Kompleksning trigonometrik shakli. Kompleks sonning trigonometrik shakli. Kompleks sonni algebraik shakldan trigonometrik shaklga aylantirish

3.1. Polar koordinatalar

Ko'pincha samolyotda ishlatiladi qutbli koordinatalar tizimi . Agar O nuqta berilgan bo'lsa, aniqlanadi qutb, va qutbdan chiqadigan nur (biz uchun bu o'q Ox) - qutb o'qi. M nuqtasining pozitsiyasi ikkita raqam bilan belgilanadi: radius (yoki radius vektori) va qutb o'qi va vektor orasidagi burchak ph. ph burchagi deyiladi qutb burchagi; radianlarda o'lchanadi va qutb o'qidan soat miliga teskari hisoblangan.

Nuqtaning qutb koordinatalari sistemasidagi o‘rni tartiblangan juft sonlar (r; ph) bilan beriladi. Qutbda r = 0, va ph aniqlanmagan. Boshqa barcha nuqtalar uchun r > 0, va ph 2p ning karrali bo'lgan a'zoga qadar aniqlanadi. Bunda (r; ph) va (r 1 ; ph 1) juft sonlar bir xil nuqta bilan bog'lanadi, agar .

To'rtburchak koordinatalar tizimi uchun xOy Nuqtaning dekart koordinatalari uning qutb koordinatalari bilan quyidagicha oson ifodalanadi:

3.2. Kompleks sonning geometrik talqini

Keling, tekislikdagi Dekart to'rtburchaklar koordinata tizimini ko'rib chiqaylik xOy.

Har qanday kompleks son z=(a, b) tekislikdagi nuqta bilan ( koordinatali) bog‘langan. x, y), Qayerda koordinata x = a, ya'ni. kompleks sonning haqiqiy qismi, y = bi koordinatasi esa xayoliy qismdir.

Nuqtalari bo'lgan samolyot murakkab sonlar- murakkab tekislik.

Rasmda kompleks son z = (a, b) nuqtaga mos keladi M(x, y).

Mashq qilish.Chizish koordinata tekisligi murakkab raqamlar:

3.3. Kompleks sonning trigonometrik shakli

Tekislikdagi kompleks son nuqtaning koordinatalariga ega M(x;y). Bunda:

Kompleks sonni yozish - kompleks sonning trigonometrik shakli.

r raqami chaqiriladi modul murakkab son z va belgilangan. Modul manfiy bo'lmagan haqiqiy sondir. Uchun .

Modul nolga teng, agar va faqat z = 0, ya'ni. a = b = 0.

ph raqami chaqiriladi argument z va belgilanadi. z argumenti qutb koordinatalari tizimidagi qutb burchagi kabi noaniq tarzda, ya'ni 2p ga karrali bo'lgan atamagacha aniqlanadi.

Keyin biz qabul qilamiz: , bu erda ph argumentning eng kichik qiymati. Bu aniq

.

Mavzuni chuqurroq o'rganishda yordamchi argument ph* kiritiladi, shunday qilib

1-misol. Kompleks sonning trigonometrik shaklini toping.

Yechim. 1) modulni ko'rib chiqing: ;

2) ph ni qidirmoqda: ;

3) trigonometrik shakl:

2-misol. Kompleks sonning algebraik shaklini toping .

Bu erda qiymatlarni almashtirish kifoya trigonometrik funktsiyalar va ifodani o'zgartiring:

3-misol. Kompleks sonning moduli va argumentini toping;

1) ;

2) ; ph – 4 chorakda:

3.4. Trigonometrik shaklda kompleks sonlar bilan amallar

· Qo‘shish va ayirish Algebraik shaklda murakkab sonlar bilan ishlash qulayroq:

· Ko'paytirish– oddiy trigonometrik o'zgarishlar yordamida buni ko'rsatish mumkin Ko'paytirishda raqamlarning modullari ko'paytiriladi va argumentlar qo'shiladi: ;

Ushbu bo'limda biz kompleks sonning trigonometrik shakli haqida ko'proq gaplashamiz. Ko'rgazmali shakl amaliy topshiriqlarda juda kam uchraydi. Iloji bo'lsa yuklab olish va chop etishni tavsiya etaman. trigonometrik jadvallar, uslubiy material bilan Matematik formulalar va jadvallar sahifasida tanishish mumkin. Stollarsiz uzoqqa borolmaysiz.

Har qanday kompleks son (noldan tashqari) trigonometrik shaklda yozilishi mumkin:

Bu qayerda kompleks sonning moduli, A - murakkab son argumenti.

Sonni kompleks tekislikda ifodalaylik. Tushuntirishning aniqligi va soddaligi uchun biz uni birinchi koordinatali kvadrantga joylashtiramiz, ya'ni. ishonamiz:

Kompleks sonning moduli- boshlang'ich nuqtadan murakkab tekislikning mos keladigan nuqtasigacha bo'lgan masofa. Oddiy qilib aytganda, modul uzunligi radius vektori, bu chizmada qizil rang bilan ko'rsatilgan.

Kompleks sonning moduli odatda quyidagicha belgilanadi: yoki

Pifagor teoremasidan foydalanib, kompleks sonning modulini topish formulasini olish oson: . Bu formula to'g'ri har qanday uchun"a" va "bo'l" ma'nolarini bildiradi.

Eslatma : Kompleks sonning moduli tushunchani umumlashtirishdir haqiqiy sonning moduli, nuqtadan boshlang'ichgacha bo'lgan masofa sifatida.

Kompleks sonning argumenti chaqirdi burchak orasida ijobiy yarim o'q haqiqiy o'q va radius vektorining boshdan mos keladigan nuqtaga chizilgan. Argument birlik uchun aniqlanmagan:.

Ko'rib chiqilayotgan printsip aslida qutb koordinatalariga o'xshaydi, bu erda qutb radiusi va qutb burchagi nuqtani noyob tarzda belgilaydi.

Kompleks sonning argumenti standart sifatida belgilanadi: yoki

Geometrik mulohazalar asosida argumentni topish uchun quyidagi formulani olamiz:

. Diqqat! Bu formula faqat o'ng yarim tekislikda ishlaydi! Agar kompleks son 1 yoki 4 koordinata kvadrantida joylashmasa, formula biroz boshqacha bo'ladi. Biz bu holatlarni ham tahlil qilamiz.

Biroq, avvalo, murakkab sonlar koordinata o'qlarida joylashgandagi eng oddiy misollarni ko'rib chiqaylik.

7-misol

Kompleks sonlarni trigonometrik shaklda ifodalang: ,,,. Keling, rasm chizamiz:

Aslida, topshiriq og'zaki. Aniqlik uchun men murakkab sonning trigonometrik shaklini qayta yozaman:

Keling, modulni qat'iy eslaylik - uzunligi(bu har doim salbiy bo'lmagan), dalil - burchak

1) Sonni trigonometrik shaklda ifodalaylik. Keling, uning moduli va argumentini topamiz. Bu aniq. Formuladan foydalanib rasmiy hisoblash:. Ko'rinib turibdiki (raqam to'g'ridan-to'g'ri haqiqiy musbat yarim o'qda yotadi). Shunday qilib, trigonometrik shakldagi son:.

Teskari tekshirish harakati kun kabi aniq:

2) Sonni trigonometrik shaklda ifodalaylik. Keling, uning moduli va argumentini topamiz. Bu aniq. Formuladan foydalanib rasmiy hisoblash:. Shubhasiz (yoki 90 daraja). Chizmada burchak qizil rang bilan ko'rsatilgan. Shunday qilib, trigonometrik shakldagi raqam: .

Foydalanish , raqamning algebraik shaklini qaytarish oson (bir vaqtning o'zida tekshirish):

3) Sonni trigonometrik shaklda ifodalaylik. Keling, uning modulini topamiz va

dalil. Bu aniq. Formuladan foydalangan holda rasmiy hisoblash:

Shubhasiz (yoki 180 daraja). Chizmada burchak ko'k rangda ko'rsatilgan. Shunday qilib, trigonometrik shakldagi son:.

Imtihon:

4) Va to'rtinchi qiziqarli holat. Bu aniq. Formuladan foydalanib rasmiy hisoblash:.

Argument ikki shaklda yozilishi mumkin: Birinchi usul: (270 daraja) va shunga mos ravishda: . Imtihon:

Biroq, quyidagi qoida ko'proq standart hisoblanadi: Agar burchak 180 darajadan katta bo'lsa, keyin u minus belgisi va burchakning qarama-qarshi yo'nalishi ("aylantirish") bilan yoziladi: (minus 90 daraja), chizmada burchak yashil rang bilan belgilangan. Buni sezish oson

qaysi burchak bir xil.

Shunday qilib, kirish quyidagi shaklni oladi:

Diqqat! Hech qanday holatda siz kosinusning paritetini, sinusning g'alatiligini ishlatmasligingiz va belgini yanada "soddalashtirmasligingiz" kerak:

Aytgancha, trigonometrik va teskari trigonometrik funktsiyalarning ko'rinishi va xususiyatlarini eslab qolish foydalidir; mos yozuvlar materiallari sahifaning oxirgi paragraflarida joylashgan Grafiklar va asosiy elementar funktsiyalarning xususiyatlari. Va murakkab raqamlarni o'rganish ancha oson bo'ladi!

Eng oddiy misollarni loyihalashda siz buni shunday yozishingiz kerak: : "modul bo'lishi aniq ... argumentning ... ekanligi aniq.". Bu haqiqatan ham aniq va og'zaki hal qilish oson.

Keling, keng tarqalgan holatlarni ko'rib chiqishga o'taylik. Modulda hech qanday muammo yo'q, siz doimo formuladan foydalanishingiz kerak. Ammo argumentni topish uchun formulalar boshqacha bo'ladi, bu raqam qaysi koordinata choragida joylashganiga bog'liq. Bunday holda, uchta variant mumkin (ularni qayta yozish foydalidir):

1) Agar (1 va 4 koordinata choraklari yoki o'ng yarim tekislik) bo'lsa, argument formuladan foydalanib topilishi kerak.

2) Agar (2-koordinata choragi) bo'lsa, u holda argument formuladan foydalanib topilishi kerak .

3) Agar (3-koordinata choragi) bo'lsa, u holda argument formuladan foydalanib topilishi kerak .

8-misol

Kompleks sonlarni trigonometrik shaklda ifodalang: ,,,.

Tayyor formulalar mavjud bo'lganligi sababli, chizmani bajarish shart emas. Ammo bitta nuqta bor: sizdan raqamni trigonometrik shaklda ifodalash so'ralganda, keyin Qanday bo'lmasin, chizishni qilish yaxshiroqdir. Gap shundaki, rasmsiz yechim ko'pincha o'qituvchilar tomonidan rad etiladi, chizmaning yo'qligi minus va muvaffaqiyatsizlikning jiddiy sababidir.

Biz raqamlarni murakkab shaklda taqdim etamiz va birinchi va uchinchi raqamlar mustaqil hal qilish uchun bo'ladi.

Sonni trigonometrik shaklda ifodalaylik. Keling, uning moduli va argumentini topamiz.

Chunki (2-holat), keyin

- bu erda siz arktangentning g'alatiligidan foydalanishingiz kerak. Afsuski, jadvalda qiymat mavjud emas, shuning uchun bunday hollarda argumentni noqulay shaklda qoldirish kerak: – trigonometrik shakldagi raqamlar.

Sonni trigonometrik shaklda ifodalaylik. Keling, uning moduli va argumentini topamiz.

Chunki (1-holat), keyin (minus 60 daraja).

Shunday qilib:

- trigonometrik shakldagi raqam.

Ammo bu erda, yuqorida aytib o'tilganidek, kamchiliklar mavjud tegmang.

Qiziqarli grafik tekshirish usulidan tashqari, 7-misolda allaqachon amalga oshirilgan analitik tekshirish ham mavjud. trigonometrik funktsiyalar qiymatlari jadvali, burchak aynan stol burchagi (yoki 300 daraja) ekanligini hisobga olgan holda: – asl algebraik shakldagi raqamlar.

Raqamlarni trigonometrik shaklda o'zingiz keltiring. Dars oxirida qisqacha yechim va javob.

Bo'lim oxirida kompleks sonning ko'rsatkichli shakli haqida qisqacha.

Har qanday kompleks son (noldan tashqari) eksponensial shaklda yozilishi mumkin:

Bu yerda kompleks sonning moduli va kompleks sonning argumenti.

Kompleks sonni eksponensial shaklda ifodalash uchun nima qilish kerak? Deyarli bir xil: chizmani bajaring, modul va argumentni toping. Va raqamni shaklga yozing.

Masalan, oldingi misoldagi raqam uchun biz modul va argumentni topdik:,. Keyin bu raqam ko'rsatkichli shaklda quyidagicha yoziladi:.

Eksponensial shakldagi raqam quyidagicha ko'rinadi:

Raqam - Shunday qilib:

Yagona maslahat indikatorga tegmang ko'rsatkichlar, omillarni qayta tartibga solishning hojati yo'q, qavslarni ochish va hokazo. Kompleks son eksponensial shaklda yoziladi qat'iy shaklga ko'ra.

Algebraik shaklda yozilgan kompleks sonlar ustida amallar

Kompleks sonning algebraik shakli z =(a,b).shaklning algebraik ifodasi deyiladi

z = a + bi.

Kompleks sonlar ustidagi arifmetik amallar z 1 = a 1 +b 1 i Va z 2 = a 2 +b 2 i, algebraik shaklda yozilgan, quyidagicha amalga oshiriladi.

1. Kompleks sonlar yig‘indisi (farqi).

z 1 ± z 2 = (a 1 ±a 2) + (b 1 ±b 2)∙i,

bular. qo'shish (ayirish) o'xshash hadlarni qisqartirish bilan ko'phadlarni qo'shish qoidasiga muvofiq amalga oshiriladi.

2. Kompleks sonlarning ko‘paytmasi

z 1 ∙z 2 = (a 1 ∙a 2 - b 1 ∙b 2) + (a 1 ∙b 2 + a 2 ∙b 1)∙i,

bular. ko'paytirish ko'phadlarni ko'paytirishning odatiy qoidasi bo'yicha amalga oshiriladi, bu haqiqatni hisobga olgan holda. i 2 = 1.

3. Ikki kompleks sonni bo‘lish quyidagi qoida bo‘yicha amalga oshiriladi:

, (z 2 ≠ 0),

bular. bo'lish dividend va bo'luvchini bo'luvchining konjugat raqamiga ko'paytirish orqali amalga oshiriladi.

Kompleks sonlarni darajaga ko'tarish quyidagicha aniqlanadi:

Buni ko'rsatish oson

Misollar.

1. Kompleks sonlar yig‘indisini toping z 1 = 2 – i Va z 2 = – 4 + 3i.

z 1 + z 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3i) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) i = –2+2i.

2. Kompleks sonlar ko‘paytmasini toping z 1 = 2 – 3i Va z 2 = –4 + 5i.

= (2 – 3i) ∙ (–4 + 5i) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3i)+ 2∙5i– 3i∙ 5i = 7+22i.

3. Ko‘rsatkichni toping z bo'linishdan z 1 = 3 - 2na z 2 = 3 – i.

z = .

4. Tenglamani yeching: , x Va y Î R.

(2x+y) + (x+y)i = 2 + 3i.

Kompleks sonlarning tengligi tufayli bizda:

qayerda x =–1 , y= 4.

5. Hisoblang: i 2 ,i 3 ,i 4 ,i 5 ,i 6 ,i -1 , i -2 .

6. Agar ni hisoblang.

.

7. Sonning o‘zaro nisbatini hisoblang z=3-i.

Trigonometrik shakldagi murakkab sonlar

Murakkab samolyot Dekart koordinatalari bo'lgan tekislik deb ataladi ( x, y), agar har bir nuqta koordinatali (( a, b) kompleks son bilan bog‘lanadi z = a + bi. Bunday holda, abscissa o'qi deyiladi haqiqiy o'q, ordinata o'qi esa xayoliy. Keyin har bir murakkab raqam a+bi nuqta sifatida tekislikda geometrik tasvirlangan A (a, b) yoki vektor.

Shuning uchun, nuqtaning pozitsiyasi A(va shuning uchun murakkab son z) vektor uzunligi bilan belgilanishi mumkin | | = r va burchak j, vektor | tomonidan hosil qilingan | haqiqiy o'qning ijobiy yo'nalishi bilan. Vektorning uzunligi deyiladi kompleks sonning moduli va | bilan belgilanadi z |=r, va burchak j chaqirdi murakkab son argumenti va belgilanadi j = arg z.

Bu aniq | z| ³ 0 va | z | = 0 Û z = 0.

Rasmdan. 2 bu aniq.

Kompleks sonning argumenti noaniq, ammo 2 aniqligi bilan aniqlanadi pk, kÎ Z.

Rasmdan. 2, agar, shuningdek, aniq z=a+bi Va j=arg z, Bu

cos j =,gunoh j =, tg j =.

Agar zÎR Va z> 0, keyin arg z = 0 +2pk;

Agar z OR Va z< 0, keyin arg z = p + 2pk;

Agar z = 0,arg z aniqlangan.

Argumentning asosiy qiymati 0 oralig'ida aniqlanadi £ arg z£ 2 p,

yoki -p£ arg z £ p.

Misollar:

1. Kompleks sonlarning modulini toping z 1 = 4 – 3i Va z 2 = –2–2i.

2. Shartlar bilan aniqlangan kompleks tekislikdagi maydonlarni aniqlang:

1) | z | = 5; 2) | z| £6; 3) | z – (2+i) | £ 3; 4) £6 | z – i| £7.

Yechimlar va javoblar:

1) | z| = 5 Û Û - radiusi 5 va markazi koordinatali aylana tenglamasi.

2) Radiusi 6 bo’lgan aylana, markazi koordinatali.

3) Markazi nuqtada joylashgan radiusi 3 bo'lgan doira z 0 = 2 + i.

4) Radiuslari 6 va 7 ga teng, markazi nuqtada bo‘lgan doiralar bilan chegaralangan halqa z 0 = i.

3. Sonlarning moduli va argumentini toping: 1) ; 2) .

1) ; A = 1, b = Þ ,

Þ j 1 = .

2) z 2 = –2 – 2i; a =–2, b =-2 Þ ,

.

Maslahat: Asosiy argumentni aniqlashda murakkab tekislikdan foydalaning.

Shunday qilib: z 1 = .

2) , r 2 = 1, j 2 = , .

3) , r 3 = 1, j 3 =, .

4) , r 4 = 1, j 4 =, .

KOMPLEKS RAQAMLAR XI

§ 256. Kompleks sonlarning trigonometrik shakli

Kompleks son bo'lsin a + bi vektorga mos keladi O.A.> koordinatalari bilan ( a, b ) (332-rasmga qarang).

Bu vektorning uzunligini quyidagicha belgilaymiz r , va uning o'q bilan qilgan burchagi X , orqali φ . Sinus va kosinusning ta'rifi bo'yicha:

a / r =cos φ , b / r = gunoh φ .

Shunung uchun A = r cos φ , b = r gunoh φ . Ammo bu holda kompleks son a + bi quyidagicha yozilishi mumkin:

a + bi = r cos φ + ir gunoh φ = r (chunki φ + i gunoh φ ).

Ma'lumki, har qanday vektor uzunligi kvadrati summasiga teng uning koordinatalarining kvadratlari. Shunung uchun r 2 = a 2 + b 2, qayerdan r = √a 2 + b 2

Shunday qilib, har qanday murakkab son a + bi shaklida ifodalanishi mumkin :

a + bi = r (chunki φ + i gunoh φ ), (1)

qayerda r = √a 2 + b 2 va burchak φ sharti asosida aniqlanadi:

Kompleks sonlarni yozishning bunday shakli deyiladi trigonometrik.

Raqam r formulada (1) deyiladi modul, va burchak φ - dalil, kompleks son a + bi .

Agar murakkab raqam bo'lsa a + bi nolga teng emas, u holda uning moduli musbat; agar a + bi = 0, keyin a = b = 0 va keyin r = 0.

Har qanday kompleks sonning moduli yagona aniqlanadi.

Agar murakkab raqam bo'lsa a + bi nolga teng bo'lmasa, uning argumenti (2) formulalar bilan aniqlanadi. albatta 2 ga bo'linadigan burchakka to'g'ri π . Agar a + bi = 0, keyin a = b = 0. Bu holda r = 0. (1) formuladan buni argument sifatida tushunish oson φ V Ushbu holatda har qanday burchakni tanlashingiz mumkin: har qanday holatda ham φ

0 (cos φ + i gunoh φ ) = 0.

Shuning uchun null argument aniqlanmagan.

Kompleks sonning moduli r ba'zan | bilan belgilanadi z |, va arg argumenti z . Kompleks sonlarni trigonometrik shaklda ifodalashning bir necha misollarini ko‘rib chiqamiz.

Misol. 1. 1 + i .

Keling, modulni topamiz r va argument φ bu raqam.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Shuning uchun gunoh φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2, qaerdan φ = π / 4 + 2nπ .

Shunday qilib,

1 + i = √ 2 ,

Qayerda P - har qanday butun son. Odatda, murakkab son argumentining cheksiz qiymatlari to'plamidan 0 dan 2 gacha bo'lgan biri tanlanadi. π . Bunday holda, bu qiymat π / 4 . Shunung uchun

1 + i = √ 2 (cos π / 4 + i gunoh π / 4)

2-misol. Kompleks sonni trigonometrik shaklda yozing √ 3 - i . Bizda ... bor:

r = √ 3+1 = 2, cos φ = √ 3/2, gunoh φ = - 1 / 2

Shuning uchun, 2 ga bo'linadigan burchakka qadar π , φ = 11 / 6 π ; shuning uchun,

√ 3 - i = 2(cos 11/6 π + i gunoh 11/6 π ).

3-misol Kompleks sonni trigonometrik shaklda yozing i.

Kompleks raqam i vektorga mos keladi O.A.> , o'qning A nuqtasida tugaydi da ordinatasi 1 bilan (333-rasm). Bunday vektorning uzunligi 1 ga, uning x o'qi bilan qilgan burchagi esa teng π / 2. Shunung uchun

i =cos π / 2 + i gunoh π / 2 .

4-misol. Kompleks 3 raqamini trigonometrik shaklda yozing.

Kompleks soni 3 vektorga mos keladi O.A. > X abscissa 3 (334-rasm).

Bunday vektorning uzunligi 3 ga, x o'qi bilan qilgan burchagi esa 0 ga teng

3 = 3 (cos 0 + i gunoh 0),

5-misol.-5 kompleks sonini trigonometrik shaklda yozing.

-5 kompleks soni vektorga mos keladi O.A.> eksa nuqtasida tugaydi X abscissa bilan -5 (335-rasm). Bunday vektorning uzunligi 5 ga, x o'qi bilan hosil qiladigan burchakka teng π . Shunung uchun

5 = 5 (kos π + i gunoh π ).

Mashqlar

2047. Ushbu kompleks sonlarni modul va argumentlarini aniqlagan holda trigonometrik shaklda yozing:

1) 2 + 2√3 i , 4) 12i - 5; 7).3i ;

2) √3 + i ; 5) 25; 8) -2i ;

3) 6 - 6i ; 6) - 4; 9) 3i - 4.

2048. Tekislikda modullari r va argumentlari ph shartlarni qanoatlantiradigan kompleks sonlarni ifodalovchi nuqtalar to‘plamini ko‘rsating:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Sonlar bir vaqtda kompleks sonning moduli bo‘la oladimi? r Va - r ?

2050. Kompleks sonning argumenti bir vaqtning o'zida burchak bo'lishi mumkinmi? φ Va - φ ?

Ushbu kompleks sonlarni trigonometrik shaklda keltiring, ularning modullari va argumentlarini aniqlang:

2051*. 1 + chunki α + i gunoh α . 2054*. 2(20° - i gunoh 20°).

2052*. gunoh φ + i cos φ . 2055*. 3(- cos 15° - i gunoh 15°).