Uchburchakning yon tomonini va burchagini toping. Berilgan parametrlarga muvofiq uchburchak parametrlari. Bir tomoni va ikkita burchagi berilgan uchburchakning maydoni uchun formula

Matematikada uchburchakni ko'rib chiqishda uning tomonlariga katta e'tibor beriladi. Chunki bu elementlar bu geometrik shaklni tashkil qiladi. Uchburchakning tomonlari ko'plab geometriya masalalarini yechishda ishlatiladi.

Kontseptsiyaning ta'rifi

Bir to'g'rida yotmaydigan uchta nuqtani bog'laydigan segmentlar uchburchakning tomonlari deyiladi. Ko'rib chiqilayotgan elementlar samolyotning ichki qismi deb ataladigan qismini cheklaydi geometrik shakl.

Matematiklar o'z hisob-kitoblarida geometrik figuralarning tomonlarini umumlashtirishga imkon beradi. Shunday qilib, buzilgan uchburchakda uning uchta segmenti bitta to'g'ri chiziqda yotadi.

Kontseptsiyaning o'ziga xos xususiyatlari

Uchburchakning tomonlarini hisoblash rasmning barcha boshqa parametrlarini aniqlashni o'z ichiga oladi. Ushbu segmentlarning har birining uzunligini bilib, siz uchburchakning perimetri, maydoni va hatto burchaklarini osongina hisoblashingiz mumkin.

Guruch. 1. Ixtiyoriy uchburchak.

Berilgan rasmning tomonlarini yig'ish orqali siz perimetrni aniqlashingiz mumkin.

P=a+b+c, bu yerda a, b, c uchburchakning tomonlari

Va uchburchakning maydonini topish uchun siz Heron formulasidan foydalanishingiz kerak.

$$S=\sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))$$

Bu erda p - yarim perimetr.

Berilgan geometrik figuraning burchaklari kosinus teoremasi yordamida hisoblanadi.

$$cos a=((b^2+c^2-a^2)\over(2bc))$$

Ma'nosi

Ushbu geometrik shaklning ba'zi xususiyatlari uchburchak tomonlari nisbati orqali ifodalanadi:

Uchburchakning eng kichik tomoni qarshisida uning eng kichik burchagi joylashgan.
Ko'rib chiqilayotgan geometrik figuraning tashqi burchagi tomonlardan birini kengaytirish orqali olinadi.
Uchburchakning qarama-qarshi teng burchaklari teng tomonlardir.
Har qanday uchburchakda tomonlardan biri har doim boshqa ikkita segmentning farqidan kattaroqdir. Va bu raqamning har qanday ikki tomonining yig'indisi uchinchidan kattaroqdir.

Ikki uchburchakning tengligini ko'rsatadigan belgilardan biri bu geometrik shaklning barcha tomonlari yig'indisining nisbati. Agar bu qiymatlar bir xil bo'lsa, uchburchaklar teng bo'ladi.

Uchburchakning ba'zi xususiyatlari uning turiga bog'liq. Shuning uchun, birinchi navbatda, bu raqamning tomonlari yoki burchaklarining o'lchamini hisobga olishingiz kerak.

Uchburchaklarni shakllantirish

Agar ko'rib chiqilayotgan geometrik figuraning ikki tomoni bir xil bo'lsa, bu uchburchak teng yon tomonlar deb ataladi.

Guruch. 2. Teng yon tomonli uchburchak.

Agar uchburchakning barcha segmentlari teng bo'lsa, siz teng tomonli uchburchakni olasiz.

Guruch. 3. Teng yonli uchburchak.

O'zboshimchalik bilan uchburchakni ma'lum bir tur sifatida tasniflash mumkin bo'lgan hollarda har qanday hisob-kitobni amalga oshirish qulayroqdir. Chunki u holda bu geometrik figuraning kerakli parametrini topish ancha soddalashtiriladi.

To'g'ri tanlangan trigonometrik tenglama ixtiyoriy uchburchak ko'rib chiqiladigan ko'plab muammolarni hal qilishga imkon beradi.

Biz nimani o'rgandik?

Nuqtalar bilan bog'langan va bir xil to'g'ri chiziqqa tegishli bo'lmagan uchta segment uchburchak hosil qiladi. Bu tomonlar geometrik tekislikni hosil qiladi, u maydonni aniqlash uchun ishlatiladi. Ushbu segmentlardan foydalanib, siz perimetr va burchak kabi figuraning ko'plab muhim xususiyatlarini topishingiz mumkin. Uchburchakning tomonlar nisbati uning turini topishga yordam beradi. Berilgan geometrik figuraning ba'zi xossalaridan faqat uning har bir tomonining o'lchamlari ma'lum bo'lganda foydalanish mumkin.

Mavzu bo'yicha test

Maqola reytingi

O'rtacha reyting: 4.3. Qabul qilingan umumiy baholar: 142.

Geometriyada burchak - bu bir nuqtadan chiqadigan ikkita nurdan hosil bo'lgan figura (burchakning cho'qqisi deb ataladi). Ko'pgina hollarda burchakning o'lchov birligi daraja (°) - to'liq burchak yoki bitta aylanish 360 ° ekanligini unutmang. Ko'pburchakning burchak qiymatini uning turi va boshqa burchaklarning qiymatlari bo'yicha topishingiz mumkin va agar to'g'ri burchakli uchburchak berilsa, burchakni ikki tomondan hisoblash mumkin. Bundan tashqari, burchakni transportyor yordamida o'lchash yoki grafik kalkulyator yordamida hisoblash mumkin.

Qadamlar

Ko'pburchakning ichki burchaklarini qanday topish mumkin

Ko'pburchakning tomonlar sonini hisoblang. Ko'pburchakning ichki burchaklarini hisoblash uchun birinchi navbatda uning nechta tomoni borligini aniqlash kerak. E'tibor bering, ko'pburchakning tomonlar soni uning burchaklari soniga teng.

Masalan, uchburchakning 3 tomoni va 3 ta ichki burchagi, kvadratning esa 4 tomoni va 4 ta ichki burchagi bor.

Ko'pburchakning barcha ichki burchaklarining yig'indisini hisoblang. Buning uchun quyidagi formuladan foydalaning: (n - 2) x 180. Bu formulada n - ko'pburchak tomonlari soni. Quyida tez-tez uchraydigan ko'pburchaklar burchaklarining yig'indisi keltirilgan:
- Uchburchak (3 tomoni boʻlgan koʻpburchak) burchaklarining yigʻindisi 180° ga teng.
- To'rtburchak (4 tomoni bo'lgan ko'pburchak) burchaklarining yig'indisi 360 ° ga teng.
- Beshburchak (5 tomoni boʻlgan koʻpburchak) burchaklarining yigʻindisi 540° ga teng.
- Olti burchakli (6 tomoni boʻlgan koʻpburchak) burchaklarining yigʻindisi 720° ga teng.
- Sakkizburchak (8 tomoni boʻlgan koʻpburchak) burchaklarining yigʻindisi 1080° ga teng.
Muntazam ko‘pburchakning barcha burchaklarining yig‘indisini burchaklar soniga bo‘ling. Muntazam ko'pburchak - tomonlari teng va bo'lgan ko'pburchak teng burchaklar. Masalan, teng yonli uchburchakning har bir burchagi quyidagicha hisoblanadi: 180 ÷ 3 = 60 °, kvadratning har bir burchagi quyidagicha hisoblanadi: 360 ÷ 4 = 90 °.
- Teng tomonli uchburchak va kvadrat muntazam ko'pburchakdir. Va Pentagon binosida (Vashington, AQSh) va yo'l belgisi Oddiy sakkizburchakning "to'xtash" shakli.
Noto'g'ri ko'pburchak burchaklarining umumiy yig'indisidan barcha ma'lum burchaklar yig'indisini ayiring. Agar ko'pburchakning tomonlari bir-biriga teng bo'lmasa va uning burchaklari ham bir-biriga teng bo'lmasa, birinchi navbatda ko'pburchakning ma'lum burchaklarini qo'shing. Endi ko'pburchakning barcha burchaklarining yig'indisidan olingan qiymatni ayiring - bu bilan siz noma'lum burchakni topasiz.
- Masalan, agar beshburchakning 4 ta burchagi 80°, 100°, 120° va 140° boʻlsa, quyidagi raqamlarni qoʻshing: 80 + 100 + 120 + 140 = 440. Endi bu qiymatni barcha burchaklar yigʻindisidan ayiring. beshburchakning burchaklari; bu yig'indi 540° ga teng: 540 - 440 = 100°. Shunday qilib, noma'lum burchak 100 ° ga teng.
Maslahat: ba'zi ko'pburchaklarning noma'lum burchagi, agar siz ushbu rasmning xususiyatlarini bilsangiz, hisoblanishi mumkin. Masalan, teng yonli uchburchakda ikki tomon teng va ikkita burchak teng; Paralelogrammada (to'rtburchak) qarama-qarshi tomonlar teng va qarama-qarshi burchaklar teng.

Uchburchakning ikki tomonining uzunligini o'lchang. Eng uzun tomoni to'g'ri uchburchak gipotenuza deb ataladi. Qo'shni tomon - noma'lum burchakka yaqin bo'lgan tomon. Qarama-qarshi tomon - noma'lum burchakka qarama-qarshi bo'lgan tomon. Uchburchakning noma'lum burchaklarini hisoblash uchun ikki tomonni o'lchang.

Maslahat: tenglamalarni echish uchun grafik kalkulyatordan foydalaning yoki sinuslar, kosinuslar va tangenslar qiymatlari bilan onlayn jadvalni toping.

Agar qarama-qarshi tomonni va gipotenuzani bilsangiz, burchakning sinusini hisoblang. Buning uchun qiymatlarni tenglamaga kiriting: sin(x) = qarama-qarshi tomon ÷ gipotenuza. Masalan, qarama-qarshi tomoni 5 sm, gipotenuzasi esa 10 sm.5/10 = 0,5 bo'linadi. Shunday qilib, sin(x) = 0,5, ya'ni x = sin -1 (0,5).

Uchburchak - bir chiziqda yotmaydigan uchta nuqtani bog'laydigan uchta segmentdan iborat geometrik raqam. Uchburchakni tashkil etuvchi nuqtalar uning nuqtalari deb ataladi va segmentlar yonma-yon joylashgan.

Uchburchak turiga (to'rtburchak, monoxrom va boshqalar) qarab, siz kiritilgan ma'lumotlarga va masalaning shartlariga qarab, uchburchak tomonini turli usullar bilan hisoblashingiz mumkin.

Maqola uchun tezkor navigatsiya

To'g'ri burchakli uchburchakning tomonlarini hisoblash uchun Pifagor teoremasi qo'llaniladi, unga ko'ra gipotenuzaning kvadrati summasiga teng kvadrat fut.

Agar oyoqlarni "a" va "b" va gipotenuzani "c" deb belgilasak, sahifalarni quyidagi formulalar bilan topish mumkin:

To'g'ri burchakli uchburchakning (a va b) o'tkir burchaklari ma'lum bo'lsa, uning tomonlarini quyidagi formulalar bilan topish mumkin:

Kesilgan uchburchak

Ikkala tomoni bir xil bo'lgan uchburchak teng tomonli uchburchak deyiladi.

Ikki oyoqdagi gipotenuzani qanday topish mumkin

Agar "a" harfi bir xil sahifa bilan bir xil bo'lsa, "b" - asos, "b" - asosga qarama-qarshi burchak, "a" - sahifalarni hisoblash uchun qo'shni burchak. quyidagi formulalar:

Ikki burchak va bir tomon

Har qanday uchburchakning bir sahifasi (c) va ikkita burchagi (a va b) ma'lum bo'lsa, qolgan sahifalarni hisoblash uchun sinus formulasidan foydalaniladi:

Uchinchi qiymatni topishingiz kerak y = 180 - (a + b), chunki

uchburchakning barcha burchaklarining yig'indisi 180 ° ga teng;

Ikki tomon va burchak

Agar uchburchakning ikki tomoni (a va b) va ular orasidagi burchak (y) ma'lum bo'lsa, uchinchi tomonni hisoblash uchun kosinus teoremasidan foydalanish mumkin.

To'g'ri burchakli uchburchakning perimetrini qanday aniqlash mumkin

Uchburchak uchburchak uchburchak bo'lib, ulardan biri 90 gradus, qolgan ikkitasi o'tkir. hisoblash perimetri shunday uchburchak haqida ma'lum bo'lgan ma'lumotlar miqdoriga bog'liq.

Sizga kerak bo'ladi

Ishga qarab, uchburchakning 2 ta uch tomoni, shuningdek, uning o'tkir burchaklaridan biri.

ko'rsatmalar

birinchi Usul 1. Agar barcha uchta sahifa ma'lum bo'lsa uchburchak Keyin, perpendikulyar yoki uchburchak bo'lmaganidan qat'i nazar, perimetr quyidagicha hisoblanadi: P = A + B + C, iloji bo'lsa, c - gipotenuza; a va b oyoqlardir.

ikkinchi 2-usul.

Agar to'rtburchakning faqat ikkita tomoni bo'lsa, Pifagor teoremasidan foydalanib, uchburchak quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin: P = v (a2 + b2) + a + b yoki P = v (c2 - b2) + b + c.

uchinchi 3-usul. Gipotenuza c va o'tkir burchak bo'lsin? To'g'ri burchakli uchburchak berilgan bo'lsa, perimetrni shunday topish mumkin bo'ladi: P = (1 + sin?

to'rtinchi Usul 4. To'g'ri uchburchakda bir oyoqning uzunligi a ga teng va aksincha, o'tkir burchakka ega ekanligini aytishadi. Keyin hisoblang perimetri Bu uchburchak formula bo'yicha amalga oshiriladi: P = a * (1 / tg?

1/o'g'lim? + 1)

beshinchi 5-usul.

Onlayn uchburchakni hisoblash

Oyog'imiz olib borsin va unga qo'shilsin, keyin diapazon quyidagicha hisoblanadi: P = A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos?)

Tegishli videolar

Pifagor teoremasi barcha matematikaning asosidir. Haqiqiy uchburchakning tomonlari orasidagi munosabatni aniqlaydi. Hozirda bu teoremaning 367 ta isboti mavjud.

ko'rsatmalar

birinchi Pifagor teoremasining klassik maktab formulasi shunday eshitiladi: gipotenuzaning kvadrati oyoqlarning kvadratlari yig'indisiga teng.

Ikki katetli to'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzani topish uchun siz oyoqlarning uzunliklari kvadratini qurish uchun murojaat qilishingiz kerak, ularni yig'ing va oling. Kvadrat ildiz miqdoridan. Uning bayonotining asl formulasida bozor Catete tomonidan ishlab chiqarilgan 2 kvadratning kvadratlari yig'indisiga teng bo'lgan gipotenuzaga asoslanadi. Biroq, zamonaviy algebraik formulalar domen tasvirini kiritishni talab qilmaydi.

ikkinchi Masalan, oyoqlari 7 sm va 8 sm bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchak.

Keyin Pifagor teoremasiga ko'ra kvadrat gipotenuza R + S = 49 + 64 = 113 sm ga teng gipotenuza 113 sonining kvadrat ildiziga teng.

To'g'ri burchakli uchburchakning burchaklari

Natijada asossiz raqam chiqdi.

uchinchi Agar uchburchaklar oyoqlari 3 va 4 bo'lsa, u holda gipotenuza = 25 = 5. Kvadrat ildizni olganingizda, siz natural son olasiz. 3, 4, 5 raqamlari Pigagor uchligini hosil qiladi, chunki ular x munosabatini qanoatlantiradi? +Y? = Z, bu tabiiydir.

Pifagor uchligining boshqa misollari: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.

to'rtinchi Bunday holda, agar oyoqlar bir-biriga o'xshash bo'lsa, Pifagor teoremasi yanada ibtidoiy tenglamaga aylanadi. Masalan, bunday qo'l A soniga teng bo'lsin va C uchun gipotenuza aniqlangan, keyin esa c? = Ap + Ap, C = 2A2, C = A? 2. Bu holda sizga A kerak emas.

beshinchi Pifagor teoremasi umumiy kosinus teoremasidan kattaroq maxsus holat boʻlib, uchburchakning uch tomoni oʻrtasidagi bogʻliqlikni ularning ikkalasi orasidagi istalgan burchak uchun oʻrnatadi.

Maslahat 2: Oyoqlar va burchaklar uchun gipotenuzani qanday aniqlash mumkin

Gipotenuza - to'g'ri burchakli uchburchakning 90 graduslik burchakka qarama-qarshi tomoni.

ko'rsatmalar

birinchi Ma'lum bo'lgan kateterlarda, shuningdek, to'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagida, gipotenuza oyoqning bu burchakning kosinusiga / sinusiga nisbatiga teng o'lchamga ega bo'lishi mumkin, agar burchak qarama-qarshi bo'lsa / e quyidagilarni o'z ichiga oladi: H = C1 (yoki C2) / sin, H = C1 (yoki C2?) / cos?. Misol: ABC ga gipotenuzasi AB va to'g'ri burchakli C burchakli tartibsiz uchburchak berilsin.

B 60 daraja va A 30 daraja bo'lsin. BC poyasining uzunligi 8 sm .AB gipotenuzaning uzunligini topish kerak. Buning uchun yuqoridagi usullardan birini qo'llashingiz mumkin: AB = BC / cos60 = 8 sm.AB = BC / sin30 = 8 sm.

Gipotenuza to'rtburchakning eng uzun tomonidir uchburchak. U to'g'ri burchak ostida joylashgan. To'rtburchakning gipotenuzasini topish usuli uchburchak manba ma'lumotlariga bog'liq.

ko'rsatmalar

birinchi Agar oyoqlaringiz perpendikulyar bo'lsa uchburchak, keyin to'rtburchakning gipotenuzasi uzunligi uchburchak Pifagor analogi bilan kashf etilishi mumkin - gipotenuzaning uzunligi kvadrati oyoqlar uzunliklari kvadratlari yig'indisiga teng: c2 = a2 + b2, bu erda a va b - o'ng oyoqlarning uzunligi. uchburchak .

ikkinchi Agar oyoqlardan biri ma'lum bo'lsa va o'tkir burchak ostida bo'lsa, gipotenuzani topish formulasi ostida mavjudligi yoki yo'qligiga bog'liq bo'ladi. ma'lum burchak ma'lum oyog'iga nisbatan - qo'shni (oyoq yaqin joylashgan), yoki aksincha (qarama-qarshi holat nego joylashgan. Belgilangan burchakning V kosinus burchagidagi oyoq gipotenuzasi ulushiga teng: a = a / cos; E, boshqa tomondan, gipotenuza sinusoidal burchaklar nisbati bilan bir xil: da = a / sin.

Tegishli videolar

Foydali maslahatlar
Tomonlari 3:4:5 nisbatda boʻlgan burchakli uchburchak Misr deltasi deb ataladi, chunki bu raqamlar qadimgi Misr meʼmorlari tomonidan keng qoʻllanilgan.

Bu, shuningdek, Jero uchburchaklarining eng oddiy misolidir, unda sahifalar va maydon butun sonlar bilan ifodalanadi.

Uchburchak to'rtburchaklar deyiladi, uning burchagi 90 °. O'ng burchakka qarama-qarshi tomon gipotenuza, ikkinchisi esa oyoqlar deb ataladi.

Agar siz to'g'ri burchakli uchburchakning muntazam uchburchaklarning ba'zi xossalari, ya'ni o'tkir burchaklarining yig'indisi 90 ° bo'lganligi va qarama-qarshi oyog'ining uzunligi gipotenuzaning yarmi bo'lishi bilan qanday hosil bo'lishini topmoqchi bo'lsangiz. 30°.

Maqola uchun tezkor navigatsiya

Kesilgan uchburchak

Teng uchburchakning xususiyatlaridan biri shundaki, uning ikki burchagi tengdir.

To'g'ri burchakli uchburchakning burchagini hisoblash uchun siz quyidagilarni bilishingiz kerak:

Bu 90 ° dan yomon emas.
O'tkir burchaklarning qiymatlari quyidagi formula bo'yicha aniqlanadi: (180 ° -90 °) / 2 = 45 °, ya'ni.
a va b burchaklar 45° ga teng.

Agar o'tkir burchaklardan birining ma'lum qiymati ma'lum bo'lsa, ikkinchisini quyidagi formula yordamida topish mumkin: b = 180º-90º-a yoki a = 180º-90º-b.

Bu nisbat ko'pincha burchaklardan biri 60 ° yoki 30 ° bo'lsa ishlatiladi.

Asosiy tushunchalar

Uchburchakning ichki burchaklarining yig'indisi 180° ga teng.

Chunki bu bir daraja, ikkitasi keskin bo'lib qoladi.

Uchburchakni onlayn hisoblang

Agar siz ularni topmoqchi bo'lsangiz, quyidagilarni bilishingiz kerak:

boshqa usullar

To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchaklarining qiymatlarini o'rtacha qiymatdan hisoblash mumkin - uchburchakning qarama-qarshi tomonidagi nuqtadan chiziq bilan va balandlik - chiziq gipotenuzadan to'g'ri burchak ostida chizilgan perpendikulyar. .

Mediana o'ng burchakdan gipotenuzaning o'rtasiga cho'ziladi va h balandlik bo'lsin. Bunday holda ma'lum bo'ladi:

sin a = b / (2 * s); sin b = a / (2 * s).
cos a = a / (2 * s); cos b = b / (2 * s).
sin a = h/b; sin b = h/a.

Ikki sahifa

Agar gipotenuza va oyoqlardan birining uzunligi to'g'ri burchakli uchburchakda yoki ikkala tomonda ma'lum bo'lsa, o'tkir burchaklarning qiymatlarini aniqlash uchun trigonometrik identifikatsiyalar qo'llaniladi:

a = arksin (a/c), b = arksin (b/c).
a = arcos (b/c), b = arcos (a/c).
a = arktan (a / b), b = arktan (b / a).

To'g'ri burchakli uchburchakning uzunligi

Uchburchakning maydoni va maydoni

perimetri

Har qanday uchburchakning aylanasi uch tomonning uzunliklari yig'indisiga teng. Umumiy formula uchburchak uchburchakni topish uchun:

Bu erda P - uchburchakning aylanasi, uning tomonlari a, b va c.

Teng uchburchakning perimetri uning tomonlarining uzunliklarini ketma-ket birlashtirish yoki yon uzunligini 2 ga ko'paytirish va mahsulotga asos uzunligini qo'shish orqali topish mumkin.

Muvozanat uchburchagini topishning umumiy formulasi quyidagicha ko'rinadi:

Bu erda P - teng uchburchakning perimetri, lekin b, b asosi.

Teng tomonli uchburchakning perimetri uning yon tomonlari uzunligini ketma-ket birlashtirib yoki istalgan sahifa uzunligini 3 ga ko'paytirish orqali topish mumkin.

Teng tomonli uchburchaklar chetini topishning umumiy formulasi quyidagicha ko'rinadi:

Bu erda P - teng yonli uchburchakning perimetri, a - uning istalgan tomonlari.

mintaqa

Agar siz uchburchakning maydonini o'lchamoqchi bo'lsangiz, uni parallelogramm bilan solishtirishingiz mumkin. ABC uchburchagini ko'rib chiqing:

Agar biz bir xil uchburchakni olib, uni parallelogramm olish uchun tuzatsak, biz bu uchburchak bilan bir xil balandlik va asosga ega parallelogramma olamiz:

Bunday holda, uchburchaklarning umumiy tomoni qoliplangan parallelogrammaning diagonali bo'ylab birlashtiriladi.

Paralelogramma xossalaridan. Ma'lumki, parallelogrammaning diagonallari har doim ikkita teng uchburchakka bo'linadi, keyin har bir uchburchakning yuzasi parallelogramma diapazonining yarmiga teng bo'ladi.

Paralelogrammaning maydoni uning taglik balandligining mahsulotiga teng bo'lganligi sababli, uchburchakning maydoni ushbu mahsulotning yarmiga teng bo'ladi. Shunday qilib, DABC uchun maydon bir xil bo'ladi

Endi to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqing:

Ikkita bir xil to'g'ri burchakli uchburchaklar, agar ular bir-biriga suyanib tursa, to'rtburchaklar shaklida egilishi mumkin, bu bir-birining gipotenuzasi.

To'rtburchakning yuzasi qo'shni tomonlarning yuzasiga to'g'ri kelganligi sababli, bu uchburchakning maydoni bir xil:

Bundan xulosa qilishimiz mumkinki, har qanday to'g'ri burchakli uchburchakning yuzasi 2 ga bo'lingan oyoqlarning ko'paytmasiga teng.

Ushbu misollardan xulosa qilish mumkinki, har bir uchburchakning yuzasi uzunlik mahsuloti bilan bir xil bo'lib, balandligi 2 ga bo'lingan substratga kamayadi.

Uchburchakning maydonini topishning umumiy formulasi quyidagicha ko'rinadi:

Bu erda S - uchburchakning maydoni, lekin uning asosi, lekin balandligi a pastga tushadi.

Agar burchaklaridan biri 90º bo'lsa, uchburchak to'g'ri burchakli uchburchak deyiladi. To'g'ri burchakka qarama-qarshi tomon gipotenuza, qolgan ikkitasi esa oyoqlar deb ataladi.

To'g'ri burchakli uchburchakda burchakni topish uchun to'g'ri burchakli uchburchaklarning ba'zi xususiyatlaridan foydalaniladi, xususan: o'tkir burchaklar yig'indisi 90º, shuningdek, uzunligi gipotenuzaning yarmiga teng bo'lgan oyoqqa qarama-qarshi tomonda joylashganligi. 30º ga teng burchak.

Maqolada tezkor navigatsiya

Izosceles uchburchagi

Teng yonli uchburchakning xususiyatlaridan biri shundaki, uning ikki burchagi tengdir. To'g'ri teng yonli uchburchakning burchaklarini hisoblash uchun siz quyidagilarni bilishingiz kerak:

To'g'ri burchak 90º.
O'tkir burchaklarning qiymatlari formula bo'yicha aniqlanadi: (180º-90º)/2=45º, ya'ni. a va b burchaklari 45º ga teng.

Agar o'tkir burchaklardan birining o'lchami ma'lum bo'lsa, ikkinchisini quyidagi formula yordamida topish mumkin: b=180º-90º-a yoki a=180º-90º-b. Ko'pincha bu nisbat burchaklardan biri 60º yoki 30º bo'lsa ishlatiladi.

Asosiy tushunchalar

Uchburchakning ichki burchaklarining yig'indisi 180º ga teng. Bir burchak to'g'ri bo'lgani uchun, qolgan ikkitasi o'tkir bo'ladi. Ularni topish uchun siz quyidagilarni bilishingiz kerak:

boshqa usullar

To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchaklarining qiymatlarini mediananing qiymatini bilish orqali hisoblash mumkin - uchburchakning uchidan qarama-qarshi tomoniga chizilgan chiziq va balandlik - perpendikulyar tushirilgan to'g'ri chiziq. to'g'ri burchakdan gipotenuzaga. To'g'ri burchakdan gipotenuzaning o'rtasiga chizilgan mediana s, balandlik bo'lsin. Bunday holda ma'lum bo'ladi:

sin a=b/(2*s); sin b =a/(2*s).
cos a=a/(2*s); cos b=b/(2*s).
sin a=h/b; sin b =h/a.

Ikki tomon

Agar to'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzaning uzunligi va oyoqlaridan biri yoki ikki tomoni ma'lum bo'lsa, o'tkir burchaklarning qiymatlarini topish uchun trigonometrik identifikatsiyalardan foydalaniladi:

a=arksin(a/c), b=arksin(b/c).
a=arcos(b/c), b=arcos(a/c).
a=arctg(a/b), b=arctg(b/a).

Birinchisi, to'g'ri burchakka ulashgan segmentlar va gipotenuza shaklning eng uzun qismi bo'lib, 90 graduslik burchakka qarama-qarshi joylashgan. Pifagor uchburchagi tomonlari teng bo'lgan deb ataladi natural sonlar; ularning uzunligi bu holda "Pifagor uchligi" deb ataladi.

Misr uchburchagi

Hozirgi avlod geometriyani maktabda o'qitiladigan shaklda tan olishi uchun u bir necha asrlar davomida rivojlangan. Asosiy nuqta Pifagor teoremasi hisoblanadi. To'rtburchakning tomonlari butun dunyoga ma'lum) 3, 4, 5.

"Pifagor shimlari barcha yo'nalishlarda tengdir" iborasi bilan kam odam tanish emas. Biroq, aslida teorema shunday eshitiladi: c 2 (gipotenuzaning kvadrati) = a 2 + b 2 (oyoq kvadratlari yig'indisi).

Matematiklar orasida tomonlari 3, 4, 5 (sm, m, va hokazo) bo'lgan uchburchak "Misr" deb ataladi. Qizig'i shundaki, rasmda yozilgan narsa birga teng. Bu nom miloddan avvalgi V asrda, yunon faylasuflari Misrga sayohat qilganlarida paydo bo'lgan.

Piramidalarni qurishda arxitektorlar va tadqiqotchilar 3:4:5 nisbatidan foydalanganlar. Bunday tuzilmalar mutanosib, qarash yoqimli va keng bo'lib chiqdi, shuningdek, kamdan-kam hollarda qulab tushdi.

To'g'ri burchakni qurish uchun quruvchilar 12 tugun bog'langan arqondan foydalanganlar. Bunday holda, to'g'ri burchakli uchburchakni qurish ehtimoli 95% gacha ko'tarildi.

Raqamlar tengligi belgilari

To'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchak va ikkinchi uchburchakdagi bir xil elementlarga teng bo'lgan uzun tomon raqamlar tengligining shubhasiz belgisidir. Burchaklar yig'indisini hisobga olsak, ikkinchi o'tkir burchaklar ham teng ekanligini isbotlash oson. Shunday qilib, uchburchaklar ikkinchi mezonga ko'ra bir xil.
Ikkita figurani bir-birining ustiga qo'yganda, biz ularni shunday aylantiramizki, ular birlashganda bitta teng yonli uchburchakka aylanadi. Xususiyatiga ko'ra, tomonlar, to'g'rirog'i, gipotenuslar, shuningdek, asosdagi burchaklar tengdir, demak, bu raqamlar bir xil.

Birinchi belgiga asoslanib, uchburchaklar haqiqatan ham teng ekanligini isbotlash juda oson, asosiysi ikkita kichik tomon (ya'ni, oyoqlar) bir-biriga teng.

Uchburchaklar ikkinchi mezonga ko'ra bir xil bo'ladi, ularning mohiyati oyoq va o'tkir burchakning tengligidir.

To'g'ri burchakli uchburchakning xossalari

To'g'ri burchakdan tushirilgan balandlik raqamni ikkita teng qismga ajratadi.

To'g'ri burchakli uchburchakning tomonlari va uning medianasini qoida orqali osongina tanib olish mumkin: gipotenuzaga tushadigan mediana uning yarmiga teng. ni Heron formulasi orqali ham, oyoqlarning ko‘paytmasining yarmiga teng degan bayonot orqali ham topish mumkin.

To'g'ri burchakli uchburchakda 30 °, 45 ° va 60 ° burchaklarning xususiyatlari qo'llaniladi.

30 ° burchak ostida, qarama-qarshi oyoq eng katta tomonning 1/2 qismiga teng bo'lishini esga olish kerak.
Agar burchak 45 ° bo'lsa, ikkinchi o'tkir burchak ham 45 ° bo'ladi. Bu uchburchakning teng yonli va oyoqlari bir xil ekanligini ko'rsatadi.
60 ° burchakning xususiyati shundaki, uchinchi burchak 30 ° ga teng.

Hududni uchta formuladan biri yordamida osongina aniqlash mumkin:

balandligi va pastga tushadigan tomoni orqali;
Heron formulasi bo'yicha;
tomonlarda va ular orasidagi burchakda.

To'g'ri burchakli uchburchakning tomonlari, aniqrog'i, oyoqlari ikkita balandlik bilan yaqinlashadi. Uchinchisini topish uchun hosil bo'lgan uchburchakni ko'rib chiqish kerak, so'ngra Pifagor teoremasidan foydalanib, kerakli uzunlikni hisoblash kerak. Ushbu formuladan tashqari, gipotenuzaning ikki barobari maydoni va uzunligi o'rtasida ham bog'liqlik mavjud. Talabalar orasida eng keng tarqalgan ibora birinchisidir, chunki u kamroq hisob-kitoblarni talab qiladi.

To'g'ri burchakli uchburchak uchun qo'llaniladigan teoremalar

To'g'ri burchakli uchburchak geometriyasi quyidagi teoremalardan foydalanishni o'z ichiga oladi: