Keling, tenglamalar tizimining ikki xil echimini tahlil qilaylik:

1. Tizimni almashtirish usuli yordamida yechish.
2. Tizim tenglamalarini davr bo‘yicha qo‘shish (ayirish) yo‘li bilan tizimni yechish.

Tenglamalar sistemasini yechish uchun almashtirish usuli bilan Siz oddiy algoritmga amal qilishingiz kerak:
1. Ekspress. Har qanday tenglamadan biz bitta o'zgaruvchini ifodalaymiz.
2. O‘rinbosar. Olingan qiymatni ifodalangan o'zgaruvchi o'rniga boshqa tenglamaga almashtiramiz.
3. Bitta o‘zgaruvchili hosil bo‘lgan tenglamani yeching. Biz tizimga yechim topamiz.

Yechish uchun muddatga qo‘shish (ayirish) usuli bo‘yicha tizim kerak:
1. Biz bir xil koeffitsientlar yaratadigan o'zgaruvchini tanlang.
2. Biz tenglamalarni qo'shamiz yoki ayitamiz, natijada bitta o'zgaruvchili tenglama hosil bo'ladi.
3. Olingan chiziqli tenglamani yeching. Biz tizimga yechim topamiz.

Tizimning yechimi funksiya grafiklarining kesishish nuqtalari hisoblanadi.

Keling, misollar yordamida tizimlarning yechimini batafsil ko'rib chiqaylik.

1-misol:

Keling, almashtirish usuli bilan hal qilaylik

Tenglamalar sistemasini almashtirish usuli yordamida yechish

2x+5y=1 (1 tenglama)
x-10y=3 (2-tenglama)

1. Ekspress
Ko'rinib turibdiki, ikkinchi tenglamada koeffitsienti 1 bo'lgan x o'zgaruvchisi mavjud, ya'ni ikkinchi tenglamadan x o'zgaruvchisini ifodalash eng osondir.
x=3+10y

2.Uni ifodalab bo‘lgach, birinchi tenglamaga x o‘zgaruvchisi o‘rniga 3+10y ni qo‘yamiz.
2(3+10y)+5y=1

3. Bitta o‘zgaruvchili hosil bo‘lgan tenglamani yeching.
2(3+10y)+5y=1 (qavslarni oching)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Tenglamalar sistemasining yechimi grafiklarning kesishish nuqtalaridir, shuning uchun biz x va y ni topishimiz kerak, chunki kesishish nuqtasi x va y dan iborat.X ni topamiz, uni ifodalagan birinchi nuqtada y ni almashtiramiz.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Nuqtalarni yozish odat tusiga kiradi, birinchi navbatda x o'zgaruvchisini, ikkinchi o'rinda esa y o'zgaruvchisini yozamiz.
Javob: (1; -0,2)

2-misol:

Atama bo‘yicha qo‘shish (ayirish) usuli yordamida yechamiz.

Tenglamalar sistemasini qo`shish usuli yordamida yechish

3x-2y=1 (1 tenglama)
2x-3y=-10 (2-tenglama)

1. Biz o‘zgaruvchini tanlaymiz, deylik, x ni tanlaymiz. Birinchi tenglamada x o'zgaruvchisi 3 koeffitsientiga ega, ikkinchisida - 2. Biz koeffitsientlarni bir xil qilishimiz kerak, buning uchun biz tenglamalarni ko'paytirish yoki istalgan songa bo'lish huquqiga egamiz. Birinchi tenglamani 2 ga, ikkinchisini esa 3 ga ko'paytiramiz va umumiy koeffitsient 6 ga teng bo'ladi.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Birinchi tenglamadan ikkinchisini ayirib, x o‘zgaruvchidan xalos bo‘ling.Chiziqli tenglamani yeching.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3. X ni toping. Topilgan y ni istalgan tenglamaga almashtiramiz, deylik, birinchi tenglamaga.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Kesishish nuqtasi x=4,6 bo'ladi; y=6,4
Javob: (4,6; 6,4)

Imtihonlarga tekin tayyorlanmoqchimisiz? Onlayn o'qituvchi tekinga. Bexazil.

Tenglamalardan foydalanish hayotimizda keng tarqalgan. Ular ko'plab hisob-kitoblarda, inshootlarni qurishda va hatto sportda qo'llaniladi. Inson qadim zamonlarda tenglamalardan foydalangan va o'shandan beri ulardan foydalanish faqat ortib bordi. Quvvat yoki ko'rsatkichli tenglamalar o'zgaruvchilar darajalarda va asosi son bo'lgan tenglamalardir. Masalan:

Eksponensial tenglamani yechish juda oddiy 2 bosqichdan iborat:

1. O'ng va chapdagi tenglamaning asoslari bir xil yoki yo'qligini tekshirishingiz kerak. Agar sabablar bir xil bo'lmasa, biz ushbu misolni hal qilish variantlarini qidiramiz.

2. Bazalar bir xil bo'lgandan keyin darajalarni tenglashtiramiz va hosil bo'lgan yangi tenglamani yechamiz.

Bizga quyidagi ko'rinishdagi eksponensial tenglama berildi deylik:

Ushbu tenglamaning yechimini asosni tahlil qilishdan boshlash kerak. Bazalar har xil - 2 va 4, lekin ularni hal qilish uchun biz bir xil bo'lishimiz kerak, shuning uchun biz quyidagi formuladan foydalanib 4 ni o'zgartiramiz -\[ (a^n)^m = a^(nm):\]

Dastlabki tenglamaga qo'shamiz:

Qavslar ichidan chiqaramiz \

ifoda qilaylik \

Darajalar bir xil bo'lgani uchun biz ularni o'chirib tashlaymiz:

Javob: \

Onlayn hal qiluvchi yordamida eksponensial tenglamani qayerda yechish mumkin?

Tenglamani bizning https://site saytimizda echishingiz mumkin. Bepul onlayn hal qiluvchi har qanday murakkablikdagi onlayn tenglamalarni bir necha soniya ichida hal qilish imkonini beradi. Bajarishingiz kerak bo'lgan yagona narsa ma'lumotlaringizni hal qiluvchiga kiritishdir. Shuningdek, bizning veb-saytimizda video ko'rsatmalarini ko'rishingiz va tenglamani qanday echishni o'rganishingiz mumkin. Va agar sizda hali ham savollaringiz bo'lsa, ularni bizning VKontakte guruhimizda http://vk.com/pocketteacher so'rashingiz mumkin. Guruhimizga qo'shiling, biz har doim sizga yordam berishdan xursandmiz.

Tenglamalar

Tenglamalarni qanday yechish mumkin?

Ushbu bo'limda biz eng elementar tenglamalarni eslaymiz (yoki kimni tanlaganingizga qarab o'rganamiz). Xo'sh, tenglama nima? Inson tilida bu teng belgi va noma'lum bo'lgan matematik ifodaning bir turi. Qaysi odatda harf bilan belgilanadi "X". Tenglamani yeching- bu x ning almashtirilganda shunday qiymatlarini topishdir original ifoda bizga to'g'ri identifikatsiyani beradi. Sizga shuni eslatib o'tamanki, o'ziga xoslik matematik bilimlar bilan mutlaqo yuklanmagan odam uchun ham shubhasiz iboradir. 2=2, 0=0, ab=ab va boshqalar kabi. Xo'sh, tenglamalarni qanday hal qilish kerak? Keling, buni aniqlaylik.

Har xil tenglamalar mavjud (men hayronman, to'g'rimi?). Ammo ularning barcha cheksiz xilma-xilligini faqat to'rt turga bo'lish mumkin.

4. Boshqa.)

Qolganlarning hammasi, albatta, eng muhimi, ha...) Bunga kub, eksponensial, logarifmik, trigonometrik va boshqalar kiradi. Tegishli bo'limlarda ular bilan yaqindan hamkorlik qilamiz.

Men darhol aytamanki, ba'zida birinchisining tenglamalari uch tur ular sizni shunchalik aldashadiki, siz ularni hatto tanimaysiz ... Hech narsa. Biz ularni qanday qilib tinchlantirishni o'rganamiz.

Va nima uchun bizga bu to'rt tur kerak? Va keyin nima chiziqli tenglamalar bir tarzda hal qilinadi kvadrat boshqalar, kasr ratsionallar - uchinchi, A dam olish Ular umuman jur'at etmaydilar! Xo'sh, ular hech qanday qaror qabul qila olmaydilar, men matematikadan noto'g'ri bo'lganman.) Faqat ularning o'ziga xos texnikasi va usullari bor.

Lekin har qanday uchun (takrorlayman - uchun har qanday!) tenglamalar echish uchun ishonchli va ishonchli asos bo'lib xizmat qiladi. Hamma joyda va har doim ishlaydi. Bu poydevor - Qo'rqinchli ko'rinadi, lekin bu juda oddiy. Va juda (Juda!) muhim.

Aslida, tenglamaning yechimi aynan shu transformatsiyalardan iborat. 99% Savollarga javob: " Tenglamalarni qanday yechish mumkin?" Aynan shu o'zgarishlarda yotadi. Ishora aniqmi?)

Tenglamalarni bir xil o'zgartirishlar.

IN har qanday tenglamalar Noma'lumni topish uchun siz asl misolni o'zgartirishingiz va soddalashtirishingiz kerak. Va shuning uchun tashqi ko'rinish o'zgarganda tenglamaning mohiyati o'zgarmadi. Bunday transformatsiyalar deyiladi bir xil yoki ekvivalenti.

E'tibor bering, bu o'zgarishlar amal qiladi ayniqsa, tenglamalar uchun. Matematikada identifikatsiya o'zgarishlari ham mavjud ifodalar. Bu boshqa mavzu.

Endi biz hamma narsani, barchasini, barchasini takrorlaymiz tenglamalarni bir xil o'zgartirishlar.

Asosiy, chunki ular qo'llanilishi mumkin har qanday tenglamalar - chiziqli, kvadrat, kasr, trigonometrik, ko'rsatkichli, logarifmik va boshqalar. va h.k.

Birinchi identifikatsiya o'zgarishi: har qanday tenglamaning ikkala tomoniga qo'shish (ayirish) mumkin har qanday(lekin bitta va bir xil!) raqam yoki ifoda (shu jumladan noma'lum ifoda bilan!). Bu tenglamaning mohiyatini o'zgartirmaydi.

Aytgancha, siz doimiy ravishda ushbu transformatsiyadan foydalandingiz, shunchaki siz ba'zi atamalarni tenglamaning bir qismidan boshqasiga belgisini o'zgartirgan holda o'tkazyapsiz deb o'yladingiz. Turi:

Vaziyat tanish, biz ikkalasini o'ngga siljitamiz va biz quyidagilarni olamiz:

Aslida siz olib ketilgan tenglamaning har ikki tomonidan ikki. Natija bir xil:

x+2 - 2 = 3 - 2

Belgini o'zgartirish bilan atamalarni chapga va o'ngga siljitish birinchi identifikatsiya konvertatsiyasining qisqartirilgan versiyasidir. Va nima uchun bizga bunday chuqur bilim kerak? - deb so'rayapsiz. Tenglamalarda hech narsa yo'q. Xudo uchun, sabr qiling. Faqat belgini o'zgartirishni unutmang. Ammo tengsizliklarda ko'chirish odati boshi berk ko'chaga olib kelishi mumkin...

Identifikatsiyaning ikkinchi o'zgarishi: tenglamaning ikkala tomonini bir xil narsaga ko'paytirish (bo'lish) mumkin nolga teng bo'lmagan raqam yoki ifoda. Bu erda tushunarli cheklov allaqachon paydo bo'ladi: nolga ko'paytirish ahmoqlikdir va bo'linish mutlaqo mumkin emas. Bu kabi ajoyib narsalarni hal qilganingizda foydalanadigan transformatsiyadir

Tushunarli X= 2. Uni qanday topdingiz? Tanlov bo'yichami? Yoki o'zingga tushdimi? Tanlamaslik va tushunishni kutmaslik uchun siz adolatli ekanligingizni tushunishingiz kerak tenglamaning ikkala tomoniga bo'lingan tomonidan 5. Chap tomonni (5x) bo'lishda beshlik qisqartirildi va sof X qoldirdi. Aynan shu narsa bizga kerak edi. Va (10) ning o'ng tomonini beshga bo'lganda, natija, albatta, ikkitadir.

Ana xolos.

Bu kulgili, lekin bu ikkita (faqat ikkita!) bir xil o'zgarishlar yechimning asosidir matematikaning barcha tenglamalari. Voy-buy! Nima va qanday misollarni ko'rib chiqish mantiqiy, to'g'rimi?)

Tenglamalarni bir xil o'zgartirishga misollar. Asosiy muammolar.

dan boshlaylik birinchi identifikatsiyani o'zgartirish. Chapdan o'ngga o'tkazing.

Yoshlar uchun namuna.)

Aytaylik, quyidagi tenglamani yechishimiz kerak:

3-2x = 5-3x

Keling, sehrni eslaylik: "X bilan - chapga, X holda - o'ngga!" Bu afsun birinchi identifikatsiya konvertatsiyasidan foydalanish bo'yicha ko'rsatmalardir.) O'ng tomonda X bilan qanday ifoda bor? 3x? Javob noto'g'ri! Bizning o'ngimizda - 3x! Minus uch x! Shuning uchun, chapga harakatlanayotganda, belgi plyusga o'zgaradi. Bu shunday bo'ladi:

3-2x+3x=5

Shunday qilib, Xlar qoziqda yig'ildi. Keling, raqamlarga murojaat qilaylik. Chap tomonda uchtasi bor. Qaysi belgi bilan? "Hech kim bilan" javobi qabul qilinmaydi!) Uchtasining oldida, albatta, hech narsa chizilmaydi. Va bu uchtadan oldin borligini anglatadi ortiqcha. Shunday qilib, matematiklar rozi bo'lishdi. Hech narsa yozilmagan, demak ortiqcha. Shuning uchun, uchlik o'ng tomonga o'tkaziladi minus bilan. Biz olamiz:

-2x+3x=5-3

Faqat arzimas narsalar qoldi. Chapda - shunga o'xshashlarni keltiring, o'ngda - hisoblang. Javob darhol keladi:

Ushbu misolda identifikatsiyani bitta o'zgartirish kifoya edi. Ikkinchisi kerak emas edi. Ha mayli.)

Kattaroq bolalar uchun misol.)

Agar sizga bu sayt yoqsa...

Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)

Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. Keling, o'rganamiz - qiziqish bilan!)

Funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.

Ushbu videoda biz butun to'plamni tahlil qilamiz chiziqli tenglamalar, ular bir xil algoritm yordamida hal qilinadi - shuning uchun ular eng oddiy deb ataladi.

Birinchidan, aniqlaymiz: chiziqli tenglama nima va qaysi biri eng oddiy deb ataladi?

Chiziqli tenglama - bu faqat bitta o'zgaruvchiga ega bo'lgan va faqat birinchi darajali tenglama.

Eng oddiy tenglama qurilishni anglatadi:

Boshqa barcha chiziqli tenglamalar algoritmdan foydalanib, eng oddiyiga qisqartiriladi:

1. Agar mavjud bo'lsa, qavslarni kengaytiring;
2. Oʻzgaruvchisi boʻlgan shartlarni teng belgisining bir tomoniga, oʻzgaruvchisi boʻlmagan shartlarni ikkinchi tomoniga koʻchiring;
3. Tenglik belgisining chap va o'ng tomoniga o'xshash shartlarni bering;
4. Hosil bo‘lgan tenglamani $x$ o‘zgaruvchining koeffitsientiga bo‘ling.

Albatta, bu algoritm har doim ham yordam bermaydi. Gap shundaki, ba'zida bu hiyla-nayranglardan keyin $x$ o'zgaruvchisining koeffitsienti nolga teng bo'lib chiqadi. Bunday holda, ikkita variant mavjud:

1. Tenglama umuman yechimga ega emas. Misol uchun, $0\cdot x=8$ kabi narsa paydo bo'lganda, ya'ni. chap tomonda nol, o'ngda esa noldan boshqa raqam. Quyidagi videoda biz bu holatning mumkin bo'lgan bir nechta sabablarini ko'rib chiqamiz.
2. Yechim barcha raqamlardir. Bu mumkin bo'lgan yagona holat tenglama $0\cdot x=0$ konstruktsiyasiga qisqartirilganda bo'ladi. Qaysi $x$ ni almashtirsak ham, baribir “nol nolga teng”, ya’ni “nolga teng” bo‘lib chiqishi mantiqan to‘g‘ri. to'g'ri raqamli tenglik.

Keling, bularning barchasi hayotiy misollar yordamida qanday ishlashini ko'rib chiqaylik.

Tenglamalarni yechishga misollar

Bugun biz chiziqli tenglamalar bilan shug'ullanamiz va faqat eng oddiylari. Umuman olganda, chiziqli tenglama aynan bitta o'zgaruvchini o'z ichiga olgan har qanday tenglikni anglatadi va u faqat birinchi darajaga boradi.

Bunday inshootlar taxminan bir xil tarzda hal qilinadi:

1. Avvalo, agar mavjud bo'lsa, qavslarni kengaytirishingiz kerak (oxirgi misolimizda bo'lgani kabi);
2. Keyin shunga o'xshash narsalarni birlashtiring
3. Nihoyat, o'zgaruvchini ajratib oling, ya'ni. o'zgaruvchi bilan bog'liq bo'lgan hamma narsani - u mavjud bo'lgan atamalarni - bir tomonga siljiting va unsiz qolgan hamma narsani boshqa tomonga o'tkazing.

Keyin, qoida tariqasida, hosil bo'lgan tenglikning har bir tomoniga o'xshash narsalarni olib kelishingiz kerak, shundan so'ng "x" koeffitsientiga bo'lish qoladi va biz yakuniy javobni olamiz.

Nazariy jihatdan, bu yoqimli va sodda ko'rinadi, ammo amalda hatto tajribali o'rta maktab o'quvchilari ham juda oddiy chiziqli tenglamalarda haqoratli xatolarga yo'l qo'yishlari mumkin. Odatda, qavslarni ochishda yoki "ortiqcha" va "minuslar" ni hisoblashda xatolarga yo'l qo'yiladi.

Bundan tashqari, shunday bo'ladiki, chiziqli tenglamaning yechimlari umuman yo'q yoki yechim butun son chizig'i, ya'ni. har qanday raqam. Ushbu nozikliklarni bugungi darsimizda ko'rib chiqamiz. Ammo siz allaqachon tushunganingizdek, biz boshlaymiz oddiy vazifalar.

Oddiy chiziqli tenglamalarni yechish sxemasi

Birinchidan, yana bir bor eng oddiy chiziqli tenglamalarni echish uchun butun sxemani yozishga ruxsat bering:

1. Agar mavjud bo'lsa, qavslarni kengaytiring.
2. Biz o'zgaruvchilarni ajratamiz, ya'ni. Biz "X" ni o'z ichiga olgan hamma narsani bir tomonga, "X" lari bo'lmagan hamma narsani boshqa tomonga o'tkazamiz.
3. Biz shunga o'xshash shartlarni taqdim etamiz.
4. Biz hamma narsani "x" koeffitsientiga ajratamiz.

Albatta, bu sxema har doim ham ishlamaydi, unda ma'lum nozikliklar va fokuslar mavjud va endi biz ular bilan tanishamiz.

Oddiy chiziqli tenglamalarning haqiqiy misollarini yechish

Vazifa № 1

Birinchi qadam bizdan qavslarni ochishni talab qiladi. Ammo ular bu misolda yo'q, shuning uchun biz bu bosqichni o'tkazib yuboramiz. Ikkinchi bosqichda biz o'zgaruvchilarni ajratishimiz kerak. E'tibor bering: biz faqat individual shartlar haqida gapiramiz. Keling, yozamiz:

Biz chap va o'ngda shunga o'xshash shartlarni taqdim etamiz, ammo bu erda allaqachon qilingan. Shuning uchun biz to'rtinchi bosqichga o'tamiz: koeffitsientga bo'ling:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Shunday qilib, biz javob oldik.

Vazifa № 2

Biz ushbu muammoda qavslarni ko'rishimiz mumkin, shuning uchun ularni kengaytiramiz:

Chapda ham, o'ngda ham taxminan bir xil dizaynni ko'ramiz, lekin keling, algoritmga muvofiq harakat qilaylik, ya'ni. o'zgaruvchilarni ajratish:

Mana bir nechta shunga o'xshashlar:

Bu qanday ildizlarda ishlaydi? Javob: har qanday uchun. Shuning uchun $x$ har qanday raqam ekanligini yozishimiz mumkin.

Vazifa № 3

Uchinchi chiziqli tenglama qiziqroq:

\[\chap(6-x \o'ng)+\chap(12+x \o'ng)-\chap(3-2x \o'ng)=15\]

Bu erda bir nechta qavslar mavjud, lekin ular hech narsa bilan ko'paytirilmaydi, ular oldida turli xil belgilar mavjud. Keling, ularni ajratamiz:

Bizga ma'lum bo'lgan ikkinchi bosqichni bajaramiz:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Keling, hisob-kitob qilaylik:

Biz oxirgi bosqichni bajaramiz - hamma narsani "x" koeffitsientiga bo'ling:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Chiziqli tenglamalarni yechishda eslash kerak bo'lgan narsalar

Agar biz juda oddiy vazifalarni e'tiborsiz qoldirsak, men quyidagilarni aytmoqchiman:

• Yuqorida aytganimdek, har bir chiziqli tenglamaning yechimi yo'q - ba'zida oddiygina ildizlar yo'q;
• Ildizlar bo'lsa ham, ular orasida nol bo'lishi mumkin - buning hech qanday yomon joyi yo'q.

Nol boshqalar bilan bir xil raqam; siz uni hech qanday tarzda kamsitmasligingiz kerak yoki agar siz nolga ega bo'lsangiz, unda siz noto'g'ri ish qildingiz deb o'ylamasligingiz kerak.

Yana bir xususiyat qavslarning ochilishi bilan bog'liq. Iltimos, diqqat qiling: ularning oldida "minus" bo'lsa, biz uni olib tashlaymiz, lekin qavs ichida biz belgilarni o'zgartiramiz qarama-qarshi. Va keyin biz uni standart algoritmlar yordamida ochishimiz mumkin: biz yuqoridagi hisob-kitoblarda ko'rgan narsamizni olamiz.

Ushbu oddiy haqiqatni tushunish sizga o'rta maktabda ahmoqona va xafagarchilikka yo'l qo'ymaslikka yordam beradi, chunki bunday narsalarni qilish odatiy holdir.

Murakkab chiziqli tenglamalarni yechish

Keling, murakkabroq tenglamalarga o'tamiz. Endi konstruktsiyalar murakkablashadi va turli xil o'zgarishlarni amalga oshirishda kvadrat funktsiya paydo bo'ladi. Biroq, biz bundan qo'rqmasligimiz kerak, chunki agar muallifning rejasiga ko'ra, biz chiziqli tenglamani yechayotgan bo'lsak, unda transformatsiya jarayonida kvadrat funktsiyani o'z ichiga olgan barcha monomiallar albatta bekor qilinadi.

Misol № 1

Shubhasiz, birinchi qadam qavslarni ochishdir. Buni juda ehtiyotkorlik bilan qilaylik:

Endi maxfiylikni ko'rib chiqaylik:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Mana bir nechta shunga o'xshashlar:

Shubhasiz, bu tenglamaning yechimlari yo'q, shuning uchun biz buni javobda yozamiz:

\[\varnothing\]

yoki hech qanday ildiz yo'q.

Misol № 2

Biz xuddi shu harakatlarni bajaramiz. Birinchi qadam:

Keling, o'zgaruvchisi bo'lgan hamma narsani chapga, usiz esa o'ngga siljitamiz:

Mana bir nechta shunga o'xshashlar:

Shubhasiz, bu chiziqli tenglamaning yechimi yo'q, shuning uchun biz uni quyidagicha yozamiz:

\[\varnothing\],

yoki hech qanday ildiz yo'q.

Yechimning nuanslari

Ikkala tenglama ham to'liq yechilgan. Bu ikki iboradan misol tariqasida biz yana bir bor amin bo‘ldikki, hatto eng oddiy chiziqli tenglamalarda ham hamma narsa unchalik oddiy bo‘lmasligi mumkin: bitta, yoki hech biri, yoki cheksiz ko‘p ildizlar bo‘lishi mumkin. Bizning holatlarimizda biz ikkita tenglamani ko'rib chiqdik, ikkalasi ham oddiygina ildizga ega emas.

Ammo men sizning e'tiboringizni yana bir faktga qaratmoqchiman: qavslar bilan qanday ishlash va ularning oldida minus belgisi bo'lsa, ularni qanday ochish kerak. Ushbu ifodani ko'rib chiqing:

Ochishdan oldin siz hamma narsani "X" ga ko'paytirishingiz kerak. E'tibor bering: ko'payadi har bir alohida atama. Ichkarida ikkita atama mavjud - mos ravishda ikkita atama va ko'paytiriladi.

Va faqat bu oddiy ko'rinadigan, ammo juda muhim va xavfli o'zgarishlar tugagandan so'ng, siz qavsni undan keyin minus belgisi borligi nuqtai nazaridan ochishingiz mumkin. Ha, ha: faqat hozir, o'zgartirishlar tugallangandan so'ng, biz qavslar oldida minus belgisi borligini eslaymiz, ya'ni pastdagi hamma narsa shunchaki belgilarni o'zgartiradi. Shu bilan birga, qavslarning o'zi yo'qoladi va eng muhimi, oldingi "minus" ham yo'qoladi.

Ikkinchi tenglama bilan ham xuddi shunday qilamiz:

Men bu mayda-chuyda, arzimasdek ko‘ringan faktlarga bejiz e’tibor qaratganim yo‘q. Chunki tenglamalarni yechish har doim elementar o'zgarishlar ketma-ketligi bo'lib, bu erda oddiy harakatlarni aniq va malakali bajara olmaslik yuqori sinf o'quvchilarining mening oldimga kelishiga va yana shunday oddiy tenglamalarni echishni o'rganishiga olib keladi.

Albatta, kun keladiki, siz bu ko'nikmalarni avtomatizm darajasiga ko'tarasiz. Endi har safar juda ko'p o'zgarishlarni amalga oshirishingiz shart emas, siz hamma narsani bitta satrga yozasiz. Ammo endigina o'rganayotganingizda, har bir harakatni alohida yozishingiz kerak.

Bundan ham murakkab chiziqli tenglamalarni yechish

Biz hozir hal qilmoqchi bo'lgan narsani eng oddiy vazifa deb atash qiyin, ammo ma'no o'zgarishsiz qolmoqda.

Vazifa № 1

\[\left(7x+1 \o'ng)\left(3x-1 \o'ng)-21((x)^(2))=3\]

Birinchi qismdagi barcha elementlarni ko'paytiramiz:

Keling, bir oz maxfiylikni ta'minlaylik:

Mana bir nechta shunga o'xshashlar:

Keling, oxirgi bosqichni bajaramiz:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Mana bizning yakuniy javobimiz. Va yechish jarayonida bizda kvadratik funktsiyaga ega koeffitsientlar bo'lganiga qaramay, ular bir-birini bekor qildi, bu esa tenglamani kvadrat emas, chiziqli qiladi.

Vazifa № 2

\[\chap(1-4x \o'ng)\chap(1-3x \o'ng)=6x\chap(2x-1 \o'ng)\]

Keling, birinchi qadamni diqqat bilan bajaramiz: birinchi qavsdagi har bir elementni ikkinchisidan har bir elementga ko'paytiramiz. O'zgartirishlardan keyin jami to'rtta yangi atama bo'lishi kerak:

Endi har bir atamada ko'paytirishni diqqat bilan bajaramiz:

Keling, "X" harfi bo'lgan shartlarni chapga, bo'lmaganlarini esa o'ngga o'tkazamiz:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Mana shunga o'xshash atamalar:

Yana bir bor yakuniy javobni oldik.

Yechimning nuanslari

Bu ikki tenglama haqida eng muhim eslatma quyidagicha: biz bir nechta haddan iborat bo'lgan qavslarni ko'paytirishni boshlaganimizdan so'ng, bu quyidagi qoidaga muvofiq amalga oshiriladi: biz birinchi haddan birinchisini olamiz va har bir element bilan ko'paytiramiz. ikkinchisi; keyin birinchi elementdan ikkinchi elementni olamiz va xuddi shunday ikkinchi elementning har bir elementiga ko'paytiramiz. Natijada biz to'rtta muddatga ega bo'lamiz.

Algebraik yig'indi haqida

Ushbu oxirgi misol bilan men o'quvchilarga algebraik yig'indi nima ekanligini eslatmoqchiman. Klassik matematikada $1-7$ deganda biz oddiy qurilishni nazarda tutamiz: bittadan yettini ayirish. Algebrada biz quyidagilarni nazarda tutamiz: "bir" raqamiga biz boshqa raqamni qo'shamiz, ya'ni "minus etti". Algebraik yig'indi oddiy arifmetik yig'indidan shunday farq qiladi.

Barcha o'zgarishlarni, har bir qo'shish va ko'paytirishni amalga oshirayotganda, yuqorida tavsiflanganlarga o'xshash konstruktsiyalarni ko'rishni boshlasangiz, polinomlar va tenglamalar bilan ishlashda algebrada hech qanday muammo bo'lmaydi.

Va nihoyat, keling, biz ko'rib chiqqanlardan ham murakkabroq bo'lgan yana bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik va ularni hal qilish uchun biz standart algoritmimizni biroz kengaytirishimiz kerak.

Kasrli tenglamalarni yechish

Bunday vazifalarni hal qilish uchun biz algoritmimizga yana bir qadam qo'shishimiz kerak. Lekin birinchi navbatda algoritmimizni eslatib o'taman:

1. Qavslarni oching.
2. Alohida o'zgaruvchilar.
3. Shunga o'xshashlarni olib keling.
4. Nisbatga bo'linadi.

Afsuski, bu ajoyib algoritm, barcha samaradorligiga qaramay, oldimizda kasrlar mavjud bo'lganda, unchalik mos kelmaydi. Va biz quyida ko'rib chiqamiz, biz ikkala tenglamada ham chap, ham o'ngda kasrga egamiz.

Bu holatda qanday ishlash kerak? Ha, bu juda oddiy! Buning uchun siz algoritmga yana bir qadam qo'shishingiz kerak, bu birinchi harakatdan oldin ham, keyin ham bajarilishi mumkin, ya'ni kasrlardan xalos bo'lish. Shunday qilib, algoritm quyidagicha bo'ladi:

1. Fraksiyalardan xalos bo'ling.
2. Qavslarni oching.
3. Alohida o'zgaruvchilar.
4. Shunga o'xshashlarni olib keling.
5. Nisbatga bo'linadi.

"Fraksiyalardan xalos bo'lish" nimani anglatadi? Va nima uchun buni birinchi standart qadamdan keyin ham, oldin ham qilish mumkin? Aslida, bizning holatlarimizda, barcha kasrlar o'zlarining maxrajlarida sonli, ya'ni. Hamma joyda maxraj shunchaki raqamdir. Shuning uchun, agar tenglamaning ikkala tomonini bu raqamga ko'paytirsak, biz kasrlardan xalos bo'lamiz.

Misol № 1

\[\frac(\left(2x+1 \o'ng)\left(2x-3 \o'ng))(4)=((x)^(2))-1\]

Keling, bu tenglamadagi kasrlardan xalos bo'laylik:

\[\frac(\left(2x+1 \o'ng)\left(2x-3 \o'ng)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \o'ng)\cdot 4\]

E'tibor bering: hamma narsa bir marta "to'rt" ga ko'paytiriladi, ya'ni. Sizda ikkita qavs borligi har birini "to'rt" ga ko'paytirish kerak degani emas. Keling, yozamiz:

\[\left(2x+1 \o'ng)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \o'ng)\cdot 4\]

Endi kengaytiramiz:

Biz o'zgaruvchini ajratamiz:

Biz shunga o'xshash atamalarni qisqartiramiz:

\[-4x=-1\chap| :\left(-4 \o'ng) \o'ng.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Biz yakuniy yechimni oldik, keling, ikkinchi tenglamaga o'tamiz.

Misol № 2

\[\frac(\left(1-x \o'ng)\left(1+5x \o'ng))(5)+(x)^(2))=1\]

Bu erda biz bir xil harakatlarni bajaramiz:

\[\frac(\left(1-x \o'ng)\left(1+5x \o'ng)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Muammo hal qilindi.

Men bugun sizga aytmoqchi bo'lgan narsam shu edi.

Asosiy fikrlar

Asosiy topilmalar quyidagilar:

• Chiziqli tenglamalarni yechish algoritmini bilish.
• Qavslarni ochish qobiliyati.
• Agar ko'rsangiz, tashvishlanmang kvadratik funktsiyalar, ehtimol, keyingi transformatsiyalar jarayonida ular kamayadi.
• Chiziqli tenglamalarda ildizlarning uchta turi mavjud, hatto eng oddiylari ham: bitta ildiz, butun son qatori ildiz va umuman ildiz yo'q.

Umid qilamanki, bu dars sizga barcha matematikani qo'shimcha tushunish uchun oddiy, ammo juda muhim mavzuni o'zlashtirishga yordam beradi. Agar biror narsa aniq bo'lmasa, saytga o'ting va u erda keltirilgan misollarni hal qiling. Bizni kuzatib boring, sizni yana ko'plab qiziqarli narsalar kutmoqda!

Qavslarni ochib, o'xshash atamalarni keltirgandan so'ng shaklni oladigan bitta noma'lum tenglama

ax + b = 0, bu erda a va b ixtiyoriy sonlar deyiladi chiziqli tenglama noma'lum biri bilan. Bugun biz ushbu chiziqli tenglamalarni qanday hal qilishni aniqlaymiz.

Masalan, barcha tenglamalar:

2x + 3= 7 – 0,5x; 0,3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - chiziqli.

Tenglamani haqiqiy tenglikka aylantiruvchi noma'lumning qiymati deyiladi qaror yoki tenglamaning ildizi .

Masalan, agar 3x + 7 = 13 tenglamada noma'lum x o'rniga 2 raqamini qo'ysak, biz to'g'ri tenglikni olamiz 3 2 +7 = 13. Bu x = 2 qiymati yechim yoki ildiz ekanligini anglatadi. tenglamaning.

X = 3 qiymati esa 3x + 7 = 13 tenglamasini haqiqiy tenglikka aylantirmaydi, chunki 3 2 +7 ≠ 13. Bu x = 3 qiymati tenglamaning yechimi yoki ildizi emasligini bildiradi.

Har qanday chiziqli tenglamalarni yechish shakldagi tenglamalarni yechishga qisqartiradi

ax + b = 0.

Erkin hadni tenglamaning chap tomonidan o'ngga o'tkazamiz, b oldidagi belgini teskari tomonga o'zgartiramiz.

Agar a ≠ 0 bo'lsa, u holda x = ‒ b/a .

1-misol. 3x + 2 =11 tenglamani yeching.

Keling, tenglamaning chap tomonidan 2 ni o'ngga o'tkazamiz, 2 ning oldidagi belgini teskari tomonga o'zgartiramiz.
3x = 11 - 2.

Keling, ayirish amalini bajaramiz
3x = 9.

X topish uchun mahsulotni ma'lum omilga bo'lish kerak, ya'ni
x = 9:3.

Bu x = 3 qiymati tenglamaning yechimi yoki ildizi ekanligini bildiradi.

Javob: x = 3.

Agar a = 0 va b = 0 bo'lsa, u holda biz 0x = 0 tenglamani olamiz. Bu tenglamaning cheksiz ko'p yechimlari bor, chunki har qanday sonni 0 ga ko'paytirganda biz 0 ni olamiz, lekin b ham 0 ga teng. Bu tenglamaning yechimi istalgan sondir.

2-misol. 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1 tenglamasini yeching.

Qavslarni kengaytiramiz:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.

5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.

Mana bir nechta o'xshash atamalar:
0x = 0.

Javob: x - istalgan raqam.

Agar a = 0 va b ≠ 0 bo'lsa, keyin 0x = - b tenglamani olamiz. Bu tenglamaning yechimi yo'q, chunki har qanday sonni 0 ga ko'paytirganda biz 0 ni olamiz, lekin b ≠ 0.

3-misol. x + 8 = x + 5 tenglamasini yeching.

Chap tomonida noma’lumlar, o‘ng tomonida esa erkin atamalarni guruhlaymiz:
x – x = 5 – 8.

Mana bir nechta o'xshash atamalar:
0x = ‒ 3.

Javob: yechim yo'q.

Yoniq 1-rasm chiziqli tenglamani yechish sxemasini ko'rsatadi

Bitta o'zgaruvchili tenglamalarni yechishning umumiy sxemasini tuzamiz. Keling, 4-misolning yechimini ko'rib chiqaylik.

4-misol. Aytaylik, biz tenglamani yechishimiz kerak

1) Tenglamaning barcha aʼzolarini maxrajlarning eng kichik umumiy karrali 12 ga koʻpaytiring.

2) Qisqartirilgandan keyin biz olamiz
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)

3) Noma'lum va bepul shartlarni o'z ichiga olgan atamalarni ajratish uchun qavslarni oching:
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.

4) Keling, bir qismda noma'lumlarni o'z ichiga olgan atamalarni, ikkinchisida esa - erkin atamalarni guruhlaymiz:
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) Keling, shunga o'xshash atamalarni keltiraylik:
- 22x = - 154.

6) - 22 ga bo'linadi, biz olamiz
x = 7.

Ko'rib turganingizdek, tenglamaning ildizi etti.

Umuman shunday tenglamalarni quyidagi sxema yordamida yechish mumkin:

a) tenglamani butun son shakliga keltiring;

b) qavslarni ochish;

v) tenglamaning bir qismida noma’lum, ikkinchi qismida erkin hadlarni o‘z ichiga olgan hadlarni guruhlash;

d) o'xshash a'zolarni olib kelish;

e) o'xshash hadlarni keltirgandan keyin olingan ah = b ko'rinishdagi tenglamani yeching.

Biroq, bu sxema har bir tenglama uchun kerak emas. Ko'p oddiy tenglamalarni yechishda siz birinchisidan emas, ikkinchisidan boshlashingiz kerak ( Misol. 2), uchinchi ( Misol. 13) va hatto beshinchi bosqichdan boshlab, 5-misolda bo'lgani kabi.

5-misol. 2x = 1/4 tenglamani yeching.

Noma'lum x = 1/4: 2 ni toping,
x = 1/8 .

Keling, asosiy davlat imtihonida topilgan ba'zi chiziqli tenglamalarni echishni ko'rib chiqaylik.

6-misol. 2 (x + 3) = 5 – 6x tenglamani yeching.

2x + 6 = 5 - 6x

2x + 6x = 5 – 6

Javob: - 0,125

7-misol.– 6 (5 – 3x) = 8x – 7 tenglamani yeching.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x – 8x = – 7 +30

Javob: 2.3

8-misol. Tenglamani yeching

3(3x – 4) = 4 7x + 24

9x – 12 = 28x + 24

9x – 28x = 24 + 12

9-misol. f (x + 2) = 3 7 bo'lsa, f(6) ni toping

Yechim

Biz f (6) ni topishimiz kerak va biz f (x + 2) ni bilamiz,
keyin x + 2 = 6.

Biz x + 2 = 6 chiziqli tenglamani yechamiz,
x = 6 – 2, x = 4 ni olamiz.

Agar x = 4 bo'lsa
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Javob: 27.

Agar sizda hali ham savollaringiz bo'lsa yoki tenglamalarni echishni chuqurroq tushunmoqchi bo'lsangiz, JADVALdagi darslarimga yoziling. Men sizga yordam berishdan xursand bo'laman!

TutorOnline shuningdek, o'qituvchimiz Olga Aleksandrovnaning chiziqli tenglamalarni va boshqalarni tushunishga yordam beradigan yangi video darsini tomosha qilishni tavsiya qiladi.

veb-sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda manbaga havola talab qilinadi.