Как решать уравнения способом подстановки. Решение систем уравнений. Простые и сложные методы решения систем уравнений
2. Метод алгебраического сложения.
3. Метод введения нового переменного (метод замены переменной).
Определение:
Системой уравнений называются несколько уравнений от одной или нескольких переменных, которые должны выполняться одновременно, т.е. при одинаковых значениях переменных для всех уравнений. Уравнения в системе объединяются знаком системы – фигурной скобкой.
Пример 1:
— система двух уравнений с двумя переменными x
и y
.
Решением системы являются корни . При подстановке этих значений уравнения превращаются в верные тождества:
Решение систем линейных уравнений.
Самым распространенным методом решения системы является метод подстановки.
Метод подстановки.
Метод подстановки для решения систем уравнений заключается в том, чтобы из одного уравнения системы выразить какую-либо переменную через другие, и подставить это выражение в остальные уравнения системы вместо выраженной переменной.
Пример 2:
Решить систему уравнений:
Решение:
Дана система уравнений и ее требуется решить методом подстановки.
Выразим переменную y
из второго уравнения системы.
Замечание:
«Выразить переменную» означает преобразовать равенство так, чтобы эта переменная осталась слева от знака равенства с коэффициентом 1, а все остальные слагаемые перешли в правую часть равенства.
Второе уравнение системы:
Оставим слева только y
:
И подставим (вот оттуда то и идет название метода) в первое уравнение вместо у
выражение, которому оно равно, т.е. .
Первое уравнение:
Подставим :
Решим это банальное квадратное уравнение. Для тех, кто забыл, как это делается, есть статья Решение квадратных уравнений. .
Итак, значения переменной x
найдены.
Подставим эти значения в выражение для переменной y
. Здесь получилось два значения x
, т.е. для каждого из них следует находить значение y
.
1) Пусть
Подставляем в выражение .
2) Пусть
Подставляем в выражение .
Все можно составлять ответ:
Замечание:
Ответ в этом случае следует записывать попарно, чтоб не перепутать, какое значение переменной y соответствует какому значению переменной x.
Ответ:
Замечание:
В примере 1 как решение системы указана только одна пара, т.е. эта пара является решением системы, но не полным. Потому, как решить уравнение или систему значит указать решение и показать, что других решений нет. А тут еще одна пара.
Оформим решение этой системы по-школьному:
Замечание: Знак «» значит «равносильно», т.е. следующая система или выражение равносильно предыдущей.
Разберем два вида решения систем уравнения:
1. Решение системы методом подстановки.
2. Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы.
Для того чтобы решить систему уравнений методом подстановки
нужно следовать простому алгоритму:
1. Выражаем. Из любого уравнения выражаем одну переменную.
2. Подставляем. Подставляем в другое уравнение вместо выраженной переменной, полученное значение.
3. Решаем полученное уравнение с одной переменной. Находим решение системы.
Чтобы решить систему методом почленного сложения (вычитания)
нужно:
1.Выбрать переменную у которой будем делать одинаковые коэффициенты.
2.Складываем или вычитаем уравнения, в итоге получаем уравнение с одной переменной.
3. Решаем полученное линейное уравнение . Находим решение системы.
Решением системы являются точки пересечения графиков функции.
Рассмотрим подробно на примерах решение систем.
Пример №1:
Решим методом подстановки
Решение системы уравнений методом подстановки2x+5y=1 (1 уравнение)
x-10y=3 (2 уравнение)
1. Выражаем
Видно что во втором уравнении имеется переменная x с коэффициентом 1,отсюда получается что легче всего выразить переменную x из второго уравнения.
x=3+10y
2.После того как выразили подставляем в первое уравнение 3+10y вместо переменной x.
2(3+10y)+5y=1
3.Решаем полученное уравнение с одной переменной.
2(3+10y)+5y=1 (раскрываем скобки)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
Решением системы уравнения является точки пересечений графиков, следовательно нам нужно найти x и у, потому что точка пересечения состоит их x и y.Найдем x, в первом пункте где мы выражали туда подставляем y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
Точки принято записывать на первом месте пишем переменную x, а на втором переменную y.
Ответ: (1; -0,2)
Пример №2:
Решим методом почленного сложения (вычитания).
Решение системы уравнений методом сложения3x-2y=1 (1 уравнение)
2x-3y=-10 (2 уравнение)
1.Выбираем переменную, допустим, выбираем x. В первом уравнении у переменной x коэффициент 3, во втором 2. Нужно сделать коэффициенты одинаковыми, для этого мы имеем право домножить уравнения или поделить на любое число. Первое уравнение домножаем на 2, а второе на 3 и получим общий коэффициент 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2.Из первого уравнения вычтем второе, чтобы избавиться от переменной x.Решаем линейное уравнение.
__6x-4y=2
5y=32 | :5
y=6,4
3.Находим x. Подставляем в любое из уравнений найденный y, допустим в первое уравнение.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6
Точкой пересечения будет x=4,6; y=6,4
Ответ: (4,6; 6,4)
Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно . Без шуток.
В данном случае удобно из второго уравнения системы выразить x через y и подставить полученное выражение вместо x в первое уравнение:
Первое уравнение — уравнение с одной переменной y. Решаем его:
5(7-3y)-2y = -16
Полученное значение y подставляем в выражение для x:
Ответ: (-2; 3).
В данной системе проще из первого уравнения выразить y через x и подставить полученное выражение вместо y во второе уравнение:
Второе уравнение — уравнение с одной переменной x. Решим его:
3x-4(-1,5-3,5x)=23
В выражение для y вместо x подставляем x=1 и находим y:
Ответ: (1; -5).
Здесь удобнее из второго уравнения выразить y через x (поскольку делить на 10 проще, чем на 4, -9 или 3):
Решаем первое уравнение:
4x-9(1,6-0,3x)= -1
4x-14,4+2,7x= -1
Подставляем x=2 и находим y:
Ответ: (2; 1).
Прежде чем применить метод подстановки, эту систему следует упростить. Обе части первого уравнения можно умножить на наименьший общий знаменатель, во втором уравнении раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
Получили систему линейных уравнений с двумя переменными. Теперь применим подстановку. Удобно из второго уравнения выразить a через b:
Решаем первое уравнение системы:
3(21,5 + 2,5b) — 7b = 63
Осталось найти значение a:
Согласно правилам оформления, ответ записываем в круглых скобках через точку с запятой в алфавитном порядке.
Ответ: (14; -3).
Выражая одну переменную через другую, иногда удобнее оставлять её с некоторым коэффициентом.
Обычно уравнения системы записывают в столбик одно под другим и объединяют фигурной скобкой
Система уравнений такого вида, где a, b, c - числа, а x, y - переменные, называется системой линейных уравнений .
При решении системы уравнений используют свойства, справедливые для решения уравнений .
Решение системы линейных уравнений способом подстановки
Рассмотрим пример
1) Выразить в одном из уравнений переменную. Например, выразим y в первом уравнении, получим систему:
2) Подставляем во второе уравнение системы вместо y выражение 3х-7 :
3) Решаем полученное второе уравнение:
4) Полученное решение подставляем в первое уравнение системы:
Система уравнений имеет единственное решение: пару чисел x=1, y=-4 . Ответ: (1; -4) , записывается в скобках, на первой позиции значение x , на второй - y .
Решение системы линейных уравнений способом сложения
Решим систему уравнений из предыдущего примера методом сложения.
1) Преобразовать систему таким образом, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными . Умножим первое уравнение системы на "3".
2) Складываем почленно уравнения системы. Второе уравнение системы (любое) переписываем без изменений.
3) Полученное решение подставляем в первое уравнение системы:
Решение системы линейных уравнений графическим способом
Графическое решение системы уравнений с двумя переменными сводится к отыскиванию координат общих точек графиков уравнений.
Графиком линейной функции является прямая. Две прямые на плоскости могут пересекаться в одной точке, быть параллельными или совпадать. Соответственно система уравнений может: а) иметь единственное решение; б) не иметь решений; в) иметь бесконечное множество решений.
2) Решением системы уравнений является точка (если уравнения являются линейными) пересечения графиков.
Графическое решение системы
Метод введения новых переменных
Замена переменных может привести к решению более простой системы уравнений, чем исходная.
Рассмотрим решение системы
Введем замену , тогда
Переходим к первоначальным переменным
Особые случаи
Не решая системы линейных уравнений, можно определить число ее решений по коэффициентам при соответствующих переменных.
Системой линейных уравнений с двумя неизвестными - это два или несколько линейных уравнений, для которых необходимо найти все их общие решения. Мы будем рассматривать системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Общий вид системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными представлен на рисунке ниже:
{ a1*x + b1*y = c1,
{ a2*x + b2*y = c2
Здесь х и у неизвестные переменные, a1,a2,b1,b2,с1,с2 - некоторые вещественные числа. Решением системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными называют пару чисел (x,y) такую, что если подставить эти числа в уравнения системы, то каждое из уравнений системы обращается в верное равенство. Рассмотри один из способов решения системы линейных уравнений, а именно способ подстановки.
Алгоритм решения способом подстановки
Алгоритм решения системы линейных уравнений способом подстановки:
1. Выбрать одно уравнение (лучше выбирать то, где числа меньше) и выразить из него одну переменную через другую, например, x через y. (можно и y через x).
2. Полученное выражение подставить вместо соответствующей переменной в другое уравнение. Таким образом, у нас получится линейное уравнение с одной неизвестной.
3. Решаем полученное линейное уравнение и получаем решение.
4. Подставляем полученное решение в выражение, полученное в первом пункте, получаем вторую неизвестную из решения.
5. Выполнить проверку полученного решения.
Пример
Для того, чтобы было более понятно, решим небольшой пример.
Пример 1. Решить систему уравнений:
{x+2*y =12
{2*x-3*y=-18
Решение:
1. Из первого уравнения данной системы выражаем переменную х. Имеем x= (12 -2*y);
2. Подставляем это выражение во второе уравнение, получаем 2*x-3*y=-18; 2*(12 -2*y) - 3*y = -18; 24 - 4y - 3*y = -18;
3. Решаем полученное линейное равнение: 24 - 4y - 3*y =-18; 24-7*y =-18; -7*y = -42; y=6;
4. Подставляем полученный результат в выражение, полученное в первом пункте. x= (12 -2*y); x=12-2*6 = 0; x=0;
5. Проверяем полученное решение, для этого подставляем найденные числа в исходную систему.
{x+2*y =12;
{2*x-3*y=-18;
{0+2*6 =12;
{2*0-3*6=-18;
{12 =12;
{-18=-18;
Получили верные равенства, следовательно, мы правильно нашли решение.