Qattiq jismning qattiq o'q atrofida aylanishi. Qattiq jismning qo'zg'almas o'q atrofida aylanish harakati Qo'zg'almas o'q atrofida aylanish harakati qonuni
TA’RIF: Qattiq jismning aylanish harakati jismning barcha nuqtalari aylana bo'ylab harakatlanadigan, markazlari bir xil to'g'ri chiziqda yotadigan bunday harakatni aylanish o'qi deb nomlaymiz.
Aylanishning dinamikasini o'rganish uchun biz ma'lum kinematik miqdorlarni qo'shamiz ikki miqdor: kuch momenti(M) va inersiya momenti(J).
1. Tajribadan ma'lum: aylanish harakatining tezlashishi nafaqat jismga ta'sir etuvchi kuchning kattaligiga, balki aylanish o'qidan kuch harakat qiladigan chiziqqa qadar bo'lgan masofaga ham bog'liq. Ushbu holatni tavsiflash uchun jismoniy miqdor chaqiriladi kuch momenti.
Keling, eng oddiy ishni ko'rib chiqaylik.
TA'RIF: Kuchning ma'lum bir nuqtaga nisbatan momenti "O" - ifoda bilan aniqlangan vektor kattalikdir, bu erda "O" nuqtadan kuch qo'llash nuqtasiga chizilgan radius vektori.
Ta'rifdan kelib chiqadiki, bu eksenel vektor. Uning yo'nalishi shunday tanlanganki, vektorning "O" nuqtasi atrofida kuch va vektor yo'nalishi bo'yicha aylanishi o'ng qo'lli tizimni tashkil qiladi. Kuch momentining moduli ga teng, bu erda a - vektorlarning yo'nalishlari orasidagi burchak va , va l= r gunoh a - "O" nuqtadan kuch ta'sir qiladigan to'g'ri chiziqqa tushirilgan perpendikulyar uzunligi (deb ataladi) kuch yelkasi“O” nuqtasiga nisbatan) (4.2-rasm).
2. Eksperimental ma’lumotlar shuni ko‘rsatadiki, burchak tezlanishining kattaligiga nafaqat aylanuvchi jismning massasi, balki aylanish o‘qiga nisbatan massaning taqsimlanishi ham ta’sir qiladi. Ushbu holatni hisobga oladigan miqdor deyiladi inersiya momenti aylanish o'qiga nisbatan.
TA’RIFI: To‘g‘risini aytganda, inersiya momenti ma'lum aylanish o'qiga nisbatan jism elementar massalar mahsulotining ma'lum o'qdan masofalari kvadratlari yig'indisiga teng J qiymati deb ataladi.
Yig'ish tana bo'lingan barcha elementar massalar bo'yicha amalga oshiriladi. Shuni yodda tutish kerakki, bu miqdor (J) aylanishdan qat'iy nazar mavjud (garchi qattiq jismning aylanishini ko'rib chiqishda inersiya momenti tushunchasi kiritilgan bo'lsa ham).
Har bir jism tinch holatda yoki aylanayotganidan qat'iy nazar, har qanday o'qqa nisbatan ma'lum bir inersiya momentiga ega, xuddi jismning harakatlanishidan yoki tinch holatda bo'lishidan qat'i nazar, uning massasi bor.
Shuni hisobga olib, inersiya momentini quyidagicha ifodalash mumkin: . Bu munosabat taxminiy bo'lib, elementar hajmlar va mos keladigan massa elementlari qanchalik kichik bo'lsa, shunchalik aniqroq bo'ladi. Binobarin, inersiya momentlarini topish vazifasi integratsiyaga tushadi: . Bu erda integratsiya tananing butun hajmida amalga oshiriladi.
Muntazam geometrik shakldagi ayrim jismlarning inersiya momentlarini yozamiz.
| 1. Bir xil uzun tayoq. | |
| Guruch. 4.3 | Tayoqqa perpendikulyar bo'lgan va uning o'rtasidan o'tuvchi o'qga nisbatan inersiya momenti ga teng |
| 2. Qattiq silindr yoki disk. | |
| Guruch. 4.4 | Geometrik o'qga to'g'ri keladigan o'qga nisbatan inersiya momenti ga teng. |
| 3. R radiusli yupqa devorli silindr. | |
| Guruch. 4.5 | |
| 4. Radiusi R bo‘lgan sharning markazidan o‘tuvchi o‘qqa nisbatan inersiya momenti | |
| Guruch. 4.6 | |
| 5. Yupqa diskning inersiya momenti (qalinligi b< | |
| Guruch. 4.7 | |
| 6. Blokning inersiya momenti | |
| Guruch. 4.8 | |
| 7. Halqaning inersiya momenti | |
| Guruch. 4.9 |
Bu erda inersiya momentini hisoblash juda oddiy, chunki Tana bir hil va simmetrik deb qabul qilinadi va inersiya momenti simmetriya o'qiga nisbatan aniqlanadi.
Jismning har qanday o'qqa nisbatan inersiya momentini aniqlash uchun Shtayner teoremasidan foydalanish kerak.
TA’RIF: Ixtiyoriy o'qga nisbatan J inersiya momenti berilganga parallel boʻlgan va tananing inersiya markazidan oʻtuvchi oʻqga nisbatan J c inersiya momentining yigʻindisiga va tana massasining oʻqlar orasidagi masofaning kvadratiga koʻpaytmasiga teng (1-rasm). 4.10).
Ushbu maqolada fizikaning muhim bo'limi - "aylanish harakatining kinematikasi va dinamikasi" tasvirlangan.
Aylanma harakat kinematikasining asosiy tushunchalari
Moddiy nuqtaning qo'zg'almas o'q atrofida aylanish harakati shunday harakat deb ataladi, uning traektoriyasi o'qga perpendikulyar tekislikda joylashgan aylana bo'lib, uning markazi aylanish o'qida yotadi.
Qattiq jismning aylanish harakati - bu jismning barcha nuqtalari moddiy nuqtaning aylanish harakati qoidasiga muvofiq konsentrik (markazlari bir o'qda joylashgan) doiralar bo'ylab harakatlanadigan harakat.
Ixtiyoriy qattiq jism T chizma tekisligiga perpendikulyar bo'lgan O o'qi atrofida aylansin. Bu jismda M nuqtani tanlaymiz.Bu nuqta aylantirilganda O o'qi atrofida radiusli aylana tasvirlanadi. r.
Biroz vaqt o'tgach, radius o'zining dastlabki holatiga nisbatan Dph burchagi bilan aylanadi.
O'ng vintning yo'nalishi (soat yo'nalishi bo'yicha) musbat aylanish yo'nalishi sifatida qabul qilinadi. Vaqt o'tishi bilan aylanish burchagining o'zgarishi qattiq jismning aylanish harakati tenglamasi deb ataladi:
ph = ph(t).
Agar ph radianlarda o'lchansa (1 rad - uning radiusiga teng uzunlikdagi yoyga mos keladigan burchak), u holda M moddiy nuqta Dt vaqt ichida o'tadigan dumaloq yoyning uzunligi DS quyidagilarga teng bo'ladi:
DS = Dphr.
Bir tekis aylanish harakati kinematikasining asosiy elementlari
Moddiy nuqtaning qisqa vaqt ichida harakatini o'lchovi dt elementar aylanish vektori bo'lib xizmat qiladi dph.
Moddiy nuqta yoki jismning burchak tezligi elementar aylanish vektorining ushbu aylanish davomiyligiga nisbati bilan aniqlanadigan fizik miqdordir. Vektorning yo'nalishini O o'qi bo'ylab o'ng vint qoidasi bilan aniqlash mumkin.Skalar shaklda:
ō = dph/dt.
Agar ō = dph/dt = const, u holda bunday harakat bir tekis aylanish harakati deyiladi. U bilan burchak tezligi formula bilan aniqlanadi
ō = ph/t.
Dastlabki formulaga ko'ra, burchak tezligining o'lchami
[ō] = 1 rad/s.
Jismning bir tekis aylanish harakatini aylanish davri bilan tasvirlash mumkin. Aylanish davri T - bu tananing aylanish o'qi atrofida bir marta to'liq aylanish vaqtini aniqlaydigan fizik miqdor ([T] = 1 s). Agar burchak tezligi formulasida t = T, ph = 2 p (r radiusning bir to‘liq aylanishi) ni olsak, u holda
ō = 2p/T,
Shuning uchun biz aylanish davrini quyidagicha aniqlaymiz:
T = 2p/ō.
Jismning vaqt birligida qilgan aylanishlar soni n aylanish chastotasi deb ataladi, u quyidagilarga teng:
n = 1/T.
Chastota birliklari: [n]= 1/s = 1 s -1 = 1 Gts.
Burchak tezligi va aylanish chastotasi formulalarini taqqoslab, biz ushbu miqdorlarni bog'laydigan ifodani olamiz:
ō = 2pn.
Noto'g'ri aylanish harakati kinematikasining asosiy elementlari
Qattiq jismning yoki moddiy nuqtaning qo'zg'almas o'q atrofida notekis aylanish harakati uning vaqt o'tishi bilan o'zgarib turadigan burchak tezligi bilan tavsiflanadi.
Vektor ε , burchak tezligining o'zgarish tezligini tavsiflovchi, burchak tezlanish vektori deyiladi:
e = dō/dt.
Agar tana aylansa, tezlashsa, ya'ni dō/dt > 0, vektor eksa bo'ylab ō bilan bir xil yo'nalishda yo'nalishga ega.
Agar aylanish harakati sekin bo'lsa - dō/dt< 0 , u holda e va ō vektorlari qarama-qarshi yo'naltiriladi.
Izoh. Noto'g'ri aylanish harakati sodir bo'lganda, vektor ō nafaqat kattalikda, balki yo'nalishda ham o'zgarishi mumkin (aylanish o'qi aylantirilganda).
Tarjima va aylanish harakatini tavsiflovchi kattaliklar o'rtasidagi bog'liqlik
Ma'lumki, yoy uzunligi radiusning burilish burchagi va uning qiymati bilan bog'liq.
DS = Dph r.
Keyin aylanma harakatni amalga oshiradigan moddiy nuqtaning chiziqli tezligi
y = DS/Dt = Dphr/Dt = ōr.
Aylanma translyatsiya harakatini amalga oshiradigan moddiy nuqtaning normal tezlashishi quyidagicha aniqlanadi:
a = y 2 / r = ō 2 r 2 / r.
Shunday qilib, skalyar shaklda
a = ō 2 r.
Aylanma harakatni amalga oshiradigan tangensial tezlashtirilgan moddiy nuqta
a = e r.
Moddiy nuqtaning momenti
Massasi m i boʻlgan moddiy nuqtaning traektoriyasi radius vektori va uning impulsining vektor koʻpaytmasi bu nuqtaning aylanish oʻqiga nisbatan burchak momenti deyiladi. Vektorning yo'nalishi to'g'ri vida qoidasi yordamida aniqlanishi mumkin.
Moddiy nuqtaning momenti ( L i) r i va y i orqali oʻtkazilgan tekislikka perpendikulyar yoʻnaltirilgan boʻlib, ular bilan vektorlarning oʻng uchli uchligini hosil qiladi (yaʼni vektor oxiridan harakat qilganda). r i Kimga υ i o'ng vint vektor yo'nalishini ko'rsatadi L i).
Skayar shaklda
L = m i y i r i sin(y i , r i).
Aylana bo‘ylab harakatlanayotganda i-moddiy nuqta uchun radius vektori va chiziqli tezlik vektori o‘zaro perpendikulyar ekanligini hisobga olsak,
sin(y i , r i) = 1.
Shunday qilib, aylanish harakati uchun moddiy nuqtaning burchak momenti shaklni oladi
L = m i y i r i.
i-moddiy nuqtaga ta'sir qiluvchi kuch momenti
Radius vektorining vektor ko'paytmasi, kuch qo'llash nuqtasiga tortiladi va bu kuch aylanish o'qiga nisbatan i-moddiy nuqtaga ta'sir qiluvchi kuch momenti deb ataladi.
Skayar shaklda
M i = r i F i sin(r i , F i).
Shuni hisobga olib r i sina = l i,M i = l i F i.
Kattalik l i, aylanish nuqtasidan kuchning ta'sir yo'nalishiga tushirilgan perpendikulyar uzunligiga teng, kuchning qo'li deb ataladi. F i.
Aylanma harakatning dinamikasi
Aylanma harakat dinamikasi tenglamasi quyidagicha yoziladi:
M = dL/dt.
Qonunning formulasi quyidagicha: qo'zg'almas o'q atrofida aylanadigan jismning burchak momentumining o'zgarish tezligi jismga qo'llaniladigan barcha tashqi kuchlarning ushbu o'qiga nisbatan hosil bo'lgan momentga teng.
Impuls momenti va inersiya momenti
Ma'lumki, i-moddiy nuqta uchun skalyar shakldagi burchak impulsi formula bilan berilgan
L i = m i y i r i.
Agar chiziqli tezlik o'rniga uning ifodasini burchak tezlik bilan almashtirsak:
y i = ōr i,
u holda burchak momentumining ifodasi shaklni oladi
L i = m i r i 2 ō.
Kattalik I i = m i r i 2 absolyut qattiq jismning massa markazidan o'tuvchi i-moddiy nuqtasi o'qiga nisbatan inersiya momenti deyiladi. Keyin moddiy nuqtaning burchak momentini yozamiz:
L i = I i ō.
Absolyut qattiq jismning burchak momentini shu jismni tashkil etuvchi moddiy nuqtalarning burchak impulsi yig‘indisi sifatida yozamiz:
L = Iō.
Kuch momenti va inersiya momenti
Aylanma harakat qonuni quyidagilarni bildiradi:
M = dL/dt.
Ma'lumki, jismning burchak momentini inersiya momenti orqali ifodalash mumkin:
L = Iō.
M = Idō/dt.
Burchak tezlanishi ifoda bilan aniqlanishini hisobga olsak
e = dō/dt,
inersiya momenti orqali ifodalangan kuch momenti formulasini olamiz:
M = Ie.
Izoh. Kuch momenti ijobiy hisoblanadi, agar uni keltirib chiqaradigan burchak tezlanishi noldan katta bo'lsa va aksincha.
Shtayner teoremasi. Inersiya momentlarini qo'shish qonuni
Agar tananing aylanish o'qi uning massa markazidan o'tmasa, bu o'qga nisbatan Shtayner teoremasi yordamida uning inersiya momentini topish mumkin:
I = I 0 + ma 2,
Qayerda men 0- tananing boshlang'ich inersiya momenti; m- tana massasi; a- o'qlar orasidagi masofa.
Ruxsat etilgan o'q atrofida aylanadigan tizim bo'lsa n jismlar, u holda bu turdagi tizimning umumiy inersiya momenti uning tarkibiy qismlari momentlari yig'indisiga teng bo'ladi (inersiya momentlarini qo'shish qonuni).
Qattiq jismning harakati aylanish deyiladi, agar harakat paytida tananing aylanish o'qi deb ataladigan ma'lum bir to'g'ri chiziqda joylashgan barcha nuqtalari harakatsiz qolsa.(2.15-rasm).
Aylanish harakati paytida tananing holati odatda aniqlanadi aylanish burchagi tanasi , aylanish o'qi orqali o'tadigan sobit va harakatlanuvchi tekisliklar orasidagi dihedral burchak sifatida o'lchanadi. Bundan tashqari, harakatlanuvchi tekislik aylanadigan tanaga ulangan.
Harakatlanuvchi va qo'zg'almas koordinata tizimlarini ko'rib chiqamiz, ularning kelib chiqishi aylanish o'qining ixtiyoriy O nuqtasiga joylashtiriladi. Harakatlanuvchi va qo'zg'almas koordinata tizimlari uchun umumiy bo'lgan Oz o'qi aylanish o'qi bo'ylab yo'naltiriladi. Oh qo'zg'almas koordinatalar sistemasi, biz uni Oz o'qiga perpendikulyar yo'naltiramiz, shunday qilib u qo'zg'almas tekislikda, o'qda yotadi. Oh 1 Harakatlanuvchi koordinatalar sistemasini Oz o'qiga perpendikulyar yo'naltiramizki, u harakatlanuvchi tekislikda yotsin (2.15-rasm).
Agar tananing aylanish o'qiga perpendikulyar tekislik bilan kesilgan qismini ko'rib chiqsak, u holda aylanish burchagi φ sobit o'q orasidagi burchak sifatida belgilanishi mumkin Oh va harakatlanuvchi o'q Oh 1, har doim aylanadigan tana bilan bog'liq (2.16-rasm).
Tananing burilish burchagi uchun mos yozuvlar yo'nalishi qabul qilinadi φ Oz o'qining musbat yo'nalishidan qaralganda soat sohasi farqli o'laroq ijobiy hisoblanadi.
Tenglik ph = ph(t), burchakning o'zgarishini tavsiflovchi φ vaqt ichida qattiq jismning aylanish harakati qonuni yoki tenglamasi deyiladi.
Qattiq jismning aylanish burchagining o'zgarish tezligi va yo'nalishi bilan tavsiflanadi burchak tezligi. Burchak tezligining mutlaq qiymati odatda yunon alifbosining harfi bilan belgilanadi ω (omega). Burchak tezligining algebraik qiymati odatda bilan belgilanadi. Burchak tezligining algebraik qiymati aylanish burchagining birinchi marta hosilasiga teng:
. (2.33)
Burchak tezligining birliklari vaqt birligiga bo'lingan burchak birliklariga teng, masalan, deg/min, rad/h. SI tizimida burchak tezligining o'lchov birligi rad / s dir, lekin ko'pincha bu o'lchov birligining nomi 1 / s deb yoziladi.
Agar > 0 bo'lsa, u holda aylanish o'qi bilan tekislangan koordinata o'qining oxiridan qaralganda, tana soat sohasi farqli ravishda aylanadi.
Agar< 0, то тело вращается по ходу часовой стрелки, если смотреть с конца оси координат, совмещенной с осью вращения.
Burchak tezligining o'zgarish tezligi va yo'nalishi burchak tezlanishi bilan tavsiflanadi. Burchak tezlanishining mutlaq qiymati odatda yunon alifbosining e (epsilon) harfi bilan belgilanadi. Burchak tezlanishining algebraik qiymati odatda bilan belgilanadi. Burchak tezlanishining algebraik qiymati burchak tezligining algebraik qiymatining vaqtga nisbatan birinchi hosilasiga yoki burilish burchagining ikkinchi hosilasiga teng:
Burchak tezlanishining birliklari burchak birliklarining vaqtning kvadratiga bo'linishiga teng. Masalan, deg/s 2, rad/s 2. SI tizimida burchak tezlanishining o'lchov birligi rad/s 2, lekin ko'pincha bu o'lchov birligining nomi 1/s 2 sifatida yoziladi.
Agar burchak tezligi va burchak tezlanishining algebraik qiymatlari bir xil belgiga ega bo'lsa, u holda burchak tezligi vaqt o'tishi bilan kattalashib boradi, agar u boshqacha bo'lsa, u kamayadi.
Agar burchak tezligi doimiy bo'lsa ( ω = const), keyin tananing aylanishi bir xil ekanligini aytish odatiy holdir. Ushbu holatda:
ph = t + ph 0, (2.35)
Qayerda φ 0 - dastlabki aylanish burchagi.
Agar burchak tezlanishi doimiy bo'lsa (e = const), u holda tananing aylanishi bir xil tezlashtirilgan (bir xil sekin) deb aytish odatiy holdir. Ushbu holatda:
Qayerda 0 - dastlabki burchak tezligi.
Boshqa hollarda, qaramlikni aniqlash φ dan Va (2.33), (2.34) ifodalarni berilgan boshlang’ich sharoitda integrallash zarur.
Chizmalarda tananing aylanish yo'nalishi ba'zan egri o'q bilan ko'rsatilgan (2.17-rasm).
Ko'pincha mexanikada burchak tezligi va burchak tezlanishi vektor kattaliklari sifatida qaraladi.
Va .
Bu vektorlarning ikkalasi ham tananing aylanish o'qi bo'ylab yo'naltirilgan. Bundan tashqari, vektor
aylanish o'qi bilan mos keladigan koordinata o'qi yo'nalishini aniqlaydigan birlik vektori bilan bir yo'nalishda yo'naltirilgan, agar >0,
va aksincha, agar
Vektorning yo'nalishi xuddi shu tarzda tanlanadi (2.18-rasm).
Jismning aylanish harakati paytida uning har bir nuqtasi (aylanish o'qida joylashgan nuqtalardan tashqari) radiusi nuqtadan aylanish o'qiga qadar eng qisqa masofaga teng bo'lgan aylana bo'lgan traektoriya bo'ylab harakatlanadi (2-rasm). 2.19).
Aylananing har qanday nuqtadagi tangensi radius bilan 90 ° burchak hosil qilganligi sababli, aylanish harakatini boshdan kechirayotgan jismning nuqtaning tezlik vektori radiusga perpendikulyar yo'naltiriladi va aylananing tekisligida yotadi. nuqta harakatining traektoriyasi. Tezlanishning tangensial komponenti tezlik bilan bir xil chiziqda yotadi va normal komponent aylana markaziga radial yo'naltiriladi. Shuning uchun, ba'zan aylanish harakati paytida tezlanishning tangensial va normal komponentlari mos ravishda chaqiriladi aylanish va markazlashtirilgan (eksenel) komponentlar (2.19-rasm)
Nuqta tezligining algebraik qiymati quyidagi ifoda bilan aniqlanadi:
, (2.37)
bu erda R = OM - nuqtadan aylanish o'qigacha bo'lgan eng qisqa masofa.
Tezlanishning tangensial komponentining algebraik qiymati quyidagi ifoda bilan aniqlanadi:
. (2.38)
Tezlanishning normal komponentining moduli quyidagi ifoda bilan aniqlanadi:
. (2.39)
Aylanish harakati paytida nuqtaning tezlanish vektori parallelogramma qoidasi bilan tangens va normal komponentlarning geometrik yig'indisi sifatida aniqlanadi. Shunga ko'ra, tezlashtirish moduli Pifagor teoremasi yordamida aniqlanishi mumkin:
Agar burchak tezligi va burchak tezlanishi vektor miqdorlar sifatida aniqlansa , , u holda tezlik vektorlarini, tezlanishning tangensial va normal komponentlarini quyidagi formulalar bilan aniqlash mumkin:
qayerda aylanish o'qining ixtiyoriy nuqtasidan M nuqtaga chizilgan radius vektor (2.20-rasm).
Bir jismning aylanish harakati bilan bog'liq muammolarni hal qilish odatda hech qanday qiyinchilik tug'dirmaydi. (2.33)-(2.40) formulalaridan foydalanib, istalgan noma'lum parametrni osongina aniqlash mumkin.
Aylanma va tarjima harakatini amalga oshiradigan bir nechta o'zaro bog'langan jismlardan iborat mexanizmlarni o'rganish bilan bog'liq muammolarni hal qilishda ma'lum qiyinchiliklar paydo bo'ladi.
Bunday muammolarni hal qilishning umumiy yondashuvi shundan iboratki, bir jismdan ikkinchisiga harakat bir nuqta - teginish (kontakt) nuqtasi orqali uzatiladi. Bundan tashqari, aloqa qiluvchi jismlar aloqa nuqtasida teng tezlik va tangensial tezlanish komponentlariga ega. Aloqa nuqtasida aloqada bo'lgan jismlar uchun tezlashuvning normal komponentlari har xil bo'lib, ular jismlar nuqtalarining traektoriyasiga bog'liq.
Ushbu turdagi masalalarni echishda, aniq holatlarga qarab, uning harakatini tabiiy (2.7), (2.14) ko'rsatganda, 2.3-bo'limda keltirilgan formulalardan ham, nuqta tezligi va tezlanishini aniqlash formulalaridan ham foydalanish qulay. ) (2.16) yoki koordinata (2.3), (2.4), (2.10), (2.11) usullari. Bundan tashqari, agar nuqta tegishli bo'lgan jismning harakati aylanma bo'lsa, nuqtaning traektoriyasi aylana bo'ladi. Agar tananing harakati to'g'ri chiziqli translatsiya bo'lsa, u holda nuqtaning traektoriyasi to'g'ri chiziq bo'ladi.
2.4-misol. Tana sobit o'q atrofida aylanadi. Tananing aylanish burchagi qonunga muvofiq o'zgaradi ph = p t 3 xursand. Aylanish o'qidan OM = R = 0,5 m masofada joylashgan nuqta uchun vaqt momentidagi tezlanish va tezlanishning tezligi, tangensi, normal komponentlarini aniqlang. t 1= 0,5 s. Ushbu vektorlarning yo'nalishini chizmada ko'rsating.
Aylanish o'qiga perpendikulyar O nuqtadan o'tuvchi tekislik bilan tananing kesmasini ko'rib chiqamiz (2.21-rasm). Bu rasmda O nuqta aylanish o'qi va kesish tekisligining kesishish nuqtasi, nuqta M o Va M 1- mos ravishda, M nuqtasining boshlang'ich va joriy holati. O nuqtalari orqali va M o qo'zg'almas o'qni chizish Oh, va O nuqtalari orqali va M 1 - harakatlanuvchi o'q Oh 1. Bu o'qlar orasidagi burchak teng bo'ladi
Aylanish burchagining o‘zgarish qonunini farqlash orqali jismning burchak tezligining o‘zgarish qonunini topamiz:
Ayni damda t 1 burchak tezligi teng bo'ladi
Jismning burchak tezlanishining o'zgarish qonunini burchak tezligining o'zgarish qonunini farqlash orqali topamiz:
Ayni damda t 1 burchak tezlanishi quyidagilarga teng bo'ladi:
1/s 2,
(2.37), (2.38), (2.39), (2.40) formulalari yordamida tezlik vektorlarining algebraik qiymatlarini, tezlanishning tangensial komponentini, tezlanishning normal komponentining modulini va tezlanish modulini topamiz:
M/s 2 ;
m/s 2 .
Burchakdan beri ph 1>0 bo'lsa, biz uni Ox o'qidan soat miliga teskari tomonga o'tkazamiz. Va shundan beri > 0, keyin vektorlar radiusga perpendikulyar yo'naltirilgan bo'ladi OM 1 shuning uchun biz ularni soat miliga teskari yo'nalishda aylanayotganini ko'ramiz. Vektor radius bo'ylab yo'naltirilgan bo'ladi OM 1 aylanish o'qiga. Vektor Vektorlar ustida parallelogramm qoidasiga asosan quramiz τ Va .
2.5-misol. Yukning to'g'ri chiziqli ko'chirish harakatining berilgan tenglamasiga ko'ra 1 x = 0,6t 2 - 0,18 (m) tezlikni, shuningdek tezlanishning tangensial, normal komponentini va vaqt momentidagi mexanizmning M nuqtasini tezlashishini aniqlang. t 1, 1-yuk bosib o'tgan yo'l s = 0,2 m bo'lganda, masalani yechishda 2 va 3 jismlarning aloqa nuqtasida sirpanish yo'q deb faraz qilamiz, R 2= 1,0 m, r 2 = 0,6 m, R 3 = 0,5 m (2.22-rasm).
1-yukning to'g'ri chiziqli ko'chirish harakati qonuni koordinata shaklida berilgan. Keling, vaqtni aniqlaylik t 1, buning uchun 1-yuk bosib o'tgan yo'l s ga teng bo'ladi
s = x(t l)-x(0),
qayerdan olamiz:
0,2 = 0,18 + 0,6t 1 2 - 0,18.
Demak,
Harakat tenglamasini vaqtga nisbatan differensial qilib, 1-yukning Ox o'qiga tezligi va tezlanishi proyeksiyalarini topamiz:
Xonim 2 ;
Hozirgi vaqtda t = t 1 1-yuk tezligining proyeksiyasi quyidagilarga teng bo'ladi:
ya'ni 1-yukning tezlanishi proyeksiyasi kabi noldan katta bo'ladi. Shuning uchun 1-yuk t momentida bo'ladi. 1 bir xil tezlikda pastga siljiting, mos ravishda 2-tana soat miliga teskari yo'nalishda bir tekis tezlashtirilgan holda aylanadi va 3-tana soat yo'nalishi bo'yicha aylanadi.
2-korpus barabanga o'ralgan ip orqali 1-korpus tomonidan aylanish holatiga keltiriladi. Demak, jismning 1 nuqtalari tezliklarining modullari, 2-tananing ip va barabani yuzasining tezlanish modullari, 1-tana nuqtalarining tezlanish modullari, ip va tezlanishning tangensial komponenti. 2 jismning barabanining sirt nuqtalari ham teng bo'ladi.Demak, 2 jismning burchak tezligi modulini quyidagicha aniqlash mumkin.
2 jismning burchak tezlanish moduli quyidagilarga teng bo'ladi:
1/s 2 .
2 jismning K nuqtasi - 2 va 3 jismlarning aloqa nuqtasi uchun tezlik modullari va tezlanishning tangensial komponentini aniqlaymiz:
Xonim, Xonim 2
2 va 3 jismlar o'zaro sirpanishsiz aylanayotganligi sababli, tezlikning kattaliklari va K nuqta tezlanishining tangensial komponenti - bu jismlar uchun aloqa nuqtasi teng bo'ladi.
uni tananing aylanish yo'nalishi bo'yicha radiusga perpendikulyar yo'naltiramiz, chunki jism 3 bir tekis tez aylanadiProgressiv- bu jism bilan doimo bog'langan har qanday to'g'ri chiziq dastlabki holatiga parallel bo'lib qoladigan qattiq jismning harakati.
Teorema. Qattiq jismning translatsiya harakati paytida uning barcha nuqtalari bir xil traektoriyalarni tasvirlaydi va har bir berilgan momentda kattalik va yo'nalish bo'yicha teng tezlik va tezlanishga ega.
Isbot. Keling, ikkita nuqta orqali chizamiz va 
, chiziqli harakatlanuvchi tana segmenti 
va bu segmentning harakatini pozitsiyada ko'rib chiqing 
. Shu bilan birga, nuqta 
traektoriyasini tavsiflaydi 
, va nuqta 
- traektoriya 
(56-rasm).
Bu segmentni hisobga olgan holda 
o'ziga parallel ravishda harakat qiladi va uning uzunligi o'zgarmaydi, nuqtalarning traektoriyalari aniqlanishi mumkin 
Va 
bir xil bo'ladi. Bu teoremaning birinchi qismi isbotlanganligini bildiradi. Biz nuqtalarning o'rnini aniqlaymiz 
Va 
sobit kelib chiqishiga nisbatan vektor usuli 
. Bundan tashqari, bu radiuslar - vektorlar bog'liqdir 
. Chunki. segmentning uzunligi ham, yo'nalishi ham emas 
tana harakatlanayotganda o'zgarmaydi, keyin vektor 
. Keling, (24) bog'liqlik yordamida tezliklarni aniqlashga o'tamiz:
, olamiz 
.
Keling, (26) bog'liqlik yordamida tezlanishlarni aniqlashga o'tamiz:
, olamiz 
.
Tasdiqlangan teoremadan kelib chiqadiki, agar faqat bitta nuqtaning harakati ma'lum bo'lsa, jismning tarjima harakati to'liq aniqlanadi. Shuning uchun qattiq jismning translatsiya harakatini o'rganish uning nuqtalaridan birining harakatini o'rganishga to'g'ri keladi, ya'ni. nuqta kinematik muammo.
Mavzu 11. Qattiq jismning aylanish harakati
Aylanma Bu qattiq jismning harakati bo'lib, uning ikkita nuqtasi butun harakat davomida harakatsiz qoladi. Bunday holda, bu ikki qo'zg'almas nuqtadan o'tadigan to'g'ri chiziq deyiladi aylanish o'qi.
Bu harakat paytida jismning aylanish o'qida yotmaydigan har bir nuqtasi aylana tasvirlaydi, uning tekisligi aylanish o'qiga perpendikulyar va uning markazi shu o'qda yotadi.
Aylanish o'qi orqali tanaga o'zgarmas ravishda bog'langan va u bilan birga aylanadigan qo'zg'almas I va harakatlanuvchi II tekislikni chizamiz (57-rasm). II tekislikning va shunga mos ravishda butun tanasining kosmosdagi I tekislikka nisbatan pozitsiyasi to'liq burchak bilan aniqlanadi. 
. Tana o'q atrofida aylanganda 
bu burchak vaqtning uzluksiz va aniq funksiyasidir. Shuning uchun, bu burchakning vaqt o'tishi bilan o'zgarishi qonunini bilib, biz tananing kosmosdagi holatini aniqlashimiz mumkin:
-
jismning aylanish harakati qonuni.
(43)
Bunday holda, biz burchakni taxmin qilamiz 
qo'zg'almas tekislikdan soat yo'nalishi bo'yicha harakatga teskari yo'nalishda o'lchangan, o'qning musbat uchidan qaralganda 
. Ruxsat etilgan o'q atrofida aylanadigan jismning pozitsiyasi bir parametr bilan aniqlanganligi sababli, bunday jism bir daraja erkinlikka ega deyiladi.
Burchak tezligi
Vaqt o'tishi bilan jismning burilish burchagining o'zgarishi burchak deb ataladi tana tezligi
va belgilanadi 
(omega):
.(44)
Burchak tezligi, xuddi chiziqli tezlik kabi, vektor miqdori va bu vektor 
tananing aylanish o'qiga qurilgan. U aylanish o'qi bo'ylab shu yo'nalishda yo'naltirilgan bo'lib, uning oxiridan boshigacha qarab, soat sohasi farqli ravishda tananing aylanishini ko'rish mumkin (58-rasm). Ushbu vektorning moduli bog'liqlik bilan aniqlanadi (44). Qo'llash nuqtasi 
eksa bo'yicha o'zboshimchalik bilan tanlanishi mumkin, chunki vektor uning harakat chizig'i bo'ylab o'tkazilishi mumkin. Aylanish o'qining orth-vektorini bilan belgilasak 
, keyin burchak tezligi uchun vektor ifodasini olamiz:
.
(45)
Burchak tezlanishi
Vaqt o'tishi bilan jismning burchak tezligining o'zgarish tezligi deyiladi burchak tezlanishi
tanasi va belgilangan 
(epsilon):
.
(46)
Burchak tezlashuvi vektor miqdori va bu vektor 
tananing aylanish o'qiga qurilgan. U aylanish o'qi bo'ylab shu yo'nalishda shunday yo'naltirilganki, uning oxiridan boshigacha qarab, soat miliga teskari yo'nalishda epsilonning aylanish yo'nalishini ko'rish mumkin (58-rasm). Ushbu vektorning moduli bog'liqlik bilan aniqlanadi (46). Qo'llash nuqtasi 
eksa bo'yicha o'zboshimchalik bilan tanlanishi mumkin, chunki vektor uning harakat chizig'i bo'ylab o'tkazilishi mumkin.
Aylanish o'qining orth-vektorini bilan belgilasak 
, keyin burchak tezlanishi uchun vektor ifodasini olamiz:
.
(47)
Agar burchak tezligi va tezlanishi bir xil belgiga ega bo'lsa, u holda jism aylanadi tezlashtirilgan, va agar boshqacha bo'lsa - asta-sekin. Sekin aylanishning misoli rasmda ko'rsatilgan. 58.
Aylanma harakatning maxsus holatlarini ko'rib chiqaylik.
1. Bir xil aylanish: 
,
.
,
,
,
,
.
(48)
2. Teng aylanish: 
.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.(49)
Chiziqli va burchakli parametrlar o'rtasidagi bog'liqlik
Ixtiyoriy nuqtaning harakatini ko'rib chiqing 
aylanadigan tana. Bunda nuqtaning traektoriyasi radiusli aylana bo'ladi 
, aylanish o'qiga perpendikulyar tekislikda joylashgan (59-rasm, A).
Aytaylik, ayni paytda 
nuqta o'z o'rnida 
. Tana ijobiy yo'nalishda aylanadi deb faraz qilaylik, ya'ni. ortib borayotgan burchak yo'nalishida 
. Bir lahzada 
nuqta o'rnini egallaydi 
. Keling, yoyni belgilaylik 
. Shuning uchun, ma'lum vaqt oralig'ida 
nuqta o'tib ketdi 
. Uning o'rtacha tezligi
, va qachon 
,
. Ammo, rasmdan. 59, b, bu aniq 
. Keyin. Nihoyat, olamiz
.
(50)
Bu yerga 
- nuqtaning chiziqli tezligi 
. Avvalroq olinganidek, bu tezlik ma'lum bir nuqtada traektoriyaga tangensial yo'naltiriladi, ya'ni. aylanaga teginish.
Shunday qilib, aylanadigan jismning chiziqli (aylana) tezligining moduli burchak tezligining mutlaq qiymati va bu nuqtadan aylanish o'qiga bo'lgan masofaning mahsulotiga tengdir.
Endi nuqta tezlanishining chiziqli komponentlarini burchak parametrlari bilan bog‘laymiz.
,
.
(51)
Qattiq jismning qo'zg'almas o'q atrofida aylanayotgan nuqtasining tangensial tezlanish moduli jismning burchak tezlanishi va bu nuqtadan aylanish o'qiga qadar bo'lgan masofaning mahsulotiga teng.
,
.
(52)
Qattiq jismning qo'zg'almas o'q atrofida aylanadigan nuqtasining normal tezlanish moduli jismning burchak tezligi kvadratining ko'paytmasiga va bu nuqtadan aylanish o'qiga bo'lgan masofaga teng.
Keyin nuqtaning umumiy tezlanishi uchun ifoda shaklni oladi
.
(53)
Vektor yo'nalishlari 
,
,
59-rasmda ko'rsatilgan V.
Yassi harakat qattiq jismning harakati - bu tananing barcha nuqtalari qandaydir qo'zg'almas tekislikka parallel ravishda harakatlanadigan harakatdir. Bunday harakatga misollar:
Bazasi berilgan qo‘zg‘almas tekislik bo‘ylab siljiydigan har qanday jismning harakati;
G'ildirakning yo'lning to'g'ri uchastkasi (temir yo'l) bo'ylab aylanishi.
Tekislik harakati tenglamalarini olamiz. Buning uchun varaq tekisligida harakatlanuvchi tekis shaklni ko'rib chiqing (60-rasm). Keling, bu harakatni qat'iy belgilangan koordinatalar tizimi bilan bog'laylik 
, va shaklning o'zi bilan biz harakatlanuvchi koordinata tizimini bog'laymiz 
, u bilan birga harakatlanadi.
Shubhasiz, harakatlanuvchi figuraning harakatsiz tekislikdagi holati harakatlanuvchi o'qlarning holati bilan belgilanadi 
sobit o'qlarga nisbatan 
. Bu pozitsiya harakatlanuvchi kelib chiqish pozitsiyasi bilan belgilanadi 
, ya'ni. koordinatalar 
,
va aylanish burchagi 
, harakatlanuvchi koordinatalar tizimi, nisbatan aniqlangan, biz uni o'qdan hisoblaymiz 
soat yo'nalishi bo'yicha harakatga teskari yo'nalishda.
Binobarin, yassi figuraning uning tekisligidagi harakati, agar qiymatlari bo'lsa, to'liq aniqlanadi 
,
,
, ya'ni. shakldagi tenglamalar:
,
,
.
(54)
(54) tenglamalar qattiq jismning tekis harakati tenglamalaridir, chunki agar bu funksiyalar ma'lum bo'lsa, har bir vaqt momenti uchun bu tenglamalardan mos ravishda topish mumkin. 
,
,
, ya'ni. harakatlanuvchi figuraning ma'lum bir vaqtda o'rnini aniqlang.
Keling, alohida holatlarni ko'rib chiqaylik:
1.
, u holda tananing harakati translyatsion bo'ladi, chunki harakatlanuvchi o'qlar boshlang'ich holatiga parallel qolgan holda harakatlanadi.
2.
,
. Ushbu harakat bilan faqat burilish burchagi o'zgaradi 
, ya'ni. tana nuqta orqali chizma tekisligiga perpendikulyar o'tadigan o'q atrofida aylanadi 
.
Yassi figuraning harakatini translyatsion va aylanishga ajratish
Ikkita ketma-ket pozitsiyani ko'rib chiqing 
Va 
vaqt daqiqalarida tana tomonidan ishg'ol qilinadi 
Va 
(61-rasm). Tananing pozitsiyasidan 
joylashtirish 
quyidagicha o'tkazilishi mumkin. Keling, avval tanani harakatga keltiraylik bosqichma-bosqich. Bunday holda, segment 
pozitsiyasiga o'ziga parallel harakat qiladi 
, undan keyin aylanaylik tana (qutb) atrofida 
burchak ostida 
nuqtalar mos kelguncha 
Va 
.
Demak, har qanday tekislik harakati tanlangan qutb va aylanish harakati bilan birga translatsiya harakati yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin, bu qutbga nisbatan.
Tekis harakatni amalga oshiruvchi jism nuqtalarining tezliklarini aniqlashda qo‘llanilishi mumkin bo‘lgan usullarni ko‘rib chiqamiz.
1. Qutb usuli. Bu usul tekislik harakatining translatsion va aylanishga bo'linishiga asoslangan. Yassi figuraning har qanday nuqtasining tezligi ikkita komponent ko'rinishida ifodalanishi mumkin: tarjima, o'zboshimchalik bilan tanlangan nuqta tezligiga teng tezlik bilan -qutblar , va bu qutb atrofida aylanish.
Keling, tekis jismni ko'rib chiqaylik (62-rasm). Harakat tenglamalari: 
,
,
.
Ushbu tenglamalardan biz nuqta tezligini aniqlaymiz 
(koordinatani belgilash usuli kabi)
,
,
.
Shunday qilib, nuqta tezligi 
- miqdori ma'lum. Biz bu nuqtani qutb sifatida qabul qilamiz va ixtiyoriy nuqtaning tezligini aniqlaymiz 
jismlar.
Tezlik 
tarjima komponentidan iborat bo‘ladi 
, nuqta bilan birga harakatlanayotganda 
, va aylanish 
, nuqtani aylantirganda 
nuqtaga nisbatan 
. Nuqta tezligi 
nuqtaga o'ting 
o'ziga parallel, chunki translatsiya harakati paytida barcha nuqtalarning tezligi ham kattalik, ham yo'nalish bo'yicha tengdir. Tezlik 
qaramlik bilan aniqlanadi (50) 
, va bu vektor radiusga perpendikulyar yo'naltirilgan 
aylanish yo'nalishi bo'yicha 
. Vektor 
vektorlar ustiga qurilgan parallelogramma diagonali bo'ylab yo'naltiriladi 
Va 
, va uning moduli bog'liqlik bilan aniqlanadi:
,
.(55)
2. Jismning ikki nuqtasi tezliklarining proyeksiyalari haqidagi teorema.
Qattiq jismning ikkita nuqtasi tezliklarining bu nuqtalarni tutashtiruvchi to'g'ri chiziqqa proyeksiyalari bir-biriga teng.
Tananing ikkita nuqtasini ko'rib chiqing 
Va 
(63-rasm). Nuqta olish 
qutbdan tashqarida biz yo'nalishni aniqlaymiz 
ga qarab (55): 
. Ushbu vektor tengligini chiziqqa proyeksiya qilamiz 
va buni hisobga olgan holda 
perpendikulyar 
, olamiz
3. Bir lahzali tezlik markazi.
Tezlik markazi(MCS) - ma'lum bir vaqtda tezligi nolga teng bo'lgan nuqta.
Keling, ko'rsataylikki, agar jism translatsiya bo'yicha harakat qilmasa, unda bunday nuqta vaqtning har bir daqiqasida mavjud bo'ladi va bundan tashqari, noyobdir. Bir lahzada ruxsat bering 
ball 
Va 
bo'limda yotgan jismlar 
, tezliklarga ega 
Va 
, bir-biriga parallel emas (64-rasm). Keyin ishora qiling 
, vektorlarga perpendikulyarlar kesishmasida yotgan 
Va 
, va MCS bo'ladi, chunki 
.
Haqiqatan ham, agar biz buni taxmin qilsak 
, keyin (56) teoremaga ko'ra vektor 
bir vaqtning o'zida perpendikulyar bo'lishi kerak 
Va 
, bu mumkin emas. Xuddi shu teoremadan ko'rinib turibdiki, boshqa hech qanday bo'lim nuqtasi yo'q 
hozirgi vaqtda vaqtning nolga teng tezligi bo'lishi mumkin emas.
Qutb usulidan foydalanish 
- qutb, nuqta tezligini aniqlang 
(55): chunki 
,
. (57)
Xuddi shunday natijani tananing boshqa har qanday nuqtasi uchun olish mumkin. Shuning uchun tanadagi har qanday nuqtaning tezligi uning MCSga nisbatan aylanish tezligiga teng:
,
,
, ya'ni. tana nuqtalarining tezligi ularning MCSgacha bo'lgan masofalariga proportsionaldir.
Yassi figura nuqtalarining tezligini aniqlashning uchta ko'rib chiqilgan usullaridan MCS afzalligi aniq, chunki bu erda tezlik bir komponentning kattaligi va yo'nalishi bo'yicha darhol aniqlanadi. Ammo, agar biz MCS ning tana uchun pozitsiyasini bilsak yoki aniqlay olsak, bu usuldan foydalanish mumkin.
MCS pozitsiyasini aniqlash
1. Agar tananing berilgan holati uchun jismning ikkita nuqtasi tezligining yo'nalishlarini bilsak, u holda MCS bu tezlik vektorlariga perpendikulyarlarning kesishish nuqtasi bo'ladi.
2. Tananing ikkita nuqtasining tezligi antiparalleldir (65-rasm, A). Bunday holda, tezliklarga perpendikulyar umumiy bo'ladi, ya'ni. MCS shu perpendikulyarda biror joyda joylashgan. MCS o'rnini aniqlash uchun tezlik vektorlarining uchlarini ulash kerak. Ushbu chiziqning perpendikulyar bilan kesishish nuqtasi kerakli MCS bo'ladi. Bunday holda, MCS ushbu ikki nuqta o'rtasida joylashgan.
3. Jismning ikkita nuqtasining tezligi parallel, lekin kattalik jihatidan teng emas (65-rasm, b). MDSni olish tartibi 2-bandda tavsiflanganga o'xshaydi.
d) Ikki nuqtaning tezligi ham kattaligi, ham yo‘nalishi bo‘yicha tengdir (65-rasm, V). Biz jismning barcha nuqtalarining tezliklari teng bo'lgan lahzali translatsiya harakati holatini olamiz. Demak, bu holatda jismning burchak tezligi nolga teng:
4. Harakatsiz yuzada sirpanmasdan aylanayotgan g‘ildirak uchun MCS ni aniqlaymiz (65-rasm, G). Harakat sirpanishsiz sodir bo'lganligi sababli, g'ildirakning sirt bilan aloqa qilish nuqtasida tezlik bir xil va nolga teng bo'ladi, chunki sirt harakatsizdir. Binobarin, g'ildirakning statsionar sirt bilan aloqa nuqtasi MCS bo'ladi.
Tekislik figurasi nuqtalarining tezlanishlarini aniqlash
Yassi figura nuqtalarining tezlanishlarini aniqlashda tezliklarni aniqlash usullari bilan o'xshashlik mavjud.
1. Qutb usuli. Xuddi tezliklarni aniqlashda biz qutb sifatida tezlanishini biz bilgan yoki aniqlay oladigan jismning ixtiyoriy nuqtasini olamiz. Keyin Yassi figuraning istalgan nuqtasining tezlanishi qutb tezlanishlari va bu qutb atrofida aylanish harakatidagi tezlanish yig'indisiga teng:
Bunday holda, komponent 
nuqtaning tezlanishini aniqlaydi 
qutb atrofida aylanayotganda 
. Aylanayotganda nuqtaning traektoriyasi egri chiziqli bo'ladi, ya'ni 
(66-rasm).
Keyin bog'liqlik (58) shaklni oladi 
.
(59)
(51) va (52) bog'liqliklarni hisobga olgan holda, biz olamiz 
,
.
2. Bir zumda tezlashtirish markazi.
Tezlashtirish markazi(MCU) - ma'lum bir vaqtda tezlashishi nolga teng bo'lgan nuqta.
Keling, har qanday vaqtda bunday nuqta mavjudligini ko'rsataylik. Biz bir nuqtani qutb sifatida qabul qilamiz 
, kimning tezlashishi 
bilamiz. Burchakni topish 
, ichida yotgan 
, va shartni qondirish 
. Agar 
, Bu 
va aksincha, ya'ni. burchak 
yo'nalishda kechiktirildi 
. Keling, nuqtadan keyinga qoldiraylik 
burchak ostida 
vektorga 
chiziq segmenti 
(67-rasm). Bunday konstruktsiyalar tomonidan olingan nuqta 
MCU bo'ladi.
Haqiqatan ham, nuqtaning tezlashishi 
tezlanishlar yig'indisiga teng 
qutblar 
va tezlashtirish 
qutb atrofida aylanish harakatida 
:
.
,
. Keyin 
. Boshqa tomondan, tezlashtirish 
segment yo'nalishi bilan shakllanadi 
burchak 
, bu shartni qondiradi 
. Burchakning tangensi oldiga minus belgisi qo'yiladi 
, aylanishdan beri 
qutbga nisbatan 
soat miliga teskari va burchak 
soat yo'nalishi bo'yicha joylashtiriladi. Keyin 
.
Demak, 
undan keyin 
.
MCUni aniqlashning alohida holatlari
1.
. Keyin 
, va shuning uchun MCU mavjud emas. Bunday holda, tana translyatsion tarzda harakat qiladi, ya'ni. jismning barcha nuqtalarining tezliklari va tezlanishlari teng.
2.
. Keyin 
,
. Bu shuni anglatadiki, MCU jism nuqtalarining tezlanishlari ta'sir chiziqlari kesishgan joyda yotadi (68-rasm, A).
3.
. Keyin, 
,
. Bu shuni anglatadiki, MCU tananing nuqtalarining tezlanishlariga perpendikulyarlarning kesishmasida yotadi (68-rasm, b).
4.
. Keyin 
,
. Bu shuni anglatadiki, MCU burchak ostida jism nuqtalarining tezlanishiga tortilgan nurlar kesishmasida yotadi. 
(68-rasm, V).
Ko'rib chiqilgan maxsus holatlardan xulosa qilishimiz mumkin: agar biz fikrni qabul qilsak 
qutbdan tashqarida, u holda tekis figuraning istalgan nuqtasining tezlashishi MCU atrofida aylanish harakatining tezlashishi bilan aniqlanadi:
.
(60)
Murakkab nuqta harakati nuqta bir vaqtning o'zida ikki yoki undan ortiq harakatlarda ishtirok etadigan harakat deyiladi. Bunday harakat bilan nuqtaning pozitsiyasi harakatlanuvchi va nisbatan statsionar mos yozuvlar tizimlariga nisbatan aniqlanadi.
Nuqtaning harakatlanuvchi mos yozuvlar tizimiga nisbatan harakati deyiladi nuqtaning nisbiy harakati
. Nisbiy harakat parametrlarini belgilashga rozimiz 
.
Harakatlanuvchi mos yozuvlar tizimining o'sha nuqtasining harakati, statsionar mos yozuvlar tizimiga nisbatan harakatlanuvchi nuqta hozirgi vaqtda to'g'ri keladi. nuqtaning portativ harakati
. Biz portativ harakat parametrlarini belgilashga rozimiz 
.
Nuqtaning o'zgarmas sanoq sistemasiga nisbatan harakati deyiladi mutlaq (murakkab)
nuqta harakati
. Biz mutlaq harakat parametrlarini belgilashga rozimiz 
.
Murakkab harakatga misol sifatida harakatlanayotgan transport vositasida (tramvay) odamning harakatini ko'rib chiqishimiz mumkin. Bunda inson harakati harakatlanuvchi koordinatalar tizimi - tramvay va qo'zg'almas koordinatalar tizimi - yer (yo'l) bilan bog'liq. Keyinchalik, yuqorida keltirilgan ta'riflardan kelib chiqqan holda, odamning tramvayga nisbatan harakati nisbiy, tramvay bilan birga erga nisbatan harakati ko'chma, odamning erga nisbatan harakati mutlaqdir.
Biz nuqtaning o'rnini aniqlaymiz 
radiuslar - harakatga nisbatan vektorlar 
va harakatsiz 
koordinata tizimlari (69-rasm). Keling, quyidagi belgini kiritamiz: 
- nuqta o'rnini belgilovchi radius vektor 
harakatlanuvchi koordinatalar tizimiga nisbatan 
,
;
- radius vektori, bu harakatlanuvchi koordinatalar tizimining boshlanish joyini belgilaydi (nuqta 
) (nuqtalar 
);
- radius - nuqta o'rnini aniqlaydigan vektor 
qattiq koordinatalar tizimiga nisbatan 
;
,.
Nisbiy, ko'chma va mutlaq harakatlarga mos keladigan shartlarni (cheklovlarni) olamiz.
1. Nisbiy harakatni ko'rib chiqayotganda, biz nuqta deb faraz qilamiz 
harakatlanuvchi koordinatalar tizimiga nisbatan harakat qiladi 
, va harakatlanuvchi koordinatalar tizimining o'zi 
qattiq koordinatalar tizimiga nisbatan 
qimirlamaydi.
Keyin nuqtaning koordinatalari 
nisbiy harakatda o'zgaradi, lekin harakatlanuvchi koordinata tizimining orth-vektorlari yo'nalishi bo'yicha o'zgarmaydi:
,
,
.
2. Ko'chma harakatni ko'rib chiqayotganda, biz nuqtaning koordinatalari deb faraz qilamiz 
harakatlanuvchi koordinatalar sistemasiga nisbatan o'zgarmas bo'ladi va nuqta harakatlanuvchi koordinatalar tizimi bilan birga harakat qiladi 
nisbatan statsionar 
:
,
,
,.
3. Mutlaq harakat bilan nuqta ham nisbatan harakat qiladi 
va koordinatalar tizimi bilan birga 
nisbatan statsionar 
:
Keyin (27) ni hisobga olgan holda tezliklar uchun ifodalar shaklga ega bo'ladi
,
,
Ushbu bog'liqliklarni taqqoslab, biz mutlaq tezlik uchun ifodani olamiz: 
.
(61)
Murakkab harakatdagi nuqtaning tezliklarini qo‘shish bo‘yicha teorema oldik: nuqtaning mutlaq tezligi nisbiy va portativ tezlik komponentlarining geometrik yig'indisiga teng.
(31) bog'liqlikdan foydalanib, tezlanishlar uchun ifodalarni olamiz:
,
Ushbu bog'liqliklarni taqqoslab, biz mutlaq tezlanish ifodasini olamiz: 
.
Biz nuqtaning mutlaq tezlanishi nisbiy va ko'chma tezlanish komponentlarining geometrik yig'indisiga teng emasligini aniqladik. Maxsus holatlar uchun qavs ichidagi mutlaq tezlanish komponentini aniqlaymiz.
1. Nuqtaning portativ translatsion harakati 
. Bunday holda, harakatlanuvchi koordinata tizimining o'qlari 
o'zlariga parallel ravishda har doim harakat, keyin. 
,
,
,
,
,
, Keyin 
. Nihoyat, olamiz
.
(62)
Agar nuqtaning ko'chma harakati translyatsion bo'lsa, u holda nuqtaning mutlaq tezlanishi tezlanishning nisbiy va ko'chma komponentlarining geometrik yig'indisiga teng bo'ladi.
2. Nuqtaning ko'chma harakati translyatsion emas. Bu shuni anglatadiki, bu holda harakatlanuvchi koordinatalar tizimi 
lahzali aylanish o'qi atrofida burchak tezligi bilan aylanadi 
(70-rasm). Vektorning oxiridagi nuqtani belgilaymiz 
orqali 
. Keyin (15) belgilashning vektor usulidan foydalanib, biz ushbu nuqtaning tezlik vektorini olamiz 
.
Boshqa tomondan, 
. Ushbu vektor tengliklarining o'ng tomonlarini tenglashtirib, biz quyidagilarni olamiz: 
. Qolgan birlik vektorlari uchun xuddi shunday harakat qilib, biz quyidagilarni olamiz: 
,
.
Umumiy holatda nuqtaning mutlaq tezlanishi nisbiy va ko'chma tezlanish komponentlarining geometrik yig'indisiga plyus ko'chma harakatning burchak tezligi vektori va nisbiy harakatning chiziqli tezlik vektorining ikkilangan vektor ko'paytmasiga teng.
Ko'chma harakatning burchak tezligi vektori va nisbiy harakatning chiziqli tezlik vektorining qo'sh vektor mahsuloti deyiladi. Koriolis tezlashishi va belgilanadi
.
(64)
Koriolis tezlashuvi translatsiya harakatida nisbiy tezlikning o'zgarishini va nisbiy harakatda translatsiya tezligining o'zgarishini tavsiflaydi.
Boshlandi 
vektor mahsulot qoidasiga muvofiq. Koriolis tezlanish vektori doimo vektorlar hosil qilgan tekislikka perpendikulyar yo'naltiriladi 
Va 
, shunday tarzda, vektor oxiridan qarab 
, burilishni ko'ring 
Kimga 
, eng kichik burchak orqali, soat sohasi farqli o'laroq.
Koriolis tezlanish moduli ga teng.
Aylanish burchagi, burchak tezligi va burchak tezlanishi
Qattiq jismning qattiq o'q atrofida aylanishi Bu harakat deyiladi, unda tananing ikki nuqtasi butun harakat vaqtida harakatsiz qoladi. Bunda tananing qo'zg'almas nuqtalaridan o'tuvchi to'g'ri chiziqda joylashgan barcha nuqtalari ham harakatsiz qoladi. Bu qator deyiladi tananing aylanish o'qi.
Agar A Va IN- tananing sobit nuqtalari (15-rasm ), u holda aylanish o'qi eksa bo'ladi Oz, kosmosda har qanday yo'nalishga ega bo'lishi mumkin, vertikal bo'lishi shart emas. Bir eksa yo'nalishi Oz ijobiy deb qabul qilinadi.
Biz aylanish o'qi orqali qo'zg'almas tekislikni chizamiz tomonidan va mobil P, aylanuvchi jismga biriktirilgan. Vaqtning dastlabki momentida ikkala tekislik mos tushsin. Keyin bir lahzada t harakatlanuvchi tekislik va aylanuvchi jismning o'zi o'rnini tekisliklar orasidagi dihedral burchak va mos keladigan chiziqli burchak bilan aniqlash mumkin. φ bu tekisliklarda joylashgan va aylanish o'qiga perpendikulyar to'g'ri chiziqlar o'rtasida. Burchak φ chaqirdi tananing aylanish burchagi.
Tanlangan mos yozuvlar tizimiga nisbatan tananing pozitsiyasi har qanday holatda to'liq aniqlanadi
vaqt momenti, agar tenglama berilgan bo'lsa φ =f(t) (5)
Qayerda f(t)- vaqtning har qanday ikki marta differentsiallanuvchi funksiyasi. Bu tenglama deyiladi qattiq jismning qo'zg'almas o'q atrofida aylanish tenglamasi.
Ruxsat etilgan o'q atrofida aylanadigan jism bir daraja erkinlikka ega, chunki uning pozitsiyasi faqat bitta parametr - burchakni belgilash orqali aniqlanadi. φ .
Burchak φ agar u soat miliga teskari yo'nalishda chizilgan bo'lsa ijobiy, o'qning musbat yo'nalishidan qaralganda esa teskari yo'nalishda salbiy hisoblanadi. Oz. Jismning qo'zg'almas o'q atrofida aylanish paytidagi nuqtalarining traektoriyalari aylanish o'qiga perpendikulyar tekisliklarda joylashgan doiralardir.
Qattiq jismning qo'zg'almas o'q atrofida aylanish harakatini tavsiflash uchun biz burchak tezligi va burchak tezlanishi tushunchalarini kiritamiz. Tananing algebraik burchak tezligi vaqtning har qanday momentida bu momentda aylanish burchagi vaqtiga nisbatan birinchi hosila deyiladi, ya'ni. dph/dt = ph. Tana soat yo'nalishi bo'yicha teskari yo'nalishda aylanganda u ijobiy miqdordir, chunki aylanish burchagi vaqt o'tishi bilan ortadi va tana soat yo'nalishi bo'yicha aylanganda salbiy, chunki aylanish burchagi kamayadi.
Burchak tezligi moduli bilan belgilanadi ω. Keyin ω= ׀dph/dt׀= ׀φ ׀ (6)
Burchak tezligining o'lchami (6) ga muvofiq o'rnatiladi.
[ō] = burchak/vaqt = rad/s = s -1.
Muhandislikda burchak tezligi daqiqada aylanishlarda ifodalangan aylanish tezligidir. 1 daqiqada tana burchak orqali aylanadi 2p, Agar P- daqiqada aylanishlar soni. Ushbu burchakni daqiqada soniyalar soniga bo'linib, biz quyidagilarni olamiz: (7)
Tananing algebraik burchak tezlanishi algebraik tezlik vaqtiga nisbatan birinchi hosila deb ataladi, ya'ni. aylanish burchagining ikkinchi hosilasi d 2 ph/dt 2 = ō. Burchak tezlashtirish modulini belgilaymiz ε , Keyin ε=|φ| (8)
Burchak tezlanishining o'lchami (8) dan olinadi:
[ε ] = burchak tezligi/vaqt = rad/s 2 = s -2
Agar φ’’>0 da φ’>0 , keyin algebraik burchak tezligi vaqt o'tishi bilan ortadi va shuning uchun tana vaqt momentida ijobiy yo'nalishda (soat miliga teskari) tezlashtirilgan holda aylanadi. Da φ’’<0 Va φ’<0 tana salbiy yo'nalishda tez aylanadi. Agar φ’’<0 da φ’>0 , keyin biz ijobiy yo'nalishda sekin aylanishga egamiz. Da φ’’>0 Va φ’<0 , ya'ni. sekin aylanish salbiy yo'nalishda sodir bo'ladi. Shakllardagi burchak tezligi va burchak tezlashuvi aylanish o'qi atrofida yoy o'qlari bilan tasvirlangan. Burchak tezligi uchun yoy o'qi jismlarning aylanish yo'nalishini ko'rsatadi;
Tezlashtirilgan aylanish uchun burchak tezligi va burchak tezlanishi uchun yoy o'qlari bir xil yo'nalishga ega, sekin aylanish uchun esa ularning yo'nalishlari qarama-qarshidir.
Qattiq jismni aylantirishning alohida holatlari
Aylanish, agar bir xil bo'lsa, deyiladi ō=const, ph= ph’t
Agar aylanish bir xil bo'ladi e=const. ph’= ph’ 0 + ph’’t va
Umuman olganda, agar φ’’ har doim emas,
Tana nuqtalarining tezliklari va tezlanishlari
Qattiq jismning qo'zg'almas o'q atrofida aylanish tenglamasi ma'lum ph= f(t)(16-rasm). Masofa s ball M harakatlanuvchi tekislikda P nuqtadan o'lchangan dumaloq yoy (nuqta traektoriyasi) bo'ylab M o, qattiq tekislikda joylashgan, burchak orqali ifodalangan φ giyohvandlik s=hph, Qayerda h-nuqta bo'ylab harakatlanadigan doira radiusi. Bu nuqtadan eng qisqa masofa M aylanish o'qiga. Bu ba'zan nuqtaning aylanish radiusi deb ataladi. Tananing har bir nuqtasida, tananing sobit o'q atrofida aylanayotganda aylanish radiusi o'zgarishsiz qoladi.
Nuqtaning algebraik tezligi M formula bilan aniqlanadi v t =s’=hph Nuqta tezligi moduli: v=hō(9)
Ruxsat etilgan o'q atrofida aylanish paytida tana nuqtalarining tezligi ularning bu o'qga bo'lgan eng qisqa masofalariga proportsionaldir. Proportsionallik koeffitsienti burchak tezligidir. Nuqtalarning tezliklari traektoriyalarga tangenslar bo'ylab yo'naltirilgan va shuning uchun aylanish radiuslariga perpendikulyar. To'g'ri chiziq segmentida joylashgan tana nuqtalarining tezliklari OM,(9) ga muvofiq chiziqli qonun bo'yicha taqsimlanadi. Ular o'zaro parallel bo'lib, ularning uchlari aylanish o'qi orqali o'tadigan bir xil to'g'ri chiziqda joylashgan. Biz nuqtaning tezlanishini tangensial va normal komponentlarga ajratamiz, ya'ni. a=a t +a nt Tangensial va normal tezlanishlar (10) formulalar yordamida hisoblanadi.
chunki aylana uchun egrilik radiusi p=h(17-rasm ). Shunday qilib,
Nuqtalarning tangens, normal va umumiy tezlanishlari, shuningdek, tezliklar ham chiziqli qonunga muvofiq taqsimlanadi. Ular nuqtalarning aylanish o'qiga bo'lgan masofalariga chiziqli bog'liqdir. Oddiy tezlanish aylana radiusi bo'ylab aylanish o'qiga qarab yo'naltiriladi. Tangensial tezlanishning yo'nalishi algebraik burchak tezlanishining belgisiga bog'liq. Da φ’>0
Va φ’’>0
yoki φ’<0
Va φ’<0
biz tananing tezlashtirilgan aylanishini va vektorlarning yo'nalishlarini oldik a t Va v mos kelish. Agar φ’
Va φ’"
turli belgilarga ega (sekin aylanish), keyin a t Va v bir-biriga qarama-qarshi yo'naltirilgan.
Belgilangan holda α nuqtaning umumiy tezlanishi va uning aylanish radiusi orasidagi burchakka egamiz
tga = | a t |/a n = e/ō 2 (11)
normal tezlashuvdan beri a p har doim ijobiy. Burchak A tananing barcha nuqtalari uchun bir xil. Qattiq jismning aylanish yo'nalishidan qat'i nazar, burchak tezlashuvining yoy o'qi yo'nalishi bo'yicha tezlanishdan aylanish radiusiga qoldirilishi kerak.
Burchak tezligi va burchak tezlanishi vektorlari
Jismning burchak tezligi va burchak tezlanishi vektorlari tushunchalari bilan tanishamiz. Agar TO- aylanish o'qining musbat yo'nalishiga yo'naltirilgan birlik vektori, keyin burchak tezligi vektorlari. ώ va burchak tezlanishi ε ifodalar bilan aniqlanadi (12)
Chunki k kattaligi va yo‘nalishi bo‘yicha vektor doimiysi bo‘lsa, (12) dan shunday xulosa chiqadi
e=dώ/dt(13)
Da φ’>0 Va φ’’>0 vektor yo'nalishlari ώ Va ε mos kelish. Ularning ikkalasi ham aylanish o'qining ijobiy tomoniga yo'naltirilgan Oz(18.a-rasm)Agar φ’>0 Va φ’’<0 , keyin ular qarama-qarshi yo'nalishlarga yo'naltiriladi (18.b-rasm). ). Burchak tezlanish vektori tezlashtirilgan aylanish paytida burchak tezligi vektori bilan yo'nalish bo'yicha mos keladi va sekin aylanishda unga qarama-qarshi bo'ladi. Vektorlar ώ Va ε aylanish o'qining istalgan nuqtasida tasvirlanishi mumkin. Ular harakatlanuvchi vektorlardir. Bu xususiyat tana nuqtalarining tezliklari va tezlanishlari uchun vektor formulalaridan kelib chiqadi.
Murakkab nuqta harakati
Asosiy tushunchalar
Qattiq jism harakatining bir qancha murakkab turlarini o'rganish uchun nuqtaning eng oddiy murakkab harakatini ko'rib chiqish maqsadga muvofiqdir. Ko'pgina masalalarda nuqtaning harakatini bir-biriga nisbatan harakatlanadigan ikki (yoki undan ko'p) mos yozuvlar tizimiga nisbatan ko'rib chiqish kerak. Shunday qilib, Oyga qarab harakatlanayotgan kosmik kemaning harakatini bir vaqtning o'zida Yerga nisbatan ham, Yerga nisbatan harakat qilayotgan Oyga nisbatan ham ko'rib chiqish kerak. Nuqtaning har qanday harakatini bir necha harakatlardan iborat murakkab deb hisoblash mumkin. Masalan, kemaning Yerga nisbatan daryo bo'ylab harakatlanishini murakkab deb hisoblash mumkin, bu suv bo'ylab va oqayotgan suv bilan birgalikda harakat qilishdan iborat.
Eng oddiy holatda nuqtaning murakkab harakati nisbiy va translyatsion harakatlardan iborat. Keling, ushbu harakatlarni aniqlaylik. Keling, ikkita mos yozuvlar tizimi bir-biriga nisbatan harakat qilaylik. Agar ushbu tizimlardan biri bo'lsa O l x 1 y 1 z 1(19-rasm ) asosiy yoki statsionar sifatida qabul qilinadi (uning boshqa mos yozuvlar tizimlariga nisbatan harakati hisobga olinmaydi), keyin ikkinchi mos yozuvlar tizimi Oxyz birinchisiga nisbatan harakatlanadi. Nuqtaning harakatlanuvchi mos yozuvlar tizimiga nisbatan harakati Oxyz chaqirdi qarindosh. Bu harakatning traektoriya, tezlik va tezlanish kabi xususiyatlari deyiladi qarindosh. Ular r indeksi bilan belgilanadi; tezlik va tezlashtirish uchun v r, a r. Asosiy yoki sobit tizim mos yozuvlar ramkasiga nisbatan nuqtaning harakati O 1 x 1 y 1 z 1 chaqirdi mutlaq(yoki murakkab ). U ba'zan deyiladi kompozitsion harakat. Bu harakatning traektoriyasi, tezligi va tezlanishi mutlaq deyiladi. Mutlaq harakatning tezligi va tezlashishi harflar bilan ko'rsatilgan v, a indekslar yo'q.
 |
Nuqtaning ko'chma harakati - bu ko'rib chiqilayotgan vaqtda ushbu tizimga qattiq bog'langan nuqta sifatida harakatlanuvchi mos yozuvlar ramkasi bilan birgalikda amalga oshiradigan harakati. Nisbiy harakat tufayli turli vaqtlarda harakatlanuvchi nuqta tananing turli nuqtalariga to'g'ri keladi S, harakatlanuvchi mos yozuvlar tizimi biriktirilgan. Portativ tezlik va portativ tezlashuv tananing ushbu nuqtasining tezligi va tezlashishi hisoblanadi S, qaysi bilan harakatlanish nuqtasi hozirda to'g'ri keladi. Portativ tezlik va tezlanishni bildiradi v e, a e.
Agar tananing barcha nuqtalarining traektoriyalari S, harakatlanuvchi mos yozuvlar tizimiga biriktirilgan, rasmda tasvirlangan (20-rasm), keyin biz chiziqlar oilasini - nuqtaning ko'chma harakatining traektoriyalari oilasini olamiz. M. Nuqtaning nisbiy harakati tufayli M har bir daqiqada u ko'chma harakat traektoriyalaridan birida. Nuqta M bu transfer traektoriyalari oilasining har bir traektoriyasida faqat bitta nuqtaga to'g'ri kelishi mumkin. Shu munosabat bilan, ba'zida ko'chma harakatning traektoriyalari yo'qligiga ishonishadi, chunki chiziqlarni ko'chma harakat traektoriyasi sifatida ko'rib chiqish kerak, buning uchun faqat bitta nuqta aslida traektoriya nuqtasidir.
Nuqta kinematikasida nuqtaning har qanday mos yozuvlar tizimiga nisbatan harakati, bu mos yozuvlar tizimi boshqa tizimlarga nisbatan harakat qiladimi yoki yo'qligidan qat'i nazar, o'rganildi. Keling, eng oddiy holatda nisbiy va majoziy harakatdan iborat bo'lgan murakkab harakatni ko'rib chiqish orqali ushbu tadqiqotni to'ldiramiz. Har xil harakatlanuvchi mos yozuvlar ramkalarini tanlagan bir xil mutlaq harakatni turli xil ko'chma va shunga mos ravishda nisbiy harakatlardan iborat deb hisoblash mumkin.
Tezlikni qo'shish
Nuqtaning nisbiy va ko’chma harakat tezligi ma’lum bo’lsa, uning mutlaq harakat tezligini aniqlaymiz. Nuqta Oxyz harakatlanuvchi sanoq sistemasiga nisbatan faqat bitta, nisbiy harakat qilsin va t vaqt momentida nisbiy harakat traektoriyasida M pozitsiyasini egallasin (20-rasm). t+ t vaqtida nisbiy harakat tufayli nuqta nisbiy harakat traektoriyasi bo‘ylab MM 1 harakat qilgan holda M 1 holatda bo‘ladi. Faraz qilaylik, bu masalada gap bor Oxyz va nisbiy traektoriya bilan u qandaydir egri chiziq bo'ylab harakatlanadi MM 2. Agar nuqta bir vaqtning o'zida ham nisbiy, ham ko'chma harakatlarda ishtirok etsa, u holda A vaqtida; ga ko'chib o'tadi MM" mutlaq harakat traektoriyasi bo'ylab va vaqt momentida t+Ot pozitsiyasini egallaydi M". Vaqt bo'lsa Da oz va keyin chegarasiga o'ting Da, nolga moyil bo'lsa, u holda egri chiziqlar bo'ylab kichik siljishlar akkordlar segmentlari bilan almashtirilishi va siljish vektorlari sifatida olinishi mumkin. Vektor siljishlarini qo'shib, biz olamiz
Shu munosabat bilan, nolga moyil bo'lgan yuqori darajadagi kichik miqdorlar tashlanadi Da, nolga intiladi. Cheklovga o'tib, bizda (14) bor
Shuning uchun (14) (15) shaklini oladi.
Tezlikni qo'shish teoremasi deb ataladigan narsa olinadi: nuqtaning mutlaq harakatining tezligi ushbu nuqtaning ko'chma va nisbiy harakatlari tezligining vektor yig'indisiga teng. Umumiy holatda ko'chma va nisbiy harakatlarning tezligi perpendikulyar bo'lmagani uchun (15')
Tegishli ma'lumotlar.
Yuklanmoqda...