Aniq integral yordamida inqilob jismlarining hajmlarini hisoblash. Sikloid yoyining tekis figuraning maydonini parametrik ravishda aylantirish natijasida olingan jismning hajmi

Biz geometrik ma'noni aniqlaganimizda aniq integral, bizda x o'qi va to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapezoidning maydonini topishingiz mumkin bo'lgan formula mavjud. x = a, x = b, shuningdek, uzluksiz (salbiy bo'lmagan yoki ijobiy bo'lmagan) funktsiya y = f(x). Ba'zan parametrik shaklda raqamni cheklaydigan funktsiyani belgilash qulayroqdir, ya'ni. t parametri orqali funksional bog’liqlikni ifodalang. Doirasida ushbu materialdan Agar raqam parametrik aniqlangan egri chiziq bilan chegaralangan bo'lsa, uning maydonini qanday topish mumkinligini ko'rsatamiz.

Nazariyani tushuntirib, formulani ishlab chiqqandan so'ng, biz bunday raqamlarning maydonini topish uchun bir nechta tipik misollarni ko'rib chiqamiz.

Hisoblash uchun asosiy formula

Faraz qilaylik, bizda egri chiziqli trapetsiya bor, uning chegaralari x = a, x = b to'g'ri chiziqlar, O x o'qi va parametrik aniqlangan egri x = ph (t) y = ps (t) va x = ph (t) va y = ps (t) funksiyalar a intervalda uzluksiz; b, a< β , x = φ (t) будет непрерывно возрастать на нем и φ (α) = a , φ (β) = b .

Ta'rif 1

Bunday sharoitda trapezoidning maydonini hisoblash uchun S (G) = ∫ a b ps (t) · ph "(t) d t formulasidan foydalanish kerak.

Biz uni egri chiziqli trapetsiya maydoni formulasidan S (G) = ∫ a b f (x) d x almashtirish usuli bilan x = ph (t) y = ps (t) oldik:

S (G) = ∫ a b f (x) d x = ∫ a b ps (t) d (ph (t)) = ∫ a b ps (t) ph " (t) d t

Ta'rif 2

b oraliqda x = ph (t) funksiyaning monoton kamayishini hisobga olgan holda; a, b< α , нужная формула принимает вид S (G) = - ∫ β α ψ (t) · φ " (t) d t .

Agar x = ph (t) funktsiya asosiy elementarlardan biri bo'lmasa, u holda uning ortib borishini yoki kamayishini aniqlash uchun intervalda funktsiyani oshirish va kamaytirishning asosiy qoidalarini eslab qolishimiz kerak bo'ladi.

Ushbu paragrafda biz yuqorida keltirilgan formuladan foydalangan holda bir nechta muammolarni tahlil qilamiz.

1-misol

Vaziyat: x = 2 cos t y = 3 sin t ko'rinishdagi tenglamalar bilan berilgan chiziqdan hosil bo'lgan figuraning maydonini toping.

Yechim

Bizda parametrik aniqlangan chiziq bor. Grafik jihatdan u ikkita yarim o'q 2 va 3 bo'lgan ellips shaklida ko'rsatilishi mumkin. Rasmga qarang:

Olingan rasmning birinchi kvadrantni egallagan 1 4 maydonini topishga harakat qilaylik. Viloyat x ∈ a oralig'ida joylashgan; b = 0; 2. Keyin olingan qiymatni 4 ga ko'paytiring va butun raqamning maydonini toping.

Mana bizning hisob-kitoblarimizning borishi:

x = ph (t) = 2 cos t y = ps (t) = 3 sin t ph a = a ⇔ 2 cos a = 0 ⇔ a = p 2 + pk , k ∈ Z , ph b = b ⇔ 2 cos b = 2 ⇔ b = 2 pk , k ∈ Z

k 0 ga teng bo'lsa, biz b oralig'ini olamiz; a = 0; p 2. X = ph (t) = 2 cos t funktsiyasi monoton ravishda kamayadi (batafsil ma'lumot uchun asosiy maqolaga qarang). elementar funktsiyalar va ularning xususiyatlari). Bu shuni anglatadiki, siz maydonni hisoblash uchun formulani qo'llashingiz va Nyuton-Leybnits formulasidan foydalanib aniq integralni topishingiz mumkin:

- ∫ 0 p 2 3 sin t · 2 cos t " d t = 6 ∫ 0 p 2 sin 2 t d t = 3 ∫ 0 p 2 (1 - cos (2 t) d t = = 3 · t - sin (2 t) 2 0 p 2 = 3 p 2 - sin 2 p 2 2 - 0 - sin 2 0 2 = 3 p 2

Bu asl egri chiziq bilan berilgan rasmning maydoni S (G) = 4 · 3 p 2 = 6 p ga teng bo'lishini anglatadi.

Javob: S(G) = 6p

Aniqlik kiritamizki, yuqoridagi masalani hal qilishda ellipsning nafaqat chorak qismini, balki uning yarmini - yuqori yoki pastki qismini ham olish mumkin edi. Bir yarmi x ∈ a oralig'ida joylashgan bo'ladi; b = - 2; 2. Bunday holda bizda:

ph (a) = a ⇔ 2 cos a = - 2 ⇔ a = p + p k, k ∈ Z, ph (b) = b ⇔ 2 cos b = 2 ⇔ b = 2 p k, k ∈ Z

Shunday qilib, k 0 ga teng bo'lsa, biz b ni olamiz; a = 0; p. Bu oraliqda x = ph (t) = 2 cos t funksiyasi monoton ravishda kamayadi.

Shundan so'ng biz ellipsning yarmining maydonini hisoblaymiz:

- ∫ 0 p 3 sin t · 2 cos t " d t = 6 ∫ 0 p sin 2 t d t = 3 ∫ 0 p (1 - cos (2 t) d t = = 3 · t - sin (2 t) 2 0 p = 3 p - sin 2 p 2 - 0 - sin 2 0 2 = 3 p

Shuni ta'kidlash kerakki, siz faqat yuqori yoki pastki qismini olishingiz mumkin, lekin o'ng yoki chapni emas.

Berilgan ellips uchun parametrik tenglamani yaratishingiz mumkin, uning markazi boshlang'ichda joylashgan bo'ladi. Bu x = a · cos t y = b · sin t ko'rinishida bo'ladi. Yuqoridagi misolda bo'lgani kabi, biz S e l va p ellips maydonini a = pab bilan hisoblash formulasini olamiz.

Siz x = R · cos t y = R · sin t tenglamasidan foydalanib, markazi koordinata boshida joylashgan aylanani belgilashingiz mumkin, bu erda t - parametr va R - bu doira radiusi. Agar biz darhol ellips maydoni uchun formuladan foydalansak, u holda biz R radiusi bo'lgan doira maydonini hisoblashimiz mumkin bo'lgan formulani olamiz: S k r y r a = pR 2 .

Keling, yana bir muammoni ko'rib chiqaylik.

2-misol

Holati: X = 3 cos 3 t y = 2 sin 3 t parametrik aniqlangan egri chiziq bilan chegaralangan rasmning maydoni nimaga teng bo'lishini toping.

Yechim

Keling, bu egri chiziq cho'zilgan astroid shakliga ega ekanligini darhol aniqlaylik. Odatda astroid x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t shaklidagi tenglama yordamida ifodalanadi.

Keling, bunday egri chiziqni qanday qurishni batafsil ko'rib chiqaylik. Keling, alohida nuqtalar asosida quraylik. Bu eng keng tarqalgan usul va ko'pchilik vazifalar uchun qo'llaniladi. Ko'proq murakkab misollar parametrik aniqlangan funksiyani aniqlash uchun differentsial hisobni talab qiladi.

Bizda x = ph (t) = 3 cos 3 t, y = ps (t) = 2 sin 3 t.

Bu funktsiyalar t ning barcha haqiqiy qiymatlari uchun aniqlanadi. Sin va cos uchun ular davriy bo'lib, davri 2 pi bo'lishi ma'lum. X = ph (t) = 3 cos 3 t, y = ps (t) = 2 sin 3 t funksiyalarning qiymatlarini hisoblab, ba'zi t = t 0 ∈ 0; 2 p p 8 , p 4 , 3 p 8 , p 2 , . . . , 15 p 8, biz x 0 ball olamiz; y 0 = (ph (t 0) ; ps (t 0)) .

Keling, umumiy qiymatlar jadvalini tuzamiz:

t 0	0	p 8	p 4	3 p 8	p 2	5 p 8	3 p 4	7 p 8	π
x 0 = ph (t 0)	3	2 . 36	1 . 06	0 . 16	0	- 0 . 16	- 1 . 06	- 2 . 36	- 3
y 0 = ps (t 0)	0	0 . 11	0 . 70	1 . 57	2	1 . 57	0 . 70	0 . 11	0

t 0	9 p 8	5 p 4	11 p 8	3 p 2	13 p 8	7 p 4	15 p 8	2p
x 0 = ph (t 0)	- 2 . 36	- 1 . 06	- 0 . 16	0	0 . 16	1 . 06	2 . 36	3
y 0 = ps (t 0)	- 0 . 11	- 0 . 70	- 1 . 57	- 2	- 1 . 57	- 0 . 70	- 0 . 11	0

Shundan so'ng, tekislikda kerakli nuqtalarni belgilang va ularni bitta chiziq bilan ulang.

Endi biz birinchi koordinata choragida joylashgan rasmning o'sha qismining maydonini topishimiz kerak. Buning uchun x ∈ a; b = 0; 3:

ph (a) = a ⇔ 3 cos 3 t = 0 ⇔ a = p 2 + pk , k ∈ Z , ph (b) = b ⇔ 3 cos 3 t = 3 ⇔ b = 2 p k , k ∈ Z

Agar k 0 ga teng bo'lsa, u holda b intervalni olamiz; a = 0; p 2 va x = ph (t) = 3 cos 3 t funksiyasi unga monoton ravishda kamayadi. Endi biz maydon formulasini olamiz va hisoblaymiz:

- ∫ 0 p 2 2 sin 3 t · 3 cos 3 t " d t = 18 ∫ 0 p 2 sin 4 t · cos 2 t d t = = 18 ∫ 0 p 2 sin 4 t · (1 - sin 2 t) d t =18 ∫ 0 p 2 sin 4 t d t - ∫ 0 p 2 sin 6 t d t

Biz Nyuton-Leybnits formulasi yordamida hisoblanishi mumkin bo'lgan aniq integrallarni oldik. Bu formulaga qarshi hosilalarni J n (x) = - cos x · sin n - 1 (x) n + n - 1 n J n - 2 (x) , bu yerda J n (x) = ∫ takrorlanuvchi formuladan foydalanib topish mumkin. gunoh n x d x.

∫ sin 4 t d t = - cos t · sin 3 t 4 + 3 4 ∫ sin 2 t d t = = - cos t · sin 3 t 4 + 3 4 - cos t · sin t 2 + 1 2 ∫ sin 0 t d t = = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t + C ⇒ ∫ 0 p 2 sin 4 t d t = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t 0 p 2 = 3 p 16 ∫ sin 6 t d t = - cos t · sin 5 t 6 + 5 6 ∫ sin 4 t d t ⇒ ∫ 0 p 2 sin 6 t d t = - cos t · sin 5 t 6 0 p 6∫ + p 5 sin 4 t d t = 5 6 3 p 16 = 15 p 96

Biz raqamning to'rtdan bir qismining maydonini hisobladik. U 18 ∫ 0 p 2 sin 4 t d t - ∫ 0 p 2 sin 6 t d t = 18 3 p 16 - 15 p 96 = 9 p 16 ga teng.

Agar biz ushbu qiymatni 4 ga ko'paytirsak, biz butun raqamning maydonini olamiz - 9 p 4.

Xuddi shu tarzda, x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t tenglamalar bilan berilgan astroid maydonini S a stroid = 3 p a 2 8 formulasi bilan topish mumkinligini isbotlashimiz mumkin. , va x = a · cos 3 t y = b · sin 3 t chiziq bilan chegaralangan rasmning maydoni S = 3 pab 8 formulasi yordamida hisoblanadi.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Tsikloid yoyning poydevori atrofida aylanishi natijasida hosil bo'lgan tananing hajmi topilsin. Roberval uni hosil bo'lgan tuxumsimon tanani (5.1-rasm) cheksiz yupqa qatlamlarga bo'lish, bu qatlamlarga silindrlarni yozish va ularning hajmlarini qo'shish orqali topdi. Dalil uzoq, zerikarli va unchalik qattiq emas edi. Shuning uchun, uni hisoblash uchun biz murojaat qilamiz oliy matematika. Tsikloid tenglamasini parametrik tarzda aniqlaymiz.

Integral hisoblashda hajmlarni o'rganishda quyidagi izoh qo'llaniladi:

Agar egri chiziqli trapetsiyani chegaralovchi egri chiziq parametrik tenglamalar bilan berilgan bo‘lsa va bu tenglamalardagi funksiyalar aniq integralda o‘zgaruvchilar teoremasining o‘zgarishi shartlarini qanoatlantirsa, u holda hajm aylanish jismlari Ox o'qi atrofidagi trapetsiya quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

Keling, kerakli hajmni topish uchun ushbu formuladan foydalanamiz.

Xuddi shu tarzda, biz bu tananing sirtini hisoblaymiz.

L=((x,y): x=a(t - sin t), y=a(1 - xarajat), 0 ? t ? 2r)

Integral hisoblashda mavjud quyidagi formula segmentda ko'rsatilgan egri chiziqning x o'qi atrofida aylanish jismining sirt maydonini parametrik ravishda topish uchun (t 0 ?t ?t 1):

Ushbu formulani sikloid tenglamamizga qo'llasak, biz quyidagilarni olamiz:

Keling, sikloid yoyning aylanishi natijasida hosil bo'lgan boshqa sirtni ham ko'rib chiqaylik. Buning uchun biz sikloid yoyning uning asosiga nisbatan oyna tasvirini quramiz va sikloiddan hosil bo'lgan oval figurani va uning aksini KT o'qi atrofida aylantiramiz (5.2-rasm).

Birinchidan, sikloid yoyning KT o'qi atrofida aylanishidan hosil bo'lgan tananing hajmini topamiz. Biz uning hajmini formuladan foydalanib hisoblaymiz (*):

Shunday qilib, biz bu sholg'om shaklidagi tananing yarmining hajmini hisoblab chiqdik. Keyin butun hajm teng bo'ladi

haqida darslarda tekislikdagi to'g'ri chiziq tenglamasi Va fazodagi to'g'ri chiziq tenglamalari.

Eski do'stingiz bilan tanishing:

Egri chiziqli trapezoid g'urur bilan grafik bilan qoplangan va siz bilganingizdek, u maydoni aniq integral yordamida hisoblanadi elementar formula bo'yicha yoki qisqasi: .

Keling, vaziyatni ko'rib chiqaylik bir xil funktsiya parametrik shaklda berilgan.

Bu holatda maydonni qanday topish mumkin?

Ba'zilarida juda aniq parametr qiymati, parametrik tenglamalar nuqtaning koordinatalarini aniqlaydi va boshqasi uchun juda aniq qiymat - nuqta koordinatalari. "Te" dan inklyuzivga o'tganda, parametrik tenglamalar egri chiziqni "chizadi". Menimcha, integratsiya chegaralari haqida hamma narsa aniq bo'ldi. Endi integralga o'rniga"X" va "Y" funktsiyalarni almashtiramiz va differentsialni ochamiz:

Eslatma : vazifalari deb taxmin qilinadi davomiy integratsiya oralig'i va qo'shimcha ravishda funktsiya bo'yicha monoton Unga.

Aylanish jismining hajmining formulasi oddiy:

Egri trapezoidni o'q atrofida aylantirish natijasida olingan jismning hajmi formula bo'yicha hisoblanadi yoki: . Biz unga parametrik funktsiyalarni, shuningdek, integratsiya chegaralarini almashtiramiz:

Iltimos, ikkala ishchi formulani ma'lumotnomangizga yozib qo'ying.

Mening kuzatishlarimga ko'ra, hajmni topish bilan bog'liq muammolar juda kam uchraydi va shuning uchun ushbu darsdagi misollarning muhim qismi maydonni topishga bag'ishlangan. Keling, narsalarni uzoq vaqtga qoldirmaylik:

1-misol

Egri trapezoidning maydonini hisoblang , Agar

Yechim: formuladan foydalaning .

Har doim va hamma joyda tushuniladigan mavzu bo'yicha klassik muammo:

2-misol

Ellipsning maydonini hisoblang

Yechim: aniqlik uchun parametrik tenglamalar aniqlaydi deb faraz qilamiz kanonik ellips markazi boshda, yarim katta o'q "a" va yarim kichik o'q "be" bilan. Ya'ni, shartga ko'ra, bizga boshqa hech narsa taklif qilinmaydi

ellipsning maydonini toping

Ko'rinib turibdiki, parametrik funksiyalar davriy va . Siz formulani zaryad qilishingiz mumkin bo'lganga o'xshaydi, lekin hamma narsa unchalik shaffof emas. Keling, bilib olaylik yo'nalishi, bunda parametrik tenglamalar ellipsni «chizadi». Qo'llanma sifatida biz eng ko'p mos keladigan bir nechta fikrlarni topamiz oddiy qiymatlar parametr:

"Te" parametri noldan "ikki pi" ga o'zgarganda parametrik tenglamalar ellipsni "chizishini" tushunish oson. soat miliga teskari:

Shaklning simmetriyasi tufayli biz 1-koordinata choragida maydonning qismini hisoblaymiz va natijani 4 ga ko'paytiramiz. Bu erda biz xuddi yuqorida sharhlagan rasmni ko'ramiz: parametrik tenglamalar yoyni "chizadi". o'qning "teskari yo'nalishidagi" ellipsning, lekin maydon raqamlari chapdan o'ngga sanaladi! Shunung uchun pastroq integratsiya chegarasi qiymatga mos keladi va yuqori chegara - qiymat.

Men allaqachon darsda maslahat berganimdek Qutb koordinatalaridagi maydon, to'rt barobar natija yaxshiroq birdaniga:

Integral (agar kimdir kutilmaganda bunday aql bovar qilmaydigan bo'shliqni topsa) sinfda tahlil qilindi Trigonometrik funksiyalarning integrallari.

Javob:

Aslida, biz maydonni topish uchun formulani oldik ellips. Va agar amalda siz "a" va "bo'l" ning o'ziga xos qiymatlari bo'lgan vazifaga duch kelsangiz, muammo umumiy shaklda hal qilinganligi sababli osongina yarashtirish/tekshirishni amalga oshirishingiz mumkin.

Ellipsning maydoni to'rtburchaklar koordinatalarda ham hisoblanadi, buning uchun siz tenglamadan "y" ni ifodalashingiz va masalani maqolaning 4-misolidagi kabi hal qilishingiz kerak. Aniq integrallarni yechishning samarali usullari. Ushbu misolni ko'rib chiqing va ellipsning maydoni parametrik ravishda aniqlangan bo'lsa, uni hisoblash qanchalik oson ekanligini solishtiring.

Va, albatta, men deyarli unutdim, parametrik tenglamalar aylana yoki ellipsni kanonik bo'lmagan holatda aniqlay oladi.

3-misol

Tsikloidning bir yoyi maydonini hisoblang

Muammoni hal qilish uchun siz uning nima ekanligini bilishingiz kerak sikloid yoki hech bo'lmaganda rasmni rasmiy ravishda to'ldiring. Dars oxirida namunaviy dizayn. Biroq, men sizni uzoqqa yubormayman, siz ushbu chiziqning grafigiga quyidagi masalada qarashingiz mumkin:

4-misol

Yechim: parametrik tenglamalar sikloidni aniqlang va cheklov biz uning haqida gapirayotganimizni ko'rsatadi birinchi arch, bu parametr qiymati ichida o'zgarganda "chizilgan". E'tibor bering, bu "chizma" ning "to'g'ri" yo'nalishi (chapdan o'ngga), ya'ni integratsiya chegaralari bilan bog'liq muammolar bo'lmaydi. Ammo yana bir qancha ajoyib narsalar paydo bo'ladi =) Tenglama o'rnatiladi bevosita, x o'qiga parallel va qo'shimcha shart (sm. chiziqli tengsizliklar) bizga quyidagi rasmning maydonini hisoblashimiz kerakligini aytadi:

Istalgan soyali raqamni assosiativ ravishda "uyning tomi", to'rtburchak - "uyning devori" va butun tuzilmani (devor + tom) - "uyning jabhasi" deb atayman. Garchi bu bino ko'proq sigirxonaga o'xshaydi =)

"Tom" maydonini topish uchun "devor" maydonini "jabha" maydonidan olib tashlash kerak.

Birinchidan, keling, "fasad" bilan shug'ullanamiz. Uning maydonini topish uchun chiziqning sikloidning birinchi yoyi bilan kesishish nuqtalarini ko'rsatadigan qiymatlarni topishingiz kerak (nuqta va ). Parametrik tenglamaga almashtiramiz:

Trigonometrik tenglamani oddiygina qarash orqali osongina yechish mumkin kosinus grafigi: oraliqda tenglik ikki ildiz bilan qanoatlantiriladi: . Aslida, hamma narsa aniq, ammo shunga qaramay, keling, buni xavfsiz o'ynaymiz va ularni tenglamaga almashtiramiz:

– bu nuqtaning “X” koordinatasi;

- va bu nuqtaning "X" koordinatasi.

Shunday qilib, biz aminmizki, parametr qiymati nuqtaga to'g'ri keladi va qiymat nuqtaga mos keladi.

Keling, "jabha" maydonini hisoblaylik. Ko'proq ixcham belgilar uchun funktsiya ko'pincha to'g'ridan-to'g'ri integral ostida farqlanadi:

"Devor" maydonini "maktab" usuli yordamida to'rtburchakning qo'shni tomonlari uzunligini ko'paytirish orqali hisoblash mumkin. Uzunligi aniq, qolgani uni topish. U "tse" va "be" nuqtalarining "X" koordinatalari o'rtasidagi farq sifatida hisoblanadi (ilgari topilgan):

Devor maydoni:

Albatta, eng oddiy yordamida ham uni topish uyat emas aniq integral segmentdagi funksiyadan:

Natijada, tomning maydoni:

Javob:

Va, albatta, agar bizda chizilgan bo'lsa, olingan natija haqiqatga o'xshash yoki yo'qligini, quti bo'ylab taxmin qilamiz. O'xshash

Keyingi vazifa uchun mustaqil qaror:

5-misol

Tenglamalar bilan berilgan chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblang

Keling, yechim algoritmini qisqacha tizimlashtiramiz:

- Ko'p hollarda siz rasm chizishingiz va kimning maydonini topmoqchi bo'lgan raqamni aniqlashingiz kerak bo'ladi.

– Ikkinchi bosqichda siz kerakli maydon qanday hisoblanganligini tushunishingiz kerak: bu bitta kavisli trapezoid bo'lishi mumkin, bu maydonlardagi farq bo'lishi mumkin, bu maydonlar yig'indisi bo'lishi mumkin - qisqasi, biz ko'rib chiqqan barcha chiplar. darsda.

– Uchinchi bosqichda biz figuraning simmetriyasidan foydalanish maqsadga muvofiqmi yoki yo‘qligini tahlil qilishimiz kerak (agar u nosimmetrik bo‘lsa), so‘ngra integratsiya chegaralarini (parametrning boshlang‘ich va yakuniy qiymati) aniqlashimiz kerak. Odatda bu oddiy trigonometrik tenglamani echishni talab qiladi - bu erda siz foydalanishingiz mumkin analitik usul, grafik usuli yoki ko'ra kerakli ildizlarni oddiy tanlash trigonometrik jadval.

! Unutmang parametrik tenglamalar o'ngdan chapga chiziqni "chizishi" mumkinligi, bu holda biz ishchi formulada tegishli zaxira va tuzatish kiritamiz.

– Va yakuniy bosqichda texnik hisob-kitoblar amalga oshiriladi. Chizmadan olingan javobning ishonchliligini baholash har doim yoqimli.

Va endi yulduz bilan uzoq kutilgan uchrashuv:

6-misol

Tenglamalar bilan berilgan chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblang

Yechim: tenglamalar orqali berilgan egri chiziq astroid, Va chiziqli tengsizlik chizmadagi soyali raqamni noyob tarzda aniqlaydi:

Keling, chiziq va astroidning kesishish nuqtalarini aniqlaydigan parametr qiymatlarini topamiz. Buning uchun parametrik tenglamani almashtiramiz:

Bunday tenglamani yechish usullari yuqorida sanab o'tilgan, xususan, bu ildizlarni osongina tanlash mumkin. trigonometrik jadval.

Shakl x o'qiga nisbatan nosimmetrikdir, shuning uchun maydonning yuqori yarmini (ko'k soya) hisoblab chiqamiz va natijani ikki barobarga oshiramiz.

Qiymatni parametrik tenglamaga almashtiramiz:
Natijada, biz astroid va to'g'ri chiziqning kesishish nuqtasining yuqori (bizga kerak) "yunoncha" koordinatasini oldik.

Astroidning o'ng uchi, shubhasiz, qiymatga mos keladi. Har holda tekshiramiz:
, bu tekshirilishi kerak bo'lgan narsa edi.

Ellipsda bo'lgani kabi, parametrik tenglamalar astroid yoyini o'ngdan chapga "chizadi". Turli xillik uchun men tugatishni ikkinchi usulda formatlayman: parametr chegaralar ichida o'zgarganda, funktsiya kamayadi, shuning uchun (ikki marta ko'paytirishni unutmang!!):

Integral juda og'ir bo'lib chiqdi va "hamma narsani o'zingiz bilan olib ketmaslik" uchun yechimni to'xtatib, integralni alohida o'zgartirish yaxshiroqdir. Standart darajani pasaytiring yordamida trigonometrik formulalar:

Muvofiq, oxirgi muddatda funksiyani differentsial belgisi ostiga qo'yaylik:

Javob:

Ha, yulduzlar bilan biroz qiyin =)

Ilg'or talabalar uchun quyidagi topshiriq beriladi:

7-misol

Tenglamalar bilan berilgan chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblang

Uni hal qilish uchun biz allaqachon ko'rib chiqqan materiallar etarli bo'ladi, lekin odatiy yo'l juda uzoq va endi men sizga boshqa samarali usul haqida gapirib beraman. Bu fikr aslida darsdan tanish Aniq integral yordamida maydonni hisoblash- bu "y" o'zgaruvchisi ustidan integratsiya va formuladan foydalanish . Unga parametrik funktsiyalarni almashtirib, biz oyna ishlaydigan formulani olamiz:

Haqiqatan ham, nega bu "standart" dan yomonroq? Bu parametrik shaklning yana bir afzalligi - tenglama nafaqat "oddiy" rolni o'ynashga qodir, balki bir vaqtning o'zida Va teskari funktsiya.

IN Ushbu holatda funktsiyalari bor deb taxmin qilinadi davomiy integratsiya oralig'i va funksiya bo'yicha monoton Unga. Bundan tashqari, agar kamayadi integratsiya oralig'ida (parametrik tenglamalar grafikni "teskari yo'nalishda" chizadi" (diqqat!!) o'qi), keyin muhokama qilingan texnologiyadan foydalanib, siz integratsiya chegaralarini qayta tartibga solishingiz yoki dastlab integral oldiga "minus" qo'yishingiz kerak.

7-misolning yechimi va javobi dars oxirida.

Yakuniy mini-bo'lim kam uchraydigan muammoga bag'ishlangan:

Aylanish jismining hajmini qanday topish mumkin,
agar raqam parametrik aniqlangan chiziq bilan chegaralangan bo'lsa?

Dars boshida olingan formulani yangilaymiz: . Umumiy yechim usuli maydonni topish bilan bir xil. Men cho'chqachilik bankimdan bir nechta topshiriqlarni chiqaraman.

Olingan formulani qo'llash misollarini ko'rib chiqaylik, bu bizga parametrik ravishda belgilangan chiziqlar bilan cheklangan raqamlar maydonlarini hisoblash imkonini beradi.

Misol.

Parametrik tenglamalari shaklga ega bo'lgan chiziq bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblang.

Yechim.

Bizning misolimizda parametrik aniqlangan chiziq yarim o'qlari 2 va 3 birlik bo'lgan ellipsdir. Keling, quraylik.

Maydonni topamiz ellipsning chorak qismi birinchi kvadrantda joylashgan. Bu maydon intervalda joylashgan . Olingan qiymatni to'rtga ko'paytirish orqali butun raqamning maydonini hisoblaymiz.

Bizda nima bor:

Uchun k = 0 intervalni olamiz . Ushbu intervalda funktsiya monoton ravishda kamayib boradi (bo'limga qarang). Nyuton-Leybnits formulasidan foydalanib, maydonni hisoblash va aniq integralni topish uchun formuladan foydalanamiz:

Shunday qilib, asl raqamning maydoni teng .

Izoh.

Mantiqiy savol tug'iladi: nega biz ellipsning yarmini emas, balki chorak qismini oldik? Shaklning yuqori (yoki pastki) yarmini ko'rish mumkin edi. U intervalda . Bu holatda biz olamiz

Ya'ni, k = 0 uchun biz intervalni olamiz. Ushbu intervalda funktsiya monoton ravishda kamayadi.

Keyin ellipsning yarmining maydoni quyidagicha topiladi

Lekin siz ellipsning o'ng yoki chap yarmini ololmaysiz.

A va b yarim o'qlarida markazlashtirilgan ellipsning parametrik tasviri shaklga ega. Agar biz tahlil qilingan misoldagi kabi harakat qilsak, biz olamiz ellipsning maydonini hisoblash formulasi .

R radiusining boshida markazga ega bo'lgan doira t parametri orqali tenglamalar tizimi orqali aniqlanadi. Olingan formuladan ellips maydoni uchun foydalansangiz, darhol yozishingiz mumkin aylana maydonini topish formulasi radiusi R: .

Keling, yana bir misolni hal qilaylik.

Misol.

Parametrik tarzda belgilangan egri chiziq bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblang.

Yechim.

Bir oz oldinga qarab, egri chiziq "cho'zilgan" astroiddir. (Astroid quyidagi parametrik ko'rinishga ega).

Keling, rasmni chegaralovchi egri chiziqni qurish haqida batafsil to'xtalib o'tamiz. Biz uni nuqta-nuqta quramiz. Odatda, bunday qurilish ko'pchilik muammolarni hal qilish uchun etarli. Keyinchalik murakkab holatlarda, shubhasiz, batafsil parametrik tadqiqot talab qilinadi. berilgan funksiya differensial hisoblashdan foydalanish.

Bizning misolimizda.

Ushbu funktsiyalar t parametrining barcha haqiqiy qiymatlari uchun aniqlanadi va sinus va kosinusning xususiyatlaridan biz ular ikki pi davri bilan davriy ekanligini bilamiz. Shunday qilib, ba'zilar uchun funktsiya qiymatlarini hisoblash (Masalan ), biz nuqtalar to'plamini olamiz .

Qulaylik uchun qiymatlarni jadvalga qo'yamiz:

Biz nuqtalarni tekislikda belgilaymiz va ularni chiziq bilan ISIZLIK bilan bog'laymiz.

Birinchi koordinata kvadrantida joylashgan hududning maydonini hisoblaylik. Ushbu hudud uchun .

Da k=0 intervalni olamiz , qaysi funktsiya monoton tarzda kamayadi. Hududni topish uchun formuladan foydalanamiz:

Hosil bo‘lgan aniq integrallarni Nyuton-Leybnits formulasidan foydalanib hisoblaymiz va shaklning takrorlanuvchi formulasidan foydalanib Nyuton-Leybnits formulasiga qarshi hosilalarni topamiz. , Qayerda .

Shunday qilib, chorak raqamning maydoni , keyin butun raqamning maydoni ga teng bo'ladi.

Xuddi shunday, buni ko'rsatish mumkin astroid maydoni sifatida joylashgan , va chiziq bilan chegaralangan raqamning maydoni formula bo'yicha hisoblanadi.

Revolyutsiya sirtining maydoni formulalariga o'tishdan oldin, biz inqilob yuzasining o'zi haqida qisqacha formulani beramiz. Inqilob yuzasi yoki xuddi shu narsa, inqilob jismining yuzasi segmentning aylanishi natijasida hosil bo'lgan fazoviy figuradir. AB eksa atrofida egri chiziq ho'kiz(quyidagi rasm).

Yuqoridan egri chiziqning ko'rsatilgan segmenti bilan chegaralangan egri trapesiyani tasavvur qilaylik. Ushbu trapezoidni bir xil o'q atrofida aylantirish natijasida hosil bo'lgan tana ho'kiz, va aylanish jismidir. Va inqilob yuzasi yoki inqilob jismining yuzasi to'g'ri chiziqlar o'qi atrofida aylanish natijasida hosil bo'lgan doiralarni hisobga olmaganda, uning tashqi qobig'i hisoblanadi. x = a Va x = b .

E'tibor bering, inqilob jismini va shunga mos ravishda uning yuzasini o'q atrofida emas, balki figurani aylantirish orqali ham hosil qilish mumkin. ho'kiz, va eksa atrofida Oy.

To'rtburchaklar koordinatalarda ko'rsatilgan aylanish yuzasining maydonini hisoblash

Tenglama tekislikdagi to'rtburchaklar koordinatalari bo'lsin y = f(x) atrofida aylanishi egri chiziq berilgan koordinata o'qi aylanish tanasi hosil bo'ladi.

Revolyutsiyaning sirt maydonini hisoblash formulasi quyidagicha:

(1).

1-misol. O'z o'qi atrofida aylanish natijasida hosil bo'lgan paraboloidning sirt maydonini toping ho'kiz o'zgarishiga mos keladigan parabolaning yoyi x dan x= 0 gacha x = a .

Yechim. Parabola yoyini aniqlovchi funksiyani aniq ifodalaymiz:

Bu funksiyaning hosilasini topamiz:

Revolyutsiya sirtining maydonini topish uchun formuladan foydalanishdan oldin, keling, uning integrandning ildizni ifodalovchi qismini yozamiz va u erda topilgan hosilani almashtiramiz:

Javob: Egri chiziq yoyi uzunligi

2-misol. O'q atrofida aylanish natijasida hosil bo'lgan sirt maydonini toping ho'kiz astroid.

Yechim. Birinchi chorakda joylashgan astroidning bir novdasining aylanishi natijasida yuzaga keladigan sirt maydonini hisoblab chiqish va uni 2 ga ko'paytirish kifoya. aylanish sirtini topish uchun formula:

Biz 0 dan integratsiya qilamiz a:

Revolyutsiya yuzasining parametrik ravishda aniqlangan maydonini hisoblash

Revolyutsiya sirtini tashkil etuvchi egri chiziq parametrik tenglamalar bilan berilgan holatni ko'rib chiqaylik

Keyin aylanish sirtining maydoni formula bo'yicha hisoblanadi

(2).

3-misol. O'q atrofida aylanish natijasida hosil bo'lgan inqilob sirtining maydonini toping Oy sikloid va to'g'ri chiziq bilan chegaralangan raqam y = a. Tsikloid parametrik tenglamalar bilan berilgan

Yechim. Tsikloid va to'g'ri chiziqning kesishish nuqtalarini topamiz. Tsikloid tenglamasini va to'g'ri chiziq tenglamasini tenglashtirish y = a, topamiz