Фрактальная природа хаосу. Золотая пропорция, фракталы и хаос в связи с некоторыми представлениями о мироздании. От хаоса - к упорядоченности

Теория хаоса в последнее время является одним из самых модных подходов к исследованию рынка. К сожалению, точного математического определения понятия хаос пока не существует. Сейчас зачастую хаос определяют как крайнюю непредсказуемость постоянного нелинейного и нерегулярного сложного движения, возникающую в динамической системе.

ХАОС НЕ СЛУЧАЕН

Следует отметить, что хаос не случаен, несмотря на свойство непредсказуемости. Более того, хаос динамически детерминирован (определен). На первый взгляд непредсказуемость граничит со случайностью - ведь мы, как правило, не можем предсказать как раз случайные явления.

И если относиться к рынку как к случайным блужданиям, то это как раз тот самый случай. Однако хаос не случаен, он подчиняется своим закономерностям. Согласно теории хаоса, если вы говорите о хаотичном движении цены, то вы должны иметь ввиду не случайное движение цены, а другое, особенно упорядоченное движение. Если динамика рынка хаотична, то она не случайна, хотя и по-прежнему непредсказуема.

Непредсказуемость хаоса

Непредсказуемость хаоса объясняется в основном существенной зависимостью от начальных условий. Такая зависимость указывает на то, что даже самые малые ошибки при измерении параметров исследуемого объекта могут привести к абсолютно неверным предсказаниям.

Эти ошибки могут возникать вследствие элементарного незнания всех начальных условий. Что-то обязательно ускользнет от нашего внимания, а значит, уже в самой постановке задачи будет заложена внутренняя ошибка, которая приведет к существенным погрешностям в предсказаниях.

"Эффект бабочки"

Применительно к невозможности делать долгосрочные прогнозы погоды существенную зависимость от начальных условий иногда называют "эффектом бабочки". "Эффект бабочки" указывает на существование вероятности того, что взмах крыла бабочки в Бразилии приведет к появлению торнадо в Техасе.

Дополнительные неточности в результат исследований и расчетов могут вносить самые на первый взгляд незаметные факторы воздействия на систему, которые появляются в период ее существования с начального момента до появления фактического и окончательного результата. При этом факторы воздействия могут быть как экзогенные (внешние), так и эндогенные (внутренние).

Ярким примером хаотического поведения является движение бильярдного шара. Если вы когда-либо играли в бильярд, то знаете, что от начальной точности удара, его силы, положения кия относительно шара, оценка месторасположения шара, по которому наносится удар, а также расположения других шаров, находящихся на столе, зависит конечный результат. Малейшая неточность в одном из этих факторов приводит к самым непредсказуемым последствиям - шар может покатиться совсем не туда, куда ожидал бильярдист. Более того, даже если бильярдист все сделал правильно, попробуйте предсказать движения шара после пяти-шести столкновений.

Рассмотрим еще один пример влияния начальных условий на конечный результат. Представим себе, например, камень на вершине горы. Стоит его чуть-чуть подтолкнуть, и он покатится вниз до самого подножия горы. Понятно, что совсем малое изменение силы толчка и его направления может привести к очень значительному изменению места остановки камня у подножия. Есть, правда, одна очень существенная разница между примером с камнем и хаотической системой.

В первом факторы воздействия на камень во время его падения с горы (ветер, препятствия, изменения внутренней структуры вследствие столкновений и т.п.) уже не оказывают сильного воздействия на конечный результат по сравнению с начальными условиями. В хаотических системах малые изменения оказывают значительное воздействие на результат не только в начальных условиях, но и прочих факторах.

Один из главных выводов теории хаоса, таким образом, заключается в следующем - будущее предсказать невозможно, так как всегда будут ошибки измерения, порожденные в том числе незнанием всех факторов и условий.

То же самое по-простому - малые изменения и/или ошибки могут порождать большие последствия.

Рисунок 1. Существенная зависимость результата от начальных условий и факторов воздействия

• Еще одним из основных свойств хаоса является экспоненциальное накопление ошибки. Согласно квантовой механике начальные условия всегда неопределенны, а согласно теории хаоса - эти неопределенности будут быстро прирастать и превысят допустимые пределы предсказуемости.
• Второй вывод теории хаоса - достоверность прогнозов со временем быстро падает.

Данный вывод является существенным ограничением для применимости фундаментального анализа, оперирующего, как правило, именно долгосрочными категориями.

Рисунок 2. Экспоненциальное снижение достоверности прогнозов

Обычно говорят, что хаос является более высокой формой порядка, однако более правильно считать хаос другой формой порядка - с неизбежностью в любой динамической системе за порядком в обычном его понимании следует хаос, а за хаосом порядок. Если мы определим хаос как беспорядок, то в таком беспорядке мы обязательно сможем увидеть свою, особенную форму порядка. Например, дым от сигарет сначала поднимающийся в виде упорядоченного столба под влиянием внешней среды принимает все более причудливые очертания, а его движения становятся хаотичными.

Еще один пример хаотичности в природе - лист с любого дерева. Можно утверждать, что вы найдете много похожих листьев, например дуба, однако ни одной пары одинаковых листьев. Разница предопределена температурой, ветром, влажностью и многими другими внешними факторами, кроме чисто внутренних причин (например, генетической разницей).

Движение от порядка к хаосу и обратно, по всей видимости, является сущностью вселенной, какие бы проявления ее мы не изучали. Даже в человеческом мозгу одновременно присутствует упорядоченное и хаотическое начала. Первое соответствует левому полушарию мозга, а второе - правому. Левое полушарие отвечает сознательное поведение человека, за выработку линейных правил и стратегий в поведении человека, где четко определяется "если…, то…". В правом же полушарии царит нелинейность и хаотичность. Интуиция является одним из проявлений правого полушария мозга.

Теория хаоса изучает порядок хаотической системы, которая выглядит случайной, беспорядочной. При этом теория хаоса помогает построить модель такой системы, не ставя задачу точного предсказания поведения хаотической системы в будущем.

Первые элементы теории хаоса появились еще в XIX веке, однако подлинное научное развитие эта теория получила во второй половине XX века, вместе с работами Эдварда Лоренца (Edward Lorenz) из Массачусетского технологического института и франко-американского математика Бенуа Б. Мандельброта (Benoit B. Mandelbrot).

Эдвард Лоренц в свое время (начало 60-х годов XX века, работа опубликована в 1963 году) рассматривал, в чем возникает трудность при прогнозировании погоды.

До работы Лоренца в мире науки господствовало два мнения относительно возможности точного прогнозирования погоды на бесконечно длительный срок.

Первый подход сформулировал еще в 1776 году французский математик Пьер Симон Лаплас. Лаплас заявил, что "…если мы представим себе разум, который в данное мгновение постиг все связи между объектами во Вселенной, то он сможет установить соответствующее положение, движения и общие воздействия всех этих объектов в любое время в прошлом или в будущем" . Этот его подход был очень похож на известные слова Архимеда: "Дайте мне точку опоры, и я переверну весь мир".

Таким образом, Лаплас и его сторонники говорили, что для точного прогнозирования погоды необходимо только собрать больше информации обо всех частицах во Вселенной, их местоположении, скорости, массе, направлении движения, ускорении и т.п. Лаплас думал, чем больше человек будет знать, тем точнее будет его прогноз относительно будущего.

Второй подход к возможности прогнозирования погоды раньше всех наиболее четко сформулировал другой французский математик, Жюль Анри Пуанкаре. В 1903 году он сказал: "Если бы мы точно знали законы природы и положение Вселенной в начальный момент, мы могли бы точно предсказать положение той же Вселенной в последующий момент. Но даже если бы законы природы открыли нам все свои тайны, мы и тогда могли бы знать начальное положение только приближенно. Если бы это позволило нам предсказать последующее положение с тем же приближением, это было бы все, что нам требуется, и мы могли бы сказать, что явление было предсказано, что оно управляется законами. Но это не всегда так; может случиться, что малые различия в начальных условиях вызовут очень большие различия в конечном явлении. Малая ошибка в первых породит огромную ошибку в последнем. Предсказание становится невозможным, и мы имеем дело с явлением, которое развивается по воле случая".

В этих словах Пуанкаре мы находим постулат теории хаоса о зависимости от начальных условий. Последующее развитие науки, особенно квантовой механики, опровергло детерминизм Лапласа. В 1927 году немецкий физик Вернер Гейзенберг открыл и сформулировал принцип неопределенности. Этот принцип объясняет, почему некоторые случайные явления не подчиняются лапласовому детерминизму. Гейзенберг показал принцип неопределенности на примере радиоактивного распада ядра. Так, из-за очень малых размеров ядра невозможно знать все процессы, происходящие внутри него. Поэтому, сколько бы информации мы не собирали о ядре, точно предсказать, когда это ядро распадется невозможно.

Какими же инструментами располагает теория хаоса. В первую очередь это аттракторы и фракталы.

Аттрактор (от англ. to attract - притягивать) - геометрическая структура, характеризующая поведение в фазовом пространстве по прошествии длительного времени.

Здесь возникает необходимость определить понятие фазового пространства. Итак, фазовое пространство - это абстрактное пространство, координатами которого являются степени свободы системы. Например, у движения маятника две степени свободы. Это движение полностью определено начальной скоростью маятника и положением.

Если движению маятника не оказывается сопротивления, то фазовым пространством будет замкнутая кривая. В реальности на Земле на движение маятника влияет сила трения. В этом случае фазовым пространством будет спираль.

Рисунок 3. Движение маятника как пример фазового пространства

По простому, аттрактор - это то, к чему стремится прийти система, к чему она притягивается.

• Самым простым типом аттрактора является точка. Такой аттрактор характерен для маятника при наличии трения. Независимо от начальной скорости и положения, такой маятник всегда придет в состояние покоя, т.е. в точку.
• Следующим типом аттрактора является предельный цикл, который имеет вид замкнутой кривой линии. Примером такого аттрактора является маятник, на который не влияет сила трения. Еще одним примером предельного цикла является биение сердца. Частота биения может снижаться и возрастать, однако она всегда стремится к своему аттрактору, своей замкнутой кривой.
• Третий тип аттрактора - тор. На рисунке 4. тор показан в верхнем правом углу.

Рисунок 4. Основные типы аттракторов. Вверху показаны три предсказуемых, простых аттрактора. Внизу три хаотических аттрактора.

Несмотря на сложность поведения хаотических аттракторов, иногда называемых странными аттракторами, знание фазового пространства позволяет представить поведение системы в геометрической форме и соответственно предсказывать его.

И хотя нахождение системы в конкретный момент времени в конкретной точке фазового пространства практически невозможно, область нахождения объекта и его стремление к аттрактору предсказуемы.

Первым хаотическим аттрактором стал аттрактора Лоренца. На рисунке 3.7. он показан в левом нижнем углу.

Рисунок 5. Хаотический аттрактор Лоренца

Аттрактор Лоренца рассчитан на основе всего трех степеней свободы - три обыкновенных дифференциальных уравнения, три константы и три начальных условия. Однако, несмотря на свою простоту, система Лоренца ведет себя псевдослучайным (хаотическим) образом.

Смоделировав свою систему на компьютере, Лоренц выявил причину ее хаотического поведения - разницу в начальных условиях. Даже микроскопическое отклонение двух систем в самом начале в процессе эволюции приводило к экспоненциальному накоплению ошибок и соответственно их стохастическому расхождению.

Вместе с тем, любой аттрактор имеет граничные размеры, поэтому экспоненциальная расходимость двух траекторий разных систем не может продолжаться бесконечно. Рано или поздно орбиты вновь сойдутся и пройдут рядом друг с другом или даже совпадут, хотя последнее очень маловероятно. Кстати, совпадение траекторий является правилом поведения простых предсказуемых аттракторов.

Сходимость-расходимость (говорят также, складывание и вытягивание соответственно) хаотического аттрактора систематически устраняет начальную информацию и заменяет ее новой. При схождении траектории сближаются и начинает проявляться эффект близорукости - возрастает неопределенность крупномасштабной информации. При расхождении траекторий наоборот, они расходятся и проявляется эффект дальнозоркости, когда возрастает неопределенность мелкомасштабной информации.

В результате постоянной сходимости-расходимости хаотичного аттрактора неопределенность стремительно нарастает, что с каждым моментом времени лишает нас возможности делать точные прогнозы. То, чем так гордится наука - способностью устанавливать связи между причинами и следствиями - в хаотических системах невозможно. Причинно-следственной связи между прошлым и будущем в хаосе нет.

Здесь же необходимо отметить, что скорость схождения-расхождения является мерой хаоса, т.е. численным выражением того, насколько система хаотична. Другой статистической мерой хаоса служит размерность аттрактора.

Таким образом, можно отметить, что основным свойством хаотических аттракторов является сходимость-расходимость траекторий разных систем, которые случайным образом постепенно и бесконечно перемешиваются

Здесь проявляется пересечение фрактальной геометрии и теории хаоса. И, хотя одним из инструментов теории хаоса является фрактальная геометрия , фрактал - это противоположность хаоса.

Главное различие между хаосом и фракталом заключается в том, что первый является динамическим явлением, а фрактал статическим. Под динамическим свойством хаоса понимается непостоянное и непериодическое изменение траекторий.

ФРАКТАЛ

Фрактал - это геометрическая фигура, определенная часть которой повторяется снова и снова, отсюда проявляется одно из свойств фрактала - самоподобие.

Другое свойство фрактала - дробность. Дробность фрактала является математическим отражением меры неправильности фрактала.

Фактически все, что кажется случайным и неправильным может быть фракталом, например, облака, деревья, изгибы рек, биения сердца, популяции и миграции животных или языки пламени.

Рисунок 6. Фрактал "ковер Серпинского"

Данный фрактал получается путем проведения ряда итераций. Итерация (от лат. iteratio - повторение) - повторное применение какой-либо математической операции.

Рисунок 7. Построение ковра Серпинского

Хаотический аттрактор является фракталом. Почему? В странном аттракторе, также как и во фрактале по мере увеличения выявляется все больше деталей, т.е. срабатывает принцип самоподобия. Как бы мы не изменяли размер аттрактора, он всегда останется пропорционально одинаковым.

В техническом анализе типичным примером фрактала являются волны Эллиота, где также работает принцип самоподобия.

Первым наиболее известным и авторитетным ученым, исследовавшим фракталы, был Бенуа Мандельброт. В середине 60-х годов XX века разработал фрактальную геометрию или, как он ее еще назвал - геометрию природы. Об этом Мандельброт написал свой известный труд "Фрактальная геометрия природы" (The Fractal Geometry of Nature) . Многие называют Мандельброта отцом фракталов, т.к. он первым начал использовать его применительно к анализу нечетких, неправильных форм.

Дополнительная идея, заложенная во фрактальности, заключается в нецелых измерениях. Мы обычно говорим об одномерном, двумерном, трехмерном и т.д. целочисленном мире. Однако могут существовать и нецелые измерения, например, 2.72. Такие измерения Мандельброт называет фрактальными измерениями.

Логика существования нецелых измерений очень простая. Так, в природе вряд ли найдется идеальный шар или куб, следовательно, 3-мерное измерение этого реального шара или куба невозможно и для описания таких объектов должны существовать другие измерения.

Вот для измерения таких неправильных, фрактальных фигур и было введено понятие фрактальное измерение. Скомкайте, например, лист бумаги в комок. С точки зрения классической евклидовой геометрии новообразованный объект будет являться трехмерным шаром. Однако в действительности это по-прежнему всего лишь двумерный лист бумаги, пусть и скомканный в подобие шара. Отсюда можно предположить, что новый объект будет иметь измерение больше 2-х, но меньше 3-х. Это плохо укладывается в евклидовую геометрию, но хорошо может быть описано с помощью фрактальной геометрии, которая будет утверждать, что новый объект будет находиться во фрактальном измерении, приблизительно равном 2.5, т.е. иметь фрактальную размерность около 2.5.

Детерминистские фракталы

Различают детерминистские фракталы, примером которых является ковер Серпинского, и сложные фракталы. При построении первых не нужны формулы или уравнения. Достаточно взять лист бумаги и провести несколько итераций над какой-нибудь фигурой. Сложным фракталам присуща бесконечная сложность, хотя и генерируются простой формулой.

Классическим примером сложного фрактала является множество

Мандельброта, получаемое из простой формулы Zn+1=Zna+C, где Z и C - комплексные числа и а - положительное число. На рисунке 8 мы видим фрактал 2-й степени, где а = 2.

Рисунок 8. Множество Мандельброта

К хаосу системы могут переходить разными путями. Среди последних выделяют бифуркации, которые изучает теория бифуркаций.

Бифуркация (от лат. bifurcus - раздвоенный) представляет собой процесс качественного перехода от состояния равновесия к хаосу через последовательное очень малое изменение (например, удвоение Фейгенбаума при бифуркации удвоения) периодических точек.

Обязательно необходимо отметить, что происходит качественное изменение свойств системы, т.н. катастрофический скачок. Момент скачка (раздвоения при бифуркации удвоения) происходит в точке бифуркации.

Хаос может возникнуть через бифуркацию, что показал Митчел Фейгенбаум (Feigenbaum). При создании собственной теории о фракталах Фейгенбаум, в основном, анализировал логистическое уравнение Xn+1=CXn - С(Хn)2, где С - внешний параметр, откуда вывел, что при некоторых ограничениях во всех подобных уравнениях происходит переход от равновесного состояния к хаосу.

Ниже рассмотрен классический биологический пример этого уравнения.

Например, изолированно живет популяция особей нормированной численностью Xn. Через год появляется потомство численностью Xn+1. Рост популяции описывается первым членом правой части уравнения (СХn), где коэффициент С определяет скорость роста и является определяющим параметром. Убыль животных (за счет перенаселенности, недостатка пищи и т.п.) определяется вторым, нелинейным членом (С(Хn)2).

Результатом расчетов являются следующие выводы:

• при С < 1 популяция с ростом n вымирает;
• в области 1 < С < 3 численность популяции приближается к постоянному значению Х0 = 1 - 1/С, что является областью стационарных, фиксированных решений. При значении C = 3 точка бифуркации становится отталкивающей фиксированной точкой. С этого момента функция уже никогда не сходится к одной точке. До этого точка былапритягивающая фиксированная ;
• в диапазоне 3 < С < 3.57 начинают появляться бифуркации и разветвление каждой кривой на две. Здесь функция (численность популяции) колеблется между двумя значениями, лежащими на этих ветвях. Сначала популяция резко возрастает, на следующий год возникает перенаселенность и через год численность снова уменьшается;
• при C > 3.57 происходит перекрывание областей различных решений (они как бы закрашиваются) и поведение системы становится хаотическим.

Отсюда вывод - заключительным состоянием эволюционирующих физических систем является состояние динамического хаоса.

Зависимость численности популяции от параметра С приведена на следующем рисунке.

Рисунок 9. Переход к хаосу через бифуркации, начальная стадия уравнения Xn+1=CXn - С(Хn)2

Динамические переменные Xn принимают значения, которые сильно зависят от начальных условий. При проведенных на компьютере расчетах даже для очень близких начальных значений С итоговые значения могут резко отличаться. Более того, расчеты становятся некорректными, так как начинают зависеть от случайных процессов в самом компьютере (скачки напряжения и т.п.).

Таким образом, состояние системы в момент бифуркации является крайне неустойчивым и бесконечно малое воздействие может привести к выбору дальнейшего пути движения, а это, как мы уже знаем, является главным признаком хаотической системы (существенная зависимость от начальных условий).

Фейгенбаум установил универсальные закономерности перехода к динамическому хаосу при удвоении периода, которые были экспериментально подтверждены для широкого класса механических, гидродинамических, химических и других систем. Результатом исследований Фейгенбаум стало т.н. "дерево Фейгенбаума".

Рисунок 10. Дерево Фейгенбаума (расчет на основе немного измененной логистической формулы)

Что же такое бифуркации в обыденности, по простому. Как мы знаем из определения, бифуркации возникают при переходе системы от состояния видимой стабильности и равновесия к хаосу.

Примерами таких переходов являются дым, вода и многие другие самые обычные природные явления. Так, поднимающийся вверх дым сначала выглядит как упорядоченный столб. Однако через некоторое время он начинает претерпевать изменения, которые сначала кажутся упорядоченными, однако затем становятся хаотически непредсказуемыми.

Фактически первый переход от стабильности к некоторой форме видимой упорядоченности, но уже изменчивости, происходит в первой точке бифуркации. Далее количество бифуркаций увеличивается, достигая огромных величин. С каждой бифуркацией функция турбулентности дыма приближается к хаосу.

С помощью теории бифуркаций можно предсказать характер движения, возникающего при переходе системы в качественно иное состояние, а также область существования системы и оценить ее устойчивость.

К сожалению, само существование теории хаоса трудно совместимо с классической наукой. Обычно научные идеи проверяются на основании предсказаний и их сверки с реальными результатами. Однако, как мы уже знаем, хаос непредсказуем, когда изучаешь хаотическую систему, то можно прогнозировать только модель ее поведения.

Поэтому с помощью хаоса не только нельзя построить точный прогноз, но и, соответственно, проверить его. Однако это не должно говорить о неверности теории хаоса, подтвержденной как в математических расчетах, так и в жизни.

На сейчас еще не существует математически точного аппарата применения теории хаоса для исследования рыночных цен, поэтому спешить с применением знаний о хаосе нельзя. Вместе с тем, это действительно самое перспективное современное направление математики с точки зрения прикладных исследований финансовых рынков.

1.1. Что такое фракталы и хаос?

Когда-то большинству людей казалось, что геометрия в природе ограничивается такими простыми фигурами, как линия, круг, коническое сечение, многоугольник, сфера, квадратичная поверхность, а также их комбинациями. К примеру, что может быть красивее утверждения о том, что планеты в нашей солнечной системе движутся вокруг солнца по эллиптическим орбитам? Этот замечательный закон - один из трех постулатов планетарного движения, сформулированных Иоганном Кеплером на основе наблюдений и измерений, сделанных Тихо Браге. Позднее, сэр Исаак Ньютон вывел закон обратных квадратов для гравитационного притяжения как решение некоторого дифференциального уравнения, причем законы Кеплера следовали из его решения. Как в этом, так и в других случаях, когда применение простых геометрических моделей оказалось удачным, это привело к огромным научным достижениям.

Однако многие природные системы настолько сложны и нерегулярны, что использование только знакомых объектов классической геометрии для их моделирования представляется безнадежным. Как, к примеру, построить модель горного хребта или кроны дерева в терминах геометрии? Как описать то многообразие биологических конфигураций, которое мы наблюдаем в мире растений и животных? Представьте себе всю сложность системы кровообращения, состоящей из множества капилляров и сосудов и доставляющей кровь к каждой клеточке человеческого тела. Представьте, как хитроумно устроены легкие и почки, напоминающие по структуре деревья с ветвистой кроной.

Столь же сложной и нерегулярной может быть и динамика реальных природных систем. Как подступиться к моделированию каскадных водопадов или турбулентных процессов, определяющих погоду?

Какая математика отвечает за ритмы сердца и головного мозга, наблюдаемые на электрокардиограмме и энцефалограмме, в особенности за те внезапные приступы аритмии, которые могут вызвать сбой в работе сердца? Можно ли математически описать внезапное возникновение волны паники на финансовых рынках или даже построить математическую модель социального поведения?

Фракталы и математический хаос - подходящие средства для исследования поставленных вопросов. Термин фрактал относится к некоторой статичной геометрической конфигурации, такой как мгновенный снимок водопада. Хаос - термин динамики, используемый для описания явлений, подобных турбулентному поведению погоды. Данная книга является введением в математику, которая стоит за этими понятиями. Предполагается, что после освоения изложенных здесь методов читатель сможет перейти к изучению приложений по специализированным источникам.

Например, исследования показывают, что в физиологии встречается как «хороший» хаос, так и «плохой» . В опытах на кошках было замечено, что вид электрокардиограммы, снятой до и после введения кокаина, меняется с регулярной последовательности высоких пиков, сопровождаемых малыми пичками, на крайне нерегулярную последовательность, что, возможно, свидетельствует о приступе аритмии. С другой стороны, характер электроэнцефалограммы меняется с нерегулярного и непредсказуемого на гораздо более гладкий . См. также об анализе возможной роли хаоса в развитии болезни сердца.

Нередко то, что мы наблюдаем в природе, интригует нас бесконечным повторением одного и то же узора, увеличенного или уменьшенного во сколько угодно раз. Например, у дерева есть ветви. На этих ветвях есть ветки поменьше и т. д. Теоретически, элемент «разветвление» повторяется бесконечно много раз, становясь все меньше и меньше. То же самое можно заметить, разглядывая фотографию горного рельефа. Попробуйте немного приблизить изображение горной гряды - вы снова увидите горы. Приблизьте картинку еще - вы по-прежнему будете различать нечто, напоминающее горы, благодаря вашей способности (статистической по сути) различать тип объекта на рисунке. Так проявляется характерное для фракталов свойство самоподобия (п. 2.1 и 5.1).

Во многих работах по фракталам самоподобие используется в качестве определяющего свойства. Следуя Бенуа Мандельброту , мы принимаем точку зрения, согласно которой фракталы должны определяться в терминах фрактальной (дробной) размерности (глава 5). Отсюда и происхождение слова фрактал. Понятие дробной размерности представляет собой весьма сложную концепцию, которую мы изложим в несколько этапов. Прямая - это одномерный объект, а плоскость - двумерный. Как мы увидим далее, хорошенько перекрутив прямую или плоскость, можно повысить размерность полученной конфигурации; при этом новая размерность обычно будет дробной в некотором смысле, который нам предстоит уточнить. Связь дробной размерности и самоподобия состоит в том, что с помощью самоподобия можно сконструировать множество дробной размерности наиболее простым образом (п. 2.1). Даже в случае гораздо более сложных фракталов, таких, как граница множества Мандельброта (п. 8.3), когда чистое самоподобие отсутствует, имеется почти полное повторение базовой формы во все более и более уменьшенном виде.

В английском языке хаос обычно определяется как состояние полного беспорядка или неразберихи. Некоторые словари прибегают к понятию состояния, в котором правит случай. Термин хаос в математике используется в узком смысле.

Хотя универсального определения математического хаоса не существует, имеется, по-видимому, полное согласие в том, что любой вид хаоса обладает свойством непредсказуемости. Это свойство называют существенной зависимостью от начальных условий (п. 6.5). Как ни странно, оно не эквивалентно случайному поведению. По сути дела, математический хаос - это характерная черта именно детерминированных динамических систем. Поэтому наблюдаемые в состоянии хаоса флуктуации только кажутся случайными - их значения полностью предопределены входными параметрами. Но на практике мы никогда не располагаем абсолютно точной информацией о начальных условиях. Ошибки, пусть и ничтожные, всегда имеют место при измерении входных параметров. То, что кажется нам случайным результатом на выходе динамической системы, обусловлено большими ошибками, которые могут появиться, когда система ведет себя хаотично.

Когда-то считалось, что в детерминированной системе, при наличии достаточного объема вычислительных ресурсов, мы всегда в состоянии сделать значимое предсказание (например, дать надежный прогноз погоды), несмотря на маленькие ошибки измерения текущего состояния. В присутствии хаоса это не так.

Никакой самый мощный компьютер не позволит нам сделать точный прогноз на основе математической системы с существенной зависимостью от начальных условий.

С нашей точки зрения, наиболее интересный вопрос теории фракталов и хаоса состоит в том, как связать эти понятия воедино. Многие важные фракталы, включая снежинку Коха, ковер Серпинского и классическое множество Кантора, обсуждаемые во второй главе, могут быть получены как аттракторы систем итерированных функций (глава 4). Анализ этих систем итерированных функций указывает путь к построению хаотических операторов, ассоциированных с упомянутыми фракталами (глава 7).

Введение

" Почему геометрию часто называют "холодной" и "сухой" ? Одна из причин заключается в ее неспособности описать форму облака, горы, береговой линии или дерева. Облака - не сферы, горы - не конусы, береговые линии - не окружности, древесная кора не гладкая, молния распространяется не по прямой. В более общем плане я утверждаю, что многие объекты в Природе настолько иррегулярные и фрагментированы, что по сравнению с Евклидом - термин, который в этой работе означает всю стандартную геометрию, - Природа обладает не просто большей сложностью, а сложностью совершенно иного уровня. Число различных масштабов длины природных объектов для всех практических целей бесконечно".

Б. Мандельброт

Фрактальное множество - само подобная структура- один из "горячих" объектов современной науки.

Подобные объекты были известны довольно давно, но настоящий интерес к ним появился после активной популяризаторской деятельности Бенуа Мандельброта, работающего в корпорации IBM.

Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает состоящий из фрагментов. Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта «The Fractal Geometry of Nature». В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.

1977 год можно считать началом переворота, который геометрия фракталов производит не только а в математике и в физике, но и во всем естествознании. И даже уже в обществоведении, где лингвисты открыли общие фрактальные закономерности в строении самых разных языков. И все это - в считанные годы! Таких темпов общенаучной экспансии не знает история в науке.

Фракталы - это фигуры с бесконечным количеством деталей. При увеличении, они не становятся более простыми, а остаются такими же сложными, как до увеличения. В природе, вы можете находить их повсюду. Любая ветка дерева, при увеличении, напоминает целое дерево. Любой камень с горы напоминает целую гору. Теория фракталов была сначала разработана для изучения природы. Теперь она используется в ряде других областей. И, естественно, красота делает фракталы популярными!

Красота фракталов двояка: она услаждает глаз (и слух), о чем свидетельствует хотя бы обошедшая весь мир выставка фрактальных изображений, организованная группой математиков под руководством Пайтгена и Рихтера. Позднее экспонаты этой грандиозной выставки были запечатлены в иллюстрациях к книге "Красота фракталов". Но существует и другой, более абстрактный или возвышенный, аспект красоты фракталов, открытый, по словам Р.Фейнмана, только умственному взору теоретика, в этом смысле фракталы прекрасны красотой трудной математической задачи.

Фракталы обладают еще одной ипостасью, делающей их еще более прекрасными В глазах теоретика. Структура фракталов настолько сложна, что оставляет заметный отпечаток на физических процессах, протекающих на фракталах как на носителях. Фракталы иначе рассеивают электромагнитное излучение, по другому колеблются и звучат, иначе проводят электричество, по фракталам иначе происходит диффузия вещества. Возникает новая область естествознания - физика фракталов. Фракталы становятся удобными моделями, чем-то вроде интегрируемых задач классической механики, для описания процессов в средах, ранее считавшихся неупорядоченными.

Жидкость, газ, твердое тело - три привычных для нас состояния однородного вещества, существующего в трехмерном мире. Но какова размерность облака, клуба дыма, точнее их границ, размываемые турбулентным движением воздуха? Оказалось, что она больше двух, но меньше трех. Аналогичным образом можно посчитать размерности других реальных объектах вроде береговой линии или кроны дерева. Кровеносная система человека, например, имеет размерность порядка 2.7. Все объекты с нечеткой, хаотичной, неупорядоченной структурой оказались состоящими из фракталов. Связь между хаосом и фракталами далеко не случайна - она выражает их глубокую общность. Фрактальную геометрию можно назвать геометрией хаоса.

При фрактальном подходе хаос перестает быть синимом беспорядка и обретает тонкую структуру. Фрактальная наука еще очень молода, и ей предстоит большое будущее. Красота фракталов далеко не исчерпана и еще подарит нам немало шедевров - тех, которые услаждают глаз, и тех, которые доставляют истинное наслаждение разуму.

Роль фракталов в машинной графике сегодня достаточно велика. Они приходят на помощь, например, когда требуется, с помощью нескольких коэффициентов, задать линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные.

Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале.

Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: "Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому".

Классификация фракталов

Для чтобы представить все многообразие фракталов удобно прибегнуть к их общепринятой классификации .

1.Геометрические фракталы

Фракталы этого класса самые наглядные. В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал.

Для получения другого фрактального объекта нужно изменить правила построения. Пусть образующим элементом будут два равных отрезка, соединенных под прямым углом. В нулевом поколении заменим единичный отрезок на этот образующий элемент так, чтобы угол был сверху. Можно сказать, что при такой замене происходит смещение середины звена. При построении следующих поколений выполняется правило: самое первое слева звено заменяется на образующий элемент так, чтобы середина звена смещалась влево от направления движения, а при замене следующих звеньев, направления смещения середин отрезков должны чередоваться. .

В машинной графике использование геометрических фракталов необходимо при получении изображений деревьев, кустов, береговой линии. Двухмерные геометрические фракталы используются для создания объемных текстур (рисунка на поверхности объекта).

2.Алгебраические фракталы

Это самая крупная группа фракталов. Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах.

3.Стохастические фракталы

Еще одним известным классом фракталов являются стохастические фракталы, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные – несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря.

Существуют и другие классификации фракталов, например деление фракталов на детерминированные (алгебраические и геометрические) и недетерминированные (стохастические).

У любого фрактала есть бесконечно повторяющаяся форма. При создании такого фрактала, естественно, что самый простой способ состоит в том, чтобы повторить несколько действий, которые создают эту форму. Вместо слова "повтор" можно использовать математический синоним "итерация".

Чтобы создать настоящий фрактал, надо выполнить итерацию бесконечное количество раз. Однако, при выполнении этого на компьютере, возможности ограничены скоростью и количеством точек, так что итерации выполняются несколько раз. Увеличение количества итераций делает фракталы более точными.

ВИДЫ ИТЕРАЦИИ

Существуют три основных вида итерации:

1. Заменительная Итерация - Создает фракталы, заменяя некоторые геометрические фигуры другими фигурами.

2. Итерация ИФС - Создает фракталы, применяя геометрические преобразования (типа вращения и отражения) для геометрических фигур.

3. Итерация Формулы - Включает несколько путей создания фракталов, повторяя некоторую математическую формулу или несколько формул.

Существуют также несколько не основных видов итерации. Например, фракталы можно создавать, итерируя процесс свертывания бумаги. Однако, эти фракталы могут также быть созданы, используя по крайней мере один из основных видов итерации.

Заменительная итерация

Один из способов создания фракталов - заменительная итерация. Для ее выполнения мы начинаем с фигуры называемой основой. Затем каждая часть основы заменяется другой фигурой, называемой мотивом. В новом рисунке мы снова заменяем каждую частью мотивом. Если мы выполним эти замены бесконечное количество раз, мы закончим фракталом.

L -системы

Заменительная итерация очень проста. Все, что дня нее необходимо - это повторная замена основы мотивом. Для компьютера, однако, не достаточно иметь изображение основы и мотива. Мы нуждаемся в способе сохранения данных о фрактале, который не тратит много памяти на графические изображения и позволяет создавать простые алгоритмы для черчения фракталов. Наилучший подобный способ - это л-системы.). L-система - это грамматика некоторого языка (достаточно простого), которая описывает инициатор и преобразование, выполняемое над ним, при помощи средств, аналогичных средствам языка Лого (аксиоматическое описание простейших геометрических фигур и допустимых преобразований на плоскости и в пространстве). Л-системы были разработаны А. Линденмейером ("л" в слове " L -система" - его инициал). Они составлены из определения угла, аксиомы и по крайней мере одного правила. Аксиома - это начальная форма (основа), используемая в процессе создания фрактала. Правила указывают, какие символы в аксиоме должны быть заменены другими символами.

Большинство фракталов с фрактальной размерностью от 0 до 2 могут быть выражены, используя л-системы. Комбинация нескольких символов и правил могут создавать очень сложные фракталы. Такие л-системы используются, чтобы делать реалистичные модели растений.

Формульная итерация

Формульная итерация - самый простой вид итерации, однако он наиболее важный и дает самые сложные результаты. Он основан на использовании математической формулы для постоянного изменения числа.

Теоретические предпосылки.

Но Фрактальную геометрию в основном использовали только математики и Физики. Вот появилась идея использовать принципы фрактальной геометрии в биологии.

Исходя из того, что Фракталы в неживой природе отображают процесс разрушения (энтропия увеличивается), а в живой природе - процесс созидания (энтропия уменьшается).

Термодинамические процессы в живой природе идут по пути уменьшения энтропии системы, увеличения организованности объектов. Эти свойства являются фундаментальными для живой природы. Другие свойства живого - это рост и развитие. То есть живой объект постепенно разворачивается в пространстве и времени, увеличивая свои размеры и массу. (береговая линия - результат разрушения неких неживых тел (пород)). То есть, исходя из выше сказанного, мы предположили - в живой природе можно наблюдать фрактальные явления, можно попытаться их построить. На первом этапе мы решили попробовать проследить фрактальные явления там, где они сами напрашиваются на реализацию. В биологии при изучении роста растений была выявлена такая закономерность как "Ветвление".

Ветвление возникло в процессе эволюции тела растений еще до появление органов. Существуют несколько типов ветвления: дихотомическое, моноподиальное, симподильное.

При дихотомическом ветвлении конус нарастания раздваивается, образуя два побега, каждый из которых в свою очередь дает еще два побега и т.д. Это ветвление наиболее древние и, оно представлено у плаунов и некоторых других растений (рис 2) для построения таково тип ветвления надо выставить в рабочей области как показано на рис 3.

(рис 2)

(рис 3)

При моноподиальном ветвлении имеет место длительный неограниченный верхушечный рост главной оси первого порядка - моноподия от которой отходят более короткие боковые оси второго и последующих порядков. Их количество зависит от времени жизни растения. Это ветвление свойственно многим голосеменным (ель, пихта, кипарис и т.д.) (рис 4). Их ствол представляет ось одного порядка. Для построения такого типа ветвления надо установить все параметры в рабочей области как показано на рисунке 5.

(рис 4)

(рис 5)

При симподильном ветвлении главная ось рано прекращает вой рост, но под ее верхушкой трогается в рост боковая почка Выросший из нее побег как бы продолжает ось первого порядка. Этот побег в свою очередь также прекращает верхушечный рост, и тогда начинает расти его боковая почка, из которой возникает ось третьего порядка, и т.д. Такое ветвление характерно для большинства деревьев, кустарников и т.д.(рис 6). Для построения такого тип ветвления надо установить все параметры в рабочей области как показано на рисунке 7. Симподильное ветвление эволюционно более продвинутое.

(рис 6)

(рис 7)

Существуют два вида тоста первичный рост и вторичный рост.

Первичный рост происходит в близи верхушечных корней и стеблей. Он начинает их апикльными маристеиами и связан главным образом с удлинением тела растений. В ходе первичного роста образуются первичные ткани, составляющее первичное тело растения. Примитивные, также и многие современные сосудистые растения состоят целиком из первичных тканей.

Кроме первичного у многих растений происходит дополнительный рост, вызывающий утолщения стебля. Он называется вторичным и вязан с активностью латеральной меристемы, камбия, который формирует вторичные проводящие ткни. Вторичные проводящие вместе с пробковой тканью составляют вторичное тело растения.

Вторичный рост сопровождается изменением цвета стебля. И в зависимости от количества вторичной проводящей ткни окрас темнеет.

Решение проблемы.

Появилась идея попробовать создать программу при помощи которой можно было бы моделировать кроны деревьев.

В ходе работы была создана программа позволяющая быстро и удобно моделировать ветвление. В данной программе в отличии от других при увеличении числа итераций структура усложняется путем не дробления на себе подобные, а разворачивания себе подобных структур из точек роста. Поэтому в данном случаи можно рассматривать число итераций как возраст растения. Отличительной особенностью программы является удобный интерфейс. В отличии то других программ не нужно вводить данные в виде формулы, а визуально строить единичную структуру.

В своей работе я использовал геометрический метод построения фракталов, поскольку он является наиболее удобным для построения изображений кроны. Изображения строится как растущее.

Существенным отличием моей программы от программ подобного рода является применение удобного интерфейса. Этот интерфейс удобен тем, что пользователю легко вводить все необходимые данные.

В данной программе я использовал рекурсивный вызов процедуры построения единичной фигуру.

Алгоритм программы следующий:

Пользователь задает единичную фигуру, расположения почек роста, угол наклона, количество генерацией, степень уменьшения следующий фигуры.

Затем все эти данные записываются в массив.

Программа строит единичную фигуру с данным углом. Определяет где находятся точки роста. Строит следующею фигуру с этой точки заданное количество раз. Размер фигуру меньше начальной в заданное количество раз. При этом каждая новая фигур отличается по цвету от предыдущей. Цвет последней линии ярко зеленый поэтому, при большом количестве итераций, это имитирует листья которые действительно находятся на концах веток. Скорость построения зависит от количества итераций, поэтому следует вводить значение не больше 10.

Заключение

Привлекательность задачи на построения фрактальных изображений состоит не только в том, что эти изображения очень красивы, но и в том что и строятся они по средством простых алгоритмов.

В реальном мире мы не встретим геометрических форм, соответствующих канонам евклидовой геометрии, Его геометрическая первооснова оказывается фрактальной. Объединив идею фрактальности с идеей формообразующей случайности, современная геометрия совершила гигантский качественный скачок. Впервые за свою историю математика оказалась в состоянии правильно отражать мир во всем многообразии его сложных форм, не прибегая к многоярусным нагромождениям все более абстрактных и искусственных интеллектуальных конструкций. В этом плане особенно показательно то, как фрактальная геометрия рисует мир. Здесь человек научился творить многообразие геометрических форм наподобие самой природы. Пусть для начала - лишь на экране дисплея.

Кроме того, модели фрактального роста быстро вышли за рамки компьютерной графики. Они оказались феноменально продуктивны во многих областях физики и химии. Так, они вносят теоретическую ясность во многие проблемы, связанные с прочностью материалов. Даже загадочный феномен шаровой молнии удалось смоделировать на фрактальных структурах из тонкой проволоки. В помещении поведение этой конструкции аналогично поведению залетевшей шаровой молнии. Если материальная модель столь эффективна, то из этого прямо следует эффективность представлений о фрактальной структуре самих шаровых молний.

В данной работе я, вместе с наукой наших дней, попытался освоить определенный тип геометрического описания природы - фрактальный. Перспективы работы в этой области безграничны, как и сама природа.

ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

С. К.Абачиев Концепция современного естествознания. Балашиха - 1998.

Р. Баас, М. Фервай, Х. Гюнтер Delphi 5: для пользователей:пер. с нем. - Издательская группа BHV , 2000г.

Г. П. Яковлев, В. А. Челомбитько Ботаника. М. 1990г.

Http://library.thinkquest.org/26242/russian/tutorial/tutorial.html

Http://mahp.oil.rb.ru/kniga/

Http://www.chat.ru/~fractals/

Http://www.geocities.com/SoHo/Studios/6648/fractals.htm

Http://www.ipm.sci-nnov.ru/~demidov/java.htm

Http://www.visti.net/cplusp/all_96/6n96y/6n96y1a.htm

Транскрипт

1 Ричард М. Кроновер ФРАКТАЛЫ И ХАОС В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ. ОСНОВЫ ТЕОРИИ. Перевод с английского Т. Э. Кренкеля и А. Л. Соловейчика под редакцией Т. Э. Кренкеля Рекомендовано УМО в области электроники и прикладной математики в качестве учебного пособия для студентов по специальности «Прикладная математика» ПОСТМАРКЕТ МОСКВА 2000

2 P. M. Кроновер. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. Москва: Постмаркет, с. Рецензенты: кафедра теории вероятностей и прикладной математики Московского технического университета связи и информатики; профессор Б. Ю. Стернин. Первое полноценное учебное пособие по новой, быстроразвивающейся математической дисциплине до сих пор на русском языке выходили лишь монографии. Хорошо подобранные упражнения и алгоритмы делают книгу отличным пособием для студентов старших курсов и аспирантов, специалистов по приложениям этой теории в различных областях от биологии до лингвистики. Introduction to Fractals and Chaos Richard M. Crownover University of Missouri-Columbia Jones and Bartlett Publishers Boston London ORIGINAL ENGLISH LANGUAGE EDITION PUBLISHED BY Jones and Bartlett Publishers, Inc. 40 Tall Pine Drive, Sudbury, MA COPYRIGHT 1995 ALL RIGHTS RESERVED 1999 Перевод на русский язык, ЗАО «Предприятие Постмаркет» ISBN

3 Оглавление Предисловие 5 1. Введение Что такое фракталы и хаос? Предыстория t Классические фракталы Самоподобие L-системы Пыль Кантора Кривые Пеано Множества и отображения Предварительные сведения из теории множеств Метрические пространства Сжимающие отображения Аффинные преобразования Метрика Хаусдорфа I Системы итерированных функций Системы итерированных функций Реализация СИФ СИФ со сгущением Коллажи Размерность Размерность Минковского Вычисление размерности Хаотическая динамика I Аттрактор Лоренца Итерированные отображения Универсальность Фейгенбаума Периодичность Шарковского Хаос 169

4 4 Оглавление 7. Хаотическая динамика II Существенная зависимость Символическая динамика Хаос и фракталы Подъем Затенение Алгоритм рандомизированной СИФ Комплексная динамика Множества Жюлиа Орбиты в множествах Жюлиа Множество Мандельброта Хаос и множества Жюлиа Проблема Кэли Случайные фракталы Случайные возмущения Броуновское движение Срединное смещение Фрактальное броуновское движение Срединное смещение и ФБД 27S 9.6. Фурье-анализ ФБД Фильтрация Фурье 28S А. Дополнительные сведения из анализа 297 АЛ. Полнота и компактность 297 А.2. Непрерывные отображения ЗОС А.З. Метрика Хаусдорфа II ЗОЕ А.4. Топологическая размерность 311 А.5. Размерность Хаусдорфа 317 А.6. Быстрое преобразование Фурье 32С Б. Теория ренормализации и фракталы Пуанкаре 32Е Б.1. Теория ренормализации 321 Б.2. Фракталы Пуанкаре ЗЗС Список литературы 341 Предметный указатель 34

5 Предисловие Казалось бы, два таких разных математических объекта, как фракталы и хаос, следует изучать независимо друг от друга: ведь теория фракталов опирается на геометрию и теорию размерности, а теория хаоса есть развитие теории динамических систем. С другой стороны, между ними существует определенная взаимосвязь, которая часто теряется в деталях изложения каждой из теорий. Данная книга, во-первых, представляет собой вводный курс теории фракталов и теории хаоса, а во-вторых, рассматривает вопрос о том, как некоторые фракталы (аттракторы систем итерированных функций) могут порождать хаос. В главах 2-5 рассматривается ряд важных идей и понятий, связанных с детерминированными фракталами: самоподобие, системы итерированных функций и размерность. Здесь же описаны L-системы, использование которых существенно облегчает графические построения, особенно в случае фракталов, напоминающих по форме растения. Изложение теории детерминированного хаоса разбито на две главы. Глава 6, «Хаотическая динамика I», дает представление о предмете на элементарном уровне, причем такие сложные понятия, как символическая динамика, раскрываются в основном на примерах. Глава 7, «Хаотическая динамика И», в большей мере предназначена для студентов с хорошей математической подготовкой и может быть опущена, если курс предполагается упростить. С другой стороны, именно здесь проявляется отмеченная выше взаимосвязь фракталов и хаоса. Глава 8, «Комплексная динамика», посвященная множествам Жюлиа и Мандельброта, выдержана в упрощенном стиле. Результаты, опирающиеся на сложные теоремы из теории функций комплексного переменного, не доказываются, но должным образом выделяются и интенсивно используются. Помимо результатов теории функций комплексного переменного, изложение охватывает многие важные вопросы, например, вопрос о том, является ли множество Жюлиа связным или вполне разрывным, ответ на который дает множество Мандельброта.

6 6 Предисловие Другой, не менее важный для понимания подход развит в главе 9, посвященной случайным фракталам, в частности фрактальному броуновскому движению. Такие обобщения классического броуновского движения находят широкое применение в моделировании природных явлений. В принципе, материал этой главы можно читать в любое время после главы о размерности. В основу книги лег односеместровый курс, который я читал в университете Миссури-Колумбия в гг. Слушателями были в основном студенты, специализирующиеся по математике, естественным наукам, техническим специальностям и некоторым другим дисциплинам. Я рекомендовал им прослушать сначала продвинутый курс математического анализа и линейной алгебры, но обычно допускал к занятиям заинтересованных студентов, у которых был какой-то опыт математических исследований, будь то чистая или прикладная математика. В отличие от традиционного формата многих математических курсов теорема-доказательство-пример-задача, большую роль при изучении фракталов и хаоса играет компьютерное моделирование. В самом деле, большинство студентов впервые узнают о существовании фракталов, увидев потрясающие воображение картинки на дисплее компьютера. Данная книга предлагает использовать компьютерные эксперименты и теорию в совокупности, для чего в нее включены двадцать компьютерных алгоритмов. Эти алгоритмы даны в обобщенном виде, то есть независимо от синтаксиса какого-либо конкретного языка. По моим наблюдениям, не существует языка программирования или программного пакета, который удовлетворял бы всех. Студенты, с которыми я общался, программировали на Паскале, Си, C++, Фортране, в системах Matlab и Mathematica. Одним из лучших программных продуктов для экспериментирования с фракталами является свободно распространяемая программа Fractint. Она позволяет строить разнообразные фракталы и работает замечательно быстро. Солидная часть материала, необходимого для изучения фракталов и хаоса, включена в основной текст книги. Кратко изложены введение в теорию множеств, аффинные преобразования, метрические пространства, множества Кантора и кривые Пеано. За исключением материала седьмой главы, книга содержит только несколько доказательств, требующих серьезной подготовки на уровне продвинутого курса математического анализа. Такие доказательства помечены

7 liptirutjiuaut - i значком (*). Они могут быть опущены, но рекомендуется, чтобы студенты запомнили формулировки теорем. Другие, более сложные параграфы вынесены в прил. А. В результате, книга может быть использована в качестве основы для курсов разной степени сложности. Изложение, которое придерживается глав 1-6 и 8-9, то есть исключает главу 7, «Хаотическая динамика II», и обращается к прил. А только в справочных целях, рекомендуется в качестве элементарного курса. В разных семестрах я успевал пройти часть седьмой главы и избранные параграфы прил. А, в частности, посвященные метрике Хаусдорфа и размерности Хаусдорфа, но только ценой пропуска или ускоренного изучения части предыдущего материала. Черно-белые изображения в этой книге напечатаны с использованием графической подсистемы Postscript. Многие изображения созданы в программе Matlab, в которой особенно удобно строить кривые в трехмерном пространстве. Matlab также хорошо подходит для программирования и визуализации L-систем (п. 2.2), паутинных диаграмм (глава 6) и фрактального броуновского движения (глава 9). Изображения, в которых требовалась заливка областей, ограниченных кривыми, получены с помощью пакета Mathematica. Изображения, для которых необходима точечная графика (для данного пиксела в данный момент времени определяется его цвет, черный или белый), были сгенерированы на Фортране с последующим преобразованием выходного файла в формат Postscript. Таким способом было получено графическое представление систем итерированных функций из четвертой главы и комплексной динамики из восьмой главы. Цветные вклейки были сделаны с помощью программы Practint. Я хочу выразить признательность за плодотворное общение моим коллегам, которых также интересует теория хаоса, фракталы и математика, связанная с этими понятиями. Во-первых, я хотел бы поблагодарить Дж. Келлера, познакомившего меня с фракталами в 1984 году, когда ему понадобилась помощь в работе над проектом по исследованию фракталов, а также его аспирантку С. Чен, замечательно владеющую предметом. Впоследствии я очень много почерпнул из оживленных дискуссий с К. Альбрандтом, К. Чиконе, Д. Петти, П. Пфайфером и П. Спекманом. Я благодарен Р. Делавару за его лекционные заметки по поводу теоремы Шарковского, а также П. Хагерти, который был моим студентом в 1993 году, за его профессиональную помощь при создании иллюстраций в пакете Mathematica.

8 8 Предисловие Большое спасибо Э. Бельтрами, А. К. Клайни, Р. В. Истону, а также М. Дж. Филду, Р. Д. Найдингеру, А. Нортону и К. Шорту, просмотревшим рукопись. Их взвешенная критика и предложения, без сомнения, положительно повлияли на окончательную редакцию. Я очень признателен К. Хеслеру-младшему, вице-президенту компании «Jones and Bartlett Publishers», за его энергичную помощь в создании этого учебника. Большое спасибо П. Кэррол и М. Сервантес из «Jones and Bartlett Publishers», а также М. Финли из отдела печати, за их работу по выпуску книги. Я хочу особенно поблагодарить мою жену Мэри, за ее терпение и поддержку в течение всего времени, пока писалась эта книга.

9 Глава 1. Введение 1.1. Что такое фракталы и хаос? Когда-то большинству людей казалось, что геометрия в природе ограничивается такими простыми фигурами, как линия, круг, коническое сечение, многоугольник, сфера, квадратичная поверхность, а также их комбинациями. К примеру, что может быть красивее утверждения о том, что планеты в нашей солнечной системе движутся вокруг солнца по эллиптическим орбитам? Этот замечательный закон один из трех постулатов планетарного движения, сформулированных Иоганном Кеплером на основе наблюдений и измерений, сделанных Тихо Браге. Позднее, сэр Исаак Ньютон вывел закон обратных квадратов для гравитационного притяжения как решение некоторого дифференциального уравнения, причем законы Кеплера следовали из его решения. Как в этом, так и в других случаях, когда применение простых геометрических моделей оказалось удачным, это привело к огромным научным достижениям. Однако многие природные системы настолько сложны и нерегулярны, что использование только знакомых объектов классической геометрии для их моделирования представляется безнадежным. Как, к примеру, построить модель горного хребта или кроны дерева в терминах геометрии? Как описать то многообразие биологических конфигураций, которое мы наблюдаем в мире растений и животных? Представьте себе всю сложность системы кровообращения, состоящей из множества капилляров и сосудов и доставляющей кровь к каждой клеточке человеческого тела. Представьте, как хитроумно устроены легкие и почки, напоминающие по структуре деревья с ветвистой кроной. Столь же сложной и нерегулярной может быть и динамика реальных природных систем. Как подступиться к моделированию каскадных водопадов или турбулентных процессов, определяющих погоду? Какая математика отвечает за ритмы сердца и головно- 9

10 10 Глава 1 I Введение го мозга, наблюдаемые на электрокардиограмме и энцефалограмме, в особенности за те внезапные приступы аритмии, которые могут вызвать сбой в работе сердца? Можно ли математически описать внезапное возникновение волны паники на финансовых рынках или даже построить математическую модель социального поведения? Фракталы и математический хаос подходящие средства для исследования поставленных вопросов. Термин фрактал относится к некоторой статичной геометрической конфигурации, такой как мгновенный снимок водопада. Хаос термин динамики, используемый для описания явлений, подобных турбулентному поведению погоды. Данная книга является введением в математику, которая стоит за этими понятиями. Предполагается, что после освоения изложенных здесь методов читатель сможет перейти к изучению приложений по специализированным источникам 1. Например, исследования показывают, что в физиологии встречается как «хороший» хаос, так и «плохой» . В опытах на кошках было замечено, что вид электрокардиограммы, снятой до и после введения кокаина, меняется с регулярной последовательности высоких пиков, сопровождаемых малыми пичками, на крайне нерегулярную последовательность, что, возможно, свидетельствует о приступе аритмии. С другой стороны, характер электроэнцефалограммы меняется с нерегулярного и непредсказуемого на гораздо более гладкий . См. также об анализе возможной роли хаоса в развитии болезни сердца. Нередко то, что мы наблюдаем в природе, интригует нас бесконечным повторением одного и то же узора, увеличенного или уменьшенного во сколько угодно раз. Например, у дерева есть ветви. На этих ветвях есть ветки поменьше и т. д. Теоретически, элемент «разветвление» повторяется бесконечно много раз, становясь все меньше и меньше. То же самое можно заметить, разглядывая фотографию горного рельефа. Попробуйте немного приблизить изображение горной гряды вы снова увидите горы. Приблизьте картинку еще вы по-прежнему будете различать нечто, напоминающее горы, благодаря вашей способности (статистической по сути) различать тип объекта на рисунке. Так проявляется характерное для фракталов свойство самоподобия (п. 2.1 и 5.1). : О странных аттракторах, хаотической динамике и «дорогах к хаосу» см. . Здесь и далее подстраничные примечания переводчиков.

11 1.1 Что такое фракталы и хаос? 11 Во многих работах по фракталам самоподобие используется в качестве определяющего свойства. Следуя Бенуа Мандельброту , мы принимаем точку зрения, согласно которой фракталы должны определяться в терминах фрактальной (дробной) размерности (глава 5). Отсюда и происхождение слова фрактал. Понятие дробной размерности представляет собой весьма сложную концепцию, которую мы изложим в несколько этапов. Прямая это одномерный объект, а плоскость двумерный. Как мы увидим далее, хорошенько перекрутив прямую или плоскость, можно повысить размерность полученной конфигурации; при этом новая размерность обычно будет дробной в некотором смысле, который нам предстоит уточнить. Связь дробной размерности и самоподобия состоит в том, что с помощью самоподобия можно сконструировать множество дробной размерности наиболее простым образом (п. 2.1). Даже в случае гораздо более сложных фракталов, таких, как граница множества Мандельброта (п. 8.3), когда чистое самоподобие отсутствует, имеется почти полное повторение базовой формы во все более и более уменьшенном виде. В английском языке хаос обычно определяется как состояние полного беспорядка или неразберихи. Некоторые словари прибегают к понятию состояния, в котором правит случай. Термин хаос в математике используется в узком смысле. Хотя универсального определения математического хаоса не существует, имеется, по-видимому, полное согласие в том, что любой вид хаоса обладает свойством непредсказуемости. Это свойство называют существенной зависимостью от начальных условий (п. 6.5). Как ни странно, оно не эквивалентно случайному поведению. По сути дела, математический хаос это характерная черта именно детерминированных динамических систем. Поэтому наблюдаемые в состоянии хаоса флуктуации только кажутся случайными их значения полностью предопределены входными параметрами. Но на практике мы никогда не располагаем абсолютно точной информацией о начальных условиях. Ошибки, пусть и ничтожные, всегда имеют место при измерении входных параметров. То, что кажется нам случайным результатом на выходе динамической системы, обусловлено большими ошибками, которые могут появиться, когда система ведет себя хаотично. Когда-то считалось, что в детерминированной системе, при наличии достаточного объема вычислительных ресурсов, мы всегда в

12 состоянии сделать значимое предсказание (например, дать надежный прогноз погоды), несмотря на маленькие ошибки измерения текущего состояния. В присутствии хаоса это не так. Никакой самый мощный компьютер не позволит нам сделать точный прогноз на основе математической системы с существенной зависимостью от начальных условий. С нашей точки зрения, наиболее интересный вопрос теории фракталов и хаоса состоит в том, как связать эти понятия воедино. Многие важные фракталы, включая снежинку Коха, ковер Серпинского и классическое множество Кантора, обсуждаемые во второй главе, могут быть получены как аттракторы систем итерированных функций (глава 4). Анализ этих систем итерированных функций указывает путь к построению хаотических операторов, ассоциированных с упомянутыми фракталами (глава 7) Предыстория Заслуживает внимания тот факт, что появление фракталов (еще не получивших этого имени) в математической литературе около ста лет назад было встречено с прискорбной неприязнью, как это бывало и в истории развития многих других математических идей. Один известный математик, Шарль Эрмит, даже окрестил их монстрами. По крайней мере, общее мнение признало их патологией, представляющей интерес только для исследователей, злоупотребляющих математическими причудами, а не для настоящих ученых. В результате усилий Бенуа Мандельброта такое отношение изменилось, и фрактальная геометрия стала уважаемой прикладной наукой. Мандельброт ввел в употребление термин фрактал, основываясь на теории фрактальной (дробной) размерности Хаусдорфа , предложенной в 1919 году. За много лет до появления его первой книги по фрактальной геометрии, Мандельброт приступил к исследованию появления монстров и других патологий в природе. Он отыскал нишу для имевших дурную репутацию множеств Кантора, кривых Пеано, функций Вейерштрасса и их многочисленных разновидностей, которые считались нонсенсом. Он и его ученики открыли много новых фракталов, например, фрактальное броуновское движение для моделирования лесного и горного ландшафтов, флуктуации уровня рек и биения сердца. С выходом в свет его

13 1.2 Предыстория 13 книг приложения фрактальной геометрии стали появляться как грибы после дождя. Это коснулось как многих прикладных наук, так и чистой математики. Даже киноиндустрия не осталась в стороне. Миллионы людей любовались горным ландшафтом в фильме «Звездное переселение II: гнев хана», сконструированным с помощью фракталов. Французский математик Анри Пуанкаре инициировал исследования в области нелинейной динамики около 1890 года, что привело к появлению современной теории хаоса. Интерес к предмету заметно увеличился, когда Эдвард Лоренц, занимавшийся нелинейным моделированием погоды, в 1963 году обнаружил невозможность долгосрочных прогнозов погоды. Лоренц заметил, что даже ничтожные ошибки при измерении параметров текущего состояния погодных условий могут привести к абсолютно неправильным предсказаниям о состоянии погоды в будущем. Эта существенная зависимость от начальных условий лежит в основе математической теории хаоса. Траектории частиц броуновского движения, которым занимались Роберт Броун еще в 1828 году и Альберт Эйнштейн в 1905 году, представляют собой пример фрактальных кривых, хотя их математическое описание было дано только в 1923 году Норбертом Винером. В 1890 году Пеано сконструировал свою знаменитую кривую непрерывное отображение, переводящее отрезок в квадрат и, следовательно, повышающее его размерность с единицы до двойки. Граница снежинки Коха (1904 год), чья размерность d и 1,2618, это еще одна хорошо известная кривая, повышающая размерность. Фрактал, никоим образом не похожий на кривую, который Мандельброт назвал пылью это классическое множество Кантора (1875 или ранее). Это множество настолько разрежено, что оно не содержит интервалов, но, тем не менее, имеет столько же точек, сколько интервал. Мандельброт использовал такую «пыль» для моделирования стационарного шума в телефонии. Фрактальная пыль того или иного рода появляется в многочисленных ситуациях. Фактически, она является универсальным фракталом в том смысле, что любой фрактал, аттрактор системы итерированных функций представляет собой либо фрактальную пыль, либо ее проекцию на пространство с более низкой размерностью. Различные древовидные фракталы применялись не только для моделирования деревьев-растений, но и бронхиального дерева (воздухоносные ветви в легких), работы почек, кровеносной системы к

14 14 Глава 1 / Введение др. Интересно отметить предположение Леонардо да Винчи о том, что все ветки дерева на данной высоте, сложенные вместе, равны по толщине стволу (ниже их уровня). Отсюда следует фрактальная модель для кроны дерева в виде поверхности-фрактала. Многие замечательные свойства фракталов и хаоса открываются при изучении итерированных отображений. При этом начинают с некоторой функции у = f(x) и рассматривают поведение последовательности /(ж), /(/(ж)), /(/(/(ж))),... В комплексной плоскости работы такого рода восходят, по всей видимости, к имени Кэли, который исследовал метод Ньютона нахождения корня в приложении к комплексным, а не только вещественным, функциям (1879). Замечательного прогресса в изучении итерированных комплексных отображений добились Гастон Жюлиа и Пьер Фату (1919). Естественно, все было сделано без помощи компьютерной графики. В наши дни, многие уже видели красочные постеры с изображением множеств Жюлиа и множества Мандельброта, тесно с ними связанного. Освоение математической теории хаоса естественно начать именно с итерированных отображений. Изучение фракталов и хаоса открывает замечательные возможности, как в исследовании бесконечного числа приложений, так и в области чистой математики. Но в то же время, как это часто случается в так называемой новой математике, открытия опираются на пионерские работы великих математиков прошлого. Сэр Исаак Ньютон понимал это, говоря: «Если я и видел дальше других, то только потому, что стоял на плечах гигантов».

15 Глава 2. Классические фракталы 2.1. Самоподобие Разделим отрезок прямой на N равных частей. Тогда каждую часть можно считать копией всего отрезка, уменьшенной в 1/г раз. Очевидно, N и г связаны соотношением Nr = 1 (рис. 2.1). Если квадрат разбить на N равных квадратов (с площадью, в 1/г 2 раз меньше площади исходного), то соотношение запишется как Nr 2 = 1. Если куб разбить на N равных кубов (с объемом, в 1/г 3 раз меньше объема исходного), то соотношение примет следующий вид: iw 3 = 1. Заметим, что размерность d объекта, будь то одномерный отрезок, двумерный квадрат или трехмерный куб, появляется как степень г в соотношении между JV, числом равных подобъектов, и коэффициентом подобия г. А именно: Nr d = 1. (2.1) Множества, построенные на рис. 2.1, обладают целой размерностью. Зададимся вопросом, возможно ли такое построение, при котором показатель d в равенстве (2.1) не является целым, то есть такое, что при разбиении исходного множества на N непересекающихся подмножеств, полученных масштабированием оригинала с коэффициентом г, значение d не будет выражаться целым числом. Ответ, как мы убедимся решительное да! Такое множество называют самоподобным фракталом. Величину d называют фрактальной (дробной) размерностью или размерностью подобия. Явное выражение для d через N и г находится логарифмированием обеих частей (2.1): Логарифм можно взять по любому положительному основанию, отличному от единищ/ например по основанию 10 или по основанию е«2,

16 16 Глава 2 / Классические фракталы е о о о N=3 г=1/3 d=l N=9t=l/3d=2 / N=27 г=щ d=3 Рис Связь размерности и коэффициента подобия Более общий тип самоподобных фракталов рассматривается в п Фрактал по-прежнему может быть объединением непересекающихся подмножеств, полученных масштабированием оригинала, но коэффициенты подобия уже не обязательно одни и те же для всех подмножеств. В этом случае формула для размерности (2.2) неприменима. Термин фрактал был впервые введен в 1975 году Бенуа Мандельбротом, пионером в области фрактальной геометрии 1. Многие математические идеи оформились задолго до этого, еще в XIX-м веке, в работах Георга Кантора, Карла Вейерштрасса, Джузеппе Пеано и других. Понятие фрактальной (дробной) размерности появилось в 1919 году в работе Феликса Хаусдорфа. Тем не менее, именно Мандельброт объединил эти идеи и положил начало систематическому изучению фракталов и их приложений. В 5-й главе и в прил. А.5 будет дано строгое математическое изложение вопросов, связанных с дробной размерностью. При этом Термин фрактал произведен от латинского глагола frangere ломать и прилагательного fractus дробный .

17 2.1 Самоподобие 17 Рис Снежинка Коха следует иметь в виду, что понятие фрактала еще находится в развитии и разные источники могут использовать различные определения. Заметим здесь, что некоторые множества целой размерности также являются фракталами, как следует из нашего определения. Снежинка Коха. Граница снежинки, придуманной Гельгом фон Кохом в 1904 году (рис. 2.2), описывается кривой, составленной из трех одинаковых фракталов размерности d «1,2618. Каждая треть снежинки строится итеративно, начиная с одной из сторон равностороннего треугольника. Пусть KQ начальный отрезок. Уберем среднюю треть и добавим два новых отрезка такой же длины, как показано на рис Назовем полученное множество К\. Повторим данную процедуру многократно, на каждом шаге заменяя среднюю треть двумя новыми отрезками. Обозначим через К п фигуру, получившуюся после n-го шага. Интуитивно ясно, что последовательность кривых {K n }^=i сходится к некоторой предельной кривой К. Мы проведем строгое математическое исследование сходимости таких последовательностей кривых и других множеств в п. 3.5 и в прил. А.З. Пока что предположим, что кривая К существует, и рассмотрим некоторые ее свойства.

18 18 Глава 2 / Классические фракталы (а) (б) (в) (г) Рис а) Ко, б) К и в) К 2, г) К 3, Если взять копию К, уменьшенную в три раза (г = 1/3), то все множество К можно составить из N = 4 таких копий. Следовательно, отношение самоподобия (2.1) выполняется при указанных ЛГ и г, а размерность фрактала будет:

19 2.1 VaMonododue 1У Рис Ковер Серпинского Теорема Граница снежинки Коха имеет бесконечную длину. Доказательство. Достаточно показать, что каждый из трех идентичных фракталов К, полученных итерациями (рис. 2.3), имеет бесконечную длину. Пусть исходный отрезок.ко имеет единичную длину. Тогда длина кривой К\ равна 4/3. Длина кривой К2 равна 4 2 /3 2. Продолжая таким образом имеем, что кривая К п после п-го шага имеет длину 4"/3". Следовательно, длина предельной кривой К равна бесконечности: lira 4 n /3 n = 00. Ковер Серпинского. Еще один пример простого самоподобного фрактала ковер Серпинского (рис. 2.4), придуманный польским математиком Вацлавом Серпинским в 1915 году. Сам термин ковер (gasket) принадлежит Мандельброту. В способе построения, следующем ниже, мы начинаем с некоторой области и последовательно выбрасываем внутренние подобласти. Позднее мы рассмотрим и другие способы, в частности с использованием L-систем (п. 2.2), а также на основе систем итерированных функций (глава 4). Пусть начальное множество SQ равносторонний треугольник вместе с областью, которую он замыкает. Разобьем SQ на четыре

20 20 Глава 2 / Классические фракталы Рис Построение ковра Серпинского меньшие треугольные области, соединив отрезками середины сторон исходного треугольника. Удалим внутренность маленькой центральной треугольной области. Назовем оставшееся множество S\ (рис. 2.5). Затем пбвторим процесс для каждого из трех оставшихся маленьких треугольников и получим следующее приближение 5г. Продолжая таким образом, получим последовательность вложенных множеств S n, чье пересечение и образует ковер 5. Из построения видно, что весь ковер представляет собой объединение N 3 существенно непересекающихся уменьшенных в два раза копий; коэффициент подобия г = 1/2 (как по горизонтали, так и по вертикали). Следовательно, 5 самоподобный фрактал с размерностью: d = log(3)/log(2) «1,5850. Очевидно, что суммарная площадь частей, выкинутых при построении, в точности равна площади исходного треугольника. На первом шаге мы выбросили 1/4 часть площади. На следующем шаге мы выбросили три треугольника, причем площадь каждого равна 1/4 2 площади исходного. Рассуждая таким образом, мы убеждаемся, что полная доля выкинутой площади составила: 1/4 + 3(1/4 2) (1/4 3) + + З + Эта сумма равна 1 (упр. 4 в конце этого параграфа). Следовательно, мы можем утверждать, что оставшееся множество S, то есть ковер,

21 2.2 Самоподобие 21 имеет площадь меры нуль. Это выделяет множество S в разряд «совершенного», в том смысле, что оно разбивает свое дополнение на бесконечное число треугольных областей, обладая при этом нулевой толщиной. Губка Менгера. Существуют и трехмерные аналоги ковров. Следуя Мандельброту, мы называем такие множества губками. Губка, изображенная на рис. 2.6, называется губкой Менгера, по имени Карла Менгера. Это самоподобный фрактал с N = 20 и г = 1/3. Его размерность равна: d = log(20)/ log(3) * 2,7268. Такая губка имеет объем меры нуль. Мы оставляем детали построения и анализа для рассмотрения читателю. Упражнения Определить дробную размерность (размерность подобия) фракталов, которые строятся, как указано на рис Определить дробную размерность (размерность подобия) фракталов, которые строятся, как указано на рис Построить фрактал, отличный от фрактала на рис. 2.8(а), но той же размерности. 4. Показать, что сумма площадей треугольников, выкинутых при построении ковра Серпинского, равняется площади исходного треугольника. Указание: воспользоваться соотношением: 1/(1 -х) = 1 + х + х 2 -\, для х < Рассмотрим фрактал, который строится, как указано на рис Этот фрактал иногда называют пылью Серпинского. Записать бесконечный ряд для суммы площадей частей, которые были удалены при построении. Найти сумму этого ряда. 6. (Компьютерный эксперимент.) Исследовать, какая связь существует между треугольником Паскаля (состоящим из биномиальных коэффициентов) и ковром Серпинского(см. ).

22 22 Глава 2 / Классические фракталы Рис Построение губки Менгера (а) (б) 1 в -HI о 1, в 1 (в) (г) Рис Построения к упр. 1

23 2.2 L-системы 23 (а) (б) Рис Построения к упр. 2 Рис Построения к упр L-системы Понятие L-систем, тесно связанное с самоподобными фракталами, появилось только в 1968 году благодаря Аристриду Линденмайеру. Изначально L-системы были введены при изучении формальных языков, а также использовались в биологических моделях селекции. С их помощью можно строить многие известные самоподобные фракталы, включая снежинку Коха и ковер Серпинского. Некоторые другие классические построения, например кривые Пеано (работы Пеано, Гильберта, Серпинского), также укладываются в эту схему. И конечно, L-системы открывают путь к бесконечному разнообразию новых фракталов, что и послужило причиной их широкого применения в компьютерной графике для построения фрактальных деревьев и растений. Наше изложение L-систем следует

24 24 Глава 2 / Классические фракталы в основном работам Прузинкевича и Ханана и ограничивается случаем детерминированных L-систем и графикой на плоскости. Для графической реализации L-систем в качестве подсистемы вывода используется так называемая тертил-графика (turtle черепаха). При этом точка (черепашка) движется по экрану дискретными шагами, как правило, прочерчивая свой след, но при необходимости может перемещаться без рисования. В нашем распоряжении имеются три параметра (ж, у, а), где (х, у) координаты черепашки, а направление, в котором она смотрит. Черепашка обучена интерпретировать и выполнять последовательность команд, задаваемых кодовым словом, буквы которого читаются слева направо. Кодовое слово представляет собой результат работы L-системы и может включать следующие буквы: F переместиться вперед на один шаг, прорисовывая след. b переместиться вперед на один шаг, не прорисовывая след. [ открыть ветвь (подробнее см. ниже) ] закрыть ветвь (подробнее см. ниже) + увеличить угол а на величину в уменьшить угол а на величину в Размер шага и величина приращения по углу в задаются заранее и остаются неизменными для всех перемещений черепашки. Если начальное направление движения а (угол, отсчитываемый от положительного направления оси X) не указано, то полагаем а равным нулю. Несколько примеров иллюстрируют применение команд ветвления (обозначаются ], [) и вспомогательных переменных (обозначаются X, Y и т. д.). Команды ветвления используются для построения деревьев и растений, а вспомогательные переменные заметно облегчают построение некоторых L-систем. Формально, детерминированная L-система состоит из алфавита, слова инициализации, называемого аксиомой или инициатором, и набора порождающих правил, указывающих, как следует преобразовывать слово при переходе от уровня к уровню (от итерации к итерации). К примеру, можно заменять букву F при помощи порождающего правила newf = F F+-f-F F, что соответствует L-системе для снежинки Коха, рассматриваемой ниже. Символы +, ], [ не обновляются, а просто остаются на тех местах, где они встретились. Обновление букв в данном слове предполагается одновременным,

25 2.2 L-системы 25 то есть все буквы слова одного уровня обновляются раньше любой буквы следующего уровня. L-система, соответствующая снежинке Коха (рис. 2.2), задается следующим образом: 0 = тг/3 Аксиома: F++F++F Порождающее правило: newf = F F++F F Графическое представление аксиомы F++F++F равносторонний треугольник. Черепашка делает один шаг вперед, затем угол а увеличивается на 2тг/3 и черепашка делает еще один шаг вперед, угол а снова увеличивается на 2тг/3 и черепашка делает еще шаг. На первом шаге каждая буква F в слове-инициаторе F++F++F заменяется на F-F++F F: (F-F++F-F)++(F-F++F-F)++(F-F++F-F). Убирая скобки, получаем: F-F++F-F++F-F++F-F++F-F++F-F. Повторяя этот процесс, на втором шаге получим: F-F++F-F-F-F++F-F++F-F++F-F-F-F++F-F++ F-F++F-F-F-F++F-F++F-F++F-F-F-F++F-F++ F-F++F-F-F-F++F-F++F-F++F-F-F-F++F-F и т. д. Псевдокод для итерирования порождающих правил в этом простейшем случае, когда используются только правила вида F = newf, Ъ = newb, выглядит следующим образом: Алгоритм (L-СИСТЕМЫ) Назначение: реализует правила F = newf, b = newb. Вход: axiom (слово инициализации) newf (порождающее правило) newb (порождающее правило) level (число итераций) Выход: word (слово-результат)

26 26 Глава 2 / Классические фракталы Инициализация: W = axiom n = length(w) Т = { } (пустое множество) Шаги: while level > 0 for j = 1 to n if W(j) = +,T = {T +}, end if i W(j) = -,T = {T -}, end if if W(j) = [,T = {T [}, end if ii-w(j) = ],T = {T ]}, end if if W(j) = F,T = {T newf}, end if if W(j) = b,t = {T end for W = T level = level 1 end while word = W newb}, end if Замечание: W(j) j-ая буква в слове W, {T которой присоединен знак +. +} строка Т, к Соответствующий псевдокод для тертл-графики мы рассмотрим ниже в этом параграфе. Список порождающих правил для различных L-систем, которые упоминаются в тексте, можно найти в конце этого параграфа. График на рис не имеет разрывов, так как черепашка движется единичными шагами и каждый раз прорисовывает свой след. Разрывные графики можно получать, применяя в L-системе команду «Ь», то есть команду «переместиться на один шаг вперед без рисования». Примерами могут служить изображения мозаики на рис и цепочки на рис При построении фракталов с использованием только одного порождающего правила возникает следующая трудность. Мы не можем изменить направление чтения правила на некоторых шагах, то есть читать его не слева направо, а справа налево. Без решения этой проблемы невозможно получить L-системы для кривых Пеано, которым посвящен следующий параграф.

27 2.2 L-системы 27 Рис Остров после 2-х итераций Например, для того чтобы построить фрактал под названием «дракон Хартера-Хайтвея» , необходимо иметь возможность менять направление чтения порождающего правила, изображенного на рис В качестве инициатора, или аксиомы, используется кривая слева. Порождающее правило в данном случае заключается в том, чтобы нарисовать инициатор сначала в прямом, а затем в обратном направлении. Подобная схема не вписывается в рамки L-систем, использующих только одно порождающее правило. Эту проблему можно решить, введя две различных команды для передвижения вперед, например X и Y. Будем считать, что черепашка интерпретирует X и Y одинаково, то есть как один шаг вперед. С помощью этих двух букв порождающее правило для дракона можно записать следующим образом: axiom = X, newx = X+Y+, newy = X-Y. Однако, нам не хотелось бы отказываться от первоначального подхода, при котором имеется только одна буква F, интерпретируе-

28 28 Глава 2 / Классические фракталы Рис Мозаика после 3-х итераций (Патрик Хагерти) мая как один шаг вперед. Чтобы вернуться в рамки этого подхода, будем считать буквы X и Y вспомогательными переменными, игнорируемыми черепашкой, и заменим их в порождающем правиле на FX и FY соответственно. Получим: axiom = FX, FX = FX+YF+, YF = -FX-YF. Далее замечаем, что того же результата можно добиться при помощи следующих порождающих правил: axiom = FX, newf = F, newx = X+YF+, newy = -FX-Y.

29 2.2 L-системы 29 Рис Цепочка после 3-х итераций (Ян-Си Ло) * 3 инициатор порождающее правило Рис Инициатор и правило для дракона Хартера-Хайтвея

30 30 Глава 2 j Классические фракталы Рис Дракон Хартера-Хайтвея после 12-и итераций Ниже приведены несколько шагов построения дракона с использованием этих порождающих правил: 1-ый шаг: FX+YF+ 2-ый шаг: FX+YF++-FX-YF+ 3-ый шаг: FX+YF++-FX-YF++-FX+YF+ FX-YF+ 4-ый шаг: FX+YF++-FX-YF++-FX+YF+ FX-YF++ -FX+YF++-FX-YF+ FX+YF+ FX-YF+ На рис изображен дракон после 12 итераций. Заметьте, что дракон состоит из нескольких похожих частей. В заключение остановимся на операции ветвления. Когда мы встречаем символ [ (открыть ветвь), мы запоминаем положение и направление черепашки, то есть переменные (х,у, а), и возвращаемся к этим установкам позднее. Для хранения триплетов (х, у, а)

31 2.% L-системы Рис Сорняк после 4-х итераций используется стек " х\ ух ах Х2 У2 «2 Х п Уп "п причем новые данные записываются в конец стека. Когда ветвь закрывается, переменным (х, у, а) присваиваются значения, считанные из конца стека. Затем эти значения из стека удаляются. Таким образом, ветвление задается двумя символами: [ Открыть ветвь. Сохранить (ж, у, а) в конце стека. ] Закрыть ветвь. Присвоить переменным (х, у, а) значения, считанные из конца стека, после чего удалить их из стека. На рис и 2.16 изображены фракталы, построенные с помощью операции ветвления. Ниже приведен алгоритм, который позволяет получать графическое представление слова при помощи тертл-графики.

32 32 Глава 2 / Классические фракталы Алгоритм (ТЕРТЛ-ГРАФИКА) Назначение: реализует тертл-графику для кодового слова, состоящего из букв F, Ь, [, ], + и. Вход: word (результат работы L-системы) в (приращение по углу) а (начальное направление) Выход: Графическое представление word. Инициализация: графический режим (подробнее см. ниже) W = word п = \ength(word) stack = { } (пустое множество) Шаги: for j = 1 to п if W{j) = +, о = a + в, end if if W(j) -, a = a 9, end if if W(j) = F, x = x 0 + cos(o;), у = yo + sin(a), провести линию из точки (хо,уо) в точку (х, у), х 0 = х, Уо = У end if if W(j) = 6, XQ = XQ + cos(a), j/o = Уо + sin(a), end if / = length(stack), stack (I + 1,1) = XQ stack (I + 1,2)= yo stack (I + 1,3) = a end if if W(j) = ], I = length(stack), XQ = stack (/, 1) 2/o = stack (1,2) a stack (/,3)

33 2.2 L-системы 33 Рис Куст после 4-х итераций удалить 1-ую запись из stack end if end for Можно написать специальную программу для определения размеров графического окна. Для этого достаточно выполнить в точности те же шаги, что и в алгоритме 2.2.2, но вместо вывода на экран надо отслеживать наименьшее и наибольшее значения х и у. Вначале положим эти значения равными нулю: хтгп хтах = О, ymin = углах = 0. Каждый раз, когда появляется новая точка (ж, у), размеры окна обновляюся: хтгп = iain(x,xmin), хтах = та.х(х, хтах),

34 34 Глава 2 / Классические фракталы Рис Снежинка после 3-х итераций (Джонг By Ким) ymin min(?/, ymin), утах = max.(y,ymax). Значения xmin, xmax, ymin и утах, полученные по окончании работы алгоритма, используются для инициализации окна вывода тертл-графики. Порождающие правила для L-систем. Порождающие правила для L-систем перечислены в алфавитном порядке. Дракон Хартера-Хайтвея (рис. 2.14): axiom = FX newf = F newx = X+YF+ newy = FX Y

35 2.2 L-системы " 35 Рис Цветок после 3-х итераций (Брандон Нельсон) Ковер Серпинского (рис. 2.4): axiom = FXF FF FF newf = FF newx = FXF++FXF++FXF Кривая Гильберта, заполняющая плоскость (рис. 2.24): axiom = X newf = F newx = -YF+XFX+FYnewy = +XF-YFY-FX+ Кривая Госпера, заполняющая плоскость (рис. 2.26): axiom = XF newf = F newx = X+YF++YF-FX FXFX-YF+

36 36 Глава 2 / Классические фракталы newy = -FX+YFYF++YF+FX FX-Y 0 = тг/3 Кривая Пеано, заполняющая плоскость (рис. 2.22, 2.23): axiom = F newf = F-F+F+F+F-F-F-F+F Q = 7г/4 9 = IT/2 Кривая Серпинского, заполняющая плоскость (рис. 2.25): axiom = F+XF+F+XF newf = F newx = XF-F+F-XF+F+XF-F+F-X a = тг/4 0 = тг/2 Куст (рис. 2.16): axiom = F newf = -F+F+[+F-F-]-[-F+F+F] 6> = 7г/8 Мозаика (рис. 2.11): axiom = F-F-F-F newf = F-b+FF-F-FF-Fb-FF+b-FF+F+FF+Fb+FFF newb = bbbbbb Остров (рис. 2.10): axiom = F+F+F+F newf = F+F-F-FFF+F+F-F 6> = 7г/2 Снежинка (рис. 2.17): axiom = [F]+[F]+[F]+[F]+[F]+[F] newf = F[++F][-FF]FF[+F][-F]FF (9 = 7г/3 Снежинка Коха (рис. 2.2): axiom = F++F++F newf = F-F++F-F 0 = 7r/2 Сорняк (рис. 2.15): axiom = F

37 2.2 L-системы 37 Рис Порождающее правило к упр. 2 newf = F[+F]F[-F]F 0 = тг/7 Цветок (рис. 2.18): axiom = F[+F+F][-F-F][++F][ F]F newf = FF[++F][+F][F][-F][ F] a =?r/2 в = 7г/1б Цепочка (рис. 2.12): axiom = F+F+F+F newf = F+b-F-FFF+F+b-F newb = bbb 0 = тг/2 Упражнения а) Чему равно слово на выходе следующей L-системы после двух итераций: axiom = F (слово инициализации) newf =FF-[F]+[F] а = тг/2 (начальное направление) б) Изобразить найденное в предыдущем пункте слово графически.

38 38 Глава 2 / Классические фракталы 2. Написать псевдокод для L-систем (с использованием «newf» и т. п.), реализующих правила на рис Положить axiom = F. 3. Построить L-системы для фракталов из упр. 1, п Отобразить результат работы L-системы в графике. 4. Придумать и реализовать на компьютере три новые L-системы, результатом работы которых были бы ваши собственные варианты следующих фигур: а) снежинка или остров (с границей без разрывов); б) мозаика или острова (с разрывной границей); в) куст или сорняк. 5. (Компьютерный эксперимент.) Исследовать с точки зрения фрактальных свойств один из множества представленных в объектов. Возможные темы: а) растения с перекрестным опылением (соцветия); б) мозаика; в) восточный орнамент; г) фрактальная музыка Пыль Кантора Классическое множество Кантора, или пыль Кантора, названо по имени Георга Кантора, который описал его в 1883 году. Существование пыли Кантора отмечалось до этого Генри Смитом (Henry Smith) в 1875 году или еще ранее. Это множество хорошо известно студентам из курса математического анализа как пример множества нулевой меры Лебега , чья мощность равна мощности континуума . Фрактальные свойства пыли Кантора имеют огромное значение, особенно учитывая тот факт, что многие известные фракталы являются близкими родственниками этого множества. Построение классической пыли Кантора начинается с выбрасывания средней трети (не включая концы) единичного отрезка. То есть исходное множество есть отрезок , и первый шаг состоит в удалении открытого интервала (1/3,2/3). На следующем и всех остальных шагах мы выкидываем среднюю треть (не включая концы) всех отрезков текущего уровня. Таким образом, мы получаем (рис. 2.20) последовательность множеств:

39 2.3 Пыль Кантора 39 Рис Построение пыли Кантора Со = d = U С 2 = U U U Предельное множество С, которое представляет собой пересечение множеств С п, п = 0,1,2,..., называется классической пылью Кантора. В дальнейшем мы будем называть его просто канторовой пылью. Свойства канторовой пыли. 1. Канторова пыль есть самоподобный фрактал размерности d = log(2)/log(3) «0,6309, так как соотношение Nr d = 1 выполняется при N 2 и г = 1/3. 2. Канторова пыль не содержит интервалов положительной длины. Это очевидно из построения. 3. Сумма длин интервалов, удаленных при построении множества С, в точности равна 1. Чтобы показать это, рассмотрим следующее доказательство. Длина первого интервала, который мы выкинули,

40 40 Глава 2 / Классические фракталы составляет 1/3. Чтобы получить Сг, мы выкинули два интервала, каждый длиной 1/3 2. На следующем шаге мы выбросили 2 2 интервалов, каждый длиной 1/3 3, и т. д. Таким образом, сумма длин удаленных интервалов 5 составляет: 5 = 1/3 + 2/ / п ~ 1 /З п +. Но это выражение можно переписать в виде: 5 = (1/3)(1 + 2/3 + (2/3) 2 + (2/3) 3 +), и с помощью формулы для суммы геометрической прогрессии, а именно, 1-х мы получаем: Можно предположить, что если в С что-нибудь и осталось после удаления всех этих интервалов, то, наверное, не очень много. Однако это не так, что подтверждается следующим свойством. 4. Удивительный результат сравнения множества Кантора с интервалом состоит в том, что мощности этих множеств равны. Два множества обладают равной мощностью, если существует взаимно однозначное соответствие между точками этих множеств. В случае конечных множеств данное утверждение тривиально. Для бесконечных множеств, таких как интервал или множество Кантора, понятие мощности требует аккуратного обращения. В качестве простой иллюстрации сказанного достаточно заметить, что отрезки и равной мощности, несмотря на то, что второй интервал в два раза длиннее первого. Взаимно однозначное соответствие в этом случае задается отображением /(х) = 2х, где х . Прежде чем приступить к доказательству основной теоремы о мощности множества Кантора, вспомним, как представить точку х отрезка в системе счисления с основанием N, N > 2. Разобьем отрезок на N равных интервалов, каждый длины 1/N. Пронумеруем эти интервалы следующим образом: 0,1,2,..., N 1. Если оказалось, что точка х принадлежит интервалу с номером 5, то положим xi = 5. Затем разобьем этот интервал на N новых интервалов, каждый длины 1/iV 2. Пронумеруем эти интервалы, как и раньше:

41 2.3 Пыль Кантора 41 0,1,2,...,N 1. Если точка х принадлежит новому интервалу с номером 3, то положим х% = 3. Продолжая таким образом, получим бесконечную последовательность {a: n }^L x, причем каждое значение х п определяет интервал, содержащий х на n-ом шаге процесса разбиения. В результате, число х может быть представлено бесконечной последовательностью: XI Х2_ *3_ N + N 2 + N 3 " и каждое такое представление соответствует некоторой точке отрезка . Кратко его записывают следующим образом: х = 0,2:1X2X3... (по основанию 7V) и называют представлением х в системе счисления с основанием N или в TV-ичной системе. Очевидно, запись числа в десятичной системе счисления, которой мы привыкли пользоваться, является частным случаем данного определения. Обратим внимание на несколько математических аспектов, требующих особого рассмотрения. Во-первых, некоторые числа имеют более одного iv-ичного представления. Это числа вида j/n k, где j и к положительные целые. Для таких чисел можно указать два iv-ичных представления: одно оканчивается всеми нулями, а другое всеми N 1. Например, х = 1/2 в двоичной системе может быть представлено 2 двумя способами: 1/2 = 0, /2 = 0, Любое число вида, отличного от j/n k, записывается в iv-ичной системе счисления единственным образом. Также мы оставили без ответа вопрос, соответствует ли произвольное iv-ичное представление единственному х /. Этих вопросы решаются точно также, как и в случае обычного десятичного представления. 2 Мы сохранили используемое автором обозначение бесконечной периодической дроби.

42 42 Глава 2 / Классические фракталы Теорема Мощность множества Кантора С равна мощности континуума . Доказательство. Нам необходимо установить взаимно однозначное соответствие между точками из С и точками отрезка . Для этого нам потребуется рассмотреть двоичное (по основанию 2), а также троичное (по основанию 3) представления точек отрезка . Для того чтобы избежать двусмысленности в случае, когда точка имеет два двоичных или троичных представления, мы будем всегда выбирать то представление, которое заканчивается всеми единицами в двоичном случае и всеми двойками в троичном. Замечаем, что точка попадает в множество Кантора С тогда и только тогда, когда в ее троичном представлении отсутствуют единицы, то есть когда в нем присутствуют только нули и двойки. Тогда искомое соответствие точек из С с точками отрезка осуществляется заменой всех двоек в троичном представлении х на единицы. Полученное таким образом двоичное представление определяет некоторое вещественное число у. Например, если х С есть: х = 0, (в троичной системе), то полагаем у = 0, (в двоичной системе). Описанная процедура определяет взаимно однозначное соответствие между х 6 С и у . 5. Классическая канторова пыль представляет собой пример компактного, совершенного и вполне разрывного множества. Эти понятия объясняются в главе 3. Более того, можно утверждать, что топологически классическое множество Кантора определяется как компактное, совершенное и вполне разрывное множество. Это означает, что любое компактное, совершенное и вполне разрывное множество можно непрерывно преобразовать в пыль Кантора, причем существует обратное преобразование, с помощью которого можно восстановить исходное множество. Любое такое множество принято называть множеством Кантора. Не следует думать, однако, что все множества Кантора самоподобны. Более того, даже фрактальная размерность различных самоподобных множеств Кантора не обязательно совпадает, как показывает следующий пример.

Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САРАТОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра информационных систем и технологий http://chair36.msiu.ru Н.В. Лукьянова Фракталы Фракталы Определение фрактала Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х

Фракталы Определение Fractus (лат.) - состоящий из фрагментов Фрактал (лат. fractus дробленый) это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба.

ФРАКТАЛЫ Многие природные объекты и явления имеют не гладкий, а изломанный характер. Среди них листья деревьев, береговая линия, молния и др. Для описания этих объектов не подходят обычные дифференцируемые

РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ ПОДСТИЛАЮЩЕЙ ПОВЕРХНОСТИ НА ОСНОВЕ МЕТОДОВ ФРАКТАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ. Основные понятия и определения фрактальной геометрии При исследовании функционирования

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Новосибирск Интуитивно

Класс: 7 класс. Раздел программы: Информационные технологии Тема урока: Компьютерная графика Планируемые результаты: Предметные осуществление логических действий в ходе решения учебных задач; систематизация

Кафедра информационных систем и технологий http://chair36.msiu.ru Н.В. Лукьянова Фракталы Фракталы Комплексные числа Комплексные числа расширение множества вещественных чисел. Любое комплексное число может

Доля П.Г. Харьковский Национальный Университет механико математический факультет 014 г. Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. Алгебра множеств..1 Понятие множества... 1. Операции над множествами...

Научно-практическая конференция НОУ СОШ «Царицынская 1» Фрактальная графика Выполнили: учащиеся 8 класса Руководитель: Шевченко Т.И. г. Волгоград, 2014 Актуальность работы: Последние события в области

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -1- Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 4.0. Постановка задачи Задача нахождения корней нелинейного уравнения вида y=f() часто встречается в научных

Тема. Уравнения с модулем Содержание.. Модуль.. Простейшие уравнения с модулем.. Метод интервалов.. Модуль Абсолютной величиной (модулем) числа называется расстояние на координатной прямой от точки до

6. Основы фрактальной геометрии. 6.1. Понятие о фрактальных объектах. 6.2 Фрактальная размерность. 6.2.1 Размерность подобия. 6.2.2. Размерность Хаусдорфа-Безиковича. 6.2.3. Размерность Минковского. 6.3

Математика, если на нее правильно посмотреть, отражает не только истину, но и несравненную красоту. Бертранд Рассел. Презентация создана учеником 11 «В» класса ГУСЕВЫМ АЛЕКСАНДРОМ Вы, конечно же, слышали

Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Глава 1 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Лекция 1 1 Введение Уравнение называется интегральным, если неизвестная функция входит в уравнение под знаком интеграла Разумеется, мы не будем рассматривать интегральные

Глава 0 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Алгоритмы А- Задание числовых последовательностей А- Арифметическая прогрессия А- Геометрическая прогрессия А- Суммирование А-5 Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Решение нелинейных уравнений Не всегда алгебраические или трансцендентные уравнения могут быть решены точно Понятие точности решения подразумевает:) возможность написания «точной формулы», а точнее говоря

Метод Эйлера Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения () f (6.) может быть приближенно решена численными методами. Для нахождения частного решения уравнения (6.) на отрезке [ a

Математическое моделирование объектов теплоэнергетики Лекция 1 Нелинейные алгебраические и трансцендентные уравнения. Термины и понятия 2 Моделирование это исследование объекта или системы объектов путем

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. Данная статья посвящена вопросам расположения корней квадратного трёхчлена в зависимости от параметра.

Раздел Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных Функция действительного аргумента Действительные числа Целые положительные числа называются натуральными Добавим к натуральным

РАССКАЗ О ФРАКТАЛАХ С.В. Григорьев и Е.Г. Яшина Определение фрактала Строгое определение: Фракталом называется множество, размерность Хаусдорфа- Безиковича (D F) которого строго больше топологической

ЛЕКЦИЯ 5В Топологические пространства 3. Частичный порядок. Наименьшие топологии. Направленности 1. Частичный порядок Напомним Определение. Говорят, что на множестве R задано отношение частичного порядка,

Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 4 Тема 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ Лекция 1 Множества 6 Лекция Числовые множества 14 Лекция 3 Грани числовых множеств 1 Лекция 4 Множество комплексных чисел 7 Тема ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Лекция

ГЛАВА 1. Проективная геометрия 1.1. Проективное пространство Пусть дано (n + 1)-мерное векторное пространство V (6.1, часть I) и непустое множество P произвольной природы. Говорят, что множество P наделено

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра радиофизики Лебедев Б.Б. Нахождение резонансных частот и измерение диаграмм направленности фрактальных антенн Минковского Лабораторный

ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В результате измерения физических величин (время, площадь, объем, масса, скорость и т.д.) определяются их числовые значения. Математика занимается величинами, отвлекаясь

Меры Хаусдорфа Начнем с нескольких наводящих соображений. Напомним (см. лекцию), что внешняя мера Лебега подмножества A R n определяется формулой λ n(a) = inf λ n (P i) : A i P i, P i P, где P класс всех

Об одном семействе нейронов с ограниченной сложностью взаимной перестройки А.П. Соколов Введение Пороговые функции алгебры логики являются математической моделью нейронов. Они представляют интерес благодаря

Растровая, векторная и фрактальная графика Компьютерная графика это специальная область информатики, изучающая методы и способы создания и обработки изображений на экране компьютера с помощью специальных

Разбор задачи «Урок физкультуры» Первое замечание, существенно упрощающее понимание решение данной задачи, состоит в том, что нас интересует только соотношение сил остальных учеников с силой Коли, но не

Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В предыдущих трех

ЛЕКЦИЯ 6А Топологические пространства 2. Направленности 1. Частичный порядок Напомним Определение. Говорят, что на множестве R задано отношение частичного порядка, если для некоторых пар (x, y) элементов

Федеральное агентство по образованию Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ по курсу ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Числовые

Глава 3. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ В основе метода динамического программирования (ДП) лежит идея рассмотрения, наряду с заданной индивидуальной оптимизационной задачей, целого семейства индивидуальных

Глава 8 Функции и графики Переменные и зависимости между ними. Две величины и называются прямо пропорциональными, если их отношение постоянно, т. е. если =, где постоянное число, не меняющееся с изменением

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие....................................... 3 Обозначения....................................... 5 ГЛАВА ПЕРВАЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА И ОТОБРАЖЕНИЯ 1. Топологические пространства.........................

Лекция 10. Фракталы и хаотическая динамика. 1. Понятие фрактального множества. Фрактальная размерность. 2. Геометрия странных аттракторов. 3. Мультифрактальные спектры. 1. Понятие фрактального множества.

Лекция 3 БАЗОВЫЕ АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ. ТИПЫ АЛГОРИТМОВ 1. Базовые алгоритмические структуры. 2. Представление алгоритмических структур с помощью команд. 3. Комбинации базовых команд. 4. Вспомогательные

ББК.4я7т+.4я7.6 М5 Учебник включён в федеральный перечень Мерзляк А.Г. М5 Алгебра: 9 класс: учебник для учащихся общеобразовательных организаций / А.Г. Мерзляк, В.М. Поляков. М. : Вентана-Граф, 07. 368

Глава 3 Теорема Жордана План. Замкнутая кривая, незамкнутая кривая, незамкнутая кривая без самопересечений, замкнутая кривая без самопересечений, теорема Жордана о кривой без самопересечений, лежащей на

Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение базиса Определение Базисом векторного пространства называется упорядоченная

Машина Тьюринга 1 Машина Тьюринга математическое понятие, а не реальная вычислительная машина. MT является математической моделью вычислительного устройства. MT была предложена Аланом Тьюрингом в 1936

Функции нескольких переменных Во многих вопросах геометрии естествознания и пр дисциплин приходится иметь дело с функциями двух трех и более переменных Примеры: Площадь треугольника S a h где a основание

Тема Целая и дробная части числа Занятие 1 (часа) Цель занятия Дидактическая Познакомить учащихся с целой и дробной частью числа Установить их свойства и соотношения между ними Научить строить простейшие

Секция 5. Web-технологии и компьютерный дизайн 267 УДК 004.921 М.С. Исраелян, В.Н. Беловодский Донецкий национальный технический университет, г. Донецк кафедра компьютерных систем мониторинга АНАЛИЗ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Параметры и квадратный трёхчлен. 2 Данная статья посвящена вопросам расположения корней квадратного трёхчлена в зависимости от параметра. Вычисление корней

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных. Зададим некоторое начальное приближение [,b] и линеаризуем функцию f(в окрестности с помощью отрезка ряда Тейлора f(= f(+ f "((-. (5 Вместо уравнения (решим

УДК 51798868 ПРИНЦИП ОБОБЩЁННЫХ СЖИМАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ В ПСЕВДОМЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ А И Перов Воронежский государственный университет При изучении систем уравнений (алгебраических дифференциальных

Ю. С. Ильяшенко Аттракторы и их фрактальная размерность МЦНМО Летняя школа «Современная математика» Дубна, июль 2004 Ю.С.Ильяшенко Аттракторы и их фрактальная размерность Электронное издание Москва, 2016

Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

ЗОЛОТАЯ ПРОПОРЦИЯ, ФРАКТАЛЫ И ХАОС

В СВЯЗИ С НЕКОТОРЫМИ ПРЕДСТАВЛЕНИЯМИ О МИРОЗДАНИИ

Сокольчук К.Ю., Остапович В.В. (Научно-технический центр «Булат НВР», г.Киев, Украина)

Определение. Фракталом будем называть структуру, состоящую из частей, которые в каком-то смысле подобны целому. Сам термин "фрактал" означает "дробный". Когда вы всматриваетесь во фрактальную форму, то видите одну и ту же структуру независимо от степени увеличения. Такое подобие можно увидеть в природе, рассматривая при разном приближении горы, облака, береговые линии и т.п. Его можно встретить, исследуя формы молекул или галактик. Фрактальность стремительно становится одной из самых емких метафор для объяснения и понимания мира.

Однако абсолютно точного определения фрактала не существует. Возможно, когда-нибудь оно будет найдено, но такого может и не случиться ввиду того, что фрактальная геометрия есть геометрия природы. Дефиниция фрактала стоит в одном ряду с дефиницией природы.

Концепция фрактальности мироздания и отдельных его элементов возникла во второйполовине ХХ века в рамках новой научной парадигмы, объединяющей синергетику, кибернетику, информатику и другие теории, имеющие универсальное значение для любых явлений бытия. Фрактальная гипотеза базируется на представлениях теории хаоса и нелинейных динамических систем. В силу этого, а также некоторых других свойств (иерархичность структуры, обратная связь, чувствительность к начальным условиям и т.п.), фрактальные объекты обладают повышенной устойчивостью и приспособляемостью к внешним условиям по сравнению со статическими системами.

Математический алгоритм построения фракталов мироздания. Для математическогомоделирования построения фракталов, как нелинейных динамических систем, общепринято использовать рекуррентные формулы. Объекты, построенные с помощью рекурсии, обладают внутренним самоподобием и устойчивостью к ошибкам (случайным и систематическим). Кроме того, и это представляется важным, рекурсия – необходимое свойство автокреационных (т.е. строящих сами себя) систем. Нами в качестве алгоритма был выбран суммационный ряд Фибоначчи, т.к. в различных объектах природы (прежде всего, «живой») он проявляется слишком часто, что бы это было случайностью.

Результаты моделирования фрактальных объектов Фибоначчи.

Следуя работам проф. А.П.Стахова, обобщим формулу Бине (генерирующую ряд Фибоначчи) на множество всех действительных чисел. Полученную функцию:

F(x) =(φ x -(-φ) -x)/√5 ( 1)

будем называть «программа Фибоначчи». Как и для ряда Фибоначчи, для нее на множестве действительных чисел выполняются соотношения:

F(x+1) = F(x) + F(x-1) (2)

F(x+1)/F(x) → φпри х→ +∞,φ = (1+√5)/2 = 1,6180… (3)

F(x+1)/F(x) → -1/φ при х→ - ∞ (4)

Функция F(x) принадлежитобласти комплексных чисел, только в отдельных точках выходя в область действительных(при х целочисленном). Фазовый портрет программы Фибоначчи (в общем случае) – спираль и затухающая синусоида (рис.1) вдоль оси Х(действительной части комплексного числа).

а)б)

Рис.1. Фазовый портрет обобщенного ряда Фибоначчи на плоскости комплексных чисел (а)и положение спирали программы Фибоначчи в пространстве (б).

Уравнение (2) , как функцию от начальных условий х 0 , х 1 и количества циклов х , представим в виде:

F(x+1, x 0 , x 1) = x 1 *F(x) + x 0 *F(x-1) (5)

Уравнение (5)описывает множество неких дискретных объектов, построенных по программе Фибоначчи, структура которых подобна, а отличие заключается лишь в масштабных (выбор начальных условий х 0 и х 1) и (или) временных (х – количество циклов) параметрах. Т.о., мы имеем дело с программой (обобщение формулы Бине), обеспечивающей рекуррентные соотношения в области комплексных чисел. Следуя представлениям, развитым Б.Мандельбротом, это необходимо и достаточно для образования фрактальных объектов в определенной области (х, х 0 , х 1). Учтем, что подобие иерархических структур, выражаемое через золотое сечение φ , приближается к идеальному с ростом х (количества циклов), и выбор максимально отличных друг от друга начальных условий (на порядки) лишь несущественно увеличивает количество циклов для достижения требуемой точности оценки φ . Тогда весь пространственно-временной континуум можно представить как единый фрактальный объект, отдельные элементы которого являются аттракторами фракталов следующего, более низкого иерархического уровня.

Рассмотрим вопрос внутреннего подобия этой структуры более подробно. Развертка по времени (т.е. х 0 и х 1 – const) обеспечивает подобие соседних иерархических уровней, выражаемое как φ (что очевидно, в соответствии с формулой (3)). Не требует доказательства и то, что для уровней х и х-2 подобие выражается как φ 2 . В общем случае для уровней х и х-n, их отношение равно φ n . В области отрицательных значений циклов х подобие в общем случае имеет вид: 1/(-φ) n . Развертку в пространстве рассмотрим на примере х и х 1 – const, а переменной будет х 0 . При х 0 = 0 или 2 и х 1 = 1 имеем, соответственно, тривиальные ряды Фибоначчи и Люка. Их отношение (что следует просто из формулы Бине) при одинаковом количестве циклов х равно √5 или, что тоже самое: φ + 1/φ. В случае х 0 = 3 (т.е. ряд, следующий после Люка) отношение выражается как φ 2 + 1/φ 3 =2,854… Дальше картина принципиально не изменяется. Подобие при пространственной развертке может быть записано с помощью только двух чисел – 1 и φ, а также элементарных математических операций с ними (+, -, *, :). Вероятно, можно вывести и общую формулу. Таким образом, если «наш мир» построен по программе Фибоначчи, мы должны во всех многочисленных его проявлениях находить каким-то образом «золотое сечение» - φ. В действительности это наблюдается, главным образом, у материальных объектов, которые принято называть «живой» материей. Причина заключается, на наш взгляд, в том, что в большинстве случаев мы рассматриваем развертку объекта в сечении, где переменными являются все три параметра – х, х 0 , х 1 . Например, периодическая система элементов Менделеева. Все элементы образовывались на различных циклах (этапах) развития Вселенной и при различных начальных условиях (условно говоря – температура, масса, энтропия и др. характеристики аттракторов). Искать в их структуре какое-то регулярное подобие, выражаемое численно через φ и 1, дело бессмысленное. Аналогично, массы планет или их радиусы, или радиусы орбит вращения не удается описать через «золотую гармонию», несмотря на многочисленные попытки. С другой стороны, объекты «живой» материи, и человек в том числе, как целостные объекты с фиксированными начальными условиями и возможностью наблюдения их на всех циклах развития несут в морфологическом строении и функционировании гармонию, выражаемую через φ. (Фактические данные мы не приводим, они есть на сайте «Музей золотой гармонии», созданном проф. А.П.Стаховым).

Т.о., структура и топология нашей Вселенной может быть закодирована с помощью только двух чисел – 1 и φ в рамках описания развития, как выполнения программы Фибоначчи. Очевидно, эти числа первичны, поскольку с их помощдвухью записана и выполняется программа. Как появились они, в то время когда Творец еще только «писал» программу построения Вселенной?Представим себе, что программа в виде символов написана, структурирована или упакована (термины могут быть любыми) как автокреационный объект, у которого каждый последующий уровень есть функция двух предыдущих(программа Фибоначчи). Выберем три соседних иерархических уровня. Значение φ просто следует из отношения ближайших уровней. Отношение трех соседних уровней фактически сводится к известному соотношению:φ 2 = φ + 1 или φ 2 – φ = 1. Таким образом, сама запись программы генерирует два первочисла φ и 1. Как показано проф. Стаховым А.П., системы счисления и кодирования информации с использованием φ имеютпреимущества перед другими (десятичная, двоичная и пр.) в части нахождения ошибок, их дифференциации и исправления. Для корректного выполнения программы развития эти свойства представляются исключительно важными.

Взаимодействие объектов программы Фибоначчи и их графика.

Принимая концепцию (или гипотезу) глобального взаимодействия объектов Мироздания, на настоящем этапе исследования в качестве механизмов взаимодействия фракталов мы применяли элементарные алгебраические операции сложения, умножения и т.д. Для отображения получаемых структур использовалась компьютерная 3-D графика. Следует учитывать, что возникающие при взаимодействии фракталов структуры в общем случае n-мерны, поэтому получаемые изображения по сути являются трехмерными сечениями в «плоскости» циклов развития отдельных составляющих.

А) Счетчики циклов развития взаимодействующих объектов совпадают.

Рис.2аРис.2б

Рис.2 Фазовый портрет (2а) и вид в трехмерном пространстве (2б) объекта, полученного из отношения объектов Фибоначчи и Люка (начальные условия 0 и 1 ; 2 и 1, соответственно).Обозначения на рис.2б – оси Х и У – действительная и мнимая часть объекта, ось Z – счетчик циклов (один для Фибоначчи и Люка).

Фазовый портрет объекта (рис.2а) в целом очень похож на известное символьное изображение принципа Мироздания:

Очевидно, неслучайно, в некоторых работах ряды Фибоначчи и Люка рассматривают как мужское и женское начало (Инь и Ян). Не последнее место узор рисунка 2а занимает и в философско-художественных представлениях людей, проживавших на нашей земле.

Б) В случае, когда счетчики циклов взаимодействующих объектов не совпадают, вместо параметрических кривых (рис.1б и 2б) мы получаем трехмерные поверхности как сечения «плоскостью» циклов (времени).

Рис.3. Сложение фракталов Фибоначчи и Люка. Координатные оси в горизонтальной плоскости – действительная и мнимая часть суммы. По вертикали – счетчик циклов (слева – для фрактала Фибоначчи, справа – для Люка).

Рис.4. Произведение фракталов Фибоначчи и Люка. Обозначения - как на рис.3

Представленные на рис.3 и 4 изображения с трудом поддаются интерпретации. Изменение начальных условий или секущей временной плоскости приводит к тем же спирально-вихревым структурам с некоторыми внешними отличиями. В этом направлении необходимы дальнейшие исследования. Гипотетически можно предполагать связь рассматриваемой модели с теорией поливихря Бугаева А.Ф. или торсионными полями Шипова Г.И. В этой связи необходимо учитывать следующее обстоятельство. В рамках теории комплексных переменных можно придумать очень много функций, генерирующих спиральные формы в фазовой плоскости. Такова природа этих чисел. В нашем случае нелинейной динамической модели (программа Фибоначчи) комплексные числа появляются естественным образом в рамках обобщения ряда Фибоначчи и формулы Бине, описывающих некоторые свойства чисел натуральных (1, 2, 3, 4, …). Случай в некотором смысле аналогичный квантово-механической теории в физике. Там при решении волнового уравнения Шредингера с необходимостью получаются функции комплексных переменных. Мнимая составляющая, по мнению некоторых эзотериков (например, Шнейдерман А.Г.), отражает непроявленную в нашем пространстве компоненту мироздания.

Фракталы программы Фибоначчи и Хаос.

Для сложных нелинейных динамических систем в рамках синэргетики важное значение имеет понятие точек бифуркации. Сущность явления заключается в том, что при определенных начальных условиях система из детерминированного состояния после некоторого количества циклов развития теряет устойчивость, разрушается и переходит в состояние хаоса. Существуют такие начальные условия и для нашей модели. Это оказались те самые первочисла –φ и 1 . При таких начальных условиях развитие объекта показано на рис.5.

Рис.5. Бифуркационный переход объекта, построенного по программе Фибоначчи. Y (x ) рассчитывалось по ур. (5) с использованием начальных условий:

х 0 = -φ и х 1 = 1.

Для возможно большего охвата количества циклов (по оси Х) значения состояния объекта (по оси Y ) показаны в логарифмическом масштабе. Можно видеть, что точка перехода в состояние динамического хаоса находится при значениях 39-40 циклов. При анализе формулы (5) и полученных результатов было установлено, что поведение системы не изменяется при пропорциональном изменении начальных условий, т.е. для получения точки бифуркации в общем случае: х 0 = -аφ и х 1 = а (где а – любое действительное число, кроме, естественно, тривиального случая а=0). Это иллюстрирует рис.6, где в деталях показан участок бифуркационного перехода.

Рис.6. Область бифуркационного перехода объектов, построенных по программе Фибоначчи.

В качестве критерия состояния объекта использовали модуль, вычисляемый стандартно, как для ряда Фибоначчи (формула (3)). Начальные условия кратны использованным на рис.5, а между собой отличаются в 10 15 (красный цвет – а = 10 7 , синий – а = 10 -8). Можно видеть, что до 36-го цикла объекты развиваются детерминировано, модуль в обоих случаях равен 1/φ (0,61830….). Далее процесс разрушения лавинообразно нарастает и после 39-40 циклов наступает состояние динамического хаоса. Объекты как бы расщепляются и развиваются одновременно в нескольких состояниях (модули – 2, 1, 1/φ, 0). Положение точки бифуркации (39-40 циклов) имеет вероятно фундаментальный смысл в связи с эзотерическими знаниями. Отметим исключительную устойчивость точки бифуркации, т.к. изменение начальных условий на 15 порядков не сместило ее даже на один цикл. Результаты расчетов, представленные на рис.5 и 6, относятся к случаю а > 0. Если а < 0 (например, х 0 = 1 и х 1 = -1/φ), то картина становится зеркальной и точка бифуркации смещается к отрицательным значениям циклов -39-40. Возможно, этот случай представляет модель обратного перехода: «динамический хаос → детерминированная структура».В заключение на рис.7 показан видбифуркационного перехода в динамический хаос с помощью 3-D графики для стороннего «далеко отстоящего» наблюдателя.

Рис.7. Переход «детерминированная структура – динамический хаос» для объекта, строящегося по программе Фибоначчи,

В рамках эзотерических представлений его можно назвать «крестовый разворот». Особенно наглядным это получается при изображении изменений фазового портрета объекта в динамике при использовании возможностей анимации программ Matcad или Matlab .

Заключение.

1. Предложено понятие «программа Фибоначчи», как обобщение формулы Бине на область всех действительных чисел.
2. Использование программы Фибоначчи позволяет с помощью рекуррентной формулы моделировать нелинейные динамические системы – спиралевидные фрактальные объекты на множестве комплексных чисел, несущие в своем строении «золотое сечение».
3. Гипотетический математический алгоритм Мироздания - программа Фибоначчи позволяет объяснить некоторую часть эзотерических представлений.
4. Существуют определенные начальные условия, при которых объект, созданный по программе Фибоначчи, через 39-40 циклов разрушается и переходит в состояние динамического хаоса.
5. Человека можно представить целостным фрактальным объектом Мироздания, который находится в непрерывном циклическом развитии в рамках перехода „материальный мир (Ян) – духовное или информационное состояние (Инь)”.