Методи за решаване на граници. Несигурности.
Ред на нарастване на функцията. Метод на замяна

Пример 4

Намерете границата

Това е по-опростен пример за решение „направи си сам“. В предложения пример, отново, несигурност (от по-висок порядък на растеж от корена).

Ако "x" клони към "минус безкрайност"

Призракът на "минус безкрайността" отдавна витае в тази статия. Помислете за граници с полиноми, в които . Принципите и методите на решение ще бъдат абсолютно същите като в първата част на урока, с изключение на редица нюанси.

Помислете за 4 чипа, които ще са необходими за решаване на практически задачи:

1) Изчислете границата

Стойността на лимита зависи само от срока, тъй като той има най-висок ред на нарастване. Ако , тогава безкрайно голям модулотрицателно число на ЧЕТНА степен, в случая - в четвъртата, е равно на "плюс безкрайност": . Постоянно ("две") положителен, Ето защо:

2) Изчислете границата

Ето я отново висшата степен дори, Ето защо: . Но има "минус" отпред ( отрицателенконстанта –1), следователно:

3) Изчислете границата

Стойността на лимита зависи само от. Както си спомняте от училище, "минус" "изскача" изпод нечетната степен, така че безкрайно голям модулотрицателно число на НЕЧЕТНА степене равно на "минус безкрайност", в този случай: .
Постоянно ("четири") положителен, означава:

4) Изчислете границата

Първият момък в селото отново има странностепен, при това в пазвата отрицателенконстанта, което означава: Така:
.

Пример 5

Намерете границата

Използвайки горните точки, заключаваме, че тук има несигурност. Числителят и знаменателят са от един и същ ред на нарастване, което означава, че в ограничението ще се получи крайно число. Научаваме отговора, като изхвърлим цялото пържене:

Решението е тривиално:

Пример 6

Намерете границата

Това е пример за „направи си сам“. Пълно решение и отговор в края на урока.

И сега, може би най-финият от случаите:

Пример 7

Намерете границата

Имайки предвид старшите условия, стигаме до извода, че тук има несигурност. Числителят е от по-висок порядък на растеж от знаменателя, така че веднага можем да кажем, че границата е безкрайност. Но каква безкрайност, "плюс" или "минус"? Рецепцията е същата - в числителя и знаменателя ще се отървем от малките неща:

Ние решаваме:

Разделете числителя и знаменателя на

Пример 15

Намерете границата

Това е пример за „направи си сам“. Приблизителна проба за завършване в края на урока.

Още няколко интересни примера по темата за заместване на променливи:

Пример 16

Намерете границата

Заместването на едно в границата води до несигурност. Замяната на променливата вече предполага, но първо преобразуваме тангенса с помощта на формулата. Наистина, защо се нуждаем от допирателна?

Отбележете, че следователно. Ако не е напълно ясно, погледнете синусовите стойности в тригонометрична таблица. Така незабавно се отърваваме от фактора , освен това получаваме по-познатата несигурност 0:0. Би било хубаво, ако нашата граница също клонеше към нула.

Да заменим:

Ако , тогава

Под косинуса имаме "x", което също трябва да бъде изразено чрез "te".
От замяната изразяваме: .

Завършваме решението:

(1) Извършване на замяната

(2) Разгънете скобите под косинуса.

(4) Да организира първата прекрасна граница, изкуствено умножете числителя по и реципрочната на .

Задача за самостоятелно решение:

Пример 17

Намерете границата

Пълно решение и отговор в края на урока.

Това бяха прости задачи в техния клас; на практика всичко е по-лошо и в допълнение към формули за намаляване, човек трябва да използва различни тригонометрични формули, както и други трикове. В статията Комплексни граници анализирах няколко реални примера =)

В навечерието на празника най-накрая ще изясним ситуацията с още една често срещана неизвестност:

Елиминиране на несигурността "едно на степен на безкрайност"

Тази несигурност се „сервира“ втора прекрасна граница, а във втората част на този урок разгледахме много подробно стандартни примери за решения, които се срещат на практика в повечето случаи. Сега картината с изложители ще бъде завършена, освен това последните задачи на урока ще бъдат посветени на границите-"трикове", в които изглежда, че е необходимо да се приложи втората прекрасна граница, въпреки че това изобщо не е случай.

Недостатъкът на двете работещи формули на втората забележителна граница е, че аргументът трябва да клони към "плюс безкрайност" или към нула. Но какво ще стане, ако аргументът клони към различно число?

На помощ идва универсалната формула (която всъщност е следствие от второто забележително ограничение):

Несигурността може да се елиминира по формулата:

Някъде, както вече обясних какво означават квадратните скоби. Нищо особено, скобите са си просто скоби. Обикновено те се използват за ясно подчертаване на математическа нотация.

Нека подчертаем основните точки на формулата:

1) Става въпрос за само за несигурността и нищо друго.

2) Аргументът "x" може да клони към произволна стойност(и не само до нула или), по-специално до "минус безкрайност" или до всекикрайно число.

Използвайки тази формула, можете да решите всички примери от урока Забележителни граници, които спадат към 2-ра забележителна граница. Например, нека изчислим лимита:

В такъв случай , и по формулата :

Вярно е, че не ви съветвам да правите това, по традиция все още използвате „обичайния“ дизайн на решението, ако може да се приложи. въпреки това използването на формулата е много удобно за проверка"класически" примери до 2-ра прекрасна граница.

Ако едно число се дели на безкрайност, клони ли частното към нула? Продължих вътре и получих по-добър отговор

Отговор от Оленка [новак]
всички 0
Краб кора
Оракул
(56636)
Не. Точна нула. Тъй като делителят клони към безкрайност, частното клони към нула. И ако разделим не на число, клонящо към безкрайност, а на самата безкрайност (между другото, за да бъдем по-точни, то изобщо не се счита официално за число, а се счита за специален символ, който допълва обозначенията на числата) - точно нула.

Отговор от Югеус Владимир[гуру]
Дори да разделите нула, дори да умножите по произволно число, пак ще бъде нула!

Отговор от 1 23 [гуру]
ако някои неща клонят към нула, тогава умножаването им по нещо крайно (число или ограничена функция) е безболезнено, защото all-rna клони към нула.
но ако го умножите по нещо, което клони към безкрайност, тогава може да има опции.

Отговор от Краб кора[гуру]
Разделянето на произволно число на безкрайност води до нула. Точна нула, без „стигане до нула“. И след това, по каквото и число да го умножите, нула. И резултатът от разделянето на нула на всяко число, различно от нула, ще бъде нула, само когато разделяте нула на нула, резултатът не е дефиниран, всяко число ще бъде подходящо като частно.

Много често много хора се чудят защо е невъзможно да се използва деление на нула? В тази статия ще разгледаме много подробно откъде идва това правило, както и какви действия могат да се извършват с нула.

Във връзка с

Нулата може да се нарече едно от най-интересните числа. Това число няма значение, това означава празнота в истинския смисъл на думата. Ако обаче поставите нула до която и да е цифра, тогава стойността на тази цифра ще стане няколко пъти по-голяма.

Числото само по себе си е много загадъчно. Използван е от древния народ на маите. За маите нулата означавала „начало“ и отброяването на календарните дни също започвало от нула.

Много интересен факт е, че знакът нула и знакът на неопределеността са били сходни за тях. С това маите искаха да покажат, че нулата е същият идентичен знак като несигурността. В Европа обозначението на нула се появи сравнително наскоро.

Освен това много хора знаят забраната, свързана с нулата. Всеки човек ще каже това не може да се дели на нула. Това го казват учителите в училище и децата обикновено вярват на думата им. Обикновено децата или просто не се интересуват да знаят това, или знаят какво ще се случи, ако, след като чуят важна забрана, веднага попитат „Защо не можеш да делиш на нула?“. Но когато остареете, интересът се събужда и искате да научите повече за причините за такава забрана. Въпреки това има разумни доказателства.

Действия с нула

Първо трябва да определите какви действия могат да се извършват с нула. Съществува няколко вида дейности:

• Добавяне;
• умножение;
• изваждане;
• Деление (нула по число);
• степенуване.

важно!Ако към което и да е число се добави нула по време на събирането, това число ще остане същото и няма да промени числената си стойност. Същото се случва, ако извадите нула от произволно число.

При умножението и делението нещата са малко по-различни. Ако умножете всяко число по нула, тогава продуктът също ще стане нула.

Помислете за пример:

Нека напишем това като допълнение:

Има общо пет добавени нули, така че се оказва, че

Нека се опитаме да умножим едно по нула. Резултатът също ще бъде нулев.

Нулата може също да бъде разделена на всяко друго число, което не е равно на нея. В този случай ще се окаже, чиято стойност също ще бъде нула. Същото правило важи и за отрицателните числа. Ако разделите нула на отрицателно число, ще получите нула.

Можете също така да увеличите произволно число до нулева мощност. В този случай получавате 1. Важно е да запомните, че изразът "нула на нулева степен" е абсолютно безсмислен. Ако се опитате да повдигнете нула на произволна степен, ще получите нула. Пример:

Използваме правилото за умножение, получаваме 0.

Възможно ли е да се дели на нула

И така, стигаме до основния въпрос. Възможно ли е да се дели на нулав общи линии? И защо е невъзможно да се раздели число на нула, при положение, че всички други операции с нула напълно съществуват и важат? За да отговорите на този въпрос, трябва да се обърнете към висшата математика.

Нека започнем с определението на понятието, какво е нула? Учителите твърдят, че нулата е нищо. празнота. Тоест, когато казвате, че имате 0 химикалки, това означава, че нямате никакви химикалки.

Във висшата математика понятието "нула" е по-широко. Това изобщо не означава празно. Тук нулата се нарича несигурност, защото ако направите малко проучване, се оказва, че като разделим нула на нула, можем да получим всяко друго число като резултат, което може да не е непременно нула.

Знаете ли, че тези прости аритметични операции, които сте изучавали в училище, не са толкова равни помежду си? Най-основните стъпки са събиране и умножение.

За математиците понятията "" и "изваждане" не съществуват. Да предположим: ако три се извадят от пет, тогава ще останат две. Ето как изглежда изваждането. Въпреки това математиците биха го написали по следния начин:

По този начин се оказва, че неизвестната разлика е определено число, което трябва да се добави към 3, за да се получи 5. Тоест, не е нужно да изваждате нищо, просто трябва да намерите подходящо число. Това правило важи за добавянето.

Нещата са малко по-различни с правила за умножение и деление.Известно е, че умножението по нула води до нулев резултат. Например, ако 3:0=x, тогава ако обърнете записа, ще получите 3*x=0. И числото, което се умножава по 0, ще даде нула в произведението. Оказва се, че число, което би дало някаква стойност, различна от нула в произведението с нула, не съществува. Това означава, че деленето на нула е безсмислено, тоест отговаря на нашето правило.

Но какво се случва, ако се опитате да разделите нулата сама по себе си? Нека вземем х като някакво неопределено число. Оказва се, че уравнението 0 * x \u003d 0. Може да се реши.

Ако се опитаме да вземем нула вместо х, получаваме 0:0=0. Изглежда ли логично? Но ако се опитаме да вземем произволно друго число вместо х, например 1, тогава ще се окаже, че 0:0=1. Същата ситуация ще бъде, ако вземете друг номер и включи го в уравнението.

В този случай се оказва, че можем да вземем всяко друго число като фактор. Резултатът ще бъде безкраен брой различни числа. Понякога все пак делението на 0 във висшата математика има смисъл, но тогава обикновено има определено условие, поради което все пак можем да изберем едно подходящо число. Това действие се нарича "разкриване на несигурност". В обикновената аритметика деленето на нула отново ще загуби смисъла си, тъй като няма да можем да изберем нито едно число от множеството.

важно!Нулата не може да се дели на нула.

Нула и безкрайност

Безкрайността е много често срещана във висшата математика. Тъй като за учениците просто не е важно да знаят, че все още има математически операции с безкрайност, учителите не могат правилно да обяснят на децата защо е невъзможно да се раздели на нула.

Студентите започват да усвояват основните математически тайни едва през първата година на института. Висшата математика предоставя голям набор от проблеми, които нямат решение. Най-известните задачи са задачите с безкрайността. Те могат да бъдат решени с математически анализ.

Можете да приложите и до безкрайност елементарни математически операции:събиране, умножение с число. Изваждането и делението също се използват често, но в крайна сметка те все още се свеждат до две прости операции.

Но какво ще ако опитате:

• Умножете безкрайността по нула. На теория, ако се опитаме да умножим произволно число по нула, ще получим нула. Но безкрайността е неопределен набор от числа. Тъй като не можем да изберем едно число от това множество, изразът ∞*0 няма решение и е абсолютно безсмислен.
• Нула, разделена на безкрайност. Това е същата история като по-горе. Не можем да изберем едно число, което означава, че не знаем на какво да разделим. Изразът няма смисъл.

важно!Безкрайността е малко по-различна от несигурността! Безкрайността е вид несигурност.

Сега нека се опитаме да разделим безкрайността на нула. Изглежда, че трябва да има несигурност. Но ако се опитаме да заменим делението с умножение, ще получим много категоричен отговор.

Например: ∞/0=∞*1/0= ∞*∞ = ∞.

Получава се така математически парадокс.

Защо не можете да разделите на нула

Мислен експеримент, опитайте се да разделите на нула

Заключение

И така, сега знаем, че нулата е обект на почти всички операции, които се извършват с, с изключение на една единствена. Не можете да разделите на нула само защото резултатът е несигурен. Научихме се и как да работим с нула и безкрайност. Резултатът от подобни действия ще бъде несигурност.

Производната на функцията не пада далеч и в случая с правилата на L'Hopital тя попада точно там, където пада оригиналната функция. Това обстоятелство помага за разкриването на несигурности от формата 0/0 или ∞/∞ и някои други несигурности, възникващи при изчислението лимитсъотношение на две безкрайно малки или безкрайно големи функции. Изчислението е значително опростено от това правило (всъщност две правила и бележки към тях):

Както показва формулата по-горе, когато се изчислява границата на съотношението на две безкрайно малки или безкрайно големи функции, границата на съотношението на две функции може да бъде заменена с границата на съотношението на техните производнии по този начин да получите определен резултат.

Нека да преминем към по-точни формулировки на правилата на L'Hopital.

Правилото на L'Hopital за случай на граница на две безкрайно малки стойности. Нека функциите f(х) и ж(х а. И то в самата точка а апроизводна на функция ж(х) не е равно на нула ( ж"(х аса равни помежду си и равни на нула:

.

Правилото на L'Hôpital за случай на граница на две безкрайно големи количества. Нека функциите f(х) и ж(х) имат производни (т.е. те са диференцируеми) в някаква околност на точката а. И то в самата точка ате могат или не могат да имат производни. При това в околностите на пункта апроизводна на функция ж(х) не е равно на нула ( ж"(х)≠0 ) и границите на тези функции, когато x клони към стойността на функцията в точката аса равни помежду си и равни до безкрайност:

.

Тогава границата на съотношението на тези функции е равна на границата на съотношението на техните производни:

С други думи, за несигурности от формата 0/0 или ∞/∞, границата на съотношението на две функции е равна на границата на съотношението на техните производни, ако последното съществува (крайно, т.е. равно на a определено число или безкрайно, тоест равно на безкрайност).

Забележки.

1. Правилата на L'Hopital са приложими и когато функциите f(х) и ж(х) не са дефинирани в х = а.

2. Ако при изчисляване на границата на отношението на производните на функциите f(х) и ж(х) отново стигаме до несигурност от формата 0/0 или ∞/∞, тогава правилата на L'Hopital трябва да се прилагат многократно (поне два пъти).

3. Правилата на L'Hopital са приложими и когато аргументът на функциите (x) клони към некрайно число аи до безкрайност ( х → ∞).

Несигурностите от други видове също могат да бъдат сведени до несигурности от типа 0/0 и ∞/∞.

Разкриване на несигурности от типа "нула, разделена на нула" и "безкрайност, разделена на безкрайност"

Пример 1

х=2 води до неопределеност на формата 0/0. Следователно, производната на всяка функция и ние получаваме

В числителя се изчислява производната на полинома, а в знаменателя - производна на комплексна логаритмична функция. Преди последния знак за равенство, обичайното лимит, замествайки двойка вместо x.

Пример 2Изчислете границата на отношението на две функции, като използвате правилото на L'Hospital:

Решение. Заместване във функция с дадена стойност х

Пример 3Изчислете границата на отношението на две функции, като използвате правилото на L'Hospital:

Решение. Заместване във функция с дадена стойност х=0 води до неопределеност на формата 0/0. Следователно изчисляваме производните на функциите в числителя и знаменателя и получаваме:

Пример 4Изчисли

Решение. Заместването на стойността на x, равна на плюс безкрайност, в дадена функция води до неопределеност под формата ∞/∞. Затова прилагаме правилото на L'Hopital:

Коментирайте. Нека да преминем към примери, в които правилото на L'Hopital трябва да се приложи два пъти, тоест да се стигне до границата на съотношението на вторите производни, тъй като границата на съотношението на първите производни е несигурност на формата 0/0 или ∞/∞.

Разкриване на несигурности от формата "нула, умножена по безкрайност"

Пример 12.Изчисли

.

Решение. Получаваме

Този пример използва тригонометричната идентичност.

Разкриване на несигурности от типа "нула на степен нула", "безкрайност на степен нула" и "един на степен безкрайност"

Несигурностите на формата или обикновено се редуцират до формата 0/0 или ∞/∞, като се използва логаритъм на функция от формата

За да се изчисли границата на израза, трябва да се използва логаритмичното тъждество, чийто специален случай е свойството на логаритъма .

Като се използва логаритмичната идентичност и свойството за непрекъснатост на функцията (за преминаване отвъд знака на границата), границата трябва да се изчисли, както следва:

Отделно трябва да се намери границата на израза в експонента и да се изгради ддо намерената степен.

Пример 13

Решение. Получаваме

.

.

Пример 14Изчислете с помощта на правилото на L'Hopital

Решение. Получаваме

Изчислете границата на израза в степента

.

.

Пример 15Изчислете с помощта на правилото на L'Hopital

Основните елементарни функции са подредени.

Когато преминаваме към функции с по-сложна форма, определено ще срещнем изрази, чиято стойност не е дефинирана. Такива изрази се наричат несигурности.

Нека изброим всичко основни видове несигурност: нула делено на нула (0 на 0), безкрайност делено на безкрайност, нула по безкрайност, безкрайност минус безкрайност, едно на степен безкрайност, нула на степен нула, безкрайност на степен нула.

ВСИЧКИ ДРУГИ ИЗРАЗИ НЕ СА НЕСИГУРНОСТ И ПРИЕМАТ НАПЪЛНО СПЕЦИФИЧНА КРАЙНА ИЛИ БЕЗКРАЙНА СТОЙНОСТ.

Разкрийте несигурноститепозволява:

• опростяване на вида на функцията (преобразуване на израз с помощта на формули за съкратено умножение, тригонометрични формули, умножение с конюгирани изрази с последваща редукция и др.);
• използване на забележителни граници;
• прилагане на правилото на L'Hospital;
• използването на заместване на безкрайно малък израз с негов еквивалент (използване на таблица с еквивалентни безкрайно малки).

Групираме несигурностите в таблица на неопределеността. За всеки тип несигурност ние съпоставяме метода за неговото разкриване (методът за намиране на границата).

Тази таблица, заедно с таблицата с граници на основните елементарни функции, ще бъдат вашите основни инструменти за намиране на всякакви граници.

Нека дадем няколко примера, когато всичко се получава веднага след заместването на стойността и не възниква несигурност.

Пример.

Изчислете лимита

Решение.

Заменяме стойността:

И веднага получихме отговор.

Отговор:

Пример.

Изчислете лимита

Решение.

Заместваме стойността x=0 в основата на нашата експоненциална степенна функция:

Тоест ограничението може да бъде пренаписано като

Сега нека да разгледаме индекса. Това е степенна функция. Нека се обърнем към таблицата с граници за степенни функции с отрицателен показател. От там имаме и , следователно можем да пишем .

Въз основа на това нашият лимит може да бъде записан като:

Отново се обръщаме към таблицата с граници, но за експоненциални функции с база, по-голяма от единица, от която имаме:

Отговор:

Нека разгледаме примери с подробни решения разкриване на неясноти чрез трансформиране на изрази.

Много често изразът под знака за ограничение трябва да бъде леко трансформиран, за да се отърве от неясноти.

Пример.

Изчислете лимита

Решение.

Заменяме стойността:

Стигна до несигурност. Разглеждаме таблицата с несигурности, за да изберем метод на решение. Нека се опитаме да опростим израза.

Отговор:

Пример.

Изчислете лимита

Решение.

Заменяме стойността:

Стигна се до несигурност (0 на 0). Разглеждаме таблицата с несигурности, за да изберем метод на решение и се опитваме да опростим израза. Умножаваме както числителя, така и знаменателя по израза, спрегнат към знаменателя.

За знаменателя присъединеният израз е

Умножихме знаменателя, за да можем да приложим формулата за съкратено умножение - разликата на квадратите и след това намалихме получения израз.

След поредица от трансформации несигурността изчезна.

Отговор:

КОМЕНТАР:за граници от този вид методът на умножение чрез спрегнати изрази е типичен, така че не се колебайте да го използвате.

Пример.

Изчислете лимита

Решение.

Заменяме стойността:

Стигна до несигурност. Разглеждаме таблицата с несигурности, за да изберем метод на решение и се опитваме да опростим израза. Тъй като и числителят, и знаменателят изчезват при x=1, ако тези изрази могат да бъдат намалени (x-1) и несигурността ще изчезне.

Нека разложим числителя на множители:

Нека разложим знаменателя на множители:

Нашият лимит ще приеме формата:

След трансформацията несигурността беше разкрита.

Отговор:

Разгледайте ограниченията при безкрайност на степенните изрази. Ако показателите на експоненциалния израз са положителни, тогава границата в безкрайността е безкрайна. Освен това основната стойност има най-голяма степен, останалите могат да бъдат изхвърлени.

Пример.

Пример.

Ако изразът под граничния знак е дроб и и числителят, и знаменателят са степенни изрази (m е степента на числителя, а n е степента на знаменателя), тогава когато има несигурност на формата безкрайност до безкрайност, в този случай разкрива се несигурностделение и числител и знаменател по

Пример.

Изчислете лимита