Zaiflashning sababi shundaki, har qanday tebranish tizimida, tiklovchi kuchdan tashqari, har doim havo qarshiligining har xil turlari mavjud.

harakatni sekinlashtiradigan va hokazo. Har bir tebranishda bir qism ishqalanish kuchlariga qarshi ishlashga sarflanadi. Oxir-oqibat, bu ish dastlab tebranish tizimiga etkazib beriladigan energiyaning barcha ta'minotini iste'mol qiladi.

Ko'rib chiqilayotganda, biz ideal, qat'iy davriy tabiiy tebranishlar bilan shug'ullangan edik. Haqiqiy tebranishlarni tasvirlash uchun bunday modeldan foydalangan holda, biz ataylab tavsifda noaniqlikka yo'l qo'yamiz. Biroq, bunday soddalashtirish ko'plab tebranish tizimlarida ishqalanish natijasida yuzaga keladigan tebranishlarning susaytirishi haqiqatan ham kichik bo'lganligi sababli mos keladi: tizim sezilarli darajada kamayguncha ko'plab tebranishlarni amalga oshirishga muvaffaq bo'ladi.

Söndürülmüş tebranishlar grafiklari

Damping mavjud bo'lganda, tabiiy tebranish (1-rasm) garmonik bo'lishni to'xtatadi. Bundan tashqari, sönümli tebranish davriy jarayon bo'lishni to'xtatadi - ishqalanish nafaqat tebranishlar amplitudasiga (ya'ni sönümleme sabab bo'ladi), balki tebranishlar davomiyligiga ham ta'sir qiladi. Ishqalanish kuchayishi bilan tizimning bitta to'liq tebranishini bajarish uchun zarur bo'lgan vaqt ortadi. Söndürülmüş tebranishlar grafigi rasmda ko'rsatilgan. 2.

1-rasm. Bepul harmonik grafik

2-rasm. Dampingli tebranishlar grafigi

Tebranish tizimlarining xarakterli xususiyati shundaki, engil ishqalanish tebranish davriga amplitudaga qaraganda ancha kamroq ta'sir qiladi. Bu holat soatlarni takomillashtirishda katta rol o'ynadi. Birinchi soat 1673 yilda golland fizigi va matematigi Kristian Gyuygens tomonidan qurilgan. Bu yilni zamonaviy soat mexanizmlarining tug'ilgan kuni deb hisoblash mumkin. Sarkacli soatlarning harakati ishqalanish tufayli yuzaga keladigan o'zgarishlarga juda kam sezgir, bu umuman ko'p omillarga bog'liq, oldingi sarkaçli soatlarning tezligi esa ishqalanishga juda bog'liq edi.

Amalda, tebranishlarni yumshatishni ham kamaytirish, ham oshirish zarurati mavjud. Masalan, soat harakatlarini loyihalashda ular soat balanslagichining tebranishlarini yumshatishni kamaytirishga intiladi. Buning uchun muvozanat o'qi o'tkir uchlari bilan jihozlangan bo'lib, ular qattiq toshdan (agat yoki yoqut) yaxshi sayqallangan konussimon podshipniklarga tayanadi. Aksincha, ko'pgina o'lchov asboblarida qurilmaning harakatlanuvchi qismi o'lchash jarayonida tezda o'rnatilishi juda ma'qul, lekin juda ko'p tebranishlarga duchor bo'ladi. Bu holda zaiflashuvni oshirish uchun turli xil amortizatorlar qo'llaniladi - ishqalanishni va umuman energiya yo'qotilishini oshiradigan qurilmalar.

1.21. 3DAMPLANGAN, MAJBUR TALABALIKLAR

Söndürülmüş tebranishlarning differensial tenglamasi va uning yechimi. Zaiflash koeffitsienti. Logarifmik qavatparchalanish vaqti.Tebranish sifati omilitana tizimi.Aperiodik jarayon. Majburiy tebranishlarning differensial tenglamasi va uning yechimi.Majburiy tebranishlarning amplitudasi va fazasi. Tebranishlarni o'rnatish jarayoni. Rezonans holati.O'z-o'zidan tebranishlar.

Tebranishlarni susaytirish - tebranishlar amplitudasining vaqt o'tishi bilan asta-sekin kamayishi, tebranish tizimining energiya yo'qolishi bilan bog'liq.

Dampingsiz tabiiy tebranishlar idealizatsiya hisoblanadi. Zaiflashning sabablari boshqacha bo'lishi mumkin. Mexanik tizimda tebranishlar ishqalanish mavjudligi bilan susayadi. Tebranish tizimida to'plangan barcha energiya sarflanganda, tebranishlar to'xtaydi. Shuning uchun amplituda sönümli tebranishlar nolga tenglashguncha kamayadi.

Tabiatda turlicha bo‘lgan sistemalardagi tabiiy tebranishlar kabi sönümli tebranishlarni bir nuqtadan - umumiy xususiyatlardan ko‘rib chiqish mumkin. Biroq, amplituda va davr kabi xarakteristikalar qayta belgilashni talab qiladi, boshqalari esa tabiiy so'ndirilmagan tebranishlar uchun bir xil xususiyatlarga nisbatan qo'shish va aniqlashtirishni talab qiladi. Söndürülmüş tebranishlarning umumiy xususiyatlari va tushunchalari quyidagilardan iborat:

Differensial tenglama tebranish jarayonida tebranish energiyasining kamayishini hisobga olgan holda olinishi kerak.

Tebranish tenglamasi differensial tenglamaning yechimidir.

Söndürülmüş tebranishlarning amplitudasi vaqtga bog'liq.

Chastotasi va davri tebranishlarning susayish darajasiga bog'liq.

Faza va boshlang'ich faza uzluksiz tebranishlar bilan bir xil ma'noga ega.

Mexanik sönümli tebranishlar.

Mexanik tizim : ishqalanish kuchlarini hisobga olgan holda prujina mayatnik.

Mayatnikda harakat qiluvchi kuchlar :

Elastik kuch., bu erda k - prujinaning qattiqlik koeffitsienti, x - mayatnikning muvozanat holatidan siljishi.

Qarshilik kuchi. Harakat tezligi v ga proportsional qarshilik kuchini ko'rib chiqamiz (bu bog'liqlik qarshilik kuchlarining katta sinfi uchun xosdir): . Minus belgisi qarshilik kuchining yo'nalishi tananing tezligining yo'nalishiga qarama-qarshi ekanligini ko'rsatadi. Qarshilik koeffitsienti r son jihatdan tana harakatining birlik tezligida yuzaga keladigan tortish kuchiga teng:

Harakat qonuni bahor mayatnik - bu Nyutonning ikkinchi qonuni:

m a = F masalan. + F qarshilik

Shuni hisobga olgan holda ikkalasi ham , Nyutonning ikkinchi qonunini quyidagicha yozamiz:

. (21.1)

Tenglamaning barcha a'zolarini m ga bo'lib, barchasini o'ng tomonga o'tkazsak, biz hosil bo'lamiz differensial tenglama sönümli tebranishlar:

Keling, qayerni belgilaymiz β – susaytirish koeffitsienti , , Qayerda ω 0 - tebranish tizimida energiya yo'qotishlari bo'lmaganda so'nmagan erkin tebranishlar chastotasi.

Yangi yozuvda sönümli tebranishlarning differentsial tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega:

. (21.2)

Bu ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglama.

Ushbu chiziqli differensial tenglama o'zgaruvchilarni o'zgartirish orqali hal qilinadi. t vaqtga qarab x funksiyani quyidagi ko‘rinishda ifodalaymiz:

.

z funksiya ham vaqtning funksiyasi ekanligini hisobga olib, bu funksiyaning vaqtga nisbatan birinchi va ikkinchi hosilalarini topamiz:

, .

Differensial tenglamaga ifodalarni almashtiramiz:

Keling, tenglamada o'xshash atamalarni keltiramiz va har bir a'zoni ga kamaytiramiz, biz tenglamani olamiz:

.

Keling, miqdorni belgilaylik .

Tenglamani yechish funktsiyalari hisoblanadi, .

X o'zgaruvchisiga qaytsak, so'yilgan tebranishlar tenglamalari uchun formulalarni olamiz:

Shunday qilib , sönümli tebranishlar tenglamasi(21.2) differensial tenglamaning yechimi:

Sustirilgan chastota :

(faqat haqiqiy ildiz jismoniy ma'noga ega, shuning uchun ).

Söndürülmüş tebranishlar davri :

(21.5)

Soʻnmagan tebranishlar davri tushunchasiga kiritilgan maʼno soʻndirilgan tebranishlar uchun mos emas, chunki tebranish energiyasining yoʻqolishi tufayli tebranish tizimi hech qachon asl holatiga qaytmaydi. Ishqalanish mavjud bo'lganda tebranishlar sekinroq bo'ladi: .

Söndürülmüş tebranishlar davri - tizim muvozanat holatidan bir yo'nalishda ikki marta o'tadigan minimal vaqt davri.

Prujinali mayatnikning mexanik tizimi uchun bizda:

, .

Söndürülmüş tebranishlarning amplitudasi :

Bahor mayatnik uchun.

Söndürülmüş tebranishlarning amplitudasi doimiy qiymat emas, balki vaqt o'tishi bilan o'zgarib turadi, b koeffitsienti qanchalik tez bo'lsa. Shuning uchun, amplituda uchun ilgari so'nmagan erkin tebranishlar uchun berilgan ta'rifni so'ndirilgan tebranishlar uchun o'zgartirish kerak.

Kichik zaiflashuvlar uchun sönümli tebranishlar amplitudasi davr ichida muvozanat holatidan eng katta og'ish deyiladi.

Grafikalar Vaqtga nisbatan joy almashish va amplitudaga nisbatan vaqt grafigi 21.1 va 21.2-rasmlarda keltirilgan.

Shakl 21.1 - Söndürülmüş tebranishlar uchun joy almashishning vaqtga bog'liqligi.

Shakl 21.2 - Söndürülmüş tebranishlar uchun amplitudaning vaqtga bog'liqligi

Söndürülmüş tebranishlarning xarakteristikalari.

1. Zaiflash koeffitsienti β .

Söndürülmüş tebranishlar amplitudasi eksponensial qonunga muvofiq o'zgaradi:

Tebranish amplitudasi t vaqt ichida “e” marta kamaysin (“e” – natural logarifmning asosi, e ≈ 2,718). Keyin, bir tomondan, , va boshqa tomondan, amplitudalarni tasvirlab A zat. (t) va A zat. (t+t), bizda bor . Bu munosabatlardan bt = 1 kelib chiqadi, demak, .

Vaqt oralig'i τ , uning davomida amplituda "e" marta kamayadi, gevşeme vaqti deb ataladi.

Zaiflash koeffitsienti β - dam olish vaqtiga teskari proportsional miqdor.

2. Logarifmik dampingning kamayishi δ - vaqt bo'yicha davr bilan ajratilgan ketma-ket ikki amplituda nisbatining natural logarifmasiga son jihatdan teng bo'lgan jismoniy miqdor.

Agar zaiflashuv kichik bo'lsa, ya'ni. b ning qiymati kichik bo'lsa, u holda amplituda davr davomida biroz o'zgaradi va logarifmik pasayish quyidagicha aniqlanishi mumkin:

,

A zat qayerda. (t) va A zat. (t+NT) – e vaqtida va N davrdan keyin tebranishlar amplitudalari, ya’ni vaqtda (t+NT).

3. Sifat omili Q tebranish tizimi - (2p) n miqdorining mahsulotiga va ixtiyoriy vaqt momentidagi tizimning W(t) energiyasining bir so'ndirilgan tebranish davridagi energiya yo'qolishiga nisbatiga teng bo'lgan o'lchovsiz jismoniy miqdor:

.

Energiya amplitudaning kvadratiga proportsional bo'lgani uchun, demak

Logarifmik dekrement d ning kichik qiymatlari uchun tebranish tizimining sifat omili tengdir.

,

bu erda N e - amplituda "e" marta kamayadigan tebranishlar soni.

Demak, prujinali mayatnikning sifat koeffitsienti - tebranish sistemasining sifat koeffitsienti qanchalik yuqori bo'lsa, zaiflashuv shunchalik kam bo'lsa, bunday tizimdagi davriy jarayon shunchalik uzoq davom etadi. Tebranish tizimining sifat omili - vaqt o'tishi bilan energiyaning tarqalishini tavsiflovchi o'lchovsiz miqdor.

4. b koeffitsienti ortishi bilan sönümli tebranishlar chastotasi kamayadi va davr ortadi. ō 0 = b da sönümli tebranishlar chastotasi ō zat nolga teng bo'ladi. = 0 va T zat. = ∞. Bunday holda, tebranishlar davriy xarakterini yo'qotadi va chaqiriladi aperiodik.

ō 0 = b da, tebranish energiyasining pasayishi uchun mas'ul bo'lgan tizim parametrlari deb nomlangan qiymatlarni oladi. tanqidiy . Prujinali mayatnik uchun ō 0 = b sharti quyidagicha yoziladi: miqdorni qaerdan topamiz. Kritik qarshilik koeffitsienti:

.

Guruch. 21.3. Aperiodik tebranishlar amplitudasining vaqtga bog'liqligi

Majburiy tebranishlar.

Barcha haqiqiy tebranishlar so'ndiriladi. Haqiqiy tebranishlar etarlicha uzoq davom etishi uchun tebranish tizimining energiyasini vaqti-vaqti bilan unga tashqi davriy o'zgaruvchan kuch bilan ta'sir qilish orqali to'ldirish kerak.

Agar tashqi bo'lsa, tebranishlar hodisasini ko'rib chiqaylik (majburlash) kuch vaqt o'tishi bilan garmonik qonunga muvofiq o'zgaradi. Bunday holda, tizimlarda tebranishlar paydo bo'ladi, ularning tabiati u yoki bu darajada harakatlantiruvchi kuchning tabiatini takrorlaydi. Bunday tebranishlar deyiladi majbur .

Majburiy mexanik tebranishlarning umumiy belgilari.

1. Prujinali mayatnikning majburiy mexanik tebranishlarini ko'rib chiqamiz, unga tashqi ta'sir qiladi. (majburlash ) davriy kuch . Mayatnikga ta'sir qiluvchi kuchlar, uning muvozanat holatidan chiqarilgandan so'ng, tebranish tizimining o'zida rivojlanadi. Bu elastik kuch va qarshilik kuchi.

Harakat qonuni (Nyutonning ikkinchi qonuni) quyidagicha yoziladi:

(21.6)

Tenglamaning har ikki tomonini m ga bo'lib, shuni hisobga olib, ni olamiz differensial tenglama Majburiy tebranishlar:

Belgilaymiz ( β – susaytirish koeffitsienti ), (ō 0 - so'nmagan erkin tebranishlar chastotasi), massa birligiga ta'sir qiluvchi kuch. Ushbu belgilarda differensial tenglama Majburiy tebranishlar quyidagi shaklda bo'ladi:

(21.7)

Bu o'ng tomoni nolga teng bo'lmagan ikkinchi tartibli differensial tenglama. Bunday tenglamaning yechimi ikkita yechimning yig'indisidir

.

– bir jinsli differensial tenglamaning umumiy yechimi, ya’ni. nolga teng bo'lganda o'ng tomoni bo'lmagan differentsial tenglama. Biz bunday yechimni bilamiz - bu sobit tebranishlar tenglamasi, doimiy aniqlikka yoziladi, uning qiymati tebranish tizimining boshlang'ich shartlari bilan belgilanadi:

Yuqorida biz yechimni sinus funksiyalar asosida yozish mumkinligini muhokama qildik.

Agar harakatlantiruvchi kuch yoqilgandan so'ng Dt etarlicha katta vaqt oralig'idan keyin mayatnikning tebranish jarayonini ko'rib chiqsak (21.2-rasm), u holda tizimdagi sönümli tebranishlar amalda to'xtaydi. Va keyin o'ng tomoni bilan differentsial tenglamaning yechimi bo'ladi.

Yechim bir hil bo'lmagan differentsial tenglamaning ma'lum bir yechimidir, ya'ni. o'ng tomoni bilan tenglamalar. Differensial tenglamalar nazariyasidan ma'lumki, o'ng tomon garmonik qonunga muvofiq o'zgarganda, yechim o'ngning o'zgarishi chastotasiga Ō mos keladigan o'zgarish chastotasi bilan garmonik funktsiya (sin yoki cos) bo'ladi. - qo'l tomoni:

bu erda A ampl. – majburiy tebranishlar amplitudasi, ph 0 – faza almashinuvi , bular. harakatlantiruvchi kuch fazasi va majburiy tebranish fazasi o'rtasidagi fazalar farqi. Va amplituda A amplituda. , va faza almashinuvi ph 0 tizim parametrlariga (b, ō 0) va harakatlantiruvchi kuchning chastotasiga Ō bog'liq.

Majburiy tebranishlar davri teng (21.9)

4.1-rasmdagi majburiy tebranishlar grafigi.

21.3-rasm. Majburiy tebranish grafigi

Barqaror holatdagi majburiy tebranishlar ham garmonikdir.

Majburiy tebranishlar amplitudasi va faza siljishining tashqi ta'sir chastotasiga bog'liqligi. Rezonans.

1. Garmonik qonunga ko'ra o'zgaruvchan tashqi kuch ta'sir qiladigan prujina mayatnikining mexanik tizimiga qaytaylik. Bunday tizim uchun differentsial tenglama va uning yechimi mos ravishda quyidagi ko'rinishga ega:

, .

Tebranish amplitudasi va faza siljishining tashqi harakatlantiruvchi kuch chastotasiga bog'liqligini tahlil qilamiz, buning uchun x ning birinchi va ikkinchi hosilalarini topamiz va ularni differentsial tenglamaga almashtiramiz.

Vektor diagramma usulidan foydalanamiz. Tenglama shuni ko'rsatadiki, tenglamaning chap tomonidagi uchta tebranish yig'indisi (4.1-rasm) o'ng tomonidagi tebranishga teng bo'lishi kerak. Vektor diagrammasi t ning ixtiyoriy momenti uchun tuzilgan. Undan siz aniqlashingiz mumkin.

21.4-rasm.

, (21.10)

. (21.11)

, , qiymatini hisobga olgan holda ph 0 va A ampl uchun formulalarni olamiz. Mexanik tizim:

,

.

2. Majburiy tebranishlar amplitudasining harakatlantiruvchi kuch chastotasi va qarshilik kuchining kattaligiga bog'liqligini tebranuvchi mexanik tizimda o'rganamiz, bu ma'lumotlardan foydalanib, grafik tuzamiz. . Tadqiqot natijalari 21.5-rasmda aks ettirilgan bo'lib, ma'lum bir harakatlantiruvchi kuch chastotasida tebranishlar amplitudasi keskin ortadi. Va bu o'sish kattaroq bo'lsa, susaytirish koeffitsienti past bo'ladi b. Tebranishlar amplitudasi cheksiz kattalashganda.

Amplitudaning keskin o'sishi fenomeni ga teng harakatlantiruvchi kuch chastotasidagi majburiy tebranishlar , rezonans deb ataladi.

(21.12)

21.5-rasmdagi egri chiziqlar munosabatlarni aks ettiradi va chaqiriladi amplitudali rezonans egri chiziqlari .

21.5-rasm - Majburiy tebranishlar amplitudasining harakatlantiruvchi kuch chastotasiga bog'liqligi grafiklari.

Rezonans tebranishlarning amplitudasi quyidagi shaklda bo'ladi:

Majburiy tebranishlar siqilmagan tebranishlar. Ishqalanish natijasida muqarrar energiya yo'qotishlari davriy ta'sir qiluvchi kuchning tashqi manbasidan energiya ta'minoti bilan qoplanadi. Shunday tizimlar mavjudki, ularda o'zgarmas tebranishlar davriy tashqi ta'sirlar tufayli emas, balki bunday tizimlarning doimiy manbadan energiya ta'minotini tartibga solish qobiliyati natijasida paydo bo'ladi. Bunday tizimlar deyiladi o'z-o'zidan tebranish, va bunday tizimlarda so'nmagan tebranishlar jarayoni o'z-o'zidan tebranishlar.

O'z-o'zidan tebranuvchi tizimda uchta xarakterli elementni ajratish mumkin - tebranish tizimi, energiya manbai va tebranish tizimi va manba o'rtasidagi qayta aloqa qurilmasi. O'zining sönümli tebranishlarini amalga oshirishga qodir bo'lgan har qanday mexanik tizim (masalan, devor soatining mayatnik) tebranish tizimi sifatida ishlatilishi mumkin.

Energiya manbai buloqning deformatsiya energiyasi yoki tortishish maydonidagi yukning potentsial energiyasi bo'lishi mumkin. Qayta aloqa qurilmasi - bu o'z-o'zidan tebranuvchi tizim manbadan energiya oqimini tartibga soluvchi mexanizm. Shaklda. 21.6-rasmda o'z-o'zidan tebranuvchi tizimning turli elementlarining o'zaro ta'siri diagrammasi ko'rsatilgan.

Mexanik o'z-o'zidan tebranuvchi tizimga misol sifatida soat mexanizmi mavjud langar taraqqiyot (21.7-rasm). Qiyma tishlari bo'lgan yugurish g'ildiragi tishli tamburga qattiq biriktirilgan bo'lib, u orqali og'irlik bilan zanjir tashlanadi. Mayatnikning yuqori uchida markazi mayatnik o'qida bo'lgan dumaloq yoy bo'ylab egilgan ikkita qattiq materialdan yasalgan langar (langar) mavjud. Qo'l soatlarida og'irlik prujina bilan almashtiriladi, mayatnik esa muvozanatlashtiruvchi - spiral prujinaga ulangan qo'l g'ildiragi bilan almashtiriladi.

Balanslashtiruvchi o'z o'qi atrofida burilish tebranishlarini amalga oshiradi. Soatdagi tebranish tizimi mayatnik yoki muvozanatlashtiruvchidir. Energiya manbai ko'tarilgan og'irlik yoki yarali buloqdir. Teskari aloqani ta'minlash uchun ishlatiladigan qurilma langar bo'lib, u ishlaydigan g'ildirakni bir yarim tsiklda bir tishni aylantirish imkonini beradi.

Teskari aloqa langarning ishlaydigan g'ildirak bilan o'zaro ta'siri bilan ta'minlanadi. Sarkacning har bir tebranishida ishlaydigan g'ildirakning tishi langar vilkasini mayatnikning harakat yo'nalishi bo'yicha itaradi va unga energiyaning ma'lum bir qismini o'tkazadi, bu ishqalanish natijasida energiya yo'qotishlarini qoplaydi. Shunday qilib, og'irlikning (yoki o'ralgan kamonning) potentsial energiyasi asta-sekin, alohida qismlarda, sarkaçga o'tkaziladi.

Mexanik o'z-o'zidan tebranish tizimlari atrofimizdagi hayotda va texnologiyada keng tarqalgan. Oʻz-oʻzidan tebranishlar bugʻ mashinalarida, ichki yonuv dvigatellarida, elektr qoʻngʻiroqlarida, kamon cholgʻu asboblarining torlarida, puflama asboblar quvurlaridagi havo ustunlarida, gapirganda yoki qoʻshiq aytayotganda ovoz paychalarida va hokazolarda sodir boʻladi.

Ushbu bo'limni o'rganayotganda, iltimos, buni yodda tuting tebranishlar turli jismoniy tabiatga ega bo'lganlar umumiy matematik pozitsiyalardan tasvirlangan. Bu erda garmonik tebranish, faza, fazalar farqi, amplituda, chastota, tebranish davri kabi tushunchalarni aniq tushunish kerak.

Shuni yodda tutish kerakki, har qanday haqiqiy tebranish tizimida muhitning qarshiligi mavjud, ya'ni. tebranishlar susayadi. Tebranishlarning yumshatilishini tavsiflash uchun damping koeffitsienti va logarifmik dekrement kiritiladi.

Agar tebranishlar tashqi, davriy o'zgaruvchan kuch ta'sirida sodir bo'lsa, unda bunday tebranishlar majburiy deyiladi. Ular sönümsiz bo'ladi. Majburiy tebranishlarning amplitudasi harakatlantiruvchi kuchning chastotasiga bog'liq. Majburiy tebranishlar chastotasi tabiiy tebranishlar chastotasiga yaqinlashganda, majburiy tebranishlar amplitudasi keskin ortadi. Bu hodisa rezonans deb ataladi.

Elektromagnit to'lqinlarni o'rganishga o'tayotganda, buni aniq tushunishingiz kerakelektromagnit to'lqinkosmosda tarqaladigan elektromagnit maydondir. Elektromagnit to'lqinlarni chiqaradigan eng oddiy tizim bu elektr dipoldir. Agar dipol garmonik tebranishlarga duchor bo'lsa, u monoxromatik to'lqin chiqaradi.

Formulalar jadvali: tebranishlar va to'lqinlar

Damlangan tebranishlar

Prujinali mayatnikning sönümli tebranishlari

Damlangan tebranishlar- energiya vaqt o'tishi bilan kamayib boruvchi tebranishlar. Tabiatda turlarning cheksiz davom etishi mumkin emas. Har qanday osilatorning erkin tebranishlari ertami-kechmi susayadi va to'xtaydi. Shuning uchun amalda biz odatda sönümli tebranishlar bilan shug'ullanamiz. Ular tebranishlar amplitudasi bilan tavsiflanadi A kamayuvchi funktsiyadir. Odatda, zaiflashuv muhitning qarshilik kuchlari ta'sirida sodir bo'ladi, ko'pincha tebranish tezligiga yoki uning kvadratiga chiziqli bog'liqlik sifatida ifodalanadi.

Akustikada: susaytirish - signal darajasini to'liq eshitilmasligi uchun kamaytirish.

Prujinali mayatnikning sönümli tebranishlari

Prujinadan (Guk qonuniga bo'ysunuvchi) bir uchi qattiq mahkamlangan, ikkinchi tomonida esa massali jismdan iborat sistema bo'lsin. m. Tebranishlar qarshilik kuchi koeffitsient bilan tezlikka mutanosib bo'lgan muhitda sodir bo'ladi c(yopishqoq ishqalanishga qarang).

Ularning ildizlari quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi

Yechimlar

Zaiflash koeffitsientining qiymatiga qarab, eritma uchta mumkin bo'lgan variantga bo'linadi.

• Aperiodiklik

Agar bo'lsa, ikkita haqiqiy ildiz mavjud va differentsial tenglamaning yechimi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

Bunday holda, tebranishlar boshidan eksponent ravishda parchalanadi.

• Aperiodiklik chegarasi

Agar , ikkita haqiqiy ildiz mos tushsa va tenglamaning yechimi:

Bunday holda, vaqtinchalik o'sish bo'lishi mumkin, lekin keyin eksponentsial parchalanish.

• Zaif zaiflashuv

Agar , u holda xarakteristik tenglamaning yechimi ikkita murakkab konjugat ildiz bo'ladi

Keyin asl differensial tenglamaning yechimi bo'ladi

Söndürülmüş tebranishlarning tabiiy chastotasi qayerda.

Konstantalar va har bir holatda dastlabki shartlardan aniqlanadi:

Shuningdek qarang

• Zaiflashning pasayishi

Adabiyot

Lit.: Savelyev I.V., Umumiy fizika kursi: Mexanika, 2001 y.

Wikimedia fondi. 2010 yil.

Boshqa lug'atlarda "sönümli tebranishlar" nima ekanligini ko'ring:

Damlangan tebranishlar- Söndürülmüş tebranishlar. SOG'ILGAN VIBRASYONLAR, energiya yo'qotishlari tufayli vaqt o'tishi bilan A amplitudasi kamayadigan tebranishlar: mexanik tizimlarda ishqalanish natijasida tebranish energiyasining issiqlikka aylanishi (masalan, to'xtatib turish nuqtasida... ... Illustrated entsiklopedik lug'at

Tabiiy tebranishlar, ularning amplitudasi A (t) ko'rsatkich qonuniga ko'ra t vaqt o'tishi bilan kamayib boradi = Aoexp (?t) (? mexanik sönümlenmiş tebranishlar va ohm uchun yopishqoq ishqalanish kuchlari tufayli energiyaning yo'qolishi tufayli zaiflashuv ko'rsatkichi. .. ... Katta ensiklopedik lug'at

Amplitudasi asta-sekin kamayib boruvchi tebranishlar, masalan. suspenziyada havo qarshiligini va ishqalanishni boshdan kechiradigan mayatnikning tebranishlari. Tabiatda yuzaga keladigan barcha erkin tebranishlar katta yoki kichik darajada Z.K. Electrical Z.K... ...Dengiz lug'atidir.

sönümli tebranishlar- umumlashtirilgan koordinata diapazonining yoki uning hosilasining vaqtga nisbatan kamayib borayotgan qiymatlari bilan mexanik tebranishlar. [Tavsiya etilgan shartlar toʻplami. 106-masala. Mexanik tebranishlar. SSSR Fanlar akademiyasi. Ilmiy-texnika qo'mitasi ... ... Texnik tarjimon uchun qo'llanma

Damlangan tebranishlar- (VIBRATION) tebranishlar (tebranish) burilish qiymatlarining kamayishi bilan... Rossiya mehnatni muhofaza qilish ensiklopediyasi

Tizimning tabiiy tebranishlari, amplitudasi A(t) = A0exp(?a t) ko'rsatkich qonuniga muvofiq t vaqt o'tishi bilan kamayib boradi (a - sönümleme ko'rsatkichi) mexanik sönümli uchun viskoz ishqalanish kuchlari ta'sirida energiyaning tarqalishi tufayli. tebranishlar va ohmik ...... ensiklopedik lug'at

Damlangan tebranishlar- 31. Sustirilgan tebranishlar Burilish qiymatlari kamaygan tebranishlar Manba... Normativ-texnik hujjatlar atamalarining lug'at-ma'lumotnomasi

Tizimning tabiiy tebranishlari, A dan ryxgacha bo'lgan amplituda A(t) = = Aoehr(at) ko'rsatkich qonuniga ko'ra t vaqt o'tishi bilan mexanik uchun yopishqoq ishqalanish kuchlari ta'sirida energiyaning tarqalishi tufayli kamayadi. 3. to. va elektr uchun ohmik qarshilik ... Tabiiy fan. ensiklopedik lug'at

sönümli tebranishlar- silpstantieji virpesiai statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. sönümli tebranish vok. gedämpfte Schwingung, f rus. sönümli tebranishlar, n pranc. tebranish amortilari, f; tebranishlar décroissantes, f … Automatikos terminų žodynas

sönümli tebranishlar- slopinamieji virpesiai statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. sönümli tebranishlar; o'chirilgan tebranishlar; o'layotgan tebranishlar vok. abklingende Schwingungen, f; gedämpfte Schwingungen, f rus. sönümli tebranishlar, n pranc. tebranish amortilari, f … Fizikos terminų žodynas

Hozirgacha biz yuqorida aytib o'tilganidek, tizimda yagona kuch - elastik kuch yoki kvazelastik kuch mavjudligida paydo bo'ladigan garmonik tebranishlarni ko'rib chiqdik. Atrofimizdagi tabiatda, aniq aytganda, bunday tebranishlar mavjud emas. Haqiqiy tizimlarda elastik yoki kvazelastik kuchlardan tashqari, har doim ta'sir tabiati bilan elastik kuchlardan farq qiluvchi boshqa kuchlar mavjud - bu tizim jismlarining atrof-muhit bilan o'zaro ta'sirida paydo bo'ladigan kuchlar - dissipativ kuchlar. Ularning harakatining yakuniy natijasi harakatlanuvchi jismning mexanik energiyasini issiqlikka aylantirishdir. Boshqacha aytganda, sochilish sodir bo'ladi yoki tarqalish mexanik energiya. Energiyani yo'qotish jarayoni faqat mexanik emas va uni tavsiflash uchun fizikaning boshqa sohalaridagi bilimlardan foydalanish kerak. Mexanika doirasida biz bu jarayonni ishqalanish yoki qarshilik kuchlarini kiritish orqali tasvirlashimiz mumkin. Energiyaning tarqalishi natijasida tebranish amplitudasi kamayadi. Bunday holda, tananing yoki jismlar tizimining tebranishlarini susaytirishini aytish odatiy holdir. Dampingli tebranishlar endi garmonik emas, chunki ularning amplitudasi va chastotasi vaqt o'tishi bilan o'zgaradi.

Tebranish sistemasida energiyaning tarqalishi tufayli doimiy kamayib borayotgan amplituda bilan sodir bo'ladigan tebranishlar deyiladi. so'nish. Muvozanat holatidan chiqarilgan tebranish sistemasi faqat ichki kuchlar ta’sirida qarshiliksiz va energiya sarfi (tarqalishi)siz tebransa, unda sodir bo‘ladigan tebranishlar deyiladi. ozod(yoki o'z) so'nmagan tebranishlar. Energiya tarqalishiga ega bo'lgan haqiqiy mexanik tizimlarda erkin tebranishlar doimo susaytiriladi. Ularning chastotasi ko'rsatkichi tizim tebranishlarining chastotasi co 0 dan dampingsiz farq qiladi (qarshilik kuchlarining ta'siri qanchalik katta bo'lsa, qarshilik kuchlarining ta'siri shunchalik katta bo'ladi).

Prujinali mayatnik misolida sönümli tebranishlarni ko'rib chiqamiz. Keling, kichik tebranishlarni hisobga olish bilan cheklanamiz. Past tebranish tezligida qarshilik kuchini tebranishlarning siljish tezligiga proportsional qilib olish mumkin.

Qayerda v = 4 - tebranish tezligi; G - tortish koeffitsienti deb ataladigan mutanosiblik omili. Qarshilik kuchining (2.79) ifodadagi minus belgisi uning tebranish jismining harakat tezligiga teskari yo'nalishda yo'naltirilganligi bilan bog'liq.

Kvazielastik kuch i^p = - va qarshilik kuchining ifodalarini bilish Fc= bu kuchlarning qo'shma ta'sirini hisobga olgan holda, biz sönümli tebranishlarni bajaradigan jism harakatining dinamik tenglamasini yozishimiz mumkin.

Ushbu tenglamada koeffitsientni (2.49 formulaga muvofiq 3) bilan almashtiramiz Siz], shundan so'ng biz oxirgi tenglamani ajratamiz va olamiz

Shaklning vaqt funksiyasi sifatida (2.81) tenglama yechimini qidiramiz

Bu erda y doimiy qiymati hali ham aniqlanmagan. Oddiylik uchun bizning ko'rib chiqishimizdagi dastlabki bosqich nolga teng deb qabul qilinadi, ya'ni. tebranish joyini siljitish muvozanat holatidan (nol koordinata) o'tganda biz sekundomerni "yoqishimiz" mumkin.

Biz y qiymatini sönümli tebranishlar differensial tenglamasiga (2.81) qabul qilingan yechimni (2.82) va undan olingan tezliklarni qoʻyish orqali aniqlashimiz mumkin.

va tezlashtirish

(2.83) va (2.84) ni (2.82) bilan (2.81) ga almashtirsak, /1 () ga kamaytirgandan so'ng e": " va "-1" ga ko'paytirgandan so'ng, y uchun bu kvadrat tenglamani yechish natijasida hosil bo'ladi.

(2.82) ga y ni qo‘yib, susaytiruvchi tebranishlar vaqtida siljish vaqtga qanday bog‘liqligini topamiz. Keling, belgi bilan tanishtiramiz

Bu erda co belgisi so'ndirilgan tebranishlarning burchak chastotasini va sönümsiz erkin tebranishlarning burchak chastotasini bildiradi. Ko'rinib turibdiki, S > 0 uchun sönümli tebranishlar chastotasi doimo chastotadan kam bo'ladi

Shunday qilib, va shuning uchun sönümli tebranishlar paytidagi siljish quyidagicha ifodalanishi mumkin

Ikkinchi ko'rsatkichdagi "+" yoki "-" belgisini tanlash ixtiyoriydir va tebranishlarning l ga faza siljishiga mos keladi. Biz "+" belgisini tanlashni hisobga olgan holda so'yilgan tebranishlarni yozamiz, keyin (2.90) ifoda bo'ladi.

Bu joy almashishning vaqtga istalgan bog'liqligi. U trigonometrik shaklda ham qayta yozilishi mumkin (haqiqiy qism bilan cheklangan)

Istalgan amplitudaga bog'liqlik Da) vaqti-vaqti bilan sifatida ifodalanishi mumkin

Qayerda A(,- vaqtdagi amplituda t = 0.

Doimiy 8, (2.88) ga ko'ra qarshilik koeffitsienti nisbatiga teng G massasini ikki baravar oshirish uchun T tebranuvchi jism deyiladi tebranishlarni pasaytirish koeffitsienti. Keling, ushbu koeffitsientning jismoniy ma'nosini bilib olaylik. Söndürülmüş tebranishlar amplitudasi e (tabiiy logarifmlar asosi e = 2,72) marta kamayishi t vaqtini topamiz. Buning uchun, keling, qo'ying

(2.93) munosabatidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz: yoki

shundan kelib chiqadi

Demak, susaytirish koeffitsienti 8 - t vaqtining o'zaro nisbati, shundan so'ng sönümli tebranishlar amplitudasi e marta kamayadi. Vaqt o'lchamiga ega bo'lgan m miqdori deyiladi sönümli tebranish jarayonining vaqt konstantasi.

8 koeffitsientiga qo'shimcha ravishda, deb ataladi logarifmik pasaytirish X, davriga teng vaqt oralig'i bilan bir-biridan ajratilgan ikkita tebranish amplitudalari nisbatining natural logarifmiga teng. T

Belgi bilan ko'rsatilgan logarifm ostidagi ifoda d, oddiygina chaqiriladi tebranishlarning kamayishi (zaiflashning pasayishi).

Amplituda ifodasi (2.93) yordamida biz quyidagilarni olamiz:

Keling, logarifmik pasaytirishning fizik ma'nosini bilib olaylik. N tebranishdan keyin tebranishlar amplitudasi e marta kamaysin. Tana tugaydigan vaqt t N tebranishlarni t = davri orqali ifodalash mumkin N.T. Ushbu qiymat m ni (2.97) ga almashtirib, biz hosil qilamiz 8NT= 1. 67 "= A. dan beri, keyin NX = 1 yoki

Demak, logarifmik dampingning kamayishi- bu tebranishlar sonining o'zaro nisbati bo'lib, bunda so'ngan tebranishlar amplitudasi e marta kamayadi.

Ba'zi hollarda tebranish amplitudasining vaqtga bog'liqligi Da) Uni logarifmik sönümli dekrement bilan ifodalash qulay A. Ko‘rsatkich 6 1 (2.93) ifodalarni (2.99) ga muvofiq quyidagicha yozish mumkin:

Keyin (2.93) ifoda shaklni oladi

bu erda qiymat raqamga teng N t vaqt ichida tizim tomonidan amalga oshirilgan tebranishlar.

2.1-jadvalda ba'zi tebranish tizimlarining logarifmik susaytirishlarining taxminiy qiymatlari (kattalik tartibida) ko'rsatilgan.

2.1-jadval

Ba'zi tebranish tizimlarining zaiflashuvining pasayishi qiymatlari

Keling, qarshilik kuchlarining tebranish chastotasiga ta'sirini tahlil qilaylik. Jism muvozanat holatidan harakatlanib, muvozanat holatiga qaytsa, unga doimo qarshilik kuchi ta'sir qilib, uning sekinlashishiga olib keladi.

Bu shuni anglatadiki, sönümli tebranishlar paytida yo'lning bir xil qismlari erkin tebranishlarga qaraganda kattaroq vaqt oralig'ida tana tomonidan qoplanadi. Söndürülmüş tebranishlar davri T, shuning uchun tabiiy erkin tebranishlarning ko'proq davri bo'ladi. (2.89) ifodadan ko'rinib turibdiki, chastotalar farqi qanchalik katta bo'lsa, zaiflashuv koeffitsienti b. Katta b (b > coo) uchun sönümli tebranishlar degeneratsiyalanadi aperiodik (davriy bo'lmagan) jarayon, bunda, dastlabki shartlarga qarab, tizim undan o'tmasdan darhol muvozanat holatiga qaytadi yoki to'xtashdan oldin u muvozanat holatidan bir marta o'tadi (faqat bitta tebranish bajaradi) - rasmga qarang. 2.16.

Guruch. 2.16. Söndürülmüş tebranishlar:

2.16-rasmda, A bog'liqlik grafigini ko'rsatadi %(t) Va Da)(5 > co 0 va boshlang‘ich faza so bo‘lganda tebranishlar mutlaqo mumkin emas (bu holat tenglikdan (2.89) aniqlangan chastotaning xayoliy qiymatiga to‘g‘ri keladi). Tizim susayadi, tebranish jarayoni aperiodik holga keladi (2.16-rasm, 2.16-rasm). b).

• Exp(x) belgisi e* ga teng. Biz ikkala shakldan ham foydalanamiz.
• Tebranishlarni umumiy ko'rib chiqishda, tebranish fazasining to'liq qiymati dastlabki shartlar bilan, ya'ni. vaqtning boshlang'ich momentida (t = 0) siljishning kattaligi 4(0 va tezlik 4(0) va muddatni o'z ichiga oladi.