiyinchiliklarni aniqlash: yangi materialning murakkabligi nima, muammoni aynan nima yaratadi, qarama-qarshiliklarni izlash - 4 min.
Loyihani ishlab chiqish, ularning mavjud qiyinchiliklarini bartaraf etish rejasi, ko'plab variantlarni ko'rib chiqish, optimal echimni izlash - 2 min.
Qiyinchilikni hal qilish uchun tanlangan rejani amalga oshirish - 5 min.
Yangi bilimlarni birlamchi mustahkamlash - 10 min.
Mustaqil ish va standartga muvofiq tekshirish - 5 min.
O'quv faoliyati, o'z-o'zini tahlil qilish, his-tuyg'ular va his-tuyg'ular haqida fikr yuritishni o'z ichiga olgan mulohaza yuritish - 1 min.
Darsning borishi.
Motivatsion bosqich.
Salom bolalar, o'tiring. Bugun darsimiz quyidagi reja bo'yicha bo'ladi: dars davomida biz o'rganamiz yangi mavzu: « Heron formulasi va uchburchak maydoni uchun boshqa formulalar "; Keling, siz bilgan formulalarni takrorlaymiz; Keling, ushbu formulalarni masalalarni yechishda qanday qo'llashni bilib olaylik. Xo'sh, keling, ishga kirishaylik.
Taklif etilayotgan mavzu bo'yicha bilimlarni yangilash va birinchi sinov harakatini o'tkazish bosqichi.
Slayd 1.
Dars mavzusini yozing. To'g'ridan-to'g'ri formulalarga o'tishdan oldin, keling, uchburchakning maydonini hisoblash uchun qanday formulalarni bilasiz?
Slayd 2.
Ushbu formulalarni yozing.
Uchburchakning maydonini hisoblash uchun qanday formulalarni bilasiz?(talabalar o'rgangan barcha formulalarni eslab qolishadi)
Slayd 3.
To'g'ri burchakli uchburchakning maydoni. S=ab. Formulani yozing
Slayd 4.
Har qanday uchburchakning maydoni. S= A . a = , = Formulani yozing.
Slayd 5. Ikki tomonga asoslangan uchburchakning maydoni va ular orasidagi burchak.
S=½·ab·sina. Formulani yozing.
Endi biz maydonni topish uchun yangi formulalarni o'rganamiz.
Slayd 6.
Chizilgan doira radiusi bo'yicha uchburchakning maydoni. S= P r. Formulani yozing.
Slayd 7.
Doira R-radiusi bo'yicha uchburchakning maydoni.
Formulani yozing.
Slayd 8.
Heron formulasi.
Isbotni boshlashdan oldin, keling, geometriyaning ikkita teoremasini - sinuslar teoremasini va kosinuslar teoremasini eslaylik.
1. , a=2R; b=2R; c=2R
2., cosγ = .
Slayd 9-10
Heron formulasining isboti. Formulani yozing.
Slayd 11.
Uch tomoniga asoslangan uchburchakning maydoni formulasini miloddan avvalgi 3-asrda Arximed kashf etgan. Biroq, tegishli ish bizning kunlarimizga etib bormadi. Bu formula Iskandariya Heronining (milodiy 1-asr) "Metriklari" da mavjud va uning nomi bilan atalgan. Heron tomonlari butun sonli uchburchaklar bilan qiziqdi, ularning maydonlari ham butun son. Bunday uchburchaklar Geron uchburchaklari deyiladi. Eng oddiy Heron uchburchagi Misr uchburchagidir
Qiyinchilikni aniqlash: yangi materialning murakkabligi nimada, muammoni aynan nima yaratadi, qarama-qarshilikni izlash.
Slayd 12.
Tomonlari berilgan uchburchakning maydonini toping: 4,6,8. Muammoni hal qilish uchun etarli ma'lumot bormi? Ushbu muammoni hal qilish uchun qanday formuladan foydalanish mumkin?
Loyihani ishlab chiqish, ularning mavjud qiyinchiliklarini hal qilish rejasi, ko'plab variantlarni ko'rib chiqish, optimal echimni izlash.
Bu muammoni Heron formulasi yordamida hal qilish mumkin. Birinchidan, siz uchburchakning yarim perimetrini topishingiz kerak, so'ngra olingan qiymatlarni formulaga almashtiring.
Qiyinchilikni hal qilish uchun tanlangan rejani amalga oshirish.
Topish p
p=(13+14+15)/2=21
p- a=21-13=8
p-b=21-14=7
p-c=21-15=6
S = 21*8*7*6=84
Javob :84
Vazifa № 2
Uchburchakning tomonlarini topingABC, agar uchburchaklar maydoni bo'lsaABO, BCO, ACO, bu erda O - chizilgan aylananing markazi, 17,65,80 DC ga teng 2 .
Yechim: 
S=17+65+80=162 – uchburchaklarning maydonlarini qo‘shing. Formulaga ko'ra
S ABO =1/2 AB* r, shuning uchun 17=1/2AB* r; 65=1/2VS* r; 80=1/2 A.C.* r
34/r=AB; 130/r=BC; 160/r=AC
p. toping
p= (34+130+160)/2=162/ r
(r-a)=162-34=128 (r- c)=162-160=2
(p- b)=162-130=32
Heron formulasiga ko'raS= 128/ r*2/ r*32/ r*162/ r=256*5184/ r 4 =1152/ r 2
Chunki S=162, shuning uchunr = 1152/162=3128/18
Javob: AB=34/3128/18, BC=130/3128/18, AC=160/3128/18.
Yangi bilimlarni birlamchi mustahkamlash.
№10(1)
Tomonlari berilgan uchburchakning maydonini toping:
№12
Mustaqil ish va standartga muvofiq sinov.
№10.(2)
Uy vazifasi . P.83, No 10(3), No 15
Ta'lim faoliyati, o'z-o'zini tahlil qilish, his-tuyg'ular va his-tuyg'ular haqida fikr yuritishni o'z ichiga olgan refleksiya.
Bugun qanday formulalarni takrorladingiz?
Bugun qanday formulalarni o'rgandingiz?
Baza va balandlikni bilish orqali topish mumkin. Diagrammaning butun soddaligi shundaki, balandlik a asosini ikki qismga 1 va 2 ga, uchburchakning o'zini esa ikkita to'g'ri burchakli uchburchakka ajratadi, ularning maydoni va. Keyin butun uchburchakning maydoni ko'rsatilgan ikkita maydonning yig'indisiga teng bo'ladi va agar biz balandlikning bir soniyasini qavsdan chiqarsak, yig'indida biz asosni qaytarib olamiz:
Hisoblash uchun qiyinroq usul - bu Heron formulasi, buning uchun siz uch tomonni bilishingiz kerak. Ushbu formula uchun siz birinchi navbatda uchburchakning yarim perimetrini hisoblashingiz kerak: 
Heron formulasining o'zi yarim perimetrning kvadrat ildizini har tomondan uning farqiga ko'paytirishni nazarda tutadi.
Har qanday uchburchak uchun ham tegishli bo'lgan quyidagi usul sizga ikki tomondan uchburchakning maydonini va ular orasidagi burchakni topishga imkon beradi. Buning isboti balandlik formulasidan kelib chiqadi - biz ma'lum tomonlarning istalganiga balandlikni chizamiz va a burchakning sinusi orqali h=a⋅sina ni olamiz. Maydonni hisoblash uchun balandlikning yarmini ikkinchi tomonga ko'paytiring.
Yana bir usul - 2 burchakni va ular orasidagi tomonni bilib, uchburchakning maydonini topish. Ushbu formulaning isboti juda oddiy va uni diagrammada aniq ko'rish mumkin.
Biz balandlikni uchinchi burchakning tepasidan ma'lum tomonga tushiramiz va natijada olingan segmentlarni x deb nomlaymiz. Kimdan to'g'ri uchburchaklar birinchi segment x ko'paytmaga teng ekanligi aniq
Teorema. Uchburchakning maydoni uning tomoni va balandligi ko'paytmasining yarmiga teng:
Buning isboti juda oddiy. Bu uchburchak ABC(1.15-rasm) keling, uni parallelogramm hosil qilaylik ABDC. Uchburchaklar ABC Va DCB uch tomondan teng, shuning uchun ularning maydonlari teng. Shunday qilib, uchburchakning maydoni ABC parallelogramm maydonining yarmiga teng ABDC, ya'ni.
Ammo bu erda quyidagi savol tug'iladi: nega har qanday uchburchak uchun poydevor va balandlikning uchta mumkin bo'lgan yarim mahsuloti bir xil? Biroq, buni umumiy o'tkir burchakli to'rtburchaklar o'xshashligidan isbotlash oson. Uchburchakni ko'rib chiqing ABC(1.16-rasm):
Va shuning uchun
Biroq, ichida maktab darsliklari Bu shunday emas. Aksincha, uchta yarim mahsulotning tengligi ushbu yarim mahsulotning barchasi uchburchakning maydonini ifodalashiga asoslanadi. Shunday qilib, bitta funktsiyaning mavjudligi bilvosita ekspluatatsiya qilinadi. Ammo bu erda misol ko'rsatish uchun qulay va ibratli imkoniyat keladi matematik modellashtirish. Darhaqiqat, maydon kontseptsiyasining orqasida jismoniy haqiqat bor, lekin uchta yarim mahsulotning tengligini to'g'ridan-to'g'ri tekshirish bu tushunchaning matematika tiliga tarjima qilish sifatini ko'rsatadi.
Yuqoridagi uchburchak maydoni teoremasidan foydalanib, ko'pincha ikkita uchburchakning maydonlarini solishtirish qulay. Quyida biz teoremaning aniq, ammo muhim natijalarini keltiramiz.
Xulosa 1. Agar uchburchakning uchi asosiga parallel boʻlgan toʻgʻri chiziq boʻylab harakatlantirilsa, uning maydoni oʻzgarmaydi.
Shaklda. 1.17 uchburchaklar ABC Va ABD umumiy asosga ega AB va teng balandliklar to'g'ri chiziq bo'lgani uchun bu asosga tushiriladi A, u uchlarini o'z ichiga oladi BILAN Va D asosga parallel AB, va shuning uchun bu uchburchaklarning maydonlari tengdir.
Xulosa 1ni quyidagicha qayta shakllantirish mumkin.
Xulosa 1?. Bir segment berilsin AB. Ko'p nuqta M shunday qilib, uchburchakning maydoni AMV ga teng berilgan qiymat S, segmentga parallel ikkita chiziq mavjud AB va undan uzoqda joylashganlar (1. 18-rasm).
Xulosa 2. Agar uchburchakning berilgan burchakka tutashgan tomonlaridan biri ga oshirilsa k marta, keyin uning maydoni ham ortadi k bir marta.
Shaklda. 1.19 uchburchaklar ABC Va ABD umumiy balandlikka ega BH, shuning uchun ularning maydonlarining nisbati asoslar nisbatiga teng
Natija 2 dan muhim maxsus holatlar:
1. Mediana uchburchakni ikkita kichik qismga ajratadi.
2. Tomonlari orasiga o`ralgan uchburchak burchagining bissektrisasi A Va b, uni ikkita uchburchakka ajratadi, ularning maydonlari sifatida bog'langan a : b.
Xulosa 3. Agar ikkita uchburchak umumiy burchakka ega bo'lsa, ularning maydonlari bu burchakni o'rab turgan tomonlarning mahsulotiga proportsionaldir.
Bundan kelib chiqadiki (1.19-rasm).
Xususan, quyidagi bayonot amal qiladi:
Agar ikkita uchburchak o'xshash bo'lsa va ulardan birining tomoni bo'lsa k ikkinchisining mos tomonlaridan marta katta bo'lsa, uning maydoni bo'ladi k Ikkinchisining maydonidan 2 marta.
Uchburchakning maydoni uchun Heron formulasini quyidagi ikkita usulda olamiz. Birinchisida biz kosinus teoremasidan foydalanamiz:
Bu yerda a, b, c - uchburchak tomonlarining uzunliklari, r - c tomoniga qarama-qarshi burchak.
(1.3) dan topamiz.
Shuni payqab
uchburchakning yarim perimetri qayerda, biz olamiz.
Yuklanmoqda...