Как по другому называют число пи. Чему равно число ПИ и что оно означает? Краткая история вычислений π

Введение

В статье присутствуют математические формулы, поэтому для чтения перейдите на сайт для их корректного отображения. Число \(\pi \) имеет богатую историю. Данная константа обозначает отношение длины окружности к ее диаметру.

В науке число \(\pi \) используют в любых расчетах, где есть окружности. Начиная от объема банки газировки, до орбит спутников. И не только окружности. Ведь в изучении кривых линий число \(\pi \) помогает понять периодические и колебательные системы. Например, электромагнитные волны и даже музыку.

В 1706 году в книге «Новое введение в математику» британского ученого Уильяма Джонса (1675-1749 гг.) для обозначения числа 3,141592… впервые была использована буква греческого алфавита \(\pi \). Это обозначение происходит от начальной буквы греческих слов περιϕερεια – окружность, периферия и περιµετρoς – периметр. Общепринятым обозначение стало после работ Леонарда Эйлера в 1737 году.

Геометрический период

Постоянство отношения длины любой окружности к её диаметру было замечено уже давно. Жители Междуречья применяли довольно грубое приближение числа \(\pi \). Как следует из древних задач, в своих расчетах они используют значение \(\pi ≈ 3 \).

Более точное значение для \(\pi \) использовали древние египтяне. В Лондоне и Нью-Йорке хранятся две части древнеегипетского папируса, который называют «папирус Ринда». Папирус был составлен писцом Армесом примерно между 2000-1700 гг. до н.э.. Армес в своем папирусе написал, что площадь круга с радиусом \(r\) равна площади квадрата со стороной, равной \(\frac{8}{9} \) от диаметра окружности \(\frac{8}{9} \cdot 2r \), то есть \(\frac{256}{81} \cdot r^2 = \pi r^2 \). Отсюда \(\pi = 3,16\).

Древнегреческий математик Архимед (287-212 гг. до н.э.) впервые поставил задачу измерения круга на научную почву. Он получил оценку \(3\frac{10}{71} < \pi < 3\frac{1}{7}\), рассмотрев отношение периметров вписанного и описанного 96-угольника к диаметру окружности. Архимед выразил приближение числа \(\pi \) в виде дроби \(\frac{22}{7}\), которое до сих называется архимедовым числом.

Метод достаточно простой, но при отсутствии готовых таблиц тригонометрических функций потребуется извлечение корней. Кроме этого, приближение сходится к \(\pi \) очень медленно: с каждой итерацией погрешность уменьшается лишь вчетверо.

Аналитический период

Несмотря на это, до середины 17 века все попытки европейских учёных вычислить число \(\pi \) сводились к увеличению сторон многоугольника. Так например, голландский математик Лудольф ван Цейлен (1540-1610 гг.) вычислил приближенное значение числа \(\pi \) с точностью до 20-ти десятичных цифр.

На вычисление ему понадобилось 10 лет. Удваивая по методу Архимеда число сторон вписанных и описанных многоугольников, он дошел до \(60 \cdot 2^{29} \) – угольника с целью вычисления \(\pi \) с 20 десятичными знаками.

После смерти в его рукописях были обнаружены ещё 15 точных цифр числа \(\pi \). Лудольф завещал, чтобы найденные им знаки были высечены на его надгробном камне. В честь него число \(\pi \) иногда называли «лудольфовым числом» или «константой Лудольфа».

Одним из первых, кто представил метод, отличный от метода Архимеда, был Франсуа Виет (1540-1603 гг.). Он пришел к результату , что круг, диаметр которого равен единице, имеет площадь:

\[\frac{1}{2 \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}} } \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2} \cdots }}}} \]

С другой стороны, площадь равна \(\frac{\pi}{4} \). Подставив и упростив выражение, можно получить следующую формулу бесконечного произведения для вычисления приближенного значения \(\frac{\pi}{2} \):

\[\frac{\pi}{2} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2+ \sqrt{2 + \sqrt{2}}}} \cdots \]

Полученная формула представляет собой первое точное аналитическое выражение для числа \(\pi \). Кроме этой формулы, Виет, используя метод Архимеда, дал с помощью вписанных и описанных многоугольников, начиная с 6-угольника и заканчивая многоугольником с \(2^{16} \cdot 6 \) сторонами приближение числа \(\pi \) с 9 правильными знаками.

Английский математик Уильям Броункер (1620-1684 гг.), используя цепную дробь , получил следующие результаты вычисления \(\frac{\pi}{4}\):

\[\frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1^2}{2 + \frac{3^2}{2 + \frac{5^2}{2 + \frac{7^2}{2 + \frac{9^2}{2 + \frac{11^2}{2 + \cdots }}}}}} \]

Данный метод вычисления приближения числа \(\frac{4}{\pi} \) требует довольно больших вычислений, чтобы получить хотя бы небольшое приближение.

Получаемые в результате подстановки значения то больше, то меньше числа \(\pi \), и каждый раз все ближе к истинному значению, но для получения значения 3,141592 потребуется совершить довольно большие вычисления.

Другой английский математик Джон Мэчин (1686-1751 гг.) в 1706 году для вычисления числа \(\pi \) со 100 десятичными знаками воспользовался формулой, выведенной Лейбницем в 1673 году, и применил её следующим образом:

\[\frac{\pi}{4} = 4 arctg\frac{1}{5} – arctg\frac{1}{239} \]

Ряд быстро сходится и с его помощью можно вычислить число \(\pi \) с большой точностью. Формулы подобного типа использовались для установки нескольких рекордов в эпоху компьютеров.

В XVII в. с началом периода математики переменной величины наступил новый этап в вычислении \(\pi \). Немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716 гг.) в 1673 году нашел разложение числа \(\pi \), в общем виде его можно записать следующим бесконечным рядом:

\[ \pi = 1 – 4(\frac{1}{3} + \frac{1}{5} – \frac{1}{7} + \frac{1}{9} – \frac{1}{11} + \cdots) \]

Ряд получается при подстановке x = 1 в \(arctg x = x – \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} – \frac{x^7}{7} + \frac{x^9}{9} – \cdots\)

Леонард Эйлер развивает идею Лейбница в своих работах, посвященных использованию рядов для arctg x при вычислении числа \(\pi \). В трактате «De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi» (О различных методах выражения квадратуры круга приближенными числами), написанном в 1738 году, рассматриваются методы усовершенствования вычислений по формуле Лейбница.

Эйлер пишет о том, что ряд для арктангенса будет сходиться быстрее, если аргумент будет стремиться к нулю. Для \(x = 1\) сходимость ряда очень медленная: для вычисления с точностью до 100 цифр необходимо сложить \(10^{50}\) членов ряда. Ускорить вычисления можно, уменьшив значение аргумента. Если принять \(x = \frac{\sqrt{3}}{3}\), то получается ряд

\[ \frac{\pi}{6} = artctg\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}(1 – \frac{1}{3 \cdot 3} + \frac{1}{5 \cdot 3^2} – \frac{1}{7 \cdot 3^3} + \cdots) \]

По утверждению Эйлера, если мы возьмем 210 членов этого ряда, то получим 100 верных знаков числа. Полученный ряд неудобен, потому что необходимо знать достаточно точное значение иррационального числа \(\sqrt{3} \). Также Эйлер в своих вычислениях использовал разложения арктангенсов на сумму арктангенсов меньших аргументов :

\[где x = n + \frac{n^2-1}{m-n}, y = m + p, z = m + \frac{m^2+1}{p} \]

Далеко не все формулы для вычисления \(\pi \), которые использовал Эйлер в своих записных книжках, были опубликованы. В опубликованных работах и записных книжках он рассмотрел 3 различных ряда для вычисления арктангенса, а также привел множество утверждений, касающихся количества суммируемых членов, необходимых для получения приближенного значения \(\pi \) c заданной точностью.

В последующие годы уточнения значения числа \(\pi \) происходили все быстрее и быстрее. Так, например, в 1794 году Георг Вега (1754-1802 гг.) определил уже 140 знаков , из который только 136 оказались верными.

Период компьютерных вычислений

XX век ознаменован совершенно новым этапом в вычислении числа \(\pi \). Индийский математик Сриниваса Рамануджан (1887-1920 гг.) обнаружил множество новых формул для \(\pi \). В 1910 году он получил формулу для вычисления \(\pi \) через разложение арктангенса в ряд Тейлора:

\[\pi = \frac{9801}{2\sqrt{2} \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{(1103+26390k) \cdot (4k)!}{(4\cdot99)^{4k} (k!)^2}} .\]

При k=100 достигается точность в 600 верных цифр числа \(\pi \).

Появление ЭВМ позволило существенно увеличить точность получаемых значений за более короткие сроки. В 1949 году всего за 70 часов с помощью ENIAC группа ученых под руководством Джона фон Неймана (1903-1957 гг.) получила 2037 знаков после запятой числа \(\pi \) . Давид и Грегорий Чудновские в 1987 году получили формулу, с помощью которой смогли установить несколько рекордов в вычислении \(\pi \):

\[\frac{1}{\pi} = \frac{1}{426880\sqrt{10005}} \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^3(-640320)^{3k}}.\]

Каждый член ряда дает по 14 цифр. В 1989 году было получено 1 011 196 691 цифр после запятой. Данная формула хорошо подходит для вычисления \(\pi \) на персональных компьютерах. На данный момент братья являются профессорами в политехническом институте Нью-Йоркского университета.

Важным событием недавнего времени стало открытие формулы в 1997 году Саймоном Плаффом . Она позволяет извлечь любую шестнадцатеричную цифру числа \(\pi \) без вычисления предыдущих. Формула носит название «Формула Бэйли – Боруэйна – Плаффа» в честь авторов статьи, где формула была впервые опубликована. Она имеет следующий вид:

\[\pi = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{16^k} (\frac{4}{8k+1} – \frac{2}{8k+4} – \frac{1}{8k+5} – \frac{1}{8k+6}) .\]

В 2006 году Саймон, используя PSLQ, получил несколько красивых формул для вычисления \(\pi \). Например,

\[ \frac{\pi}{24} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} (\frac{3}{q^n – 1} – \frac{4}{q^{2n} -1} + \frac{1}{q^{4n} -1}), \]

\[ \frac{\pi^3}{180} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} (\frac{4}{q^{2n} – 1} – \frac{5}{q^{2n} -1} + \frac{1}{q^{4n} -1}), \]

где \(q = e^{\pi}\). В 2009 году японские ученые, используя суперкомпьютер T2K Tsukuba System, получили число \(\pi \) c 2 576 980 377 524 десятичными знаками после запятой. Вычисления заняли 73 часа 36 минут. Компьютер был оснащен 640-ка четырех ядерными процессорами AMD Opteron, что обеспечило производительность в 95 триллионов операций в секунду.

Следующее достижение в вычислении \(\pi \) принадлежит французскому программисту Фабрису Беллару , который в конце 2009 года на своем персональном компьютере под управлением Fedora 10 установил рекорд, вычислив 2 699 999 990 000 знаков после запятой числа \(\pi \). За последние 14 лет это первый мировой рекорд, который поставлен без использования суперкомпьютера. Для высокой производительности Фабрис использовал формулу братьев Чудновских. В общей сложности вычисление заняло 131 день (103 дня расчеты и 13 дней проверка результата). Достижение Беллара показало, что для таких вычислений не обязательно иметь суперкомпьютер.

Всего через полгода рекорд Франсуа был побит инженерами Александром Йи и Сингеру Кондо. Для установления рекорда в 5 триллионов знаков после запятой числа \(\pi \) был также использован персональный компьютер, но уже с более внушительными характеристиками: два процессора Intel Xeon X5680 по 3,33 ГГц, 96 ГБ оперативной памяти, 38 ТБ дисковой памяти и операционная система Windows Server 2008 R2 Enterprise x64. Для вычислений Александр и Сингеру использовали формулу братьев Чудновских. Процесс вычисления занял 90 дней и 22 ТБ дискового пространства. В 2011 году они установили еще один рекорд , вычислив 10 триллионов десятичных знаков числа \(\pi \). Вычисления происходили на том же компьютере, на котором был поставлен их предыдущий рекорд и занял в общей сложности 371 день. В конце 2013 года Александр и Сингеру улучшили рекорд до 12,1 триллиона цифр числа \(\pi \), вычисление которых заняло у них всего 94 дня. Такое улучшение в производительности достигнуто благодаря оптимизации производительности программного обеспечения, увеличения количества ядер процессора и значительного улучшения отказоустойчивости ПО.

Текущим рекордом является рекорд Александра Йи и Сингеру Кондо, который составляет 12,1 триллиона цифр после запятой числа \(\pi \).

Таким образом, мы рассмотрели методы вычисления числа \(\pi \), используемые в древние времена, аналитические методы, а также рассмотрели современные методы и рекорды по вычислению числа \(\pi \) на компьютерах.

Список источников

1. Жуков А.В. Вездесущее число Пи – М.:Изд-во ЛКИ, 2007 – 216 с.
2. Ф.Рудио. О квадратуре круга, с приложением истории вопроса, составленной Ф.Рудио. / Рудио Ф. – М.: ОНТИ НКТП СССР, 1936. – 235c.
3. Arndt, J. Pi Unleashed / J. Arndt, C. Haenel. – Springer, 2001. – 270p.
4. Шухман, Е.В. Приближенное вычисление числа Пи с помощью ряда для arctg x в опубликованных и неопубликованных работах Леонарда Эйлера / Е.В. Шухман. – История науки и техники, 2008 – №4. – С. 2-17.
5. Euler, L. De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi/ Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. 1744 – Vol.9 – 222-236p.
6. Шумихин, С. Число Пи. История длиною в 4000 лет / С. Шумихин, А. Шумихина. – М.: Эксмо, 2011. – 192с.
7. Борвейн, Дж.М. Рамануджан и число Пи. / Борвейн, Дж.М., Борвейн П.Б. В мире науки. 1988 – №4. – С. 58-66.
8. Alex Yee. Number world. Access mode: numberworld.org

Понравилось?

Расскажи

Число Пи - одно из самых популярных математических понятий. О нем пишут картины, снимают фильмы, его играют на музыкальных инструментах, ему посвящают стихи и праздники, его ищут и находят в священных текстах.

Кто открыл π?

Кто и когда впервые открыл число π, до сих пор остается загадкой. Известно, что строители древнего Вавилона уже вовсю пользовались им при проектировании. На клинописных табличках, которым тысячи лет, сохранились даже задачи, которые предлагали решить с помощью π. Правда, тогда считалось, что π равно трем. Об этом свидетельствует табличка, найденная в городе Сузы, в двухстах километрах от Вавилона, где число π указывалось как 3 1/8 .

В процессе вычислений π вавилонцы обнаружили, что радиус окружности в качестве хорды входит в нее шесть раз, и поделили круг на 360 градусов. А заодно сделали то же самое с орбитой солнца. Таким образом, они решили считать, что в году 360 дней.

В Древнем Египте π было равно 3,16.
В древней Индии – 3,088.
В Италии на рубеже эпох считали, что π равно 3,125.

В Античности самое раннее упоминание π относится к знаменитой задаче о квадратуре круга, то есть о невозможности при помощи циркуля и линейки построить квадрат, площадь которого равна площади определенной окружности. Архимед приравнивал π к дроби 22/7 .

Ближе всего к точному значению π подошли в Китае. Его вычислил в V веке н. э. знаменитый китайский астроном Цзу Чунь Чжи. Вычислялось π довольно просто. Надо было дважды написать нечетные числа: 11 33 55, а потом, разделив их пополам, поместить первое в знаменатель дроби, а второе – в числитель: 355/113 . Результат совпадает с современными вычислениями π вплоть до седьмого знака.

Почему π – π?

Сейчас даже школьники знают, что число π - математическая константа, равная отношению длины окружности к длине её диаметра и равняется π 3,1415926535 … и далее после запятой – до бесконечности.

Свое обозначение π число обрело сложным путем: сначала этой греческой буквой в 1647 году математик Оутрейд обозвал длину окружности. Он взял первую букву греческого слова περιφέρεια - «переферия». В 1706 году английский преподаватель Уильям Джонс в работе «Обозрение достижений математики» уже называл буквой π отношение длины окружности к ее диаметру. А закрепил название математик XVIII века Леонард Эйлер, перед авторитетом которого остальные склонили головы. Так π стало π.

Уникальность числа

Пи - поистине уникальное число.

1. Ученые считают, что количество знаков в числе π бесконечно. Их последовательность не повторяется. Более того, найти повторения не удастся никому и никогда. Так как число бесконечно, оно может заключать в себе абсолютно все, даже симфонию Рахманинова, Ветхий Завет, ваш номер телефона и год, в котором наступит Апокалипсис.

2. π связано с теорией хаоса. К такому выводу пришли ученые после создания вычислительной программы Бэйли, которая показала, что последовательность чисел в π абсолютно случайна, что соответствует теории.

3. Вычислить число до конца практически невозможно – это заняло бы слишком много времени.

4. π – иррациональное число, то есть его значение нельзя выразить дробью.

5. π – трансцедентное число. Его нельзя получить, произведя какие-либо алгебраические действия над целыми числами.

6. Тридцать девять знаков после запятой в числе π достаточно для того, что вычислить длину окружности, опоясывающей известные космические объекты во Вселенной, с погрешностью в радиус атома водорода.

7. Число π связано с понятием «золотого сечения». В процессе измерений Великой пирамиды в Гизе археологи выяснили, что ее высота относится к длине ее основания, так же как радиус окружности - к ее длине.

Рекорды, связанные с π

В 2010 году сотрудник компании «Yahoo» математик Николас Чже смог вычислить в числе π два квадрильона знаков после запятой (2x10). На это ушло 23 дня, и математику понадобилось множество помощников, которые работали на тысячах компьютеров, объединенных по технологии рассеянных вычислений. Метод позволил произвести расчеты с такой феноменальной скоростью. Чтобы вычислить то же самое на одном компьютере, потребовалось бы больше 500 лет.

Для того, чтобы просто записать все это на бумаге, потребуется бумажная лента больше двух миллиардов километров длиной. Если развернуть такую запись, ее конец выйдет за пределы Солнечной системы.

Китаец Лю Чао установил рекорд по запоминанию последовательности цифр числа π. В течение 24 часов 4 минут Лю Чао назвал 67 890 знаков после запятой, не допустив ни одной ошибки.

У π много поклонников. Его воспроизводят на музыкальных инструментах, и оказывается, что «звучит» оно превосходно. Его запоминают и придумывают для этого различные приемы. Его ради забавы скачивают себе на компьютер и хвастаются друг перед другом, кто больше скачал. Ему ставят памятники. Например, такой памятник есть в Сиэтле. Он находится на ступенях перед зданием Музея искусств.

π используют в украшениях и в интерьере. Ему посвящают стихи, его ищут в святых книгах и на раскопках. Есть даже «Клуб π».
В лучших традициях π, числу посвящен не один, а целых два дня в году! В первый раз День π празднуют 14 марта. Поздравлять друг друга надо ровно в 1час, 59 минут, 26 секунд. Таким образом, дата и время соответствуют первым знакам числа- 3,1415926.

Во второй раз праздник π отмечают 22 июля. Этот день связывают с так называемым «приближенным π», который Архимед записывал дробью.
Обычно в этот день π студенты, школьники и ученые устраивают забавные флэш-мобы и акции. Математики, забавляясь, с помощью π вычисляют законы падающего бутерброда и дарят друг другу шуточные награды.
И между прочим, π в самом деле можно найти в святых книгах. Например, в Библии. И там число π равно… трем.

Чему равно число Пи мы знаем и помним со школы. Оно равно 3.1415926 и так далее… Обычному человеку достаточно знать, что это число получается, если разделить длину окружности на ее диаметр. Но многим известно, что число Пи возникает в неожиданных областях не только математики и геометрии, но и в физике. Ну а если вникнуть в подробности природы этого числа, то можно заметить много удивительного среди бесконечного ряда цифр. Возможно ли, что Пи скрывает самые сокровенные тайны Вселенной?

Бесконечное число

Само число Пи возникает в нашем мире как длина окружности, диаметр которой равен единице. Но, несмотря на то, что отрезок равный Пи вполне себе конечен, число Пи начинается, как 3.1415926 и уходит в бесконечность рядами цифр, которые никогда не повторяются. Первый удивительный факт состоит в том, что это число, используемое в геометрии, нельзя выразить в виде дроби из целых чисел. Иначе говоря, вы не сможете его записать отношением двух чисел a/b. Кроме этого число Пи трансцендентное. Это означает, что нет такого уравнения (многочлена) с целыми коэффициентами, решением которого было бы число Пи.

То, что число Пи трансцендентно, доказал в 1882 году немецкий математик фон Линдеман. Именно это доказательство стало ответом на вопрос, можно ли с помощью циркуля и линейки нарисовать квадрат, у которого площадь равна площади заданного круга. Эта задача известна как поиск квадратуры круга, волновавший человечество с древнейших времен. Казалось, что эта задача имеет простое решение и вот-вот будет раскрыта. Но именно непостижимое свойство числа Пи показало, что у задачи квадратуры круга решения не существует.

В течение как минимум четырех с половиной тысячелетий человечество пыталось получить все более точное значение числа Пи. Например, В Библии в Третьей Книги Царств (7:23) число Пи принимается равным 3.

Замечательное по точности значение Пи можно обнаружить в пирамидах Гизы: соотношение периметра и высоты пирамид составляет 22/7. Эта дробь дает приближенное значение Пи, равное 3.142… Если, конечно, египтяне не задали такое соотношение случайно. Это же значение уже применительно к расчету числа Пи получил в III веке до нашей эры великий Архимед.

В папирусе Ахмеса, древнеегипетском учебнике по математике, который датируется 1650 годом до нашей эры, число Пи рассчитано как 3.160493827.

В древнеиндийских текстах примерно IX века до нашей эры наиболее точное значение было выражено числом 339/108, которое равнялось 3,1388…

После Архимеда почти две тысячи лет люди пытались найти способы рассчитать число Пи. Среди них были как известные, так и неизвестные математики. Например, римский архитектор Марк Витрувий Поллион, египетский астроном Клавдий Птолемей, китайский математик Лю Хуэй, индийский мудрец Ариабхата, средневековый математик Леонардо Пизанский, известный как Фибоначчи, арабский ученый Аль-Хорезми, от чьего имени появилось слово «алгоритм». Все они и множество других людей искали наиболее точные методики расчета Пи, но вплоть до 15 века никогда не получали больше чем 10 цифр после запятой в связи со сложностью расчетов.

Наконец, в 1400 году индийский математик Мадхава из Сангамаграма рассчитал Пи с точностью до 13 знаков (хотя в двух последних все-таки ошибся).

Количество знаков

В 17 веке Лейбниц и Ньютон открыли анализ бесконечно малых величин, который позволил вычислять Пи более прогрессивно – через степенные ряды и интегралы. Сам Ньютон вычислил 16 знаков после запятой, но не упомянул это в своих книгах – об этом стало известно после его смерти. Ньютон утверждал, что занимался расчетом Пи исключительно от скуки.

Примерно в то же время подтянулись и другие менее известные математики, предложившие новые формулы расчета числа Пи через тригонометрические функции.

Например, вот по какой формуле рассчитывал Пи преподаватель астрономии Джон Мэчин в 1706 году: PI / 4 = 4arctg(1/5) – arctg(1/239). С помощью методов анализа Мэчин вывел из этой формулы число Пи с сотней знаков после запятой.

Кстати, в том же 1706 году число Пи получило официальное обозначение в виде греческой буквы: его в своем труде по математике использовал Уильям Джонс, взяв первую букву греческого слова «периферия», что означает «окружность». Родившийся в 1707 великий Леонард Эйлер популяризовал это обозначение, нынче известное любому школьнику.

До эры компьютеров математики занимались тем, чтобы рассчитать как можно больше знаков. В связи с этим порой возникали курьезы. Математик-любитель У. Шенкс в 1875 году рассчитал 707 знаков числа Пи. Эти семь сотен знаков увековечили на стене Дворца Открытий в Париже в 1937 году. Однако спустя девять лет наблюдательными математиками было обнаружено, что правильно вычислены лишь первые 527 знаков. Музею пришлось понести приличные расходы, чтобы исправить ошибку – сейчас все цифры верные.

Когда появились компьютеры, количество цифр числа Пи стало исчисляться совершенно невообразимыми порядками.

Один из первых электронных компьютеров ENIAC, созданный в 1946 году, имевший огромные размеры, и выделявший столько тепла, что помещение прогревалось до 50 градусов по Цельсию, вычислил первые 2037 знаков числа Пи. Этот расчет занял у машины 70 часов.

По мере совершенствования компьютеров наше знание числа Пи все дальше и дальше уходило в бесконечность. В 1958 году было рассчитано 10 тысяч знаков числа. В 1987 году японцы высчитали 10 013 395 знаков. В 2011 японский исследователь Сигеру Хондо превысил рубеж в 10 триллионов знаков.

Где еще можно встретить Пи?

Итак, зачастую наши знания о числе Пи остаются на школьном уровне, и мы точно знаем, что это число незаменимо в первую очередь в геометрии.

Помимо формул длины и площади окружности число Пи используется в формулах эллипсов, сфер, конусов, цилиндров, эллипсоидов и так далее: где-то формулы простые и легко запоминающиеся, а где-то содержат очень сложные интегралы.

Затем мы можем встретить число Пи в математических формулах, там, где, на первый взгляд геометрии и не видно. Например, неопределенный интеграл от 1/(1-x^2) равен Пи.

Пи часто используется в анализе рядов. Для примера приведем простой ряд, который сходится к числу Пи:

1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 — …. = PI/4

Среди рядов число Пи наиболее неожиданно появляется в известной дзета-функции Римана. Рассказать про нее в двух словах не получится, скажем лишь, что когда-нибудь число Пи поможет найти формулу расчета простых чисел.

И совершенно удивительно: Пи появляется в двух самых красивых «королевских» формулах математики – формуле Стирлинга (которая помогает найти приблизительное значение факториала и гамма-функции) и формуле Эйлера (которая связывает аж целых пять математических констант).

Однако самое неожиданное открытие ожидало математиков в теории вероятности. Там тоже присутствует число Пи.

Например, вероятность того, что два числа окажутся взаимно простыми, равна 6/PI^2.

Пи появляется в задаче Бюффона о бросании иглы, сформулированной в 18 веке: какова вероятность того, что брошенная на расчерченный лист бумаги игла пересечет одну из линий. Если длина иглы L, а расстояние между линиями L, и r > L то мы можем приблизительно рассчитать значение числа Пи по формуле вероятности 2L/rPI. Только представьте – мы можем получить Пи из случайных событий. И между прочим Пи присутствует в нормальном распределении вероятностей, появляется в уравнении знаменитой кривой Гаусса. Значит ли это, что число Пи еще более фундаментально, чем просто отношение длины окружности к диаметру?

Мы можем встретить Пи и в физике. Пи появляется в законе Кулона, который описывает силу взаимодействия между двумя зарядами, в третьем законе Кеплера, который показывает период обращения планеты вокруг Солнца, встречается даже в расположении электронных орбиталей атома водорода. И что опять же самое невероятное – число Пи прячется в формуле принципа неопределенности Гейзенберга – фундаментального закона квантовой физики.

Тайны числа Пи

В романе Карла Сагана «Контакт», по которому снят одноименный фильм, инопланетяне сообщают героине, что среди знаков Пи содержится тайное послание от Бога. С некоторой позиции цифры в числе перестают быть случайными и представляют себе код, в котором записаны все секреты Мироздания.

Этот роман на самом деле отразил загадку, занимающую умы математиков всей планеты: является ли число Пи нормальным числом, в котором цифры разбросаны с одинаковой частотой, или с этим числом что-то не так. И хотя ученые склоняются к первому варианту (но не могут доказать), число Пи выглядит очень загадочно. Один японец как то подсчитал, сколько раз встречаются числа от 0 до 9 в первом триллионе знаков Пи. И увидел, что числа 2, 4 и 8 встречаются чаще, чем остальные. Это может быть одним из намеков на то, что Пи не совсем нормальное, и цифры в нем действительно не случайны.

Вспомним всё, что мы прочли выше, и спросим себя, какое еще иррациональное и трансцендентное число так часто встречается в реальном мире?

А в запасе имеются еще странности. Например, сумма первых двадцати цифр Пи равна 20, а сумма первых 144 цифр равна «числу зверя» 666.

Главный герой американского сериала «Подозреваемый» профессор Финч рассказывал студентам, что в силу бесконечности числа Пи в нем могут встретиться любые комбинации цифр, начиная от цифр даты вашего рождения до более сложных чисел. Например, на 762-ой позиции находится последовательность из шести девяток. Эта позиция называется точкой Фейнмана в честь известного физика, который заметил это интересное сочетание.

Нам известно также, что число Пи содержит последовательность 0123456789, но находится она на 17 387 594 880-й цифре.

Все это означает, что в бесконечности числа Пи можно обнаружить не только интересные сочетания цифр, но и закодированный текст «Войны и Мира», Библии и даже Главную Тайну Мироздания, если таковая существует.

Кстати, о Библии. Известный популяризатор математики Мартин Гарднер в 1966 году заявил, что миллионным знаком числа Пи (на тот момент еще неизвестным) будет число 5. Свои расчеты он объяснил тем, что в англоязычной версии Библии, в 3-й книге, 14-й главе, 16-м стихе (3-14-16) седьмое слово содержит пять букв. Миллионную цифру получили спустя восемь лет. Это было число пять.

Стоит ли после этого утверждать, что число Пи случайно?

Для вычисления сколько-нибудь большого количества знаков пи предыдущий способ уже не годится. Но существует большое количество последовательностей, сходящихся к Пи гораздо быстрее. Воспользуемся, например, формулой Гаусса:

Доказательство этой формулы несложное, поэтому мы его опустим.

Исходник программы, включающий в себя "длинную арифметику"

Программа вычисляет NbDigits первых цифр числа Пи. Функция вычисления arctan названа arccot, так как arctan(1/p) = arccot(p), но расчет происходит по формуле Тейлора именно для арктангенса, а именно arctan(x) = x - x 3 /3 + x 5 /5 - ... x=1/p, значит arccot(x) = 1/p - 1 / p 3 / 3 + ... Вычисления происходят рекурсивно: предыдущий элемент суммы делится и дает следующий.