Теоремы сложения и умножения вероятностей: основные задачи. Действия над событиями Событие 2 действие

Если условие истинное, то выполняется действие1, иначе - действие 2.

Пример. Пусть в ячейке Е2 хранится информация о баллах, набранных абитуриентом. Если колличество баллов меньше 10, то он принят в ВУЗ, иначе - нет. Формула будет выглядеть т.о.:

ЕСЛИ (Е2>10; "принят"; "не принят").

Условная функция может быть вложенной. Пусть в том же ВУЗе существует правило: если абитуриент набрал 9 баллов, то он условно зачислен.

ЕСЛИ(Е2>=10;"принят";ЕСЛИ(Е2=9;"принят условно";"не принят"))

Логика – наука о законах и формах мышления

Логика - наука, изучающая способы обоснования суждений, доказательства, мышления и логического вывода. В

математической логике используются для этого методы алгебры или теории алгоритмов.

Алгебра логики (булева алгебра) - раздел математики, изучающий методы оперирования логическими (булевыми)

переменными, принимающими только два значения - истина и ложь.

Алгебра логики - раздел математической логики, в котором изучаются логические операции над высказываниями.

Высказывания могут быть истинными, ложными или содержащими истину и ложь в разных соотношениях.

Математическая логика (теоретическая логика, символическая логика) - раздел математики, изучающий

доказательства и вопросы оснований математики.

Логическое высказывание - утверждение, которому всегда можно поставить в соответствие одно из двух логических

значений ложь (0, ложно, false) или истина (1, истинно, true). Логическое высказывание принято обозначать

заглавными латинскими буквами. Высказывательной формой называется логическое высказывание, в котором один

из объектов заменён переменной. При подстановке вместо переменной какого-либо значения высказывательная форма

превращается в высказывание.

Пример: A(x) = «В городе x идет дождь» A - высказывательная форма, x - объект.

Отрицание логического высказывания - логическое высказывание, принимающее значение «истинно», если исходное

высказывание ложно, и наоборот.

Конъюнкция двух логических высказываний - логическое высказывание, истинное только тогда, когда они

одновременно истинны.

Дизъюнкция двух логических высказываний - логическое высказывание, истинное только тогда, когда хотя бы одно из

них истинно.

Импликация двух логических высказываний A и B - логическое высказывание, ложное только тогда, когда B ложно, а

A истинно.

Равносильность (эквивалентность) двух логических высказываний - логическое высказывание, истинное только тогда,

когда они одновременно истинны или ложны.

Кванторное логическое высказывание с квантором всеобщности () - логическое высказывание, истинное

только тогда, когда для каждого объекта x из заданной совокупности высказывание A(x) истинно.

Кванторное логическое высказывание с квантором существования () - логическое высказывание, истинное

только тогда, когда в заданной совокупности существует объект x, такой, что высказывание A(x) истинно.

Высказывание (суждение) – некоторое предложение, которое может быть истинно (верно) или ложно

Утверждение – суждение, которое требуется доказать или опровергнуть

Рассуждение – цепочка высказываний или утверждений, определенным образом связанных друг с другом

http://profbeckman.narod.ru/EVMУмозаключение – логическая операция, в результате которой из одного или нескольких данных суждений получается

(выводится) новое суждение

Логическое выражение – запись или устное утверждение, в которое, наряду с постоянными, обязательно входят

переменные величины (объекты). В зависимости от значений этих переменных логическое выражение может

принимать одно из двух возможных значений: ИСТИНА (логическая 1) или ЛОЖЬ (логический 0)

Сложное логическое выражение – логическое выражение, составленное из одного или нескольких простых (или

сложных) логических выражений, связанных с помощью логических операций.

Слово логика означает совокупность правил, которым подчиняется процесс мышления. Сам термин

«логика» происходит от древнегреческого logos, означающего «слово, мысль, понятие, рассуждение, закон».

Формальная логика - наука о формах и законах мышления. Законы логики отражают в сознании человека

свойства, связи и отношения объектов окружающего мира. Логика как наука позволяет строить формальные

модели окружающего мира, отвлекаясь от содержательной стороны. Основными формами мышления

являются понятия, суждения и умозаключения.

Понятие - форма мышления, которая выделяет существенные признаки предмета или класса предметов,

отличающие его от других. Например, компьютер, человек, ученики.

Суждения - это форма мышления, в которой утверждается или отрицается связь между предметом и его

признаком, отношения между предметами или факт существования предмета и которая может быть либо

истинной, либо ложной. Языковой формой выражения суждения является повествовательное предложение.

Вопросительные и побудительные предложения суждениями не являются. Суждения рассматриваются не с

точки зрения их смысла и содержания, а только с точки зрения их истинности или ложности. Истинным

будет суждение, в котором связь понятий правильно отражает свойства и отношения реальных объектов.

«Дважды два равно четырём» - истинное суждение, а вот «Процессор предназначен для печати» - ложное.

Суждения могут быть простыми и сложными. «Весна наступила, и грачи прилетели» - сложное суждение,

состоящее из двух простых. Простые суждения (высказывания) выражают связь двух понятий. Сложные -

состоят из нескольких простых суждений.

Умозаключение - приём мышления, позволяющий на основе одного или нескольких суждений-посылок

получить новое суждение (знание или вывод). Примерами умозаключений являются доказательства теорем в

геометрии. Посылками умозаключения по правилам формальной логики могут быть только истинные

суждения. Тогда и умозаключение будет истинным. Иначе можно прийти к ложному умозаключению.

Исследования в алгебре логики тесно связаны с изучением высказывания (хотя высказывание –

предмет изучения формальной логики). С помощью высказывания мы устанавливаем свойства, взаимосвязи

между объектами. Высказывание истинно, если оно адекватно отображает эту связь, в противном случае оно

Математическая логика изучает вопросы применения математических методов для решения

логических задач и построения логических схем, которые лежат в основе работы любого компьютера.

Суждения в математической логике называют высказываниями или логическими выражениями. Подобно

тому, как для описания действий над переменными был разработан раздел математики алгебр а, так и для

обработки логических выражений в математической логике была создана алгебра высказываний, или алгебра

Таким образом, алгебра логики - раздел математической логики, в котором изучаются логические

операции над высказываниями. Высказывания могут быть истинными и ложными.

Логика высказываний послужила основным математическим инструментом при создании

компьютеров. Она легко преобразуется в битовую логику: истинность высказывания обозначается одним

битом (0 - ЛОЖЬ, 1 - ИСТИНА); тогда операция приобретает смысл вычитания из единицы; ∨ -

немодульного сложения; & (или ∧) - умножения; ↔ - равенства; ⊕ - в буквальном смысле сложения по

модулю 2 (исключающее Или - XOR);  - непревосходства суммы над 1 (то есть AB = (A + B) <= 1).

Впоследствии булева алгебра была обобщена от логики высказываний путём введения характерных

для логики высказываний аксиом. Это позволило рассматривать, например, логику кубитов, тройственную

логику (когда есть три варианта истинности высказывания: «истина», «ложь» и «не определено») и др.

Таблицы истинности

Логические операции удобно описывать так называемыми таблицами истинности , в которых отражают результаты вычислений сложных высказываний при различных значениях исходных простых высказываний. Простые высказывания обозначаются переменными (например, A и B).

2 вопрос: В процессе обучения учащийся должен запомнить определенное количество важных сведений. Если он этого не сделает, то процесс познания или решения задачи замедлится, поэтому для облегчения процесса запоминания важно научить школьников пользоваться мнемоническими правилами.

Мнемоника - искусство запоминания - помогает нам выучить громоздкие формулы или правила, переводя их на язык смешных ассоциаций, созвучных фраз или стихов. Мнемонических правил много.

Цвета спектра по порядку (красный, оранжевый, желтый, зелёный, голубой, синий, фиолетовый):

1) Каждый Охотник Желает Знать, Где Сидит Фазан;
2) Как Однажды Жак-Звонарь Городской Сломал Фонарь;
3) Чому Олені Живуть Зимою Без Своїх Фантазій?
4) Чарівна Осінь - Життя Знову Б"є Сивий Фарфор

Запоминание порядка планет (от Солнца и к Солнцу): Плутон, Нептун, Уран, Сатурн, Юпитер, Марс, Земля, Венера, Меркурий

1) Планеты Нетрудно Упомнить Самому Юному Малышу, Зная Венеру, Меркурий;
2) Между Волками Зайчишка Метался, Юркнул, Споткнулся, Упал - Не Поднялся;
3) Можно Вылететь За Марс Ювелирно Свернув У Нашей Планеты;
4) Медвежонок Ветчину Закусил Малиной, Юркий Суслик Утащил Ножик Перочинный;
5) Маючи Великі Здібності Маленький Юрко Співав Українські Народні Пісні

Для запоминания спектральных классов звезд:

1) "О h, B e a F ine G irl, K iss M e";
2) Один Бритый Англичанин Финики Жевал Как Морковь.

Фазы Луны:

Чтобы отличить первую четверть от последней, наблюдатель, находящийся в северном полушарии, может использовать следующее мнемоническое правило. Если месяц похож на букву «С», то он Стареющий - это последняя четверть. Если он повёрнут в обратную сторону и тогда, мысленно приставив к нему палочку, можно получить букву «Р», то месяц «Растущий», то есть это первая четверть.

Физические формулы

1) Формула массы: Массу тела мы найдем, умножив плотность на объем;
2) Средняя скорость теплового движения частицы запоминается так: Три КоТа на Мясо;
3) Формула архимедовой силы: РоЖа - Во!
4) Закон электролиза: М асса КИТ а

Приставки:

Жили ТРИ барана: Милли, Микро, Нано.

Здесь ключевое слово - три. Показатели степени этих приставок отличаются друг от друга как раз на три (10 -3 ,10 -6 ,10 -9).

Для запоминания катодных и анодных процессов в электрохимии существует следующее мнемоническое правило:

На аноде анионы окисляются.
На катоде катионы восстанавливаются.

В первой строке все слова начинаются с гласной буквы, во второй - с согласной.

Римские цифры:

Для закрепления в памяти буквенных обозначений цифр в порядке убывания существует мнемоническое правило:

М ы D арим С очные L имоны, Х ватит V сем I х.

Соответственно M (1000), D (500), C (100), L (50), X (10), V (5), I (1)

Введение в использование типов данных и свойств полей

Показать все

Эта статья содержит обзор типов данных и свойств полей и включает справочный раздел с подробными сведениями о типах данных. В этой статье также приведено краткое описание полей подстановок. Поля подстановок, одновременно допускающие несколько значений, в этой статье не обсуждаются. Ссылки на дополнительные сведения о полях подстановок, одновременно допускающих несколько значений, см. в разделе См. также .

В этой статье

· Общие сведения

· Справочные сведения о типах данных

Общие сведения

У каждого поля таблицы есть свойства. Эти свойства определяют характеристики полей и особенности работы с ними. Наиболее важным свойством поля является тип данных. Тип данных поля определяет, какого рода данные можно в нем хранить. Например, в поле с типом данных "Текстовый" можно хранить данные, содержащие текстовые и числовые символы, а в поле с типом данных "Числовой" можно хранить только числовые данные.

Тип данных поля определяет много других важных характеристик поля. Например:

· Использование поля в выражениях.

· Максимальный размер значения поля.

· Возможность индексирования поля.

· Допустимые форматы данных поля.

При создании нового поля в режиме конструктора указывается тип данных поля и (необязательно) его другие свойства.

Таблица "Контакты" в режиме конструктора

Тип данных

Свойства поля

При создании поля в режиме таблицы тип поля задается автоматически. Если поле создается в режиме таблицы с помощью шаблона поля или с использованием существующего поля из другой таблицы, тип данных уже определен в шаблоне или в другой таблице. Если поле создается методом ввода данных в режиме таблицы, тип данных назначается полю приложением Microsoft Office Access на основе вводимых значений. Если вводятся значения, тип данных которых отличается от типа данных поля, пользователю может быть предложено выбрать тип данных.

В режиме таблицы можно изменить тип данных поля и его свойства Формат поля , Индексированное поле и Обязательное поле .

Таблица "Контакты" в режиме таблицы

Создание поля посредством ввода данных в пустой столбец.

Коррекция типа данных поля и других свойств с помощью вкладки Режим таблицы на ленте.

Типы данных

Тип данных поля можно представлять себе как набор характеристик, которые относятся ко всем значениям, содержащимся в поле, и которые определяют, какого рода могут быть эти значения. Например, значения, которые хранятся в поле с типом данных "Текстовый", могут состоять только из букв, цифр и ограниченного набора знаков пунктуации. Кроме того, в таком поле может содержаться не более 255 символов.

В приложении Access предусмотрено 10 различных типов данных:

· Вложение. Файлы, например с цифровыми фотографиями. В одну запись можно вложить несколько типов данных. Этого типа данных не было в более ранних версиях Access.

· Счетчик. Числа, автоматически формируемые для каждой записи.

· Денежный. Значения денежных сумм.

· Дата/время. Значения даты и времени.

· Поле МЕМО. Крупные текстовые фрагменты, а также форматированный текст. Например, для подробного описания продукта обычно используется поле МЕМО.

· Числовой. Числовые значения, например расстояния. Обратите внимание, что для денежных значений предусмотрен отдельный тип данных.

· Поле объекта OLE. Объекты OLE, например документы Word.

· Текстовый. Короткие буквенно-цифровые значения, например фамилии или почтовые адреса.

· Логический. Логические значения.

СОВЕТ. Иногда кажется, что у данных в поле один тип данных, в то время как на самом деле у поля другой тип данных. Например, может показаться, что поле содержит численные значения, но на самом деле в нем записаны текстовые значения, например номера комнат. Для сравнения или преобразования значений с различными типами данных часто применяются выражения.

Поля подстановок

В качестве типа данных поля можно задать Мастер подстановок . При этом запускается мастер подстановок, с помощью которого создается поле подстановок. В поле подстановок отображается либо список значений, получаемый из таблицы или запроса, либо постоянный набор значений, задаваемый пользователем при создании поля.

В мастере подстановок можно либо ввести постоянный список значений, либо указать источник, из которого требуется получать значения, например поле в таблице. Типом данных поля подстановок может быть "Текстовый" или "Числовой", в зависимости от выбора пользователя в мастере подстановок.

ПРИМЕЧАНИЕ. Для полей подстановок предусмотрен дополнительный набор свойств поля, расположенный на вкладке Подстановка в области Свойства поля .

Дополнительные сведения о полях подстановок см. в разделе См. также .

Свойства поля

После того как создано поле и указан его тип данных, можно задать дополнительные свойства поля. Тип данных поля определяет, какие могут быть заданы другие свойства поля. Например, можно управлять размером текстового поля, задавая его свойство Размер поля .

Для числовых и денежных полей свойство Размер поля играет важную роль, поскольку оно определяет диапазон значений поля. Например, однобайтовые числовые поля могут содержать только целые числа в диапазоне от 0 до 255.

Свойство Размер поля определяет также размер места на диске, которое требуется для каждого значения числового поля. В зависимости от размера поля число может занимать в точности 1, 2, 4, 8, 12 или 16 байтов.

ПРИМЕЧАНИЕ. У текстовых полей и полей МЕМО размер значений поля может быть различным. Для этих типов данных свойство Размер поля задает максимальное место на диске, которое может быть использовано для одного значения.

Дополнительную информацию о свойствах полей и роли, которую они выполняют для различных типов данных, см. в разделе Справочные сведения о типах данных этой статьи.

Похожая информация.

Над событиями можно производить различные действия, получая при этом другие события. Дадим определения этих действий.

Определение 2.13.

Если при всяком испытании, при котором происходит событие А , происходит и событие В , то событие А называется частным случаем события В.

Говорят также, что А влечет за собой В, и пишут: (А вложено в В ) или (рис. 2.1).

Например, пусть событие А состоит в появлении двух очков при бросании игральной кости, а событие В состоит в появлении четного числа очков при бросании игральной кости В = {2; 4; 6}. Тогда событии А есть частный случай события В , так как два - четное число. Можем записать .

Рис . 2.1 . Событие А - частный случай события В

Определение 2.14.

Если А влечет за собой В , а В влечет за собой А , то эти события равносильны , так как они вместе наступают или вместе не наступают.

Из того, что и (следует) А = В .

Например, А - событие, состоящее в том, что на игральной кости выпала четная цифра меньше трех. Это событие равносильно событию В , состоящему в том, что на игральной кости выпала цифра 2.

Определение 2.15.

Событие, состоящее в совместном наступлении обоих событий и А , и В , называется пересечением этих событий А∩В , или произведением этих событий АВ (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Пересечение событий

Например, пусть событие А состоит в выпадении четного числа очков при бросании игральной кости, тогда его наступлению благоприятствуют элементарные события, состоящие в выпадении 2-х, 4-х и 6-ти очков. А - {2; 4; 6}. Событие В состоит в выпадении числа очков больше трех при бросании игральной кости, тогда его наступлению благоприятствуют элементарные события, состоящие в выпадении 4-х, 5-ти и 6-ти очков. В = {4; 5; 6}. Тогда пересечением или произведением событий А и В будет событие, состоящее в выпадении четного числа очков, большего трёх (выполняется и событие А, и событие В):

А∩В =АВ= {4; 6}.

Пересечением событий, одно из которых А - выпадение дамы из колоды карт, а другое В - выпадение трефы, будет трефовая дама.

Примечание. Если два события А и В несовместны, то их совместное наступление невозможно АВ = 0.

Определение 2.16.

Событие, состоящее в наступлении или события А , или события В (хотя бы одного из событий, по крайней мере одного из этих событий), называется их объединением А и В , или суммой событий А и В и обозначается через А+В (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Объединение событий

Например, событие А состоит в выпадении четного числа очков при бросании игральной кости, тогда его наступлению благоприятствуют элементарные события, состоящие в выпадении 2-х, 4-х и 6-ти очков, или А - {2; 4; 6}. Событие В состоит в выпадении числа очков больше трех при бросании игральной кости, тогда его наступлению благоприятствуют элементарные события, состоящие в выпадении 4-х, 5-ти и 6-ти очков, или В = (4; 5; 6}. Тогда объединением, или суммой событий А и В будет событие, состоящее в выпадении хотя бы одного из них - либо четного числа очков, либо числа очков большего трёх (выполняется или событие А, или событие В):

А ∩ В =А +В= {2; 4; 5; 6}.

Определение 2.17.

Событие, состоящее в том, что событие А не происходит, называется противоположным событию А и обозначается через Ā (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Противоположные события

Определение 2.18.

Событие (А и В) , состоящее в том, что А происходит, а не происходит, называется разностью событий А и В и обозначается через А-В . Впрочем, можно обойтись без этого обозначения, так как из определения следует, что А - В - (рис. 2.5).

Рис. 2.5. Разность событий А и В

Например, пусть событие А состоит в выпадении четного числа очков при бросании игральной кости, тогда А = {2; 4; 6}. Событие В состоит в выпадении числа очков больше трех. В = {4; 5; 6}.

Тогда - событие, состоящее в выпадении числа очков не больше трех, и его наступлению благоприятствуют элементарные события, состоящие в выпадении 1-го, 2-х и 3-х очков. = {1; 2; 3}.

Разностью событий А и В будет событие, состоящее в том, что выполняется событие А и не выполняется событие В. Его наступлению благоприятствует элементарное событие, состоящее в выпадении 2-х очков:

А-В= А∩ = {2}.

Определения суммы и произведения событий распространяются и на большее число событий:

А + В + ... + N = (А или В, или... или N ) (2.1)

есть событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А, В, ... N ;

АВ... N = (А и В и... и N ), (2.2)

есть событие, состоящее в совместном наступлении всех событий А, В, ... N.

Аналогично определяются сумма и произведение бесконечного числа событий А 1 , А 2 , ... А п, ...

Отметим, что все же некоторые правила алгебры сохраняются и для действий над событиями. Например, имеет место перёместительный закон (коммуникативность):

А + В = В + А, АВ=ВА, (2.3)

выполняется распределительный закон (дистрибутивность):

(А +В ) С = АС + ВС, (2.4)

так как левая и правая части представляют событие, состоящее в том, что происходят событие С и по крайней мере одно из событий А и В. Справедлив также сочетательный закон (ассоциативность):

А+(В + С) = (А+В)+ С = А+В + С;

А(ВС) = (АВ)С = АВС. (2.5)

Кроме того, имеют место и такие равенства, которые в обычной алгебре показались бы нелепыми. Например, для любых А, В, С:

АА=А (2.6)

А+А = А (2.7)

А+АВ = А (2.8)

АВ + С = (А+С)(В+С) (2.9)

Противоположные события связаны:

· законом двойного отрицания:

= А; (2.10)

· законом исключенного третьего

А + = Ω. (сумма их есть достоверное событие); (2.11)

· законом противоречия:

А = Ø(произведение их невозможное событие). (2.12)

Равенства (2.6)-(2.12) доказываются для высказываний в курсе дискретной математики. Предлагаем читателю проверить это самостоятельно, используя определения суммы и произведения событий.

Если В = А 1 + А 2 +... +А п и события А попарно несовместимы, т.е. каждое несовместимо с остальными: А j А k = Ø при i≠k говорят, что событие В подразделяется на частные случаи А 1 , А 2 , ..., А п. Например, событие В, состоящее в выпадении нечетного числа очков, подразделяется на частные случаи Е 1 , Е 3 , Е 5 , состоящие соответственно в выпадении 1, 3 и 5 очков.

Исходя из определения действий над событиями, мы можем дать более четкое определение полной группе событий.

Определение 2.19.

Если А 1 + А 2 +... +А п = Ω , т.е. если хотя бы одно из событий А 1 + А 2 +... +А п непременно должно осуществиться и если при этом А j попарно несовместимы (т.е. достоверное событие Ω подразделяется на частные случаи А 1 + А 2 +... +А п ), то говорят, что события А 1 + А 2 +... +А п образуют полную группу событий. Таким образом, если А 1 + А 2 +... +А п - полная группа событий, то при каждом испытании обязательно происходит одно и только одно из событий А 1 + А 2 +... +А п .

Например, при бросании игральной кости полную группу событий составляют также события Е 1 , Е 2 , Е 3 , Е 4 , Е 5 и Е 6 , состоящие соответственно в выпадении 1, 2, 3,4, 5 и 6 очков.

Введем понятие случайного события. Поскольку в дальнейшем будем рассматривать только случайные события, то, начиная с этого момента, будем называть, как правило, просто событиями.

Любой набор элементарных исходов , или, иными словами, произвольное подмножество пространства элементарных исходов , называют событием .

Элементарные исходы, которые являются элементами рассматриваемого подмножества (события), называют элементарными исходами, благоприятствующими данному событию , или образующими это событие .

События будем обозначать прописными латинскими буквами, снабжая их при необходимости индексами, например: А , В 1 ,С 3 и т.д.

Говорят, что событие А произошло (или наступило), если в результате опыта появился какой-либо из элементарных исходов.

Замечание 1. Для удобства изложения материала термин «событие» как подмножество пространства элементарных событий Ω отождествляется с термином «событие произошло в результате опыта», или «событие заключается в появлении каких-то элементарных исходов».

Так в примере 2, где
, событиемА является подмножество
. Но мы будем также говорить, что событиеА – это появление любого из элементарных исходов

Пример 1.5. В примере 2 было показано, что при однократном бросании игральной кости

где - элементарный исход, заключающийся в выпаденииi очков. Рассмотрим следующие события: А – выпадение четного числа очков; В - выпадение нечетного числа очков; С – выпадение числа очков, кратного трем. Очевидно, что

,
,

Событие, состоящее из всех элементарных исходов, т.е. событие, которое обязательно происходит в данном опыте, называют достоверным событием.

Достоверное событие обозначают буквой Ω .

Событие , противоположное достоверному событию Ω, называетсяневозможным . Очевидно, невозможное событие не может появиться в результате опыта. Например, выпадение более шести очков при бросании игральной кости. Невозможное событие будем обозначать черезØ.

Невозможное событие не содержит в своем составе ни одного элементарного события. Ему соответствует так называемое «пустое множество», не содержащее ни одной точки.

Геометрически случайные события изображаются множествами точек области Ω, т.е. областями, лежащими внутри Ω (рис. 1.1). Достоверному событию соответствует вся область Ω.

В теории вероятностей над событиями производят различные операции, совокупность которых образует так называемую алгебру событий , тесно связанную с алгеброй логики, широко используемой в современных вычислительных машинах.

Рис. 1.1 Рис. 1.2

Для рассмотрения задач алгебры событий введем основные определения.

Два события называются равносильными (эквивалентными) , если они состоят из одних и тех же элементарных событий. Эквивалентность событий обозначается знаком равенства:

А =В .

Событие В называется следствием события А :

А В ,

Если из появления А следует появление В . Очевидно, если А В и В А , то А =В , если А В и В С , то А С (рис. 1.2).

Суммой или объединением двух событий А и В называется такое событие С , которое состоит или в осуществлении события А , или события В , или событий А и В вместе. Условно записывают так:

С =А +В или С =А
В .

Суммой любого числа событий А 1 ,А 2 , … , А n называется событие С , которое состоит в осуществлении хотя бы одного из этих событий и записывается в виде

или

Произведением или совмещением (пересечением) двух событий А и В называется событие С , которое состоит и в осуществлении события А , и события В . Условно записывают так:

С =АВ или С =А В .

Аналогично определяется произведение любого числа событий. Событие С , эквивалентное произведению n событий А 1 ,А 2 , … , А n записывается в виде

или
.

Сумма и произведение событий обладают следующими свойствами.

А +В =В +А .

(А +В )+С =А +(В +С )=А +В +С .

АВ =ВА .

(АВ )С =А (ВС )=АВС .

А (В +С )=АВ +АС .

Большинство из них легко проверить самостоятельно. Рекомендуем пользоваться при этом геометрической моделью.

Приведем доказательство 5-го свойства.

Событие А (В +С ) состоит из элементарных событий, которые принадлежат и А и В +С , т.е. событию А и хотя бы одному из событий В ,С . Иначе говоря, А (В +С ) – это множество элементарных событий, принадлежащих либо событию АВ , либо событию АС , т.е. событию АВ +АС . Геометрически событие А (В +С ) представляет собой общую часть областей А и В +С (рис. 1.3.а), а событие АВ +АС – объединение областей АВ и АС (рис. 1.3.б), т.е. ту же самую область А (В +С ).

Рис. 1.3.а Рис. 1.3.б

Событие С , состоящее в том, что событие А происходит, а событие В не происходит, называется разностью событий А и В . Условно записывают так:

С =А -В .

События А и В называются совместными , если они могут появиться в одном и том же испытании. Это значит, что существуют такие элементарные события, которые входят в состав и А и В одновременно (рис. 1.4).

События А и В называются несовместными , если появление одного из них исключает появление другого, т.е. если АВ = Ø. Иными словами, нет ни одного элементарного события, которое входило бы в состав и А и В одновременно (рис. 1.5). В частности, противоположные события ивсегда несовместны.

Рис. 1.4 Рис. 1.5

События
называютсяпопарно несовместными , если любые два из них несовместны.

События
образуютполную группу , если они попарно несовместны и в сумме дают достоверное событие, т.е. если для любых i , k

Ø;
.

Очевидно, каждое элементарное событие должно входить в состав одного и только одного события полной группы
. Геометрически это значит, что вся область Ω области
делят наn частей, не имеющих между собой общих точек (рис. 1.6).

Противоположные события ипредставляют собой простейший случай полной группы.

Достоверное

33) Постановка задачи вида – «Пахать до седьмого пота!» – может быть описана алгоритмической структурой, которая называется …+ цикл со счетчиком

34) К процессам, обеспечивающим работу информационной системы, относятся …обработка входной информации и представление ее в удобном виде+ вывод информации для предоставления потребителям

35) Для кодирования всех возможных символов различных национальных алфавитов, а также символов, используемых в математических, физических и других специальных текстах, используется кодовая таблица …+ UNICODE

36) К функциям информационных систем организационного управления (например, 1С Предприятие) относятся …бухгалтерский учет+ управление сбытом и снабжением

По алфавитному списку, содержащему фамилии 9 юношей и 10 девушек, случайным образом выбирается одна фамилия. Установите соответствия между случайными событиями и событиями, противоположными им:1) «выбрана фамилия девушки», «выбрана фамилия, имеющая в списке номер, больший 2»1 «выбрана фамилия юноши»2 «выбрана первая или вторая фамилия из списка»

38) Даны множества и. Тогда справедливы следующие высказывания …+ «множество содержит 2 элемента»+ «множество содержит 5 элементов»

39) – множество юношей студенческой группы, – множество отличников этой группы. Известно, что, причем, . Тогда справедливы высказывания …+ «Все отличники группы являются юношами»

+ «В группе есть отличники»

40) Понятие определяется через понятие в случае, если …+ – прямоугольник, – четырехугольник

41) В таблицу базы данных «Автомобили», содержащей четыре столбца – «Государственный номер», «Модель», «Владелец», «Год выпуска» – вписано 150 автомобилей. Количество полей и записей в таблице составит:+ полей – 4, записей – 150

42) – множество планет Солнечной системы, – Луна, – Земля, – Полярная звезда. Тогда верны следующие высказывания …

43) Кроме компьютерных вирусов к вредоносному программному обеспечению (malware) относятся …+ троянцы+ черви

44) Алгоритм задан блок-схемой:.Тогда в результате выполнения алгоритма выводится+ (модуль икс) для любого вводимого значения икс

46) Алгоритм, записанный в специальной «понятной» компьютеру форме, принято называть …+ программой

47) Студент выучил 6 из 20 вопросов, вынесенных на зачет, и знает методы решения 15 типовых задач из 30. Для успешной сдачи зачета студент должен ответить на один вопрос и решить одну типовую задачу. Вероятность того, что студент не сдаст зачет при случайном выборе вопроса и задачи, равна …+0,85

48) Пакет программ MicrosoftOffice относится к __________ программному обеспечению.+ прикладному

49) – множество чисел, оканчивающихся на 6, – множество четных чисел. Тогда о множествах и можно сказать, что …

50) Операционная система LINUX разработана с использованием языка программирования …+ Си

51) Вероятность бесперебойной работы станка в течение календарного года составляет 0,4. Тогда вероятность исправной работы станка в течение двух лет равна …+ 0,16

52) – количество выпадений «гербов» при двукратном подбрасывании монеты, имеет следующее графическое представление …

53) Алгоритм для определения суммы чисел, принадлежащих интервалу среди N введенных чисел может быть записан:1) переменной N присвоить значение (ввести с клавиатуры);2) сумме присвоить начальное значение 3) определить начальное значение параметра 4) ввести с клавиатуры число X;5) если то вычислить 6) изменить значение 7) если идти к пункту 4;8) вывод значения S9) закончить.Тогда

блок-схемой данного алгоритма будет …

54) Конечный набор отличных друг от друга знаков, используемых в естественном или формальном языке для составления слов, фраз, текстов, называется …+ алфавитом

55) Служебному приложению «Архивация данных» соответствует пиктограмма …

56) Известно, что пересечение множеств A и B есть интервал числовой оси Тогда множества A и B могут быть равны …

57) Документ, созданный в приложении MS PowerPoint, имеет стандартное расширение …+ .ppt

58) Операционной системой, компоненты которой доступны в исходных кодах для любого пользователя и которая распространяется бесплатно, является …+ FreeBSD

59) Математическое ожидание дискретной случайной величины X, заданной законом распределениягде равно Тогда значение равно …+ – 1

60) Математическое ожидание квадрата дискретной случайной величины, заданной законом распределения+ 85

61) K – множество двузначных чисел, сумма цифр которых равна 4, P – множество двузначных чисел, произведение цифр которых равно 3. Тогда истинны следующие высказывания+ множество содержит 2 элемента+ множество содержит 2 элемента

62) Макровирусы заражают файлы с расширением …+ .DOC+ .XLS

63) Ваня забыл две последние цифры семизначного номера телефона друга, но он помнил, что все цифры этого номера различны. Тогда наибольшее количество номеров, которые ему придется проверить, равно …+20

64) В приложениях MS Office 2007 диалоговое окнопринадлежит вспомогательному средству …+ «SmartArt»

65) Даны математические предложения: «Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон»; «Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны»; «Два треугольника подобны, если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника»; «Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной».Среди этих предложений есть …+ 1 определение, 2 теоремы, 1 аксиома

66) Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины имеет вид:а Тогда значение равно …+2

67) Пусть – множество слов, начинающихся с буквы «д», а – множество слов, состоящих из двух слогов. Известно, что и. Тогда может быть словом …+ дуб+ дорога

68) Определением является …+ предложение, которое раскрывает смысл некоторого понятия

69) Так выглядит рабочий экран MicrosoftPowerPoint 2007 в режиме …+ «Сортировщик слайдов»

70) В качестве ключевого элемента в системах защиты от несанкционированного копирования могут использоваться …+ определенные характеристики аппаратуры компьютера+ электронные ключи

71) В коробке находятся шары с номерами от 1 до 20. Наугад извлекается один шар. Установите соответствие между видом события и событием1. невозможное событие2. случайное событие +1 «извлеченный шар не имеет номера»2 «извлечен шар с четным номером»

72) Для перехода на новую строку внутри абзаца в MicrosoftWord следует нажать …+ Shift+Enter

73) Вероятность того, что студент верно решит первую задачу, равна 0,4, а вероятность правильно решить вторую задачу не зависит от результата решения первой и составляет 0,25. Вероятность того, что студент решит верно обе предложенные задачи, равна …+0,1

74) Математическое ожидание квадрата дискретной положительной случайной величины равно, а ее среднее квадратичное отклонение. Тогда математическое ожидание, вычисленное при помощи формулы для расчета дисперсии, равно …+7

75) Даны математические предложения: = «Через любые две точки на плоскости можно провести прямую, и притом только одну»; = «Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны»; = «Два треугольника равны, если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника».Тогда среди данных математических предложений есть+ определение, теорема и аксиома

76) В качестве встраиваемого языка программирования в браузерах для придания интерактивности веб-страницам используется …+ JavaScript

77) Топология компьютерной сети, в которой каждый компьютер подсоединен к двум соседним компьютерам, называется …+ «кольцо»

. Тогда значение равно …+

+ +

+ MS Outlook

+ « »+ « »

Алгоритм задан блок-схемой:
.

1. «Извлечена дама»
1 2

+ 120

.
+ рублей.

+ +

+ скрипт-языков

1 2

+ коммерческий+ shareware

+ логической топологией

+ Лого

Закон распределения дискретной случайной величины ,
,
имеет вид:+

A B
1)
2)

+1 12 0

.

+ «ЛУНА»

+ +

будет выведено +5 записей.

+ абзацев

+ Windows 98

+ 220

+ 32

+ слайдом

10. Вывести значения .
+ 5

Известно, что
Лошадь купила четыре галоши,
Пару хороших и пару поплоше.

+ ветвление

+ +

+ Windows 2000

+ изменение размера полей

+ 3

+ кибернетики

+ топологией

+ Pascal

1. Для типа данных REAL в языке программирования Pascal не определенаоперация …+ ^ (возведение в степень)

2. Трижды производится бросание игральной кости. Вероятность того, что трижды выпадет 2 очка, вычисляется следующим образом …+

3. Случайная величина задана законом распределения . Ее математическое ожидание равно . Тогда значение равно …+

4. График функции распределения непрерывной случайной величины имеет вид:
.
Тогда значение, которое не может принимать случайная величина , равно …

Среди программных продуктов, представленных логотипами, антивирусными программами являются …+ +

Вкладке «Вид» приложения MicrosoftPowerPoint 2007 принадлежит группа команд …+

В пакете программ MS Office для отправки и получения электронной почты используется приложение …+ MS Outlook

Даны множества , . Тогда для них истинны следующие утверждения …+ « »+ « »

Алгоритм задан блок-схемой:
.
В результате выполнения представленного алгоритма при будет выведено …+ работник

Многоугольником распределения дискретной случайной величины , для которого вероятность равна 0,35, является …+

Из колоды в 36 карт случайным образом извлекают одну. Установите соответствие между равновозможными событиями.
1. «Извлечена дама»
2. «Извлечена карта достоинством выше дамы» +1 «извлечена карта достоинством выше короля»2 «извлечен валет или король» «извлечена карта достоинством не ниже дамы»

Буквы К, О, Н, У, С закодированы с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5 (каждой букве соответствует одна цифра, причем разным буквам соответствуют разные цифры, например, К – 1, О – 3, Н – 5, У – 4, С – 2). Тогда число возможных вариантов кодировки этих букв равно …+ 120

Алгоритм начисления заработной платы в зависимости от стажа работы задан блок-схемой:
.
Старший техник Иван Иванович при стаже работы 14 лет получает 12500 рублей заработной платы. В соответствии с данной блок-схемой оклад Ивана Ивановича составляет + рублей.

Множества , и изображены на диаграмме. Тогда для них верны следующие высказывания …
+ +

Языки программирования, адаптированные специально для Интернета, относятся к группе …+ скрипт-языков

В урне лежат золотые, серебряные и медные монеты. Наугад извлекается одна монета. Установите соответствия между случайными событиями и событиями, противоположными им:+1 «извлечена монета из драгоценного металла»2 «извлечена медная или серебряная монета» «извлечена монета из серебра»

Среди применяющихся в настоящее время способов распространения программных продуктов платными являются …+ коммерческий+ shareware

Обобщенная схема, показывающая направление и порядок движения потоков данных между компьютерами в сети, называется …+ логической топологией

Языком высокого уровня, разработанным для обучения детей дошкольного и младшего школьного возраста азам программирования, является …+ Лого

В списке экзаменационных заданий 10 качественных задач и 16 количественных. Наудачу выбирается 2 задания. Вероятность того, что среди них будет только одна качественная задача, равна …+

Закон распределения дискретной случайной величины , соответствующий многоугольнику распределения
,
имеет вид:+

За каждую верно решенную задачу студент получает 1 балл. Событие A – «студент верно решил первую задачу». Событие B – «студент верно решил вторую задачу». Установите соответствие между указанными событиями и полученными баллами:
1)
2)

+1 12 0

Сообщение закодировано согласно следующему алгоритму:
каждая буква исходного сообщения заменяется двузначным числом, первая цифра – номер строки таблицы, в которой находится буква, вторая цифра – номер столбца таблицы, в котором находится буква. Таблица представлена на рисунке
.
В закодированном сообщении полученные коды букв записываются подряд. Например, для буквы «У» номер строки – 4, номер столбца – 5. Код, соответствующий букве «У», – 45.
Принято закодированное по данному алгоритму сообщение «43 45 24 11».
Тогда исходное сообщение имеет вид …+ «ЛУНА»

К информационно-поисковым системам относятся …+ +

Программа «Проверка диска» позволяет …+ выявить логические и физические дефекты диска

Дана таблица, созданная при помощи СУБД MicrosoftAccess:

Тогда в запросе с условиями отбора

будет выведено +5 записей.

Междустрочный интервал относится к параметрам форматирования …+ абзацев

К семейству операционных систем семейства Windows, поддерживающих файловую систему NTFS, не относится …+ Windows 98

На родительском собрании присутствует 12 человек. Тогда число различных вариантов состава родительского комитета, в который должно войти 3 человека, равно …+ 220

Алгоритм представлен блок-схемой

Тогда в результате работы алгоритма для введенных значений и будет получено значение P, равное …+ 32

Режиму «Обычный» просмотра презентаций в MicrosoftPowerPoint 2007 соответствует иконка …+

Совокупность элементов в программе MS PowerPoint, которые одновременно отображаются на экране дисплея, называется …+ слайдом

Интегральная функция распределения непрерывной случайной величины имеет вид: . Тогда значение 9. Если , идти к пункту 4.
10. Вывести значения .
Пусть . Последовательно на каждом шаге вводятся значения переменной – числа . Тогда поле выполнения представленного алгоритма будет выведено значение , равное …+ 5

Известно, что
Лошадь купила четыре галоши,
Пару хороших и пару поплоше.
Если денек выдается погожий –
Лошадь гуляет в галошах хороших.
Стоит просыпаться первой пороше –
Лошадь выходит в галошах поплоше.
Если же лужи на улице сплошь –
Лошадь выходит совсем без галош.
Тогда поведение Лошади описывается алгоритмической структурой …+ ветвление

Алгоритм кодирования сообщения имеет вид:
Каждая буква исходного сообщения заменяется двузначным числом, первая цифра – номер строки таблицы, в которой находится буква, вторая цифра – номер столбца таблицы, в котором находится буква. Представлена следующая таблица:
. Тогда истинны следующие высказывания …+ +

Многопользовательской операционной системой является …+ Windows 2000

К форматированию текста относится действие …+ изменение размера полей

Алгоритм обработки результатов измерений задан блок-схемой:

Тогда в результате выполнения алгоритма над результатами измерений, представленными в таблице , при количестве измерений K = 6 будет вычислено значение M, равное …+ 3

В телефонном номере забыты 2 последние цифры. Вероятность того, что при случайном наборе будут набраны верные цифры, равна …+

Искусственный интеллект – научное направление, связанное с машинным моделированием человеческих интеллектуальных функций, в основе которого лежат положения науки …+ кибернетики

Обобщенная геометрическая схема соединений узлов сети называется …+ топологией

Символы некоторого алфавита кодируются двух-, трех- и четырехзначными двоичными кодами. Тогда максимальное количество символов алфавита, которые можно закодировать данными комбинациями, составит …+

Среди перечисленных языков программирования к процедурным языкам относится …+ Pascal

Дан алгоритм в словесной форме:

1) переменной присвоить значение (ввести с клавиатуры);

2) определить начальное значение суммы, определить значение переменной;

3) определить начальное значение параметра;

4) ввести значение переменной (с клавиатуры);

5) если, выполнить. Перейти к пункту 7;

6) если, изменить значение переменной по правилу;

7) изменить значение переменной i по правилу;

8) если, идти к пункту 4;

9) вывести значения.

В результате выполнения данного алгоритма будут выведены значения …

+ суммы отрицательных чисел и количества чисел, равных 0

Команду «Отжаться от пола двадцать раз!» можно представить в виде фрагмента блок-схемы …

Общая постановка задачи: известны вероятности некоторых событий, а вычислить нужно вероятности других событий, которые связаны с данными событиями. В этих задачах возникает необходимость в таких действиях над вероятностями, как сложение и умножение вероятностей.

Например, на охоте проиведены два выстрела. Событие A - попадание в утку с первого выстрела, событие B - попадание со второго выстрела. Тогда сумма событий A и B - попадание с первого или второго выстрела или с двух выстрелов.

Задачи другого типа. Даны несколько событий, например, монета подбрасывается три раза. Требуется найти вероятность того, что или все три раза выпадет герб, или того, что герб выпадет хотя бы один раз. Это задача на умножение вероятностей.

Сложение вероятностей несовместных событий

Сложение вероятностей используется тогда, когда нужно вычислить вероятность объединения или логической суммы случайных событий.

Сумму событий A и B обозначают A + B или A ∪ B . Суммой двух событий называется событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий. Это означает, что A + B – событие, которое наступает тогда и только тогда, когда при наблюдении произошло событие A или событие B , или одновременно A и B .

Если события A и B взаимно несовместны и их вероятности даны, то вероятность того, что в результате одного испытания произойдёт одно из этих событий, рассчитывают, используя сложение вероятностей.

Теорема сложения вероятностей. Вероятность того, что произойдёт одно из двух взаимно несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий:

Например, на охоте произведены два выстрела. Событие А – попадание в утку с первого выстрела, событие В – попадание со второго выстрела, событие (А + В ) – попадание с первого или второго выстрела или с двух выстрелов. Итак, если два события А и В – несовместные события, то А + В – наступление хотя бы одного из этих событий или двух событий.

Пример 1. В ящике 30 мячиков одинаковых размеров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Вычислить вероятность того, что не глядя будет взят цветной (не белый) мячик.

Решение. Примем, что событие А – «взят красный мячик», а событие В – «взят синий мячик». Тогда событие - «взят цветной (не белый) мячик». Найдём вероятность события А :

и события В :

События А и В – взаимно несовместные, так как если взят один мячик, то нельзя взять мячики разных цветов. Поэтому используем сложение вероятностей:

Теорема сложения вероятностей для нескольких несовместных событий. Если события составляют полное множество событий, то сумма их вероятностей равна 1:

Сумма вероятностей противоположных событий также равна 1:

Противоположные события образуют полное множество событий, а вероятность полного множества событий равна 1.

Вероятности противоположных событий обычно обозначают малыми буквами p и q . В частности,

из чего следуют следующие формулы вероятности противоположных событий:

Пример 2. Цель в тире разделена на 3 зоны. Вероятность того что некий стрелок выстрелит в цель в первой зоне равна 0,15, во второй зоне – 0,23, в третьей зоне – 0,17. Найти вероятность того, что стрелок попадет в цель и вероятность того, что стрелок попадёт мимо цели.

Решение: Найдём вероятность того, что стрелок попадёт в цель:

Найдём вероятность того, что стрелок попадёт мимо цели:

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей - на странице "Различные задачи на сложение и умножение вероятностей" .

Сложение вероятностей взаимно совместных событий

Два случайных события называются совместными, если наступление одного события не исключает наступления второго события в том же самом наблюдении. Например, при бросании игральной кости событием А считается выпадение числа 4, а событием В – выпадение чётного числа. Поскольку число 4 является чётным числом, эти два события совместимы. В практике встречаются задачи по расчёту вероятностей наступления одного из взаимно совместных событий.

Теорема сложения вероятностей для совместных событий. Вероятность того, что наступит одно из совместных событий, равна сумме вероятностей этих событий, из которой вычтена вероятность общего наступления обоих событий, то есть произведение вероятностей. Формула вероятностей совместных событий имеет следующий вид:

Поскольку события А и В совместимы, событие А + В наступает, если наступает одно из трёх возможных событий: или АВ . Согласно теореме сложения несовместных событий, вычисляем так:

Событие А наступит, если наступит одно из двух несовместных событий: или АВ . Однако вероятность наступления одного события из нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей всех этих событий:

Аналогично:

Подставляя выражения (6) и (7) в выражение (5), получаем формулу вероятности для совместных событий:

При использовании формулы (8) следует учитывать, что события А и В могут быть:

взаимно независимыми;
взаимно зависимыми.

Формула вероятности для взаимно независимых событий:

Формула вероятности для взаимно зависимых событий:

Если события А и В несовместны, то их совпадение является невозможным случаем и, таким образом, P (AB ) = 0. Четвёртая формула вероятности для несовместных событий такова:

Пример 3. На автогонках при заезде на первой автомашине вероятность победить , при заезде на второй автомашине . Найти:

вероятность того, что победят обе автомашины;
вероятность того, что победит хотя бы одна автомашина;

1) Вероятность того, что победит первая автомашина, не зависит от результата второй автомашины, поэтому события А (победит первая автомашина) и В (победит вторая автомашина) – независимые события. Найдём вероятность того, что победят обе машины:

2) Найдём вероятность того, что победит одна из двух автомашин:

Решить задачу на сложение вероятностей самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 4. Бросаются две монеты. Событие A - выпадение герба на первой монете. Событие B - выпадение герба на второй монете. Найти вероятность события C = A + B .

Умножение вероятностей

Умножение вероятностей используют, когда следует вычислить вероятность логического произведения событий.

При этом случайные события должны быть независимыми. Два события называются взаимно независимыми, если наступление одного события не влияет на вероятность наступления второго события.

Теорема умножения вероятностей для независимых событий. Вероятность одновременного наступления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий и вычисляется по формуле:

Пример 5. Монету бросают три раза подряд. Найти вероятность того, что все три раза выпадет герб.

Решение. Вероятность того, что при первом бросании монеты выпадет герб , во второй раз , в третий раз . Найдём вероятность того, что все три раза выпадет герб:

Решить задачи на умножение вероятностей самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 6. Имеется коробка с девятью новыми теннисными мячами. Для игры берут три мяча, после игры их кладут обратно. При выборе мячей игранные от неигранных не отличают. Какова вероятность того, что после трёх игр в коробке не останется неигранных мячей?

Пример 7. 32 буквы русского алфавита написаны на карточках разрезной азбуки. Пять карточек вынимаются наугад одна за другой и укладываются на стол в порядке появления. Найти вероятность того, что из букв получится слово "конец".

Пример 8. Из полной колоды карт (52 листа) вынимаются сразу четыре карты. Найти вероятность того, что все эти четыре карты будут разных мастей.

Пример 9. Та же задача, что в примере 8, но каждая карта после вынимания возвращается в колоду.

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей, а также вычислять произведение нескольких событий - на странице "Различные задачи на сложение и умножение вероятностей" .

Вероятность того, что произойдёт хотя бы одно из взаимно независимых событий , можно вычислить путём вычитания из 1 произведения вероятностей противоположных событий , то есть по формуле.