Fazodagi to'g'ri chiziq tenglamalari. Ikki tekislikning kesishishi bilan aniqlangan to'g'ri chiziq Tekisliklarning kesishishini qanday topish mumkin

Ushbu onlayn kalkulyatordan foydalanib, siz samolyotlarning kesishish chizig'ini topishingiz mumkin. Tushuntirishlar bilan batafsil yechim berilgan. Tekisliklarning kesishish chizig'i tenglamasini topish uchun tekisliklar tenglamalariga koeffitsientlarni kiriting va "Yechish" tugmasini bosing. Quyidagi nazariy qismga va raqamli misollarga qarang.

×

Ogohlantirish

Barcha hujayralar tozalansinmi?

Yopish Tozalash

Ma'lumotlarni kiritish bo'yicha ko'rsatmalar. Raqamlar butun sonlar (misollar: 487, 5, -7623 va boshqalar), oʻnli (masalan, 67., 102.54 va boshqalar) yoki kasrlar sifatida kiritiladi. Kasr a/b shaklida kiritilishi kerak, bu erda a va b (b>0) butun yoki o'nlik sonlardir. Misollar 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 va boshqalar.

Tekisliklarning kesishish chizig'i - nazariya, misollar va echimlar

Kosmosdagi ikkita tekislik parallel, mos kelishi yoki kesishishi mumkin. Ushbu maqolada biz ikkita tekislikning nisbiy holatini aniqlaymiz va agar bu tekisliklar kesishsa, biz tekisliklarning kesishish chizig'i tenglamasini olamiz.

Dekart to'rtburchaklar koordinatalar tizimi berilsin Oxyz va tekisliklar ushbu koordinatalar tizimida aniqlansin α 1 va α 2:

Vektorlardan beri n 1 va n 2 to'g'ri chiziqli bo'lsa, unda shunday raqam mavjud λ ≠0, tenglik bajariladi n 1 =λ n 2, ya'ni. A 1 =λ A 2 , B 1 =λ B 2 , C 1 =λ C 2 .

(2) tenglamani ko'paytirish λ , biz olamiz:

Agar tenglik D 1 =λ D 2, keyin samolyot α 1 va α 2 mos keladi, agar D 1 ≠λ D 2, keyin samolyotlar α 1 va α 2 parallel, ya'ni kesishmaydi.

2. Oddiy vektorlar n 1 va n 2 ta samolyot α 1 va α 2 kolinear emas (2-rasm).

Agar vektorlar n 1 va n 2 kollinear emas, u holda (1) va (2) chiziqli tenglamalar tizimini yechamiz. Buning uchun biz erkin shartlarni tenglamalarning o'ng tomoniga o'tkazamiz va tegishli matritsa tenglamasini tuzamiz:

Qayerda x 0 , y 0 , z 0 , m, p, l haqiqiy sonlar va t− o‘zgaruvchan.

Tenglik (5) quyidagi shaklda yozilishi mumkin:

Misol 1. Tekisliklarning kesishish chizig'ini toping α 1 va α 2:

(9) ga nisbatan chiziqli tenglamalar tizimini yechamiz x, y, z. Tizimni hal qilish uchun biz kengaytirilgan matritsani tuzamiz:

Ikkinchi bosqich. Teskari Gauss harakati.

Element ustidagi matritsaning 2-ustunining elementlarini istisno qilaylik a 22. Buning uchun 1-qatorni −2/5 ga koʻpaytirilgan 2-qator bilan qoʻshing:

Biz yechimni olamiz:

Biz tekisliklarning kesishish chizig'i tenglamasini oldik α 1 va α 2 parametrik shaklda. Keling, uni kanonik shaklda yozamiz.

Javob. Tekisliklarning kesishish chizig'i tenglamasi α 1 va α 2 shunday ko'rinadi:

α 1 normal vektorga ega n 1 ={A 1 , B 1 , C 1 )=(1, 2, 7). Samolyot α 2 normal vektorga ega n 2 ={A 2 , B 2 , C 2 }={2, 4, 14}.

n 1 va n 2 ta chiziqli ( n 1 ni ko'paytirish orqali olish mumkin n 2 raqami 1/2), keyin tekislik α 1 va α 2 parallel yoki mos keladi.

α 2 ni 1/2 raqamiga ko'paytiring:

Yechim. Avval bu tekisliklarning nisbiy o'rnini aniqlaylik. Samolyot α 1 normal vektorga ega n 1 ={A 1 , B 1 , C 1 )=(5, −2, 3). Samolyot α 2 normal vektorga ega n 2 ={A 2 , B 2 , C 2 }={15, −6, 9}.

Chunki yo'nalish vektorlari n 1 va n 2 ta chiziqli ( n 1 ni ko'paytirish orqali olish mumkin n 2 raqami 1/3), keyin tekislik α 1 va α 2 parallel yoki mos keladi.

Tenglamani nolga teng bo'lmagan songa ko'paytirsangiz, tenglama o'zgarmaydi. Keling, tekislik tenglamasini o'zgartiramiz α 2 ni 1/3 soniga ko'paytiring:

(17) va (19) tenglamalarning normal vektorlari bir-biriga to'g'ri kelganligi va erkin hadlari teng bo'lgani uchun tekisliklar α 1 va α 2 ta o'yin.

To'g'ri chiziqning kanonik tenglamalari kiritilsin

koeffitsient noldan farq qiladi, ya'ni to'g'ri chiziq xOy tekisligiga parallel emas. Keling, ushbu tenglamalarni quyidagi shaklda alohida yozamiz:

Bizning shartimizda (6) tenglamalar to'g'ri chiziqni to'liq aniqlaydi. Ularning har biri alohida tekislikni ifodalaydi, birinchisi Oy o'qiga, ikkinchisi esa o'qga parallel.

Shunday qilib, (6) ko'rinishdagi tenglamalar bilan to'g'ri chiziqni ifodalab, biz uni bu to'g'ri chiziqni xOz va yOz koordinata tekisligiga proyeksiyalovchi ikkita tekislikning kesishmasi deb qaraymiz. Tekislikda ko'rib chiqilgan (6) tenglamalarning birinchisi berilgan to'g'ri chiziqning ushbu tekislikka proyeksiyasini aniqlaydi; xuddi shunday tekislikda ko'rib chiqilayotgan (6) tenglamalarning ikkinchisi berilgan to'g'ri chiziqning yOz tekisligidagi proyeksiyasini aniqlaydi. Demak, to’g’ri chiziq tenglamalarini (6) ko’rinishda berish uning xOz va yOz koordinata tekisligidagi proyeksiyasini berishni anglatadi, deyishimiz mumkin.

Agar yo'naltiruvchi koeffitsient nolga teng bo'lsa, unda boshqa ikkita koeffitsientdan kamida bittasi, masalan, noldan farq qiladi, ya'ni to'g'ri chiziq yOz tekisligiga parallel bo'lmaydi. Bunday holda biz to'g'ri chiziqni ifodalashimiz mumkin

uni koordinata tekisliklariga proyeksiyalovchi tekisliklar tenglamalari (5) tenglamalarni shaklda yozish

Shunday qilib, har qanday to'g'ri chiziqni u orqali o'tuvchi va uni koordinata tekisliklariga proyeksiyalovchi ikkita tekislik tenglamalari orqali ifodalash mumkin. Ammo to'g'ri chiziqni aynan shunday tekisliklar juftligi bilan belgilash umuman shart emas.

Har bir to'g'ri chiziqdan son-sanoqsiz samolyotlar o'tadi. Ularning istalgan ikkitasi kesishib, uni kosmosda aniqlaydi. Binobarin, har qanday ikkita bunday tekislikning tenglamalari birgalikda ko'rib chiqilib, ushbu chiziq tenglamalarini ifodalaydi.

Umuman olganda, umumiy tenglamalar bilan bir-biriga parallel bo'lmagan har qanday ikkita tekislik

ularning kesishuvining to‘g‘ri chizig‘ini aniqlang.

Birgalikda ko'rib chiqiladigan (7) tenglamalar chiziqning umumiy tenglamalari deyiladi.

(7) to'g'ri chiziqning umumiy tenglamalaridan uning kanonik tenglamalariga o'tish mumkin. Buning uchun biz chiziqning qaysidir nuqtasini va yo'nalish vektorini bilishimiz kerak.

Berilgan tenglamalar sistemasidan koordinatalardan birini ixtiyoriy tanlab, keyin qolgan ikkita koordinataning hadlaridan foydalangan holda ikkita tenglama sistemasini yechish orqali nuqtaning koordinatalarini osongina topishimiz mumkin.

To'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorini topish uchun shuni ta'kidlaymizki, bu tekisliklarning kesishish chizig'i bo'ylab yo'naltirilgan bu vektor ushbu tekisliklarning ikkala normal vektoriga perpendikulyar bo'lishi kerak. Aksincha, perpendikulyar har bir vektor ikkala tekislikka, demak, berilgan chiziqqa parallel.

Lekin vektor mahsuloti ham shu xususiyatga ega. Shuning uchun bu tekisliklarning normal vektorlarining vektor ko'paytmasini to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori sifatida olish mumkin.

Misol 1. Chiziq tenglamasini kanonik shaklga keltiring

Keling, koordinatalardan birini o'zboshimchalik bilan tanlaylik. Keling, masalan, . Keyin

Shunday qilib, biz chiziqda yotgan nuqtani (2, 0, 1) topdik,

Endi vektorlarning vektor ko'paytmasini topib, to'g'ri chiziqning yo'nalish vektorini olamiz.Demak, kanonik tenglamalar quyidagicha bo'ladi:

Izoh. (7) ko'rinishdagi umumiy to'g'ri chiziq tenglamalaridan vektor usuliga murojaat qilmasdan kanoniklarga o'tishingiz mumkin.

Keling, avvalo tenglamalar haqida bir oz batafsilroq to'xtalib o'tamiz

Ulardan x va y ni orqali ifodalaylik. Keyin biz olamiz:

qaerda bo'lishi kerak

(6) tenglamalar tekislikdagi proyeksiyalardagi to'g'ri chiziqli tenglamalar deyiladi

M va N konstantalarining geometrik ma'nosini aniqlaymiz: M - berilgan chiziqning koordinata tekisligiga proyeksiyasining burchak koeffitsienti (bu proyeksiya burchagining Oz o'qi bilan tangensi), N - burchak koeffitsienti. bu to'g'ri chiziqning koordinata tekisligiga proyeksiyasining (bu proyeksiya burchagining Oz o'qi bilan tangensi). Shunday qilib, raqamlar berilgan to'g'ri chiziqning ikkita koordinata tekisligiga proyeksiyalari yo'nalishlarini aniqlaydi, ya'ni ular berilgan to'g'ri chiziqning o'zi yo'nalishini ham tavsiflaydi. Shuning uchun M va N sonlari berilgan chiziqning burchak koeffitsientlari deyiladi.

Konstantalarning geometrik ma'nosini bilish uchun (6) tenglamalarga to'g'ri chiziq qo'yamiz, shundan keyin hosil bo'ladi: ya'ni nuqta berilgan to'g'ri chiziqda yotadi. Ko'rinib turibdiki, bu nuqta bu to'g'ri chiziqning tekislik bilan kesishgan nuqtasidir.Demak, bu to'g'ri chiziqning koordinata tekisligidagi izining koordinatalari.

Endi proyeksiya tenglamalaridan kanonik tenglamalarga o'tish oson. Masalan, (6) tenglamalar berilsin. Ushbu tenglamalarni echib, biz quyidagilarni topamiz:

undan kanonik tenglamalarni to'g'ridan-to'g'ri shaklda olamiz

2-misol. Chiziqning kanonik tenglamalarini keltiring

tekislikdagi proyeksiyalardagi tenglamalarga

Ushbu tenglamalarni shaklda qayta yozamiz

Ushbu tenglamalarning birinchisini x uchun, ikkinchisini esa y uchun yechib, proyeksiyalarda kerakli tenglamalarni topamiz:

3-misol. Tenglamalarni teskari gaplarda keltiring

kanonik shaklga.

Ushbu tenglamalarni echib, biz quyidagilarni olamiz:

Vazifa talab qiladi ikkita tekislikning kesishish chizig'ini toping va ulardan birining haqiqiy hajmini aniqlang tekis-parallel harakat usuli bilan.

Chizma geometriyadagi bunday klassik masalani hal qilish uchun siz quyidagi nazariy materialni bilishingiz kerak:

— berilgan koordinatalarda kompleks chizmaga fazo nuqtalarining proyeksiyalarini chizish;

— murakkab chizmada tekislikni, umumiy va xususiy tekislikni ko'rsatish usullari;

— samolyotning asosiy chiziqlari;

— toʻgʻri chiziqning tekislik bilan kesishish nuqtasini aniqlash (topish "uchrashuv nuqtalari");

— tekis figuraning tabiiy hajmini aniqlash uchun tekis-parallel harakat usuli;

— chizmada toʻgʻri chiziqlar va tekisliklarning koʻrinishini raqobat nuqtalari yordamida aniqlash.

Muammoni hal qilish tartibi

1. Nuqta koordinatalaridan foydalangan holda "Tayinlash" variantiga ko'ra, biz uchburchaklar shaklida ko'rsatilgan murakkab chizmada ikkita tekislikni chizamiz. ABC(A', B', C'; A, B, C) va DKE(D', K', E'; D, K, E) ( 1.1-rasm).

1.1-rasm

2 . Kesishish chizig'ini topish uchun biz foydalanamiz proyeksiya tekisligi usuli. Uning mohiyati shundaki, birinchi tekislikning (uchburchak) bir tomoni (chiziq) olinadi va proyeksiyalovchi tekislikka o'raladi. Bu chiziqning ikkinchi uchburchak tekisligi bilan kesishish nuqtasi aniqlanadi. Ushbu vazifani yana takrorlaymiz, lekin ikkinchi uchburchakning chizig'i va birinchi uchburchakning tekisligi uchun biz ikkinchi kesishish nuqtasini aniqlaymiz. Olingan nuqtalar bir vaqtning o'zida ikkala tekislikka tegishli bo'lganligi sababli, ular ushbu tekisliklarning kesishish chizig'ida bo'lishi kerak. Ushbu nuqtalarni to'g'ri chiziq bilan bog'lab, biz tekisliklarning kerakli kesishish chizig'iga ega bo'lamiz.

3. Muammo quyidagicha hal qilinadi:

A) proyeksiya tekisligida o'rab oling F(F’) tomoni AB(A’ B’) proyeksiyalarning frontal tekisligidagi birinchi uchburchak V. Biz tomonlar bilan proyeksiyalovchi tekislikning kesishish nuqtalarini belgilaymiz DK Va DE ikkinchi uchburchak, ball olish 1(1’) va 2 (2’). Biz ularni aloqa liniyalari bo'ylab gorizontal proyeksiya tekisligiga o'tkazamiz H uchburchakning mos tomonlariga, nuqta 1 (1) yon tomonda DE va davr 2(2) yon tomonda DK.

1.2-rasm

b) nuqtalarning proyeksiyalarini ulash 1 va 2, biz proyeksiyalovchi tekislikning proyeksiyasiga ega bo'lamiz F. Keyin chiziqning kesishish nuqtasi AB uchburchak tekisligi bilan DKE proyeksiyalovchi tekislik proyeksiyasining kesishishi bilan birga (qoida bo'yicha) aniqlanadi. 1-2 va bir xil nomdagi chiziqning proyeksiyasi AB. Shunday qilib, biz tekisliklarning birinchi kesishish nuqtasining gorizontal proektsiyasini oldik - M, bu orqali biz (aloqa liniyalari bo'ylab loyiha) uning frontal proyeksiyasini aniqlaymiz - M’ to'g'ri chiziqda A’ B’ (1.2.a-rasm);

V) shunga o'xshash tarzda ikkinchi nuqtani topamiz. Biz uni loyihalash tekisligiga o'rab olamiz G(G) ikkinchi uchburchakning tomoni DK(DK) . Birinchi uchburchakning tomonlari bilan proyeksiyalovchi tekislikning kesishish nuqtalarini belgilaymiz A.C.VaMiloddan avvalgi gorizontal proyeksiyada, nuqtalarning proyeksiyalarini olish 3 va 4. Biz ularni frontal tekislikda mos keladigan tomonlarga loyihalashtiramiz, olamiz 3’ va 4'. Ularni to'g'ri chiziq bilan bog'lab, biz proyeksiyalovchi tekislikning proyeksiyasiga ega bo'lamiz. Keyin tekisliklarning kesishishning ikkinchi nuqtasi chiziqning kesishmasida bo'ladi 3’-4’ uchburchakning yon tomoni bilan D’ K’ , u proyeksiya tekisligiga o'ralgan edi. Shunday qilib, biz ikkinchi kesishish nuqtasining frontal proyeksiyasini oldik - N’ , aloqa liniyasi bo'ylab biz gorizontal proyeksiyani topamiz - N (1.2.b-rasm).

G) olingan nuqtalarni ulash MN(MN) Va (M’ N’) gorizontal va frontal tekisliklarda biz berilgan tekisliklarning kerakli kesishish chizig'iga egamiz.

4. Raqobat nuqtalaridan foydalanib, biz samolyotlarning ko'rinishini aniqlaymiz. Keling, bir nechta raqobatdosh nuqtalarni olaylik, masalan, 1’=5’ frontal proyeksiyada. Biz ularni gorizontal tekislikka mos keladigan tomonlarga proektsiya qilamiz va biz olamiz 1 va 5. Biz shuni ko'ramizki, nuqta 1 , yon tomonda yotish DE o'qiga nisbatan katta koordinataga ega x nuqtadan ko'ra 5 , yon tomonda yotish AIN. Shuning uchun, qoidaga ko'ra, kattaroq koordinata, nuqta 1 va uchburchakning yon tomoni D'E' frontal tekislikda ko'rinadi. Shunday qilib, gorizontal va frontal tekisliklarda uchburchakning har bir tomonining ko'rinishi aniqlanadi. Chizmalarda ko'rinadigan chiziqlar yaxlit kontur chizig'i, ko'rinmaydigan chiziqlar esa kesik chiziq shaklida chiziladi. Eslatib o'tamiz, samolyotlarning kesishish nuqtalarida ( M— N VaM’- N’ ) ko'rinishda o'zgarish bo'ladi.

1.3-rasm

R1-rasm.4 .

Diagramma qo'shimcha ravishda raqobatdosh nuqtalardan foydalangan holda gorizontal tekislikda ko'rinishni aniqlashni ko'rsatadi 3 Va 6 to'g'ri chiziqlarda DK Va AB.

5. Tekis-parallel harakat usulidan foydalanib, uchburchak tekisligining tabiiy hajmini aniqlaymiz ABC, sabab:

A) nuqta orqali belgilangan tekislikda C(C) frontalni bajaring C— F(BILAN-FVaC’- F’) ;

b) gorizontal proyeksiyada chizmaning erkin maydonida biz ixtiyoriy nuqtani olamiz (belgilaymiz) C 1, bu uchburchakning cho'qqilaridan biri ekanligini hisobga olsak (xususan, vertex C). Undan biz frontal tekislikka perpendikulyarni tiklaymiz (orqali x o'qi);

1.5-rasm

V) tekislik-parallel harakat orqali biz uchburchakning gorizontal proyeksiyasini tarjima qilamiz ABC, yangi lavozimga A 1 B 1 C 1 shunday qilib, frontal proyeksiyada u proyeksiyalovchi pozitsiyani egallaydi (to'g'ri chiziqqa aylanadi). Buning uchun: nuqtadan perpendikulyar bo'yicha C 1, frontal gorizontal proyeksiyani chetga surib qo'ying C 1 — F 1 (uzunligi l CF) bir nuqtaga erishamiz F 1 . Bir nuqtadan kompas yechimi F 1 hajmi F-A biz bir yoy tirqishini qilamiz va nuqtadan C 1 - tirqish o'lchami C.A., keyin yoy chiziqlari kesishmasida biz nuqta olamiz A 1 (uchburchakning ikkinchi uchi);

- biz ham xuddi shunday fikrni tushunamiz B 1 (nuqtadan C 1 o'lchamdagi tirqish hosil qiling C— B(57 mm) va nuqtadan F 1 hajmi F— B(90 mm) E'tibor bering, to'g'ri yechim bilan uchta nuqta mavjud A 1 F’ 1 Va B’ 1 bir xil to'g'ri chiziqda (uchburchak tomonida) yotishi kerak A 1 — B 1 ) boshqa ikki tomon BILAN 1 — A 1 Va C 1 — B 1 ularning uchlarini ulash orqali olinadi;

G) aylanish usulidan kelib chiqadiki, nuqtani biron bir proyeksiya tekisligida - konjugat tekislikda harakatlantirganda yoki aylantirganda, bu nuqtaning proyeksiyasi to'g'ri chiziqda, bizning misolimizda, to'g'ri parallel o'q bo'ylab harakatlanishi kerak. X. Keyin nuqtalardan chizamiz A’ B’ C’ frontal proyeksiyadan bu to'g'ri chiziqlar (ular nuqtalarning aylanish tekisliklari deb ataladi) va ko'chirilgan nuqtalarning frontal proyeksiyalaridan. A 1 IN 1C 1 perpendikulyarlarni tiklash (ulanish chiziqlari) ( 1.6-rasm).

1.6-rasm

Ushbu chiziqlarning mos keladigan perpendikulyarlar bilan kesishishi uchburchakning frontal proyeksiyasining yangi pozitsiyalarini beradi. ABC, xususan A’ 1 IN 1C’ 1 gorizontaldan beri proektiv (to'g'ri chiziq) bo'lishi kerak h 1 biz proyeksiyalarning frontal tekisligiga perpendikulyar chizdik ( 1.6-rasm);

5) u holda uchburchakning tabiiy o'lchamini olish uchun uning frontal proyeksiyasini gorizontal tekislikka parallel bo'lguncha aylantirish kifoya. Burilish nuqta orqali kompas yordamida amalga oshiriladi A' 1, uni aylanish markazi deb hisoblab, biz uchburchakni joylashtiramiz A’ 1 IN 1C’ 1 o'qiga parallel X, olamiz A’ 2 AT 2C’ 2 . Yuqorida aytib o'tilganidek, nuqta aylantirilganda, konjugat (hozir gorizontal) proyeksiyada ular o'qga parallel bo'lgan to'g'ri chiziqlar bo'ylab harakatlanadilar. X. Nuqtalarning frontal proyeksiyalaridan perpendikulyarlarni (ulanish chiziqlarini) chiqarib tashlash A’ 2 AT 2C’ 2 ularni mos keladigan chiziqlar bilan kesib o'tib, biz uchburchakning gorizontal proyeksiyasini topamiz ABC (A 2 AT 2C 2 ) haqiqiy o'lcham ( 1.7-rasm).

Guruch. 1.7

Menda bunday koordinatalar bilan bog'liq muammolarni hal qilish uchun barcha tayyor echimlar bor, siz sotib olishingiz mumkin

Narxi 55 rub., Frolov kitobidan tasviriy geometriya bo'yicha chizmalar to'lovdan so'ng darhol osongina yuklab olishingiz mumkin yoki men uni elektron pochta orqali sizga yuboraman. Ular ZIP arxivida turli formatlarda mavjud:
*.jpg – yaxshi o'lchamdagi 300 dpi 1 dan 1 gacha bo'lgan miqyosdagi chizmaning oddiy rangli chizmasi;
*.cdw – Kompas dasturi formati 12 va undan yuqori yoki LT versiyasi;
*.dwg va .dxf — AUTOCAD, nanoCAD dasturi formati;

O'zining ahamiyati tufayli samolyotlarning kesishishi muammosi bir qator mualliflar tomonidan "2-pozitsiya muammosi" deb ataladi.

Stereometriyadan ma'lumki, ikki tekislikning kesishish chizig'i to'g'ri chiziqdir. Oldingi dastlabki masalalarda, biz samolyotlar kesishishning alohida holatlari haqida gapirganda, biz ushbu ta'rifdan chiqdik.

Ma'lumki, u yoki bu chiziqni qurish uchun eng oddiy holatda ushbu chiziqqa tegishli ikkita nuqtani topish kerak. Tekislik izlar bilan ko'rsatilganda, bu ikki nuqta kesishuvchi tekisliklarning bir xil izlarining kesishish nuqtalari hisoblanadi.

Mustaqil ish uchun misollar

5.1-mashq

Yo'llar bilan aniqlangan tekisliklarning kesishish chiziqlarini tuzing (72-rasm):

• a) gorizontal proyeksiyalovchi I va frontal proyeksiyalovchi A;
• b) gorizontal proyeksiyalovchi Z va umumiy holat tekisligi Q;
• c) I va 0 umumiy holatdagi ikkita tekislik.

Guruch. 72

Shaklda. 73 ushbu mashqga javob beradi.

Samolyotlar mahalliy tekislik raqamlari bilan ko'rsatilgan holatlar uchun kamida ikkita turli xil echim yo'llaridan foydalanish maqsadga muvofiqdir.

Guruch. 73

Birinchi yechim umumiy tekislik bilan umumiy chiziqning uchrashish nuqtasini topish uchun uch bosqichli algoritmdan foydalanish. Ikki uchburchakning kesishish chizig'ini topish uchun uchburchaklardan biri o'zgarishsiz qoldiriladi, ikkinchisi esa aqliy ravishda alohida segmentlarga bo'linadi va ularni umumiy holatda to'g'ri chiziqlar sifatida ifodalaydi. Birinchidan, umumiy chiziqlardan birining uchburchak tekisligi bilan kesishish nuqtasini toping. Keyin ular kerakli chiziqqa tegishli boshqa etishmayotgan nuqtani topadilar. Bu xuddi shunday tarzda amalga oshiriladi, barcha tasvirlangan harakatlar ketma-ketligini takrorlaydi.

5.2-mashq

Ikkita uchburchak uchlari koordinatalari berilgan LAN Va DEK ikkinchisining diagrammasini tuzing va ularning kesishish chizig'ini toping. Diagrammada ikkala uchburchak elementlarining ko'rinishini ko'rsating: A(0, 9, 2); ?(10, 1, 16); C (23, 14, 9); D(3, 17, 18); ?(22, 11, 17); ?(12.0, 2). Uchburchaklarning kesishish chiziqlarini topish uchun birinchi navbatda to'g'ri chiziqning uchrashish nuqtasini topish tavsiya etiladi KD uchburchak bilan ABC, va keyin to'g'ri chiziqning uchrashish nuqtasi NE uchburchak bilan EDK.

Olingan diagrammaning umumiy ko'rinishi rasmda ko'rsatilgan. 74.

Ikkinchi yechim darajadagi ikkita yordamchi kesish tekisligidan foydalanish.

Kesishuvchi tekis figuralarni ikki marta yordamchi sathlar bilan kesish kerak (bir xil nom yoki qarama-qarshilik - bu muhim emas), masalan, ikkita gorizontal tekislik.

Bir martalik parchalanish ikkita kesishgan chiziqni topishga imkon berishini tushunish oson h l Va VA 2, bir ochko berish A, kerakli kesishish chizig'iga tegishli (75-rasm). Bir necha masofada yana bir shunga o'xshash yordamchi tekislikni chizish

Guruch. 74

Guruch. 75

birinchisidan, ular shunga o'xshash konstruktsiyani va yana bir nuqtani olishadi. Olingan ikkita nuqtaning bir xil nomdagi proyeksiyalarini birlashtirib, ikkita tekislikning kerakli kesishish chizig'i topiladi.

5.3-mashq

Ikkita uchburchak figura nuqtalarining berilgan koordinatalaridan foydalanib, ikkinchisining diagrammasini tuzing, buning ustiga yordamchi tekisliklardan foydalangan holda uchburchaklarning kesishish chizig‘ini tuzing. Diagrammada ikkala uchburchak elementlarining ko'rinishini ko'rsating:

ABC ga. A(16, 5, 17); Men (10, 19,

A DEF: D (24, 12, 14); ? (4, 18,

Yechilgan muammoning umumiy ko'rinishi rasmda ko'rsatilgan. 76.

5.4-mashq

Ikki tekislikning kesishish chizig’ini topish malakalarini mustahkamlash uchun algoritm bosqichlariga mos ravishda tuzilish dinamikasida yechimi berilgan masala beriladi.

Umumiy holatda joylashgan ikkita tekislikning kesishish chizig‘ini toping p - jq

ikki uchburchak bilan belgilanadi ABC Va DEF va ularning o'zaro kirib borishining ko'rinishini aniqlang (77-rasm).

Misolni yechish tomonlarning (to'g'ri chiziqlar) kesishish nuqtalarini topishga to'g'ri keladi A ABC A tomonidan berilgan umumiy tekislik bilan DEF. Ushbu misolni hal qilish algoritmi ma'lum.

Biz tomonni yakunlaymiz (to'g'ri) LAN AS yordamchi frontal proyeksiyalovchi tekislikka t _1_ P 2 (78-rasm).

Bu yordamchi tekislikning frontal izi tomonlarning proyeksiyalarini kesib o'tadi D 2 E 2 gE 2 - 1 2 va D 2 F 2 pt 2 = 2 2 1 2 va 2 2 nuqtalarda. Proyeksiyalovchi aloqa liniyalari proyeksiyalarning gorizontal tekisligidagi kesishish chizig‘ini (1 !~2 2) = n A aniqlash imkonini beradi. D X E X F ( . Keyin ishora qiling K 1 va uning proyeksiyasi K 2 chiziqning kesishish nuqtasini aniqlang AC bilan A DEF.

A tomonning kesishish nuqtasini topish algoritmini takrorlaymiz ABC Streyt Quyosh ADEF bilan. Biz quyoshni yordamchi frontal proyeksiyalovchi p_L P 2 tekisligiga o'rab olamiz (79-rasm).

3 va 4 nuqtalarning proyeksiyalarini topamiz va proyeksiyalarning gorizontal tekisligida chiziqning kesishish nuqtasining proyeksiyasini aniqlaymiz. B 1 C [ kesishish chizig'i bilan (3,-4,):

Proyeksiya aloqa liniyasi uning frontal proyeksiya nuqtasini topish imkonini beradi M 2.

Topilgan nuqtalarni ulash Ki Mi ikkita umumiy A tekislikning kesishish chizig‘ini toping ABC n A DEF = AF (80-rasm).

Yon tomonlarning ko'rinishi AABC nisbatan ADEF raqobatbardosh ochkolar yordamida aniqlanadi. Birinchidan, biz P 2 proyeksiya tekisligida geometrik figuralarning ko'rinishini aniqlaymiz. Buning uchun raqobatlashuvchi 5 va 6 bandlar orqali (5 2 = 6 2) proyeksiyalar o'qiga perpendikulyar proyeksiya aloqa chizig'ini chizish x n(81-rasm).

Gorizontal proektsiyalarga ko'ra 5 U Va 6 { 5 va 6 nuqtalar, bunda proyeksiya aloqa chizig'i mos ravishda kesishuvchi chiziqlarni kesib o'tadi. AC 4 D.F. ma'lum bo'ladiki, 6 nuqta P 2 proyeksiya tekisligidan 5 nuqtaga qaraganda uzoqroqdir. Demak, 6 nuqta to'g'ri chiziqdir. D.F. tegishli bo'lganlar P 2 proyeksiya tekisligiga nisbatan ko'rinadi. Shundan kelib chiqadiki, segment (K 2 -6 2) ko'rinmas bo'ladi. Xuddi shunday, biz A tomonlarning ko'rinishini aniqlaymiz LAN va A DEF - quyosh Va D.F. bular. segment (F 2 -8 2) ko'rinmas bo'ladi.

Ko'rinish AABC Va ADEF proyeksiya tekisligiga nisbatan P j, xuddi shunday o'rnatiladi. Kesishuvchi chiziqlarning ko'rinishini aniqlash AC * DF Va BC ±DF proyeksiyalar tekisligiga nisbatan P] raqobatdosh nuqtalar orqali 9 1 = 10 1 va 11 1 = 12 1 proyeksiya aloqa chiziqlarini perpendikulyar ravishda chizamiz. x p. Ushbu raqobatlashuvchi nuqtalarning frontal proyeksiyalariga asoslanib, biz 10 2 va 12 2 nuqtalarning proyeksiyalari proyeksiyalar tekisligidan uzoqroq ekanligini aniqlaymiz. P (. Binobarin, segmentlar (A^-UD va (M g 2 1) ko'rinmas bo'ladi. Shuning uchun ko'rinish AABC Va ADEF rasmda aniq ko'rsatilgan. 82.