Segment tenglamasi. To'g'ri chiziq. To'g'ri chiziq tenglamasi. Qabul qilingan material bilan nima qilamiz?

Ba'zi afin koordinatalar tizimi OXY berilsin.

2.1 teorema. Har qanday to'g'ri chiziq l OX koordinata tizimi shaklning chiziqli tenglamasi bilan berilgan

A x+B y+ C = O, (1)

Bu erda A, B, C R va A 2 + B 2 0. Aksincha, (1) ko'rinishdagi har qanday tenglama to'g'ri chiziqni aniqlaydi.

(1) kabi tenglama - chiziqning umumiy tenglamasi .

(1) tenglamadagi barcha A, B va C koeffitsientlari noldan farqli bo'lsin. Keyin

Ah-By=-C, va.

-C/A=a, -C/B=b ni belgilaymiz. olamiz

-segmentlardagi tenglama .

Haqiqatan ham, |a| raqamlari va |b| to'g'ri chiziq bilan kesilgan segmentlarning o'lchamini ko'rsating l mos ravishda OX va OY o'qlarida.

To'g'ri bo'lsin l to'rtburchaklar koordinatalar sistemasida umumiy tenglama (1) bilan berilgan va M 1 (x 1,y 1) va M 2 (x 2,y 2) nuqtalar tegishli bo'lsin. l. Keyin

A x 1 + V da 1 + C = A X 2 + V da 2 + C, ya'ni A( x 1 -x 2) + B( da 1 -da 2) = 0.

Oxirgi tenglik =(A,B) vektorining =(x 1 -x 2,y 1 -y 2) vektoriga ortogonal ekanligini bildiradi. bular. Vektor (A,B) deyiladi l chiziqning normal vektori.

=(-B,A) vektorini ko'rib chiqaylik. Keyin

A(-B)+BA=0. bular. ^.

Shuning uchun =(-B,A) vektori achchiqning yo'nalish vektoridir l.

Chiziqning parametrik va kanonik tenglamalari

Berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasi

Affin koordinatalar sistemasida (0, X, Y) to‘g‘ri chiziq berilgan bo‘lsin. l, uning yo'nalishi vektori = (m,n) va nuqta M 0 ( x 0 ,y 0) egalik qiladi l. Keyin ixtiyoriy M nuqtasi uchun ( x,da) bu qatordan bizda mavjud

va shundan beri .

va belgilasak

U holda mos ravishda M va M nuqtalarning radius vektorlari 0

- vektor ko'rinishdagi chiziq tenglamasi.

Chunki =( X,da), =(X 0 ,da 0), keyin

x= x 0 + mt,

y= y 0 + nt

- chiziqning parametrik tenglamasi .

Bundan kelib chiqadi

- chiziqning kanonik tenglamasi .

Nihoyat, agar to'g'ri chiziqda bo'lsa l berilgan ikkita nuqta M 1 ( X 1 ,da 1) va

M2( x 2 ,da 2), keyin vektor =( X 2 -X 1 ,y 2 -da 1) bor qo'llanmalar to'g'ri chiziq vektori l. Keyin

- berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasi.

O'zaro tartibga solish ikkita to'g'ri chiziq.

To'g'ri bo'lsin l 1 va l 2 ularning umumiy tenglamalari bilan berilgan

l 1: A 1 X+ B 1 da+ C 1 = 0, (1)

l 2: A 2 X+ B 2 da+ C 2 = 0.

Teorema. To'g'ri bo'lsin l 1 va l 2 (1) tenglamalar bilan berilgan. Keyin va faqat keyin:

1) l soni bo'lmaganda chiziqlar kesishadi

A 1 =lA 2, B 1 =lB 2;

2) shunday l soni mavjud bo'lganda chiziqlar mos tushadi

A 1 =lA 2, B 1 =lB 2, C 1 =lC 2;

3) shunday l son mavjud bo'lganda, chiziqlar aniq va parallel bo'ladi

A 1 =lA 2, B 1 =lB 2, C 1 lC 2.

To'g'ri chiziqlar to'plami

To'g'ri chiziqlar to'plami deyiladi ma'lum bir nuqtadan o'tadigan tekislikdagi barcha chiziqlar to'plami markaz nur.

Nur tenglamasini belgilash uchun har qanday ikkita to'g'ri chiziqni bilish kifoya l 1 va l 2 nurning markazidan o'tadi.

Affin koordinatalar sistemasidagi to'g'ri chiziqlar bo'lsin l 1 va l 2 tenglamalar bilan berilgan

l 1: A 1 x+ B 1 y+ C 1 = 0,

l 2: A 2 x+ B 2 y+ C 2 = 0.

Tenglama:

A 1 x+ B 1 y+ C + l (A 2 X+ B 2 y+ C) = 0

- l 1 va l 2 tenglamalar bilan aniqlangan chiziqlar qalamining tenglamasi.

Kelajakda koordinatalar tizimi orqali biz to'rtburchaklar koordinata tizimini tushunamiz .

Ikki to'g'ri chiziqning parallellik va perpendikulyarlik shartlari

Chiziqlar berilsin l 1 va l 2. ularning umumiy tenglamalari; = (A 1 ,B 1), = (A 2 ,B 2) – bu chiziqlarning normal vektorlari; k 1 = tga 1, k 2 = tana 2 - burchak koeffitsientlari; = ( m 1 ,n 1), (m 2 ,n 2) – yo‘nalish vektorlari. Keyin, to'g'ridan-to'g'ri l 1 va l 2 parallel bo'ladi, agar quyidagi shartlardan biri to'g'ri bo'lsa:

yoki ikkalasi ham k 1 =k 2 yoki .

Endi to'g'ri bo'lsin l 1 va l 2 perpendikulyar. Keyin, aniq, ya'ni A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0.

To'g'ri bo'lsa l 1 va l 2 mos ravishda tenglamalar bilan berilgan

l 1: da=k 1 x+ b 1 ,

l 2: da=k 2 x+ b 2 ,

keyin tana 2 = tan(90º+a) = .

Bundan kelib chiqadi

Nihoyat, agar va yo'nalish vektorlari to'g'ri bo'lsa, ^, ya'ni

m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0

Oxirgi munosabat ikki tekislikning perpendikulyarligi uchun zarur va yetarli shartni ifodalaydi.

Ikki to'g'ri chiziq orasidagi burchak

Ikki to'g'ri chiziq orasidagi ph burchak ostida l 1 va l 2 biz bitta to'g'ri chiziqni boshqa to'g'ri chiziqqa parallel yoki to'g'ri kelishi uchun aylantirish kerak bo'lgan eng kichik burchakni tushunamiz, ya'ni 0 £ ph £

Chiziqlar umumiy tenglamalar bilan berilsin. Bu aniq

cosph =

Endi to'g'ri bo'lsin l 1 va l 2 nishab koeffitsientli tenglamalar bilan berilgan k 1 dyuym k mos ravishda 2. Keyin

Ko'rinib turibdiki, ya'ni ( X-X 0) + B( da-da 0) + C( z-z 0) = 0

Qavslarni ochib D= -A ni belgilaymiz x 0 - V da 0 - C z 0 . olamiz

A x+B y+ C z+ D = 0 (*)

- umumiy shakldagi tekislik tenglamasi yoki umumiy tekislik tenglamasi.

3.1 teorema Chiziqli tenglama(*) (A 2 +B 2 +C 2 ≠ 0) tekislikning tenglamasi va aksincha, tekislikning har qanday tenglamasi chiziqli.

1) D = 0, keyin tekislik koordinatadan o'tadi.

2) A = 0, u holda tekislik OX o'qiga parallel

3) A = 0, B = 0, u holda tekislik OXY tekisligiga parallel.

Tenglamadagi barcha koeffitsientlar noldan farqli bo'lsin.

- segmentlardagi tekislik tenglamasi. |a|, |b|, |c| raqamlari da tekislik bilan kesilgan segmentlarning qiymatlarini ko'rsating koordinata o'qlari.

Va biz buni batafsil tahlil qilamiz maxsus turdagi chiziq tenglamalari - . To'g'ri chiziq tenglamasining segmentlardagi shaklidan boshlaymiz va misol keltiramiz. Shundan so'ng, biz segmentlardagi to'g'ri chiziq tenglamasi bilan berilgan to'g'ri chiziqni qurishga e'tibor qaratamiz. Xulosa qilib aytganda, biz chiziqning to'liq umumiy tenglamasidan segmentlardagi chiziq tenglamasiga o'tish qanday amalga oshirilishini ko'rsatamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Segmentlardagi chiziq tenglamasi - tavsif va misol.

Oxy samolyotda o'rnatilsin.

Segmentlardagi chiziq tenglamasi to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi tekislikda Oxy ko'rinishga ega bo'lib, bu erda a va b nolga teng bo'lmagan haqiqiy sonlardir.

Segmentlardagi chiziq tenglamasi bu nomni olgani bejiz emas - a va b raqamlarining mutlaq qiymatlari chiziq Ox va Oy koordinata o'qlarida kesilgan segmentlarning uzunliklariga teng. kelib chiqishi.

Keling, ushbu fikrga aniqlik kiritaylik. Biz bilamizki, chiziqdagi istalgan nuqtaning koordinatalari shu chiziq tenglamasini qanoatlantiradi. Keyin segmentlardagi chiziq tenglamasi bilan aniqlangan chiziq nuqtalardan o'tishi aniq ko'rinadi va chunki Va . Va nuqtalar Ox va Oy koordinata o'qlarida aniq joylashgan bo'lib, a va b birliklari bilan koordinatalarning kelib chiqishidan uzoqda joylashgan. A va b raqamlarining belgilari segmentlarni yotqizish kerak bo'lgan yo'nalishni ko'rsatadi. "+" belgisi segmentning koordinata o'qining musbat yo'nalishi bo'yicha chizilganligini bildiradi, "-" belgisi aksincha.

Keling, yuqoridagilarning barchasini tushuntirib beradigan sxematik chizmani tasvirlaylik. Bu segmentlardagi chiziq tenglamasidagi a va b raqamlarining qiymatlariga qarab, Oxy sobit to'rtburchaklar koordinata tizimiga nisbatan chiziqlarning joylashishini ko'rsatadi.

Endi ma'lum bo'ldiki, to'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasi bu to'g'ri chiziqni Oxy to'rtburchaklar koordinata tizimida qurishni osonlashtiradi. Shakl segmentlarida to'g'ri chiziq tenglamasi bilan berilgan to'g'ri chiziqni qurish uchun tekislikdagi to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi nuqtalarni belgilashingiz kerak va keyin ularni o'lchagich yordamida to'g'ri chiziq bilan bog'lashingiz kerak.

Keling, misol keltiraylik.

Misol.

Shaklning segmentlarida chiziq tenglamasi bilan berilgan to'g'ri chiziqni tuzing.

Yechim.

Kesimlardagi chiziqning berilgan tenglamasiga asoslanib, chiziq nuqtalardan o'tishi aniq . Biz ularni belgilaymiz va ularni to'g'ri chiziq bilan bog'laymiz.

Chiziqning umumiy tenglamasini segmentlardagi chiziq tenglamasiga qisqartirish.

Tekislikdagi chiziqqa oid ba'zi masalalarni yechishda, segmentlardagi chiziq tenglamasi bilan ishlash qulay. Biroq, tekislikdagi chiziqni aniqlaydigan boshqa turdagi tenglamalar mavjud. Shuning uchun, chiziqning berilgan tenglamasidan ushbu chiziq tenglamasiga segmentlarda o'tishni amalga oshirish kerak.

Ushbu paragrafda chiziqning to'liq umumiy tenglamasi berilgan bo'lsa, segmentlardagi chiziq tenglamasini qanday olish mumkinligini ko'rsatamiz.

Bizga tekislikdagi chiziqning to'liq umumiy tenglamasini bilib olaylik . A, B va C nolga teng bo'lmagani uchun siz C raqamini tenglikning o'ng tomoniga ko'chirishingiz, hosil bo'lgan tenglikning ikkala tomonini -C ga bo'lishingiz va x va y uchun koeffitsientlarni maxrajlarga yuborishingiz mumkin:
.

(Oxirgi o'tishda biz tenglikdan foydalandik ).

Shunday qilib, biz to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasidan segmentlardagi to'g'ri chiziq tenglamasiga o'tdi, bu erda .

Misol.

To'g'ri to'rtburchaklar koordinatalar sistemasidagi Oksi to'g'ri chiziq tenglama bilan berilgan . Ushbu chiziq tenglamasini segmentlarga bo'lib yozing.

Yechim.

Keling, berilgan tenglikning o'ng tomoniga bir soniya harakat qilaylik: . Endi olingan tenglikni ikkala tomonga ajratamiz: . Olingan tenglikni kerakli shaklga aylantirish qoladi: . Shunday qilib biz segmentlardagi chiziqning kerakli tenglamasini oldik.

Javob:

Agar to'g'ri chiziq aniqlasa

Segmentlardagi chiziq tenglamasi

To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi berilgan bo'lsin:

To'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasi, bu erda to'g'ri chiziq mos keladigan koordinata o'qlarida kesilgan segmentlar.

Umumiy tenglama bilan berilgan to'g'ri chiziqni tuzing:

Undan biz ushbu chiziqning tenglamasini segmentlarda qurishimiz mumkin:

Tekislikdagi chiziqlarning nisbiy holati.

Bayonot 1.

To'g'ri chiziqlar uchun va tenglamalar bilan berilgan:

Tasodifiy zarur va etarli, shuning uchun:

Isbot: va mos keladi, ularning yo'nalish vektorlari va kollinear, ya'ni:

Keling, ushbu to'g'ri chiziq bilan M 0 nuqtasini olaylik, keyin:

Birinchi tenglamani ko'paytirib, ikkinchisiga (2) qo'shsak, biz hosil bo'lamiz:

Demak, (2), (3) va (4) formulalar ekvivalentdir. (2) bajarilsin, u holda sistemaning (*) tenglamalari ekvivalent bo'ladi; mos keladigan to'g'ri chiziqlar mos keladi.

Bayonot 2.

(*) tenglamalar bilan berilgan chiziqlar parallel va bir-biriga to'g'ri kelmaydi, agar:

Isbot:

Agar ular mos kelmasa ham:

Mos kelmaydigan, ya'ni Kroneker-Kapelli teoremasiga ko'ra:

Bu faqat quyidagi hollarda mumkin:

Ya'ni (5) shart bajarilganda.

Birinchi tenglik (5) bajarilganda, - ikkinchi tenglikning bajarilmasligi tizimning mos kelmasligiga olib keladi (*) chiziqlar parallel va bir-biriga mos kelmaydi.

Eslatma 1.

Polar koordinatalar tizimi.

Keling, tekislikdagi nuqtani o'rnatamiz va uni qutb deb ataymiz. Qutbdan chiqadigan nur qutb o'qi deb ataladi.

Keling, segmentlar uzunligini o'lchash uchun masshtabni tanlaylik va nuqta atrofida soat miliga teskari yo'nalishda aylanish ijobiy deb hisoblanishiga rozi bo'laylik. Har qanday nuqtani ko'rib chiqing berilgan samolyot, qutbgacha bo'lgan masofa bilan belgilang va uni qutb radiusi deb nomlang. Qutb o'qi mos keladigan tarzda aylantirilishi kerak bo'lgan burchak bilan belgilanadi va qutb burchagi deb ataladi.

Ta'rif 3.

Nuqtaning qutb koordinatalari uning qutb radiusi va qutb burchagi:

Izoh 2. qutbda. Nuqtadan tashqari ballar uchun qiymat bir muddatgacha aniqlanadi.

Dekart to'rtburchaklar koordinata tizimini ko'rib chiqaylik: qutb kelib chiqishi bilan, qutb o'qi esa musbat yarim o'q bilan mos keladi. Bu yerga. Keyin:

To'g'ri to'rtburchak dekart va qutb koordinata tizimlari o'rtasida qanday bog'liqlik bor.

Bernulli lemniskat tenglamasi. Uni qutb koordinata tizimida yozing.

Tekislikdagi chiziqning normal tenglamasi. Qutb o'qi, - koordinatali o'q bilan mos kelsin. Bo'lsin:

Unda ruxsat bering:

Nuqta uchun shart (**):

Qutb koordinata tizimidagi to'g'ri chiziq tenglamasi.

Bu erda - boshlanishdan to'g'ri chiziqqa tortilgan uzunlik, - o'qga normalning moyillik burchagi.

Tenglama (7) qayta yozilishi mumkin:

Tekislikdagi chiziqning normal tenglamasi.

Agar chiziqning umumiy tenglamasida Ax + Vu + S = 0 S ¹ 0 bo'lsa, -S ga bo'linib, biz quyidagilarni olamiz: yoki

Koeffitsientlarning geometrik ma'nosi koeffitsientdir A chiziqning Ox o'qi bilan kesishish nuqtasining koordinatasi va b– to‘g‘ri chiziqning Oy o‘qi bilan kesishgan nuqtasi koordinatasi.

Misol. x – y + 1 = 0 chiziqning umumiy tenglamasi berilgan.Ushbu chiziqning segmentlardagi tenglamasini toping.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Oddiy chiziq tenglamasi.

Ax + By + C = 0 tenglamaning ikkala tomoni chaqirilgan songa bo'linsa normallashtiruvchi omil, keyin olamiz

Xcosj + ysinj - p = 0 -

chiziqning normal tenglamasi.

Normallashtiruvchi omilning ± belgisi shunday tanlanishi kerakki, m×S< 0.

p - boshdan to'g'ri chiziqqa tushirilgan perpendikulyar uzunligi, j - Ox o'qining musbat yo'nalishi bilan bu perpendikulyar tomonidan hosil qilingan burchak.

Misol. 12x – 5y – 65 = 0 chiziqning umumiy tenglamasi berilgan.Bu chiziq uchun har xil turdagi tenglamalarni yozish talab etiladi.

Ushbu chiziqning segmentlardagi tenglamasi:

bu chiziqning qiyalik bilan tenglamasi: (5 ga bo'linadi)

Oddiy chiziq tenglamasi:

; cosj = 12/13; sinj = -5/13; p = 5.

Shuni ta'kidlash kerakki, har bir to'g'ri chiziqni segmentlarda tenglama bilan ifodalash mumkin emas, masalan, o'qlarga parallel yoki koordinatalar boshidan o'tuvchi to'g'ri chiziqlar.

Misol. To'g'ri chiziq koordinata o'qlarida teng musbat segmentlarni kesib tashlaydi. Ushbu segmentlar hosil qilgan uchburchakning maydoni 8 sm 2 bo'lsa, to'g'ri chiziq tenglamasini yozing.

To'g'ri chiziq tenglamasi ko'rinishga ega: , a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 muammoning shartlariga ko'ra mos emas.

Jami: yoki x + y – 4 = 0.

Misol. A(-2, -3) nuqtadan va koordinatadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini yozing.

To'g'ri chiziqli tenglama quyidagi ko'rinishga ega: , bu erda x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.

O'tgan chiziq tenglamasi bu nuqta

Berilgan chiziqqa perpendikulyar.

Ta'rif. M 1 (x 1, y 1) nuqtadan o'tuvchi va y = kx + b to'g'ri chiziqqa perpendikulyar bo'lgan to'g'ri chiziq tenglama bilan ifodalanadi:

Tekislikdagi to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak.

Ta'rif. Agar ikkita chiziq y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 berilgan bo'lsa, u holda bu chiziqlar orasidagi o'tkir burchak quyidagicha aniqlanadi.

Ikki chiziq parallel bo'ladi, agar k 1 = k 2 bo'lsa.

Ikki chiziq perpendikulyar bo'ladi, agar k 1 = -1/k 2 bo'lsa.

Teorema. A 1 = lA, B 1 = lB koeffitsientlari proportsional bo'lganda Ax + Bu + C = 0 va A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 to'g'ri chiziqlar parallel bo'ladi. Agar ham S 1 = ly bo'lsa, unda chiziqlar mos keladi.

Ikki chiziqning kesishish nuqtasining koordinatalari bu chiziqlar tenglamalari tizimining yechimi sifatida topiladi.

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa.

Teorema. Agar M(x 0, y 0) nuqta berilsa, Ax + B + C = 0 chiziqqa masofa quyidagicha aniqlanadi.

Isbot. M nuqtadan berilgan to‘g‘ri chiziqqa tushirilgan perpendikulyarning asosi M 1 (x 1, y 1) nuqta bo‘lsin. Keyin M va M nuqtalari orasidagi masofa 1:

x 1 va y 1 koordinatalarini tenglamalar tizimini yechish orqali topish mumkin:

Tizimning ikkinchi tenglamasi orqali o'tadigan chiziq tenglamasi berilgan nuqta M 0 berilgan to'g'ri chiziqqa perpendikulyar.

Agar tizimning birinchi tenglamasini quyidagi shaklga aylantirsak:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + 0 ga + C = 0,

keyin hal qilib, biz quyidagilarni olamiz:

Ushbu ifodalarni (1) tenglamaga almashtirib, biz quyidagilarni topamiz:

Teorema isbotlangan.

Misol . Chiziqlar orasidagi burchakni aniqlang: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2 tgj = ; j = p/4.

Misol. 3x – 5y + 7 = 0 va 10x + 6y – 3 = 0 chiziqlar perpendikulyar ekanligini ko‘rsating.

Biz topamiz: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, shuning uchun chiziqlar perpendikulyar.

Misol. A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) uchburchakning uchlari berilgan. C uchidan chizilgan balandlik tenglamasini toping.

AB tomonining tenglamasini topamiz: ; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Kerakli balandlik tenglamasi quyidagi shaklga ega: Ax + By + C = 0 yoki y = kx + b.

k =. Keyin y =. Chunki balandlik C nuqtadan o'tadi, u holda uning koordinatalari bu tenglikni qanoatlantiradi: bu erdan b = 17. Jami: .

Javob: 3x + 2y – 34 = 0.

Ikkinchi tartibli egri chiziqlar.

Ikkinchi tartibli egri chiziq tenglama bilan berilishi mumkin

Axe 2 + 2Bhu + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.

Koordinatalar tizimi mavjud (kartezian to'rtburchaklar bo'lishi shart emas), unda bu tenglama quyida keltirilgan shakllardan birida ifodalanishi mumkin.

1) - ellips tenglamasi.

2) - "xayoliy" ellipsning tenglamasi.

3) - giperbola tenglamasi.

4) 2 x 2 – c 2 y 2 = 0 – kesishuvchi ikkita chiziq tenglamasi.

5) y 2 = 2px – parabolaning tenglamasi.

6) y 2 – a 2 = 0 – ikkita parallel chiziq tenglamasi.

7) y 2 + a 2 = 0 - ikkita "xayoliy" parallel chiziqlar tenglamasi.

8) y 2 = 0 - bir-biriga mos keladigan juft chiziqlar.

9) (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 – aylana tenglamasi.

Doira.

Aylanada (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 markaz koordinatalariga (a; b) ega.

Misol. Aylana markazining koordinatalari va radiusini toping, agar uning tenglamasi quyidagi shaklda berilgan bo'lsa:

2x 2 + 2y 2 – 8x + 5y – 4 = 0.

Doira markazi va radiusining koordinatalarini topish uchun ushbu tenglamani yuqorida 9-bandda ko'rsatilgan shaklga keltirish kerak. Buning uchun to'liq kvadratlarni tanlang:

x 2 + y 2 – 4x + 2,5y – 2 = 0

x 2 – 4x + 4 –4 + y 2 + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(x – 2) 2 + (y + 5/4) 2 – 25/16 – 6 = 0

(x – 2) 2 + (y + 5/4) 2 = 121/16

Bu yerdan O(2; -5/4); R = 11/4.

Ellips.

Ta'rif. Ellips tenglama bilan berilgan egri chiziq deyiladi.

Ta'rif. Fokuslar ellipsning istalgan nuqtasigacha bo'lgan masofalar yig'indisi doimiy qiymat bo'lgan bunday ikkita nuqta deyiladi.

F 1, F 2 - fokuslar. F 1 = (c; 0); F 2 (-c; 0)

c – fokuslar orasidagi masofaning yarmi;

a - yarim katta o'q;

b - yarim kichik o'q.

Teorema. Ellipsning fokus uzunligi va yarim o'qlari quyidagilar bilan bog'liq:

a 2 = b 2 + c 2.

Isbot: Agar M nuqta ellipsning vertikal o'q bilan kesishgan joyida bo'lsa, r 1 + r 2= 2 (Pifagor teoremasi bo'yicha). Agar M nuqta ellipsning gorizontal o'qi bilan kesishmasida bo'lsa, r 1 + r 2 = a – c + a + c. Chunki ta'rifi bo'yicha miqdor r 1 + r 2 doimiy qiymat bo'lsa, tenglashtirib, biz quyidagilarni olamiz:

a 2 = b 2 + c 2

r 1 + r 2 = 2a.

Ta'rif. Ellipsning shakli fokus uzunligining asosiy o'qqa nisbati bo'lgan xarakteristikaga ko'ra aniqlanadi va deyiladi. ekssentriklik.

Chunki Bilan< a, то е < 1.

Ta'rif. k = b/a miqdori deyiladi siqish nisbati ellips va 1 – k = (a – b)/a miqdori deyiladi siqilish ellips.

Siqilish nisbati va ekssentriklik nisbati bilan bog'liq: k 2 = 1 – e 2.

Agar a = b (c = 0, e = 0, fokuslar birlashtirilsa), u holda ellips aylanaga aylanadi.

Agar M(x 1, y 1) nuqta uchun shart bajarilsa: u holda u ellips ichida joylashgan, agar , nuqta ellipsdan tashqarida joylashgan.

Teorema. Ellipsga tegishli bo'lgan ixtiyoriy M(x, y) nuqta uchun quyidagi munosabatlar to'g'ri bo'ladi::

R 1 = a - ex, r 2 = a + ex.

Isbot. Yuqorida r 1 + r 2 = 2a ekanligi ko'rsatilgan. Bundan tashqari, geometrik fikrlardan biz quyidagilarni yozishimiz mumkin:

Kvadratchalash va shunga o'xshash atamalarni keltirgandan so'ng:

Xuddi shunday r 2 = a + ex ekanligi isbotlangan. Teorema isbotlangan.

Ellips deb ataladigan ikkita to'g'ri chiziq bilan bog'langan direktorlar. Ularning tenglamalari:

X = a/e; x = -a/e.

Teorema. Nuqta ellipsda yotishi uchun fokusga masofaning mos keladigan direktrisaga nisbati ekssentriklik e ga teng bo'lishi zarur va etarli.

Misol. Tenglama bilan berilgan ellipsning chap fokus va pastki uchidan o‘tuvchi chiziq tenglamasini yozing:

1) Pastki uchining koordinatalari: x = 0; y2 = 16; y = -4.

2) Chap fokusning koordinatalari: c 2 = a 2 – b 2 = 25 – 16 = 9; c = 3; F 2 (-3; 0).

3) Ikki nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasi:

Misol. Ellipsning fokuslari F 1 (0; 0), F 2 (1; 1) va katta o‘qi 2 bo‘lsa, uning tenglamasini yozing.

Ellips tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega: . Fokus masofasi:

2c = shunday a 2 – b 2 = c 2 = ½

2a = 2 shart bo'yicha, shuning uchun a = 1, b =

Giperbola.

Ta'rif. Giperbola- berilgan ikkita nuqtadan masofalar farqining moduli deyilgan tekislikning nuqtalari to'plami nayranglar fokuslar orasidagi masofadan kamroq doimiy qiymatdir.

Ta'rifi bo'yicha ïr 1 – r 2 ï= 2a. F 1, F 2 - giperbolaning fokuslari. F 1 F 2 = 2c.

Giperbolada ixtiyoriy M(x, y) nuqta tanlaylik. Keyin:

c 2 - a 2 = b 2 ni belgilaymiz (geometrik jihatdan bu miqdor kichik yarim o'qdir)

Biz giperbolaning kanonik tenglamasini oldik.

Giperbola o'choqlarni bog'laydigan segmentning o'rtasiga va koordinata o'qlariga nisbatan simmetrikdir.

2a o'qi giperbolaning haqiqiy o'qi deb ataladi.

2b o'qi giperbolaning xayoliy o'qi deb ataladi.

Giperbolada ikkita asimptota bor, ularning tenglamalari

Ta'rif. O'zaro munosabatlar deyiladi ekssentriklik giperbolalar, bu erda c fokuslar orasidagi masofaning yarmi va haqiqiy yarim o'qdir.

c 2 – a 2 = b 2 ekanligini hisobga olib:

Agar a = b, e = bo'lsa, giperbola deyiladi teng tomonli (teng tomonli).

Ta'rif. Giperbolaning haqiqiy o'qiga perpendikulyar bo'lgan va markazga nisbatan simmetrik ravishda undan a/e masofada joylashgan ikkita to'g'ri chiziq deyiladi. direktorlar giperbola. Ularning tenglamalari: .

Teorema. Agar r giperbolaning ixtiyoriy M nuqtasidan istalgan fokusgacha bo'lgan masofa bo'lsa, d - bir xil nuqtadan ushbu fokusga mos keladigan direktrisagacha bo'lgan masofa, u holda r/d nisbati ekssentrisitetga teng doimiy qiymatdir.

Isbot. Keling, giperbolani sxematik tarzda tasvirlaylik.

Aniq geometrik munosabatlardan biz yozishimiz mumkin:

a/e + d = x, shuning uchun d = x - a/e.

(x – c) 2 + y 2 = r 2

Kanonik tenglamadan: , b 2 = c 2 – a 2 ni hisobga olgan holda:

Keyin, chunki s/a = e, keyin r = ex – a.

Giperbolaning chap novdasi uchun dalil shunga o'xshash. Teorema isbotlangan.

Misol. Cho‘qqilari va o‘choqlari ellipsning mos cho‘qqi va fokuslarida joylashgan giperbolaning tenglamasini toping.

Ellips uchun: c 2 = a 2 – b 2.

Giperbola uchun: c 2 = a 2 + b 2.

Giperbola tenglamasi: .

Misol. Giperbola uchun tenglamani yozing, agar uning ekssentrisiteti 2 bo'lsa va uning o'choqlari ellips fokuslari bilan mos tushsa, tenglama parabolaning parametri bo'ladi. Parabolaning kanonik tenglamasini chiqaramiz.

Geometrik munosabatlardan: AM = MF; AM = x + p/2;

MF 2 = y 2 + (x – p/2) 2

(x + p/2) 2 = y 2 + (x – p/2) 2

x 2 +xp + p 2 /4 = y 2 + x 2 – xp + p 2 /4

Directrix tenglamasi: x = -p/2.

Misol . y 2 = 8x parabolada direktrisadan masofasi 4 ga teng nuqtani toping.

Parabola tenglamasidan p = 4 ekanligini topamiz.

r = x + p/2 = 4; shuning uchun:

x = 2; y2 = 16; y = ±4. Qidirilgan nuqtalar: M 1 (2; 4), M 2 (2; -4).

Misol. Qutbli koordinatalar tizimidagi egri chiziq tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega:

Dekart toʻrtburchaklar koordinata sistemasidagi egri chiziq tenglamasini toping, egri chiziq turini aniqlang, fokuslar va ekssentrisitetni toping. Egri chiziqni sxematik tarzda chizib oling.

Dekart to'rtburchaklar va qutbli koordinatalar sistemalari orasidagi bog'lanishdan foydalanamiz: ;

Biz giperbolaning kanonik tenglamasini oldik. Tenglamadan ko'rinib turibdiki, giperbola Ox o'qi bo'ylab 5 ga chapga siljigan, katta yarim o'q a 4 ga, kichik yarim o'q b 3 ga teng, shundan c 2 = a ni olamiz. 2 + b 2; c = 5; e = c/a = 5/4.

Fokuslar F 1 (-10; 0), F 2 (0; 0).

Shu giperbolaning grafigini tuzamiz.

Vazifa - segment oxirining berilgan koordinatalari orqali o'tadigan chiziqni qurish.

Biz segmentning degenerativ emasligiga ishonamiz, ya'ni. noldan kattaroq uzunlikka ega (aks holda, albatta, u orqali cheksiz ko'p turli xil chiziqlar o'tadi).

Ikki o'lchovli kassa

Bir segment berilsin, ya'ni. uning , , , uchlari koordinatalari ma'lum.

Qurilish uchun talab qilinadi tekislikdagi chiziq tenglamasi, bu segmentdan o'tib, ya'ni. to'g'ri chiziq tenglamasida , , koeffitsientlarini toping:

E'tibor bering, berilgan segmentdan o'tadigan talab qilinadigan uchliklar cheksiz ko'p: Barcha uchta koeffitsientni ixtiyoriy nolga teng bo'lmagan songa ko'paytirishingiz va bir xil to'g'ri chiziqni olishingiz mumkin. Shuning uchun bizning vazifamiz shu uchliklardan birini topishdir.

Quyidagi koeffitsientlar to'plami mos kelishini tekshirish oson (ushbu ifodalarni va nuqtalarning koordinatalarini to'g'ri chiziq tenglamasiga qo'yish orqali):

Butun son

To'g'ri chiziqni qurishning ushbu usulining muhim afzalligi shundaki, agar uchlarning koordinatalari butun son bo'lsa, natijada olingan koeffitsientlar ham bo'ladi. butun sonlar. Ba'zi hollarda bu geometrik amallarni haqiqiy sonlarga umuman murojaat qilmasdan bajarishga imkon beradi.

Biroq, kichik bir kamchilik bor: bir xil chiziq uchun koeffitsientlarning turli uchliklarini olish mumkin. Bunga yo'l qo'ymaslik uchun, lekin butun son koeffitsientlaridan uzoqlashmaslik uchun siz tez-tez chaqiriladigan quyidagi texnikadan foydalanishingiz mumkin ratsion. , , sonlarining eng katta umumiy bo‘luvchisini topamiz, barcha uch koeffitsientni unga bo‘lib, so‘ngra ishorani normallashtiramiz: agar yoki bo‘lsa, barcha uch koeffitsientni ga ko‘paytiramiz. Natijada, biz bir xil chiziqlar uchun koeffitsientlarning bir xil uchliklarini olamiz, degan xulosaga kelamiz, bu esa chiziqlarning tengligini tekshirishni osonlashtiradi.

Haqiqiy baholi holat

Haqiqiy raqamlar bilan ishlashda siz doimo xatolardan xabardor bo'lishingiz kerak.

Biz olgan koeffitsientlar asl koordinatalar tartibida, koeffitsient allaqachon ularning kvadrati tartibida. Bular allaqachon juda katta raqamlar bo'lishi mumkin va, masalan, chiziqlar kesishganda, ular yanada kattalashadi, bu esa tartibning asl koordinatalarida ham katta yaxlitlash xatolariga olib kelishi mumkin.

Shuning uchun, haqiqiy sonlar bilan ishlashda, deb ataladigan ishlarni bajarish tavsiya etiladi normallashtirish to'g'ridan-to'g'ri: ya'ni koeffitsientlarni shunday qilish . Buning uchun siz raqamni hisoblashingiz kerak:

va barcha uchta koeffitsientni , , unga bo'ling.

Shunday qilib, koeffitsientlarning tartibi va endi kirish koordinatalari tartibiga bog'liq bo'lmaydi va koeffitsient kirish koordinatalari bilan bir xil tartibda bo'ladi. Amalda, bu hisob-kitoblarning aniqligini sezilarli darajada yaxshilashga olib keladi.

Nihoyat, eslatib o'tamiz solishtirish to'g'ri chiziqlar - axir, bir xil to'g'ri chiziq uchun bunday normalizatsiyadan so'ng, faqat ikkita uchlik koeffitsientlarni olish mumkin: ko'paytirishgacha. Shunga ko'ra, agar belgini hisobga olgan holda qo'shimcha normallashtirishni amalga oshirsak (agar yoki bo'lsa, u holda ga ko'paytirilsa), natijada olingan koeffitsientlar yagona bo'ladi.